sistemas ecuaciones lineales

11/08/2011 Ecuaciones y Sistemas de

Ecuaciones

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ECUACIONES Y SISTEMAS

Ecuación Lineal

• Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la

forma de un polinomio de primer grado, es decir, las

incógnitas no están elevadas a potencias, ni

multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

• Por ejemplo, 3x +2y +6z = 6 es una ecuación lineal con

tres incógnitas.

• Ejemplos:

x + 3y = 7 x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7

y = 1/2x + 3z +1 x1 + x2 + . . . + xn = 1


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Ecuación Lineal . . .

• Observar que una ecuación lineal no incluye

ningún producto o raíz de variables. Todas las

variables están elevadas sólo a la primera

potencia y no aparecen como argumentos de

funciones trigonométricas, logarítmicas o

exponenciales. Las siguientes ecuaciones no

son lineales.

x + 3y2 = 7 3x + 2y –z + xz = 4

y – sen x = 0 + 2x2 + x3 = 1 ∆


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Sistema de Ecuaciones Lineales

• Un sistema de ecuaciones lineales es un

conjunto de ecuaciones lineales de la

forma:


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Sistema de Ecuaciones Lineales . . .

• En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.

• Los números reales aij se denominan coeficientes y los

xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y

bj se denominan términos independientes.

• Los subíndices dobles en los coeficientes de las

incógnitas constituyen un mecanismo útil que se utiliza

para especificar la ubicación del coeficiente en el

sistema. El primer subíndice en el coeficiente

• Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas

para que se cumplan TODAS las ecuaciones del

sistema simultáneamente.


Ecuaciones

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• Definición

• Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

es un par de expresiones algebraicas que se suelen

representar de la siguiente forma:

ax + by = p

cx + dy = q

• Donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los

coeficientes y p y q son los términos independientes.


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• Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con

dos incógnitas puede ser:

x + y = 10

x - y = 2

• Cada una de las ecuaciones que componen el sistema,

por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay

infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro

lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin

embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para

formar el sistema, estaremos buscando un par de

números (x, y) que cumplan a la vez las dos.


Ecuaciones

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• El sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser

el planteamiento para resolver un problema de este tipo:

– Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar.

Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y

cuántas gomas tengo?

• Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a

plantear y resolver problemas parecidos al redactado en

el párrafo anterior. Vamos pues a profundizar en el

conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución

de estos problemas utilizando como herramienta los

sistemas de ecuaciones.


Ecuaciones

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• Soluciones

• En el ejemplo anterior, decíamos que

buscábamos un par de números que cumplieran

las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese

par de números (x, y) que satisface ambas

ecuaciones de un sistema se llama solución del

sistema de ecuaciones.


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Ecuaciones

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REGLAS DE RESOLUCIÓN

• SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

• Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones.

• Sea el sistema x + y = 2

• x – y = 0

• Como se puede apreciar por su sencillez la única solución posible es x = 1 e y = 1, pues son los valores de las incógnitas que hacen posible que se cumplan las dos igualdades.

• Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE.

• Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO.


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• REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS

• 1.- Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado.

• Ejemplo:

• Sea el sistema x + y = y + 2 (1)

• x – y = 0 (2)

• A ambos miembros de la ecuación (1) les restamos y, quedando el sistema equivalente al dado:

• x = 2 (1)

• x – y = 0 (2)

• Que tiene la ventaja de, al conocer el valor de x, poder hallar rápida y fácilmente el valor de y.


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• 2.- Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.

• Ejemplo:

• Sea el sistema x + y

• ------- + 3 = 2 (1)

• x

• x – y = - 3 (2)

• A ambos miembros de la ecuación (1) les multiplicamos por x, quedando el sistema equivalente al dado:

• x + y + 3.x = 2.x (1) 2.x + y = 0 (1)

• x – y = - 3 (2) x – y = - 3 (2)

• Que tiene la ventaja de eliminar denominadores.


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• 3.- Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución.

• Ejemplo:

• Sea el sistema 3.x + y = 5 (1)

• x – y = - 1 (2)

• A la ecuación (1) la restamos la ecuación (2) multiplicada por 3, quedando:

• 3.x + y – 3.(x – y) = 5 – 3.(-1) (1)

• x – y = - 1 (2)

• 3.x + y – 3.x + 3.y = 5 + 3 (1)

• x – y = - 1 (2)

• El sistema 4.y = 8 (1) es equivalente al dado.

• x – y = - 1 (2)


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SISTEMAS LINEALES

(MÉTODOS DE RESOLUCIÓN)


Ecuaciones

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• Método de Sustitución

• Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente.

• Método de Igualación

• Es una variante del método anterior. Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones.

• Método de Reducción

• Se suman o restan las ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita, quedando otro sistema equivalente al dado.

• Método Gráfico

• De cada ecuación se despeja la incógnita y. Queda un sistema de funciones lineales. Se representan las dos rectas correspondientes y las coordenadas del punto de corte será la solución.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN


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Advertencia previa

• Si al resolver el sistema nos encontramos con ecuaciones del tipo:

• 3.(x-5) + 2y = 4 – 2(3 – y)

• O del tipo:

• x - 5 3 – y

• ------- + 3.y = 4 - -------

• 3 5

• Antes de aplicar cualquier método hay que operar convenientemente, resolviendo los paréntesis y las expresiones fraccionarias.

3.x = 13

5.x + 42.y = 76


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• Método de Sustitución

•

• Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente.

• Ejemplo 1

• Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1)

• 3.x - y = 2 (2)

• De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – 3.y

• Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (4 – 3.y) – y = 2

• Operando … 12 – 9.y – y = 2 12 – 2 = 9.y + y 10 = 10.y y = 1

• Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos …

• x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1


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• Ejemplo 2

• Sea el sistema: 5.x + 3.y = 2 (1)

• 3.x – 2.y = 5 (2)

• De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” :

• x = (2 – 3.y)/5

• Se sustituye en la ecuación (2) :

• 3.(2 – 3.y)/5 – 2.y = 5

• Operando …

• 6 – 9.y – 10.y = 25 – 19 = 19.y y = – 1

• Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos …

• x = (2 – 3.y)/5 = (2 – 3.(– 1))/5 = 5 / 5 , o sea x = 1


Ecuaciones

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• Método de Igualación

• Es una variante del método anterior. Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones.

• Ejemplo 1

• Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1)

• x – y = 2 (2)

• Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando:

• x = 4 – 3y (1)

• x = 2 + y (2)

• Las dos expresiones resultantes deben ser iguales 4 – 3y = 2 + y

• 4 – 2 = y + 3y 2 = 4y y = 2/4 = ½

• Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1):

• x = 4 – 3.(1/2) = 4 – 3/2 = 5/2 , o sea x = 5/2


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• Método de Reducción

• Se suman o restan las ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita, quedando otro sistema equivalente al dado.

• Ejemplo 1

• Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1)

• 3x - 4y = 1 (2)

• Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES.

• 8x + 12y = 48 (3)

• 9x - 12y = 3 (4)

• A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: 17 x = 51 x = 3

•

• Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos:

• 2.3 + 3.y = 12 , 3y = 12 – 6 , 3y = 6 , y = 2

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