INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

SANTIAGO MARIÑO

CÁLCULO NUMÉRICO Y MANEJO DE ERRORES

PEDRO ESPAÑA

Concepto básico e importancia del análisis numérico El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no

son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas. Una característica importante del estudio de los métodos es su valoración (es decir, decidir cuál método es superior para una tarea dada).

Definición de numero de maquinaEs un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1)

de base 2. El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.

Definición de Error Absoluto El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto (un número

determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado; debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo.

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error.

Definición de error relativo

Cota de Error Absoluto y RelativoNormalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error

absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanto más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor.

Errores de Redondeo y TruncamientoLos errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los

resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.

Error De RedondeoEl error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema

numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita.

Errores De Una Suma Y Una RestaEn esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos

números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso.

Cálculos Estables e InestablesLa condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los

cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.

CondicionamientoLas palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para

indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".