Ejercicios Capitulo 6 del libro "Sistemas No Lineales, Notas de clase"

6.1 La Figura muestra un esquema de un sistema de suspensin magntica, en el que una bola de

material metlico se suspende mediante un electroimn de corriente controlada por realimentacin a

travs de una medicin ptica de la posicin de la bola.

+

Este sistema tiene los ingredientes bsicos de sistemas para levitacin de masas usados en

girscopos, acelermetros y trenes de alta velocidad. Bsicamente, la ecuacin de movimiento de la

bola es:

(1)

La inductancia del electroimn depende de la posicin de la bola, y puede modelarse como:

(2)

Donde son constantes positivas. Este modelo representa el caso en el cual la inductancia

tiene su mximo valor cuando la bola est cerca del electroimn, y decrece a un valor constante a

medida que la bola se aleja a . Tomando como la energa almacenada en la

bobina, la fuerza esta dada por:

(3)

Comandando el circuito de la bobina con una fuente de tensin , se obtiene:

(4)

Donde es la resistencia del circuito y es el flujo magntico.

1. Usando como variables de estado, y como entrada de control

obtener la representacin en espacios de estados.

E318 Control I

Tarea 3. Sistemas No Lineales

Marlon Fernando Velsquez Lobo

INSTITUTO NACIONAL DE ASTROFSICA PTICA Y ELECTRNICA

2. Suponer que se desea equilibrar la bola en una posicin deseada . Encontrar los

valores de rgimen permanente , de y respectivamente, necesarios para mantener el

equilibrio.

3. Mostrar que el punto de equilibrio obtenido tomando es inestable.

4. Usando linealizacin disear un control por realimentacin de estados para estabilizar la bola

en la posicin deseada; es decir, hacer el equilibrio asintticamente estable.

5. Ensayo de robustez: estudiar el desempeo del sistema a lazo cerrado mediante simulacin

digital. En particular, estudiar el comportamiento transitorio y el efecto de una variacin del

20% en todos los valores nominales de los parmetros del sistema.

6. Estima de la regin de atraccin: con los mismos datos numricos del punto del anterior,

realizar el siguiente experimento: comenzando con la bola en equilibrio, desplazarla una

distancia pequea hacia arriba y luego soltarla. Repetir el experimento gradualmente

incrementando la distancia la distancia de desplazamiento inicial. Determinar mediante

simulacin digital el mximo rango de captura para el cual la bola vuelve equilibrio deseado.

Repetir la experiencia para desplazamientos hacia abajo.

7. Redisear el control por realimentacin de estados del punto 4, para incluir la accin integral.

Repetir los ensayos de los puntos 5 y 6 y comparar el desempeo con el del punto 4.

8. Asumiendo que solo puede medirse la posicin de la bola y la corriente , disear un control

lineal por realimentacin de salida, con accin integral para estabilizar la bola en la posicin

deseada . Repetir los ensayos de los puntos 5 y 6, y comparar el desempeo de este diseo

con los de los puntos 4 y 7.

9. Asumiendo que solo puede medirse la posicin de la bola y la corriente, disear un control por

ganancia tabulada con accin integral y por realimentacin de salida para que la posicin de la

bola siga una posicin de referencia. Estudiar por simulacin el desempeo del sistema a lazo

cerrado y compararlo con el diseo va linealizacin del punto 8.

Solucin

1. Remplazando la ecuacin 3 en 1, y despejando

Encontrando la derivada de

Sustituyendo en la ecuacin 4 y usando la ecuacin 2 se obtiene:

(

)

La representacin de estados ser:

(

)

2. Como la posicin deseada es constante se tiene:

3. Obtenemos el punto de equilibrio:

Como en este sistema la posicin no puede ser negativa se obtiene:

Linealizando y evaluando en el PE y usando los valores numricos de cada constante se

obtiene:

[

]

Donde:

La ecuacin caracterstica es:

Como todas las constantes son positivas, y para que la matriz sea Hurtwitz es necesarios que

los coeficientes de la ecuacin caracterstica sean positivos, pero el termino independiente es

negativo por lo tanto el sistema es inestable.

4. Para aplicar estabilizacin por linealizacin es necesario llevar nuestro punto de equilibrio al

origen y restar de la entrada el valor esttico por lo tanto:

La matriz A fue hallada en el punto anterior y [ ]

Por ultimo:

Usando valores numricos se obtiene:

[

] [

]

Si donde [ ] entonces:

[

]

Para que se Hurwitz:

5. Diseando para llevar los polos a [ ], el vector de ganancia es [ ] y usando la condicin inicial [ ] se obtiene:

Figura 1. Posicin y accin de control sin variacin en los parmetros.

Figura 2.Posicin y accin de control variando 20% los valores nominales.

De las anteriores graficas es claro notar que a pesar de aumentar en un 20% el valor nominal de los parmetros del sistema, este sigue siendo estable pero se aleja mucho de la posicin deseada, aumentando el error en estado estable.

6. La regin de atraccin estimada desplazando la distancia hacia arriba, se obtuvo un radio

mximo de 0.54 [m] para que la bola siga regresando a la posicin deseada, pero la accin de

control tiene un pico mximo en 217 lo que fsicamente puede causar problemas.

0 0.5 10.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

0 0.5 110

15

20

25

30

35

40

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

0 0.5 10.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

0 0.5 110

20

30

40

50

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

X: 1

Y: 0.04976

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

0 0.5 1-50

0

50

100

150

200

250

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

7. En este punto se debe agregar el error como estado a las ecuaciones del sistema.

Proponiendo donde [ ] entonces:

[

]

Diseando para llevar los polos a [ ], el vector de ganancia es [ ] y usando la condicin inicial [ ] se obtiene:

Figura 3. Comparacin entre estabilizacin por realimentacin y regulacin va control integral.

Figura 4.Comparacin entre estabilizacin por realimentacin y regulacin va control integral, variando

20% el valor nominal.

De las graficas 3 y 4, podemos concluir que el control por regulacin sigue la seal deseada a pesar de variar en un 20% los parmetros. El control por estabilizacin tiene una respuesta ms y menor sobrepico cuando los parmetros no se varan. La regin de atraccin estimada desplazando la distancia hacia arriba, se obtuvo un radio mximo de 0.245 [m] para que la bola siga regresando a la posicin deseada, la cual es menor comparado con la el control para estabilizacin.

0 0.5 1 1.50.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

0 0.5 1 1.5-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

Estabilizacin

Regulacin

0 0.5 1 1.50

0.05

0.1

0.15

0.2

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

0 0.5 1 1.5-20

0

20

40

60

80

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

Estabilizacin

Regulacin

8. En este punto se desea disear el observador para el control diseado en el punto anterior.

Donde:

[

]

Diseando para llevar los polos del observador a [ ] , se obtiene:

[

]

Figura 5. Comparacin entre estabilizacin por realimentacin, regulacin va control integral y regulacin con observador.

Figura 6. Comparacin entre estabilizacin por realimentacin, regulacin va control integral y regulacin con observador, variando 20% los parmetros nominales.

0 0.5 1 1.50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

Estabilizacion

Regulacion

Regulacion con observador

0 0.5 1 1.5-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

Estabilizacion

Regulador

Regulador con observador

9. Diseando para llevar los polos a [ ], con diferentes

referencias [ ] se obtiene:

[ ]

[ ]

[ ] Usando interpolacin lineal se obtiene:

(

)

(

)

Para el observador se escogi los polos deseados en [ ] , se obtiene:

[

] [

] [

]

Usando interpolacin lineal se obtiene:

(

)

(

)

En la siguiente figura se compara el control diseado en el punto anterior contra el control por tabulacin de ganancia, donde la referencia se vara empezando en 0.035 cambiando a 0.045 a los 2.5 segundos y finalmente se lleva a 0.065 a los 4 segundos.

Figura 7. Comparacin entre regulacin con observador y control por ganancia tabulado con integrador y realimentacin de salida.

0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

Tiempo [s]

Posic

in [

m]

Regulacion con observador

Tabulacin de ganancia con observador

De la figura 7 se puede concluir que el control por tabulacin de ganancia permite adaptarse de mejor forma a diferentes puntos de operacin, permitiendo obtener una respuesta mas suave.

6.2 En la siguiente figura se representa un sistema de pndulo invertido. El pivote del pndulo est montado sobre un carrito que puede moverse horizontalmente mediante la accin de una fuerza F.

Manipulando F como variable de control, el objetivo es estabilizar el pndulo en posicin vertical en una posicin deseada del carrito.

Los parmetros del sistema, y sus valores nominales, son los siguientes:

Y su comportamiento dinmico puede describirse por las ecuaciones diferenciales ordinarias:

[ ]

[

] [

]

Donde:

1. Usando como variables de estado y como entrada de control,

escribir las ecuaciones de estado.

2. Mostrar que el sistema tiene un conjunto de equilibrio

3. Se pretende estabilizar el pndulo en su posicin vertical . Determinar un punto de equilibrio

a lazo abierto para el cual y mostrar que es inestable.

4. Linealizar la ecuacin de estado alrededor del punto de equilibrio elegido y comprobar que la

ecuacin de estado linealizada es controlable.

5. Usando linealizacin, disear un control por realimentacin de estados para estabilizar el sistema

alrededor del punto de equilibrio deseado.

6. Ensayo de robustez: estudiar el desempeo del sistema a lazo cerrado mediante simulacin

digital. Estudiar en particular el efecto de variaciones de 10% en los valores nominales de los

parmetros del sistema sobre la respuesta transitoria.

7. Estima de la regin de atraccin: determinar, mediante simulacin digital, el rango mximo de

ngulo inicial que puede tener el pndulo, comenzando en reposo, para que el control diseado

pueda llevarlo al equilibrio .

8. Asumiendo que slo puede medirse el ngulo y la posicin del carrito, disear por

linealizacin un control por realimentacin de salidas para estabilizar el pndulo en . Repetir

los ensayos 6 y 7 y comparar el desempeo de este diseo con el obtenido con el control por

realimentacin de estados del punto 5Error! No se encuentra el origen de la referencia..

Solucin

1. Definiendo los siguientes estados:

2. Igualando las ecuaciones de estado y la entrada a cero y reduciendo trminos:

Luego el punto de equilibrio es:

(

)

3. El punto de equilibrio para el cual es Linealizando alrededor del punto de equilibrio:

[

]

Calculando los eigenvalores de la matriz A:

El origen es inestable.

4. Para establecer si el sistema es controlable es necesario calcular B:

[

]

Usando el siguiente cdigo se puede verificar que el rango es 4 por lo tanto el sistema es controlable. Co=ctrb(A,B); %Matriz de controlabilidad rank(Co) % Rango

5. Con las siguiente lneas de cdigo se disea el valor de ganancia Kgan=lqr(A,B,eye(4),1);

[ ]

La Figura 8 muestra la respuesta del ngulo del sistema realimentado para una condicin inicial de 0.1 radianes.

Figura 8.Respuesta del ngulo y accin de control para el sistema realimentado.

6.

0 2 4 6 8-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Tiempo [s]

Angulo

[ra

d]

0 2 4 6 8-1

0

1

2

3

4

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

Figura 9.Respuesta del ngulo y accin de control para el sistema realimentado aumentando en un 10% los parmetros nominales.

Figura 10. Respuesta del ngulo y accin de control para el sistema realimentado disminuyendo en un 10% los

parmetros nominales.

Si los parmetros son perturbados en como se muestran las figuras 9 y 10, el sistema sigue estabilizado y llegando al punto de equilibrio. Se presenta una pequea diferencia en el sobrepico al variar los parmetros.

7. Variando la condicin inicial del sistema se determina por simulacin que la regin de atraccin se

encuentra en 1.15 rad equivalente a 65.8901. 8. En este punto se desea disear el observador para el control diseado en el punto anterior.

Donde:

[

]

Diseando para llevar los polos del observador a [ ] , se obtiene:

0 2 4 6 8-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

X: 1.02

Y: -0.0378

Tiempo [s]

Angulo

[ra

d]

0 2 4 6 8-1

0

1

2

3

4

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

Estabilizacion

0 2 4 6 8-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

X: 0.99

Y: -0.02942

Tiempo [s]

Angulo

[ra

d]

0 2 4 6 8-1

0

1

2

3

4

Tiempo [s]

Acci

n d

e C

ontr

ol

Estabilizacion

[

]

Figura 11. Comparacin de la posicin variando los parmetros .

Figura 12. Comparacin del control con realimentacin con y sin observador.

Como se puede observar de la figura 11 la variacin de los parmetros se aumenta el sobrepico. La figura 12 muestra que al implementar el observador este tiene un sobrepico mayor al igual que el tiempo de establecimiento. Variando la condicin inicial del sistema se determina por simulacin que la regin de atraccin se encuentra en 1.05 rad equivalente a 60.1606.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Sin modificar los parmetros

Aumentando 10% los parmetros

Disminuyendo 10% los parmetros

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Control por realimentacin

Control por realimentacin con observador