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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

DISTRIBUCIÓN DE ELEMENTOS MECÁNICOS EN PILAS Y PILOTES SUJETAS A FUERZAS

LATERALES EN LA CABEZA

Luciano Roberto Fernández Sola1, Javier Avilés López2 y David Murià Vila3

RESUMEN Se propone una metodología para estimar la respuesta dinámica de pilas y pilotes ante cargas laterales aplicadas en su cabeza, considerando de manera explícita las características geométricas y mecánicas del elemento de cimentación, desplantado sobre un medio continuo compuesto de estratos horizontales. La metodología permite analizar pilas y pilotes de fricción o de punta, considerando distintas condiciones de frontera en la punta. El modelo se valida mediante comparaciones con otras soluciones previamente establecidas en la literatura para pilas y pilotes. Se realiza un análisis paramétrico de la influencia de algunas variables (tamaño de la pila o pilote, rigidez de la pila o pilote y el medio y la estratigrafía del suelo) en la distribución de fuerza cortante y de momento flexionante a lo largo del elemento de cimentación.

ABSTRACT A methodology to estimate the dynamic response of laterally loaded piles is proposed. It considers explicitly the geometric pile’s properties and mechanical characteristics of pile´s and soil´s materials. This methodology allows analyzing floating and end bearing piles, by different boundary conditions at pile’s toe. A comparison with other authors is presented, in order to validate the model. A parametric analysis is performed, varying some of the most important parameters (pile’s size, soil-pile stiffness ratio and soil´s profile), in order to establish the influence of such parameters in the pile’s behavior. Normalized curves in terms of different parameters are presented.

INTRODUCCIÓN Dentro del comportamiento sísmico de las edificaciones, el desempeño estructural de las cimentaciones tiene un papel preponderante. El análisis y diseño estructural de la subestructura, son temas que en muchas ocasiones no reciben la atención adecuada, debido a que requiere una profunda comprensión de dos disciplinas de la ingeniería civil (diseño estructural y geotecnia), las cuales generalmente se estudian por separado. La distribución y magnitud de los elementos mecánicos que deben resistir las cimentaciones varían de acuerdo con el tamaño de la cimentación, las condiciones estratigráficas del terreno, la relación de esbeltez y las condiciones de apoyo entre otros. En este trabajo se propone una metodología que estima la respuesta dinámica de pilas y pilotes ante cargas laterales aplicadas en su cabeza, considerando de manera explícita las características geométricas y mecánicas del elemento de cimentación, desplantado sobre un medio continuo compuesto de estratos horizontales que descansa sobre una base infinitamente rígida. La metodología aquí propuesta permite considerar sin distinción, si el elemento es una pila o un pilote, ya que las hipótesis que utiliza son independientes del diámetro del elemento. Es por ello que en el resto del trabajo cuando se refiera a pilas se estará considerando también el caso de los pilotes.

1 Becario, Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria, 04510, México DF,

[email protected] 2 Investigador, Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, Jiutepec, México, [email protected] 3 Investigador, Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria, 04510, México DF,

[email protected]

XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato 2010.

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Varios análisis acerca del comportamiento dinámico de pilas y pilotes cargados lateralmente (Poulos 1971, Novak y Nogami 1977) se basan en modelos simplificados, en los cuáles no se toman en cuenta explícitamente algunas de las características propias del material del cual está compuesta la cimentación, como son el amortiguamiento y la relación de Poisson. Por otro lado, en dichos modelos, generalmente se caracteriza a la pila únicamente por medio de la rigidez a flexión, definida por el parámetro ppIE ( pI es el momento de inercia de la sección transversal del pilote y

pE es el módulo de elasticidad del material del pilote). Para el caso de elementos esbeltos, es posible considerar que el comportamiento lateral este gobernado principalmente por la flexión, pero a medida que el elemento se vuelve más robusto, la aportación de la deformación por cortante, asociada con el área de la sección transversal de la pila, cobra mayor importancia. Además, en la mayoría de los análisis simplificados solamente se considera el componente horizontal del movimiento, despreciando los desplazamientos verticales que pueda sufrir la pila. Esta simplificación es válida para elementos de diámetros pequeños, ya que el componente vertical del movimiento debida a la rotación, es despreciable. Para elementos de mayor diámetro, dicho componente del movimiento puede influir en el comportamiento del elemento de manera importante. La metodología aquí propuesta permite analizar pilas y pilotes de fricción o de punta, considerando distintas condiciones de frontera en la punta de la pila, además de incluir de manera explícita tanto el amortiguamiento y módulo de Poisson del material del elemento, como el área de la sección transversal de la pila. Esta metodología consiste en un modelo en el cuál se define la pila como un conjunto de elementos axisimétricos. Tanto la pila, como el medio de desplante, se discretizan en la dirección vertical en un número de elementos dado, en los cuales se establece una variación lineal de los desplazamientos en la altura, definida solamente por el desplazamiento en los nodos extremos de dichos elementos. Estableciendo las condiciones de frontera pertinentes, en este caso transmisión perfecta de esfuerzos y desplazamientos entre el medio y la pila, se puede definir una ecuación de movimiento por cada grado de libertad en cada uno de los nodos. Más detalle acerca del desarrollo numérico del modelo se puede encontrar en Fernández et al. (2009). Esta metodología también permite conocer el estado de esfuerzos que se genera en el sistema, mediante la estimación de las fuerzas en cada uno de los j-ésimos nodos definidos en la discretización, tanto la fuerza en la dirección radial o normal como la fuerza en la dirección tangencial o cortante. Ambos componentes contribuyen en la misma proporción al empuje lateral. Conocidas las fuerzas nodales, el cortante y el momento al nivel z pueden calcularse por simple estática. Para determinar el valor de la rigidez dinámica del sistema cimentación-suelo cuando éste se sujeta a una excitación en la cabeza, es suficiente integrar el campo de esfuerzos producidos en el nodo de contacto entre el último estrato de la pila y el primer estrato del suelo base y sumarle la contribución del empuje lateral del suelo sobre las paredes del elemento. A este parámetro se lo conoce como función de impedancia y es ampliamente utilizado para el estudio del comportamiento de cimentaciones ante cargas laterales. Esta manera de determinar las funciones de impedancia con un acercamiento similar al que está planteado en el modelo, ha sido previamente implementada por Aguilar y Avilés (2007) para cimentaciones infinitamente rígidas. Cuando la pila esta descansada sobre la base rígida, la única aportación sobre la función de impedancia es la de las fuerzas desarrolladas sobre las paredes del elemento de cimentación.

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VALIDACIÓN Y COMPARACIÓN CON OTROS AUTORES VALIDACIÓN Para validar el modelo, se compararon los resultados obtenidos con la metodología propuesta con los resultados de otros autores presentados en términos de las funciones de impedancia horizontales de las cimentaciones. Se validó el método comparando con los resultados presentados por Luco y Westman (1971), para un disco superficial rígido, desplantado sobre un medio homogéneo de espesor finito que descansa sobre una base rígida. Los resultados para la parte real (kxx) y la parte imaginaria (cxx) de la función impedancia horizontal normalizada se presentan en la figura 1. Las gráficas se encuentran normalizadas con respecto a los valores para frecuencia cero.

Figura 1. Funciones de impedancia horizontales normalizadas, para un disco superficial rígido, calculadas por Luco y Westman (línea punteada) y la metodología propuesta (línea continua).

Estos resultados se reprodujeron con el método propuesto, considerando solamente que la zona rígida de la pila corresponde al primer nodo del sistema, teniendo así una pila de longitud cero.

Figura 2. Funciones de impedancia horizontales normalizadas, para un cajón rígido, calculadas por Kausel y Ushijima (línea punteada) y la metodología propuesta (línea continua).

)2/(0 sr πβω )2/(0 sr πβω

)2/(0 sr πβω )2/(0 sr πβω


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Posteriormente se reprodujeron las funciones de impedancia horizontales de un cajón rígido de profundidad finita, desplantado sobre un medio de espesor dado soportado sobre una base rígida. Los resultados con los que se validó son los presentados por Kausel y Ushijima (1979) que se muestran en la figura 2. Estos resultados se reprodujeron utilizando un contraste de velocidades de ondas de cortante muy alta entre el elemento de cimentación y el medio para reproducir la condición de una cimentación rígida. Se aprecia que nuevamente los resultados presentados por otros autores se reproducen de manera aceptable con la metodología propuesta en este trabajo. COMPARACIÓN CON OTROS AUTORES Para determinar las diferencias entre la metodología propuesta y modelos previamente utilizados, se comparó con los resultados presentados por Novak y Nogami (1977), que presentan la solución analítica para una pila con cabeza fija y sobre una base infinitamente rígida, desplantada en un estrato homogéneo, con amortiguamiento independiente de la frecuencia. Los resultados se presentan en términos de los coeficientes de rigidez horizontal (kxx) y de cabeceo (kψx) definidos como la parte real de la función de impedancia normalizada respecto a su valor estático y se grafican con respecto a la relación de frecuencias 0

~~ λλ , en donde λ~ es la frecuencia adimensional definida

por λλ 0~ H= y λ queda definida por la ecuación 1.

4

2

pp

p

IEm ω

λ = (1)

Donde

pm es la masa de la pila por unidad de longitud

pE es el módulo de elasticidad del material de la pila

pI es el momento de inercia de la sección trasversal de la pila

ω es la frecuencia Por otro lado, 0

~λ se refiere al valor de λ~ más bajo para el cual la rigidez de la pila simplemente apoyada en

ausencia de suelo tiende a cero. Para el caso de los coeficientes de rigidez horizontal 0~λ = 2.365, mientras que

para el caso de los coeficientes de rigidez a cabeceo 0~λ = 3.141.

Para el análisis de Novak y Nogami se definen los siguientes parámetros: pα = velocidad de ondas de

compresión en la pila, sβ = velocidad de ondas de cortante en el suelo y 00 rH = relación de esbeltez de la pila. Se analizaron cuatro casos con los valores presentados en la tabla 1.

Tabla 1. Parámetros de los distintos casos de estudio

Caso ps αβ 00 rH 1 0.002 15 2 0.01 15 3 0.002 30 4 0.01 30

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La comparación de los resultados para el componente horizontal se presenta en la figura 3.

Figura 3. Funciones de impedancia horizontal (kxx) calculadas con la solución analítica de Novak y Nogami (línea punteada) y el método propuesto (línea continua).

Se puede apreciar que la metodología propuesta reproduce de manera aceptable las formas generales de las curvas, solo que las variaciones estimadas por dicha metodología, son mayores que las que presenta la solución analítica de Novak y Nogami. Claramente para el caso de 1500 =rH con 002.0=ps αβ , los resultados varían de manera importante. Para los otros tres casos, aunque las gráficas no son idénticas, la concordancia entre la metodología propuesta y los resultados de Novak mejora notablemente, aunque sobreestimando los valores de la rigidez en altas frecuencias. Los resultados obtenidos para el componente de cabeceo se presentan en la figura 4. Para el caso de la rigidez de cabeceo los resultados siguen las mismas formas con ambas metodología, presentando las mayores diferencias para el caso de 1500 =rH con 002.0=ps αβ . La solución analítica presentada por Novak y Nogami introduce ciertas hipótesis y simplificaciones que difieren de las hipótesis utilizadas en la metodología propuesta. Por un lado, la solución analítica considera solamente el componente horizontal del desplazamiento, mientras que la metodología propuesta considera tres componentes del desplazamiento. Al parecer esta simplificación no tiene mucha influencia en el comportamiento horizontal de la pila, ya que los desplazamientos verticales ante incidencia vertical de ondas de cortante son casi nulos. Otra simplificación que introduce la solución analítica, es que caracteriza a la pila solo mediante su rigidez a flexión y su masa, sin considerar ni el amortiguamiento propio de la pila, ni la rigidez a cortante de la misma, la cual está asociada al área. Esta podría ser la diferencia fundamental que produce que ambos modelos den

0λλ 0λλ

002.0=ps αβ 01.0=ps αβ


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resultados distintos, ya que la metodología propuesta considera a la pila como un elemento con un área definida, lo cual introduce la rigidez tanto a corte como a flexión del elemento de cimentación.

Figura 4. Funciones de impedancia al cabeceo (kψx) calculadas con la solución analítica de Novak y Nogami (línea punteada) y el método propuesto (línea continua).

A medida que la pila es menos esbelta y más rígida con respecto al medio que la rodea, la aportación de la rigidez a cortante del elemento crece. Tal es el caso de 1500 =rH con 002.0=ps αβ en el que se presenta una pila con mayor rigidez a flexión, por lo cual se podría explicar las diferencias tan grandes para esta condición.

RESULTADOS NUMÉRICOS La excitación corresponde a la imposición de un desplazamiento armónico de amplitud unitaria en todo el rango de frecuencias, esto con la finalidad de realizar un análisis únicamente del sistema y poder identificar los efectos de los distintos parámetros en la respuesta. Los resultados se presentan en términos de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes normalizados 0(Q y )0M con respecto al valor máximo que para todos los casos se presenta al nivel de la cabeza de la pila. PILAS CON DISTINTAS RELACIONES DE ESBELTEZ EN UN MEDIO HOMOGÉNEO En primera instancia se analizan pilas con distintas relaciones de esbeltez. Se modelaron pilas de fricción con relación de velocidades de onda de cortante en la pila y en el suelo de 10=sp ββ , con tres diferentes

relaciones de esbeltez )( 00 rH de 10, 20 y 40 respectivamente. Las distribuciones de 0Q y 0M se presentan en la figura 5.

0λλ0λλ

002.0=ps αβ 01.0=ps αβ

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Figura 5. Distribución de fuerza cortante (Q0) y momento flexionante (M0) normalizados para pilas con relaciones de esbeltez (H0/r0) de 10, 20 y 40

Aquí se muestra como, a medida que la pila tiene una relación de esbeltez más baja, y por lo tanto una rigidez a flexión mayor, la porción de la pila sujeta a fuerza cortante y momento flexionante es mayor. Esto concuerda con el concepto de longitud activa de la pila, ampliamente utilizado en el diseño de pila, en el cuál se supone que la pila solamente va a desarrollar elementos mecánicos en una porción que depende de la rigidez relativa de la pila con respecto al medio en donde se encuentra desplantada. Por otro, lado se observa que tanto la fuerza cortante máxima como el momento flexionante máximo se producen en la cabeza de la pila. La expresión para determinar la longitud activa de las pilas está dada por la ecuación 2 (Nikolau et al. 2001):

0

41

5.1 dEE

Ls

pa ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ (2)

Si se sustituye la relación de esbeltez )( 00 rH en la ecuación 1 para expresar la longitud activa en términos

del porcentaje de la pila que se encuentra sujeta a esfuerzos )( 0HLa se tiene que:

0

0

41

0

10.3

rHE

EHL

s

pa⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ (3)

En este estudio se consideró que la densidad y la relación de Poisson de los materiales tanto de la pila como del suelo son iguales, por lo cual la ecuación 3 puede expresarse en términos de las velocidades de ondas de cortante como:

1000 =rH 2000 =rH 4000 =rH0M0Q


8

0

0

21

0

10.3

rHH

L

s

pa⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

ββ

(4)

Con esta expresión es posible definir el porcentaje de la longitud total de la pila )( 0HLa que se encuentra

sujeto a esfuerzos para distintas relaciones de esbeltez )( 00 rH . Los valores correspondientes a con una

relación de ondas de cortante 10=sp ββ se muestran en la tabla 2.

Tabla 2. Porcentaje de longitud activa de la pila en relación con la relación de esbeltez, para un contraste de velocidades de ondas de cortante βp/βs=10

00 rH 0HLa

10 0.95 20 0.47 40 0.24

Esta manera de expresar la longitud activa de las pilas pone de manifiesto que, pilas con iguales relaciones de esbeltez, independientemente de su tamaño, presentarán curvas normalizadas de fuerza cortante y momento flexionante iguales. Para mostrar esto, se presentan los resultados para dos pilas con relación de esbeltez

00 rH = 20 de distintos tamaños. La relación entre los radios de ambas pilas )( 0102 rr es de 2. Los

resultados de 0Q y 0M se presentan en la figura 6. En la figura se muestra que la distribución de fuerza cortante y momento flexionante son idénticas.

Figura 6. Distribución de fuerza cortante (Q0) y momento flexionante (M0) normalizados para dos pilas con relación de esbeltez H0/r0=20 y una relación de radios r02/r01=2

0M0Q

Pila 1 Pila 2

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MEDIOS CON DISTINTAS VELOCIDADES DE PROPAGACIÓN DE ONDAS Posteriormente se analizan pilas desplantadas en medios con distintas velocidades de onda de cortante. Se modelaron pilas de fricción con relación de esbeltez 00 rH =20, con tres diferentes relaciones de

velocidades de onda sp ββ de 10, 5 y 3.33. Los resultados se presentan en la figura 7. Las variaciones se presentan en términos de la longitud en la cual se desarrollan fuerzas cortantes y momentos flexionante. El valor de fuerza cortante y momento flexionante mayor se presenta siempre en la cabeza. Sustituyendo en la ecuación 4, es posible encontrar los porcentajes de longitud activa de los sistemas pila-suelo para distintos contrastes de velocidad de ondas de cortante sp ββ , para una relación de esbeltez

00 rH =20. Los resultados se presentan en la tabla 3.

Tabla 3. Porcentaje de longitud activa de la pila en relación con la relación de esbeltez, para un contraste de velocidades de ondas de cortante Η0/r0=20

sp ββ 0HLa

10 0.47 5 0.34

3.33 0.28 Aquí se observa que a medida que el contraste de rigideces entre la pila y el suelo que la rodea es menor, la longitud a lo largo de la cual la pila desarrolla fuerzas cortantes y momentos flexionantes es menor, manifestando que para el caso de pilas sujetas a excitación en su cabeza, el parámetro determinante en el comportamiento dinámico de la pila es la rigidez relativa de la pila con respecto al suelo que lo rodea.

Figura 7. Distribución de fuerza cortante (Q0) y momento flexionante (M0) normalizados para pilas con contraste de velocidades de onda βp/βs de 10, 5 y 3.3

0M0Q

10=sp ββ 5=sp ββ 3.3=sp ββ


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MEDIOS ESTRATIFICADOS Por último se realizó el análisis de pilas con las relaciones de esbeltez presentadas previamente, desplantadas en un medio compuesto de dos estratos. Las propiedades del estrato superior se referirán con el subíndice 1 y las del estrato inferior con el subíndice 2. Para el primer caso, la relación de velocidades de ondas de cortante entre la pila y el estrato superior es de

1sp ββ = 10. La relación de velocidad de ondas de cortante del estrato superior y el inferior es de 21 ss ββ =

0.5. El estrato superficial tiene una profundidad de 05.0 H . Los resultados se presentan en la figura 8.

Figura 8. Distribución de fuerza cortante (Q0) y momento flexionante (M0) normalizados para pilas con

relaciones de esbeltez H0/r0 de 10, 20 y 40 en un suelo estratificado. En el caso en el cuál el estrato superficial es más blando, se puede observar que si la longitud activa de la pila es menor a la profundidad del estrato, como es el caso para las relaciones de esbeltez de 20 y 40 (tabla 2), las distribuciones de fuerza cortante y momento flexionante no se ven afectadas de manera importante, mientras que para el caso en el cuál la longitud activa de la pila es mayor que el espesor del estrato blando ( 00 rH =5), la distribución de fuerzas se afecta, produciendo que estas se asemejen más a una variación lineal que a una variación parabólica como en el caso del estrato homogéneo. Para estudiar si el orden de los estratos influye de alguna manera en el comportamiento de la pila se estudia un sistema en el cuál la relación entre velocidades de ondas de cortante entre la pila y el estrato superior es de

1sp ββ = 5. La relación de velocidad de ondas de cortante del estrato superior y el inferior es ahora de

21 ss ββ = 2, por lo que en este sistema, el estrato superficial es más rígido. Los resultados se presentan en la figura 9.

Tabla 4. Porcentaje de longitud activa de la pila en relación con la relación de esbeltez, para un contraste de velocidades de ondas de cortante βp/βs=5

00 rH 0HLa

10 0.67 20 0.34 40 0.27

0M0Q

1000 =rH 2000 =rH 4000 =rH

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Es claro que si el espesor del estrato superficial es menor que la longitud activa de la pila, el resto de la estratigrafía no tiene ninguna injerencia. En la tabla 4 se muestran los porcentajes de longitud activa para distintas relaciones de esbeltez, para un contraste de velocidades de onda de cortante entre la pila y el suelo de

1sp ββ = 5. En estas gráficas se puede observar que la única implicación que tiene considerar un distinto orden en la posición de los estratos, es la reducción de la longitud activa de la pila, debido a que la rigidez relativa de la pila con respecto al estrato superficial es menor.

Figura 9. Distribución de fuerza cortante (Q0) y momento flexionante (M0) normalizados para pilas con relaciones de esbeltez H0/r0 de 10, 20 y 40 en un suelo estratificado.

CONCLUSIONES En el presente trabajo se propone una nueva metodología para estimar el comportamiento de pilas y pilotes cargados lateralmente. Esta metodología considera de manera explícita una mayor cantidad de parámetros geométricos y mecánicos de la pila o pilote que los modelos simplificados aquí estudiados. La metodología aquí propuesta permite considerar sin distinción, si el elemento es una pila o un pilote, ya que las hipótesis que utiliza son independientes del diámetro del elemento. Es por ello se refiera a pilas de manera genérica. Las principales diferencias entre el método propuesto en este trabajo y los métodos simplificados son, por un lado, la posibilidad de incluir el amortiguamiento propio del material del que está compuesta la pila, además, se considera la contribución de la rigidez por cortante del elemento de cimentación, y por último, se considera la influencia del componente vertical del movimiento debida a la rotación de la pila. Se presenta la comparación de los resultados del modelo propuesto con modelos previamente desarrollados. En los modelos presentados por Kausel y Ushijima (1979) y Luco y Westmann (1971), se supone que la cimentación es infinitamente rígida, por lo cual la deformación del elemento no tiene influencia en la respuesta del sistema. Es por esto que los resultados reportados por dichos modelos son reproducidos de manera aceptable.

0M0Q

1000 =rH 2000 =rH 4000 =rH


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Por otra parte, en los modelos en los cuales se considera la deformación propia de pila (Novak y Nogami 1977), las diferencias entre los resultados reproducidos por la metodología propuesta y el modelo simplificado son mayores, sobre todo para el caso en el que la pila presenta un valor mayor de rigidez con respecto al suelo. Estas diferencias pueden adjudicarse al hecho de que a medida que la pila presenta una rigidez mayor, la aportación a la deformación de la pila de la rigidez al corte es más grande. Por otro lado, se corrobora que la forma de la distribución de los elementos mecánicos en la pilas varía básicamente con la rigidez relativa de la pila respecto a la rigidez del suelo. Éste término depende tanto de la relación de esbeltez de la pila y del contraste de velocidades de ondas de cortante de los materiales que constituyen el elemento y el suelo. La distribución de elementos mecánicos para sistemas pila-suelo con igual relación de esbeltez y relación de velocidades de ondas de cortante son idénticas, independientemente del tamaño de la pila. Se introduce una expresión para determinar el porcentaje de longitud activa de la pila, definido como la porción del elemento que se encontrará sujeto a fuerzas y momentos. Este parámetro depende únicamente del contraste de rigideces de los materiales y la relación de esbeltez de la pila. Esta expresión pone de manifiesto que a medida que la rigidez relativa de la pila con respecto al suelo es mayor, la porción del elemento que se encontrará sujeta a esfuerzos será mayor. En cuanto a la presencia de medios estratificados, se muestra que solamente influyen en el comportamiento de la pila, aquellos estratos que se encuentren incluidos dentro de la longitud activa de la pila.

AGRADECIMIENTOS

Se agradece a la Coordinación de Estudios de Posgrado de la UNAM y al Instituto de Ingeniería de la UNAM los recursos y las facilidades otorgadas para la realización de este trabajo.

REFERENCIAS

Aguilar, H.R. y Avilés, J. (2007), “Rigideces Dinámicas para Pilas y Pilotes en Depósitos de Suelo Estratificado”, XVI Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, SMIS, Articulo III-08. Fernández, L., Avilés, J. y Murià, D. (2009) “Distribución de los Elementos Mecánicos Producidos por la Interacción Cinemática en Pilas de Gran Diámetro ante Solicitaciones Sísmicas”, XVI Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica – SMIS. Kausel, E. y Ushijima, R.A. (1979), “Dynamic Vertical and Torsional Stiffness of Cylindrical Footings”, M.I.T. Research Report R79-6, Massachusetts Institute of Technology. Luco, J.E. y Westmann, R.A. (1971), “Dynamic Response of Circular Footings”, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 97, No. EM5, 1381. Nikolau, S., Mylonakys, G., Gazetas, G. y Tazoh, T. (2001), “Kinematic Pile Bending During Earthquakes: Analysis and Field Measurements”, Geotechnique 51, No. 5, pp. 425-440. Novak, M. y Nogami, T. (1977) “Soil-pile interaction in horizontal vibration”, International Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 5, pp. 263-281.

Poulos, H.G. (1971) “Behavior Of Laterally Loaded Piles: I-Single Piles”, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, Vol. 97, No. 5, May 1971, Pp. 711-731.

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