Unidad I. Razonamiento

Diversas estrategias para resolver problemas usando dibujos,

aritmética, álgebra, geometría o simplemente un razonamiento lógico.

Se incluyen sucesiones de números y de figuras y problemas

geométricos que involucren mediatrices y bisectrices.

1

Introducción

En esta unidad empezaremos a trabajar con problemas de sucesiones en los

cuales en el primero se plantea un problema de ahorro de dinero seguido de dos

problemas de sucesiones de figuras geométricas. Después planteamos problemas

que se relacionan con la vida cotidiana, donde se utiliza el concepto de

porcentajes relacionado con los descuentos en el precio de cierto artículo.

Veremos cómo construir geométricamente la raíz cuadrada de un número entero y

algunos otros problemas geométricos y sus aplicaciones.

Problemas de sucesiones

Pedro ha decidido juntar $1050.00 para comprar un juguete, su papá le da 50

pesos y su mamá tan sólo le da $25 de domingo. Si decide juntar sus domingos.

¿En cuántas semanas tendrá su juego?________________________________.

Solución:

1ra. Semana es decir, tiene $75 pesos.

2da. Semana

es decir, tiene $150 pesos.

Observemos que nos queda la siguiente sucesión que representa el ahorro:

$75⏟1

, $150⏟2

, $225⏟3

,….

2

Sucesión de Ahorro

Semana

Lo que queda preguntarnos es ¿cuándo 75 x=1050? viendo a x como semanas. Es

decir, qué número multiplicado por 75 nos da 1050, o bien el número

x=105075

=14.

Como Pedro es un poco desesperado, ha encontrado otra forma de obtener el

dinero para su juguete. Piensa que si va con sus tíos a pedirles $15 de domingo, lo

puede hacer de la siguiente manera: a su tío Javier le pide en 1ª, 2ª, 3ª, …

semanas, a su tío Jorge le pide en 2ª, 3ª,4ª, … semanas, a su tío Felipe le pide en

3ª, 4ª, 5ª,... semana, y así sucesivamente, pensemos que tiene suficientes tíos

para que cada semana pueda pedirle a un tío más hasta completar para el

juguete..

¿Cuántas semanas tendrán que transcurrir para que Pedro tenga su juego?_____

Solución:

1ª Semana: tiene $90.

⏟papás

⏟tios

2ª Semana: tiene $150+¿$45=¿$195.

⏟papás

⏟tios

3

3ª Semana: ¿tiene?

⏟papás

⏟tios

Como cada semana, cuando le dan dinero sus tíos, siempre le dan una moneda

de $10 y una de $5, puede contar el dinero que le dan sus tíos de la siguiente

manera:

Supongamos que las monedas de $10 que le dan sus tío(s) cada semana, las

representamos con bolas negras.

1ª semana tendrá $10× 1(2)

2=$10.

2ª semana tendrá $10×(2 ) (3 )2

=$30.

3ª semana tendrá $10×(3 ) (4 )2

=$60.

4

Lo mismo sucede con las monedas de $5 que le dan sus tíos, si representamos

ahora las monedas de $5 con las bolas grises en la tercera semana tendrá 6

monedas de $5que son $30.

Pero como el número de monedas de $10 y de $5 son las mismas se pueden

juntar las cuentas como sigue:

($10+$5)× (3 ) (4 )2

=$ 15× (3 ) (4 )2

=$90.

Lo que tiene Pedro para la tercera semana es:

3 ($75 )⏟papás

+$15× (3 ) (4 )2⏟

tíos

=$225+$90=$ 315.

ATP: Hacer las siguientes preguntas a los profesores.

¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 5ª semana si decide pedir a sus tíos

domingo?________________________.

¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 7ª semana si decide pedir a sus tíos

domingo?________________________.

¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 8ª semana si decide pedir a sus tíos

domingo?________________________.

¿Cuánto reducirá Pedro el tiempo de ahorro si decide pedir a sus tíos domingo?

________________________.

Solución para el ATP:

Si no le pide domingo a sus tíos a la 5ª semana tendrá la cantidad de

5($75)¿$375.

Pero si les pide a sus tíos aumentaría su dinero como sigue:

5

Para la 5ª semana tendrá:

$15× (5 ) (6 )2

=225⏟tíos

.

Para la 5ª semana juntará

5×75⏟papás

+15× (5 ) (6 )2⏟

tíos

=375+225=600.

Resulta que la sucesión de ahorro es:

Papás 75⏟1a

,150⏟2a

,225⏟3a

, ,375⏟5a

,¿ ,¿…

Tíos 15⏟1a

,3 (15 )⏟2a

,6(15)⏟3a

, ,15 (15 )⏟5a

,¿ ,¿…

90⏟75+15

, 195⏟2 (75 )+15(2 (3 )

2 ), 315⏟3 (75)+15(3 (4)

2 ),¿ 600⏟5 (75)+15(5 (6 )

2 ),¿ ,¿ . .

Semana 1ª 2ª 3ª 5ª

Por lo que en la 4ª semana tiene de ahorro

4 (75 )+15( 4 (5 )2 )=300+150=450.

En la 6ª semana tiene de ahorro

6 (75 )+15( 6 (7 )2 )=450+315=765.

7ª semana tiene

7 (75 )+15( 7 (8 )2 )=525+420=945.

8ª semana basta con que tan solo sus papás y tres de sus tíos le den domingo

pues 945+110=1055.

Pedro redujo su tiempo de espera de 11 semanas a 8 semanas.

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Aprendizaje:

Si se tiene una cantidad fija p y se forma la sucesión p⏟1a

,2 p⏟2a

,3 p⏟3a

,... , es muy fácil dar

el n-ésimo término, pues este es np.

Representemos lo anterior con figuras:

Para

p=1

: para

p=2

:

Veamos otro ejemplo:

Si la cantidad aumentada ya no es fija, pero tiene un cierto comportamiento como

el siguiente:

El número de figuras que aparecen en la siguiente sucesión es: 1, 3, 6, 10,

Sucesión de figuras

El término

Número de triángulos 1 (2 )2

=1 , 2 (3 )2

=3 , 3 ( 4 )2

=6 , 4 (5 )2

=10

En el caso general si se tiene la sucesión 1 ,3 ,6 ,10 ,…, cualquier término se puede

obtener con la fórmula:

n (n+1 )2

,

donde n es el número del término. Por ejemplo si queremos saber cuántas figuras

aparecerán en el octavo término, basta con poner n=8y el número de triángulos

que tendremos es:

8 (9 )2

=36.

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Pero no todo termina aquí, pues se pueden hacer más modificaciones a las dos

sucesiones anteriores.

Ejemplo:Si se tiene la sucesión: −8 ,−1,6 ,13 ,…, observemos que:

Veamos que para obtener el 2º término que es −1, hacemos −8+7=−1, para

obtener el 3º término a partir del primero −8+2(7) o bien a partir del 2º término

que es −1, calculamos −1+7=6.

Si de ésta sucesión se quiere saber el término 30, hay que aumentar 29 sietes al

número −8 que es el primer término de la sucesión. Es decir, −8+29 (7)=195.

También es importante resaltar que en lugar de ir aumentando la cantidad fija se

puede ir disminuyendo.

Ejemplo:Si Diego decide comprar una televisión de $5000 dando un enganche de $750 y

$250 quincenalmente, ¿Cuánto habrá pagado Diego dentro de 6 meses?

Solución:

La sucesión que tenemos es:

Como 6 meses tienen 12 quincenas, entonces 4250+12(−250)=1250.

ATP: Hacer equipos de 4 personas como máximo para que contesten la siguiente

pregunta tratando de plantear la ecuación para dar la solución.

¿Cuándo terminará de pagar Diego la televisión?

Ecuación:

4250+q (−250 )=0,

donde q son las quincenas. Resolviendo tenemos

8

4250−q (250 )=04250=q (250)17=q .

En 17 quincenas Diego habrá terminado de pagado.

Pedir a los profesores que generen 2 ejercicios que tenga que ver con una

sucesión, donde en una vaya aumentando y la otra disminuyendo.

Lo mismo puede suceder con sucesiones de figuras. Veamos algunos ejemplos.

Sucesión

Término

Podemos hacer muchas preguntas con respecto a ésta sucesión, por ejemplo:

¿Cuál es la siguiente figura? lo cual es muy fácil resolver, pues podemos

dividir los sectores sombreados de la primera figura como sigue:

El sector 1 se moverá a partir del 2º término cada 3

términos, por lo que la siguiente figura es:

¿En qué término, la figura regresa a la posición inicial?

Ésta se puede separar en tres sucesiones: la sucesión del sector 1, la del

sector 2 y la del sector 3, es decir:

Sucesión

9

3 21

Sector 1

Término 1º 2º 3º

Observemos que a partir del 2º término el sector 1se mueve una posición

cada 3 términos y como hay que mover 7 posiciones a partir del 2º término

el sector 1, para que regrese a la posición original, entonces esto sucede en

el 2+7(3)=23 º término.

Sucesión

Sector2

Término 1º 2º 3º

Observemos que a partir del 3º término el sector 2 se mueve dos posiciones

cada 3 términos y como hay que moverlo 3 posiciones a partir del 3º

término, para que vuelva a quedar en la posición original, entonces esto

sucede en el 3+3(3)=12º término.

Sucesión

Sector 3

10 4 7 10

,,3

3

3

Término 1º 2º 3º

El tercer sector se mueve de tres en tres, en el tiempo 4, está en la posición

4, el tiempo 7 está en la posición 7, pero como el círculo está dividido en 8

sectores, si a partir de la posición 7 se mueve 3 posiciones, llega a la

posición 2.

La siguiente tabla muestra las posiciones que tiene el sector en cada tiempo.

Así que en el término 25º regresa a la posición original.

Tenemos que encontrar ahora el mínimo común múltiplo de 23 ,12 y 25

para ver en qué momento regresan todos los sectores a su posición

original.

23=23, 12=22(3) y 25=52 .

Estos tres números no tienen factores primos comunes, así que su mínimo

común múltiplo es (23 ) (12 )(25)=6900.

Por lo tanto, en el término 6900º de la sucesión, la figura es igual a la

original.

En general si se tiene una sucesión donde los términos son:

c⏟1o

, c+ p⏟2o

, c+2 p⏟3o

,… el n-ésimo término es c+(n−1) p⏟n término

. Esta sucesión es llamada

sucesión aritmética donde la resta de dos términos consecutivos es p

Por ejemplo:

(c+2 p )⏟3o

− (c+ p )⏟2o

=c+2 p−c−p=p

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Tiempo 4 7 10 13 16 19 22 25

Posición 4 7 2 5 8 3 6 1

(c+ p )⏟2o

−(c )⏟1o

=c+ p−c=p

c⏟1o

, c+ p⏟2o

, c+2 p⏟3o

,… el n-ésimo término es c+(n−1) p⏟no

.

ATP: Pedir que los profesores resuelvan el siguiente ejercicio:

Ejercicio: Se tiene la siguiente sucesión de figuras

1 2 3 4

a) ¿Cuál es el término que sigue de la sucesión? _______________________

b) ¿Cuál es el 35º término de la sucesión?____________________________

Solución para el ATP:

a)

12

b) Observemos que:

Sucesión

Términos 1 2 3 4

Si observamos que cada 4 términos se repite el mismo patrón bastará con

que sepamos que el término 35 se puede escribir como 4 (8)+3, y entonces

el 35 º término tiene la misma figura que el 3 ºtérmino.

1 2 3 4

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