sociedad mexicana de ingeniería estructural, a.c. 032 · basada en la teoría de vigas, con la...

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA A LA OBTENCIÓN DE LA RIGIDEZ ELÁSTICA DE ELEMENTOS DE SECCIÓN VARIABLE

Fernando Monroy Miranda1

RESUMEN El Análisis Estructural de sistemas de barras donde algunas de ellas presentan sección transversal variable ha merecido cierta atención por parte de los especialistas en la materia. Desde hace varias décadas, pocos son los profesionales que han dedicado parte de su esfuerzo en la representación analítica del modelado de miembros de sección variable, a lo sumo, se han propuesto y utilizado métodos prácticos que en la mayoría de los casos resultan ser bastante burdos debido a las simplificaciones que han involucrado, quizá, con la única justificación de poder utilizar los programas de computo comúnmente conocidos, los cuales incluyen mayormente en sus librerías a elementos de sección constante.

En la actualidad, sólo unos cuantos programas comerciales incluyen el tratamiento de muy pocos casos de barras de sección variable. Pese a que, desde hace varios años, se ha presentado una formulación adecuada basada en la teoría de vigas, con la aplicación del método de las flexibilidades para la obtención de los coeficientes de rigidez de barras elásticas tridimensionales de sección variable, y el de la viga conjugada para la obtención de los giros de fijación y momentos de empotramiento. En dicha formulación se establece la necesidad de realizar la integración algebraica a lo largo de toda la barra, la cual puede resultar bastante complicada o tediosa cuando la sección transversal de la barra presenta variaciones en sus dimensiones.

Partiendo de los coeficientes de flexibilidad, la obtención de los coeficientes de rigidez junto con los momentos de empotramiento en de barras de sección variable son un claro ejemplo para la aplicación de la integración numérica.

Por lo anterior, en este artículo presento, en resumen, los resultados del método de las flexibilidades aplicado a la obtención de esos coeficientes de flexibilidad, y la aplicación de la regla de Simpson de 1/3 para la evaluación numérica de las integrales. Con fines prácticos desarrollé un programa de computadora que incorpora la integración numérica para la obtención, tanto de los coeficientes de flexibilidad como de las rigideces elásticas y momentos de empotramiento de barras tridimensionales de sección variable, elementos indispensables para un Análisis Estructural de sistemas con este tipo de barras, con el programa se resolvieron varios ejemplos, cuyos resultados se compararon con la solución presentada utilizando otras herramientas y criterios, hasta cierto punto, de uso común en el medio. Algunos de esos ejemplos son incluidos en este reporte.

Con objeto de homogeneizar la presentación de los artículos, se propone este formato general. En él se indican los principales lineamientos que los artículos técnicos deben tener y se enumeran los principales elementos que cada artículo debe contener para su publicación.

ABSTRACT In this paper I show the results of the flexibilities method applied for the obtaining of the flexibility coefficients, and the application of Simpson rule (1/3) for the numeric evaluation of the integral to obtain those. With practical purposes, I developed a computer program that incorporates the numeric integration for obtaining, the flexibility coefficients, the elastic rigidities and fixed-end moments of three-dimensional

1 Profesor, Departamento de Estructuras de la DICTyG de la Fac. de Ing. de la UNAM. Circuito exterior Cd.

Universitaria, 05810, México, D.F. Teléfono: 5622-8002 [email protected]

33

032

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

nonprismatic members, all of those are very important and useful for an Structural Analysis in structures with this kind of bars. Using this program some examples were solved whose results were compared with other solutions that used another criteria and tools, that are in common use in the environment. Some of these examples are included in this report.

INTRODUCCIÓN

Han sido varios los intentos por resolver, con cierto grado de aproximación, el análisis de barras de sección variable (ver figura 1). Uno de esos, quizá el más conocido en el medio, generó las tablas de rigideces y momentos de empotramiento de elementos de sección variable(“Handbook”, Portand Cement Association, 1958). También existe, en numerosos textos sobre Análisis Estructural, la solución de determinado tipo de problemas en donde intervienen barras de sección transversal variable, sin embargo, algunos investigadores proponen métodos bastante aproximados, como por ejemplo, dividir a la barra de sección variable en sólo unos cuantos segmentos prismáticos, y utilizar las propiedades geométricas medias de cada segmento para poder utilizar un programa de Análisis Estructural que sólo permite incluir elementos elásticos prismáticos, siendo esta, una tendencia casi generalizada.

Y

XZ

X

Y

Z

x

h(x)h

L

Figura 1. Barra de sección variable (cartelas en sus extremos).

En la mayoría de las formulaciones, y para ciertos casos, las simplificaciones utilizadas (no considerar deformación axial ni por cortante) pueden conducir a resultados que incluyen errores significativos en la determinación de la rigidez, como lo anotan Mezani y colaboradores (1991), Tena (1997), entre otros.

Afortunadamente, varios son los autores que proponen procedimientos teóricos bien fundamentados, por ejemplo, Just (1977), Shreyer (1978), Medwadowski (1984), Brown (1984), Yang y Yau (1987), Takabatake (1990), Rajasekaran (1994) y en nuestro país, parece ser que desde la década de los 70’s, el Ing. Julio E. Damy Ríos (q.e.p.d.) incluyó en su cátedra de Análisis Estructural, tanto a nivel licenciatura como en el postgrado en la Fac. de Ingeniería de la UNAM, los fundamentos teóricos para el análisis de barras de sección variable.

Aunque existe la teoría bien fundamentada para la solución de este tipo de problemas, todavía no se incorpora totalmente en la mayoría de los programas comerciales para Análisis y Diseño Estructural, ya que, cuando mucho, algunos de ellos sólo manejan unos cuantos casos de barras con sección variable, y los menos, permiten introducir, como datos, los coeficientes de rigidez de las barras, por lo que, parece ser que las únicas opciones viables para el usuario de esos programas son discretizar a la barra de sección variable en una serie de elementos prismáticos, o utilizar los factores proporcionados en las tablas de la PCA, o mucho mejor aplicar las tablas y soluciones cerradas, que para algunos casos de sección variable, propone Tena (1997). Sin embargo, esta última opción (referencias 6 y 8) tiene el inconveniente de que las soluciones cerradas presentadas, sólo incluyen sección transversal variable cuadrada, rectangular y circular, y las tablas y gráficas sólo secciones T e I acarteladas (con variación lineal), obteniendo solo las rigideces debidas a flexión no presentando soluciones para la rigidez torsional ni axial, ni para las rigideces angulares alrededor del eje

34

032


perpendicular al eje principal de flexión todas ellas necesarias para un análisis tridimensional y, en cuanto a los momentos de empotramiento solo los presenta para carga concentrada y uniforme en todo el claro.

El propósito de este trabajo es presentar la aplicación de reglas de integración numérica para evaluar los elementos de las matrices elásticas de rigidez bidimensionales y tridimensionales de barras de sección variable. Además, desarrollar un programa de computadora que permita, prácticamente, evaluar esos elementos para algunos tipos de variación de propiedades y formas típicas de la sección transversal de la barra. MATRICES DE RIGIDEZ Y MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO DE BARRAS CON SECCIÓN TRANSVERSAL VARIABLE Desde hace ya varios años, Damy (1981), basándose en la teoría clásica de vigas, aplicó el método de las flexibilidades para la obtención de los coeficientes de flexibilidad de elementos de sección variable, resultando en un formato sencillo para su evaluación directa o para su programación por computadora. Tena (1997) hizo una presentación completa del método, cuyos resultados sirven de base a este trabajo, por lo que, con pequeños cambios, se reproducen a continuación. En la figura 2 se muestra el significado de algunos términos de la matriz de flexibilidad para elementos barra bidimensionales. Las expresiones (2) a (5) permiten calcular esos términos.

1 2

L

f11

Y

1 X

1 2

L

Y

1 2

L

X

Y

1

f22

f32

a) Fx = 1

1 2

L

X

1 2

L

X

1 f33

b) Fy = 1 c) Mz = 1

f23

Figura 2. Términos de la matriz de flexibilidad de una barra bidimensional

La matriz de flexibilidades [f] queda expresada como:

[ ]

=

3332

2322

11

00

00

ffff

ff (1)

)(011 xEAdxf

L

∫= (2)

)()( 0

2

022 xGAdx

xEIdxxf

cy

L

z

L

∫∫ += (3)

35

032


32023 )(f

xEIxdxf

z

L==∫ (4)

)(033 xEI

dxfz

L

∫= (5)

Ahora, en la figura 3 se muestra el significado de algunos términos de la matriz de flexibilidad para elementos barra tridimensional, y las expresiones (7) a (16) permiten evaluar los términos involucrados.

1

Y

XZ

1

1

2

Y

X

Zf35

f55

1

a) Mz = 1

2

Y f44

1

Z

c) Mx = 1b) Fz = 1

f33

f53

Figura 3. Algunos términos de la matriz de flexibilidad de una barra tridimensional

(6) [ ]

−

−=

6662

5553

44

3533

2622

11

00000000000000000

000000000

ffff

fff

fff

f

)(011 xxEA

dxfL

∫= (7)

)()( 0

2

022 xAdx

xEIdxzf

cy

L

z

L

∫∫ += (8)

)(026 xEl

xdxfz

L

∫= (9)

)()( 0

2

033 xGAdx

xEIdxzf

cz

L

y

L

∫∫ += (10)

36

032


)(035 xEl

xdxfy

L

∫= (11)

)(044 xGJ

dxfL

∫= (12)

)(055 xEl

dxfy

L

∫= (13)

)(066 xEl

dxfz

L

∫= (14)

(15) 3553 ff =

(16) 2662 ff =

Una vez evaluada la matriz de flexibilidades y aprovechando su porosidad, la de rigidez se puede obtener invirtiendo las submatrices de aquella. Para un elemento barra de dos extremos (nudos 1 y 2), la matriz de rigidez global referida al sistema de coordenadas locales (x, y y z) del elemento se expresa como:

(17) [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=

2221

1211

kk

kkk

Concretamente, para el caso en 2 dimensiones, las submatrices de rigidez de la ecuación anterior se expresan de la siguiente manera:

[ ]

=

11

11

00

00

rrrr

rk

ab

abaa

ax

(18)

(19) [ ]

−−

−=

12

12

00

00

rrrr

rk

ab

baaa

ax

(20) [ ]

−=

22

22

00

00

rrrr

rk

ab

baaa

ax

(21) [ ] [ ]Tkk 1221 = En donde, para la evaluación de los elementos de las ecuaciones anteriores se pueden utilizar:

37

032


11

1f

rax = (22)

(23) 2233322 fffDet −=

Detf

r 2211 = (24)

Det

fLfr 222312

−= (25)

Det

fLfLfr 2223

233

222 +−

= (26)

2122211 2

Lrrr

raa+

= (27)

L

rrrab

1211 += (28)

L

rrrba

1222 += (29)

Ahora, para el caso tridimensional, las submatrices de rigidez de la ecuación 17 contienen los siguientes términos:

(30) [ ]

−

−=

zabz

yaby

j

abyaay

abzaaz

ax

rrrr

rrr

rrr

k

11

11

11

00000000000000000

000000000

[ ]

−

−−−

−−

=

zabz

yaby

j

bayaay

bazaaz

ax

rrrr

rrr

rrr

k

12

12

12

00000000000000000

000000000

(31)

38

032


[ ]

−

−

=

zbaz

ybay

j

bayaay

bazaaz

ax

rrrr

rrr

rrr

k

22

22

22

00000000000000000

000000000

(32)

[ ] [ ]Tkk 1221 = (33)

Para la evaluación de los elementos de las ecuaciones anteriores se pueden utilizar:

11

1f

rax = (34)

44

1f

r j = (35)

(36) 2

266622 fffDetz −=

z

z Detf

r 2211 = (37)

z

z DetfLf

r 222612

−= (38)

z

z DetfLfLf

r 22262

6622

2 +−= (39)

2122211 2

Lrrr

r zzzaaz

++= (40)

L

rrr zzabz

1211 += (41)

L

rrr zzbaz

1222 += (42)

(43) 2

355533 fffDet y −=

y

y Detf

r 3311 = (44)

39

032


y

y DetfLf

r 333512

−= (45)

y

y DetfLfLf

r 33352

5522

2 +−= (46)

2122211 2

L

rrrr yyyaay

++= (47)

L

rrr yyaby

1211 += (48)

Lrr

r yybay

1222 += (49)

Los profesionales del Análisis y Diseño Estructural, saben que la variación de las propiedades geométricas y elásticas de la barra, también trae como consecuencia que, en general, se modifiquen los momentos y fuerzas de fijación (ver figura 4) con respecto a los conocidos para barras prismáticas.

Y

XZ

M1z M2z

F1y F2y

Figura 4. Fuerzas y momentos de fijación

Las expresiones siguientes (Tena 1997) proporcionan los giros de fijación (ver figura 5) para una barra de sección transversal variable doblemente empotrada, sujeta a una condición de carga general contenida en su plano principal de flexión.

dxxGA

Vdx

xEIxM

L cy

yL

z

zLz )()(

1 0

00

02 ∫∫ +=θ (50)

zz

zLz dx

xEIM

20

01 )(θ−=θ ∫ (51)

40

032


Y

XZ

θ2zθ1 z

Y

XZ

M2z

F1y F2y

M1z

Y

XZ

M2zM1zθ1 z θ2 z

Figura 5. Giros de fijación

En las ecuaciones anteriores, M0z y V0y son las funciones de momento flexionante y fuerza cortante respectivamente, ambas producidas por el sistema de cargas actuante sobre la viga simplemente apoyada. Con los giros de fijación obtenidos, los momentos de empotramiento correspondientes al sistema de carga actuante (ver figura 6), se pueden obtener utilizando las expresiones siguientes

(52) zzzzz rrM 2121111 θ−θ=

zzzzz rrM 1122222 θθ −= (53)

θ1 zX

Z

r12z θ1z

θ2 zθ1z

Y

XZ

M2zM1z

θ2 z

XZ

r22z θ2z

r11z θ1 z

Y

Y

r12z θ2z

Figura 6. Momentos de empotramiento en función de los giros de fijación

APLICACIÓN DE REGLAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA La evaluación de los elementos de las matrices de flexibilidades así como los giros de fijación definidos en el punto anterior requiere del proceso matemático de integración. Para elementos de sección variable, en la

41

032


mayoría de los casos, el realizar la integración analítica resulta bastante tedioso y poco práctico, por lo que es más adecuado la aplicación de integración numérica, también sugerida por Damy (1986). Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica más comunes (Chapra y Canale, 1999), estas se basan en la estrategia de remplazar una función complicada o datos tabulados por una función aproximada que sea fácil de integrar.

∫ ∫≅=b

a

b

a n dxxfdxxfI )()( donde f(x) = función a integrar fn(x) = polinomio de la forma fn(x) = a0 + a1x +.............+ an-1xn-1 + anxn n = orden del polinomio De esas fórmulas las que tienen aplicación a este problema son las cerradas, ya que se conocen los datos (valor de la función) al inicio y al final del intervalo de integración. Como es de suponerse, al remplazar la función original por otra, se produce un error en el resultado (evaluación de la integral). Una forma de mejorar la exactitud de las reglas de integración es dividir el intervalo de integración en un número de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos, dando como resultado ecuaciones llamadas fórmulas de integración de múltiple aplicación o compuestas. Por conveniencia y sencillez, si consideramos que los datos están uniformemente espaciados (segmentos en que se divide el intervalo de integración del mismo tamaño), por su sencillez la regla trapecial puede ser la primera de las fórmulas de integración cerrada aplicable al problema por resolver, esta regla utiliza un polinomio de primer orden como función que reemplaza a la que se va a integrar (figura 7a), una manera de obtener una estimación más exacta de una integral se logra haciendo una segmentación más fina (segmentos de menor tamaño), la otra es usar polinomios de orden superior para conectar los puntos, esta última da como resultado las conocidas fórmulas de Simpson; la de 1/3 y 3/8, resultan cuando se utilizan polinomios de segundo (figura 7b) y tercer orden respectivamente.

f(x)

a b

f(x)

x

a b

x

fn (x) = a 0+ a1x fn (x) = a0+ a1x + a2x2

a) Aproximación lineal b) Aproximación cuadrática

Figura 7. Funciones de aproximación fn(x) a la función f(x)

La regla de Simpson de 1/3 es, a menudo, el método de preferencia (Chapra y Canale, 1999), ya que alcanza una exactitud de tercer orden con sólo tres puntos en comparación con los cuatro puntos requeridos por la de 3/8, por lo anterior es la que se utilizó en este trabajo para evaluar numéricamente las expresiones relativas a los coeficientes de flexibilidad, razón por la cual se reproduce a continuación.

42

032


Consideremos ajustar 3 puntos de ordenadas f0, f1 y f2 (ver figura 8) igualmente espaciados en una cantidad

a una ecuación de 2x∆ do. grado, cuya forma general es

(54) cbxaxy ++= 2

f(x)

X

f 0f 1

f 2f 3

f 4f 5 f 6

fn (x)

A 4-6 A 0-2 A 2-4

f n

f n -1

∆x ∆x∆x ∆x

Figura 8. Aplicación de la integración compuesta

Determinemos el valor de a, b, y c para que la función se satisfaga, por ejemplo, en 0, ∆x y 2∆x a f0, f1 y f2 respectivamente, es decir:

(55) cbafyy ++=== )0()0()0( 200

por lo que:

0fc = (56)

(57) 02

1 )()()( fxbxafxy +∆+∆==∆

(58) 02

2 )2()2()2( fxbxafxy +∆+∆==∆ resolviendo las 2 ecuaciones anteriores tenemos:

2012

)(22

xfff

a∆

+−= (59)

( 021 342

1 fff )x

b −−∆

= (60)

Por lo que la ecuación (54) finalmente queda:

43

032


( ) 00212

2012 34

21

)(22

fxfffx

xx

fffy +−−

∆+

∆+−

= (61)

Ahora, el área bajo la curva limitada por las ordenadas f0 y f2 se obtiene integrando la función anterior (ecuación 61) y evaluándola del intervalo 0 a x∆2

( )xx

xfxfffx

xx

fffydxA

∆∆

−

+−−

∆+

∆+−

== ∫2

00

2021

32

0122

020 34

41

)(62

(62)

( xfffA ∆++=− 21020 431 ) (63)

Para los siguientes tres puntos de ordenadas (figura 8) 432 y, fff

( xfffA ∆++=− 43242 431 ) (64)

Enseguida, el área entre las ordenadas f4, f5 y f6 es:

( 65464 431 fffA ++=− ) (65)

El área total comprendida entre los puntos igualmente espaciados de ordenadas f0 a f6 es:

644220 −−− ++= AAAA (66)

( ) xfffffffffA ∆++++++++= 654432210 44431

(67)

( ) xfffffffA ∆++++++= 6543210 4242431

(68)

Extendiendo la expresión anterior para n puntos, finalmente se obtiene:

( )( ) xffffA nnparesnones ∆+++= ∑ ∑ −20 2431

(69)

donde n = número puntos, múltiplo de 2 (más la ordenada inicial f0)

Para la obtención de los giros de fijación y momentos de empotramiento, utilizando integración numérica, son necesarios como datos, valores de las funciones de elementos mecánicos (fuerza cortante V y momento flexionante M), así, una de las maneras más convenientes de lograrlo, utilizando como herramienta a la computadora, es haciendo uso de las funciones de singularidad (función escalón y función rampa, ver figura 9).

44

032


Pptsf

Eaa

D 4

032

x

a0

k 0

F 0

x

a0

k 1

F 1

1

F = k < x - a >00

F = k < x - a >11

Figura 9. Función escalón y función rampa

ara una carga concentrada P aplicada a una distancia a, una uniforme w entre los puntos b y c (medidos a artir del extremo izquierdo de la barra), y un momento concentrado M aplicado a una distancia d (medida ambién a partir del extremo izquierdo de la barra, ver figura 10), la aplicación de las funciones de ingularidad conducen a las siguientes expresiones para la obtención de la fuerza cortante V(x) y el momento lexionante M(x).

V<x> = P <x – a>0 + w <x – b>1 – w <x – c>1 (70)

M<x> = P <x – a>1 + 0.5 w <x – b>2 – 0.5 w <x – c>2 + M<x – d>0 (71)

n las ecuaciones anteriores, el término <x – a>, <x – b>, <x – c> o <x – d> es cero cuando x es menor que , b, c o d respectivamente, e igual a (x – a), (x – b), (x – c) o (x – d) en caso contrario. Cuando sobre la viga ctúen varias fuerzas las ecuaciones 70 y 71 se aplicaran repetidamente.

Y

XZ

w

P

M

V(x)

M(x)

ab

cd

x

Figura 10. Tipos de fuerzas actuando sobre una barra de sección variable

ESARROLLO DEL PROGRAMA

Con lo anterior en mente, se desarrolló el programa SECVAR5 en lenguaje QUICK-BASIC versión .0 que incluye la posibilidad de manejar a la barra formada por una serie de segmentos (ver figura 11) y para

45


cada uno de ellos con diferente forma de su sección transversal, el programa SECVAR5 acepta segmentos de sección transversal: “I”, “T”, rectangular, trapecial, circular, rectangular hueca, trapecial hueca y circular hueca (ver figura 12); con ancho y peralte constante o con variación lineal o parabólica entre sus extremos(ver figura 13).

X

Y

Z

x

h(x)

h

parábola

Figura 11. Barra de sección variable formada por una serie de segmentos

Aunque el programa resultó bastante compacto, pero por cuestiones de espacio, su listado no se incluyó en este documento, sin embargo, se puede solicitar en el Departamento de Estructuras de la DICTyG de la Fac. de Ing. de la UNAM o a la dirección electrónica [email protected] en donde también, apreciable lector, me puede enviar sus comentarios y sugerencias al respecto los cuales agradezco anticipadamente.

Bi

H

Bi=0

H

t=0

ts

Bs

Bs

H

Bs=0 Bi=0 t=0

H

Bi=0

Bs

t

ts

ts

ts

Bs

H

Bi=0 ts=0 t=0

H

Bs=0 Bi=0 ts=0 t=0

t

Bi

H

ts=0 t=0

Bs

ts

ts

Bi

H

Bs

t

ts

ts

Figura 12. Algunas formas usuales para la sección transversal de una barra de sección variable

46

032


Z

X

Z

Xbi

ci

ai

Y Y

Xhi

gi

ai

Figura 13. Segmento de barra con ancho y peralte variable

EJEMPLOS Para la solución de cada uno de los siguientes ejemplos, se preparó el archivo de datos y se ejecutó el programa SECVAR5 con el que se obtuvieron los coeficientes de flexibilidad (ecuaciones 7 a 16), de rigidez (ecuaciones 34 a 49) así como los giros de fijación y momentos de empotramiento (ecuaciones 50 a 53). Para cada ejemplo se reproducen algunos de los resultados proporcionados por el programa SECVAR5. Ejemplo 1. Determine los coeficientes de rigidez y momentos de empotramiento de la viga mostrada en la figura 14.

Y

X

Z

X

Y

Z

x

h(x)h=1m

L=10m

h=2m

b=0.3m E=2,210,000 Ton/m 2 υ

10 Ton

2 Ton/m

2 1

= 0.25

Figura 14. Barra de sección transversal rectangular con peralte variable

La tabla 1 contiene algunos resultados proporcionados por el programa SECVAR5 para el ejemplo 1, de la cuarta columna en adelante se muestra, en el renglón correspondiente, el cociente de la rigidez obtenida considerando un cierto número de puntos (n) entre la rigidez obtenida considerando 36 puntos para la integración numérica utilizando la regla de Simpson de 1/3, las rigideces incluyeron el efecto de la deformación por cortante. Como se mencionó, una segmentación más fina conduce a una mejor estimación en la evaluación de la integral, obsérvese que, para este caso, no se requiere de gran cantidad de puntos para lograr lo anterior, pero, en caso extremo (para la regla de Simpson de 1/3), si sólo se consideran 2 puntos en el proceso de integración numérica, pueden obtenerse diferencias de hasta un 30 y 50% en la estimación de las rigideces y momentos de empotramiento respectivamente.

47

032


Ahora, en la tabla 2 se muestra la influencia de la deformación por cortante, a partir de la cuarta columna se presenta la variación del cociente de la rigidez obtenida sin considerar deformación por cortante, entre la obtenida considerando ese tipo de deformación. Para ambas rigideces se utilizaron 36 puntos en la integración numérica utilizando la regla de Simpson de 1/3. Como anotan varios autores (Damy, Tena, etc.) y entendido por los especialistas en el tema, ese cociente aumenta con el incremento en la relación peralte a claro, para este caso, si esa relación es mayor de 0.4, pueden tenerse diferencias en la estimación de las rigideces de 40% y mucho más, sin embargo, para los valores anteriores, las diferencias en los momentos de empotramiento no sobrepasan el 12%. Finalmente, en la tabla 3 se muestran los resultados correspondientes al enunciado del ejemplo, las unidades empleadas fueron toneladas y metros, y los resultados incluyen el efecto de la deformación por cortante.

Tabla 1. Influencia del tamaño del intervalo de integración y de la relación peralte-claro(ejemplo 1) h1/L h2/L n r11z r12z r22z raaz rabz rbaz r11y r12y r22y raay raby rbay M1z M2z R1 R2

0.1 0.2 2 0.81 0.68 0.88 0.81 0.76 0.84 0.96 0.93 0.97 0.96 0.95 0.96 0.50 1.47 0.77 1.174 0.97 0.96 0.98 0.97 0.97 0.98 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.93 1.04 0.98 1.026 0.99 0.99 1.00 0.99 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.03 0.99 1.01

12 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0018 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0024 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0036 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.2 0.4 2 0.84 0.69 0.91 0.84 0.78 0.86 0.96 0.93 0.97 0.96 0.95 0.96 0.58 1.44 0.80 1.154 0.98 0.96 0.99 0.98 0.97 0.98 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.94 1.04 0.98 1.016 0.99 0.99 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.03 0.99 1.01

12 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0018 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0024 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0036 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.4 0.6 2 0.96 0.87 0.97 0.95 0.94 0.96 0.99 0.98 0.99 0.98 0.98 0.98 0.89 1.32 0.90 1.084 1.00 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.01 1.00 1.006 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.02 1.00 1.00

12 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0018 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0024 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0036 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Tabla 2. Influencia de la deformación por cortante (ejemplo 1)

h1/L h2/L n r11z r12z r22z raaz rabz rbaz r11y r12y r22y raay raby rbay M1z M2z R1 R2

0.1 0.2 36 1.039 1.099 1.056 1.065 1.065 1.065 1.002 1.004 1.002 1.003 1.003 1.003 0.970 1.025 0.987 1.0090.2 0.4 36 1.145 1.437 1.218 1.262 1.262 1.262 1.002 1.004 1.002 1.003 1.003 1.003 0.906 1.091 0.958 1.0320.4 0.6 36 1.400 2.730 1.537 1.742 1.742 1.742 1.002 1.004 1.002 1.003 1.003 1.003 0.892 1.119 0.953 1.042

Tabla 3. Valores de las rigideces, fuerzas y momentos de empotramiento (ejemplo 1)

n rax rj r11z r12z r22z raaz rabz rbaz r11y

36 95,650.7 990.4 36,491.9 28,784.0 101,768.2 1,958.3 6,527.6 13,055.2 2,413.3

n r12y r22y raay raby rbay M1z M2z R1 R2

36 1,417.6 3,405.1 86.5 383.1 482.3 18.03 42.75 12.53 17.47

48

032


Ejemplo 2. Obtener los coeficientes de rigidez y los momentos de empotramiento de la viga que se muestra en la figura 15.

Y

X

Z

h=0.3m

b=0.3m

E=2,210,000 Ton/m 2

υ

4.5 Ton1

2

parábola

parábola h=1.2m

h=0.3m

1.2 m

2.4 m

2.4 m

h=0.6m

2.4 m

6 m

=0.25

Figura 15. Barra de sección transversal rectangular con peralte variable(parabólico) en los segmentos

extremos y constante en el central Algunos resultados obtenidos con el programa SECVAR5 los podemos ver en la tabla 4 (con una estructura muy similar a la de las anteriores), las rigideces fueron solicitadas considerando 12 y 24 puntos para la integración numérica utilizando la regla de Simpson de 1/3. Para este ejemplo, el no incluir el efecto de la deformación por cortante induce diferencias de menos de 3% en las rigideces, respectivamente, los momentos y fuerzas de empotramiento resultaron prácticamente iguales. Al final de la tabla 4, se muestran algunos de los resultados arrojados por el programa SECVAR5, producto de reemplazar la variación parabólica de los extremos de la barra de este ejemplo por una lineal. Como puede observarse, el cambio anterior trae como consecuencia serias diferencias en las rigideces y momentos de empotramiento, encontrándose entre 10 y 64% para las primeras y de hasta un 20% para los últimos. Ejemplo 3. Obténgase los coeficientes de rigidez y momentos de empotramiento de la viga mostrada en la figura 16. Algunos resultados obtenidos con el programa SECVAR5 se muestran en la tabla 5, en ella podemos ver, además de las rigideces y momentos de empotramiento obtenidos con y sin el efecto de la deformación por cortante la influencia de este último, que induce diferencias de menos de 3% tanto en las rigideces como en los momentos y fuerzas de empotramiento.

49

032


Y

XZ

M1z M2z

F1y F2y5 m 5 m 2.5 m

h=1.2m

h=0.8m h=0.6m

2 Ton/m1 Ton/m 1 Ton/m

5 Ton

10 Ton

t=2.5 cm

50 cm

h=variable

Sección transversal

E=20,390,000 Ton/m2

υ

lineal

=0.3

Figura 16. Barra de sección transversal “I” de peralte variable(lineal)

COMPARACIÓN CON LA SOLUCIÓN OBTENIDA POR OTROS AUTORES Con objeto de comparar algunos de los resultados producidos por el programa SECVAR5, se buscó en la bibliografía investigada la solución a los ejemplos del punto anterior.

El ejemplo uno sólo pudo resolverse parcialmente utilizando la tabla 55 de la PCA (ref. 2), por lo que se procedió a obtener su solución utilizando el programa STAAD (ref. 20) y debido a que las versiones consultadas de este programa no consideran barras cuya variación de la sección transversal sea como la del ejemplo, la barra se tuvo que discretizar en una serie de segmentos (10 en total, figura 17) de sección transversal uniforme conectados entre sí, asignándoles a cada uno de ellos las propiedades geométricas medias correspondientes, tomando en cuenta la variación de propiedades.

Figura 17. Ejemplo 1, segmentos de sección constante para uso del programa STAAD (ref. 20). El ejemplo 1 también se resolvió mediante el programa SAP2000 (ref. 22). En esos programas (SECVAR5, STAAD y SAP2000) se incluyó el efecto de la deformación por cortante. En la tabla 6 pueden verse los resultados obtenidos con las diferentes herramientas, en ella se observa que existen mínimas diferencias en las rigideces angulares alrededor del eje y de la barra proporcionadas por las

50

032


cuatro herramientas, y de no más de 3% para los demás resultados obtenidos con los programas STAAD, SAP2000 y SECVAR5.

El ejemplo 2 también sólo pudo resolverse parcialmente utilizando la tabla 12 de la PCA (ref. dos). Este ejemplo fue tomado de la referencia uno, de ahí se tomaron algunos resultados que se incluyen en este documento. En la parte media de la tabla seis se observa que, utilizando las tres herramientas para el cálculo de las rigideces angulares alrededor del eje z existen diferencias mínimas (de no más de 3%). En el caso de los momentos de empotramiento las diferencias entre los resultados proporcionados por la ref. 1 (Kinney) y el programa SECVAR5 son de cuando más 2.5%. Cuando se comparan los valores obtenidos de la ref. 2 (PCA) con los resultados proporcionados por el programa SECVAR5, la diferencias se incrementan a 3% y 6.5% para las rigideces y momentos de empotramiento respectivamente.

Es de mencionarse que, para la obtención de las rigideces y momentos de empotramiento usando las tablas de la PCA, se tuvo que hacer, para cada uno de ellos, un ajuste cuadrático (como el que se muestra en la figura 18), ese ajuste permitió extrapolar los datos provenientes de esa referencia, y así poder obtener los correspondientes al ejemplo en estudio. En definitiva, lo anterior influyó en las diferencias anotadas al final del párrafo anterior, es posible que esas diferencias disminuyan si se utiliza una mejor función de ajuste.

y = -0.2089x2 + 1.4089x + 5.7949

0.001.002.003.004.005.006.007.008.009.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 rB

kAB

kAB Polinómica (kAB)

Figura 18. Ajuste cuadrático con datos de la tabla 12 de la PCA(ref. 2) Para el ejemplo 3 se consideró adecuado resolverlo utilizando los programas STAAD y SAP2000, ya que, el primer programa tiene dentro de sus capacidades la posibilidad de analizar barras de sección transversal “I” con variación lineal entre sus extremos de algunas de sus dimensiones (ver figura 19), por lo que, toda la barra sólo tuvo que considerarse formada por 5 segmentos(barras), a diferencia del programa SAP2000 en donde no hubo necesidad de hacer tal división y sólo se consideró una barra con propiedades variables(ver figuras 20 y 21). Los resultados obtenidos mediante los programas SECVAR5, SAP2000 y STAAD incluyen el efecto de la deformación por cortante.

Al final de la tabla 6 se muestran, para el ejemplo 3, los resultados obtenidos con las tres herramientas, en ella se observa que, existen diferencias en las rigideces angulares que no sobrepasan el 2%, y de menos del 6% en la rigidez torsional, siendo prácticamente nulas para las fuerzas y momentos de empotramiento.

51

032


Figura 19. Barra con variación lineal de algunas de sus dimensiones, programa STAAD PRO (ref. 20)

Figura 20. Definición de propiedades geométricas variables para la barra (ejemplo 3), programa SAP2000 (ref. 22)

Figura 21. Una sola barra (ejemplo 3) con las propiedades geométricas variables definidas en la figura

20, programa SAP2000 (ref. 22)

52

032


COMENTARIOS Y CONCLUSIONES Se presentó la aplicación de la integración numérica como una opción para la evaluación de los elementos de las matrices de rigidez elásticas bidimensionales y tridimensionales así como de las fuerzas y momentos de empotramiento, todos ellos, para barras de sección transversal variable. Para aplicaciones prácticas, la implementación de la metodología propuesta condujo a la elaboración del programa de computadora SECVAR5, con características de sencillez y flexibilidad, ya que le permite al usuario la posibilidad de manejar barras constituidas por una serie de segmentos con diferentes formas de su sección transversal, especificando como datos las dimensiones características según la forma de la sección, también es posible decidir si se incluirá o no la deformación por cortante así como indicar el número de puntos a considerar en el proceso de integración numérica.

En cuanto a la obtención de las fuerzas y momentos de empotramiento, SECVAR5 puede considerar varias fuerzas concentradas y uniformes, estas últimas pueden estar actuando en toda la viga o solamente en una parte. Aunque no se había mencionado, SECVAR5 tiene incorporadas las reglas de integración trapecial y Simpson de 1/3 y 3/8 por los que se puede comparar la solución proporcionada por esos diferentes esquemas de integración numérica El programa SECVAR5 se aplicó a varios ejemplos (algunos de los cuales se incluyeron en este reporte), la comparación entre si de los resultados proporcionados por otras herramientas y textos relacionados con el tema, resultó ser bastante satisfactoria. Las diferencias encontradas se deben(como anotan acertadamente varios autores), al efecto de la deformación por cortante dependiente de la relación peralte claro y de la forma de la sección transversal de la barra. Por lo anterior SECVAR5 constituye una alternativa moderna para la solución de este tipo de problemas.

Por sencillez, el programa SECVAR5 se desarrolló en una versión de BASIC, pero con poco esfuerzo, todo o una parte del mismo, puede ser traducido a otro lenguaje (si es necesario), y/o hacerle las modificaciones convenientes para incorporarlo a algún programa de Análisis Estructural, con lo que se tendrá la posibilidad de resolver estructuras con barras de sección transversal variable como una opción más dentro del mismo programa. REFERENCIAS Sterling J. (1982), “Análisis de Estructuras Indeterminadas” CECSA, México Portland Cement Association. (1958), "Handbook of Frame Constants, Beam Factors and Moment Coeficients for Members of Variable Section”. Damy J. E. (1982), “Notas de la clase Análisis Estructural”, Fac. de Ingeniería UNAM, México Damy J. E. (1984), “Notas de la clase Aplicación de las Computadoras al Análisis Estructural y Teoría General de las Estructuras”, División de Estudios de Posgrado, Fac. de Ingeniería UNAM, México Marshall, Nelson’s (1990), “STRUCTURES”, , third edition, Longman Scientific and Technical. Tena A., Zaldo A. (1994), “Formulación Elástica de la Rigidez de Elementos de Sección Variable”, IX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, Zacatecas, Zac., México. Microsoft Corp. (1984 a 1989), “QUICK-BASIC”, versiones 2.0, 4.0 y 4.5. Tena A. (1997), “Rigidez Elástica de elementos de sección variable” Revista Ingeniería, Fac. de Ingeniería UNAM Volumen LXVI, Número 2 Abril-Junio, México. Hiriarte R. (1999), “Métodos Numéricos” Fac. de Ingeniería UNAM, Trillas, México.

53

032


54

Heilborn J. (1982), “Programas para Ciencia e Ingeniería” Editado por, Osborne/McGraw-Hill, México. Chapra S. C., Canale R. P. (1999), “Métodos Numéricos para Ingenieros” 3ra. Ed. McGraw-Hill, México. Shoichiro (1992), “Métodos Numéricos Aplicados con Software” 1ra. Ed. PRENTICE-HALL, México. James M. L., Smith G. M. y Wolford J. C. (1976), “Métodos Numéricos Aplicados a la Computación Digital con FORTRAN” 2da. Ed. Representaciones y Servicios de Ingeniería, México. Timoshenko S. P., Young D. H. (1983), “Teoría de las Estructuras” 2da. Ed. ELCANO, SA, México. Yuan-Yu Hsieh (1984), “Teoría Elemental de Estructuras” PRENTICE-HALL, México. Ghali A., Neville A. (1984), “Análisis Estructural” DIANA Técnico, México. McCormac J., Elling, R. E. (1996), “Análisis de Estructuras” Alfaomega, México. Hibbeler R. C.(1997), “Structural Analysis” 3th Edition, PRENTICE-HALL Young (1989), “ROARK’S Formulas for Stress and Strain”, 6th Edition, McGraw-Hill International Editions General Engineering Series. “STAAD-III, Structural Analysis and Design program, versiones 21, 22, 22.3, 23 y 3.1(PRO) ” Research Engineers, Inc. Yorba Linda CA, U.S.A., 1990-2000. Monroy F. (2000), “Notas de la clase Análisis Estructural”, Fac. de Ingeniería UNAM, México. Computers and Structures, “SAP 2000, Structural Analysis Program, versiones 6.11 y 7.12”, Inc. Berkeley

032

sociedad mexicana de ingeniería estructural, a.c. 032 · basada en la teoría de vigas, con la...

Documents