Magnitudes proporcionales

anton

iojrol

dan.e

s

7.1 Proporcin numrica

Ejemplo: El nmero 6 es el doble de tres. Cmo expreso la relacin entre ambos?

Pues dividiendo:

Definicin: La razn entre dos nmeros a y b es el cociente a/b.

Definicin: Los nmeros a, b, c y d (en este orden) forman una proporcin si la razn entre a y b es igual a la razn entre c y d. Se escribe as:

a cb d

Ejemplo:

510

36

6 32 Seis el doble de 3; 0,5 Tres es la mitad de 63 6

anton

iojrol

dan.e

s

Propiedad: Si a, b, c y d forman una proporcin, entonces:

Se lee producto de extremos es igual al producto de medios.

Definicin: Al valor de las razones de una proporcin se le llama razn de proporcionalidad y se escribe con la letra k minscula.

Ejemplo:

25

1036

cbda Ejemplo: 6 10 Es una proporcin? 6 5=3 10?

3 5La respuesta es "S"

Ejemplo:

anton

iojrol

dan.e

s

7.2 Tipos de relaciones entre magnitudes

Definicin: Se llaman magnitudes a las caractersticas o propiedades que se pueden medir.

Ejemplo: Se pueden medir

Magnitud

anton

iojrol

dan.e

s

Definicin: Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) la primera, aumenta (o disminuye) la segunda.

Ejemplo: Espacio por recorrer y Tiempo que se tarda

Tipos de relaciones

Definicin: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) la primera, disminuye (o aumenta) la segunda.

Ejemplo: Velocidad y Tiempo que se tarda

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: Espacio por recorrer y Tiempo que se tarda

Magnitudes directamente proporcionales

Propiedad: La relacin entre dos magnitudes directamente proporcionales se puede expresar as:

k......dd

cc

bb

aa

10=1

10=k=......=

440

=3

30=

220

=1

10

D

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: Calcula k y completa la tabla

Ejemplo: Diego ha comprado cuatro peridicos por 6 euros. Cunto gastar Mara si compra tres peridicos?

k......d

dc

cb

ba

a

anton

iojrol

dan.e

s

Inversa de una fraccin

ab

ba

bainversa

1

Ejemplo:

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: Velocidad y Tiempo en recorrer una distancia concreta

Magnitudes inversamente proporcionales

Propiedad: La relacin entre dos magnitudes inversamente proporcionales se puede expresar as:

k...ddccbbaak......

d1d

c1c

b1b

a1a

120k......3404306201210VelocidadTiempo

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: Un caminante a 5 km/h ha tardado 6 horas en hacer un recorrido. Cunto tardar en hacer el mismo recorrido un ciclista que va a 30 km/h?

k...ddccbbaak......

d1d

c1c

b1b

a1a

anton

iojrol

dan.e

s

Proporcionalidad compuestaEjemplo: Cuatro amigos en una acampada de 10 das han gastado en comer 250 euros. En las mismas condiciones, Cunto gastarn en comer 6 amigos en 15 das?

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: 15 obreros trabajando 6 horas diarias tardan 30 das en realizar un trabajo. Cuntos das tardarn en hacer el mismo trabajo 10 obreros empleando 8 horas diarias?

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: Para alimentar a 4 caballos durante 6 das se necesitan 216 kg de pienso. En las mismas condiciones, Cunto durarn 1260 kg de pienso si tenemos 10 caballos?

anton

iojrol

dan.e

s

7.3 Tanto por ciento

Ejemplo: Un comedor escolar compra 100 yogures en oferta en un supermercado. Si la oferta consiste en que cada 5 yogures que compras, pagas 4, cuntos ha pagado realmente?

Luego sera un 80%.

Definicin: Un porcentaje o tanto por ciento de un total es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa mediante el smbolo %.

anton

iojrol

dan.e

s

Mtodo: Para hallar la cantidad final de otra a la que aplicamos un r% de aumento multiplicamos esa cantidad inicial por

Mtodo: Para hallar la cantidad final de otra a la que aplicamos un r% de descuento multiplicamos esa cantidad inicial por

Ejemplo: Cunto cuesta el pantaln?

Ejemplo: Patricia quiere aumentar un 12% su aportacin de 150 a una ONG. Cul ser la nueva cota?

12 112150 1 150 168100 100

anton

iojrol

dan.e

s

7.4 Repartos

Repartos directos

Ejemplo: Pedro, Andrea y Alejandro tenan respectivamente 5, 3 y 2 euros. Juntaron su dinero y compraron 500 folios. Cmo deben repartirlos?

Mtodo: Para repartir una cantidad T entre a, b y c de forma directamente proporcional a sus valores, procedemos as:

1. Calculamos la razn k

2.Las cantidades a, b, c correspondientes a a, b, c respectivamente son:

c+b+aT

=k

a a kb b kc c k

an

tonioj

rolda

n.es

Ejemplo: Pedro, Andrea y Alejandro tenan respectivamente 5, 3 y 2 euros. Juntaron su dinero y compraron 500 folios. Cmo deben repartirlos?

Compruebo

anton

iojrol

dan.e

s

Repartos inversos

Ejemplo: En una carrera, dos ciclistas se reparten 240 puntos en partes inversamente proporcionales al tiempo que emplean en hacer el mismo recorrido. Cunto le corresponde a cada uno si el primero tard 3 horas y el segundo 5?

Mtodo: Para repartir una cantidad T entre a, b y c de forma inversamente proporcional, procedemos as:

1.Calculamos la razn k resolviendo esta ecuacin:

2.Las cantidades a, b, c correspondientes a a, b, c respectivamente son:

T=ck

+bk

+ak

k k ka b ca b c

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: En una carrera, dos ciclistas se reparten 240 puntos en partes inversamente proporcionales al tiempo que emplean en hacer el mismo recorrido. Cunto le corresponde a cada uno si el primero tard 3 horas y el segundo 5?

Compruebo

anton

iojrol

dan.e

s

7.5 Inters simple

Llevas el dineroal banco.

Se lo ests prestandoal banco para que

haga negocioscon l.

Tu dinero se une

a otros.

El banco invierteen negocios

Si el banco lohace bien, llegan

las ganancias

Bene

ficios

B

e

n

e

f

i

c

i

o

s

anton

iojrol

dan.e

s

Y si dejo mi dinero mucho tiempo? Ms aos, meses o das

(Tiempo),ms ganas

Cunto ms deje aqu, ms me

devuelven? Claro Ms dinero (Capital) , ms inversin.

Importa el tipo de producto o negocio?

Por supuesto. El dinero crece un tanto por ciento (Rdito)

mayor dependiendo de lo que hagamos con l.

anton

iojrol

dan.e

s

Propiedad: Si llamamos i al inters producido por un capital C en t aos con un rdito del r% anual, tenemos que

Si el tiempo est en meses, usamos

Si el tiempo est en das, usamos

100trC

=i

Observacin: Si se te olvida la frmula, recuerda que Crt/100 es como decir Carrete partido por 100.

anton

iojrol

dan.e

s

Ejemplo: La publicidad de un banco dice: Le damos un inters del 4% anual. Si ingresamos 3000 euros, Cunto nos devolvern al cabo de un ao?

Nos devolvern el capital ms el inters, es decir, 3000 +120 =3120

anton

iojrol

dan.e

s