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Sobre Sistemas de Tipo Gentzen

Jose de Jesus Lavalle Martınez1

Jose Ramon Arrazola Ramırez2

Francisco Javier Ponciano Carmona1

Hugo Salinas Ramırez1

[email protected]

[email protected]

tcho [email protected]

[email protected] de Ciencias de la Computacion2Facultad de Ciencias Fısico Matematicas

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

3 de septiembre de 2012Facultad de Ciencias Fısico Matematicas BUAP

Jose de Jesus Lavalle Martınez Jose Ramon Arrazola Ramırez Francisco Javier Ponciano Carmona Hugo Salinas Ramırez (BUAP)Sobre Sistemas de Tipo Gentzen 8GSNM 2012 1 / 16

Contenido

1 Motivacion

2 Sistema G ′

3 Sistemas LK y LJ

4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo

5 Logicas subestructurales

6 Cierre


Ejemplo de razonamiento matematico

1 La interesaba mas la relacion de deducibilidad entre formulas que laverdad de las formulas;

2 Gentzen deseaba definir un formalismo que reflejara lo mas exactoposible el razonamiento logico real involucrado en las pruebasmatematicas.

Example

Para establecer que (A ∨ (B ∧ C )) ⊃ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C )) es verdadera,procedemos como sigue: suponga que A se cumple o que B ∧C se cumple.Distinguimos dos casos:

1 Si A se cumple se sigue que A ∨ B se cumple, y tambien A ∨ C secumple; ası (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) tambien se cumple;

2 Si es el caso que B ∧ C se cumple, significa que tanto B como C secumplen. De B se sigue A ∨ B; de C se sigue A ∨ C .Ası (A∨B)∧ (A∨C ) tambien se sigue, con lo que concluye la prueba.


Sistema de Gentzen G ′ para el calculo proposicional clasico

Definition

El sistema de Gentzen G ′ se define a continuacion:

Las expresiones basicas del sistema son inferencias de la formaΓ→ ∆, llamadas secuentes y se leen como ∆ “se sigue de”, o “esderivable de”Γ, a Γ se le llama antecedente y a ∆ sucedente,

Γ, ∆ representan conjuntos arbitrarios, posiblemente vacıos, deformulas,

A, B representan proposiciones arbitrarias,

El secuente A1, . . . ,An → B1, . . . ,Bm tiene informalmente el mismosignificado que la formula (A1 ∧ . . . ∧ An) ⊃ (B1 ∨ . . . ∨ Bm),

El unico axioma es:

Γ,A→ A,∆ Ax ′


Sistema de Gentzen G ′ para el calculo proposicional clasico

Definition

Las reglas de inferencia son:

Γ→ A,∆

Γ,¬A→ ∆ ¬′ →

Γ,A→ ∆

Γ→ ¬A,∆ → ¬′

Γ,A,B → ∆

Γ,A ∧ B → ∆ ∧′ →

Γ→ A,∆ Γ→ B,∆

Γ→ A ∧ B,∆ → ∧′

Γ,A→ ∆ Γ,B → ∆

Γ,A ∨ B → ∆ ∨′ →Γ→ A,B,∆

Γ→ A ∨ B,∆ → ∨′

Γ→ A,∆ Γ,B → ∆

Γ,A ⊃ B → ∆⊃′→

Γ,A→ B,∆

Γ→ A ⊃ B,∆→⊃′


Sistema de Gentzen LK para el calculo proposicionalclasico

Definition

Un secuente en LK es una expresion de la forma Γ→ ∆, donde Γ y ∆son secuencias finitas, posiblemente vacıas, de formulas;

Axiomas:A→ A

Ax

Reglas estructurales

Intercambio

Γ,A,B,Π→ ∆

Γ,B,A,Π→ ∆I →

Γ→ Π,A,B,∆

Γ→ Π,B,A,∆→ I︸︷︷︸

6LJ

Debilitamiento

Γ→ ∆A, Γ→ ∆

D → Γ→ ∆Γ→ ∆,A

→ D



Definition

Reglas estructurales, continuacion

Contraccion

A,A, Γ→ ∆

A, Γ→ ∆C →

Γ→ ∆,A,A

Γ→ ∆,A→ C︸︷︷︸

6LJ

CorteΓ→ ∆,A A,Π→ Σ

Γ,Π→ ∆,ΣCut



Definition

Reglas operacionales

Γ→ ∆,A

¬A, Γ→ ∆¬ → A, Γ→ ∆

Γ→ ∆,¬A → ¬

A, Γ→ ∆

A ∧ B, Γ→ ∆

B, Γ→ ∆

A ∧ B, Γ→ ∆∧ →

Γ→ ∆,A Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,A ∧ B→ ∧

Γ→ ∆,A

Γ→ ∆,A ∨ B

Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,A ∨ B→ ∨

A, Γ→ ∆ B, Γ→ ∆

A ∨ B, Γ→ ∆∨ →

Γ→ ∆,A B,Π→ Σ

A ⊃ B, Γ,Π→ ∆,Σ⊃→ A, Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,A ⊃ B→⊃


Sistema de Gentzen LJ para el calculo proposicionalintuitivo

Definition

Un secuente en LJ es una expresion de la forma Γ→ ∆, donde Γ y ∆son secuencias finitas, posiblemente vacıas, de formulas;

El sucedente ∆ puede contener a lo mas una formula, por lo cual lasreglas dadas para LK se deben adaptar adecuadamente;

Por la restriccion anterior las reglas → I y → C no pueden apareceren LJ porque solo se pueden aplicar a secuentes con mas de unaformula en el sucedente (las marcadas con 6 LJ, tienen relacion directacon la ley del tercero excluido).


Interpretacion BHK para el calculo proposicional intuitivo

Esta interpretacion se debe a Brouwer, Heyting y Kolmogorov. Paraentender la logica proposicional intuitiva debemos olvidar la nocion clasicade “verdad”. Ahora nuestros juicios sobre una proposicion logica ya no sebasan en los valores de verdad asignados a dicha proposicion, sino ennuestra habilidad para justificarla vıa una prueba explıcita o“construccion”.

Definition

Una construccion de A1 ∧ A2 consiste de una construccion de A1 yuna construccion de A2;

Una construccion de A1 ∨ A2 consiste de un indicador i ∈ 1, 2 y unaconstruccion de Ai ;

Una construccion de A1 ⊃ A2 es un metodo (funcion) que transformatoda construccion de A1 en una construccion de A2;

No existe construccion para ⊥;

¬A es una abreviacion de A ⊃ ⊥.


∧′ → es derivable en LK

Demostracion.

A,B, Γ→ ∆

A ∧ B,B, Γ→ ∆∧ →

B,A ∧ B, Γ→ ∆I →

A ∧ B,A ∧ B, Γ→ ∆∧ →

A ∧ B, Γ→ ∆C →


∧ → es derivable dada ∧′ → y el resto de LK

Demostracion.

A, Γ→ ∆

B,A, Γ→ ∆D →

A,B, Γ→ ∆I →

A ∧ B, Γ→ ∆ ∧′ →

B, Γ→ ∆

A,B, Γ→ ∆D →

A ∧ B, Γ→ ∆ ∧′ →


∨′ → es derivable en LK

Demostracion.

Γ→ ∆,A,B

Γ→ ∆,A,A ∨ B→ ∨

Γ→ ∆,A ∨ B,A→ I

Γ→ ∆,A ∨ B,A ∨ B→ ∨

Γ→ ∆,A ∨ B→ C


→ ∨ es derivable dada → ∨′ y el resto de LK

Demostracion.

Γ→ ∆,A

Γ→ ∆,A,B→ D

Γ→ ∆,A ∨ B → ∨′

Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,B,A→ D

Γ→ ∆,A,B→ I

Γ→ ∆,A ∨ B → ∨′


Ejemplos de por que es deseable quitar las reglasestructurales

Example

Por $50 puedes comprar una cajetilla de Camel y una cajetilla deMarlboro (conjuncion concurrente o conjuncion estatica);

Juan abrio la puerta y salio del cuarto (conjuncion secuencial);

Algunas cuantas razones mas.


Finalmente,

¡Muchas gracias!


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