situaciones mate significativas praxis 0

EDO, M., REVELLES, S. (2004) Situaciones matemticas potencialmente significativas a M. ANTN C. y B. MOLL (coords.). Educacin Infantil. Orientaciones y Recursos (0-6 aos). CISSPRAXIS. Barcelona. pp.410/103-410/179

MUNDO MATEMTICO1. 2. 3. 4. Formas en el espacio La lgica matemtica en el perodo 0-6 aos Construir un significado para los nmeros Situaciones matemticas potencialmente significativas

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4. Situaciones matemticas potencialmente significativasMequ Edo i Bast y Susanna Revelles Martnez

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4. SITUACIONES MATEMTICAS

Sumario

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4.

Situaciones matemticas potencialmente significativasPg.

A. Presentacin del tema .......................................................................... 410/1061. 2. Instruccin matemtica o educacin matemtica ...................................... 410/106 La educacin matemtica como construccin socialmente mediada......... 410/108 2.1. La importancia de los conocimientos informales de los alumnos....... 410/110 2.2. La conveniencia de creacin de contextos de resolucin de problemas . 410/110 2.3. La creacin de ambientes de participacin y de dilogo ................... 410/111 A modo de conclusin............................................................................... 410/111

3.

B.1. 2.

Propuesta didctica ............................................................................... 410/113 Introduccin .............................................................................................. 410/113 Criterios para la creacin de situaciones matemticas potencialmente significativas ................................................................................................. 410/113 2.1. Contextualizar el aprendizaje de las matemticas en actividades autnticas y significativas para los alumnos................................................ 410/113 2.2. Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensin y la resolucin de problemas....................................................................... 410/115 2.3. Activar y emplear como punto de partida el conocimiento matemtico previo, formal e informal, de los alumnos para progresar hacia niveles ms altos de abstraccin y generalizacin.................................... 410/117 2.4. No limitar y jerarquizar en una secuencia nica los contenidos matemticos de aprendizaje........................................................................... 410/119 2.5. Apoyar sistemticamente la enseanza en la interaccin y la cooperacin entre alumnos ......................................................................... 410/120 2.6. Ofrecer a los alumnos oportunidades suficientes de comunicar experiencias matemticas........................................................................ 410/121 2.7. Atender los aspectos afectivos y emocionales implicados en el aprendizaje y el dominio de las Matemticas ............................................. 410/123 3. A modo de conclusin....................................................................... 410/124Introduccin .............................................................................................. 410/125 Presentacin de propuestas de aula ........................................................... 410/126 La evaluacin de la actividad matemtica en Educacin Infantil ............... 410/126

C. Actividades de aprendizaje y evaluacin .......................................... 410/1251. 2. 3.

Propuesta 1. Cinco entornos matemticos ......................................................... 410/129 Actividad 1.1. Rincn de nmeros............................................................ 410/129 Actividad 1.2. Actividades cotidianas (Rutinas) y hechos puntuales de la vida escolar ....................................................................... 410/131 Actividad 1.3. Talleres .............................................................................. 410/134 Actividad 1.4. Juegos ................................................................................ 410/139 Actividad 1.5. Proyectos de trabajo .......................................................... 410/142 Propuesta 2. Nuestras conversaciones matemticas........................................... 410/143 Actividad 2.1. El da 15 vamos al zoo! .................................................... 410/143

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Actividad 2.2. Actividad 2.3. Actividad 2.4. Actividad 2.5. 1. 2. 3.

La entrada de circo de Adri! ........................................... 410/146 Cunto pesamos?.............................................................. 410/149 Tenemos que pagar para entrar en la Fundacin Joan Mir?... 410/160 La fiesta Mironiana!.......................................................... 410/166

D. Recursos .................................................................................................. 410/178Bibliografa citada en A. Presentacin del tema ............................. 410/178 Bibliografa citada en B. Propuesta didctica.................................. 410/178 Bibliografa citada en la Propuesta 1.................................................. 410/178

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A. Presentacin del tema1. INSTRUCCIN MATEMTICA O EDUCACIN MATEMTICAGran parte de las propuestas didcticas de las editoriales, para aprender matemticas, en Educacin Infantil, se basan en actividades dirigidas al desarrollo de tcnicas, mtodos, reglas y algoritmos.

La argumentacin que se suele dar, al seleccionar este tipo de actividades, es que se trata de ofrecer a los alumnos una caja de herramientas para convertirse en usuario de las Matemticas. El objetivo, argumentan, es que los alumnos sean capaces de emplear las tcnicas que van aprendiendo, a travs de fichas, tanto dentro como fuera de la clase de Matemticas. Pregunta: Qu nos dicen estas fichas? Respuesta Lo que tenemos que hacer.

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A. Presentacin del tema


Desde esta visin de la enseanza y el aprendizaje de las Matemticas, desarrollo significa dominar un conjunto de tcnicas cada vez mayor y ms complejas. Por ejemplo, en Infantil: recuento, lectura y escritura de nmeros hasta el nueve, asociacin entre cifras y cantidades, primeros signos del lenguaje matemtico, etc.

Este tipo de actividades dan una imagen de las Matemticas como una materia basada en hechos, conceptos y procedimientos mecnicos que hay que aplicar. Solo existen dos posibles resultados al realizar la actividad propuesta: correcta o incorrecta. Y el resultado de la tarea (si todos los alumnos lo hicieran correctamente) seria veintitantas hojas, todas iguales. En estas tareas, las Matemticas no se plantean como una materia de reflexin. En este enfoque las Matemticas no se entienden como una manera de conocer sino una manera de hacer (Bishop, 1999). Sin duda ahora y desde una visin sociocultural es necesario que los alumnos desarrollen una comprensin mayor y una conciencia crtica de cmo y cuando emplear cualquier contenido matemtico. Pretender que los alumnos de infantil utilicen y apliquen las tcnicas matemticas (aprendidas en tareas como las que se acaban de mostrar), a situaciones reales y contextos distintos a los que se aprendieron es, a nuestro modo de ver, una pretensin errnea. Si realmente deseamos que las matemticas aprendidas en la escuela sirvan para ser aplicadas en contextos reales y significativos, no seria ms adecuado que estos contenidos se aprendieran en situaciones donde los contenidos adquieren un significado funcional real, ms all de la mera tcnica? Y, qu aporta realmente al alumno la ejercitacin de tcnicas como las mostradas?

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En este sentido, Bishop (1999, pg. 26) argumenta: Un currculo dirigido al desarrollo de tcnicas no puede ayudar a comprender, no puede desarrollar significados, no puede capacitar al alumno para que adopte una postura crtica dentro o fuera de las matemticas. Por lo tanto, mi opinin es que un currculo dirigido al desarrollo de tcnicas no puede educar. Solo puede instruir y adiestrar 1. Luego, deseamos y priorizamos la instruccin matemtica? Desde luego, la respuesta debera ser: No! Lo que deseamos es una educacin matemtica para nuestros alumnos.

2. LA EDUCACIN MATEMTICA COMO CONSTRUCCIN SOCIALMENTE MEDIADASi concebimos la matemtica, no como tcnicas que se han de aprender, sino: (1) como el resultado de ciertas actividades desarrolladas por las personas, y, por tanto, (2) como fenmeno cultural evolutivo; y, (3) desde una visin sociocultural del conocimiento y del aprendizaje, concebimos la enseanza de la actividad matemtica como un proceso de enculturacin (Bishop, 1999) el objetivo del cual es que los alumnos se apropien de una parte especfica de su cultura. El eje central de este proceso ha de ser la propia actividad realizada por los mismos alumnos en el marco de la escuela, en actividades expresamente diseadas por los educadores con el objetivo que los nios y nias puedan vivir form a s d e a c t iv i d a d m a t e m t i c a c a r a c t e r s t i c a s d e s u m a r c o s o c i o c u l t u r a l especfico (Llad y Jorba, 1998). La actividad matemtica se caracteriza por un deseo de hallar algo, unos datos, unos procesos, unas relaciones, unos resultados, unas respuestas... La educacin matemtica pasa por ayudar a los alumnos a vivir situaciones de actividad matemtica, es decir, situaciones de bsqueda y no slo de aplicacin. Partimos del hecho que el aprendizaje escolar, y en particular el aprendizaje de los contenidos matemticos, es un proceso de construccin socialmente mediado. Esto quiere decir que los alumnos no aprenden recibiendo y acumulando pasivamente informacin del entorno, sino que lo hacen a travs de un proceso activo de elaboracin de significados y de atribucin de sentidos. Este proceso se lleva a cabo mediante la interaccin, la negociacin y la comunicacin con otras personas en contextos particulares, culturalmente definidos, y en el que determinados instrumentos culturales juegan un papel decisivo. Por ejemplo, en infantil: calendario, reloj, calculadora, cintas mtricas, bsculas, tique de compra, catlogos de supermercados, monedas en curso, listas de compra, recetas de cocina, noticias del peridico, objetos tridimensionales, etc.1. Cursiva en el original.

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Qu nos dice nuestro calendario de este mes? El da 7 de mayo fuimos al zoo. El da 10 era fiesta, no vinimos al colegio. Esta semana slo venimos 4 das al colegio. El da 11, martes, celebramos el cumpleaos de Carla. Faltan 4 das para ser el cumpleaos de Joel. El da 28 visitaremos el Forum de Barcelona. Este mes tiene 31 das. El ltimo da del mes ser el cumpleaos de Nuria.

Como vemos, este instrumento cultural, utilizado de forma intencional por parte de la maestra, Esperana Jimnez, nos permite no solamente reconocer y nombrar distintos nmeros con relacin a hechos relevantes para nuestra clase, sino que adems nos ayuda a situarnos y estructurar el tiempo (pasado, presente y futuro; da, semana, mes, ao); a aplicar pequeos clculos para resolver algunos interrogantes (cunto falta para el cumpleaos de Joel); a comparar cantidades (das lectivos y festivos de cada semana) y a esperar con ilusin y con comprensin temporal cualquier acontecimiento previsto. Este instrumento nos ayuda a conocer, no solo a hacer. Y, esto es as porque no es un texto impersonal (ficha) sino que es un texto altamente significativo para nuestra clase ya que se va construyendo de forma colectiva y progresiva a lo largo del tiempo. En esta construccin colectiva, progresiva y negociada del conocimiento matemtico en Educacin Infantil hay tres aspectos que merecen resaltarse: 1. La importancia de los conocimientos informales de los alumnos. 2. La conveniencia de creacin de contextos y ambientes de resolucin de problemas. 3. La necesidad de ofrecer oportunidades a los alumnos para comunicar y expresarse en relacin con la actividad matemtica que se vive a cada momento.

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2.1. La importancia de los conocimientos informales de los alumnosEs necesario reconocer, potenciar y valorar los conocimientos informales de los alumnos, desde los que el maestro puede plantear el desarrollo del proceso de enseanza y aprendizaje. Los nios, al llegar a la escuela, ya poseen una amplia gama de conocimientos informales (Baroody, 1988), que incluyen nociones, habilidades y estrategias relativas a un amplio conjunto de aspectos, desde la numeracin y el conteo hasta la resolucin de problemas aritmticos, la organizacin y representacin del espacio o la proporcin, pasando por la planificacin y la toma de decisiones sobre precios o compras. Sabemos, que estas nociones, habilidades y estrategias se desarrollan en el marco de la participacin en situaciones y contextos especficos propios de la vida cotidiana fuera de la escuela. Aunque este conocimiento presenta, desde el punto de vista de las Matemticas como sistema formal, importantes imprecisiones y limitaciones, su recuperacin es la base para una construccin adecuada de las Matemticas escolares. En nuestra clase lo que el alumno ya sabe, cuenta y tiene valor. Pero en Infantil, no slo es necesario recuperar los conocimientos informales de los alumnos construidos en situaciones reales fuera del marco escolar, sino que creemos necesario construir dentro del aula situaciones y contextos con significado en los cuales los pequeos puedan aprender los conocimientos tcnicos (escribir nmeros, contar, resolver pequeos clculos); al mismo tiempo que puedan vivir el significado cultural de la actividad matemtica implicada en la tarea gracias a la gua y modelo de su maestro.

2.2. La conveniencia de creacin de contextos de resolucin de problemasEl segundo aspecto, consecuencia del anterior, es la indicacin de que la mejor manera de aprender Matemticas en la enseanza obligatoria (Educacin Infantil, Primaria y ESO) es en el seno de un contexto relevante de aplicacin y toma de decisiones especficas (Onrubia y otros, 2001, pg. 496): En este sentido, la resolucin de problemas, y no tanto el aprendizaje estructural y poco contextualizado de la matemtica, es el entorno que enmarca y da sentido al uso de la matemtica en el mbito escolar. La creacin de situaciones potencialmente significativas desde la enseanza y aprendizaje de la matemtica, es decir, la creacin de contextos en los que aparecen o se crean interrogantes que la clase desea resolver, debera ser nuestro objetivo. En estas situaciones, los alumnos, gracias a la ayuda de su maestro y a travs de la confrontacin de ideas entre iguales, pueden progresar aadiendo datos, habilidades y estrategias en el conjunto de conocimientos consensuados por el grupo clase. Este proceso gradual se caracteriza por hacer emerger y utilizar los conocimientos previos de los alumnos, por mediar en la confrontacin de criterios, opiniones e hiptesis, y por ayudar a buscar respuestas ms all del maestro como autoridad cognitiva. Este proceso, decamos, dirigido a resolver situaciones e interrogantes que el grupo clase ha escogido como relevantes es, hoy por hoy, la mejor forma de

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ayudar a los alumnos a avanzar matemticamente hacia niveles cada vez ms elevados de complejidad y abstraccin.

2.3. La creacin de ambientes de participacin y de dilogoLa necesidad de ofrecer oportunidades a los alumnos para expresarse, con relacin a su visin del tema que nos ocupa en el aula, es una parte esencial de la actividad matemtica escolar. Esta visin de cmo debera ser la actividad matemtica en el aula de Infantil lleva implcita, necesariamente, una forma de entender la importancia del grupo, de cada sujeto que forma parte de ste y de las formas de relacin y comunicacin en su sino. La conversacin, la bsqueda de acuerdos y la negociacin de significados es uno de los pilares bsicos del desarrollo matemtico en la educacin obligatoria (Llad y Jorba, 1998). En el dilogo que establecen los integrantes del grupo aparecern hiptesis (correctas o errneas), que nunca se interpretarn como errores, sino como muestras de un intento personal de bsqueda de significado. Estas hiptesis deben confrontarse con las de otros compaeros y aqu aparece la necesidad de argumentar, de revisar mi propia visin, de demostrar, de buscar ms informacin, de contrastar, etc., y de esta forma se llega a la necesidad social y cognitiva de establecer acuerdos y negociar significados. Esta forma de trabajar en clase debe ser explcita y conocida por todos. Cualquier alumno puede opinar y nunca su intervencin va a ser valorada negativamente ni ridiculizada. Cualquier alumno puede rebatir y argumentar una opinin distinta y esto no debe ser causa de malestar. Cualquier alumno puede plantear interrogantes y explicitar dudas que nos pueden ayudar a avanzar. Todas estas intervenciones mencionadas, y otras tantas, no slo son pertinentes sino que adems el mediador del grupo, el maestro, debe valorarlas y potenciarlas mostrando su pertinencia y adecuacin en el quehacer del aula.

3. A MODO DE CONCLUSINResumiendo la exposicin precedente, podemos asegurar que existen otras formas posibles de hacer matemticas en el aula de Educacin Infantil distintas a la mera instruccin de tcnicas y procedimientos mecnicos que hay que aplicar. Podemos afirmar tambin que la educacin matemtica, en estas edades, pasa por implicar a los alumnos en situaciones y contextos relevantes, en situaciones potencialmente significativas social, cultural y matemticamente. La intervencin de los alumnos en dichas situaciones se realiza a partir de sus conocimientos previos, ms o menos intuitivos, ms o menos formales, y a travs de la interaccin con el grupo. El maestro, como integrante del grupo, tiene un papel fundamental ya que es l quien reconoce, selecciona y devuelve al mencionado grupo las intervenciones potencialmente significativas; quien media en la interaccin entre iguales y quien reconduce el dilogo y les ayuda a llegar a alguna conclusin. As, a travs de la interaccin, los alumnos avanzan hacia niveles cada vez ms elevados de complejidad y de abstraccin.

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La creacin de situaciones matemticas potencialmente significativas y la creacin de ambientes de participacin y de resolucin de problemas no es tarea fcil, a continuacin, en el apartado de propuesta didctica, se especificarn algunos criterios generales que ayudarn a comprender mejor las actividades de aprendizaje que se muestran en el tercer apartado.

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B. Propuesta didctica1. INTRODUCCINConcebir el proceso de enseanza y aprendizaje de la actividad matemtica, en Educacin Infantil, como un proceso de construccin mediada implica una determinada visin de competencia matemtica. Competencia que no se adquirir sin un proceso continuado de construccin por parte del alumno; proceso que, a su vez, requiere la participacin del grupo en una amplia gama de situaciones y contextos de actividad matemtica relevante. La competencia matemtica sealada no centra su atencin principal en los aspectos formales de las tcnicas matemticas sino en el aspecto procedimental y funcional del conocimiento matemtico. As pues, creemos que una de las finalidades prioritarias de la educacin matemtica, en estas edades, se centra en los aspectos relativos a la utilizacin del conocimiento matemtico en relacin con problemas y situaciones del entorno fsico y social inmediato, y como instrumento de representacin y comunicacin de determinados tipos de informaciones y mensajes en nuestro contexto cultural. (Onrubia y otros, 2001, pg. 497). La educacin matemtica puede y debe contribuir tanto al desarrollo personal como a la socializacin de los alumnos y, en particular, debe contribuir, a largo plazo, a la adquisicin, por parte de los alumnos, de un conjunto de capacidades necesarias para actuar como ciudadanos competentes, activos, implicados y crticos. El logro de estas capacidades y finalidades no es en absoluto sencillo, y exige un tipo de enseanza presidida por unos criterios globales coherentes con las ideas presentadas hasta el momento. Algunos de los criterios que se mostrarn a continuacin se extraen de (Onrubia y otros, 2001) y han sido seleccionados, de entre los sealados de forma ms recurrente por la investigacin psicoeducativa. Otros criterios proceden de mi experiencia y dilogo con maestros en activo en las sesiones de formacin permanente.

2. CRITERIOS PARA LA CREACIN DE SITUACIONES MATEMTICAS POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVAS 2.1. Contextualizar el aprendizaje de las matemticas en actividades autnticas y significativas para los alumnosLa actividad matemtica desarrollada en el aula debera tener sentido ms all de los contenidos matemticos implicados. Qu hacemos? Por qu lo hacemos? Dnde queremos llegar? Qu queremos saber? Qu queremos responder? Qu deseamos hallar? Son algunos de los interrogantes que la clase debera poder responder con sentido y significado.

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B. Propuesta didctica

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Qu hacemos? Rellenar la ficha. Por qu lo hacemos? Para escribir nmeros. Dnde queremos llegar? No s. Qu queremos saber? Escribir nmeros. Qu queremos responder? Cuntos hay? Qu deseamos hallar? Nada.

Qu hacemos? Explicar lo que se necesita para hacer el platillo volante. Por qu lo hacemos? Para llevarlo a casa y poder hacerlo con mi mam. Dnde queremos llegar? A que mam entienda lo que necesita. Qu queremos saber? Saber hacer la receta sin equivocarme. Qu queremos responder? Qu necesitamos para hacer un platillo volante? Qu deseamos hallar? Una manera de explicar que los otros me entiendan. (Edo, 1997)

Observar las diferencias entre las representaciones personales de dos alumnos distintos.

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El segundo ejemplo de actividad grfica mostrada tiene sentido despus de haber realizado la receta en clase, despus de haber merendado y buscando realmente el sentido de comunicacin. Es decir, es necesario que el alumno se explique con las herramientas que conoce, para que otras personas entiendan el significado de lo que quiere comunicar. Los ingredientes necesarios para hacer esta receta, son: Una galleta. Un poco de Nocilla. Cinco estrellitas.

2.2. Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensin y la resolucin de problemasLas situaciones de resolucin de problemas constituyen un espacio natural para la utilizacin contextualizada del conocimiento matemtico, proporcionando por ello un instrumento de primer orden para el aprendizaje significativo y funcional. (Onrubia y otros, 2001, pg. 499) El reconocimiento o creacin de situaciones de aula potencialmente significativas (desde la actividad matemtica) y la creacin de ambientes de resolucin de problemas debera generar el contexto adecuado para la enseanza y el aprendizaje de los contenidos matemticos (Abrantes, 1996). Hay que sealar que no siempre que los alumnos resuelven problemas en clase de matemticas estn haciendo un uso autnticamente contextualizado y funcional del conocimiento matemtico. Cuando los alumnos se enfrentan a un problema matemtico y se limitan a aplicar alguna tcnica ya conocida, en realidad no resuelven un problema sino que estn realizando un ejercicio. En los ejercicios, el alumno reconoce la situacin como ya conocida y dispone de procedimientos de tipo automtico (reglas, algoritmos, frmulas). En los problemas, la situacin es nueva para el alumno y se requiere de algn proceso de reflexin o de toma de decisiones sobre la secuencia de pasos que se deben seguir para resolverla. La prctica de ejercicios permite consolidar destrezas bsicas, mientras que la resolucin de problemas requiere adems estrategias, conceptos y actitudes que

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lleven al alumno a persistir en la bsqueda de una solucin, implicando as una mayor demanda cognitiva y emocional. Pero, para conseguir realmente un ambiente de resolucin de problemas, deberan cumplirse algunas condiciones que acercaran los problemas del aula a los problemas matemticos reales. En particular, parece necesario que sean problemas planteados y definidos por los propios alumnos, que supongan tareas contextualmente relevantes, que puedan abordarse y resolverse por mtodos diversos, que permitan distintas soluciones y no necesariamente exactas y que compartan su finalidad de promover el aprendizaje de las Matemticas con finalidades extra-matemticas de interpretacin de la realidad o de actuacin en ella (Barber y Gmez-Granell, 1996). A continuacin se mostrar un ejemplo de una situacin de aula que se convierte en un contexto de resolucin de problemas (realizado en el ciclo inicial de Primaria). El da 17 de noviembre de 2003 apareci en clase el recorte de peridico. Esta noticia, que daba los resultados de las votaciones autonmicas realizadas el da anterior, suscit una conversacin apasionada en la que todos participaron explicando sus vivencias en relacin con el hecho de votar. En este dilogo se leyeron e interpretaron todos los nmeros que aparecen en la noticia.

16 N nos dice el da que se vota 2003 expecifica el ao Al llegar a qu explican el 46 de CiU, el 42 del PSC, etc., hay una discusin respecto a si este nmero nos informa de cuntas personas votaron. Se llega a la conclusin que no, que son las personas de cada partido que estarn en la Generalitat. Hay tambin un debate sobre qu significa el 135 y a partir de hiptesis y dilogo se llega a la conclusin de que es el total de personas, de todos los partidos, que tienen algn escao, un silln en la Generalitat.

Pero hay una nueva pregunta importante realizada por un alumno. Pero ahora qu pasar? Quin ser el nuevo presidente de la Generalitat? Para poder acercarse a una respuesta verosmil tuvieron que indagar cmo se decide quin puede gobernar, as se encontraron calculando cuantos escaos seran necesarios para ello, es decir, calculando la mitad de 135. Esta actividad se realiz en pequeos grupos, luego consensuaron la respuesta y llegaron a la conclusin de que para formar gobierno se necesitaban, como mnimo 68 escaos.

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De nuevo surgieron preguntas. Pero si ningn partido tiene 68 escaos Qu harn? La respuesta fue: Pues se juntarn varios partidos. Pero cmo? La maestra, Imma Raurell, vio que esta era una buena pregunta para que los alumnos siguieran resolviendo problemas, pero en esta ocasin los alumnos se enfrentaron al interrogante de forma individual. As que redactaron el siguiente enunciado y cada alumno se enfrent a buscar posibles soluciones y respuestas. El da 16 de noviembre se celebraron las elecciones al Parlamento de Catalua. En la hoja salen los resultados de las votaciones. Para gobernar se necesitan, como mnimo 68 escaos. Cmo se podran juntar los partidos polticos para conseguirlos?

De esta forma, un recorte de peridico permiti crear un ambiente de resolucin de problemas, en el que algunas de las cuestiones que formulaban los mismos alumnos se discutieron y resolvieron en gran grupo, otras en pequeo grupo y otras de forma individual; pero siempre buscando explicaciones y significados ms all de los clculos y las tcnicas matemticas empleadas. La actividad matemtica, en esta ocasin, nos ayuda a comprender mejor la realidad.

2.3. Activar y emplear como punto de partida el conocimiento matemtico previo, formal e informal, de los alumnos para progresar hacia niveles ms altos de abstraccin y generalizacinComo se ha sealado en la presentacin del tema, los alumnos de Infantil poseen un amplio bagaje de conocimiento matemtico informal que es necesario hacer emer-

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ger y utilizar como base para construir, a partir de l, un aprendizaje matemtico escolar significativo. En edades ms avanzadas (Primaria y ESO) a menudo los alumnos no activan, ante las situaciones y problemas formales de las matemticas escolares, su conocimiento previo relevante ni, inversamente, transfieren a contextos cotidianos las estrategias aprendidas en el contexto escolar. Por ello, las propuestas innovadoras actuales fomentan que los alumnos utilicen activamente en el aula su conocimiento matemtico informal y sus formas personales de representacin, de pensamiento y de resolucin de problemas matemticos (Onrubia y otros, 2001). En la prctica, en Infantil, es relativamente sencillo ayudar a los alumnos a hacer emerger sus conocimientos previos. De forma sistemtica, antes de empezar algn tema, alguna explicacin, algn proceso de bsqueda de respuesta deberamos preguntar qu opinan, qu se imaginan, qu intuicin tienen los alumnos en relacin con el tema. El hecho de formular hiptesis antes de buscar respuestas ms formales, ms racionales, ms verificadas y consensuadas es la forma de activar los conocimientos previos de los alumnos. As conseguimos que cada alumno se plantee un interrogante propio, que el nuevo conocimiento escolar se relacione con experiencias previas y que el nuevo contenido se integre en la red de conocimientos personales, convirtindose as en significativo y pueda ser empleado en nuevas situaciones.

Antes de realizar alguna experiencia de medida se pregunta a cada alumno: Cunto te parece que pesas?

Una vez realizada la experimentacin se formula de nuevo la pregunta pero esta vez sin subjetividad cunto pesas?

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2.4. No limitar y jerarquizar en una secuencia nica los contenidos matemticos de aprendizajeEsta visin de la enseanza y el aprendizaje escolar implica una nueva concepcin de jerarqua y secuencia de los contenidos matemticos para aprender. Fuera del contexto escolar los alumnos no aprenden primero el 1 luego el 2, ms tarde el 3, cuando ya han asimilado el 4, empiezan a construir el concepto de 5, etc. En relacin con nuestro sistema de numeracin los alumnos, desde Educacin Infantil, intentan comprender cmo funciona y cmo utilizan los adultos los nmeros. Por ello empiezan diferenciando entre signos que son letras, y otros que son nmeros. Pronto descubren, por ejemplo, que los nmeros ms largos, que tienen ms dgitos, son mayores que los ms cortos; que cuando hay un punto en el nmero (2004) decimos la palabra mil, etc. Pronto retienen y memorizan algn nmero significativo para la clase, por ejemplo el nmero que dice el ao: 2004 se lee: dos mil cuatro. A partir de l se realizan inferencias e hiptesis sobre cmo se leern otros nmeros: el 2003, el 2002, el 2000, etc.

Esto es el rincn de nmeros de la clase de 5 aos de Joaquina Snchez. Segn el currculo les corresponde aprender los nmeros del 1 al 9, pero, como vemos, el grupo se ha interesado por conocer otros. Incluso podemos observar un interrogante al lado de los nmeros 1000 y 1100, esto indica que no tienen claro cmo se leen o cul es mayor, y que estn en proceso de bsqueda. En nuestros libros de texto los contenidos para aprender aparecen ordenados segn la lgica de la materia. Por ejemplo, de numeracin: Primero la ficha del 1, luego la del 2, del 3, etc. En geometra: Punto, lnea, superficie, tridimensionalidad. Operaciones: Primero la suma, luego la resta, ms tarde la multiplicacin y despus la divisin. Pero, en la realidad, los alumnos son capaces de enfrentarse a situaciones con nmeros grandes que no toca aprender por currculo, y son capaces de resolver problemas de multiplicacin y de divisin mucho antes de presentar los conceptos y los algoritmos correspondientes. Esto es as cuando se plantea la necesidad dentro de un contexto con sentido y cuando los alumnos desean realmente encontrar una solucin.

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2.5. Apoyar sistemticamente la enseanza en la interaccin y la cooperacin entre alumnosComo se ha sealado en A. Presentacin del tema, la conversacin, la bsqueda de acuerdos y la negociacin de significados es uno de los pilares bsicos de la actividad matemtica en la educacin obligatoria. Esto implica una forma especfica de dilogo y de relacin entre los integrantes del grupo. Los alumnos aprenden unos de otros y enriquecen sus miradas y sus concepciones a travs de la confrontacin de ideas y de procesos de resolucin. En este entorno no tiene sentido el compaero me copia. En este entorno es vlido conversar, discutir, admirar y comparar producciones e ideas verbales y grficas. Las formas de agrupacin de los alumnos al realizar cualquier tarea deberan alternarse; as, en ocasiones, discutimos y analizamos alguna situacin en gran grupo, dando la maestra, un modelo de proceso para llegar a acuerdos. En otras ocasiones el tema que se ha de debatir o resolver se cede a pequeos grupos de alumnos, que conjuntamente intentan encontrar una solucin, y en otros momentos se requerir la realizacin de una tarea de forma individual, que al finalizar se puede comparar y contrastar para analizar las distintas formas de enfrentarse a una misma situacin. Gran parte de las actuales propuestas innovadoras para la enseanza de la actividad matemtica contemplan, entre sus principios, el aprendizaje cooperativo, asumiendo que la construccin del conocimiento matemtico se produce a travs de la interaccin, la negociacin y la colaboracin, como vas para que los alumnos puedan convertirse en miembros competentes de una comunidad y cultura matemtica. Veamos un ejemplo de resolucin colectiva de un problema en Educacin Infantil. La maestra, Anna Garcia, dej ocho galletas para merendar en el centro de cada mesa de cuatro alumnos y les pidi: Cmo podrais repartir estas galletas entre los nios y nias de vuestra mesa? Discutidlo primero y lo explicis en una hoja despus.

En este caso, deciden que darn dos galletas a cada alumno (4) y para explicarlo utilizan la representacin plstica ms elementos grficos como las flechas que indican las correspondencias entre galletas y alumnos. Tambin aaden el nmero 2. Al explicar su representacin dicen que el personaje que no tiene galletas es la maestra y por tanto sobra.

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En este caso deciden que Dani y Mara tendrn dos galletas, Mireia una y Miqui tendr tres. Al explicar su representacin inciden en que lo han hecho as porqu a Mireia no le gustan mucho las galletas, y por el contrario, Miqui tiene mucha hambre. Es una solucin distinta a las dems, pero vlida porque est consensuada por el grupo de trabajo.

En este caso creen que solamente con escribir el nmero dos, quien lo lea ya entender que son las galletas que tocan a cada uno. Al explicar su representacin slo dicen: dos galletas a cada uno.

2.6. Ofrecer a los alumnos oportunidades suficientes de comunicar experiencias matemticasYa se ha comentado en distintos momentos de la exposicin precedente, que la actividad matemtica, desde la perspectiva sociocultural, contiene ciertas prcticas y gneros discursivos, ciertas formas de habla y de razonamiento propias de la disciplina (conjeturar posibles soluciones, discutir y argumentar soluciones alternativa s , e x p l i c a r y j u s t i f i c a r e l p r o c e s o e m p l e a d o p a ra l a o b t e n c i n d e u n a determinada solucin, etc.). Consecuentemente, la educacin matemtica pasa por aprender a hablar matemticas. Pero este lenguaje propio de la materia debe desarrollarse, en Educacin Infantil, de forma oral y tambin de forma escrita. Esto implica la necesidad de proponer la realizacin de actividades grficas, a los alumnos, en las que se omite, a propsito, la forma de realizarlas.

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Los alumnos de Infantil, que estn empezando a comprender y construir distintos tipos de lenguaje (lecto-escritura, matemtico, plstico, etc.) para conocer y para comunicar deben tener oportunidades de utilizar e intentar expresarse utilizando estos lenguajes que estn aprendiendo. Los primeros textos escritos, los primeros dibujos son un intento de apropiacin de un cdigo de los adultos para comunicarse con los dems. La actividad matemtica tambin requiere que los alumnos tengan oportunidad de expresarse tratando de utilizar el lenguaje que estn intentando apropiarse. Por eso somos unas gran defensoras de la pgina en blanco en la que se pide a los alumnos que expliquen como quieran, alguna vivencia reciente con relacin a contenidos matemticos. Cuando se realizan este tipo de demandas, nunca aparecen veintitantas hojas iguales. Al contrario, aparecen veintitantas producciones distintas. Cada alumno expresa, a su modo, lo que desea comunicar. A menudo, en sus textos aparece la utilizacin de distintos lenguajes simultneamente (dibujos, letras, nmeros, etc.) y esta diversidad de representaciones nos ofrece una nueva oportunidad de comparar, contrastar e, incluso, reconocer las formas de expresin ms econmicas, ms comprensibles y ms prximas al lenguaje matemtico de los adultos. Retomemos el ejemplo de la Merienda Galctica, platillos volantes (Edo, 1997).

Estas dos representaciones grficas, aunque hacen referencia a los mismos ingredientes, son muy distintas. Una vez terminadas, la maestra, Montserrat Estival, escoge una seleccin de producciones, las pone a la vista de toda la clase y cada alumno presenta y discute la comprensin de su produccin.

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Es necesario dibujar las 5 estrellas? Los padres entendern la segunda produccin? Por qu?

2.7. Atender los aspectos afectivos y emocionales implicados en el aprendizaje y el dominio de las MatemticasEn el proceso de educacin matemtica no estn implicadas nicamente capacidades de tipo cognitivo, sino tambin de carcter emocional. El clima, el ambiente, las relaciones interpersonales que se crean dentro del aula pueden llegar a ser determinantes en los procesos de enseanza y aprendizaje. En este sentido, Bach y Darder (2002, pg. 27) proponen: Debemos hacer un giro de ciento ochenta grados, esto implica dar ms importancia a la resolucin de problemas de relacin entre las personas, para luego estar en mejor disposicin para resolver problemas de Matemticas. Efectivamente, la interaccin es la base de la relacin educativa. Representa el modelo inicial de formacin de la persona humana. El alumno en la escuela, crece, se conoce, conoce a los dems y la realidad que lo rodea, gracias a los otros, y especialmente gracias al soporte intencional, afectivo y racional de sus maestros. Por ello, es necesario establecer interacciones personales slidas y clidas dentro de cada grupo. La educacin formal incide en las dimensiones afectivas a travs de las vivencias de los maestros y de los alumnos. En las situaciones de enseanza y aprendizaje, los alumnos deben adquirir conocimientos, pero desde el entusiasmo y hacia la satisfaccin; deben establecerse relaciones personales, pero desde la comprensin y la honestidad y hacia el placer del trabajo conjunto.

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Como se habr interpretado a lo largo de la exposicin sabemos que los alumnos no son receptculos que se tengan que rellenar de ciencia, ni los maestros son instrumentos para llenarlos. Unos y otros son personas con emociones que quieren vivir y compartir y, por encima de todo, quieren ser reconocidos y aceptados por los dems. Por tanto lo realmente importante es la relacin que se establece entre los integrantes del grupo, y esta interaccin ser educativa para unos y para otros- si se colabora en proyectos comunes y se ayudan entre ellos, porque de esta forma pueden ser conscientes de sus metas comunes. La actitud del maestro es esencial ya que se educa emocionalmente desde las emociones mostradas. Educar con una actitud emocionalmente sana implica, segn Bach y Darder (2002), mostrar una actitud vital: relajada y receptiva; clida y cercana; honesta y dignificante; responsable y comprometida; voluntariosa y flexible. En relacin con el aprendizaje de los alumnos, Bach y Darder afirman que no hay aprendizaje significativo por el mero hecho de que exista actividad, y que esta se integre estructuradamente en el plano cognitivo; sino que habr aprendizaje significativo cuando la actividad sea fruto de la emocin y genere emocin, es decir, cuando se establezca algn tipo de vnculo afectivo con aquello que estamos haciendo o conociendo. Dicho de otro modo, habr aprendizaje significativo cuando el hacer, el conocer y el sentir encuentren un punto de convergencia en el cerebro humano.

3. A MODO DE CONCLUSINPartiendo de esta visin que remarca la importancia de lo emocional en los procesos de enseanza y aprendizaje, podemos asegurar que, cuando en las sesiones de formacin permanente, un maestro, un ciclo o un claustro se lanzan a innovar siguiendo algunos de los criterios que se han expuesto hasta ahora, invariablemente acuden a la siguiente reunin llenos de entusiasmo y las expresiones ms frecuentes son: mira qu han hecho mis alumnos, mira hasta dnde han llegado, mira qu proceso de resolucin ha encontrado, etc. Y es que para que exista, en los alumnos, el deseo y el placer de saber, de conocer y de aprender, debe existir tambin, el placer del maestro a sorprenderse al ver a sus alumnos descubrir, construir, opinar y explicar. Y esto es imposible si nos centramos nicamente en las tcnicas matemticas que aparecen en las fichas. La educacin matemtica, tal y como la hemos planteado, incluye de forma indisociable el hacer, el conocer y el sentir de los alumnos y del maestro; es decir, del grupo que trabaja conjuntamente para conseguir un objetivo comn.

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C. Actividades de aprendizaje y evaluacin1. INTRODUCCINComo se ha indicado en los apartados precedentes, la enseanza y el aprendizaje de las Matemticas en Educacin Infantil debe partir de situaciones con significado en las que el adulto las emplea de una manera sistemtica en diferentes momentos y contextos. En estas situaciones, el maestro debe involucrar a los alumnos en los procesos de comprensin y de resolucin, cedindoles, de forma gradual, algunas tareas o parte de tareas. De esta forma, los nios y nias, van siendo cada vez ms capaces y ms autnomos en la aplicacin de los contenidos empleados y en la resolucin de tareas contextualizadas. Recordemos que las situaciones propias del aprendizaje de las Matemticas se extraen de aquellas que ocurren normalmente en la vida real. Las diferentes actividades que surgen a partir de estas situaciones ayudan a los nios a comprender la necesidad de la organizacin del medio, de las mltiples relaciones establecidas entre los objetos y la utilizacin del lenguaje matemtico en contextos determinados y variados. El trabajo sistemtico se extrae de aquellas situaciones del contexto realmente significativas y tiles para el nio, nunca alejadas de la realidad. En el planteamiento de qu actividades matemticas debemos priorizar o seleccionar existen algunos conocimientos y vivencias personales, sociales y culturales que cualquier alumno, al terminar la etapa de Infantil, debera tener experiencia directa y que nos pueden guiar. Los nios y nias, al acabar la mencionada etapa, deberan haber tenido experiencias significativas con relacin a una serie de conocimientos relevantes para desenvolverse mejor en su entorno, por ejemplo, conocer: Nmero de hermanos y su lugar entre ellos. Edad: cuntos aos tienen. Fecha de nacimiento propio. Nmeros de telfono importantes. Seas y direccin de su domicilio. Fechas importantes, calendario. Talla de ropa y de calzado. Pasar lista, contar los que faltan. Nociones temporales: organizarse en el da. Ubicacin temporal: hora, da, semana, mes, ao. Orden, filas, agrupaciones de los alumnos. Distribucin de materiales. Medida: crecimiento, peso propio y de los compaeros. Nociones espaciales: localizarse y localizar a otros. Elaboracin de recetas de cocina. Preparacin de una excursin.

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C. Actividades de aprendizaje y evaluacin

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Elaboracin de una lista de compra. Dinero: monedas en curso, Cunto vale? Comprar. Juego de mesa, organizacin, seguimiento de reglas. Preparacin de una fiesta.

Teniendo en cuenta que priorizamos la creacin de situaciones matemticas potencialmente significativas y que el objetivo ltimo es involucrar a los alumnos en situaciones en las que la matemtica nos ayuda a comprender y/o a comunicar las vivencias personales y grupales, a continuacin se mostrarn algunos ejemplos de actividades desarrolladas en aulas de Educacin Infantil que persiguen este fin.

2. PRESENTACIN DE PROPUESTAS DE AULAEvidentemente, no hay una forma de organizar la actividad de Matemticas en Educacin Infantil. Siguiendo los criterios expuestos hasta ahora podemos encontrar mltiples organizaciones vlidas. Por ello hemos organizado la presentacin de propuestas de situaciones de aprendizaje y de evaluacin en dos grupos. Propuesta 1. Se har un recorrido por cinco tipos de propuestas organizativas de aula, susceptibles de generar situaciones matemticas potencialmente significativas. Estos contextos para desarrollar la actividad matemtica se presentan brevemente y se muestran algunos ejemplos. Las propuestas que presentamos son: Rincn de los nmeros, Rutinas y hechos puntuales de la vida escolar, Talleres, Juego simblico y juegos de reglas: motrices y de mesa, y Proyectos de trabajo. Propuesta 2. Se presenta una serie de cinco conversaciones matemticas consecutivas desarrolladas en una aula de Infantil durante un curso. Estas conversaciones tienen su origen en distintas situaciones (rutinas y hechos puntuales, rincn de nmeros, preparar una visita a un museo, etc.). La descripcin y trascripcin de los dilogos, as como, la muestra de actividades grficas realizadas por los alumnos pueden ayudar a comprender, de forma temporal, el proceso y evolucin de un grupo concreto.

3. LA EVALUACIN DE LA ACTIVIDAD MATEMTICA EN EDUCACIN INFANTIL1La finalidad de la evaluacin es reorganizar y ajustar la enseanza hacia el proceso de aprendizaje de los nios. La evaluacin se convierte, de esta forma, en un instrumento de investigacin y reflexin y un elemento de debate profesional que permite construir y reconstruir las situaciones de enseanza para acompaar realmente el aprendizaje, en una decisin colectiva sobre propuestas didcticas y de resolucin de las problemticas que aparecen en la vida social del aula.1. El registro de observacin, as como el enfoque de evaluacin es del CP Nuevo Almafr de Elda.

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La observacin sistemtica, planificada desde aquello previsible hasta aquello espontneo, es la base propicia de la Evaluacin en Educacin Infantil. Esta forma de entender la evaluacin conlleva una actitud del maestro relajada, de escucha, de comprensin y de respeto, hacia lo que los alumnos estn viviendo, pensando o haciendo. Por ello, la evaluacin ha de ser planificada de forma abierta, comprensiva y flexible, para investigar los efectos de la accin en el contexto de una situacin determinada cuya finalidad es analizar las dificultades con las que se enfrentan los nios para resolver las situaciones educativas que se les plantean. Hay que determinar los instrumentos de registro que permitan recoger los datos observables de manera perdurable, por ejemplo: Diario de clase. Registros de Observacin (ver, a continuacin, un posible modelo anexo).

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LA COMUNICACINREGISTRO DE OBSERVACINRECONOCE 4 5 6 7 8 9 10 30 EN SERIE AL DICTADO SUMAR RESTAR OTROS SUMA ESCRIBE LOS NMEROS HASTA UTILIZA LOS N CUENTA HASTA CON SENTIDO RESUELVE PROBLEMAS OPERACIN GRFICA RESTA

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Propuesta 1. Cinco entornos matemticosAlgunas de las propuestas que generan contextos o entornos a partir de los cuales se desarrolla la actividad matemtica en el aula de Infantil son las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. Rincn de los nmeros Rutinas y hechos puntuales de la vida escolar. Talleres. Juego simblico y juegos de reglas: motrices y de mesa. Proyectos de trabajo.

Actividad 1.1. Rincn de nmerosEstablecer un espacio fsico en el aula donde los alumnos colocan objetos de su entorno en los que aparecen nmeros. Este rincn se va construyendo a medida que pasa el tiempo y los elementos que los alumnos aportan son interpretados y compartidos por el grupo. Tambin es interesante establecer un espacio escrito en el que vamos aadiendo: cuestiones pendientes de resolver (por ejemplo, los nmeros grandes que no sabemos leer), acuerdos a los que hemos llegado conjuntamente (por ejemplo, ya sabemos leer: veintiuno, veintids, veintitrs, etc.). As como, cualquier objeto o conclusin relativa al conocimiento de nuestro sistema numrico, compartido por el grupo. Este texto colectivo son los acuerdos que llegaron en una clase de 3 a 4 aos despus que la maestra, Esperana Jimnez, les preguntara, en el tercer trimestre del curso: Dnde encontramos nmeros? Y Para qu nos sirven estos nmeros? Vamos a organizar lo que ya sabemos. Vemos que sus conocimientos tienen relacin directa con las experiencias que han vivido en clase. El hecho de quedar escrito permite revisar y aadir nuevos acuerdos a lo largo del tiempo. Una experiencia concreta de esta clase, que queda reflejada en el texto, indica que los nmeros nos ayudan a cuidar a Lucas (la mascota de la clase).

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A principio de curso se establecieron unos acuerdos en el grupo con relacin a los pasos que se deban seguir para cuidar a Lucas. El hecho de organizar las acciones para realizar temporalmente y numerarlas ha permitido que los alumnos tenga repetidas vivencias de significado de los nmeros ordinales: en primer lugar, limpiar la jaula; segundo, poner agua para beber; tercero, poner comida; cuarto, meter la jaula en la bolsa; y quinto, ponerlo al sol. Esta secuencia repetida en el tiempo permite que en el momento de reflexin y organizacin de sus conocimientos numricos aparece la secuencia ordinal como referencia importante.

Otras referencias numricas que aparecen en el momento de organizar y estructurar sus conocimientos vienen condicionadas, tambin, por los elementos presentes, y repetidamente utilizados, en el aula. As, el calendario, los aos que tenemos

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y que vamos cumpliendo, el reloj que nos dice la hora que es, los nmeros de las pginas de los libros, etc., son referencias numricas importantes por el significado que tienen en esta aula.

Actividad 1.2. Actividades cotidianas (Rutinas) y hechos puntuales de la vida escolarLas rutinas son actividades que se repiten diariamente en el aula, independientemente del Proyecto que se est trabajando o de los rincones de trabajo que se tengan y que cumplen funciones de organizacin de la dinmica interna del grupo. Ejemplos de estas actividades seran: Pasar lista, contar los que faltan. Fecha diaria en el calendario y pizarra. Sealar das especiales en el calendario. Reconocer y comparar la temperatura. Repartir y distribuir materiales. Repostar materiales comunitarios. Organizar los alumnos en filas, en grupos, etc. Ordenar el aula, los rincones. Celebrar cumpleaos. Organizar espacios individuales y colectivos: perchas, batas, archivadores, etc.

Todas estas actividades deben tener un sentido para ellos. Si alguna actividad de las propuestas, a lo largo del tiempo, deja de tener inters colectivo, por estar ya interiorizada su mecnica, debe eliminarse como actividad de enseanza y aprendizaje grupal para pasar a ser una rutina real. Con relacin a los hechos puntuales de la vida escolar, merece la pena reconocerlos y vincularlos al conocimiento matemtico. Por ejemplo: el aniversario de nuestra escuela, celebraciones de fiestas populares, organizacin de exposiciones de trabajos de toda la comunidad escolar, elaboracin de un libro por la festividad del da del libro, etc. A continuacin vamos a mostrar un ejemplo de un hecho puntual que se convierte, casi como un juego, en una situacin de reflexin cuantitativa y de descomposicin. Una maana, la maestra de P-3 entra en la clase de P-5 y pide a los alumnos si le prestan sus barras de pegamento. Los nios y nias le explican donde estn y ella coge una bandeja en la cual hay seis barras de pegamento y les dice, mostrando rpidamente el contenido:

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Mirad cuantas me llevo porque despus tengo que devolver la misma cantidad. Pero muestra tan rpidamente el contenido que los nios no saben reconocer cuantas hay. Insiste: A ver, cuntas hay? Luego, al ver que nadie es capaz de reconocer la cantidad sin contar, les dice que estn atentos porque va a hacer un juego rpido que les puede ayudar.

Coloca las seis barras en dos bloques de tres y vuelve a mostrar rpidamente el contenido de forma que los alumnos no tienen tiempo para hacer el recuento. Pero hay varios alumnos que dicen inmediatamente: Hay seis.

MAESTRA: Cmo sabis que son seis? La respuesta es clara: VARIOS ALUMNOS: Porque hay tres y tres. MAESTRA: Y esto son seis? ALUMNOS: S. Lo miran despacio, lo comprueban y cuentan hasta seis. Acuerdan, pues, que habr de devolver seis barras de pegamento. Cuando a la tarde siguiente, la maestra de P-3, vuelve a la clase de P-5, coloca solo cuatro barras de pegamento, en dos bloques de dos.

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Entra diciendo que viene a devolver el pegamento y vuelve a hacer el juego de ensear y esconder rpidamente el contenido; mientras dice: Os devuelvo los pegamentos, muchas gracias. Estn todos, no?

Los alumnos de P-5 enseguida dicen que no! Luego, en grupos, discuten qu pasa, se oyen hiptesis de cuntas barras ha devuelto, hiptesis sobre qu cantidad falta, etc. Un nio dice: Falta una. La maestra saca una barra del bolsillo, la coloca en la bandeja y, volviendo a hacer el juego de mostrar rpidamente el contenido, dice: Ahora s, ya las tenis todas, no? Pero varios alumnos dicen: No, no estn todas. No, falta una. Una nia dice: No estn todas, porque no hay tres y tres.

En este momento, en plan de juego, varios alumnos se lanzan sobre la maestra y empiezan a rebuscar por sus bolsillos hasta que dan con la barra que faltaba. Una vez aadida se ponen a contarlas para asegurarse que no falta ninguna. Comentarios de las maestras implicadas (Tutora de P-3: Esperana Jimnez y Tutora de P-5: Joaquina Snchez): El hecho de ser una situacin real y funcional hace que los nios y nias mantengan una atencin especial al tema, ya que ellos no quieren que ser engaados. El recurso, para facilitar la representacin mental de la cantidad, de realizar dos agrupaciones, ha sido una intervencin muy acertada. El hecho de utilizar el conteo slo al final, como recurso de comprobacin,

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favorece la representacin mental de la cantidad como herramienta principal, dejando el recuento como elemento secundario y no como el nico o el mejor.

Actividad 1.3. TalleresEntendemos por talleres aquellas actividades, principalmente manipulativas, en las que los alumnos se organizan en grupos reducidos y en el que se plantean actividades para la utilizacin de contenidos especficos de esta rea. Es importante que estas actividades tengan un tiempo concreto semanal, destinado al taller. Sin embargo un taller puede ser anual o tambin tener sentido organizarlos trimestralmente. Los talleres se pueden organizar partiendo de cualquier contenido matemtico, conceptual o procedimental, pero tambin pueden organizarse desde el sentido de la actividad propuesta, implicando distintos contenidos matemticos. Los talleres de geometra, en los que se dispone de materiales manipulativos concretos para utilizar en cada grupo y en los que existen algunas propuestas para que los alumnos vayan manipulando, construyendo y avanzando, funcionan muy bien en Educacin Infantil. Veamos algunos ejemplos de actividades realizadas en un taller de geometra de tres dimensiones.

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Recordemos que en cada mesa, de seis a ocho alumnos, se coloca un material distinto. En ocasiones se pide a los alumnos que construyan por parejas, luego se pide que realicen una nica escultura todos los alumnos de una mesa.

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En este taller realizado, en segundo curso de Infantil, por la maestra Roser Gmez, se alternan las sesiones de construcciones geomtricas de tres dimensiones con las sesiones de geometra bidimensional. Por ello los materiales que se utilizan difieren de los anteriores. Veamos tres ejemplos de materiales y actividades realizadas en el taller de geometra plana.

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Tambin se conocen varias experiencias de talleres de juegos de mesa en los que la numeracin, el clculo mental, y la resolucin de problemas son los contenidos principales. Los juegos de recuento y clculo permiten elaborar estrategias de conteo controladas por los dems. Ningn jugador est pasivo porque surge el inters de supervisar lo que el contrario hace. Por ejemplo: un taller de tres a cinco aos (Escuela Pa de Sabadell, 2004) contiene los juegos: el Memory, la Oca, dos juegos de cartas, el domin, el parchs, el bingo y dos juegos de dados (para ms informacin sobre talleres de juegos de mesa y matemticas, ver apartado D. Recursos). Otros talleres posibles son: el taller de medida, pesos y longitudes; el taller de calculadora, el taller de compra y venta, el taller de transformacin de espacios, taller de cocina, taller de arte y matemticas, etc. A continuacin se presentarn algunas actividades realizadas en un taller de calculadora trimestral, para un grupo de 5 a 6 aos. El grupo de alumnos que participan en este taller es de 15 nios y nias. Hay una calculadora para cada alumno, pero en ocasiones trabajan de dos en dos.

La primera sesin, de descubrimiento. Encender y apagarSlo se les indica: A ver si descubrs las teclas que hay que pulsar para encender y apagar la calculadora, para aprender a no dejarla nunca encendida (uso correcto de las pilas). A partir de esta primera reflexin y comprobacin conjunta, se deja utilizar y descubrir libremente el funcionamiento de la calculadora ofreciendo la ayuda si la necesitan.

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La sesin de actuacin libre y sin consigna previa, se puede repetir las veces que se considere adecuada.

Sesin de primeros acuerdos. BorrarEsta sesin se inicia con un dilogo acerca de: Qu pasa cuando se enciende la calculadora? Qu aparece en la pantalla? Es una letra o un nmero? Hoy vamos a averiguar cul es la tecla que anula todo lo que ha salido en la pantalla para volver a poner un 0. (Sin apagarla y volver a encender). Luego actividad libre.

Sesin de secuencia de aparicin de los dgitos en la pantallaEsta se puede iniciar con la siguiente consigna y cuestin: Hoy todos vais a hacer que en la pantalla aparezca el 2. Una vez hecho se pide que dejen la calculadora en el centro de la mesa y se le pregunta: Qu pasar si ahora pulsis la tecla del nmero tres? A partir de esta demanda, y sin tocar todava la calculadora, se abre un turno de hiptesis y de escritura en la pizarra de posibles soluciones. Una vez realizada la comprobacin se puede pedir a los alumnos que hagan que aparezca en la pantalla de sus calculadoras nmeros que ya saben leer y que los vayan apuntando en una hoja individual o por parejas.

Sesin de descubrimiento y comprobacin de la utilizacin de una constante (1++)En esta ocasin habr que escribir en la pizarra 1 + + = = = , etc. y preguntaremos Sabis qu pasar cuando apretis estas teclas qu os he indicado? . Consiste en hacer una pequea conversacin de hiptesis y luego dejar que, en parejas, hagan la comprobacin de que lo que va saliendo en la pantalla es la serie numrica completa. El hecho de terminar la sesin haciendo algn trabajo grfico de conclusin de lo que se ha descubierto en el taller, es siempre una opcin, aunque no creemos que sea necesario realizarlo siempre por escrito. Por el contrario, s que parece recomendable destinar un tiempo final a conversar acerca de lo que han descubierto en cada sesin.

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Sesin de descubrimiento de las acciones realizadas por las teclas + y Qu os parece?, para qu sirven las teclas + y ? En qu nos pueden ayudar? La sesin se centra en descubrir el significado de las teclas + y , a partir de realizar hiptesis, discutir previamente cmo se tienen que usar y realizar comprobaciones.

Otras sesiones se pueden centrar en:Sacar la serie numrica descendente a partir de un nmero escogido. Escribir en la pizarra y teclear en la calculadora: (1) y el nmero del que se va a partir para que vayan saliendo los siguientes. Observar la serie numrica ascendente y comprobar cmo van variando el primer y segundo dgito. Agruparlos por familias: Los de 1 dgito. Los de 2 que empiezan por 1, por 2, etc. Escribir series de nmeros ascendentes y descendentes de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5... preparando la calculadora (2++, 3++, 5++, 2...). Conclusin: En las aulas donde se realiza un taller de calculadora, sta se convierte en un instrumento til que ayuda a resolver problemas de la clase en los que estn implicados nmeros o clculos demasiado grandes para realizarlos ellos mismos. Pero, lo que nunca va a resolver una calculadora es qu operaciones hay que realizar para obtener una respuesta deseada.

Actividad 1.4. JuegosEl juego es una actividad que constituye una pieza clave para el desarrollo integral del nio. Los juegos deben estar presentes en las aulas de Infantil, ms all de cualquier contenido o rea concreta. Pero sabemos que existen muchos juegos distintos que podemos relacionar con las matemticas. Destacaremos tres tipos de juegos vinculados a esta rea: El juego simblico. El juego de reglas de gran motricidad. Los juegos de mesa. El juego simblico, bien organizado, con unos espacios y materiales adecuados, en los que sera deseable que los propios alumnos intervinieran en su creacin, constituyen un entorno ideal para que los nios y nias simulen y se apropien de la

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actividad social de los adultos. As, el rincn de la tienda donde: el comprar y vender, hacer listas de compra, calcular el total que se debe pagar, seleccionar monedas, devolver cambio, etc., son acciones que aparecen vinculadas a un juego de simulacin. Estas acciones adquieren un potente significado para los alumnos, al mismo tiempo que permiten una actuacin relajada basada en el ensayo y error, porque el juego no requiere de ellos la formalidad y rigor de estas mismas acciones ejecutadas en la realidad y, por tanto, no existe la propia presin de evitar a toda costa el error. Podemos vincular la creacin de cualquier rincn de juego a las Matemticas, as la construccin colectiva del rincn de la casa, de la cocina, de la peluquera, del mdico, etc., requiere un diseo, reparto de tareas, organizacin y ejecucin temporal de las mismas, etc., que las matemticas nos van ayudar a realizar mejor. Los juegos de reglas de gran motricidad son otro gran apartado que adquieren todo su sentido, tanto desde la psicomotricidad, como desde la Matemtica. Existen numerosos juegos en los que intervienen el reconocimiento de nmeros, el recuento, pequeos clculos, ordinales, etc. Estos juegos tienen valor y significado por ellos mismos pero, adems, los maestros pueden ayudar a los alumnos a reflexionar o a representar aquellos aspectos numricos que desean destacar. Veamos un ejemplo:

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Este juego, cuadrado y ngulo, utilizado en Infantil por M Concepcin Dez, requiere marcar un cuadrado en el suelo, marcar otro cuadrado en el centro del mismo, y sealar los cuatro ngulos del cuadrado mayor. Este grafico se representa tres veces.

Una vez creadas estas formas en el suelo, en cada una de ellas se coloca un jugador dentro del cuadrado central. Cada jugador dispone de tres chapas que va a intentar lanzar dentro del cuadrado grande (1 punto), o dentro del espacio marcado en cada ngulo (2 puntos); si la chapa cae fuera del lmite del cuadrado son 0 puntos. Una vez lanzadas las tres chapas de cada jugador, se calcula el total de puntos obtenidos y se comparan las puntuaciones de los tres jugadores para determinar quien gan. Pero, una vez ms, podemos explicar, por escrito, la jugada en la que intervino cada jugador?

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LA COMUNICACINEn esta imagen se observa perfectamente que competan Marc, Alex y David. Cada uno de ellos realiz dos turnos de tirada. Observamos, en el cuadrado de Marc, la explicacin de la puntuacin que se obtiene, segn donde caiga la chapa. Reconocemos que Marc obtuvo 0 puntos en la primera jugada y 0 puntos en la segunda; la representacin de la jugada de Marc (donde estn situadas sus chapas, refleja la puntuacin cero puntos). Alex gan 5 puntos en una jugada y 6 en la otra (la representacin grfica, donde estn situadas las chapas, corresponde a la jugada de seis puntos), etc. Podemos imaginar una ficha en la que se deban escribir nmeros con ms sentido que la que se acaba de mostrar? Estos nmeros, cuadrados, esquemas, diagramas, intentos de explicacin adquieren todo el significado porque responden a una voluntad de comunicacin de una vivencia numrica y cuantitativa personal. Existen numerosos juegos que tendrn este sentido mltiple y que ofrecen esta oportunidad de representar, gracias a las Matemticas, lo vivido. Por ejemplo, la rayuela, el pauelo, los bolos, las sillas musicales, juego de paquetes y otros juegos musicales y pequeas danzas. En relacin a los juegos de mesa, no es necesario insistir ms, ya que se han presentado previamente al hablar de los talleres (y se ha referenciado suficiente bibliografa para crear un taller de juegos propio, adaptado a cada escuela). Solamente recordar que, para que los juegos de mesa lleguen a ser aprendidos por los alumnos de Infantil, es necesario destinarle un tiempo largo de aprendizaje, de organizacin y gestin autnoma del grupo. Recordemos que, adems de los posibles contenidos matemticos presentes en los juegos, los alumnos deben aprender a recordar las reglas del juego, saber escuchar, saber perder, saber organizarse y hacer equipos, saber respetar normas, etc., aprendizajes sociales tanto o ms relevantes que los marcados por cualquier rea curricular.

Actividad 1.5. Proyectos de trabajoNo vamos a entrar a describir en qu consiste realizar proyectos de trabajo, porque seguro que en esta misma publicacin hay apartados destinados a ello. Sola-

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mente queremos remarcar que en cualquier proceso de estudio de cualquier tema nuevo, siguiendo las pautas de: qu sabemos?, qu queremos saber?, dnde y qu nos va ayudar?, etc., habr momentos en los que la Matemtica nos ayudar a conocer ms y mejor el contenido que estamos conociendo. Ejemplos de proyectos y preguntas que se hacen los alumnos, en Infantil, en los que la Matemtica toma todo su sentido de ayuda a conocer: Los dinosaurios Qu altura tenan? Cuntos aos hace que vivieron? Los delfines cunto mide un delfn gris? Los volcanes Cul es el volcn ms alto del mundo? Cmo es la boca de un volcn? Los bebs Cunto tarda en hacerse un beb? Cmo es cuando nace? etc. Si realmente creemos que la Matemtica es un instrumento para conocer, no slo para hacer, debemos ayudar a los alumnos a vivirla y entenderla as, relacionando nuestros deseos de conocer ms, acerca de cualquier cosa y el tipo de ayuda y conocimiento que nos aporta esta rea.

Propuesta 2. Nuestras conversaciones matemticasActividad 2.1. El da 15 vamos al zoo!Descripcin de la actividad Habamos iniciado un proyecto para aprender cosas de los elefantes y los nios saban que un da iramos al zoo. Como cada maana, todos y todas ya estbamos preparados para iniciar el da conversando, cuando de pronto Jonathan pregunt: Cundo iremos al zoo?. Entonces le contest que iramos el da quince. Corre Susanna vamos a apuntarlo en el calendario, dijo l. El ao pasado, cuando hacamos P-3, siempre apuntbamos todas las salidas y los eventos importantes en el calendario para saber cundo llegaran. Pero en el momento de apuntarlo nadie saba cul era el nmero quince. Es as como surgi la primera duda de este curso. Qu os parece que podramos hacer?, les pregunt yo. En nuestra clase estamos muy acostumbrados a ayudarnos los unos a los otros y, tras esta pregunta, Paula propuso una solucin. Pues necesitamos ayuda, dijo. Y qu te parece, Paula, quin nos podra ayudar?. Paula propone ir a preguntarlo a los nios y nias de los ordenadores, es decir, propone ir a la clase de informtica porque cree que eso de los ordenadores no es nada fcil y seguro que esas nias y nios nos podrn ayudar a resolver nuestra duda. Entusiasmados, decidimos coger el calendario y un rotulador y subir a la clase de informtica que est en el segundo piso del colegio. Al entrar nos encontramos al grupo de P-5 y les pedimos ayuda. Laura, una alumna de P-5, nos dijo que ella saba encontrar el nmero quince. Le pedimos que nos lo marcara en el calendario y ella muy orgullosa as lo hizo. Despus le preguntamos cmo saba cual era el quince y Laura nos explic que cuando juega al escondite siempre cuenta hasta quince y que por eso lo saba.

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LA COMUNICACINDespus aquellos nios nos ensearon una cancin donde sala el nmero quince y nos la aprendimos. El texto de la cancin dice as: Quince son quince, quince, quince, quince, quince son quince, quince, quince son. Y, nos ensearon un juego que consiste en hacer una marca en la pizarra en cada pulsacin de la cancin. Si se hace correctamente salen 15 marcas. Bajamos a nuestra clase muy contentos y de pronto Adri dijo: Pues yo s hacer el nmero quince. A partir de aqu todos decidieron que queran probar de escribir este nmero. Fuimos a buscar un papel muy grande para que cupieran muchos quinces y cada nio y cada nia prob hacer este nmero.410/144

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Secuencias temporales Esta actividad nos ocup una maana. El tiempo que le destinamos estuvo determinado por inters de los nios y nias por la situacin surgida. Edades sugeridas 2 ciclo de Educacin Infantil.

Materiales El calendario fue el material clave para que esta situacin se produjera. Este instrumento, utilizado de forma regular en el aula es el origen y el soporte necesario para que se den numerosas conversaciones con sentido, es un potente generador de interrogantes numricos, y un gran aliado para ayudar a los alumnos a construir las primeras nociones temporales. Tambin usamos rotuladores y un gran papel de embalar para que todos pudieran escribir el nmero 15. Comentarios y sugerencias Poder vivir y observar cmo el grupo tiene una duda comn, cmo buscan un camino para solucionarla y, especialmente, poder compartir cmo se enfrentan, con mucha ilusin, a reconocer y escribir el nmero 15 me parece apasionante. Pero si, adems, con el paso del tiempo, compruebas que el nmero quince lo recuerdan y lo utilizan en otras situaciones vividas, la experiencia an resulta ms interesante. Era la primera vez que se encontraban con un problema as pero las ganas y el inters por solucionarlo hizo vibrar a los nios y nias ante un nmero que, en aquel momento, estaba lleno de sentido para ellos.

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Actividad 2.2. La entrada de circo de Adri!Descripcin de la actividad Una de las cosas, que en septiembre, el grupo decidi que quera hacer este nuevo curso de P-4 era aprender cosas de los nmeros. Para aprender cosas de los nmeros relacionndolo con su funcionalidad, muchos nmeros fueron entrando en el aula de la mano de los nios y nias. Eran nmeros reales encontrados en etiquetas, entradas, recibos, catlogos, etc., de aqu su importancia y el inters que despertaron en el grupo. As, de la mano de Adri y con mucha ilusin, entr en nuestra clase una entrada de circo alrededor de la cual se gener la siguiente conversacin:

MAESTRA: Por qu nos has trado esto? ADRI: Para el rincn de los nmeros y las letras. MAESTRA: Y qu es? ADRI: Pues una entrada de circo. MAESTRA: Y para qu sirve? ADRI: Pues das esto y mam y pap pagan dinero. MAESTRA: Aqu dice el dinero que pagan? ADRI: (Se la mira y toca el 2003) Aqu, esto son los euros. MAESTRA: Ah!! Y esto son nmeros o letras? ADRI: Son nmeros. MAESTRA: T sabras leer este nmero? ADRI: (Se lo queda mirando....) Me parece que es el sesenta o as... MAESTRA: Cmo te parece que es este nmero? ADRI: Es grande!

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Entonces se levanta Rubn, que un da nos haba trado un nmero SUPER GRANDE, lo coge de la mesa de los nmeros que no sabemos leer y dice: ste s que es SUPER GRANDE.

MAESTRA: Qu os parece?, cul ser ms grande, los euros de Adri o el nmero de Rubn? RUBN: El mo es ms grande. ADRI: S, porque mira... (hace el gesto de tocarlo con el dedo como sealando su longitud). MAESTRA: Qu quieres decir? ADRI: Pues que mira, ste es ms largo (a la vez que toca el nmero de Rubn). RAQUEL: Yo tambin veo un nmero. El 2. MAESTRA: A ver, ven a tocarlo. (Raquel se levanta y lo toca). MAESTRA: As, que os parece. Para que debe servir este 2? JONATHAN: Son 2 euros. TAMARA: S, son 2 euros.

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MAESTRA: Qu nmero os parece que es ms grande, el 2 o el nmero de Adri? TAMARA: El de Adri (toda convencida). MAESTRA: Pero... si Adri nos haba dicho que los euros eran estos (toco el 2003). Qu os parece?, quin debe tener la razn? TAMARA: Ya lo s! Los 2 euros son para los nios y el otro para los padres. Esta conversacin est llena de hiptesis hechas por los nios (por ejemplo: Aqu, esto son los euros), de conocimientos reales (relacin del dinero, de los euros, con los nmeros) y de interpretaciones personales (Ejemplo: los 2 euros son para los nios y el otro para los padres) acab aqu. Aunque tenamos en clase el calendario del 2003 y cada da lo mirbamos nadie relacion este nmero con el ao, ni tampoco nadie lo supo leer. Dejamos descansar esta conversacin tres meses y pasado este tiempo la volvimos a retomar para ver si todava seguan pensando lo mismo o, si por el contrario, algo haba cambiado. Despus de leerles la conversacin que tuvimos el mes de octubre (ya estbamos en enero) y de que la escucharan muy atentamente, pas lo siguiente: MAESTRA: Todava continuis pensando que este nmero (toco el 2003) son los euros que pagan los papas y estos (toco el 2) son los euros que pagan los nios? PAULA: No, aqu no dice euros (mientras tocaba el 2003). Lo dice aqu (toca las letras que hay encima del 2003). TAMARA: No, esto no son los euros porque son letras. Aqu se vuelve a reforzar la idea de que los euros se expresan con nmeros. JONATHAN: S, son letras. MAESTRA: Entonces, los euros no pueden ser letras? TAMARA: No, los euros son nmeros. ADRI: A m me parece que este nmero lo conozco. (Se queda pensando...) Ah! Es el dos mil tres. Es como el dos mil cuatro, pero es el dos mil tres. MAESTRA: Te parece que son los euros? ADRI: S. TAMARA: A m..., estoy pensando que no son euros. MAESTRA: Qu te parece pues? Que quiere decir este dos mil tres que seala Adri? TAMARA: Pues es el nmero de cuando te comes las uvas. ADRI: Yo s donde est el dos mil tres. MAESTRA: Nos lo enseas? Adri coge el calendario del 2003 y nos lo muestra. En este momento muy emocionado descubre que en cada pgina del calendario sale este nmero MAESTRA: Y ahora estamos en el ao dos mil tres? ADRI: No, estamos en el dos mil cuatro. Cogemos el calendario actual y miramos dnde lo dice.

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Secuencias temporales Fueron dos conversaciones distanciadas tres meses en el tiempo. Cada una de ellas y debido al inters de los nios y nias nos ocup parte de una maana. Edades sugeridas 2 ciclo de Educacin Infantil.

Materiales La entrada del circo que libremente trajo Adri para compartirla con todos los compaeros y compaeras. Tambin nos ayudaron los dos calendarios que tenemos en clase (guardamos el del 2003, aunque ya tenamos colgado el del 2004). Comentarios y sugerencias Tras la primera conversacin que tuvimos, hubiera sido muy fcil haberles enseado el calendario del 2003, haberles explicado que aquel nmero se lea dos mil tres y que no haca referencia a los euros sino al ao. Sin embargo, tras haber dejado reposar la conversacin un buen tiempo, algo cambi. La respuesta surgi de los propios nios. Era una respuesta con mucha fuerza, era una respuesta que todos escucharon con mucho inters porque era una respuesta que surga de los propios compaeros. Esta experiencia me hizo reflexionar sobre la prisa que a veces algunos educadores tienen, o tenemos, por llegar a unos resultados. Prisa que nos lleva a romper aquella magia que se crea cuando son los propios nios los que llegan a esos u otros resultados y los comparten con el grupo. Prisa que nos lleva a no dejar razonar a los nios y nias, prisa que nos lleva a tener la razn y la ltima palabra sin dejar que sean ellos y ellas mismas los que revisen sus propias hiptesis. Tras estas conversaciones muchos nios y nias recordaron y aplicaron el 2003, el 2004 e incluso el 2001 y el 2000 a otras situaciones y conversaciones que surgieron a lo largo de los meses siguientes.

Actividad 2.3. Cunto pesamos?Descripcin de la actividad En la clase tenemos dos rincones: el de los nmeros y el de las letras. Cuando un nio trae algn papel con nmeros o letras lo deja en uno u otro rincn. Un da un nio observ que nuestros documentos estaban mal clasificados y nos dispusimos a reorganizarlos. De repente, le toc el turno a un papel que haba trado Ruth. Era un tique de la compra y Ruth, al verlo,

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enseguida dijo que tena nmeros. Entonces, cuando Jonathan lo vio dijo: Ah! Este es como el papel que le sali a mi madre cuando se pes. As se inici esta conversacin: MAESTRA: Ah, s? Y de dnde le sali? JONATHAN: De una mquina en una tienda. MAESTRA: Te acuerdas de cunto pesa tu madre? JONATHAN: Pues ciento kilos. MAESTRA: Y t, te pesaste? JONATHAN: No. MAESTRA: Y, ms o menos, cunto te parece que debes pesar? JONATHAN: Poco. MAESTRA: Y t, Raquel, cunto te parece que debes pesar? RAQUEL: Cincuenta. MAESTRA: A ti qu te parece, este cincuenta es ms grande o ms pequeo que los ciento kilos? RAQUEL: Ms pequeo. MAESTRA: Y t, Paula, cunto crees que debes pesar? PAULA: Pues ms o menos quince. RUBN: Quince! Como el da que fuimos al zoo! Todos cantamos la cancin que nos ensearon los nios de P-5 sobre el nmero 15. PAULA: Pero yo en mi casa tengo una bscula. MAESTRA: Y sale un papel como el que le sali a la mam de Jonathan en aquella tienda? PAULA: No, en la de casa no sale papel. Mira, te pones encima y tiene unos nmeros. Quedamos con Paula que traera su bscula. As pas algn tiempo y Paula no la traa. No obstante, Raquel trajo un papelito de la farmacia y nos explic que all pona cunto pesaba: Peso 4, dijo. Todos miramos aquel nmero y llegamos a la conclusin de que all no deca 4 porque el 4 se escriba de otra manera. Aquel nmero era grande y difcil y cmo no lo sabamos leer tuvimos la idea de preguntrselo a los nios y nias mayores del colegio. Nos dijeron que aquel nmero se lea veinticuatro kilos y doscientos gramos. Pasado un tiempo y visto que Paula no traa la bscula volvimos a retomar la conversacin. Paula nos explic que su madre no quera que la trajera. Entonces Rubn dijo: Pues yo en mi casa tengo una bscula que te tienes que quitar los zapatos y te pones encima, y salen unos nmeros que es lo que pesas.

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Es as como se inici esta bonita conversacin matemtica llena de sentido para los nios y nias. ADRI: Pues yo peso mucho. MAESTRA: Qu te parece, debes pesar ms o menos que tus compaeros? ADRI: Me parece que peso ms porque como mucho. MAESTRA: Qu os parece, quin ser el que ms pesa de la clase? RUBN: Seguro que es Jonathan porque come mucho. ADRIN: No, yo peso ms. As varios nios creen ser los que ms pesan de la clase. MAESTRA: y quin os parece que pesar menos? LEX: Tania. ADRI: No, Tania no, Zineb (que es una nia pequeita y delgada). Tania es ms grande que Zineb y pesa ms. TAMARA G.: S, mira! (Se levanta y coge de la mano a Zineb y a Tnia invitndolas a que se levanten y se pongan una al lado de la otra). Mira, ves, Tania es ms alta. RUBN: Pero yo peso ms que Tania... (Rubn es un nio bastante alto y l sabe que es ms alto que Tania). MAESTRA: A vosotros qu os parece, Rubn tendr razn? NADINE: S, Rubn pesa ms porque es ms alto que Tania. En este momento lo comprobamos. Los dos se ponen de pi. En esta conversacin los nios hicieron hiptesis muy interesantes sobre el peso. Ser en posteriores actividades, a partir de su propia experiencia, que podrn comprobar si son o no ciertas estas hiptesis al relacionar el peso y la altura. Tras esta conversacin les propuse que cada uno apuntara en un papel cunto crea pesar. Todos lo quisieron hacer. Cuando por la tarde Rubn traiga la bscula ya comprobaremos esta nueva hiptesis, dijimos. Los resultados fueron muy interesantes. Era la primera vez que se enfrentaban a algo as. Fue curioso comprobar que la gran mayora utiliz nmeros, algunos pocos, solo 5, utilizaron letras, solo 2 mezclaron letras y nmeros y los 3 restantes hicieron garabatos para representar su peso. La verdad es que aunque la gran mayora relacionaba el peso con nmeros, considero de gran riqueza todos los resultados ya que permiten saber dnde se encuentra cada nio, permiten conocer sus ideas previas y, por tanto, permiten un mayor seguimiento del proceso de aprendizaje que se ir sucediendo en torno a esta experiencia. Fue muy interesante el hecho que de todos los que escribieron nmeros lo hicieron de ms de una cifra y tambin fue interesante comprobar cmo algunos nios y nias utilizaban nmeros conocidos que surgieron en otras experiencias, como por ejemplo el 2004 de Jorge, el 15 de Raquel, el intento de 21 de Juan Fran...

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LA COMUNICACINLleg la tarde y Rubn entr a la clase muy contento y cargado con una bolsa. Era la bscula! Todos estaban entusiasmados pero antes de pesarnos decidimos compartir lo que cada uno crea que pesaba con los dems. Fruto de esta conversacin los nios y nias compartieron conocimientos, lanzaron nuevas hiptesis y los unos hacan ver a los otros que estaban de acuerdo con ellos o, por el contrario que no estaban de acuerdo con lo que decan. Yo les iba preguntando qu haban escrito y esto es una muestra de lo que esta pregunta gener: MAESTRA: Paula sabras leer esto que has apuntado? PAULA: S, veintiseis kilos (nadie dijo nada).

MAESTRA: Y t Juan Fran? JUAN FRAN: Veintin kilos (el 21 est invertido y duplicado).

MAESTRA: Y t Carim? CARIM: Es el 2004.

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En este momento Jorge dice: No, aqu no dice 2004. MAESTRA: Ah no? Entonces 2004 cmo se escribe? Jorge busca su papel donde l haba apuntado su peso y lo ensea. El resto del grupo est de acuerdo con l.

Adri ha llenado todo el papel de nmeros MAESTRA: Y t Adri? ADRI: (Mira su papel y muy decidido dice) Peso sesenta veintiuno. (Nadie se atreve a decir nada).

MAESTRA: Y t Rubn? RUBN: No lo s leer. JONATHAN: Rubn pesa poco... porque si pone 2 nmeros pesa poco.

MAESTRA: Y t, Tnia? TNIA: No lo s leer. ADRI: Yo s lo s leer. Es el doce.

Al ensear lo que haba escrito Adrin, Rubn no se puede contener: RUBN: No puede ser Adrin porque en la bscula salen slo nmeros (muy convencido).

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MAESTRA: Y t, lex? lex es uno de los nios que hicieron un garabato. Sin embargo, aunque no lo supo representar, l quera haber escrito un nmero. LEX: Dos TNIA: Eso es muy poco, lex.

Llega el momento de pesarnos y a todos se les ilumina la cara de emocin. Decidimos organizarnos para hacerlo, de manera que en grupos de 2 o 3 personas los nios y nias se iban quitando los zapatos, como nos haba explicado Rubn, se iban poniendo encima de la bscula e iban apuntando en un papel su peso para que no se les olvidara. Para esto ltimo algunos nios pedan ayuda a algn compaero o tambin, en muchas ocasiones, los nios que esperaban para pesarse ofrecan su ayuda al que lo estaba haciendo y compartan su alegra cundo los nmeros que salan en la bscula paraban de moverse y por fin vean escrito su peso. ste fue uno de esos momentos mgicos que, muy de vez en cuando, se producen en el aula.

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Todos los nios y nias fueron pesndose. Algunos no paraban de acercarse cada vez que era el turno de un compaero o compaera para ver qu nmeros le salan (como ellos decan). Al da siguiente compartimos todos los resultados. Cuando los nios llegaron a la clase todos los papeles dnde cada uno haba apuntado su peso estaban colgados (a su altura) para que entre todos pudiramos compartir qu vean, para que entre todos pudiramos, quizs, llegar a conclusiones, para que cada uno pudiera opinar y hacer hiptesis sobre aquellos nmeros que eran nuestro peso,.... Algunos ejemplos:

Todos estaban mirando los resultados cuando... JORGE: Estoy viendo un dos y un tres y un cero. SELENA: Y tambin un punto, Jorge. LEX, S.: Veo un dos y un cero y un punto y un cero. As, muchos nios y nias fueron leyendo nmero por nmero su peso.

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MAESTRA: Cuntos nmeros os salieron a cada nio? y a cada nia? ADRI: Tres. (Sale a comprobarlo; los cuenta).

Despus comprobamos que a cada nio y a cada nia les salieron 2 nmeros, un punto y otro nmero. MAESTRA: Os parece que estos nmeros, vuestro peso, se lee como lo estamos haciendo? Muchos de los pequeos asintieron con la cabeza, otros mostraban cara de no entender porqu

situaciones mate significativas praxis 0

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