sistemas nÚmericos
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SISTEMAS NÚMERICOSUNA VISIÓN MODERNA
23/08/2008
SISTEMAS NUMERICOS
JOSÉ DE JESÚS MAURY OTERO
II SEMESTRE.
SISTEMAS NÚMERICOS
CARLOS LUQUEDOCENTE
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONALFACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMATICASBOGOTÁ
2008.
Este libro y su arduo trabajo esta dedicado a todas esas personas que aportan de una u otra forma para mi formación profesional, humana y personal.
INTRODUCCIÓN
En la presente obra se muestra el trabajo realizado durante el periodo académico del segundo semestre de 2008 en el programa de matemáticas en el área de sistemas numéricos este texto muestra la teoría que se desarrollo en el aula de clases con un alto contenido de investigación en otras fuentes entre las que se cuenta la Web.
al igual se presenta como objetivo el estudio de los sistemas numéricos partiendo de preguntas problematizadoras para los números naturales desembocando en la teoría desarrollada por Peano desde el punto de vista axiomático, se establecen las relaciones entre conjuntos y el producto cartesiano desarrollado con cambios en los conectivos lógicos que permiten su definición, las construcciones de la geometría como una teoría fundamentada en teoremas como breve resumen tomado del libro de los elementos de Euclides, donde muestra la característica fundamental con la q ue se creo la geometría plana que hoy conocemos y su desconexión con la realidad dejando claro entonces que las representaciones hechas sobre tales materias son solo de carácter abstractivo.
Enseguida se muestran las construcciones de los racionales partiendo de los números naturales y los enteros generándolos como familias de parejas de números enteros, se verán sus propiedades y orden.
Luego continuamos con las cortaduras de Dedekin que permitirán dar formalización a los números reales.
Capitulo aparte merece la construcción de los números reales a partir de la base axiomática considerando como campo a un conjunto que cumple determinadas propiedades.Por ultimo se muestran los números complejos y sus propiedades más notorias.
CAPITULO I
¿QUÉ SIGNIFICA IGUAL?
“El sabio comienza por hacer lo que quiere enseñar y después enseña.”Confucio.
¿QUÉ ES IGUAL?
VIDA Y OBRA DE APOLONIO DÍSCOLO
(Siglo II) (gr. ὁ δύσκολος, «el de mal genio»), autor de varios tratados que dotaron por primera vez a la gramática
griega de una base científica. Vivió en Alejandría en condiciones de extrema pobreza y escribió numerosas obras, de las cuales solo se conservan cuatro, sobre los pronombres, las conjunciones, el adverbio y la sintaxis. Este Apolonio,
que se ganó el sobrenombre de dyskolos («difícil») por lo conciso y denso de sus explicaciones, fue el más importante tratadista de sintaxis en la tradición filológica antigua. Solo la Tékhnē grammatiké (Τέχνη Γραμματική) de Dionisio Tracio (siglo I a. C.) rivalizó en prestigio con esta Sintaxis. Pero son dos obras de distinto nivel y estilo. La obra de Apolonio es un tratado sintáctico de estudio amplio, crítico, y bastante personal, sobre los conceptos fundamentales de la construcción gramatical. Qué es la oración, sus partes, las funciones de los pronombres, los significados de las formas verbales, y otros temas sintácticos, son estudiados aquí a fondo, con muchos ejemplos, en buena medida homéricos, de acuerdo con la labor filólogica habitual en los círculos alejandrinos. Apolonio tiene atisbos de sorprendente modernidad, y recoge y critica la tradición anterior.
DEFINICIONES DE LA NOCIÓN DE IGUALDAD
La noción de igualdad entre objetos o entes naturales palpables o reales es totalmente imposible de determinar desde el punto de vista que lo conforma, es decir, las cosas , la naturaleza, no se puede desligar de las características a su alrededor, el tiempo las condiciones climáticas y en esencia de ser. Lo que ya no es. Por ello es necesario desvincular los principios naturales de los entes abstractos y formular entonces posibilidades en dimensiones fuera de la realidad es decir, en abstracto, en la dimensión del pensamiento, al que pertenecen los números, las líneas, los ángulos, etc. En otras palabras dar forma a lo que no podemos palpar y condicionar sus características y comportamientos mediante reglas o leyes que deban cumplir independientemente de las características que los rodeen, ya bien lo describía Euclides en el capitulo II de este texto cuando formula leyes sobre los objetos que define y que condiciona a estar dentro del pensamiento, es así como podemos formular entonces que las representaciones que hacemos sobre números o entes geométricos no son en esencia una representación real de lo que nos estamos refiriendo, puesto que cualquier representación estará ligada indudablemente a nuestra naturaleza material.
Las definiciones de igualdad representan objetos emergentes de los sistemas de prácticas asociados a los distintos contextos de uso, en ningún caso son el marco de cierre de los significados atribuidos a la noción de igualdad. No existe, por lo tanto, una única noción de igualdad; esto es, dados dos números reales a y b, no hay una sola forma de responder a la pregunta ¿representan a y b el mismo numero?
Contestar esta pregunta supone, necesariamente, explicitar un dominio matemático de trabajo; a saber: aritmética, algebra, teoría de funciones, R como cuerpo ordenado, R
como espacio métrico, R como espacio topológico, análisis y calculo numérico. De esta forma, según el campo de aplicación, la igualdad entre dos números (a = b) queda determinada por unas relaciones especificas a dicho dominio
La respuesta a esta pregunta se ve vinculada entonces al campo donde estemos interesados en desempeñarnos o en buscar una solución particular a un problema planteado, así por ejemplo las definiciones que se muestran a continuación son exactamente una muestra expresa de tal característica, así por ejemplo:
Podemos definir que dos números reales son iguales si cumplen la siguiente condición:
a=b sii {a} = {b}, es decir si representan la misma clase.
Pero la igualdad entre números reales también se puede obtener a través de una relación de orden, así:
a=b sii ab y ba
En general cada regla en cada área colocara la definición propicia para considerar que dos cosas sean iguales.
De manera semejante podemos elegir criterios como los utilizados en geometría como la congruencia para referirse cuando dos elementos de una misma clase comparten una misma característica.
Actividades
Imagen tomada del libro: Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: clasificar, medir, invertir.
De acuerdo al dibujo responda:
1 cuantos puntos hay dentro del rectángulo fuera del circulo y del trianguloRta: 2
2 dentro del triangulo fuera del circulo del cuadrado y del rectánguloRta: 2
3 comunes al cuadrado y al rectángulo pero fuera del circulo y del trianguloRta: 3
4 dentro del cuadrado, fuera del triangulo del circulo y del rectánguloRta: 21
5 comunes al triangulo y al circulo pero fuera del cuadrado y del rectánguloRta: 1
6 comunes al triangulo y al rectángulo pero fuera del circulo Rta 6
7 dentro del circulo fuera del triangulo y del cuadradoRta: 11
8 comunes al circulo, al cuadrado, al triangulo y al rectánguloRta: 5
9 comunes al cuadrado y al circulo pero fuera del trianguloRta: 3
En la constitución de Colombia de 1991 una parte del artículo 13 enuncia:“Todas las personas nacen libres e iguales ante la ley, recibirán la misma protección y trato de las autoridades y gozaran de los mismos derechos, libertades y oportunidades sin ninguna discriminación…” ¿que significa esta afirmación?
En este texto se puede observar claramente el cuantificador universal “Todas” haciendo alusión sobre las personas nacidas o que se encuentren en el territorio nacional, ligados a la ley mediante una relación de igualdad como entes jurídicos, más no como seres naturales, ya que se sobreentenderán las diferencias de orden religioso político o filosófico, sin embargo, se determina que todos tendrán el mismo trato independientemente de sus condiciones y se ajustaran a la ley y se les ofrecerán las mismas garantías por igual.
CAPITULO II
NÚMEROS NATURALES
LA ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS NATURALES
VIDA Y OBRA DE PEANO, GIUSEPPE. (Cuneo, actual Italia, 1858-Turín, 1932) Matemático italiano. Estudió en la Universidad de Turín, ciudad a la que su familia se había trasladado en 1870. Sus aportaciones más recordadas son las referentes a la axiomática de las matemáticas. A ese respecto cabe destacar su sus axiomas sobre el conjunto de los números enteros naturales o sobre la estructura de un espacio vectorial, así como la definición del concepto de aplicación lineal. Interesado en el uso de la lógica más como medio de exposición de la matemática que como su fundamento (al estilo de Frege o Russell), desarrolló una sintaxis muchos de cuyos símbolos (como los de pertenencia, unión o intersección) son hoy día empleados de forma universal. En su constante empeño de expulsar la ambigüedad del ámbito de las definiciones y los teoremas matemáticos, tuvo por costumbre denunciar las incorrecciones presentes en la obra tanto de sus predecesores como de sus contemporáneos; se convirtió así en un especialista del contraejemplo, el más famoso de los cuales fue la redefinición del concepto de curva anteriormente propuesto por Camille Jordán
¿QUÉ ES UN NÚMERO NATURAL?
La respuesta dada a esta pregunta por el matemático Giuseppe Peano fue sin lugar a dudas algo fuera de lo común, en realidad no dio ninguna respuesta lo que realizo fue un análisis de cómo los números naturales se relacionan entre sí, estableciendo en primera medida las reglas con las que contaría y posteriormente definiendo las operaciones posibles entre tales entes. A tal formulación es lo que denominamos axiomática.
En las presentaciones axiomáticas se parte de unos términos no definidos, se enuncian unas relaciones entre ellos, que aceptamos como ciertas (los axiomas), estos no tienen que ser evidentes o universalmente aceptados; se presume una forma correcta de razonar, usualmente la lógica bivalente clásica, y con esto se deducen otras afirmaciones que llamamos teoremas. Los teoremas son ciertos en la medida de que los axiomas lo sean y que los razonamientos sean correctos. La axiomática no se ocupa de explicar la naturaleza de los objetos matemáticos que forman parte de la teoría, sino las propiedades y las relaciones entre ellos.
Así el presente capitulo pretende mostrar de forma concisa tal relación entre los números naturales sin tener en cuenta su naturaleza solo demostrando sus propiedades sustentados en los axiomas de Peano, partiendo de las definiciones de suma y producto entre números naturales y colocando como regla de oro no violentar ninguno de los axiomas, a menos que en la práctica se evidencien contradicciones lógicamente aceptables, como sucedió con la teoría de conjuntos en sus inicios con las denominadas paradojas de Russell.
AXIOMAS DE PEANO
0N nN entonces n+N Para todo nN, n+0 n+=n entonces n=m Si AN y
0N,nA implica n+A Entonces A=N.
DEFINICIÓNDados x, yn, definimos la adición de x+y por:
x + 0 = xx + y+=(x+y)+
TEOREMA 1.
Sí x ≠ y entonces x+ ≠ y+.
Demostración.
Supongamos que x+ = y+, entonces por el axioma 4 se tendría que x=y, lo cual contradice la hipótesis de que x = y, por tanto el teorema queda demostrado.
TEOREMA 2.
x+ ≠ x.
Demostración.
Sea M = {kN/ k+ ≠ k}.
Por los axiomas 1 y 3 se tiene que 0+ ≠0; por consiguiente, 0Pertenece a M.Si n pertenece a M, entonces n+ ≠n, y aplicando el teorema 1 se tiene que (n+)+ n+, por lo que n+ pertenece a M.
Por el axioma 5, M contiene todos los números naturales, es decir, que tenemos que para todo n, n+ n.
TEOREMA 3.
Si k 0 existe un único u tal que k = u+.
Demostración.
Sea M = {0} U {kN /k0 y existe u tal que k=u+}
0 pertenece a M.Supongamos que se cumple para k, veamos que se tiene para k+.Dado que k M, tomando k=u se tiene que k+=u+ por tanto k+M.Por el axioma 5, M=N, luego para cada n0, existe un u tal que n= u+.
TEOREMA 5 LEY ASOCIATIVA DE LA ADICIÓN
Para todo x, yN, (x + y) + z = x + (y + z).
Demostración.
Fijemos x y y, y sea: M = {zN/ (x+y)+z = x+ (y+z)}
(x+y)+0 = (x+y) = x+y = x+ (y+0), por tanto 0 M. Sea z M, entonces (x + y) + z = x + (y + z)Veamos que z+ M, en efecto(x + y) + z+ = ((x + y) + z)+ = (x + (y + z))+ = x + (y + z)+
= x + (y + z+),Por lo cual z+M. por tanto la propiedad es válida para todo z natural.
TEOREMA 6
Para todo n N, 0+n=n
Demostración.
Procedamos por inducción sobre n. Sea M= {k N / 0+k = k}.
0 M, porque 0+0=0 debido a la definición de suma.Supongamos k M entonces 0+k = k, veamos que k+ M, en efecto:0+k+ = (0+k) + = k+. Por tanto k+ M, así M=N. Luego esta afirmación se cumple en todo número natural.
TEOREMA 7
Para todo n, k N, (n + k)+ = n+ + k
Demostración.
Fijemos n e induzcamos sobre k.
Sea A= {k N/ (n + k)+ = n+ + k, para todo n N}
0 A, pues 0 N y (k+0)+ = k+ = k+ + 0.Supongamos k A, entonces (n + k)+ = n+ + k.
Veamos que k+A(n + k+)+ = ((n + k)+)+ = (n+ + k)+ = n+ + k+. Así k+ A, luego A=N.
TEOREMA 8LEY CONMUTATIVA DE LA ADICIÓN.
Para todo x, yN, x + y = y + x.
Demostración.
Fijemos y, y sea M= {k N/ k+y=y+k}
Tenemos que y+0 = y, por la definición de suma y por el teorema 5, 0 + y = y, luego 0+y = y+0, por lo que 0 M.
Supongamos k M, entonces k + y = y + k.Veamos que k+ + y=y + k+, En efecto:
k+ + y= (k+y)+ = (y+k)+=y + k+ por tanto k M. por tanto la afirmación se cumple para todo numero natural.
TEOREMA 9.Para todo x, yN, con xy se tiene y x + y.
Demostración.
Fijemos x, y sea M= {y N/ y x+y para todo yN}
Para todo xN, con x 0, se tiene que 0 x=x+0, luego 0 M.Si y M, entonces y x + y de donde:
y+ (x + y)+ implica y+ x + y+, así y+ M, así M =N y por consiguiente se cumple para todo x, y.
TEOREMA 10.
Si y ≠ z entonces x + y ≠ x + z.
Demostración
Consideremos y, z fijos tal que y ≠ z, y sea M= {kN/ k+y ≠ k+z}.
Por nuestra consideración, y ≠ z tenemos y = 0+y ≠ 0+z =z, por lo que 0 M.Supongamos que k M, entonces k + y ≠ k + z, de donde(k + y)+ ≠ (k + z)+, o sea, k+ + y ≠ k+ + z, luego k+ M. por el axioma 5 entonces tenemos que M=N. luego se cumple para todo k natural.
TEOREMA 11.
Dados números naturales x y y sólo sucede uno de los siguientes casos:1. x = y.2. Existe un u≠0 tal que x = y + u3. Existe un v≠0 tal que y = x + v.
Demostración.
“ A) Por el teorema 9, los casos 1) y 2) son incompatibles. Similarmente, 1) y 3) son incompatibles. La incompatibilidad de 2) y 3) también se sigue del teorema 9; por otra parte, deberíamos tener que:
x = y + u = (x + v) + u = x + (v + u) = (v + u) + x.
Por consiguiente podemos tener a lo sumo uno de los casos 1), 2)y 3).”
Ahora demostremos las tres propiedades.
Sea x fijo, y sea M= {kN/ x=k para todo x N} U {kN/ existe u≠0 tal que x=k+ u para todo x N} U {kN/ existe v≠0 tal que k=x+v para todo x N}
Para k = 0, tendríamos x=0 o por el teorema 3 si x ≠ 0x = u+, para algún u N, así x=0+ u+.
Por tanto 0 M.
Supongamos que k M. entonces x = k o bien existe u≠0 tal que x=k+u o existe v≠0 tal que k =x+v.
Veamos que k+ M, en efecto: k+ = k + 0+ = x + 0+ ya que x=k, así k+cumple la parte 3 del conjunto M.
O si x≠k, entonces x = k + u para algún u, de donde si u = 0+, entonces x = y + 0+ = y+, así y+ cumple la parte 1 del conjunto.
Pero si u≠0+, entonces por el teorema 3, u = w+ = 0+ + w para algún w, luego:
x = k+ (0+ + w) = (k+ 0+)+w = k+ + w de donde se cumpliría la parte dos del conjunto.
k= x + v por lo cual k+ = (x + v)+ = x + v+ luego en cualquier caso, k+ M.“Por consiguiente siempre tenemos uno de los casos 1), 2) y 3)” Así tenemos que M=N, luego la propiedad es válida para todo número natural.
ORDEN EN LOS NÚMEROS NATURALES
DEFINICIÓN 2
Si x = y + u para algún u≠0 entonces x > y. (> léase “es mayor que”)
DEFINICIÓN 3 Si y = x + v para algún v ≠0 entonces x < y. (< léase “es menor que”)”
TEOREMA 12
Para cualesquiera x, y dados, se tiene exactamente uno de los casos.x = y, x > y, x < y
Demostración.
Por el teorema 11, dados x, y N se tienen solo tres posibilidades:x=y, x= y+u para algún u≠0 o y=x+v para algún v≠0. así de la definición 2 y 3 anteriores tenemos la tesis de la proposición.
TEOREMA 13
Para cualesquiera x, y dados, si x > y entonces y < x.
Demostración.
Ambas afirmaciones significan que x = y + u para algún u≠0.TEOREMA 14
Si x < y entonces y > x.
Demostración. Ambas afirmaciones significan que y = x + v para algún v≠0.
DEFINICIÓN 4
x ≥ y significa x > y o x = y. (léase “mayor o igual que”)
DEFINICIÓN 5 x ≤ y significa x < y o x = y. (léase “mayor o igual que”).
TEOREMA 15
Para cualesquiera x, y dados si x ≥ y entonces y ≤ x.
Demostración Dados x, y N, tal que xy implica por la definición que x>y o x=y entonces por el teorema 13, y<x o x=y luego por la definición 5 se tiene yx
TEOREMA 16
Si x ≤ y entonces y ≥ x.
DemostraciónDados x, y N, tal que xy implica por la definición que x<y o x=y entonces por el teorema 14, y>x o x=y luego por la definición 4 se tiene yx
TEOREMA 17 TRANSITIVIDAD DEL ORDEN
Para cualesquiera x, y y z dados si x < y y y < z, entonces x < z.
Demostración.
Dados x,y,z N, tales que x<y y y<z implica por la definición que existen t,sN, t≠0 y s≠0 tales que y=x+t y z=y+w.Luego:
z=(x+t)+w de donde por la propiedad asociativa de la suma tenemos:z=x+ (t+w) tomando 0≠t+w=kN tenemos por la definición de “menor qué” z=x+k, así x<z.
TEOREMA 18
Si x ≤ y, y < z o x < y, y ≤ z, entonces x < z.
Demostración.
Sean x, y tales que:
Caso 1 xy y y<z implica por la definición 5 x<y o x=y y y<z luego por el teorema 17 x<y y y<z implica que x<z.
Caso 2xy y yz, implica por la definición 4 x<y y y<z o y=z luego por el teorema 17 x<y y y<z implica x<z.
TEOREMA 19
Si x ≤ y, y ≤ z, entonces x ≤ z.
Demostración.
xy y y z implica por la definición 5 x<y o x=y y y<z o y=z luego por el teorema 17 x<z o x=y=z.
TEOREMA 20
Dados x, y N, si y≠0 entonces x + y > x.
Demostración.
Dado que para todo x, y N tal que y≠0, x + y = x + y tenemos por la definición de “mayor que” tomando a “y” como el número existencial que x+y>x.
TEOREMA 21
Si x > y, o x < y, entonces x + z > y + z, o x + z < y + z, respectivamente.
Demostración
*Si x > y, entonces x = y + u, para algún u N con u≠0 por lo tantox + z = (y + u) + z= (u + y) + z= u + (y + z)= (y + z) + u, luego x + z > y + z. * Si x < y, entonces y > x, de donde, por lo anterior, y + z > x + z, así x + z < y + z.
TEOREMA 22
Si x + z > y + z, o x + z < y + z, entonces x > y o x < y, respectivamente.
Demostración.
“Se sigue del teorema 21, puesto que los tres casos son mutuamente exclusivos y exhaustivos con todas las posibilidades.”
TEOREMA 23
Si x > y, z > u, entonces x + z > y + u.
Demostración.
Por el teorema 21, tenemos que x + z > y + z y y + z = z + y > u + y = y + u de donde x + z > y + u.TEOREMA 24
Si x ≥ y, z > u, o x > y, z ≥ u, entonces x + z > y + u.
Demostración.
“Se sigue del teorema 22 si en la hipótesis hay una igualdad de signos, si no aplicamos el teorema 23.”
TEOREMA 25
Si x ≥ y, z ≥ u, entonces x + z ≥ y + u.
Demostración.
Es obvio si en la hipótesis hay dos igualdades de signos, si no aplicamos el teorema 24.
TEOREMA 26
Para todo x N, x ≥ 0.
Demostración.
Para x N, x = 0 o x = u+ = u + + 0 > 0 por tanto x 0
TEOREMA 27
Si y > x entonces y ≥ x + 0+.
Demostración.
y = x + u, u ≥ 0+, de donde y ≥ x + 0+.
TEOREMA 28
Si y < x + 0+ entonces y ≤ x.
Demostración.
“Supongamos que y > x, entonces por el teorema 27, y ≥ x +0+.”
TEOREMA 29 PRINCIPIO DE BUEN ORDEN
Todo subconjunto no vació de números naturales posee elemento mínimo.
Lema 1
Para todo sN, S+>s
Demostración
Dado que 0+≠0 (ya que si 0=0+ se contra diría al axioma 4) y s+=(s+0)+=s+0+
entonces s+>s.
Demostración
Sea ≠RN, y sea M = { x N/ x ≤ y para todo y de R} Dado que 0≤x para todo xN, entonces en particular 0≤ 0, así 0 M.Como R≠ por hipótesis, tenemos por el axioma 5 que M≠N, ya que si s*R entonces dado que x≤x para todo x N entonces en particular s*≤s * para todo s*R
Luego s*+ M ya que si perteneciera tendríamos como caso particular s*+≤s* lo cual contradice el lema anterior.Entonces por el axioma 5 existe m M tal que m+M por tanto necesariamente m R ya que si no es así tendríamos m R implica m<s para todo s R por lo tanto m+≤s para todo sR luego entonces m+M lo cual es absurdo por la escogencia de m, así m≤s para todo sR por tanto m=mín R
DEFINICIÓNDados n, k N, definimos n0=0n k+=n k+n
TEOREMA 30 Para todo x N, 0x=0.
Demostración.
Sea M= { x N/0x=0} . En efecto se puede ver que 00=0, así 0M.Supongamos que se cumple para x entonces 0x=0 veamos para x+:0x+=0x+0=0+0 así x+M. por el axioma 5, M=N, luego se cumple para todo número natural.
TEOREMA 31
LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
Para todo x, y N, xy = yx
Demostración
Fijemos y, y sea M = { x N/ xy=yx}Tenemos y0 =0=0 y así 0M. Si xM, entonces xy = yx, de donde xy + y = yx + y = yx+ tenemos que x+y = xy + y de donde x+y = yx+ y en consecuencia x+ M Luego la afirmación es verdadera para todo x.
TEOREMA 32
LEY DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA SUMA
Para todo x, y N, x(y + z) = xy + xz.
Demostración
Fijemos x y y, y sea M ={ z N/ x (y+z)=xy+xz para todo x, yN}
x(y +0) = xy = xy + 0 = xy + x0; por lo que 0 M.
Si z pertenece a M, entonces x(y + z) = xy + xzLuego x(y + z+) = x((y + z)+) = x(y + z) + x = xy + (xz + x) = xy + xz+
Así que z+ M. Por consiguiente, M=N
TEOREMA 33LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
(xy)z = x(yz)
Demostración
Fijamos x y y, y sea M ={z N/x(y+z)=xy+xz para todo x, yN }(xy) 0 = 0 = x(y 0); por lo que 0M.Supongamos que zM. Entonces (xy)z = x(yz) y por consiguiente usando el teorema 32, (xy)z+ = (xy)z + xy = x(yz) + xy = x(yz+y) = x(yz+).Así que z+ M y por lo tanto, M=N
TEOREMA 34 Si x > y o x = y o x < y, entonces xz > yz, xz = yz o xz < yz, respectivamente.
Demostración
1) Si x > y entonces x = y + u, para algún u ≠0 y xz = (y + u) z = y z + uz > yz.2) Si x = y entonces claramente xz = yz.3) Si x < y entonces y > x, y por 1), yz > xz, xz < yz.
TEOREMA 35
Si xz > yz, xz = yz, o xz < yz, x > y, x = y, o x < y, entonces x > y, ox = y, o x < y respectivamente.
Demostración
Se sigue del teorema 34, puesto que los tres casos, son mutuamente exclusivos y agotan todas las posibilidades.
TEOREMA 36 Si x > y, z > u, entonces xz > yu.
Demostración
Por el teorema 34, tenemos xz > yz y yz = zy > uy = yu, luego xz > yu.TEOREMA 37
Si x ≥ y, z > u o x > y, z ≥ u, entonces xz > yu.
Demostración
“Se sigue del teorema 34 si en la hipótesis hay una igualdad de signos; si no, se sigue del teorema 36.”
TEOREMA 38
Si x ≥ y, z ≥ u entonces xz ≥ yu.
Demostración
Si x≥y entonces x>y o x=y luego existe w≠0 tal que x=y+w y z≥u implica la existencia de v≠0 tal que z=u+v entoncesxz=(y+w)(u+v)=(y+w)u+(y+w)v=yu+uw+yv+wv como k= uw+yv+wv≥0 entonces se sigue que xz=yu+k entonces xz≥yu.
CAPITULO III
LOGICA
Probamos por medio de la lógica, pero descubrimos por medio de la intuición.HENRI POINCARÉ
LOGICA
HISTORIA
La lógica modal es tan antigua como la Lógica de Aristóteles y tuvo gran desarrollo durante la Edad Media. La lógica modal contemporánea surge a principios del siglo XX como una reacción a la lógica clásica que maduró en las obras de Gottlob Frege (Conceptografía) por un lado, y Russell y Withehead (Principia Mathematica) por el otro. Los patrones de razonamiento válidos, aquellos que indican una relación de consecuencia lógica entre un conjunto de enunciados –premisas y otro enunciado –conclusión en un argumento, están en parte determinados por cuáles
sean las constantes lógicas.
Dentro de las disciplinas científicas en cuya denominación aparece la palabra lógica, la lógica matemática se caracteriza, sobre todo, por dos aspectos. En primer lugar, porque forma parte de las matemáticas, esto es, sus métodos en la definición de conceptos y en la obtención de resultados son típicamente matemáticos. En segundo lugar, porque sus objetivos atañen preferentemente a las cuestiones propias de los fundamentos de las matemáticas, aunque su campo de aplicación, como en general el de las matemáticas, sean naturalmente más amplio y alcance desde las ciencias naturales y las disciplina técnicas, pasado por la filosofía, hasta la lingüística y el derecho. Por ello se comprende que la lógica matemática comenzara a desarrollarse tan tarde, a comienzos del siglo XX.
ORIGENES DE LA LOGICA MATEMATICA
La lógica matemáticas, todavía joven en el sentido anterior, tuvo sin embargo abundantes precursores. Resultan habitual incluir, en las exposiciones sobre el desarrollo histórico de la lógica matemática la lógica formal antigua y medieval, así como los pioneros pero infructuosos – esfuerzos de Leibniz por obtener un cálculo lógico universal; aunque evidentemente, todos estos precursores solo han tenido una influencia muy pequeña en le desarrollo de lógica moderna : sus conceptos y resultados- frecuentemente solo conjeturas ha sido adaptadas a conceptos actuales por algunos lógicos interesados en los aspectos históricos solo recientemente y no sin pocas dificultades. En la lógica tradicional se puede apreciar una distinción entre lógica proposicional y lógica formal que en la lógica moderna no representa apenas ningún papel. Objetivo de la lógica formal era el establecimiento y justificación de las reglas de demostración o inferencia de tipo sintáctico admisible o fundadas objetos de la lógica proposicional el descubrimiento de tautologías, es decir, de proporciones que fueran siempre verdaderas a partir estructura gramatical.
LOGICA
La lógica se constituye prácticamente como disciplina autónoma, a partir de Aristóteles, quien la instauró como ciencia, elevándola al grado de saber supremo.
Tal grado fue alcanzado debido a la importancia que se la atribuyó como método, como herramienta indispensable en el manejo de los procesos mentales. De ahí que se diga que el objeto sobre el cual trabaja la lógica, es el pensamiento, sus formas, es decir la manera como la mente consigna y ordena los datos provenientes de la naturaleza. Posteriormente, dichos datos serán expresados de acuerdo con las reglas o formas asignadas por la disciplina en mención.
El pensamiento:
Es el proceso mediante el cual, el hombre capta la realidad, partiendo de sus sentidos, hasta obtener una percepción clara de los fenómenos al conformar una imagen de estos.
La imagen se crea a partir del ordenamiento de las sensaciones al captar la realidad. Este proceso se puede denominar el despertar del pensamiento. De aquí en adelante se relacionarán las imagines, conformando las primeras ideas de las cosas o fenómenos.
Factores del proceso de pensar:
a. Un sujeto pensante que produce el pensamiento.b. Un objeto al que se refiere el pensamiento y que determina su contenido.c. La forma como es expresado el pensamiento.
Lógica formal y lógica material:
En el pensamiento es posible distinguir los contenidos materiales y los contenidos formales. Los primeros son constituidos por los conceptos: montaña, casa, carro, árbol. Los segundos, hacen referencia a la forma como aquellos conceptos se relacionan entre sí: A es parte de B; A es idéntico a B; C = (A U B )
Cuando el objeto de estudio son los contenidos materiales del pensamiento, tenemos la lógica material. Cuando se estudian los contenidos formales, tenemos la lógica formal.
¿Qué es una Proposición?
Es una expresión con sentido completo de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.
a.Bivalente: cuando una proposición tiene dos valores uno falso y uno verdadero.b.Plurivalente: cuando tiene más de dos valores, verdadero, falso, probable.c.No analizada: donde la totalidad de la proposición se considera una variable.d.Analizada: Cuando nos metemos en la proposición para encontrar constantes y variables.
Clases de Proposiciones:
A.Proposición Atómica: aquella que carece totalmente de conectivas. Es una variable.B. Proposición molecular: aquella que por lo menos tiene una conectiva.
Variable: Cualquier simple afirmación. Ej. El día es bonito.
Qué es Metalógica?
Es un lenguaje que hablamos para hablar otro lenguaje, en este caso del cálculo.
a.Sintaxis lógica: nos dice cuáles son las reglas que hay que seguir para la combinación de los signos tengan sentido.b.Semántica lógica: nos dice qué es lo que significan los signos del cálculo lógico.c.Pragmática lógica: relación entre los signos y aquel que lo usa.
Hay ciertas expresiones que quedan por fuera del campo de la lógica. Ej. Ay!, Bah!, Oh!.Las exclamaciones, las preguntas y las expresiones sin sentido.
Tablas de verdad sobre proposiciones lógicas
1. Ley de desprendimiento, regla de separación o modus ponendo ponens
1 1 1 1 11 0 0 0 10 1 0 1 10 0 0 0 1
2. Reglas de simplificación
1 1 1 11 0 0 10 1 0 10 0 0 1
1 1 1 11 0 0 10 1 0 10 0 0 1
3. Reglas de adición ó agregación
1 1 1 11 0 1 10 1 1 10 0 0 1
1 1 1 11 0 1 10 1 1 10 0 1 0
4. Casos
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 11 0 1 0 0 0 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 10 0 1 1 0 0 1 1 00 0 0 1 1 1 1 0 1
5. Modus tollendo ponens
1 1 1 0 0 11 0 1 0 0 10 1 1 0 1 10 0 0 0 1 1
6. leyes de absurdo
1 1 1 0 0 0 1 01 0 0 0 1 1 1 00 1 1 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 10 1 1 0 0 1 10 0 1 1 0 1 1
7.
1 1 0 0 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 1
8.
1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 10 1 1 0 0 10 0 1 1 1 1
9. Regla de la doble negación
1 0 1 11 0 1 10 1 1 00 1 1 0
10. ley de la contra positiva
1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1
11. Leyes de Morgan
1 1 1 0 1 0 0 01 0 0 1 1 1 0 10 1 0 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 01 0 1 0 1 0 0 10 1 1 0 1 0 1 00 0 0 1 1 1 1 1
12. Leyes Conmutativas
(
(
1 1 1 1 11 0 0 1 00 1 0 1 00 0 0 1 0
1 1 1 1 11 0 1 1 10 1 1 1 10 0 0 1 0
3. Leyes asociativas
1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 1 0 11 0 1 0 0 1 0 01 0 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 00 0 0 0 0 1 0 0
14. Leyes distributivas
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 1 0 0 00 1 1 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 1 0 00 0 1 0 0 1 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0
15.
1 1 0 1 1 11 0 0 0 1 00 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
16. Ley de contradicción
1 0 0 10 1 0 1
17. Reducción al absurdo
1 1 1 0 0 0 1 0 1 11 1 0 0 1 0 1 0 1 11 0 1 1 0 1 0 0 1 01 0 0 1 1 1 0 0 1 00 1 1 0 0 0 1 0 1 10 1 0 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 0 1 1
18. Transitividad de implicación
1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 1 1 11 0 0 0 0 1 1 00 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 1
19.
1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 1 00 0 1 1 0 1 1 1 1
20.
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 1 0 01 0 0 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 1 0
21. Si P es una tautología
1 1 1 11 0 1 01 1 1 11 0 1 0
22. Si P es una contradicción
0 1 1 10 0 1 00 1 1 10 0 1 0
23. Modus tollendo tollens
1 1 0 0 1 1 01 0 1 0 0 1 00 1 0 0 1 1 00 0 1 1 1 1 1
24. Modus ponendo tollens
1 0 0 1 1 11 0 0 1 1 00 1 1 1 1 10 1 0 0 1 0
25. Leyes de importación y exportación
1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 1 0 11 0 1 1 1 1 1 01 0 0 1 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1 00 1 0 0 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1
26.
1 10 1
27. Ley de medio excluido
1 1 00 1 1
28.
1 1 1 0 1 0 01 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0 1
29.
1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 00 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 0 1 0
30.
1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 0 1 01 0 1 0 1 1 0 01 0 0 0 1 0 1 00 1 1 1 1 0 1 10 1 0 1 1 0 1 00 0 1 1 1 0 1 0
Las siguientes tautologías proporcionan el medio para eliminar un conector dado por el uso de otros conectivos.
31.
1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1 10 0 1 0 1 0
32.
1 1 0 1 1 1 01 0 1 0 1 0 10 1 0 1 1 1 00 0 1 1 1 1 0
33. Reemplazando por en la tautología de modus tollendo ponens vemos que el
resultado ya no es una tautología.
1 1 1 1 11 0 1 1 00 1 1 0 10 0 0 0 1
AXIOMAS
1- p(qp)2- p(pq)(pq)3- (pq)(qr)(pr)4- (pq)(pq)5- (pq)(qp)6- (pq)(qp)(pq)7- (q)(p)(pq)
Veremos una serie de teoremas y sus respectivas demostraciones.
TEOREMA 1
Sea p una proposición entonces:
p→p
Demostración
Sustituyendo “p” por “q” en, los axiomas 1 y 2 obtenemos:
q(qq) y
q(qq)(pp)
Aplicando el modus ponendo ponens tenemos:
pp l.q.q.d.
TEOREMA 2Sean p, q proposiciones entonces:
p{(pq)(pq)q}
DemostraciónSustituyendo en el axioma 1 “(pq)” por “q” tenemos:
p ((pq)p) Ahora sustituyendo en el axioma 3 “p” por “(pq)” “q” por “p” y “r” por “q” tenemos:
((pq) p)(pq)((pq)q)
Obteniéndose que el antecedente de la segunda proposición coincide con el consecuente de la primera.
Ahora tomando nuevamente en el axioma 3 “q” por ((pq)p) y “r” por (pq)((pq)q
(p((pq)p)){((pq)p)(pq)((pq)q)}{p(pq)((pq)q)}
Luego por el modus ponendo ponens tenemos de la primera y la tercera proposición
(p((pq)p)){((pq)p)(pq)((pq)q)}{p(pq)((pq)q)}
p ((pq)p)
Implica{((pq)p)(pq)((pq)q)}{p(pq)((pq)q)}
Luego por el modus ponendo ponens tenemos de la segunda y la tercera proposición obtenemos
((pq)p)(pq)((pq)q){p(pq)((pq)q}
((pq) p)(pq)((pq)q) Tenemos que:
p(pq)((pq)q l.q.q.d
TEOREMA 3
Sean p, q proposiciones entonces: p((pq)q)
Demostración
En el axioma 2, reemplazando “p” por “pq” y manteniendo “q” tenemos:
(pq)(pq)q)((pq)q)
Ahora sustituyendo en el axioma 3, tomando en calidad de “q” a “(pq)(pq)q” y en calidad de “r” a “(pq)q” y “p” lo dejamos igual entonces:
(p(pq)(pq)q)((pq)(pq)q (pq)q)(p((pq)q)) Como para cualesquiera dos proposiciones se cumple el teorema dos en particular se cumplirán para estas dos entonces podemos tener que:
p(pq)((pq)q
Así aplicando el modus ponendo ponens
(p(pq)(pq)q)((pq)(pq)q (pq)q)(p((pq)q))p(pq)((pq)q
Implica
((pq)(pq)q) (pq)q)(p((pq)q)) Tomando el modus ponendo ponens nuevamente tenemos con la primera y esta ultima:
((pq)(pq)q) (pq)q)(p((pq)q))
(pq)(pq)q)((pq)q)
Implicap((pq)q) l.q.q.d
TEOREMA 4
Sean p, q y r proposiciones entonces:
p (qr)q(pr)
Demostración
Reemplazando en el axioma 3,
(p(qr){(qr)r(pr)}
Y tomando en el axioma 3, “p”, “q” y “r” por “q”, “(qr)r” y “(pr)” respectivamente
(q(qr)r){(qr)r(pr)}(q (pr))
Dado que el teorema 3, se cumple para cualesquier p, q proposiciones tenemos realizando la sustitución “p” por “q” y “q” por “r”:
q(qr)r
Luego aplicando el modus ponendo ponens entre:
(q(qr)r){(qr)r(pr)}(q (pr))
q(qr)r
Obtenemos:
{qr)r(pr)}(q (pr))
Dado que el consecuente de la primera de las proposiciones es igual al antecedente de esta última tenemos sustituyendo en el axioma 3, “p”, “q” y “r” por: “p(qr)”, “(qr)r(pr)”, “q (pr)”tenemos:
((p(qr) {(qr)r(pr)})({(qr)r(pr)} q (pr)))((p(qr) q (pr)))
Aplicando el modus ponendo ponens:
((p(qr) {(qr)r(pr)})({(qr)r(pr)} q (pr)))((p(qr) q (pr)))
(p(qr){(qr)r(pr)}
Implica:
({(qr)r(pr)} q (pr)))((p(qr) q (pr)))
Aplicando nuevamente el modus ponendo ponen entre:
({(qr)r(pr)} q (pr)))((p(qr) q (pr)))
{qr)r(pr)}(q (pr))
Implica
(p(qr)q (pr) l.q.q.d.
TEOREMA 5
Sean p, q proposiciones entonces:
(p)(pq)
Demostración
Por el axioma 1 reemplazando “p” por “p” y “q” por “q” tenemos:
(p) (q)(p) Vemos que el consecuente de esta expresión coincide con el antecedente del axioma 7 por tanto:
(q)(p)(pq)
Luego tomando en el axioma 3, “r” por pq, “p” por “p”
(p(q)(p))( (q)(p)(pq))(p(pq))
Ahora haciendo el modus ponendo pones entre:
(p(q)(p))((q)(p)(pq))(p(pq)) y
(p) (q)(p)
Obtenemos:
((q)(p)(pq))(p(pq)) y nuevamente por el modus ponendo ponens tenemos:
((q)(p)(pq))(p(pq))
(q)(p)(pq)
Luego tenemos:
p(pq) l.q.q.d.
TEOREMA 6
Sean p, q proposiciones entonces: p(p)q
Demostración
Sustituyendo en el teorema 4 “p” por “p” “q” por “p” y “r” por “q”
Esto nos da:
p(pq)p(pq) Así el antecedente de esta expresión es el consecuente del teorema 5Entonces se cumple la expresión del teorema 5 en cualquier p y q luego tenemos la proposición:
p(pq) Aplicando el modus ponendo ponens a:
p(pq)p(pq) y
p(pq)
Obtenemos:
p(pq) l.q.q.d.
TEOREMA 7
Sean p, q proposiciones entonces:
(p(qp)
Demostración
Del teorema 5 sustituyendo “p” por “p” y “q” por “q” nos da:
(p)(p)(q) Y tomando en el axioma 7 “q” por “p” y “p” por “q” tenemos
(p)(q)(qp)
Ahora observamos que el antecedente de la segunda proposición es el consecuente de la primera luego por el axioma 3 tenemos sustituyendo “r” por “qp”, “p” por “(p)” y “q” por “(p)(q)” entonces:
(p) (p)(q)( (p)(q)(qp))( (p)(qp)
Ahora realizando el modus ponendo ponens entre:
(p) (p)(q)( (p)(q)(qp))( (p)(qp) y
(p)(p)(q)
Obtenemos:
((p)(q)(qp))( (p)(qp) Y nuevamente por el modus ponendo ponens entre:
((p)(q)(qp))((p)(qp)
(p)(q)(qp)
Tenemos:
((p)(qp) l.q.q.d.
TEOREMA 8
Sea p una proposición entonces:
(p)p
Demostración
Del teorema 4, tomando en calidad de “r” a “p” , en calidad de “p” a “(p)”y dejando “q” tenemos:
(p)(qp)q((p)p)
y por el teorema 7, para cualquier p, y q entonces:
(p)(qp)
Haciendo en modus ponendo ponens entre:
(p)(qp)q((p)p) y
(p)(qp)
Obtenemos:
q((p)p)
Dado que q es una proposición libre que se extrae del teorema 4 podemos colocar cualquiera de nuestros axiomas en su lugar así:
p(qp)((p)p) Aplicando el modus ponendo ponens con esta última afirmación y el axioma 1 nos resulta:
p(qp)((p)p) y
p(qp)
Obtenemos
(p)p. l.q.q.d.
TEOREMA 9
Sea p una proposición entonces: p(p)
Demostración
Haciendo la sustitución “q” por “(p)” y “p” sin cambio tenemos:
((p))(p)p(p)
Ahora del teorema 8 cambiando “p” por “p”
((p))(p)
Luego aplicando el modus ponendo ponens entre:
((p))(p)p(p) y
((p))(p)
Obtenemos:p(p) l.q.q.d.
TEOREMA 10
Sea p una proposición entonces: p(p)
Demostración
Por el axioma 6 tenemos tomando “q” por “(p)” y dejando “p” igual tenemos:
p(p)( (p)p) p(p)
Ahora del teorema 9 tenemos:
p(p)
Realizando el modus ponendo ponens entre:
p(p)( (p)p) p(p) y
p(p)
Obtenemos:
((p)p) p(p) Y tomando la conclusión del teorema 8 tenemos:
(p)p
Realizando el modus ponendo ponens entre:
((p)p) p(p) y
(p)p
Obtenemos
p(p) l.q.q.d.
DEFINICIÓN 1
Definimos la DISYUNCIÓN de las proposiciones p y q por:
(p q) (p) → q
DEFINICIÓN 2
Definimos la CONJUNCION de las proposiciones p y q por:
(p q) {(p) (q)}
TEOREMA 11
Sean p, q proposiciones entonces:
(p)→q→(p q)
Demostración
En el axioma 5 sustituyendo “p” por “pq” y “q” por “p→q” tenemos:
((pq) (p→q))( (p→q) (pq))
Ahora por la definición de p q
p q↔ p→q Entonces por el modus ponendo ponens entre
((pq) (p→q))((p→q) (pq)) y
p q↔ p→q Obtenemos:
(p→q) (pq) l.q.q.d.
TEOREMA 12
Sea p una proposición entonces:
p( p)
Demostración
Por el teorema 11 haciendo “p” por “q” tenemos:
(p)→ (p) →(p (p))
Además por el teorema 1 haciendo “p” por “p”
(p)→ (p) Entonces aplicando el modus ponendo ponens entre
(p)→ (p) →(p (p)) y
(p)→ (p)
Obtenemosp (p). l.q.q.d.
TEOREMA 13
Sean p, q proposiciones entonces:
p→ pq
Demostración
Tomando en el axioma 3 “q” por “p→q” y r por “pq” manteniendo “p” igual obtenemos:
(p(p→q))( (p→q ) (pq))(p (pq))
Del teorema 6 se tiene
ppq
y por el teorema 11 tenemos
(p)→q→(p q) Luego aplicando el modus ponendo ponens entre tenemos:
(p(p→q))( (p→q ) (pq))(p (pq)) y
p(p)q
Obtenemos
(p→q ) (pq))(p (pq)) Y nuevamente aplicando tenemos:
(p→q ) (pq))(p (pq))
(p)→q→(p q)
Obtenemos:
p (pq)
TEOREMA 14
Sean p, q proposiciones entonces:
(pq)→{(p)(q)}
Demostración
Del axioma 4 tomando “p” por “pq” y “q” por ((p)(q))
Obtenemos
((pq ) ((p)(q)))( (pq ) ((p)(q))) De la definición II tenemos:
((pq ) ((p)(q)))
Luego aplicando el modus ponendo ponens entre estas dos proposiciones obtenemos
(pq ) ((p)(q)) l.q.q.d.
TEOREMA 15
Sean p, q proposiciones entonces:
{pq}→{(p )(q)}
Demostración
Reemplazando en el teorema 8 “p” por “pq” obtenemos:
((pq))→ (pq)
Por el teorema 14
(pq)→{(p)(q)} Y del axioma 3 tomando “p” por “((pq))” “q” por “pq” y “r” por “(p )(q)”Tenemos:
((pq))→ (pq)→ pq →(p )(q)→{ ((pq))→ (p )(q)} Luego aplicando el modus ponendo ponens entre:
((pq))→ (pq)→ pq →(p )(q)→{ ((pq))→ (p )(q)}
((pq))→ (pq)
Obtenemos
pq →(p )(q)→{ ((pq))→ (p )(q)} Y nuevamente aplicando el mismo modus ponendo ponens entre:
pq →(p )(q)→{ ((pq))→ (p )(q)} y
(pq)→{(p)(q)}
Obtenemos:
((pq))→ (p )(q) l.q.q.d
TEOREMA 16
Sean p, q proposiciones entonces:
(p)(q)→(pq)
Demostración
Tomando las sustituciones “q” por “(pq)” y “p” por “pq” en el axioma 7 tenemos:
((pq))→( pq)→( pq)→ (pq)
De donde resulta que el antecedente de esta implicación coincide con el antecedente del teorema 15 así:
((pq))→ (p )(q)
Aplicando el modus ponendo ponens entre estas dos ultimas
((pq))→( pq)→( pq)→ (pq)
((pq))→ (p )(q)
Entonces tenemos:
( pq)→ (pq) l.q.q.d.
TEOREMA 17
Sean p, q proposiciones entonces:
(p)→(pq)
Demostración
Del teorema 13, tenemos sustituyendo “p” por “p” y “q” por “q”
Tenemos:
p (pq)
Haciendo comparación con el teorema 16 tenemos consecuente igual al antecedente
(pq)→ (pq) Entonces por el axioma 3, tenemos tomando “p” por “p”, “q” por “pq” y “r” por “(pq)”
p (pq)→ (pq)→ (pq)→ p → (pq)
De donde aplicando el modus ponendo ponens entre: p (pq)→ (pq)→ (pq)→ p → (pq) y
p (pq)
Obtenemos:
(pq)→ (pq)→ p → (pq)
Luego aplicando nuevamente el modus ponendo ponens entre:
(pq)→ (pq)→ p → (pq)
(pq)→ (pq)
Tenemos
p → (pq) l.q.q.d.
TEOREMA 18
Sean p, q proposiciones entonces:
(pq)→p
Demostración
Tomando “pq” por “p” y “q” por “p” en el axioma 7, tenemos:
(p)→(pq)→(pq)→p
Por el teorema 17 tenemos:p → (pq)
Así aplicando el modus ponendo ponens entre:
(p)→(pq)→(pq)→p y
p → (pq)
Obtenemos:
(pq)→p l.q.q.d.
CONECTIVOS LÓGICOS CON PRODUCTO CARTESIANO
En un universo X, para dos elementos cualesquiera a y b, definimos la pareja ordenada:
(a, b) = {{a}, {a, b}}
De esta definición puede demostrarse que dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales, si y sólo si a = c y b = d.
Definimos el producto cartesiano X * X como:
X * X = { (a, b) : a, b ∈ X }
Notemos que X * X no es subconjunto4 de X.Para dos subconjuntos cualesquiera A y B de X; definimos5 el producto cartesiano de A con B, según el conectivo lógico © al conjunto:
A * ©B = { (a, b) : a ∈ A © b ∈ B}
1. VACÌO = í ý
Sea X, un conjunto A , B C X
B = { } 0 10 0 01 0 0
2. FUNTOR DE PIERCE “ ¯ ”
y B
X A
Sea X, un conjunto A , B C X
¯ 0 10 1 01 0 0
B ={ (x,y) X*X :x A ↓ y B}
EJEMPLO
SI:
X= {1,2,3,4 }A= {1,2}B= {2,3,4}
B = {(3,1 ),(4,1 )}
CAPITULO IV
GEOMETRIA EUCLIDEA
“Quod erat demostrandum. (q. e. d.)”
Como queríamos demostrar. (c. q. d.)
ELEMENTOS DE GEOMETRIA
VIDA Y OBRA DE EUCLIDES
Euclides es, sin lugar a dudas, uno de Los tres mayores matemáticos de la Antigüedad junto a Arquímedes y a Apolonio. Quizás sea el más nombrado y también uno de Los mayores de todos los tiempos. Se conoce poco de La vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es ampliamente conocida. Todo Lo que sabemos de su vida nos ha Llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría, al parecer en torno al año 300 a.C. convocado por Tolomeo para fundar una escuela de estudios matemáticos Llamada Primera Escuela de Alejandría. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón. El nombre de Euclides está indisolublemente Ligado a la geometría, al escribir su famosa obra Los Elementos. Este es el libro más famoso de La Historia de la Matemática. Esta obra está constituida por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas y en éL se exponen las bases esenciales de la geometría. A veces se añaden otros dos, Los Libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides. En ella se enuncia el postulado de Euclides: por un punto del plano sólo se puede trazar una paralela y una sola, a una recta. Este postulado es la base de La geometría euclidiana. El contenido de Los Elementos, se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen Las geometrías no euclidianas. Fue Lobachevskí el que dio La solución al problema del y postulado: El postulado no puede ser probado y Lo que es más curioso, si consideramos La proposición opuesta (que por un punto del plano se puede trazar mas de una paralela a una recta dada) se pueden desarrollar otras geometrías que no contienen contradicción alguna. La conclusión es importantísima: existe más de una geometría lógicamente concebible.
Los Elementos ha sido la primera obra matemática fundamental que ha Llegado hasta nuestros días, el texto más venerado y que mayor influencia ha tenido en toda la historia de La Matemática De hecho, después de la Biblia, es Los Elementos de Euclides la obra que más ediciones ha Conocido desde que Gutenberg inventara La imprenta. Los Elementos están Constituidos por XIII Libros que contienen 465 proposiciones todas verdaderas, que han resistido e! paso del tiempo como ninguna otra científica permaneciendo vigente e insuperada a lo largo de más de 2300 años.
Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematización el orden y la argumentación la que está constituida Los Elementos no contienen únicamente un resumen sumario y exhaustivo de toda La Geometría griega. En realidad contienen una gran síntesis no sólo de la producción geometría griega hasta el siglo III a. C. sino también de un compendio, usando e! lenguaje geométrica de toda La Matemática elemental: Geometría plana y espacial, Aritmética y Álgebra. Euclides construye sus argumentaciones basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes) y a partir de los cuales se deduce todo lo demás que llamó Postulados. A Continuación enunciamos los famosos cinco Postulados de Euclides
Los Elementos es una verdadera reflexión teórica de y sobre Matemática. Prácticamente en la totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre
música y óptica, tiene una obra titulada Sofismas que, dice Proclo, sirve para ejercitar la inteligencia.
Para acabar podemos citar una anécdota que nos ilustrará, aún más, sobre la vida y gestos de Euclides:
En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con Lo que había aprendido de la Geometría: EL maestro ordenó a su esclavo que Le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que ganara algo con lo que aprendía de Geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de La Geometría y de lo desinteresado de ésta.
ELEMENTOS DE GEOMETRIALIBRO I
DEFINICIONES
Punto es lo que no tiene partes Línea es la longitud sin anchura Los extremos de la línea son rectas Línea recta es la que yace por igual sobre sus puntos Superficie es lo que solo tiene largo y ancho Los extremos de la superficie son líneas Superficie plana es la que yace por igual sobre sus rectas Angulo plano es la inclinación de dos líneas que se encuentran en un plano y
no yacen las dos sobre una recta Si las dos líneas que contienen el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo Si una recta trazada sobre otra forma con ella dos ángulos contiguos iguales,
cada uno de ellos es recto y la recta se llama perpendicular a aquella sobre la cual se trazó
Angulo obtuso es el mayor que el recto Angulo agudo es el menor que el recto Limite es el extremo de algo Figura es lo comprendido por uno o varios limites Circulo es una figura plana limitada por una sola línea que se llama periferia,
respecto de la cual son iguales las rectas que inciden sobre ellas trazadas desde uno de los puntos situados en el interior de la figura
Este punto se llama centro del circulo Diámetro del círculo es una recta cualquiera que pase por el centro y cuyas dos
partes tengan sus extremos en la periferia. Esa recta divide al círculo en dos partes iguales.
Semicírculo es la figura limitada por un diámetro y la periferia, el centro del semicírculo es el mismo que el del circulo
Figuras rectilíneas son las limitadas por rectas. Triláteras si están por tres, cuadriláteras por cuatro y multiláteras por mas de cuatro
Entre las figuras triláteras están:
o El triangulo es equilátero si tiene los tres lados igualeso isósceles si tiene solo dos lados iguales o escaleno si tiene todos sus lados desiguales
Entre las figuras triláteras el triangulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, el obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tiene todos sus ángulos agudos.
Entre las figuras cuadriláteraso El cuadrado es equilátero y equiánguloo El rectángulo es equiángulo pero no equiláteroo El rombo es equilátero pero no rectangularo El romboide sin ser equilátero ni equiángulo tiene iguales los lados y
los ángulos opuestoso Las demás figuras se llaman trapecios.
Rectas paralelas son las que estando en el mismo plano y prolongadas al infinito no se encuentran
POSTULADOS
1* TRAZAR UNA LINEA RECTA DESDE UN PUNTO CUALQUIERA A OTRO PUNTO CUALQUIERA
2* PROLONGAR DE MANERA ILIMITADA EN LINEA RECTA UNA RECTA LIMITADA
3* DESCRIBIR UN CIRCULO PARA CADA CENTRO Y CADA RADIO
4* TODOS LOS ANGULOS RECTOS SON IGUALES
5* SI UNA RECTA AL INCIDIR SOBRE OTRAS DOS FORMA DEL MISMO LADO ANGULOS INTERNOS MENORES QUE DOS RECTOS, LAS DOS RECTAS PROLONGADAS AL INFINITO SE ENCONTRARAN EN EL LADO EN QUE ESTEN LOS ANGULOS MENORES QUE DOS RECTOS
NOCIONES COMUNES
1.-Cosas Iguales A Una Misma Cosa Son Iguales Entre Sí2.- Si Acosas Iguales Se Agregan Cosas Iguales, Los Totales Son Iguales.3.-Si De Cosas Iguales Se Quitan Cosas Iguales, Los Restos Son Iguales4.-Si A Cosas Desiguales Se Agregan Cosas Iguales Los Totales Son Desiguales5.-Las Cosas Dobles De Una Misma Cosa Son Iguales Entre Sí6.-Las Cosas Mitades De Una Misma Cosa Son Iguales Entre Sí7.-Las Cosas Congruentes Entre Sí Son Iguales Entre Sí8.- El Todo Es Mayor Que La Parte9.- Dos Rectas No Comprenden Espacio
PROPOSICIONES
TEOREMA 1Construir un triangulo equilátero sobre un segmento dado.
Demostración.Sea AB el segmento dado. Haciendo centro en A y en B descríbanse los círculos BGD y AGE y desde el punto g en que se cortan trácense hasta los puntos A y B los segmentos GA Y GB puesto que el punto A es el centro del circulo GDB el segmento AG es igual al AB, y por ser B el de GAE
es BG igual BA y como se demostró también que GA es igual al AB los segmentos GA Y GB son iguales al AB , pero cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí luego GA sera igual a GB una misma cosa son iguales entre sí luego GA será igual a GB y por tanto GA, AB y BG son iguales entre sí; el triangulo ABG es equilátero y esta además construido sobre el segmento AB como se quería hacer.
TEOREMA 2Dividir en dos un ángulo rectilíneo dado.
Demostración
Si el ángulo rectilíneo dado es el BAG tómese sobre el lado AB un punto cualquiera D; réstese de AG el segmento AE igual al AD; únase D con E; constrúyase sobre de el triangulo equilátero DEZ trácese la recta AZ.el ángulo BAG esta dividido en dos partes iguales por la recta AZ porque siendo AD igual a AE, la base DZ igual a la EZ y AZ común el ángulo comprendido DAZ será igual al EAZ y por tanto el rectilíneo dado BAG ha quedado dividido en dos partes iguales.
TEOREMA 3Dividir un segmento dado en dos partes.
Demostración.
Sea AB el segmento dado. Constrúyase sobre él un triangulo AGB y divídase en dos el ángulos AGB por medio de la recta GD. Siendo AG igual a GB y GD común, resulta iguales los segmentos AG y GD a los BG y GD así como los ángulos AGD y BGD y la base AD y BD luego D es el punto medio AB.
A BD E
G
A
B G
D E
TEOREMA 4
Desde un punto dado en una recta dada, trazar una recta que forme ángulos rectos.
Demostración.
Sea AB la recta dada y G el punto dado en ella tómese sobre la recta AG un punto cualquiera D ; hágase que GE sea igual a GD constrúyase sobre DE el triangulo equilátero ZDE y trácese la recta ZG . Siendo DG igual GE y GZ común, los segmentos DZ y DE seran iguales, el ángulo DGZ igual al EGZ y como son contiguos, serán rectos y por consiguiente la recta ZG trazada sobre la dada AB desde el punto dado G forma con ella ángulos rectos
TEOREMA 5
Dada una recta indefinida, trazarle desde un punto que no esté sobre ella una recta perpendicular.
Demostración
Sea AB la recta dada y G el punto dado que no esta sobre ella.Tómese al lado de la recta un punto cualquiera D; con centro en G y radio GD descríbase el circulo EZH; divídase en dos la recta EH por el punto T y trácense las rectas GH, GT, y GE. GT es la perpendicular pedida porque siendo HT igual a TE y GT común, es GH igual a GE, el ángulo GTH igual a GTE y como son continuos rectos y la recta GT perpendicular a AB.
A B
G
D
D E
Z
G BA
G
A E
D
z
BH
TEOREMA 6Si una reta al incidir sobre las otras dos formas ángulos alternos iguales dichas rectas serán paralelas
Demostración si la recta EZ incidiendo sobre las AB Y GD forman ángulos alternos AEZ y EZD iguales entre sí , entonces AB y GD son paralelas porque sino lo fuesen y se prolongaran se encontrarían hacia BD o hacia AG.Prolongándose y encontrándose hacia BD en el punto H; y entonces el ángulo externo AEZ del triangulo HEZ será igual al EZH interno y opuesto a él, lo cual es imposible; luego las rectas AB y GD prolongadas hacia el lado BD, no se cortaran, y como del mismo modo se demostraría que tampoco se cortan hacia AG, son paralelas.
B
H
D
E
ZG
A
TEOREMA 7Si una recta al incidir sobre otra dos, forma un ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o si los dos internos del mismo lado son iguales a dos rectos, dichas rectas serán paralelas.
Demostración si las rectas EZ, incidiendo sobre las AB y GD forma el ángulo externo EHB igual al interno y opuesto HTD, o los ángulos BHT y HTD, internos del mismo lado son igual a dos rectos entonces las recta AB es paralela a GD.Por ser el ángulo EHB igual al HTD y la AHT serán iguales los AHT y HTD y como son internos, la recta AB es paralela a la GD. y puesto que los ángulos BHT y HTD juntos son igual a dos rectos y también son igual a dos rectos los AHT y BHT juntos los AHT y BHT serán iguales a los BHT y HTD de modo que restando el ángulo común BHT el ángulo restante AHT será igual al restante HTD, y como son alternos, la recta AB es paralela a la GD.
A
G
E
B
DT
H
Z
TEOREMA 8Una recta que incide sobre dos paralelas forma ángulos alternos iguales entre sí y el externo igual al interno y opuesto y los opuestos del mismo lado iguales a dos rectos
Demostración
sea EZ la recta que incide sobre las dos paralelas AB y GD si el ángulo AHT no fuera igual al HTD uno de los dos seria mayor .sea AHT el mayor. si se añade el ángulo común BHT, los ángulos AHT y BHT serán mayores que los BHT y HTD, y como los AHT y BHT juntos son dos retos los BHT y HTD juntos serán menores que dos rectos pero si una recta al incidir sobre otras dos forma del mismo lado dos ángulos internos menores que dos rectos las dos rectas prolongadas al infinito se encontraran luego AB y GD prolongadas al infinito se encontraran y como no se encuentran porque se supone que son paralelas el ángulo AHT no es desigual al HTD y por tato son iguales. además el ángulo AHT es igual al EHB , luego el EHB también es igual al HTD y añadiendo el ángulo común BHT serán entonces iguales los ángulos EHB y BHT a los BHT y HTD pero los EHB y BHT juntos son dos rectos ; luego también serian dos rectos los BHT y HTD Juntos.
A
G
E
B
DT
H
Z
TEOREMA 9
Las rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí.
Demostración
Sean AB y GD dos rectas paralelas a la EZ. Entonces AB es paralela a la GD porque cortándolas por la HK el ángulo AHK será igual al HTZ, y puesto que HK incide sobre las rectas paralelas EZ y GD, el ángulo HTZ será igual al HKD. Pero quedo demostrado que el ángulo AHK es igual al HTZ, luego también el ángulo AHK será igual al HKD y como son alternos la recta AB es paralela a la GD.
A
E
G K
T
H B
Z
D
TEOREMA 10 Por un punto dado trazar una recta paralela a otra dada
Demostración.Sea A el punto dado y BG la recta dada. Tómese sobre BG un punto cualquiera D; trácese la recta AD y sobre ella y en el punto A constrúyase el ángulo DAE igual al ADG y prolónguese la EA en AZ. puesto que la recta AD al incidir sobre BG y EZ ha formado los ángulos alternos EAD y ADG iguales entre sí, la recta EAD será paralela a la BG.
E
B
A
D
Z
G
La finalidad de este capitulo es mostrar como se pueden dividir un segmento en tres partes iguales. Dado el segmento AB tracemos el rayo BC y tomemos un punto cualquiera sobre dicho rayo.Haciendo centro en A y radio en el punto escogido formamos el primer circulo ahora tomando como centro el punto de intersección entre el rayo y el circulo repetimos esta operación hasta llegar al punto BY trazamos el segmento CB por el postulado de las paralelas de Euclides por el punto B´ trazamos una paralela a CB.
A
B
A´
B´
C
CAPITULO V
LOS NÚMEROS N-MALES
“la ciencia no es más que respuestas fáciles a problemas difíciles.”Anónimo.
NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales pueden escribirse de dos maneras: como fracción o bien en notación decimal.
Ejemplo:
3 / 10 = 0,3
Fracción Notación decimal
Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.
Adición y sustracción
Para sumar o restar números decimales escritos con notación decimal se siguen los siguientes pasos:
Se anotan los números en forma vertical, es decir, se anotan hacia abajo, de modo que las comas queden en la misma columna. Siempre se debe colocar el número mayor arriba.
Ejemplo:
3,721+2,08=
Los números se deben ordenar aunque no tengan la misma cantidad de cifras decimales, así se procede a agregar a la derecha todos los ceros necesarios para que tengan igual cantidad de cifras.
Así sumaremos 3,721+2.080=
Se suma o resta en forma normal, luego se baja la coma (bajo su columna) y se agrega al resultado.
+ 3,721
2,080
_____________
5, 8 0 1
Multiplicación de un número decimal por un número natural
Los pasos para operar con números decimales son los siguientes:
Se resuelve la multiplicación sin considerar la coma
Una vez que se hizo la multiplicación, se cuentan cuantos espacios después de la coma (hacia la derecha) están ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la izquierda los mismos espacios, y se coloca la coma.
Ejemplo
1,322
* 2
______
2,644
División
Para dividir números decimales o números que tiene como resultado números decimales se resuelve la división de la forma acostumbrada.
Se continúa dividiendo y agregando un cero al resto todas las veces que se quiere; de esto depende el número de decimales que se quiera obtener.
Transformar Decimal A Fracción
Los números decimales pueden clasificarse en:
a) decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita infinitas veces
Ejemplos: 4,56 ; 0,0003 ; 2,9876 : 0,1 ; 3,42 , etc.
Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito.
Un decimal finito representa una fracción decimal.
b) decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0,333333..... es infinito por que el 3 se repite indefinidamente. Estos números son divisiones inexactas. No representan una fracción decimal.
Los decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos.
Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción.
c) decimales infinitos periódicos: son aquellos que tiene una o más cifras que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escribe en forma abreviada coronando al período con un pequeño trazo.
d) decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo (es un número que está entre la coma y la rayita).
Transformación de un decimal finito a fracción
Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
Ejemplo 1:
0,045 = 45: 5 = 9 Se anota el número, en este caso 45. 1.000: 5 200 Se divide por 1.000, porque hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5
Ejemplo 2: 1,2 = 12: 2 = 6 10: 2 5
Transformación de un decimal infinito periódico en fracción
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita)
2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.
Otro ejemplo: Expresar como fracción 57,1888888....
57,18¯ = 5.718 – 57= 5.661: 9 = 629
99 99 : 9 11
Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción
1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.
2) El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.
NUMEROS N- MALES
Basados en las operaciones antes descritas para números decimales procederemos a realizar operaciones en bases diferentes a la base diez.
En el estudio de los números naturales fue frecuente el estudio de las bases denumeración. Esta misma actividad es aplicable al estudio de los números racionales, es decir el estudio de los números racionales en diferentes bases. La representación de un número racional en una base n es lo que denominamos número n-mal. El estudio de los números racionales se inicia con el proceso de medir objetos concretos con otros objetos, en donde es necesario subdividir la unidad para obtener medidas más precisas. Estas subdivisiones pueden ser por mitades, tercios, quintos, décimos, vigésimos, entre otras, dando origen a las representaciones n-males de los números Racionales.
Al crear los números n-males e inmersos en el contexto de la medición, se hace necesario operar entre ellos, es decir, sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos.El mismo proceso lleva a la creación de algoritmos que permitan realizar esta tarea y como condición para aplicarlos surge la necesidad de transformar números de una base a otra.
Adición y sustracción de números k-males.
Para sumar o restar números k-males escritos con notación decimal se procede conforme los siguientes pasos:
Se anotan los números en forma vertical, es decir, se anotan uno debajo de otro, de modo que las comas queden en la misma columna. Siempre se debe colocar el número mayor arriba.
Ejemplo:
3,721(8)+2,06(8)=
Los números se deben ordenar aunque no tengan la misma cantidad de cifras k-males, así se procede a agregar a la derecha todos los ceros necesarios para que tengan igual cantidad de cifras.
Así sumaremos 3,721(8)+2,060(8)=
Se suma o resta en forma tal como se procede con números naturales expresados en otras bases, luego se baja la coma (bajo su columna) y se agrega al resultado.
+ 3,721(8)
2,060(8)
_____________
6, 0 0 1(8)
Multiplicación de un número k-mal por un número natural
En este caso se procede bajo la definición de multiplicación hecha sobre los números naturales al determinarse como la suma el del segundo numero por si mismo el numero de veces que indica el primero.
Es decir:
Si tenemos 2*5,782(9) debemos proceder sumando 5,782(9) por sí mismo de tal manera que solo queden dos sumandos, así:
2*5,782(9)= 5,782(9) +5,782(9)=12,674(9)
E caso es diferente si por ejemplo tenemos que operar con números de la forma:
2,876(9)*3,4(9)
En cuyo caso multiplicamos cada número por el equivalente en la base de tal forma que se conviertan en números naturales.
Así:
2,876(9)*1000=103 es decir, ya que 103 93 por ser para este ejemplo 9 la base.
Similarmente para 3,4(9) y se procede a multiplicar por 10 1 así 3,4(9)=34
Y se procede a realizar la multiplicación:
2876
* 34
_____
112436
Luego el resultado seria 1,12436
Actividades
½
en bases impares tenemos
Base 3
1/2=0.111…..
Base 5
½= 0.2222…..
Base 7
½=0.33333….
Es decir para base de la forma 2k+1
Tenemos:
½=0,(b-1/2) (b-1/2) (b-1/2) (b-1/2) (b-1/2)……
Base 2
1/2=0.1
Base 4
½=0.2
Base 6
½=0.3
Para bases de la forma b=2k
Tenemos:
½=0,(b/2)
Para 1/5
Si b=5k entonces:
1/5=0.(b/5)
Si b=5k+1
1/5=0,(b-1)/5(b-1)/5(b-1)/5(b-1)/5……
Si b=5k+2
1/5=0,(b-2/5)(2b-4/5)(4b-3/5)(3b-1/5) (b-2/5)(2b-4/5)(4b-3/5)(3b-1/5) (b-2/5)(2b-4/5)(4b-3/5)(3b-1/5)………..
se dejan como ejercicio los casos b=5k+3 y b=5k+4
Demuestre que
0, ab =ab /(n − 1)n + (n − 1))
Para cualquier base n
Demostración
Sea d=0,ababababababa….
Dado que la base es n y su representación en la misma base corresponden a n=10
Entonces dado que queremos solo dos números del periodo del número multiplicamos por n2 entonces
100=n2
Entonces
100d=100(0,ababababa…)=ab,ababab….
Luego
dn2-d=d(n2-1)= ab
Entonces
d=ab/(n2-1)=ab/(n-1)(n+1)=ab/((n-1)n+(n-1))
Entonces 0,ababababa…=ab/((n-1)n+(n-1))
Supongamos que
a/b=c/d entonces (a+b)/b=(c+d)/d
Muestre un argumento que justifique la igualdad
Como para todo b, b/b=1Tenemos
a/b-1=c/d-1 entonces a/b+b/b=c/d+d/d entonces (a+b)/b=(c+d)/d
De cuantas maneras se puede expresar la siguiente proporción:
a/b=c/d
de cuatro formas despejando cada una de las variables.
CAPITULO VI
FRACCIONES CONTINUAS Y NUMEROS TRASCENDENTES Y ALGEBRAICOS
Cuida tu cerebro y tu cerebro cuidará de ti
Anónimo.
Investigación.
FRACCIONES CONTINUAS
Las fracciones continuas se utilizan desde antiguo. Aryabhata (476-550) las usó para resolver ecuaciones diofánticas así como para dar aproximaciones precisas de números irracionales. Brahmagupta (598-668) profundizó en el estudio de las ecuaciones llamadas hoy de Pell. Desarrolló los fundamentos del método chakravala, usando cálculos parecidos a los de las fracciones continuas. Investigó la resolución de la ecuación
x2 − 61y2 = 1 encontrando la menor solución: x = 1 176 319 049, y = 226 153 980
En el siglo XII el método fue mejorado por Bhaskara II. Un algoritmo, análogo al de las fracciones continuas, permitió resolver un caso general. La diferencia más notable era que admitía números negativos en la fracción, acelerando la convergencia.
La aparición en Europa fue posterior e italiana. Rafael Bombelli (1562-1572) usó un antecesor de las fracciones continuas para calcular aproximaciones de la raíz cuadrada de 13. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) se dio cuenta de que el método de Bombelli valía para todas la raíces cuadradas; lo utilizó para la de 18 y escribió un opúsculo sobre este asunto. Remarcó que las aproximaciones obtenidas son alternativamente superiores e inferiores a la raíz cuadrada buscada.
En Inglaterra hubo un progreso decisivo. El 3 de enero de 1657, Pierre de Fermat desafió a los matemáticos europeos con varios problemas entre los que estaba la ecuación ya resuelta por Brahmagupta. La respuesta inglesa fue rápida. William Brouncker (1620-1684) encontró la relación entre la ecuación y la fracción continua, así como un método algorítmico equivalente al de los hindúes para el cálculo de la solución. Utilizó una fracción continua para construir una sucesión que convergía a
4 / π,
y aproximó π con 10 decimales significativos. Estos resultados fueron publicados por John Wallis que aprovechó para demostrar las relaciones de recurrencia utilizadas por Brouncker y Baskara II. Dio, además, el nombre de fracción continua en la frase: “Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum”. En esta época, Christiaan Huygens (1629-1695) descubrió que las fracciones continuas son la herramienta ideal para determinar el número de dientes que deben tener las ruedas de engranajes de un reloj. Las utilizó para la construcción de un autómata planetario.
En el siglo siguiente se resuelven algunas cuestiones teóricas. El uso mostró que el algoritmo de las fracciones continuas permitía resolver la ecuación de Pell utilizando el hecho de que la fracción es periódica a partir de un punto. Leonhard Euler (1707-1783) demostró que si un número tiene una fracción continua periódica entonces es solución
de una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros. El recíproco, más sutil, es obra de Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) . Johann Heinrich Lambert (1728-1777) encontró una nueva utilidad de las fracciones continuas, las usó para demostrar la irracionalidad de π.
Esta utilización vino a ser frecuente durante el siglo XIX . Évariste Galois encontró una condición necesaria y suficiente para que una fracción continua sea inmediatamente periódica. Joseph Liouville (1809-1882) utilizó el desarrollo en fracción continua generalizado para construir los primeros ejemplos de números trascendentes, los números de Liouville. Charles Hermite (1822-1901) estableció nuevos métodos para demostrar la trascendencia de e, base del logaritmo neperiano. Estos son retomados por Ferdinand von Lindemann que demostró en 1882 que π es trascendente con el corolario de la imposibilidad de la cuadratura del círculo. Georg Cantor (1845-1918) demostró que los puntos de un segmento pueden ponerse en bisección con los del interior de un cuadrado con la ayuda de fracciones continuas. El siglo XX vio la explosión de un gran número de publicaciones sobre este asunto. Más de 1500 matemáticos han encontrado elementos dignos de publicación.
NÚMEROS TRASCENDENTES
Números trascendentes son números reales que no son solución de ninguna de ecuación del tipo: axn + bxn -1 + ... + px + q = 0 (donde a, b, ..., p, q y n son números enteros y n >2).El nombre de trascendentes se debe a Euler porque " trascienden el poderío de los métodos algebraicos".
Reseña HistóricaEn el siglo XVIII no se realizó un esfuerzo real para aclarar el concepto de número irracional aunque se hicieron algunos progresos. Alrededor de 1737 Leonard Euler mostró que los números e y e2 son irracionales mientras que Johann Lambert, motivado por encontrar la cuadratura del círculo, hizo lo propio con Π. Sin embargo no sería sino hasta finales del siglo XIX que se demostrara que dichos números son trascendentes. Los números trascendentes no pueden ser vistos como raíces de polinomios de coeficientes enteros cuyo término libre se puede suponer distinto de cero y fueron llamados así por Euler quien dijo: “ellos trascienden el poder de los métodos algebraicos”.La distinción entre números algebraicos (entre los cuales, reiterando, están todos los racionales y algunos irracionales) y trascendentales fue claramente reconocida por Euler en 1744. Conjeturó que el logaritmo en una base racional de un número racional debía ser racional o ¡trascendente! Sin embargo en su época no se logró mostrar que existían números trascendentales. Así, este problema permaneció abierto sin respuesta por alrededor de un siglo.
A finales del siglo XVIII, en distintos trabajos donde se necesitaba la resolución de ecuaciones, se reveló que no todos los números algebraicos irracionales se podrían obtener con operaciones algebraicas en números racionales. Esto renovó el interés porsaber si existían números trascendentes. Así el problema de si e o Π eran trascendentes o algebraicos continuaba atrayendo a los matemáticos.El problema de la existencia de los números trascendentes fue finalmente resuelto en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró que los números de la forma
donde los ai ,con i = 1, 2, ... son arbitrariamente enteros entre 0 y 9, son trascendentes. Liouville también mostró criterios más generales para encontrar números trascendentes pero aún no resolvió el problema de si Π o e son trascendentes.La trascendencia de e fue probada por Charles Hermite en 1873. Pero Hermite desistió del intento de probar la trascendencia de Π . Sin embargo, posteriormente Ferdinand Lindemann utilizando un argumento en esencia idéntico al que Hermite usó para mostrar la trascendencia de e, mostró en 1882 que Π también era trascendente. La prueba de que Π es trascendente puso fin a uno de los problemas más famosos de construcción geométrica.
e
El primer estudio sistemático del número e, junto con el número Π , se divulga en 1748 con la publicación de Introductio in Analysin Infinitorum del prominente matemático Euler. En ese libro por primera vez se muestra cómo una suma infinita que crece monótonamente se puede usar para definir un nuevo número real.Para definir al número e utilizando, precisamente, una suma infinita es necesario introducir antes el concepto del factorial de un número. Se denota factorial del número natural n como n! y se calcula de la siguiente manera:n!=n(n-1)!
Donde por definición 0! = 1.
Como Habiendo así introducido el concepto del factorial de un número estamos listos para definir al número e o constante de Euler de la siguiente manera:
e=
Como sabemos que 2n < n! para n>3 lo cual se puede probar por inducción sobre n.Así podemos estimar el valor de e para asegurar que la suma que lo define no sea igual a infinito.
e= < 1 + 1+ 1/6+ =1+1+1/6+(1/24)(2)=2.792
Tenemos, por lo tanto, que 2.5 < e < 2.792 de donde resulta que e es distinto que infinito. Ahora que ya sabemos qué es e mostremos que no es un número racional, esto es que no lo podemos escribir como una fracción p/q, donde p y q son números enteros.
Proposición: e es irracional.Prueba:Primero estimemos el valor de (e - Sm), donde
Sm=
Luego
e-Sm= < [ +….]= =
Como e>Sm se tiene que 0<Sm-e< supongamos que e es racional entonces es de la
forma p/q de donde luego qe y q!e son enteros , por la estimación realizada:
0<(Sm-e)q!<1/q<1 lo cual implica que hay un entero entre 0 y 1.
NUMEROS ALGEBRAICOS
Un número algebraico es: cualquier número que es solución de un polinomio no nulo con coeficientes racionales.
Por decirlo más fácilmente, si tienes un polinomio como (por ejemplo):
2x2-4x+2 = 0
Entonces x es algebraico.
Porque:
El polinomio no es cero x es un a raíz o cero (o sea, x da el resultado cero en la función 2x2-4x+2) los coeficientes son números racionales
El polinomio puede ser más simple o complicado que este ejemplo, claro, mientras los coeficientes sean racionales.
Si un número no es algebraico, se llama trascendente.
Ejemplo
¿√2 (la raíz cuadrada de 2) es algebraico o trascendente?
√2 es una solución de x2 - 2 = 0, así que es algebraico.
TRIÁNGULO ARMÓNICOEntre los números enteros (como los primos) y los inconmensurables (como el número de oro), se encuentran los racionales. El triángulo armónico quizás sea menos prolijo en propiedades que el aritmético pero más profundo".
Basta decir que invertimos los términos (cada diagonal de orden n resulta de invertir los términos de la correspondiente diagonal aritmética y dividir entre n)
Las propiedades no se basan en sumas finitas sino en sumas infinitas
Cada término no se obtiene de sumar los lados que le preceden sino los que le suceden, procediendo en suma no del 1 inicial sino del 0 final, al que tienden todas las sucesiones
Cada término es suma "infinita" de todos los términos en la fila inferior hacia la derecha.
Salvo la serie de la primera fila, divergente, el resto (fila n) tiene por suma 1/(n-1).
TRABAJO SOBRE REGULARIDADES EN EL TRIANGULO DE LEIBNITZ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 n1 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/n2 1/2 1/6 1/12 1/20 1/30 1/42
n>1
3 1/3 1/12 1/30 1/60 1/105 n>2
4 n>3
5 n>4
.
.
.
.
.
.
k
De k=2
=
De k=3
)1(
1
)2)(1(
1
nnnn= para n>2
De k=4
= n>3
De k=5
= n>4
Para k=k, tenemos:
Investigación.
El NÚMERO π
El nombre π
Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo.1 Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones2 y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
π (pi) es la relación entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
HISTORIA DEL NÚMERO π
La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.
Antiguo Egipto
Detalle del papiro Rhind.
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,3 donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:
Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en sólo en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity, describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.
Mesopotamia
Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de
3 + 1/8.
Referencias bíblicas
Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:
«Hizo también una fuente circular de metal fundido, que medía cuatro metros y medio de diámetro y dos metros con veinticinco centímetros de alto. Su circunferencia, medida a cordel, era de trece metros y medio.»I Reyes 7, 23, NVI
El texto original se refería a la medida con codos, pero la traducción muestra la medida en metros.
Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4, 2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. Ambas citas dan un valor aproximado de π = 3.
Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.
Antigua Grecia
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes5 era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:
Matemática China
El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas; el matemático chino Liu Hui fue el primero en sugerir6 que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 lados.7 Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.7 8
En el siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamo «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas, siendo la ultima
aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.
Matemática Persa
En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.
Renacimiento Europeo
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Leonardo Pisano, en su «Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Vieta, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653.
El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:
.
De la misma forma Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie que lleva su nombre:
.
Época moderna (pre-computacional)
En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludofiano.
Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737, que se convirtió en la notación habitual hasta nuestros días.
El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.
En 1789 el matemático de origen eslovaco Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.
El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.
Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:
AñoMatemático o documento
Cultura Aproximación
Error
(en partes por millón)
~1650 a. C.Papiro de Ahmes
Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 25/8 = 3,125 5282 ppm
~950 a. C.La Biblia (Reyes I, 7,23)
Judía 345070 ppm
~500 a. C. Bandhayana India 3,0916422 ppm
~250 a. C.Arquímedes de Siracusa
Griegaentre 3 10/71 y 3 1/7empleó 211875/67441 ~ 3,14163
<402 ppm13,45 ppm
~200Claudio Ptolomeo
Greco-egipcia
377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui China 3,14159 0,84 ppm
263 Wang Fan China 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong China 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929
<0,078 ppm
empleó 355/113 ~ 3,1415929
0,085 ppm
~500 Aryabhata India 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta India 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 Al-Juarismi Persa 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm
1424 Al-Kashi Persa2π = 6,2831853071795865
0,1 ppm
Época moderna (computacional)
Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posibles. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.
En la década de 2000, los ordenadores eran capaces de obtener cifras inmensamente grandes; en 2004 fueron capaces de obtener 1,351 billones de decimales mediante el uso de una supercomputadora Hitachi, que necesitó quinientas horas para realizar dicho cálculo.
Año DescubridorOrdenador utilizado
Número de cifras decimales
1949G.W. Reitwiesner y otros10 ENIAC 2.037
1954 NORAC 3.092
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967 CDC 6600 500.000
1973 Guillord y Bouyer10 CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi y Kanada10 FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud 2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada y Tamura10 HITAC S-810/20 67.108.839
1987Kanada, Tamura, Kobo y otros
NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Hermanos ChudnovskyCRAY-2 y IBM-3090/VF
480.000.000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Hermanos Chudnovsky 2.260.000.000
1994 Hermanos Chudnovsky 4.044.000.000
1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada y otros10 [3] Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000
2004 Hitachi 1.351.100.000.000
En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.
Definiciones
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.11 No obstante, existen diversas definiciones del número π, pero las más común es:
π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Por tanto, también π es:
El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo). El menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.
Número irracional y trascendente
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970[cita requerida]).
Las primeras quinientas cifras decimales de pi
A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los quinientos primeros son:
π≈3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 : 505820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 : 1008214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 : 1504811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 : 2004428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 : 2504564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 : 3007245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 : 3507892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 : 4003305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 : 4500744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 : 500
Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias, así como A00796 y OEIS.
En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.
π = [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …] o bien
Utilizando fracciones continuas generalizadas obtenemos desarrollos con estructuras más regulares
Números cuadráticos
A diferencia de la exponencial, la raíz cuadrada de 2 es particularmente fácil de desarrollar en fracción continua. Esta propiedad proviene del hecho de que, a partir de cierto punto, volvemos a encontrar un cociente completo ya aparecido. La fracción continua es periódica a partir de cierto punto. La raíz de 11 tiene la misma propiedad:
Se deduce que a0 = 3, a1 = 3, x0 = 1/2(3 + √11) y x1 = 3 + √11. Calculamos la fracción continua de x1:
Se ve que x2 es igual x0, lo que permite concluir:
La periodicidad a partir de un punto es propia de los números de la forma donde a b son racionales, b no nulo, y n un entero que no es cuadrado perfecto. Las regularidades son mayores para las raíces cuadradas. Por ejemplo:
Exceptuando el último número del periodo, los anteriores forman un palíndromo. Además, el último término del periodo es el doble del primero (en el caso tratado, 8, que es el doble de 4).
Datos interesantes
El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π. El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también
como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡cuasi-perfecta!
Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416.31
El valor principal de la expresión ii es un número real y está dado por32
Días de Aproximación a Pi
Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:
14 de marzo 26 de abril 22 de julio 10 de noviembre 21 de diciembre
Cuestiones abiertas sobre π
Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
¿Es π normal en base 10? Es decir, si tomamos un bloque de n dígitos con una ordenación cualquiera de estos bloques ¿Tiene la misma probabilidad de aparición?
No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 10
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS EN LA ANTIGUA GRECIA
Aproximadamente entre 475 a.C. y 325 a.C. la matemática teórica creció enormemente, debido principalmente a los logros obtenidos por los griegos.Estos logros fueron primariamente en cuatro áreas: La teoría de números, la geometría métrica (focalizada en el desarrollo de fórmulas para el área y el volumen en una amplia variedad de figuras y sólidos geométricos), la geometría no métrica focalizada en las
construcciones geométricas con regla y compás y la teoría del razonamiento, demostraciones matemáticas y en teorías axiomáticas.Este trabajo tiene que ver especialmente con los problemas que surgieron con el desarrollo de la geometría no métrica. El objeto de esta geometría es la realización de construcciones utilizando sólo regla y compás.La regla y el compás que concebían los griegos eran ideales. Para ellos la regla ideal no tenía marcas (como las de hoy en día), con la que se podía trazar rectas y segmentos entre puntos dados, pero no medir distancia entre estos puntos
El compás ideal sólo permitía trazar un círculo con un centro dado y pasando por otro punto dado, pero no permitía trasladar distancias, ya que al levantarlo del papel sus puntas se cierran.
En general, lo que hoy llamamos la antigüa matemática proviene de los elementos de Euclides (300 a.C.) y en los tiempos de este gran matemático griego, las construcciones geométricas eran hechas sólo con regla y compás. Aunque Euclides resolvió más de cien problemas de construcciones geométricas en los trece libros de "Los Elementos", muchas otras necesitaban algo más que sólo estos instrumentos. Por lo tanto, los griegos se enfrentaron a problemas que no fueron capaces de solucionar, conocidos como los problemas clásicos de la geometría antigüa.Las más prominentes construcciones geométricas se encuentran en "Los Elementos" deEuclides, y son conocidas como construcciones euclidianas. Estas construcciones yacen en el corazón de los tres clásicos problemas de la geometría. Ellos son:
Dibujar usando sólo regla y compás ideales:(1) Un cuadrado con la misma área de un círculo dado. Este problema es conocido como "la cuadratura del círculo".(2) Un cubo con el doble del volumen de un cubo dado. Este problema es conocido como "la duplicación del cubo".(3) Un ángulo igual a la tercera parte de un ángulo cualquiera, problema conocido como"La trisección de un ángulo".
Definición: Un número x es construíble si se puede construir un segmento de longitud x a partir de otro segmento de longitud 1 y con la ayuda de sólo regla y compás.
Los Números Construíbles aparecen como resultado de un número finito de construcciones básicas permitidas las cuales son:
-Trazar una recta por dos puntos dados.-Trazar un círculo de centro y radio dados.-Trazar una paralela a una recta dada por un punto dado.-Trazar la perpendicular a una recta dada por un punto dado.-Trazar la mediatriz de un segmento, y en consecuencia, encontrar su punto medio.
Además es importante que tengamos en cuenta que:
-El compás moderno y el ideal son equivalentes.
-Podemos hallar el punto de intersección de dos rectas, de dos círculos o de una recta y un círculo.Construcción de los números naturales, enteros, racionales, raíces cuadradas y la razón dorada
Teorema: Los números naturales son números construíbles.
Prueba:Construyamos un segmento cualquiera con ayuda de la regla, y digamos que su longitud es 1.
Así el número 1 es construíble. Llamemos los extremos de dicho segmento 0 y 1. Ahora, con centro en el punto 1 y radio una unidad, trazamos una circunferencia que
Corte la recta que pasa por los puntos 0 y 1, en dos puntos, uno de ellos el 0 y el otro lo llamamos 2. El segmento de extremos 0 y 2 tiene longitud 2, y así el número 2 es construíble.
En forma inductiva probaremos que todo número natural n es construíble. En efecto, ya sabemos que los números 1 y 2 son construíbles. Supongamos que el número n-1 es construíble y veamos que el número n es construíble. Haciendo centro en n-1, que por hipótesis es construíble, y abertura del compás la longitud del segmento unidad, trazamos una circunferencia que corte la recta que pasa por 1, 2 y n-1 en los puntos n-2 y n (es decir, una unidad antes y una unidad después de n-1).El segmento de extremos 0 y n tiene longitud n y así n es construíble.
HISTORIA DEL NUMERO PHI
Existen numerosos textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirías de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado
conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo. El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."Euclides en Los Elementos. Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces ese le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:"Eudoxio... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular, combinó la idea de Empedocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Democrito para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes. La autosimilaridad con el número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico)..El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Marka Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre Φειδίας. Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.
Construcción de phi
Vamos a construir ((1+√5)/2).Partimos de un segmento AB de longitud 1. Buscamos su punto medio y trazamos una perpendicular a AB que pase por B.A continuación llevamos la medida de AB sobre la perpendicular y unimos D, el punto medio de AB, con C.
El segmento CD es la hipotenusa del triángulo ΔCDB cuyos catetos DB y BC miden (1/2) y1 respectivamente.
Luego:
CD=√((1/2)+1) = (√5)/2.
Finalmente, trazamos una circunferencia con centro en D y radio DC.
La longitud del segmento AE es AD+DE. Pero AD= (1/2) y DE=DC= ((√5)/2), así que: AE=((1+√5)/2).
Teorema: Si a y b son construíbles, entonces (a/b) con b ≠ 0 también es construíble.
Prueba: Veamos si podemos construir el cociente (a/b), donde a y b son construíbles.Partiremos del segmento de longitud 1 y de dos números a y b construíbles.Consideremos un ángulo AOB cualquiera: Donde OC = 1 , OB = b y OA = a.
Ahora unimos los puntos A y B para formar el triángulo ΔAOB.Ahora vamos a construir un triángulo semejante al ΔAOB y para ello trazamos una recta paralela a AB que pase por C, usando solo regla y compás.La recta paralela a AB y que pasa por C, corta a OA en D.
Los triángulos ΔAOB y ΔCOD son semejantes, por lo que se puede establecer la siguiente proporción: (OD)/(OC) = (OA)/(OB) , con OC = 1 , OB = b y OA = a. Así que ((OD)/1) =(a/b).
Hemos demostrado que el cociente de dos números construíbles, es construíble. Este teorema nos permite deducir que los números racionales son construíbles
Actividades
Si elegimos el punto superior del triángulo T, BT es entonces la mitad de largo de AB. Así que supongo que AB tiene longitud 1. A continuación, BT tendrá longitud 1 / 2. Podemos encontrar la longitud del otro lado del triángulo, la diagonal AT, mediante el uso del teorema de Pitágoras
AT2 = AB2 + BT2
AT2 = 12 + (1/2)2
AT2 = 1 + 1/4 = 5/4Ahora, tomando la raíz cuadrada de cada lado daAT = ( 5)/2El punto V se tomo de tal forma que TV tenga la misma longitud queTB = AB/2 = 1/2.
Así AV es por tanto AT - TV = ( 5)/2 - 1/2 = phi. La construcción final marca al punto G con la misma distancia AV alo largo de la línea original AB que lo hacemos utilizando el compás, así AG es phi veces la longitud de AB.
El pentágono es un figura geométrica de cinco lados iguales en ella podemos inscribir una estrella de 5-puntas.
El pentagrama tiene 5 triángulos en los bordes del pentágono nos centraremos en uno de los triángulos como se muestra en la siguiente imagen
Todos los ángulos de naranja en los vértices del pentágono son iguales. Ellos se llaman los ángulos exteriores del polígono. ¿De qué tamaño son? Esta demostración nos dará la respuesta
La suma de los 5 ángulos de naranja es un giro de 360 ° Cada ángulo es de color naranja, por lo tanto, 360 / 5 = 72 °
Lo verde es el ángulo del mismo tamaño que el ángulo de naranja a fin de que los dos "base" de los ángulos del triángulo azul son a la vez 72 °.
Como los ángulos de un triángulo cualquiera suman 180 ° el ángulo de color amarillo es de 36 ° a fin de que el 72 º + 72 ° + 36 ° = 180 °.
De la geometría básica utilizamos el hecho que: Los ángulos externos de cualquier polígono a la suma de 360 °.
El ángulo en una línea recta es de 180 °. los ángulos de un triángulo suman 180 °.
Por lo tanto, en el pentagrama tenemos triángulo ángulos de 36 °, 72 ° y 72 °.
Ahora veamos cuánto miden los lados en el triangulo de36 ° -72 ° -72 °.
Por lo tanto, es un triángulo isósceles.
Definición
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:
Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:
Multiplicando ambos lados por x y reordenando:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación sean:
La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número primo.
Actividades
Consulte como dividir un segmento y rectángulo para obtener la proporción Áurea
Rta: se dice que un punto C divide al segmento AB en la proporción Áurea cuando, siendo AC la parte mayor en la que AB queda dividido por el punto C se cumple AB/AC=AC/CB.
A la parte mayor en la que AB queda dividido por C se llama segmento áureo del segmento AB.
División Áurea de un segmento:
Dado el segmento AB se traza la perpendicular al segmento por B, se halla el punto medio de AB digamos M, se Transfiere la medida de MB sobre la perpendicular para obtener D. se traza AD. Con centro en D se traza la circunferencia de radio DB para
Binario 1,1001111000110111011...
Decimal 1,6180339887498948482...
Hexadecimal 1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua
Algebraico
obtener el punto E sobre AD. Ahora se traza la circunferencia con centro en A y radio AE para obtener el punto C sobre el segmento AB.
A BM
D
C
E
Dado el cuadrado ABCD se toma el punto medio M sobre el segmento AB y se traza el segmento CE, luego se traza la circunferencia con centro en M y radio MC obteniéndose de la prolongación de la recta AB y su intersección con el circulo el punto F
CD
A BM F
G
LA Sucesión DE FIBONACCI
Exprese en formula de recurrencia la sucesión de términos anteriores.
Elijamos:
a0=1 y a1=3 entonces:
Demeuestre en la sucesión de fibonacci que Para todo n N u1=1 y u2=1 un+2=un+1+un mostrar que u n=(an-bn)/√5Donde a=(1+√5)/2 y b=(1-√5)/2
Demostración:
Por inducción sobre n
Para n=1 u1=(a-b)/√5=((1+√5)/2 - (1-√5)/2)/ √5=√5/√5=1Para n=2 u2=(a2-b2)/√5=(((1+√5)/2 )2 – ((1-√5)/2)2) /√5=√5/√5=1
Supongamos que se cumple para k entonces u k=(ak-bk)/√5Ahora de la formula para uk tenemos:uk+1=uk+uk-1 = (ak-bk)/√5+(ak-1-bk-1)/√5=(ak-1(a+1)- bk+1(b+1))/ √5=(ak+1-bk+1)/ √5
Como la ecuación que define es
2=+1Si la multiplicamos por sucesivamente obtenemos:
3=2+...
n= n-1+ n-2
Es decir, la sucesión {1, , 2, …… , n} es una sucesión de Fibonacci.Demuestre que
+2+……+n=n+2--1
En efecto:
+2+……+n = 2-1+3-+4-2…….+n+2- n-1=n+2--1
Caso general de fracciones continuas:
se tiene adicionando 0=1-1
y haciendo la sustitución:
Resolviendo para x
De donde obtenemos
CAPITULO VII
CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES A PARTIR DE LOS NUMEROS
NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES.
“El sabio comienza por hacer lo que quiere enseñar y después enseña.”Confucio.
LOS NÚMEROS NATURALES
N= {0, 1, 2, 3, 4,.....}
En el capitulo I de este libro se hablo de estos números pero solamente hicimos referencia a sus propiedades internas, es decir la cerradura de los naturales para la suma y el producto, además de las propiedades de orden entre tales números.Sirven para contar y ordenar conjuntos finitos. En la función de contar está su origen.Decíamos que no sólo conocíamos los números naturales N sino también la estructura algebraica – topológica (N, +, ·, <) (algebraica por las operaciones + y ·, topológica por la relación <)
Diremos que conocemos la adición, la multiplicación y el orden en los números N en la forma en que se escribió en el capitulo I Es decir, sabemos que esos números tienen las siguientes propiedades básicas de las que se derivan otras.Adición: A1. Asociativa a, b, c N (a + b) + c = a + (b +c)
A2. Conmutativa a, b N a + b = b + aA3. Elemento neutro a N a + 0 = a
Multiplicación: M1. Asociativa a · (b · c) = (a · b) · c M2. Conmutativa a · b = b · a M3. Elemento unidad a · 1 = a
Propiedad distributiva de la Adición con respecto a la multiplicación: AM. a · (b + c) = a · b + a · c
Ser menor que:
O1. Transitiva a < b, b < c a < cO2. Antisimétrica a < b, b < a a = bO3. Es total a, b N a b a < b ó b < a
Orden en la adición: OA. a<b y c N a+c<b+c.
Compatibilidad del orden en la adición a < b a +c < b + c (c N)
Orden en la multiplicación: OM. a<b y c N con c0 ac<bc
Compatibilidad del orden en la multiplicación a < b, 0 < c ac < bc
En otras palabras se cumplen las propiedades cancelativas mas no las inversivas. Así no se puede asegurar:- Existencia de opuesto para la adición- Existencia de inverso para la multiplicación
CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z A PARTIR DE LOS NÚMEROS NATURALES N
Consideramos el conjunto N x N de pares ordenados de números naturales.Definimos en N x N la relación:
(a, b) ~ (c, d) a + d = b + cQueríamos decir a – b = c – d, pero no podemos decir esto porque no siempre se puede restar en N, así que lo que decimos es aquella que es equivalente.
Con lo que sabemos de N vemos inmediatamente que eso es una relación de equivalencia en N x N: Es reflexiva (a, b) N x N (a, b) ~ (a, b) porque a + b = b + a; Es simétrica (a, b) ~ (c, d) (c, d) ~ (a, b) porque c + d = b + c c + b = d + a; Y es transitiva (a, b) ~ (c, d) , (c, d) ~ (e, f) (a, b) ~ (e, f) Porque a + d = b + c , c +f = d + e a + d + c + f = b + c + d +e a + f = b + ePor tanto ~ es una relación de equivalencia en el conjunto de números enteros
DEFINICIÓN DE ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y ORDEN EN Z:
Dados a, b, c, dN definimos la suma como:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]
Y el producto por:
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)]
[el “truco” (a – b)(c – d) = ac + bd – (ad + bc)]
Y diremos que un número entero es menor que el otro si:
[(a, b)] < [(c, d)] : a + d < b + c
Lo primero que hay que ver es que esas definiciones no dependen de la escogencia de los números utilizados para realizar las operaciones,
Es decir que:(a, b) ~ (a’, b’) |(c, d) ~ (c’, d’) | (a + c, b + d) ~ (a’ + c’, b’ + d’)
De donde tenemos:
- a + b’ = b + a’ |- c + d’ = d + c’ | a +c + b’ + d’ = b + d +a’ + c’
Para el caso de la multiplicación:(a, b) ~ (a’, b’) |(c, d) ~ (c’, d’) | (ac + bd, ad + bc) ~ (a’c’ + b’d’, a’d’ + b’c’)
De donde obtenemos:
- a – b = a’ – b’ |- c - d = c’ – d’ | ac – ad – bc + bd = a’c’ – a’d’ – b’c’ + b’d’
ac + bd + a’d’ + b’c’ = a’c’ + b’d’ + ad + bc
En tanto que para la relación de orden:(a, b) < (a’, b’) |(c, d) < (c’, d’) | a + b’ + c + d’ < b + a’ + d + c’
Tenemos:
a + b’ < b + a’ |c + d’ < d + c’ | a + c + b’+ d’ < b + d + a’ + c’
Con relación a las propiedades +, ·, < observamos las siguientes propiedades:
- La adición en Z es asociativa: [(a, b)] +{[(c, d)] + [(e, f)]} [(a, b)] + [(c + e, d + f)] [(a + (c + e), b + (d + f))] [((a + c) + e, (b + d) + f)] [(a + c, b + d)] + [(e, f)] {[(a, b)] + [(c, d)]} + [(e, f)]
- La adición en Z es conmutativa: [(a, b)] + [(c, d)] [(a + c, b + d)] [(c + a, d + b)] [(c, d)] + [(a, b)]
- La adición en Z tiene elemento neutro: [(a, b)] + [(0, 0)] [(a, b)]
- La multiplicación en Z es asociativa:[(a, b)] · {[(c, d)] · [(e, f)]} [(a, b)] · [(ce + df, cf + de)] [(ace + adf + bcf + bde, acf + ade + bce + bdf)] [((ac + bd) e + (ad + bc) f, (ad + bc) e + (ac + bd) f))] [(ac + bd, ad + bc)] · [(e, f)] {[(a, b)] · [(c, d)]} · [(e, f)]
- La multiplicación en Z es conmutativa: [(a, b)] · [(c, d)] [(ac + bd, ad + bc)] [(ca + db, da + cb)] [(c, d)] + [(a, b)]
- La multiplicación en Z tiene elemento unidad: [(a, b)] · [(1, 0)] [(a, b)]
- Los números Z tienen la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: [(a, b)] · {[(c, d)] + [(e, f)]} [(a, b)] [(c + e, d + f)]
[(ac + ae + bd + bf, ad + af + bc + be)] [(ac + bd, ad + bc)] + [(ae + bf, af + be)] [(a, b)] · [(c, d)] + [(a, b)] · [(e, f)]
Para el orden podemos observar las siguientes propiedades:
- Transitiva: [(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(e, f)] a + d < b + c , c + f < d + e a + d + c + f < b + c + d + e a + f < b + e [(a, b)] < [(e, f)]
- Antisimétrica: [(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(a, b)] a + d < b + c , c + b < d + a [(a, b)] = [(c, d)]- Orden / adición: [(a, b)] < [(c, d)] a + d < b + c [(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] [(a + e, b + f)] < [(c + e, d + f)] a + e + d + f < b + f + c + e a + d < b + c
- Orden en la multiplicación: [(a, b)] < [(c, d)], [(1, 1)] < [(e, f)] [(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)] [(a, b)] < [(c, d)] , [(1, 1)] > [(e, f)] [(a, b)] [(e, f)] > [(c, d)] [(e, f)]
-Existencia de opuesto [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(1, 1)]
Con Z hemos conseguido existencia de opuesto para la suma pero no existencia de inverso multiplicativo, es decir, [(a, b)] [(1, 1)] [(c, d)]: [(a, b)] · [(c, d)] = [(1, 0)]
Ni que decir tiene que los números Z no se escriben de aquella forma [(a, b)] sino [(3, 31)] = -28. Con lo cual Z = {......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.........}
CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q A PARTIR DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z
Extensión del concepto de número para sin perder nada de lo que tenemos, ganar M4 (existencia de inverso). Los nuevos números son lo racionales.La no-existencia de inverso es equivalente a imposibilidad, en general, de dividir. La división de enteros sólo es factible cuando el dividendo es múltiplo del divisor. La sustracción de naturales sólo lo era cuando el minuendo es igual o mayor que el sustraendo. Ya hemos resuelto en Z este último problema, “restar” en Z es sumar el opuesto. Lo mismo que dividir en Q es multiplicar por el inverso. Consideremos el conjunto Z x (Z –{0}) de pares ordenados de números enteros (el segundo distinto de 0).
Definimos en Z x (Z –{0}) la siguiente relación:(a, b) ~ (c, d) a · d = b · c
Con lo que sabemos de Z vemos inmediatamente que esto es una relación de equivalencia en Z x (Z –{0}) pues
Es reflexiva (a, b) Z x (Z –{0}) (a, b) ~ (a, b) Porque ab = ba;Es simétrica (a, b) ~ (c, d) (c, d) ~ (a, b) porque ad = bc cb = da; y es transitiva (a, b) ~ (c, d) , (c, d) ~ (e, f) (a, b) ~ (e, f) porque ad = bc , cf = de adcf = bcde af = be.
Por definición lo racionales Q = Z x (Z – {0}) / ~
{(1, 3), (2, 6), (3, 5), (-1, -3), (-2, -6),.....} = [(1, 3)] = [(-2, -6)]El conjunto Z se contiene en Q de la siguiente forma: a Z [(a, 1)] QNo solo el conjunto Z se contiene en Q sino que la estructura se sumerge en una nueva estructura más rica (Q, +, ·, <).
Dados a, b, c, d Z, definimos la adición entre números racionales por:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]
El producto entre números racionales por:
[(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)]
Y el orden entre números racionales como sigue:
[(a, b)] < [(c, d)] = ad < bc
La estructura (Q, +, ·, <) que acabamos de construir cumple de inmediato los axiomas que cumplían los números enteros y agrega las propiedades inversivas para todo número racional.
Es decir, Que la adición en Q tiene las propiedades:A1 Asociativa: [(a, b)] +{[(c, d)] + [(e, f)]} [(a, b)] + [(cf + de, df)] [(adf + bcf + bde, bdf))] [(ad + bc, bd)] + [(e, f)]
{[(a, b)] + [(c, b)]} + [(e, f)]
A2 Conmutativa:
[(a, b)] + [(c, d)] [(ad + bc, bd)] [(da + cb, db)] [(c, d)] + [(a, b)]
A3 Existe elemento neutro:
[(a, b)] + [(0, 1)] [(a, b)]
A4 Existe opuesto:
[(a, b)] + [(-a, b)] = [(a, b)] + [(a, -b)] = [(0, b)]
la multiplicación en Q tiene las propiedades:
M1 Asociativa: [(a, b)] · {[(c, d)] · [(e, f)]} [(a, b)] · [(ce, df)] [(ace, bdf)] [(ac, bd)] · [(e, f)] {[(a, b)] · [(c, d)]} · [(e, f)]
M2 Conmutativa: [(a, b)] · [(c, d)] [(ac , bd)] [(ca, db)]
[(c, d)] · [(a, b)]
M3 Existe elemento unidad:
[(a, b)] · [(1, 1)] [(a, b)]
M4 Existe inverso: [(a, b)] · [(a, b)]-1 [(a · a-1, b · b-1)] [(1, 1)]
Esta es una de las nuevas características en relación al conjunto de los Z
Dentro de las propiedades para el orden de lo números racionales tenemos:O1Transitivo:
[(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(e, f)] ad < bc , cf < de adcf < bcde af < be [(a, b)] < [(e, f)]
O2 Antisimétrico:
[(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(a, b)] ad < bc , cb < da [(a, b)] = [(c, d)]
O3 Es Total: [(a, b)] [(c, d)] ad bc ad < bc ó bc < ad [(a, b)] < [(c, d)] ó [(c, d)] < [(a, b)]
AM Distributiva: [(a, b)] · {[(c, d)] + [(e, f)]} [(a, b)] · [(cf + de, df)] [(acf + ade, bdf)] [(a, b)] · [(c, d)] + [(a, b)] · [(e, f)]
OA preserva el Orden en la adición:Si [(a, b)] < [(c, d)] ad < bc[(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] [(af + be, bf)] < [(cf + de, df)] (af + be) · df < bf · (cf + de) afdf < bfcf ad < bc
OM Orden con respecto a la multiplicación:
[(a, b)] < [(c, d)], [(0, 1)] < [(e, f)]
[(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]
Una propiedad más que ya tenían las estructuras anteriores (naturales y enteros), pero que no merecía la pena citar entonces, la propiedad Arquimediana:
[(a, b)], [(c, d)] Q [(a, b)] < [(0, 1)] n N : [(c, d)] < n [(a, b)] Dicho con palabras significa que cualquier número racional positivo sumado
consigo mismo tantas veces como sea necesario, se “alcanza” cualquier número.Por las propiedades A1,....., A4 (Q, +) es un grupo conmutativo o abeliano.Por las propiedades A1,....., A4 M1,....., M4 y AM (Q, +, ·) es un cuerpo
conmutativo.Por las catorce propiedades primeras (Q, +, ·, <) es un cuerpo totalmente
ordenado.
Sin embargo, el cuerpo (Q, +, · <) no es completo. (Q, + ·, <) sirve para contar conjuntos finitos (contiene N), (contiene Z). Pero no sirve para medir (expresar el resultado de la medida).
Veamos un ejemplo, el conocido Teorema de Pitágoras. Consideramos un cuadrado de lado 1. No hay ningún número racional a/b que exprese la longitud de la diagonal. Si lo hubiera, sería ( a/b) 2 = 1+1 = 2.
“Sabemos” que todo número racional se puede expresar mediante una fracción a/b, tal que a es primo con b, es decir ay b no tienen ningún divisor en común. Así pues tenemos lo siguiente:
- a2 = 2b2 a2 es par a es par, a2 es múltiplo de 4, es decir, a2 = 4c 4c=2b2
- 2c = b2 b2 es par b es par CONTRADICCION
Tampoco es racional la longitud de la circunferencia de diámetro 1 o el área del círculo de radio 1.El problema más famoso de la matemática era saber cuanto era el número . Los egipcios ~ 3,14. A finales del siglo VXIII se probó que no es racional y a fines del XIX se probó que no es algebraico (no es raíz de ningún polinomio de cociente razonable). Es trascendente.
Bajo esta formulación podemos definir al conjunto de los números reales a través de las cortaduras de Dedekin como sigue:
LA TEORÍA DE ‘CORTADURAS’ DE DEDEKIND
Dedekind introdujo su hoy celebrado concepto de ‘cortadura’ y su teoría de números reales en su libro Continuidad y números irracionales En este conocido libro Dedekind
propuso establecer una sólida fundación para el cálculo infinitesimal, por medio de una definición consistente del continuo, formulada en términos estrictamente no geométricos. Ya en 1858, en la primera fase de su carrera docente en Zúrich, Dedekind había notado que el cálculo infinitesimal carecía de una fundación adecuada. En particular, Dedekind notó que se podía basar el cálculo en el teorema que establece, que toda sucesión acotada, monótona ascendente tiene límite, pero que, sin embargo, este teorema no había sido en su opinión demostrado satisfactoriamente, y, por el contrario, se aceptaba por analogía, en base a una intuición geométrica. Dedekind, docente concienzudo hasta el extremo, pensaba que esta situación debía ser remediada, y el libro que publicó después de más de quince años de meditaciones representó su solución al problema. La clave de la solución debería ser buscada en el concepto del continuo, visto como un concepto de orden, y no bajo la analogía geométrica que era la usualmente aceptada. Dedekind opinaba que los matemáticos del siglo diecinueve habían transferido al ámbito numérico, con poco sentido crítico e ilegítimamente, importantes ideas correctamente validadas en el ámbito de la geometría, y que esta transgresión del rigor matemático debía ser corregida.
El concepto de cortadura emerge de la aparentemente trivial observación, que todo punto de la recta divide a esta última en dos porciones, tales que todo punto perteneciente a una de ellas yace a la izquierda de todo punto perteneciente a la otra.
Algo similar, aunque no idéntico sucede con el sistema de los números racionales.
En efecto dado un racional a, considérense las clases A1, de todos los racionales menores que a y A2 de todos los racionales mayores que a. Si se sabe también, que a mismo pertenece a A1 o pertenece a A2, entonces es obvio que a es el mayor número de A1 o, alternativamente, el menor número de A2. Estas dos clases satisfacen tres propiedades inmediatas:
1. A1 y A2 son clases disjuntas;2. Todo número racional pertenece o a A1 o a A2 y3. Todo número perteneciente a A1 es menor que todo número perteneciente a A2
Dedekind mostró que existen cortaduras adicionales, que no pueden ser definidas de tal forma por un racional. Sea por ejemplo D un número racional que no es la raíz cuadrada de un natural, y defínase X como la clase de los racionales cuyo cuadrados son mayores que D, y X su complemento en los racionales. Obviamente ( X , X) es una cortadura, pero no existe racional que sea el máximo de X o el mínimo de X. Dedekind vio en la existencia de este tipo de cortaduras, no generados por racionales, la esencia de la discontinuidad de los irracionales. Por el contrario si se define:Bajo esta definición es posible establecer todas las propiedades para los números reales al igual que como se hace con la teoría axiomática en los últimos capítulos de este libro
Operaciones entre números reales
Igualdad entre números reales establecidos a través de cortaduras:
Decimos que el número real =(A,B) es igual al número real =(C,D) sii y solo si
A=C y B=D.
Adición
Para números reales =(A,B) y =(C,D) definimos la adición de + como sigue:
+ =(A,B)+ (C,D)=(A+C,B+D)= ({x+y/ xA yC},{z+w/zB wD})
A es el conjunto de los números racionales menores que C es el conjunto de los números racionales menores que y A + C es el conjunto de los menores que + esto es, si z pertenece a A, entonces z ≤ , si w está en C entonces w ≤ y z + w ≤ +
Bajo esta definición se puede probar que es asociativa, conmutativa y que tiene como elemento idéntico a 0=({0},(0,))
Multiplicación
Para números reales =(A,B) y =(C,D) definimos la multiplicación de * como sigue:
* =(A,B)* (C,D)=(A*C,B*D)= ({x*y/ xA yC},{z*w/zB wD})
Bajo esta definición se puede probar que es asociativa, conmutativa y que tiene como elemento idéntico 1=([0,1],(1,))
Orden entre cortaduras
Para números reales =(A,B) y =(C,D) definimos el orden entre y como sigue:
< Entonces (A,B)<(C,D) si y solo si AC y DB
Cabe anotar que la suma entre conjuntos y multiplicación no son cancelativas mas entre cortaduras tal propiedad si es cierta veamos:
Actividad
Sean ,, R entonces +=+ entonces =
En efecto:
Sea =(A,B) entonces A={rQ/ r} y B={mQ/m>}
=(C,D) entonces C={tQ/ t} y D={zQ/z>}
=(E,F) entonces E={xQ/ x} y F={yQ/y>}
Luego de la igualdad podemos obtener:
+=+ entonces (A,B)+ (C,D)= (A,B)+(E,F) (A+C,B+D)=(A+E,B+F)
Luego por la definición dada al comienzo sobre igualdad de cortaduras tenemos:
A+C=A+E Y B+D=B+F entonces
A+C ={r+t / rA tC} y A+E ={w+x/ wA xE}
Como r+t=w+x para todo r, wA, tC, xE. además r , w, t entonces
r+t + y w+x + entonces como r+t=w+x tenemos:
r+t + w+x+
Luego eligiendo z=w+x- tenemos que zC y similarmente r+t- así zE luego
C E y C E por tanto por la definición de igualdad de conjuntos C= E .
Para la segunda parte de la igualdad tenemos:
B+D ={m+z / mB zD} y B+F ={n+y / nB yF}
{m+z = n+y n, mB y zD y yF}
Ahora
m>, z>, y>, n> entonces m+z>+, n+y>+
m->0, m+z-=m-+z > como m-+z>0+z=z>
luego s= m-+z así s D, por otro lado m+z>+ como m+z=n+y>+ entonces
s=m-+z> luego sF por tanto D= F.
Para probar teoremas utilizando el orden procedemos como se muestra en el siguiente teorema
Sean ,, R, Si + +
=(F,G)
=(A,B) =(D,E) entonces A D y B E veamos que A+ F D +F
Sea x A+ F x=n+m para algún n A y m F
x=n+m para algún n D y m F
x D +F
y probemos que E+G B+ G
Sea x E+G x=n+m para algún n E y m G
x=n+m para algún n B y m G
x B+ G
Por tanto de la definición de orden entre cortaduras tenemos: + +
Podemos entonces sintetizar lo que es
Un número real es:
X=[(,)]
Tal que =(A,B) con A,B Q{0} donde y Q{0} tal que y=[(a,b)] con a, bN y b0, para un conjunto que cumple los axiomas de Peano.
CAPITULO VII
NÚMEROS REALES DESDE LA AXIOMATIZACIÓN Y NÚMEROS
COMPLEJOS
Un Matemático es un quijote moderno que lucha en un mundo real con armas imaginarias.
P.Corcho
Vida y obra de GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
Filósofo, científico e historiador alemán, Leibniz busca la integración tanto en sus trabajos filosóficos como en el campo de las ciencias. En filosofía trata de armonizar la philophia perennis con las necesidades del momento. Es un gran innovador, con la audacia y amplitud de pensamiento de la genialidad. Vida y obras. Filósofo, científico e historiador alemán. Perteneció a una familia protestante, de antiguo origen eslavo. Dotado de un precoz desarrollo mental, abonado por el ambiente cultural familiar, siendo aún adolescente ya leía a Aristóteles en griego, y aun antes había aprendido latín por su propia cuenta. Estudió Filosofía y Derecho en Leipzig, su ciudad natal. Entre los años 1672-76 residió en París, donde conoció a los científicos y filósofos más notables de la época: Huygens, Mariotte, Descartes, Malebranche, Arnauld. Después se acercó también a La Haya, a entrevistarse con Spinoza. A lo largo de su vida desempeñó diversas misiones y cargos políticos. En 1670 contribuyó a la fundación de la Academia de las Ciencias de Berlín, siendo su primer presidente. En 1684 hizo público su descubrimiento del cálculo infinitesimal, con absoluta independencia de Newton. Desde 1676 estuvo al servicio de la corte de Hannover, como historiador oficial, hasta su muerte en esta misma ciudad. Su producción científica y filosófica consta de escritos generalmente breves, publicados en revistas de la época. Es también muy importante su vastísimo epistolario con científicos de la época. Sus escritos filosóficos están casi todos redactados en francés. Aparte de sus muchos trabajos
sobre matemáticas, física, derecho y otras materias, las obras que más interesan desde el punto de vista filosófico son: De arte combinatoria (1666), Discours de métaphysique (1686), Système nouveau de la nature et de la comunication des substances (1695), Essais de Théodicée sur la bonté de Dieu, la liberté de l'homme et l'origine du mal (1710, su única obra filosófica de gran extensión y alcance), Nouveau essais sur l'entendement humain (1704), Les principes de la nature et de la grâce fondés en raison (1714) y Monadologie (1714). Doctrina filosófica. Metafísica y monadología. Formado en la tradición del aristotelismo escolástico, tras conocer la nueva ciencia mecanicista de la naturaleza y la filosofía contemporánea (Descartes, Hobbes, Spinoza), se aleja muy pronto de dicha tradición. Pero después de un breve periodo de simpatía hacia el atomismo, rechaza también el mecanicismo como perspectiva filosófica, por su incapacidad para explicar la esencia de la materia. No está de acuerdo con reducir la materia a la extensión (res extensa, como pretendía Descartes al restringir los entes corporales a determinaciones geométricas). Para Leibniz el atributo principal de la materia está en la fuerza (vis), y no en la extensión. Con lo cual el mecanicismo cartesiano es reemplazado por el dinamismo. La materia, afirma también contra Descartes, no puede ser infinitamente divisible. Ciertamente Leibniz acepta la existencia de los átomos, pero no los considera últimos constitutivos de la materia, porque, al ser materiales, serían también extensos y por lo tanto divisibles. De ahí concluye que los últimos elementos deben ser elementos entitativos no materiales, que él denomina mónadas (del griego monás, unidad) o átomos formales. Por otro lado, Leibniz se aleja también del monismo panteísta spinoziano al proponer un mundo conformado por la multiplicidad de los seres creados. Las mónadas son unidades simples o sustancias simples, indescomponibles e inextensas, de naturaleza inmaterial e infinitas en número
NUMEROS REALES EN FORMA AXIOMATICA.
El sistema de los números reales como un campoUna de las formas de presentar el sistema de los números reales consiste en postular su existencia, acompañada de dos operaciones que satisfacen una lista de axiomas.
POSTULADO 1
Existe un conjunto no vacío, denotado R, llamado conjunto de los números reales, y en el cual hay definidas dos operaciones: adición (simbolizada +) y multiplicación (simbolizada .) que satisfacen los once axiomas que se describen a continuación.
Propiedad clausurativaR es cerrado bajo la operación adición.
Significado:Si a, b son números reales, entonces (a + b) es un número real.
Propiedad modulativaExiste un número real, llamado cero (denotado 0), que deja invariable a cualquier real en la adición.
Significado:Si a es un número real, entonces:a + 0 = a y 0 + a = a
Al número real cero se le denomina elemento neutro o módulo para la adición
Propiedad invertiva
Para cada número real existe otro real, de modo que adicionados, en cualquier orden, dan como resultado el cero.
Significado:Para cada real a existe un real denotado – a tal que:a + (– a ) = 0 y (– a) + a = 0
Al real (– a) se le llama inverso aditivo de a. También suele denominársele opuesto de a.
Propiedad asociativaSi a, b, c son números reales cualesquiera, entonces (a + b) + c = a + (b + c)
Propiedad conmutativaEl resultado de la adición no se altera si se cambia el orden de los sumandos.
Significado:Si a, b son números reales cualesquiera, entonces:a + b = b + a
Hasta aquí, los axiomas corresponden a la operación adición. Los siguientes cinco axiomas se refieren a la operación multiplicación.
Propiedad clausurativa“El conjunto R es cerrado bajo la operación multiplicación”.
Significado:Si a, b son números reales, entonces a . b es un número real.
Propiedad modulativaExiste un número real, distinto de cero, denotado 1 y llamado uno, que deja invariable a cualquier real en la multiplicación
Significado:Si a es un número real cualquiera, entonces:a . 1 = a y 1. a = a
Al real 1 (uno), se le conoce como módulo de la multiplicación. También se le llama elemento neutro de la misma
Propiedad invertivaPara cada número real, distinto de cero, existe un real distinto de cero, tal que al multiplicarlos, en cualquier orden, dan como resultado 1 (uno)
Significado:Si a es un real y a ≠ 0, existe un real no nulo, denotado a– 1 tal que:a . a– 1 = 1 y a– 1. a = 1
Al real a– 1 se le llama inverso multiplicativo de a, o simplemente inverso.
Propiedad asociativaSi a, b, c son reales cualesquiera, entonces (a . b) . c = a . (b . c) ”.
Propiedad conmutativaEl resultado de la multiplicación no se altera si se cambia el orden de los factores
Significado:Si a, b son reales cualesquiera, entonces:a . b = b . a
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma“Si a, b, c son reales arbitrarios, entonces a . (b + c) = (a . b) + (a . c)”.
De los axiomas de campo se deduce un conjunto de propiedades, entre las cuales están las siguientes.
Para todo a real, su inverso aditivo (– a) es único. Si a ≠ 0, su inverso multiplicativo (a– 1) es único
Para todo par de reales a , b, la ecuación x + a = b tiene solución única.Dicha solución es x = b + (– a).
DefiniciónSi a, b son reales, entonces al real b + (– a) se le llama diferencia entre b y a (en ese orden).Notación: b – a = b + (– a).
Para todo par de reales a, b, con a ≠ 0, la ecuación xa = b ó ax = b tiene solución única.Dicha solución es: x = b . a– 1.
DefiniciónSi a, b son reales y a ≠ 0, entonces al real b . a– 1 se le llama cociente entre b y a.
Para todo a numero real, a.0=0(a . 0) + 0 = a . 0 (axioma A2: propiedad modulativa)
= a . (0 + 0) (Axioma A2) = (a . 0) + (a . 0) ( propiedad distributiva) 0 = a . 0 (propiedad C4
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Las ecuaciones diofánticas deben su nombre a Diofanto que fue quien las estudió primero.
Una ecuación diofántica es una ecuación cuyas soluciones son números naturales.
Ecuaciones de la forma ax + by = c
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.En este caso la ecuación tiene un número finito de soluciones o ninguna.Resolución:
ax = c - by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c - by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor.Para obtener las demás soluciones hacemos x = a - bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... Siempre que se pueda hacer la sustracción
Sea la ecuación 3x + 5y = 523x = 52 - 5y.Para y = 0 queda 3x = 52Para y = 1 queda 3x = 47Para y = 2 queda 3x = 42
El único valor de y que hace x entero es y = 2. Entonces b = 2 y a = 14.x = 14 - 5t. Para t = 0, x = 14. Para t = 1, x = 9. Para t = 2, x = 4. y = 2 + 3t. Para t =0, y = 2. Para t = 1, y = 5. Para t = 2, x = 8
Ecuaciones de la forma ax - by = c
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.En este caso la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Resolución:ax = c + by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c + by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación.
Sea a ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a + bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... Siempre que se pueda hacer la sustracción.Ecuaciones de la forma x2 - y2 = aComo x2 - y2 = (x+y).(x-y). La ecuación queda (x-y).(x+y) = a.Ahora hacemos a = bc.b y c deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces x - y = bx + y = cResolviendo el sistema se obtiene:
x = (b - c) / 2y = (b + c) / 2 De donde podemos obtener el teorema siguiente:
Si (x,y) es solución de ax+by=c, donde a,b,c son números naturales, entonces (x+b,y-a) o (x-b,y+a) es también, solución de la ecuación siempre que y-a y x-b sean números naturales.
Como (x,y) es solución de ax+by=c se cumple que :ax+by=c
Por la propiedad modulativa de la adición entre números naturales y de 0=ab-ab se tiene:ax+by+(ab-ab)=c
Aplicando ahora la propiedad asociativa y conmutativa de la adición; tenemos: ax+(ab+by)-ab=c
Asociando nuevamente(ax+ab)+(by-ab)=c
Conmutando ab y utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y a la sustracción, esta ultima solo si y-a es un número natural.
Se concluye que a(x+b)+b(y-a)=c
Lo cual es (x+b,y-a) es también solución de la ecuación. SEGUNDA PARTE Como (x,y) es solución de ax+by=c se cumple que :
ax+by=c
Por la propiedad modulativa de la adición entre números naturales y de 0=ab-ab se tiene:ax+by+(ab-ab)=c
Aplicando ahora la propiedad asociativa y conmutativa de la adición; tenemos:
ax+(ab+by)-ab=cAsociando nuevamente
(ab+by)+(ax-ab)=c
(ax-ab)+(by+ba)=c
Aplicando la propiedad distributiva tenemos:a(x-b)+b(y+a)=c
Luego el punto (x-b,y+a) es también solución de la ecuación
Ecuaciones de la forma x2 + y2 = z2
Supondremos x, y, z primos relativos ya que si x, y ,z es solución de la ecuación también lo es a.x, a.y, a.z para cualquier a .De ahí se deduce que encontrada una solución hay infinitas.Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sí no pueden haber dos pares.
Transformamos la ecuación en z2 - y2 = x2
Como z2 - y2 = (z - y)(z + y).
(z - y)(z + y) = x2
El problema se reduce a descomponer x2 como producto de dos números primos entre sí. Sean u y v estos números.
(z - y)(z + y) = uv obtenemos y = (u2 - v2)/2, z = (u2 + v2)/2Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par.
NUMEROS COMPLEJOS Decimos que un numero z es un número complejo si este es de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i2=-1. El número a se llama parte real. El número b se llama parte imaginaria.
5 + 3i (5 es la parte real, 3 la parte imaginaria)-7 + 4i (- 7 es la parte real, 4 la parte imaginaria)-1 - i (- 1 es la parte real, - 1 la parte imaginaria)
Son casos especiales los complejos que tienen la parte real o imaginaria nula: Si b = 0, el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a. Si a = 0, el número complejo se reduce a bi; se dice que es un número imaginario puro. Si a = 0 y b = 0, resulta el número complejo 0 + 0i, que se llama número complejo cero, y se escribe 0. IgualdadDos números complejos son iguales si lo son las partes reales e imaginarias, respectivamente.
a+bi=c+di sii a=c y b=d
Conjugado
Se llama conjugado de z = a + bi al número complejo z definido por z = a - bi.
LOS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS COMPLEJOS Al conjunto de los números complejos lo denotaremos C. Todo número real se puede considerar como un número complejo con parte imaginaria cero:
a = a + 0 i
Suma Y Resta
Dados z=a+bi y w=c+di la suma de z+w se define como la suma de la parte real con parte real, y la parte imaginaria con la parte imaginaria:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
y la sustracción (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
Para sumar los números complejos 3 - 2i y 5 + 6i:
(3 - 2i) + (5 + 6i) = 3 + 5 - 2i + 6i = 8 + 4i Análogamente procederemos para restar el número complejo 4 - 7i de otro complejo 6 - 5i: (6 - 5i) - (4 + 7i) = 6 - 4 - 5i - 7i = 2 - 12i Multiplicación
Definimos la multiplicación de lo números z=a+bi y w=c+di por:
z*w=(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
En otras palabras para multiplicar complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de números reales; debe tenerse en cuenta que: i = -1, i2 = -1 ( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = 26 - 7 i
( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = [ 3 · 2 - 4 · (- 5) ] + [ 3 · (- 5) + 4 · 2 ] i = 26 - 7 i
Observación: El producto de un número complejo por su conjugado, es un número real: ( a + bi ) · ( a - bi ) = a2 + b2
( 2 + 3 i ) · ( 2 - 3 i ) = 4 + 6 i - 6 i - 9 i2 = 4 + 9 = 13
División Para dividir el número complejo 5 + 15i entre el número complejo 2 + i:
Multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado del denominador; así, el resultado no se altera y, además, el divisor pasa a ser un número real:
INVERSO DE UN NUMERO COMPLEJO
El inverso del número complejo a + bi es:
Ya que:
POTENCIACION Para calcular (a + bi)n, podemos aplicar la propiedad distributiva y operar como en las expresiones algebraicas:
(a±bi)2=a2+(bi)2±2abi= a2+b2±2abi(a+bi)3 = (a±bi)2(a±bi) Si las potencias son superiores a 3, es conveniente utilizar la expresión del binomio de Newton Desarrollando por el binomio de Newton la potencia (2 + 3i)4 y operando, obtenemos como resultado - 119 - 120 i
COMPLEJOS: PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES La adición y la multiplicación tienen las mismas propiedades que cuando de números reales se trata. Las enunciamos sin demostrarlas, tarea que dejamos al lector.
Conmutativas:
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( c + d i ) + ( a + b i ) ( a + b i ) · ( c + d i ) = ( c + d i ) · ( a + b i ) Asociativas: [ ( a + b i ) + ( c + d i ) ] + ( e + f i ) = ( a + b i ) + [ ( c + d i ) + ( e + f i ) ] [ ( a + b i ) · ( c + d i ) ] · ( e + f i ) = ( a + b i ) · [ ( c + d i ) · ( e + f i ) ] El elemento neutro de la suma es 0 = 0 + 0 i El elemento neutro de la multiplicación es 1 = 1 + 0 i El elemento opuesto de a + b i es - a - b i El elemento inverso de a + b i es ( a - b i ) / ( a2 + b2 )
COMPLEJOS: REPRESENTACION GRAFICA ¿Cómo se representan gráficamente los números complejos? En un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje de abscisas se representa la componente real y en el eje de ordenadas, la componente imaginaria: En este sistema de coordenadas hacemos corresponder a cada número a + bi el punto de coordenadas A = (a, b), que recibe el nombre de afijo del número complejo a + bi. El punto (a, b) determina con el origen de coordenadas un vector, al que llamaremos vector posición del número complejo a + bi:
Observación:Los números reales (considerados como complejos) se representan sobre el eje real. Los números imaginarios puros se representan sobre el eje imaginario Representación gráfica de la suma de complejos Podemos sumar gráficamente dos números complejos; lo haremos tal como sumamos vectores: Representación del conjugado El conjugado de a + bi es a - bi, luego su representación es simétrica respecto del eje horizontal:
Multiplicación por la unidad imaginaria i
(a+bi)*i=ai+bi2=-b+ai Multipliquemos por i el número complejo a + bi: Si representamos gráficamente el resultado, obtenemos algo curioso: multiplicar por i, supone girar 90° el número complejo inicial.
MODULO Y ARGUMENTO
Modulo El módulo de un número complejo z = a + bi es la distancia de su afijo (a, b) al origen de coordenadas [la longitud de su vector posición]. Se designa entre barras verticales y se calcula usando el Teorema de Pitágoras:
z=a+bi entonces /z/=(a2+b2)
ArgumentoSe llama argumento de un complejo z = a + bi, al ángulo a que forma el semieje positivo con el vector posición de z. Se calcula mediante la expresión de la tangente:
=arctg (b/a)
Observación: El argumento de un complejo no es único. Si a es un argumento, también lo son:a + 1 · 360°, a + 2 · 360°, ...., a + K · 360°, donde K es cualquier número entero. Dada la existencia de infinitos argumentos, se suele elegir el único de ellos que está entre 0° y 360°, el cual recibe el nombre de argumento principal. FORMAS DE EXPRESAR UN COMPLEJO Un número complejo se puede expresar de distintos modos: Forma binómico
Forma cartesiana Forma polar Forma trigonométrica FORMA BINOMICA Y CARTESIANA Se denomina forma binómico a la manera usual de escribir un complejo: a + b i Cuando un complejo a + b i lo representamos mediante su afijo ( a , b ), decimos que está expresado en forma cartesiana.
FORMA POLAR Se denomina forma polar de un número complejo aquélla que expresa el complejo mediante su módulo y su argumento. Se representara donde r es el módulo y a el argumento
EXPRESION TRIGONOMETRICA Si conocemos el módulo r y argumento a de un complejo z = a + bi, podemos deducir que a = r cos (a) y b = r sen (a). Luego podemos escribir:a+bi=rcos()+(rsen())i= rcos()+sen()i
BIBLIOGRAFIA
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HALMOS, P., Naive Set theory, Ed. Van Nostrand, Nueva York, 1960.
HERSTEIN, I. N., Algebra moderna, Ed. Trillas, México, 1976.
MUNOZ, J. M., Introducción a la teoría de conjuntos, Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 1993.
www.google.comwww.matematicas.netwww.guiamath.comwww.wikipedia.com