SISTEMAS DINAMICOS 2002 - CAOS

Guillermo AbramsonCentro Atomico Bariloche, Instituto Balseiro y CONICET

2o cuatrimestre 2002

Programa sintetico

1. Fenomenologıa de los sistemas caoticos.

2. Sistemas paradigmaticos:

El mapeo logıstico.

Las ecuaciones de Lorenz.

3. Caracterizacion del movimiento caotico:

Sensibilidad a las condiciones iniciales.

Exponente de Lyapunov.

Medida de probabilidad invariante.

Atractores extranos.

4. Rutas al caos:

Cascadas de bifurcaciones.

Intermitencia.

Ruelle-Takens-Newhouse.

1

1. Fenomenologıa de los sistemas caoticos

Hoy en dıa todos estamos familiarizados en mayor o en menor medida con la teorıa del caos,que ha encontrado un lugar inclusive en la cultura popular. Caos, fractales, complejidad, sonconceptos que encontramos en argumentos de pelıculas, en tapas de discos, hasta en decoracionde camisetas. Vale la pena tratar de imaginarse el estado de las cosas anterior a este fenomeno,cuando el caos “no existıa.” En el siglo XVIII, el filosofo y matematico frances Pierre Simon deLaplace, uno de los mas notables representantes del racionalismo iluminista, conjeturo que, dadala posicion y la velocidad de cada partıcula del Universo, se podrıa predecir el futuro con todaexactitud. Este concepto ejercio una enorme influencia, incluso teologica y psicologica, durantetodo el siglo XIX en el mundo occidental. El primer desafıo a esta vision provino de la mecanicacuantica, y en particular del principio de indeterminacion, que impide el conocimiento cabal delas condiciones iniciales. De todos modos, Laplace podrıa haber argumentado que, en fin, no sepodrıa predecir el futuro exactamente, pero se lo podrıa predecir en principio. Es decir, se podrıaesperar que los errores de la prediccion, fruto de los errores de la condicion inicial, se mantuvieranacotados, o crecieran de una manera controlable. El caos determinista y su sensibilidad a lascondiciones iniciales, en cambio, obligan a que los errores crezcan incontrolablemente.

Se podrıa suponer, de manera ingenua, que un sistema determinista (por ejemplo uno cuyadinamica esta determinada por ecuaciones diferenciales continuas) da siempre lugar a un tipode movimiento regular o “suave,” puesto que los estados sucesivos del sistema evolucionan demanera continua de estados previos. En la vida cotidiana conocemos muchos ejemplos de sistemasası: uno gira un poco el volante del coche, y la trayectoria del coche cambia ligeramente. Unopatea una pelota varias veces casi de la misma manera, y la pelota termina casi en el mismolugar en el angulo superior derecho del arco. En la primera parte de este curso hemos visto, dehecho, dos tipos de comportamiento asintotico para las orbitas de un sistema que no diverge:puntos fijos y ciclos lımite, ambos de caracter “periodico.”

Sin embargo, conocemos tambien por experiencia cotidiana que existen sistemas que no si-guen estas sencillas reglas. Sistemas en los cuales una pequena variacion en las condicionesiniciales los arroja a trayectorias completamente distintas, de apariencia irregular, no periodi-cas, impredecibles en buena medida. Tal es el caso de arrojar un globo, en lugar de una pelota,o lanzar una moneda al aire. Ya Henri Poincare, a comienzos del siglo pasado, observo queexisten sistemas mecanicos descriptos por las ecuaciones de Hamilton, cuyas orbitas son irregu-lares y caoticas. Durante mucho tiempo esto se considero una curiosidad. Finalmente, en 1963,el meteorologo Edward Lorenz encontro un sistema sencillo de tres ecuaciones diferenciales deprimer orden, acopladas y no lineales (un modelo de la atmosfera) que daba lugar a trayectoriascompletamente caoticas. El trabajo de Lorenz permanecio ignorado durante mas de una decada,hasta que se reconocio su importancia durante el “boom” de la nueva ciencia interdisciplinariadel caos determinista disparada, por supuesto, por las cada vez mas rapidas y poderosas compu-tadoras digitales. La importancia de los fractales—el lugar donde “vive” el caos—fue tambienintuido por Poincare a traves de la intrincada distribucion de puntos estables e inestables enel espacio de fases de un sistema hamiltoniano. Sin embargo, su estudio debio esperar hastaser redescubiertos por Benoit Mandelbrot a mediados de los ‘70. A pesar de la impresionanteintuicion de Poincare algunos problemas debıan, evidentemente, esperar hasta la invencion delas computadoras para florecer en plenitud.

Durante los anos ‘70 y ‘80 se fue consolidando el convencimiento de que el comportamientocaotico no es una rareza en los sistemas fısicos descriptos por ecuaciones no lineales, sino el com-portamiento tıpico. Grandes regiones continuas en el espacio de los parametros que caracterizanestos sistemas corresponden a movimientos caotico. Por el contrario, el movimiento periodicoresulto ser un fenomeno relativamente raro y excepcional en medio de un mar de caos.

Desafortunadamente, no existe una receta que permita predecir si un dado sistema dinamicoposee comportamiento caotico. La unica solucion a este problema parece ser, aun treinta anosdespues de “boom” del caos, la experimentacion o la exploracion numerica y la inspeccion directa

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Cuadro 1: Deteccion del caos en sistemas sencillos.Sistema Ecuaciones de movimiento

Pendulo

θ + γθ + g sin θ = F cosωt

x = θ, y = θ, z = ωtx = yy = −γy − g sinx + F cos zz = ω

Experimento de Benardx = −σx + σyy = rx− y − xzz = xy − bz

Reaccion de Belousov-Zhabotinsky−→x = −→

F (−→x , λ)−→x = [c1, c2, . . . , cd]

Sistema de Henon-HeilesH = 1

2

∑2i=1(p

2i + q2

i ) + q21q2 − 1

3q32−→p = − ∂H

∂−→q , −→q = − ∂H∂−→p

de las trayectorias. Existe sin embargo un resultado general que limita la existencia del caos:el teorema de Poincare-Bendixson asegura que en un sistema de tiempo continuo (una sistemadiferencial) de dimension 2, los unicos posibles atractores son puntos fijos y ciclos lımite. Esdecir, cualquier orbita acotada es necesariamente periodica a tiempos largos. De algun modo, elplano no tiene “lugar” para el caos. Por otro lado, puesto que los sistemas de dimension 1 solopueden presentar puntos fijos como orbitas acotadas (un resultado trivial), podemos concluirque se requiere al menos un sistema de dimension 3 para encontrarnos con trayectorias caoticas.En sistemas de dimension alta, el caos es el comportamiento tıpico. En sistemas de evoluciondiscreta (mapeos) este requisito dimensional no se aplica, y mapeos de dimension 1 puedencomportarse caoticamente.

Es de destacar que tanto en sistemas diferenciales como en mapeos existe un tercer tipo demovimiento posible, llamado cuasiperiodico. Es tıpico encontrarlo en la dinamica hamiltoniana,tal como el movimiento de los planetas, y se caracteriza por consistir de varios movimientos pe-riodicos cuyas frecuencias son mutuamente irracionales (es decir, su cociente es tambien irracio-nal). En tal caso, las orbitas nunca se cierran, y el movimiento resulta efectivamente aperiodico.Sin embargo, muchas de las propiedades de tales sistemas resultan mas parecidas a las de lossistemas periodicos que a las de los caoticos.

Antes a avanzar a los temas especıficos que estudiaremos, vale la pena una excursion fenome-nologica para ganar alguna intuicion sobre los sistemas caoticos. La Tabla 1 y la Fig. 1 muestrancuatro sistemas sencillos y representativos que exhiben caos.

El primer sistema es el sencillısimo pendulo plano forzado, cuya ecuacion de segundo ordense muestra convertida en un sistema de tres ecuaciones de primer orden, dependiente de losparametros γ (friccion), g (aceleracion gravitatoria) y ω (frecuencia angular de la fuerza externa).Se ve en la figura que la trayectoria, obtenida mediante integracion numerica, tiene “aspectocaotico” si la intensidad de la fuerza supera cierto umbral Fc.

Vale la pena reflexionar un poco acerca de este aspecto caotico o aleatorio de las trayecto-rias. Los sistemas fısicos, segun entendemos hoy en dıa, pueden estar sujetos a tres clases dealeatoriedades bien distintas. En primer lugar, tenemos el caso de los sistemas de muchos gradosde libertad. Una partıcula Browniana sigue una trayectoria aleatoria, por ejemplo. El origen delazar esta en que la partıcula, suspendida en un lıquido, esta sujeta al bombardeo de muchısimasmoleculas que no vemos (o que preferimos no ver), agitadas termicamente de modo que susmovimientos estan descorrelacionados, cuyo resultado promediado, o macroscopico, es aleatorio.Esta es la aleatoriedad de los sistemas estadısticos, que es la base de la termodinamica desdela epoca de Boltzman. No deja de ser un misterio por que esto es posible, es decir por que elmundo esta hecho de tal modo que un sistema de mucho grados de libertad permite que casi

3

Figura 1: Deteccion del caos en los sistemas de la Tabla 1 (de [8]).

todos ellos se promedien y desaparezcan, y los pocos restantes se comporten como aleatorios.Por otro lado, un segundo tipo de azar es el manifestado por los sistemas cuanticos. El

estado de un sistema cuantico, y sus transiciones entre distintos estados, estan determinadosprobabilısticamente de manera intrınseca. Esto es, naturalmente, aun mas misterioso que loanterior.

Finalmente, tenemos sistemas que no son cuanticos, y que tienen unos pocos grados delibertad, todos ellos “visibles,” y que tambien presentan caracterısiticas “aleatorias” a pesar deque la dinamica es absolutamente determinista. Este es el caos “determinista,” que nos interesaen este curso.

Un recurso un poco mas cuantitativo que la observacion de la trayectoria es el uso de unatransformada de Fourier de x(t), que eventualemnte sirve para distinguir entre trayectoriasperiodicas de aspecto complicado y caos:

x(ω) = lımT→∞

∫ T

0eiωtx(t)dt. (1)

Si el movimiento es periodico, el espectro de potencia

P (ω) = |x(ω)|2 (2)

tiene solamente las lıneas o “picos” discretos de las correspondientes frecuencias, mientras que almovimiento caotico corresponde un espectro ancho en P (ω), generalmente superpuesto a varios

4

picos correspondientes a frecuencias caracterısticas del sistema. Esta transicion se muestra en elsegundo caso de la Figura 1, el experimento de Benard. En este, un lıquido se calienta por debajoen un campo gravitatorio. El lıquido caliente de abajo intenta subir, y el frıo de arriba intentabajar, todo esto en contra de la viscosidad del lıquido. Para pequenos valores de ∆T , el lıquidopermanece en reposo y el calor se transfiere por conduccion. Este estado se vuelve inestable aun valor crıtico del numero de Raleigh Ra (proporcional a ∆T ), y se establece un estado de“rollos” de conveccion. Mas alla de un segundo valor crıtico Rc se pasa a un regimen caotico.En la figura se ve esta transicion en el espectro de potencia de la velocidad en la direccion x,medida experimentalmente. Experimentos “cualitativos” pueden hacerse en la cocina, calentandosuavemente aceite en una sarten, o sopa crema.

El sistema del experimento de Benard constituye un modelo de la atmosfera, y Lorenz de-rivo para el mismo un sistema de ecuaciones simplificado que es el que es muestra en la figura.El analisis numerico de este sistema llevo a Lorenz al descubrimiento del caos en sistemas de-terministas disipativos.

Cabe senalar que, tanto desde un punto de vista experimental como numerico, la obtencionde un espectro de Fourier libre de artefactos y ruido involucra grandes dificultades. En primerlugar, observese que la Ec. 1 esta definida como un lımite para tiempo infinito, de modo tal que,en la practica, se requiere un tiempo de observacion muy largo, del orden de los perıodos maslargos de las componentes de Fourier. De lo contrario, estos aparecerıan incorrectamente comocomponentes no periodicas de la orbita. El ruido es aun mas peligroso, ya que contribuye conun fondo continuo en el espectro.

En tercer lugar, vemos en la Tabla y en la Figura el sistema conocido como reaccion deBelousov-Zhabotinsky. Esta es un caballito de batalla en el campo de la formacion de estructu-ras espacio-temporales, y ha sido estudiado experimentalmente en detalle. Se trata de un procesoquımico en el que un compuesto organico, el acido malonico, se oxida mediante iones de bromatoen una reaccion catalizada por un compuesto de cerio. El proceso completo puede describirsemediante 18 reacciones quımicas elementales, cada una de las cuales puede ser descripta me-diante una ecuacion diferencial de primer orden (no lineal) para una concentracion molecular.La variable que se estudia habitualmente es la concentracion de cerio, ya que la diferencia entreCe4+ y Ce3+ puede ser observada con un colorante. En la figura vemos una realizacion caoticade este experimento, caracterizada por una funcion de correlacion:

C(τ) = lımT→∞

1T

∫ T

0c(t)c(t + τ)dt, (3)

donde

c(t) = c(t)− lımT→∞

1T

∫ T

0c(t)dt. (4)

Esta funcion mide la correlacion entre la “senal” (la orbita, la trayectoria) a tiempos sucesi-vos. Para un comportamiento regular, la funcion de correlacion permanece constante u oscila,mientras que decae, en general exponencialmente, si el comportamiento es caotico, ya que lasenal pierde la informacion de estados anteriores del sistema. Como se ve, esta caracterizacioninvolucra tambien un lımite para tiempo infinito, como el analisis de Fourier.

El ultimo ejemplo de la Tabla y Figura 1 es un sistema no integrable de la mecanica clasica.Henon y Heiles descubrieron su comportamiento caotico al analizar el mapeo de Poincare delsistema. Observaron que, para una energıa superior a un umbral, la orbita del mapeo llena demanera densa el espacio de fases, a diferencia de un sistema periodico en el que las orbitas selimitan a puntos aislados.

Otra propiedad caracterıstica de los sistemas caoticos, y que no esta representada en losejemplos anteriores, es el mezclado (mixing), que puede definirse de la siguiente manera. Tomeseun volumen finito A en el espacio de las fases, y considerense todos los (infinitos) estados delmismo como condiciones iniciales de un conjunto de replicas del sistema. Al evolucionar, lasorbitas de estas replicas cubren un dominio D en el espacio de las fases, finito si las orbitas

5

son acotadas. Tomese ahora un segundo volumen B ⊂ D. La dinamica posee la propiedad demezclado si, a tiempos asintoticamente largos, el numero (mejor dicho la fraccion) de sistemascon condiciones iniciales en A que se encuentran en B es finito y constante. Esta fraccion dependepor supuesto del tamano de B, en particular de su relacion con D, pero no depende del tiempo,aun cuando los sistemas del ensamble estan entrando y saliendo de B todo el tiempo. Mas aun, lafraccion de replicas en B es independiente de la posicion de A y de B en D. En otras palabras, elvolumen ocupado por el ensamble resulta tan distorsionado por la dinamica que, eventualmente,acaba ocupando todo el espacio disponible con una densidad constante. Esta propiedad es laque permite una de las caracterizaciones mas poderosas del estado caotico: la medida invariante.Los sistemas periodicos y cuasiperiodicos, en contraste, no exhiben esta propiedad.

Regresemos a la primera caracterizacion que dimos de un sistema caotico, la sensibilidad a lascondiciones iniciales. Mientras la no-periodicidad y el mezclado son, como se senalo, propiedadesglobales del sistema caotico, en el sentido de que se refieren a la naturaleza de la trayectoriaen un lapso de tiempo infinito, la mas conocida, y tal vez al mas util propiedad de un sistemacaotico es de caracter local, es decir definida sobre un intervalo infinitesimal de la trayectoria. Setrata de la separacion exponencial de las orbitas, responsable de la sensibilidad a las condicionesiniciales.

Considerense dos condiciones iniciales, xa(0) y xb(0) = xa(0)+δx(0), que difieren en una can-tidad pequena δx(0). Al pasar el tiempo, cada una da lugar a orbitas xa(t) y xb(t) = xa(t)+δx(t).Si es sistema es caotico, entonces la separacion entre las dos orbitas crece exponencialmente:

|δx(t)| = |δx(0)| expΛt, (5)

donde Λ es una constante. El alumno atento observara que tal separacion exponencial no esuna propiedad exclusiva de un sistema caotico. Por ejemplo, el sistema lineal x = Λx tiene lapropiedad (5). Sin embargo, en este caso las orbitas no estan acotadas sino que divergen. Soloen sistemas caoticos, la separacion exponencial se encuentra en orbitas acotadas. Ciertamente,en tal caso el comportamiento exponencial no puede durar para siempre. En cierto momento,los efectos no lineales del sistema entran en accion y las orbitas se retuercen dentro de sudominio. La separacion exponencial local, y la acotacion global de las trayectorias debido a lasno linealidades, parecen ser los dos efectos que, combinados, proveen la complejidad evidente enla orbita caotica.

6

2. El mapeo logıstico

Vamos a estudiar en algun detalle el mapeo logıstico xn+1 = f(xn) = rxn(1 − xn), quepuede interpretarse como un modelo de poblacion en un sistema en el que los recursos sonlimitados. El crecimiento exponencial dado por la parte xn+1 = rxn resulta limitado por la no-linealidad −rx2

n, que representa la competencia entre los individuos por los recursos compartidos.En 1976, el biologo Robert May observo, en un artıculo en Nature, que las orbitas de estesistema tienen un comportamiento muy complejo, y recomendaba estar alerta, no solamente enel ambito academico sino tambien el la vida cotidiana, a estos sistemas aparentemente sencilloscuyo comportamiento dinamico no es tal [6].

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

f(x) = 2 x (1-x)

f(x)

x

Figura 2: Grafico cobweb de una orbita del mapeo xn+1 = 2xn(1− xn), con x(0) = 0,1.

Comencemos estudiando el caso r = 2, es decir xn+1 = 2xn(1 − xn). Cuando la poblaciones pequena, esta se duplica en cada paso de tiempo. Representemos el sistema en un graficollamado cobweb, en el cual se grafican simultaneamente la funcion f(x) y la funcion identidad(figura 2). Una observacion inmediata en este tipo de grafico son los puntos fijos del mapeo,que son obviamente los puntos de interseccion de ambas curvas, donde f(x) = x. Una orbita serepresenta partiendo de una condicion inicial x0 en las abscisas, y dibujando una lınea verticalhasta su imagen f(x0). A continuacion, se debe convertir este valor en una nueva preimagen def , lo cual se hace dibujando una lınea horizontal hasta la diagonal que representa la identidad.Estos dos pasos se repiten, generando la representacion de la orbita. La figura 2 muestra unaorbita que comienza con la condicion inicial x(0) = 0,1, y que converge al punto fijo x = 0,5.

Podemos ver graficamente que uno de los puntos fijos, x = 0, repele las orbitas, mientrasque el otro, x = 1, las atrae. Algebraicamente, la condicion de estabilidad de un punto fijo x∗

de un mapeo (suave) f es:

1. Si |f ′(x∗)| < 1, entonces x∗ es un sumidero (sink).

2. Si |f ′(x∗)| > 1, entonces x∗ es una fuente (source).

La estabilidad de un punto fijo no puede determinarse solo por la derivada cuando esta esigual a 1.

Consideremos ahora el mapeo logıstico xn+1 = 3,3x(1−x). Los (unicos) puntos fijos son ahorax = 0 y x = 0,6969 . . .. Ambos son inestables, ya que f ′(0) = 3,3 > 1 y f ′(0,69 . . .) = −1,3 < −1.¿Si no hay puntos fijos que puedan atraer a las orbitas, a donde van las orbitas? La figura 3muestra que existe un perıodo-2 (estrictamente, una orbita periodica de perıodo 2 ).

7

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x2

x1

f(x) = 3.3 x (1-x)

f(x)

x

Figura 3: Grafico cobweb de una orbita del mapeo xn+1 = 3,3xn(1− xn), mostrando una orbitaque es atraıda por el perıodo-2 {x1, x2}.

Puesto que f(x1) = x2 = f(f(x1)) y que f(x2) = x1 = f(f(x2)), la orbita de perıodo 2 es unpunto fijo del mapeo xn+1 = f(f(xn)) = f2(xn), de manera que podemos estudiar su estabilidadmediante la derivada de f2, que se calcula como:

(f2)′(x) = f ′(f(x))f ′(x). (6)

En el presente caso: (f2)′(x1) = f ′(x2)f ′(x1) = (f2)′(x2) = −0,2904. Es decir, el perıodo-2 esestable, y atrae a las orbitas.

Para el mapeo xn+1 = 3,5x(1− x), la situacion de nuevo cambia. Los puntos fijos son x = 0y x = 5/7, ambos inestables. Existe un perıodo-2 (punto fijo de f2) en {3/7, 6/7}, pero tambienes inestable. ¿A donde van las orbitas? Una nueva duplicacion del perıodo ha hecho aparecer unperıodo-4, que resulta ser estable.

Comenzamos a ver como estan relacionados los mapeos miembros de la familia xn+1 =rx(1−x): estan conectados por sucesivas bifurcaciones de perıodo, controladas por el parametror. Los rangos de r donde cada tipo de orbita es estable pueden analizarse facilmente medianteel criterio de la derivada, al menos para los perıodos bajos. La primera bifurcacion, del puntofijo al perıodo-2, sucede a r = 3. La del perıodo-2 al perıodo-4, a r = 1 +

√6 ≈ 2,451. A medida

que r crece entre 3,55 y 4, las orbitas se vuelven mas y mas complicados. Resulta convenientegraficar el comportamiento de la familia completa en un diagrama de bifurcaciones, en el cualse grafican los puntos fijos, periodicos o de otra naturaleza que atraen a una orbita, en funciondel parametro r. Este diagrama se ve en la figura 4.

Se ven claramente las primeras bifurcaciones: perıodo-2, perıodo-4 y perıodo-8. La resoluciondel grafico no permite ver las bifurcaciones a perıodos mas altos, pero eventualmente puedeobservarse que los puntos de bifurcacion se acumulan en un valor r∞ ≈ 3,51. Mas alla de estepunto aparecen orbitas no periodicas, que a simple vista se ven como llenando al azar un sub-intervalo continuo del intervalo [0, 1]. Estos conjuntos atractores son atractores caoticos, muchomas difıciles de describir que los atractores periodicos. Aparecen a un valor (finito) r∞ delparametro de control, punto donde se acumulan las bifurcaciones y el numero de puntos fijos sevuelve infinito (y todos inestables!). Una imagen mas detallada del diagrama de bifurcaciones, enla figura 5, muestra la existencia de “ventanas” de comportamiento periodico para algunos valoresde r > r∞. La mas grande y evidente es una ventana de perıodo-3, que surge abruptamentede la region caotica (una “crisis”), y desaparece mediante una nueva cascada de bifurcaciones

1Ejercicio: Encontrar r1, r2 y r3 (con el Mathematica, por supuesto!)

8

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

r

Figura 4: Diagrama de bifurcaciones del mapeo logıstico xn+1 = rx(1−x). Para valores de r < 1,el unico punto fijo es x = 0.

a orbitas de perıodos 6, 12, etc. Existen ventanas periodicas de perıodo arbitrariamente alto,ventanas arbitrariamente estrechas que le dan al diagrama una infinita riqueza de detalle.

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

r

Figura 5: Detalle del diagrama de bifurcaciones del mapeo logıstico xn+1 = rx(1−x), mostrandola existencia de ventanas de comportamiento periodico en medio de la region de caos.

Observese tambien como los puntos periodicos (de todos los perıodos), a pesar de habersehecho inestables, siguen existiendo y se manifiestan con una densidad de puntos mas alta en lasorbitas caoticas. En particular, hay un punto donde convergen varios de estos puntos periodicos(r ∼ 3,67) donde la densidad es particularmente alta, y que es tambien el punto donde se unendos “bandas” de orbitas caoticas. El punto fijo (inestable, claro esta) tambien pasa por allı, y deallı en adelante parece “repeler” a las orbitas caotica, mostrando una densidad de puntos menoral resto. En el grafico cobweb correspondiente a r = 3,86, que se muestra en la figura 6, se veclaramente esta repulsion.

En 1978, Feigenbaum [3] realizo un descubrimiento sorprendente valiendose de un inventoreciente: la calculadora de bolsillo. Descubrio que una gran familia de mapeos, similares allogıstico, comparten una cantidad de propiedades de escaleo en la manera en que un parametrocontrola la aparicion de caos. Estas propiedades “universales” son las siguientes (vease la figura

9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x) = 3.86 x (1-x)

f(x)

Figura 6: Cobweb del mapeo logıstico para r = 3,86.

7 para la notacion):

1. Regimen periodico

Las bifurcaciones, donde el numero de puntos fijos cambia de 2n−1 a 2n, ocurren en puntosrn que satisfacen:

rn = r∞ − c δ−n, con n À 1 y c constante. (7)

Las distancias dn del punto de un perıodo-2n que este mas cerca a x = 1/2, de dos perıodosconsecutivos, tienen cociente constante:

dn

dn+1= −α, para n À 1. (8)

Las constantes de Feigenbaum α y δ tienen valores universales:

α = 2,5029078750 . . . (9)δ = 4,6692016091 . . . (10)

Los puntos Rn escalean de manera similar a los rn:

Rn = R∞ + c′ δ−n, (11)

y ademasR∞ = r∞ = 3,5699456 . . . (12)

2. Regimen caotico

Las ventanas de comportamiento regular tienen perıodo p (p = 3, 5, 6, . . .), y sufrenbifurcaciones a perıodos p 2n, caracterizadas por la misma ley (7), con el mismo δ.

Triplicaciones p 3n, cuatriplicaciones p 4n, etc, ocurren en puntos rn que satisfacen nueva-mente la ley (7), con distintas constantes, tambien universales (por ejemplo δ = 55,247 . . .para las triplicaciones).

10

1/2d

3

d2

d1

R3

R2

r3r

2R

1r

1

x

Figura 7: Diagrama de bifurcaciones esquematico, mostrando la notacion de las propiedades deescaleo de la cascada de bifurcaciones.

0 10

1

(a) r = 0.8

f

x0 1

0

1

p p

(b) r = 2.8

f

x0 1

0

1

p p

(c) r = 3.28

f

x

0 10

1

p p

(d) r = 2.8

f 2

x0 1

0

1

^ p1p p

2p

(e) r = 3.28

f 2

x

Figura 8: Graficos de f y de f2 ilustrando la idea de autosimilaridad. Cada grafico de f2 [(d) y(e)], restringido al cuadrado que se indica, es similar al grafico de f de la columna anterior [(a)y (b)].

11

2.1. Cascada de bifurcaciones

Vamos a esbozar algunos de los conceptos mas importantes en el analisis cuantitativo de lacascada de bifurcaciones que caracteriza tanto al mapeo logıstico como a muchos otros sistemas.Como en muchos temas centrales de la teorıa del caos, el analisis esta basado en una propiedadde auto-similaridad, que permite una operacion de renormalizacion.

Observemos en la figura 8 la idea de la autosimilaridad. En las figuras 8(a), (b) y (c) vemos elgrafico de f correspondiente a tres valores del parametro r: en (a) existe solo el equilibrio trivialx∗ = 0; en (b) existe un equilibrio positivo estable p; en (c) el equilibrio positivo p es inestable.En la lınea inferior de la figura vemos los graficos correspondientes a la segunda iteracion, f2,para los mismos valores de los parametros. Vemos que cuando f tiene un solo equilibrio establep, f2 tambien tiene un solo equilibrio no trivial, que coincide con p [figuras (b) y (d)]. En cambio,cuando el equilibrio de f es inestable, f2 tiene tres equilibrios: p, p1 y p2 [figuras (c) y (e)]. Comosabemos, estos ultimos definen el perıodo-2 estable de la segunda bifurcacion.

Sea p la preimagen de p segun f , es decir f(p) = p. Observemos el grafico de f2 restringidoal intervalo [p, p], indicado con un cuadrado en las figuras (d) y (e). Puede observarse, sin entraren demostraciones, que el intervalo [p, p] es invariante a la accion de f2, tal como el intervalo[0, 1] es invariante a f . Ademas, observemos que, a pesar de las marcadas diferencias entre f yf2 (numero de extremos, etc.), el grafico de f2 restringida a [p, p] es parecido al grafico de fcorrespondiente a otro valor de r. En efecto, observese que dentro del cuadradito en la figura(d), f2 tiene un solo punto fijo, ubicado en uno de los extremos del intervalo, y un solo extremoen el medio del intervalo, precisamente como f en la figura (a). Similarmente, en la figura (e) f2

restringida al cuadradito tiene un punto fijo estable positivo, y el punto fijo trivial inestable enel extremo del intervalo, tal como f en la figura (b). En esta situacion, decimos que los graficosde f2 restringidos al intervalo [p, p] son similares a los de f en [0, 1], mediando una reflexionizquierda-derecha, una arriba-abajo y un cambio de escala.

De la misma manera podrıamos analizar el grafico de f4, que resultarıa similar al de f2,y ası sucesivamente para todos los ordenes de iteracion. Esto sugiere que existe una funcionuniversal, a la cual tienden todas estas funciones, que eventualmente se podra encontrar.

Para avanzar en el analisis cuantitativo, construyamos una funcion lineal que lleve el puntop al 0 y a su preimagen p al 1:

Lr(x) =1

pr − pr(x− pr), (13)

donde estamos mostrando explıcitamente que todas las cantidades dependen de r. La funcioninversa de L se obtiene de (13) despejando x:

L−1r (x) = pr + (pr − pr) x. (14)

Definimos ahora un operador de renormalizacion que actua sobre la funcion fr(x), con laidea de que la accion de este contenga la idea de autosimilaridad de las fk:

Rfr(x) = Lr

[f2

r (L−1r (x))

], x ∈ [0, 1]. (15)

Observese con cuidado la accion de R: primero L−1r contrae el intervalo [0, 1] al [pr, pr] y lo

invierte, despues actua f2, y finalmente Lr vuelve a expandir el intervalito y a orientarlo nor-malmente. El resultado es la funcion que, segun observamos en la figura 8, es similar a f . Enefecto, se puede chequear sin dificultad que Rfr(x) comparte muchas propiedades de f , en par-ticular la de anularse en los extremos del intervalo, y tener un extremo en x = 1/2. Tambienconvierte orbitas de perıodo 2 de f en puntos fijos de Rf , etcetera, etcetera.

Ciertamente, sabemos (o sospechamos) que el fenomeno de autosimilaridad no se detieneen f2, ası que podemos continuar con el proceso de renormalizacion, renormalizando todos losordenes de f . Definamos:

gk(x) = L[fk(L−1(x))

], (16)

12

de manera que se satisfacegk = R gk−1. (17)

Vemos que gk, a medida que k crece, va heredando la forma de las iteraciones inferiores. Ahora,si existe el lımite del que hablabamos en relacion con la figura 8, este lımite es

lımk→∞

gk(x) = g(x), (18)

la funcion universal que estamos buscando, y la manera de buscarla es mediante la ecuacion quesatisface, o sea (17) llevada al lımite:

g(x) = Rg(x). (19)

Es decir, g(x) es un punto fijo del operador de renormalizacion R, en el espacio de las funcionesde variable real. Escribamoslo in extenso:

g(x) = −α g[g(−x/α)], (20)

donde α es el factor de escaleo (pr − pr) de la ec. (13) y hemos cambiado a un sistema decoordenadas en el que el origen coincide con el punto fijo pr.

La solucion de la ec. (20) puede ser aproximada sucesivamente mediante un desarrollo en seriede g. Primero se elige g(0) = 1, y luego se propone una funcion par a determinar, g(x) = 1+b x2:

1 + bx2 = −α

1 + b

(1 + b

x2

α2

)2 = −α

(1 + b + 2b2 x2

α2

)+ o(x4). (21)

De aquı, identificando los coeficientes de igual potencia en x, obtenemos b ≈ −1,366 y α ≈ 2,73,un resultado aproximado al valor “exacto” de α encontrado numericamente (10). La aproxima-cion puede mejorarse tomando ordenes superiores en el desarrollo de g.

Sin entrar en detalles, observemos que el operador R define un mapeo—en el que k juega elpapel de un tiempo discreto—que puede analizarse mediante todas las tecnicas de los mapeos.En particular, se encuentra que el punto fijo g es un punto de ensilladura, a lo largo de cuyavariedad estable nos acercamos en cada iteracion. El autovalor a lo largo de la direccion establenos dice como nos acercamos al punto crıtico, y describe precisamente como se acercan lossucesivos puntos de bifurcacion, ya que R convierte perıodos-2k de f en perıodos-2k−1 de Rf .Este autovalor resulta ser δ ≈ 4,669201, que describe como se acercan los sucesivos rn a r∞ (ec.(7)).

El poder de las ideas de renormalizacion reside en que, apropiadamente adaptadas, puedenser usadas en una variedad de problemas. Por ejemplo, el razonamiento que hemos usado noesta restringido al mapeo logıstico, sino que se basa en la propiedad de autosimilaridad de fejemplificada en la figura 8, compartida por una enorme familia de mapeos de una variable conun maximo no degenerado. En un caso ası, se habla de universalidad. Ideas similares puedenaplicarse a otras rutas al caos, distintas de la cascada de bifurcaciones, tal como la intermitencia,en donde se puede calcular el tiempo pasado por la trayectoria cerca del punto fijo inestable.

Las leyes de escaleo y los demas aspectos cuantitativos de esta descripcion han sido am-pliamente confirmados en experimentos en sistemas quımicos, fluidos y lasers, justificando aposteriori la utilidad del estudio del caos basado en los mapeos de Poincare, y sugiriendo launiversalidad de los mecanismos subyacentes al origen del caos en una variedad de fenomenosnaturales.

2.2. Descripcion probabilıstica del regimen caotico

Pasemos a estudiar el regimen caotico del mapeo logıstico, correspondiente a valores delparametro r∞ < r ≤ 4. Por diversas razones, resulta adecuado un tratamiento probabilıstico del

13

problema. Por un lado, vimos en los experimentos numericos que algunas regiones del espaciode fases resultan mas visitadas por el espacio de fases que otras, de manera que una descripcionbasada en una densidad de probabilidad parece adecuada. Por otro lado, supongamos un procesode medicion en el que se tenga una resolucion finita. En tal caso el “estado” del sistema debeentenderse no como un punto sino como una pequena region en el espacio de fases. Si la dinamicadel sistema subyacente fuese simple, regular, no habrıa diferencia entre una descripcion puntualy una deslocalizada del problema, para una resolucion suficientemente buena. Sin embargo, si ladinamica es caotica, sabemos que condiciones iniciales arbitrariamente cercanas acaban siguiendotrayectorias diferentes, cuya diferencia tiene tıpicamente el tamano del atractor mismo. La unicamanera de resolver esta dificultad consiste en adoptar una descripcion probabilıstica, en la cualla magnitud central es una densidad de probabilidad ρn(x) de encontrar al sistema en el estadox a tiempo n.

Si el estado inicial del sistema, x0, se conoce con precision infinita, decimos que el sistemaesta descripto por la densidad ρ0(x) = δ(x − x0). Al tiempo siguiente el estado sera ρ1(x) =δ(x − f(x0)), y ası sucesivamente. Supongamos, en cambio, que ρ0(x) es una funcion suavede x. Despues de una iteracion el estado del sistema sera una superposicion de los estadoscorrespondientes a la evolucion de cada condicion inicial representada por ρ0. Es decir, podemosescribir:

ρn+1(x) =∫

Eδ(x− f(x0)) ρn(x0) dx0, (22)

donde integramos sobre todo el espacio de fases E.La solucion estacionaria de la ec. (22), ρs(x), recibe el nombre de densidad (o medida) de

probabilidad invariante, y sus propiedades permiten clasificar los sistemas dinamicos de unamanera muy general. Comencemos con un caso sencillo, el mapeo lineal a trozos conocido como“tent map”:

yn+1 = T (yn) =

{2 yn, 0 ≤ yn ≤ 1/2,2− 2 yn, 1/2 ≤ yn ≤ 1.

(23)

Su densidad de probabilidad invariante debe satisfacer:

ρs =∫

Eδ(x− f(x0)) ρs(x0) dx0, (24)

=∫ 1/2

0δ(x− 2x0) ρs(x0) dx0 +

∫ 1

1/2δ(x− (2− 2x0)) ρs(x0) dx0, (25)

cuya unica solucion suave, integrable Lebesgue, adecuadamente normalizada, es simplemente:

ρs(x) = 1. (26)

Es decir, en el regimen caotico la probabilidad de encontrar al sistema en un punto del espacio defases es uniforme. (Incidentalmente, tenemos aquı un algoritmo para generar numeros pseudo-aleatorios con distribucion uniforme!)

Ahora bien, el tent map es topologicamente equivalente al mapeo logıstico para r = 4, siendoh = 2/π arcsin

√x la funcion que los relaciona 2. Entonces tenemos

ρf4(x) = ρT [h(x)]∣∣∣∣dh

dx

∣∣∣∣ =1π

1√x(1− x)

, (27)

que se ve en la figura 9. Para valores de r entre r∞ y 4, la densidad invariante tiene un soporteformado por uno o varios segmentos (cuyas longitudes, una vez mas, satisfacen propiedades deescaleo universales) con varios picos. La densidad de puntos representados en el diagrama debifurcaciones (fig. 4) da una idea de la forma de la medida invariante para los distintos valoresde r.

2Ejercicio: Demostrar esto. Demostracion: f4[h−1(x)] = sin2(πx) = h−1[T (x)].

14

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0

2

4

6

8

10

ρf4

xFigura 9: Densidad de probabilidad invariante del mapeo logıstico para r = 4.

Recordemos ahora la definicion de un conjunto invariante: un conjunto tal que coincide consu imagen para todo tiempo. Los sistemas dinamicos tales que todos sus conjuntos invariantesson o bien triviales o bien todo el espacio de fases se llaman ergodicos. En otras palabras, elespacio de fases de un sistema ergodico no puede descomponerse en subconjuntos invariantes deuna manera no trivial. Un teorema (Lasota y Mackey, 1985) asegura que un sistema es ergodicosi y solo si tiene exactamente una densidad invariante que sea suave e integrable Lebesgue ypositiva en casi todo el espacio de fases. El tent map y el mapeo logıstico con r = 4 resultanser ergodicos, entonces. Una propiedad de las densidades invariantes de los sistemas ergodicoses que resultan estar extendidas a todo el espacio de fases, a pesar de la dinamica puramentedeterminista que las genera. Como consecuencia de esto, las fluctuaciones alrededor de valoresmedios resultan ser del orden de los valores medios mismos, a diferencia de lo que sucede ensistemas termodinamicos en los que la distribucion de probabilidad es picuda alrededor de losestados mas probables, excepto en la inmediata vecindad de los puntos crıticos de las transicionesde fase. En cierto sentido, un sistema caotico como el logıstico a r = 4 puede pensarse como unsistema que se encuentra permanentemente en el estado crıtico. De hecho, existe una profundaanalogıa entre la dinamica caotica y las transiciones de fase, que se escapa a esta monografıa.

15

3. El sistema de Lorenz

En 1963 Edward Lorenz estudio un modelo de la atmosfera [5], consistente en una capa defluido convectivo calentada por debajo. Luego de una serie de simplificaciones, las ecuacionesdel modelo son:

x = −σx + σy, (28)y = rx− y − zx, (29)z = −bz + xy, (30)

donde x, y, y z son componentes de Fourier de los campos de velocidad y temperatura, y r, b y σson parametros positivos que caracterizan propiedades fısicas del fluido. Este sistema dinamico,con tres variables y tres parametros, tiene una variedad de soluciones de estructura complicadaque solo esbozaremos aquı para ilustrar el desarrollo del caos por un mecanismo distinto de lacascada de bifurcaciones.

Dejemos de lado el origen fluidodinamico de las ecuaciones, que puede consultarse en labibliografıa, ası como la interpretacion fısica de los parametros. Digamos solamente que vamosa utilizar a r como parametro de control, dejando a los otros fijos en valores caracterısticos.

La localizacion de los equilibrios y el analisis de su estabilidad lineal es bastante facil, ası quenos limitaremos a exponer los resultados y esquematizar un diagrama de bifurcaciones. Se en-cuentran los siguientes equilibrios:

x = y = z = 0, para todo r, (31)

y los puntos que llamaremos C y C ′:

x = y = ±√b(r − 1),

z = r − 1,(32)

que existen para r > 1. A r = 1 hay una bifurcacion pitchfork de la solucion nula a las solucionesC y C ′, ubicadas simetricamente con respecto al eje z.

El analisis de estabilidad lineal muestra que la solucion nula es estable si r < 1 e inestablesi r > 1, con dos autovalores negativos y uno positivo, ası que es un punto de ensilladuratridimensional.

Los puntos C y C ′, a su vez, resultan ser estables para r > 1 hasta que se alcanza ciertovalor rc (si σ > b + 1, si no se mantienen estables siempre) y son inestables para r > rc. Dondeson inestables, C y C ′ tienen dos autovalores complejos conjugados con parte real positiva,mientras que el tercer autovalor es real y negativo, de manera que las trayectorias se acercana los equilibrios en una direccion, pero se alejan en forma espiral a lo largo de una variedadinestable de dimension 2. Mas aun, los autovalores complejos aparecen debajo de rc, de talmanera que en rc ocurre una bifurcacion de Hopf-subcrıtica, en la que los ciclos lımites soninestables mientras que los puntos fijos son estables. Los ciclos lımites aparecen para r > r0 > 1,de manera que son siempre inestables, pero su presencia se hace sentir. Cuando r > rc no existeningun atractor aparente, al menos hasta llegar a valores bastante mas grandes de r. En la fig.10 se muestra un diagrama de bifurcaciones esquematico, proyectado en el eje x del sistema.

Varios resultados accesorios, cada uno aparentemente muy pequeno, van contribuyendo aformar un cuadro de fases para distintos valores de r. Por ejemplo, puede construirse algoparecido a una funcion de Lyapunov: g(x, y, z) = 1

2 [x2 + y2 + (z − r − σ)2], y demostrarse que

d

dtg(x, y, z) < 0 cuando ~x →∞, (33)

de manera que las orbitas en el infinito se mueven hacia el punto (0, 0, r + σ) (o sea a unavecindad del origen)3.

3Ejercicio: demostrar esto.

16

0 5 10 15 20 25 30

r0

rc

r1

x

r

Figura 10: Diagrama de bifurcaciones del sistema de Lorenz en el plano x, r, con b = 8/3 yσ = 10.

Ademas, div~F (~x) < 0, de manera que el volumen de un conjunto de puntos en el espacio defases tiende a cero4.

Tambien puede demostrarse que no existen orbitas cuasiperiodicas, ya que las orbitas cuasi-periodicas se mueven sobre un toro, y un toro no puede contener un volumen que tiende a cerosin tener una fuente en su interior, y no existen fuentes5.

En resumen, cuando r > rc tenemos que:

Ningun punto de equilibrio es estable.

Todas las orbitas se acercan desde el infinito.

El volumen se encoge.

Ningun atractor tiene volumen finito.

Ninguna orbita es cuasiperiodica.

Existe una bifurcacion de Hopf subcrıtica a r = rc.

Entonces, ¿a donde van las orbitas? Los experimentos numericos muestran que van a unatractor extrano, con una dimension fractal 2 < D < 3, con aspecto de producto cartesianoentre un plano y un conjunto de Cantor. Se lo puede visualizar como una orbita que da algunasvueltas alrededor de C, seguidas de algunas vueltas alrededor de C ′, y ası sucesivamente (figura11). Alrededor de cada uno de ellos el atractor es bastante plano. De hecho, D ≈ 2,06.

Los calculos tambien muestran que dos puntos cercanos en el espacio de fases se separanexponencialmente, y sus trayectorias acaban perdiendo toda correlacion una con la otra, demanera que existe la propiedad de sensibilidad a las condiciones iniciales.

De hecho, el atractor caotico existe no solo para r > rc, sino que aparece ya para r1 < r <rc. En este rango, el atractor caotico coexiste con los atractores C y C ′. Si se hace oscilar rcuasiestaticamente en un intervalo que incluya a r1 y a rc, se observa una histeresis. Ademas,se observa que el atractor extrano aparece a r = r1, sin estar asociado a la desestabilizacionde otro atractor. Vemos entonces que existen varias diferencias con el caso del mapeo logıstico.Sin embargo, existe una similitud que vale la pena mencionar. Para argumentar que el atractor

4Ejercicio: demostrar esto.5Ejercicio: demostrar, pero es mas difıcil.

17

Figura 11: Proyeccion de parte de una orbita caotica del sistema de Lorenz.

del sistema no es periodico, a Lorenz se le ocurrio examinar el comportamiento de los maximossucesivos de las trayectorias en la direccion z. Es una manera de reducir la dinamica continua ytridimensional del sistema completo, a la de un mapeo unidimensional, de manera similar a lo quese hace con el mapeo de Poincare. Al graficar estos maximos de manera recurrente, es decir zn+1

vs zn, surge una dependencia funcional muy sencilla: un grafico casi lineal, con un grosor muypequeno. Lorenz fue muy afortunado en este sentido, ya que la imagen podrıa haber sido muydiferente. Sin embargo, la brutal contraccion del volumen que sufre el sistema de Lorenz produceeste comportamiento (ası como la naturaleza casi plana de las trayectorias). En la figura 12 semuestra esta recurrencia, y puede verse que es muy similar a un tent map en el regimen caotico:la pendiente es, en modulo, mayor que 1 en todo el intervalo. En consecuencia, cualquier orbitaperiodica (atractor o no) debe ser inestable. La idea de graficar este mapeo con los maximos dez sugiere otra caracterizacion del sistema: podemos dibujar un diagrama de bifurcaciones de losmaximos de z a medida que r crece. Al hacerlo, puede verse que el regimen caotico desapareceen una cascada inversa de bifurcaciones (bisecciones, en lugar de duplicaciones de perıodo), yque existen ventanas de comportamiento regular, como en la familia de mapeos logısticos6.

Figura 12: Maximos sucesivos de z en el atractor de Lorenz.

A medida que r crece aun mas, aparece toda una secuencia de bifurcaciones y atractores,esquematizada en la figura 13. Para r suficientemente alto el unico atractor es un ciclo lımite.

Para hacerse una idea de las “causas” del caos en el sistema de Lorenz, lo mejor es unaobservacion de la geometrıa de las orbitas en movimiento, para distintos valores de r.

Comencemos por analizar las orbitas en la proximidad de los puntos de equilibrio 0, C y C ′,6Ejercicio: Hacer un diagrama de bifurcaciones de los maximos de z para r entre 1 y 325.

18

Figura 13: Esquema de los distintos atractores del sistema de Lorenz para b = 8/3, σ = 10, y0 ≤ r < ∞. EP es un punto fijo estable, LC un ciclo lımite, y SA un atractor extrano.

cuando 1 < r < rc. En este caso el 0 es inestable, un punto de ensilladura en tres dimensiones,con λ1 > 0 > λ2 > λ3, ası que las orbitas se alejan de 0 en una direccion paralela o antiparalelaal autovector u1 asociado al autovalor λ1, y se acercan al cero por un plano generado por u2

y u3. La variedad inestable es una curva tangente a u1 en el 0, y la variedad estable es unasuperficie tangente al plano mencionado. Ninguna orbita puede cruzar una variedad (exceptoen un punto de equilibrio), de manera que la variedad estable, siendo una superficie, divide alespacio de fases IR3 en dos partes. Cuando r no es muy grande la forma de la variedad estable esbastante sencilla, pero para valores mayores de r empieza a retorcerse y no es facil de visualizar.Cuando r = 1 el subespacio inestable es el eje z y el plano x-y es el subespacio estable.

Cuando r > 1 aparecen los equilibrios C y C ′. Al principio, cuando r es apenas mayor que 1,las trayectorias abandonan la proximidad del origen y acaban en los puntos C o C ′, dependiendode en que octante comenzaron. Sin embargo, cuando r = r0, la variedad inestable del origen seretuerce alrededor de los puntos C y C ′, y regresa por la variedad estable del mismo. Se establecenası dos orbitas homoclinas que conectan al 0 con si mismo. Estas orbitas son periodicas, porsupuesto, pero como el origen es un punto de ensilladura el perıodo es infinito.

En cuanto r crece por encima de r0, surge de cada homoclina una orbita periodica alrededorde C o C ′. Son ciclos lımite, con perıodos finitos, cuya amplitud ira decreciendo a medida quer crezca, terminando por coalescer con C y C ′ cuando r alcance rc (la bifurcacion de Hopfsubcrıtica). Para σ = 10 y b = 8/3 se tiene r0 = 13,93 aproximadamente. Como son inestables,los ciclos lımite repelen a la variedad inestable del 0, de manera que las orbitas que salen cercadel 0 (si bien no sobre la homoclina) desde octante donde se encuentra C, acaban no en C sinoen C ′, hacia donde se acercan en espiral. Pero a medida que crece r, los ciclos lımite se estrechanen torno a los puntos espiral, de manera que una trayectoria que fue rechazada por el ciclo lımitede C y se dirige a C ′, pasa cerca del ciclo lımite de este, que la rechaza y la obliga a volver haciaC, y ası mas y mas veces antes de caer en uno de los puntos espirales, a medida que r se acercaa rc. Esta situacion puede ser difıcil de distinguir del caos, y a veces se la llama precaos o caostransitorio.

Figura 14: Esquema de la variedad inestable del origen en el sistema de Lorenz. (a) Para r = r0,mostrando la orbita homoclina. (b) Para r = r1, la orbita homoclina se rompe, y se forman dosorbitas heteroclinas conectando el origen con los ciclos lımite.

19

Casi todas las orbitas terminan espiralando hacia C o C ′ en este regimen, ya que estos sonlos unicos equilibrios estables. La excepcion son las que estan sobre las variedades estables delos ciclos lımite, y las orbitas homoclinas del cero. Pero cuando r = r1 la orbita homoclina serompe, y se establecen dos orbitas heteroclinas que conectan la variedad inestable del cero conlos ciclos lımites (cuando t → ∞). Este evento marca la aparicion de un nuevo atractor, queresulta caotico y que, mientras r1 < r < rc, coexiste con los puntos espirales, ya que estos siguensiendo estables. Cuando r > rc los puntos C y C ′ se vuelven inestables, y queda solo el caos.

Esta descripcion del esqueleto que soporta a las orbitas caoticas tal vez le sirva para visualizarla trayectoria del sistema en el espacio de fases de tres dimensiones. O escriba su propio programa!

Ejercicio difıcil: Perturbacion de una homoclina y el origen de un ciclo lımite. Considere unsistema plano:

dx

dt= F (a, x), (34)

donde F : IR × IR2 → IR2 se porta bien y tiene un punto silla en (0, 0). Por ejemplo, tome

F (a, 0) = 0 y DF (a, 0) =

[λ1 00 −λ2

]para todo a, con λ1, λ2 > 0. Ademas, suponga que

hay una orbita homoclina en el primer cuadrante, pasando por 0, cuando a = 0. Demuestre queexiste un ciclo lımite estable cuando a es pequeno y positivo. Ciertamente en dos dimensiones nopuede existir caos, pero extendiendo a IR3 este ejercicio, no es difıcil imaginar como una orbitahomoclina puede romperse en una caotica.

20

4. Caracterizacion del movimiento caotico

4.1. Exponente de Lyapunov

El concepto de divergencia exponencial, de sensibilidad a una condicion inicial, no es privativodel caos. Cualquier partıcula cercana a un maximo de un potencial se alejara exponencialmentede este. Un par de partıculas en posiciones cercanas se alejaran exponencialmente entre si.Despues de un tiempo, si el movimiento es acotado, acabaran acercandose exponencialmente aun mınimo, o a una solucion periodica si la hubiera. Tambien en un mapeo, una condicion inicialcercana a un punto fijo inestable se aleja, inicialmente, de manera exponencial. En cada iteracionmultiplica su distancia al punto inestable p en un factor |f ′(p)| > 1. A la larga, si resulta atraıdohacia un punto q, se acercara a este en un factor |f ′(q)| (que resultara ser menor que 1) en cadaiteracion.

Una orbita caotica es una orbita a la que le ocurre esto siempre. Es decir, se comporta como siestuviera cerca de un punto inestable siempre, por los siglos de los siglos. Nunca logra encontrarun sumidero o un ciclo que la atraiga. En cada punto de una tal orbita, hay otros puntos,arbitrariamente cercanos que se alejaran exponencialmente de ella. Es este comportamientosostenido lo que se caracteriza con los exponentes de Lyapunov. El caos esta caracterizado porun exponente de Lyapunov mayor que 0.

Vamos a definir el numero de Lyapunov como la divergencia promedio por paso a lo largode la orbita. Observese que decimos promedio, de manera que permitiremos que, a veces, dosorbitas cercanas se acerquen, aun un un sistema caotico. En promedio, sin embargo, se alejaran.

Para un punto fijo (inestable) p y un punto x cercano, entonces, la distancia despues de la pri-mera iteracion se incrementa aproximadamente en |f ′(p)|, y en el mismo factor para iteracionessucesivas. El numero de Lyapunov es |f ′(p)|.

Para un punto periodico (inestable) de perıodo k debemos mirar la derivada de fk, ya queun punto de perıodo k de f es un punto fijo de fk. Por la regla de la cadena, esta es el productode las derivadas de f en los k puntos de la orbita: |f ′(p1)f ′(p2) . . . f ′(pk)| = A > 1. Es decir,despues de k iteraciones la orbita iniciada cerca de uno de los puntos del ciclo se ha alejado enun factor A. Es decir, en promedio, en cada iteracion se aleja un factor A1/k. Este es el numerode Lyapunov.

Queremos generalizar este concepto para orbitas que no sean ni puntos fijos ni ciclos. Entoncesmultiplicamos la derivada a lo largo de la orbita x0, x1, . . ., pero como esta no es (necesariamente)periodica es necesario definir el numero de Lyapunov como un lımite:

L(x0) = lımn→∞ (|f ′(x0)f ′(x1) . . . f ′(xn)|)1/n, (35)

si el lımite existe, y el exponente de Lyapunov como su logaritmo natural:

Λ(x0) = lımn→∞

1n

ln |f ′(x0)f ′(x1) . . . f ′(xn)|. (36)

Por ejemplo, para el tent map, que es lineal a trozos, podemos calcular el exponente deLyapunov explıcitamente. La derivada de la iteracion n-esima vale (2r)n en casi todos los puntos7

de manera que el exponente de Lyapunov vale

Λ = log 2r (37)

independientemente del punto donde comience la orbita. Para el caso extremo en que r = 1 (elcaso topologicamente equivalente al mapeo logıstico con r = 4) tenemos Λ = log 2 > 0, es decirsensibilidad exponencial a las condiciones iniciales. En general, tenemos que Λ cambia de signoen r = rc = 1/2, indicando la transicion al caos. Existe una clara analogıa con las transiciones

7Ejercicio: calcularla.

21

Figura 15: Diagrama de bifurcaciones y exponentes de Lyapunov del mapeo logıstico.

de fase de la mecanica estadıstica, ya que el exponente pasa de negativo a positivo, sirviendocomo parametro de orden del sistema, comportandose como

Λ ∝ (r − rc). (38)

Para mapeos mas complicados el exponente de Lyapunov debe calcularse numericamente.El grafico de Λ en funcion de r correspondiente al mapeo logıstico se muestra en la figura 15.Puede verse como el exponente pasa de valores negativos en las regiones regulares a positivoen las regiones caoticas, haciendose cero en los puntos de bifurcacion. En la region caotica seven las ventanas de comportamiento regular, en las que λ vuelve a hacerse negativo. Se ventambien puntos en los que el exponente de Lyapunov es menos infinito. Estos puntos se llaman“super estables” ya que son los mas alejados del caos. La estructura del grafico es claramenteautosimilar e infinitamente detallada, tal como el diagrama de bifurcaciones.

Para mapeos en dimensiones mayores, basta observar que el comportamiento general sera even-tualmente de estiramiento en algunas direcciones y de encogimiento en otras. Es decir, un cir-culito de condiciones iniciales se deformara en una elipse despues de n iteraciones. Alguno delos semiejes de la elipse puede ser mayor que el radio del circulito inicial, y el otro menor, porejemplo. En tres dimensiones, una esferita resultara deformada en un elipsoide, etcetera. Enestos casos, resulta necesario definir un numero de Lyapunov (y un exponente de Lyapunov) encada direccion de estiramiento o encogimiento. La definicion de orbita caotica para mapeos endimension mayor que 1 requiere solamente que al menos uno de los exponentes de Lyapunov seamayor que 0.

La generalizacion de las definiciones para sistemas continuos es facil. Simplemente, dado un

22

sistema dinamico x = f(x), utilizamos el mapeo de Poincare definido como φT (x) = x(kT )donde T es un tiempo arbitrario. Los numeros y los exponentes de Lyapunov del flujo se definencomo los del mapeo asociado. La definicion es tan sencilla que oculta las dificultades de calcularlos exponentes de Lyapunov en la practica, pero dejaremos estas para que las afronte cada unode Uds. cuando llegue el momento.

Resulta destacable el hecho de que el exponente de Lyapunov mide la perdida promediode la informacion acerca de la posicion del punto x0 en el espacio de fases en una iteracion.Supongamos que el espacio de fases es el intervalo [0, 1]. Dividamoslo en n intervalitos iguales, ysupongamos que el punto x0 puede estar en cualquiera de ellos con igual probabilidad pi = 1/n.Si sabemos en que intervalo esta x0, ganamos la informacion

I0 = −n∑

i=1

pi log2 pi = −n∑

i=1

1n

log2

1n

= log2 n. (39)

Si reducimos n, la informacion se reduce, haciendose cero para n = 1: si hay un solo intervalo,no se gana informacion identificando en cual esta x0.

Un mapeo lineal f(x) cambia la longitud de los intervalos en [0, 1] por un factor constantea = f ′(x) = f ′(0). En consecuencia, la aplicacion del mapeo produce un cambio en la informacionsobre la ubicacion de la imagen del punto x0:

∆I = −n/a∑

i=1

a

nlog2

a

n+

n∑

i=1

1n

log2

1n

= − log2 a = − log2 |f ′(0)|. (40)

Generalizando esta expresion a un mapeo no lineal, en el que la derivada varıa punto a punto,y promediando en muchas iteraciones, podemos escribir:

〈∆I〉 = − lımn→∞

1n

n−1∑

i=0

log2 |f ′(xi)|. (41)

Ahora, apliquemos la regla de la cadena:

d

dxf2(x)

∣∣∣∣x0

=d

dxf [f(x)]

∣∣∣∣x0

= f ′[f(x0)]f ′(x0) = f ′(x1)f ′(x0), donde x1 ≡ f(x0), (42)

con lo cual escribimos la expresion (36) como:

Λ(x0) = lımn→∞

1n

log∣∣∣∣

d

dx0fn(x0)

∣∣∣∣ (43)

= lımn→∞

1n

log

∣∣∣∣∣n−1∏

i=0

f ′(xi)

∣∣∣∣∣ (44)

= lımn→∞

1n

n−1∑

i=0

log |f ′(xi)|. (45)

De esta manera, podemos escribir el exponente de Lyapunov como

λ(x0) = log 2 〈∆I〉. (46)

4.2. Medida invariante

En general hemos descripto los atractores, sean estos puntos fijos, ciclos lımite, o atracto-res caoticos, como conjuntos de puntos. En el caso de los atractores caoticos, necesariamente,debemos olvidarnos de seguirle el rastro a los puntos individuales, cosa que se puede hacer enlos otros casos. La solucion a esta dificultad la provee el concepto de medida, que se encarga de

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rastrear regiones del espacio de fases en lugar de puntos. La medida nos dice cuanto del atractorse encuentra en cada region del espacio de fases.

Por ejemplo, supongamos que dividimos el espacio de fases plano en el que yace un atractorextrano en cuatro regiones. Tomamos un punto (en cualquier region) como condicion inicial yseguimos su trayectoria. En cada iteracion, vamos contando si la orbita pasa por cada region o no.Despues de un tiempo largo (estrictamente, despues de un tiempo infinito) dividimos las vecesque la orbita paso por cada caja por el numero total de iteraciones, y tenemos cuatro numerosque nos dicen que fraccion del tiempo la orbita estuvo en cada caja. Estos numeros puedeconsiderarse como la probabilidad de que un punto del atractor este en cada caja. Claramente,estos numeros son positivos o nulos, y si reunimos varias cajas en una sola caja mas grande, susprobabilidades se suman. Estas propiedades definen a una medida. Existen sutilezas matematicasdifıciles de imaginar, que escapan al presente contenido. Pero algunas propiedades interesantesson faciles. La medida del espacio de fases es 1. Algunas medidas son invariantes: la medida delas preimagenes de un conjunto de puntos puede ser igual a la medida del conjunto de puntos.Si en lugar del atractor extrano ponemos en el espacio la trayectoria de un proceso aleatoriouniforme, la medida que se genera se llama medida de Lebesgue. Si casi cualquier condicioninicial produce la misma medida, esa medida se llama medida natural.

4.3. Atractores caoticos

El ultimo concepto del que vamos a ocuparnos, y que ya conocemos de manera informal,es el de atractor caotico. Sabemos que hay orbitas caoticas, que podemos caracterizarlas conexponentes de Lyapunov positivo, etcetera. Pero, ¿puede el movimiento caotico ser atrayente?Es decir, a pesar de ser tan inestable desde un punto de vista local (divergencia exponencial delas orbitas), ¿puede ser estable globalmente, y atraer una parte substancial de las condicionesiniciales?

La respuesta, claro esta, es positiva. Los atractores caoticos existen. Sus propiedades masimportantes son:

1. Un atractor caotico contiene una orbita caotica.

2. Un atractor caotico atrae un conjunto de condiciones iniciales de medida no nula (si bienesta cuenca puede ser muy intrincada).

Ademas, un atractor caotico debe ser un ω-lımite. Esto permite descartar todo comporta-miento transitorio al partir de condiciones iniciales que no esten sobre el atractor. En suma,tenemos las:

Definiciones. Sea {fn(x0)} una orbita caotica. Si x0 ∈ ω(x0), entonces ω(x0) se llama unconjunto caotico. En otras palabras, un conjunto caotico es el ω-lımite de una orbita caoticaque esta contenida en su propio ω-lımite. Un atractor es un ω-lımite que atrae un conjunto decondiciones iniciales cuya medida en el espacio de fases es no nula, y que constituye la cuencadel atractor. (Esta definicion no es privativa del caos, desde luego.) Finalmente, un atractorcaotico es un conjunto caotico que es tambien un atractor.

Vale la pena mencionar, para que no parezca que hay redundancia en las definiciones, queno todo conjunto caotico es atractor caotico8.

Este es un buen lugar para una aclaracion que todos Uds. deben estar esperando, en algunlugar recondito de su cerebro: es extremadamente difıcil probar rigurosamente que una determi-nada orbita es caotica, aun para sistemas sencillos. Aun cuando el mejor calculo computacionalnos de un exponente de Lyapunov positivo, se trata siempre de una aproximacion. Nada garan-tiza que un calculo mas largo nos siga dando positivo. Y si el perıodo de una eventual orbitaperiodica es mayor que el numero de atomos en el universo, que si bien es un numero grandeesta muy lejos de ser infinito, entonces ningun calculo computacional podra detectarlo.

8Ejercicio: Demostrar que el mapeo logıstico para r > 4 tiene un conjunto caotico, que no es atractor.

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Ejercicios: Dibujar el atractor caotico y su cuenca de atraccion para los siguientes mapeosfamosos:

1. El mapeo de Henon: f(x, y) = (a− x2 + by, x), con a = 1,4 y b = 0,3.

2. El mapeo de Ikeda: f(x, y) = (r + c2(x cos τ − y sin τ), c2(x sin τ + y cos τ)), donde τ =c1 − c3/(1 + x2 + y2), con r = 0,9, c1 = 0,4, c2 = 0,9 y c3 = 6. (Este mapeo es un modelodel tipo de componente que usaran las computadoras opticas, cuando existan.)

3. El mapeo de Poincare de tiempo 2π de un pendulo forzado y amortiguado: x = −cx −sinx + ρ sin t, con c = 0,05, ρ = 2,5. Este sistema tiene tambien puntos fijos y orbitasperiodicas (inestables, eso sı). Puede ser instructivo dibujarlos, y tambien las variedadesestable e inestable de alguno de ellos, y comparar con el atractor caotico.

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Cuadro 2: Resumen de las tres principales rutas al caos.Feigenbaum Pommeau-Manneville Ruelle-Takens-NewhouseBifurcacion pitchfork Bifurcacion tangente Bifurcacion de Hopf

Diagramas de bifurcacion

Principales fenomenosCascada infinita de Transicion intermitente Despues de tresbifurcaciones de perıodo al caos. La fase laminar bifurcaciones, un atractorcon propiedades de escaleo tiene una duracion extrano es “probable.”universales. (r − rc)−1/2.ExperimentosExperimento de Benard Experimento de Benard Experimento de BenardExperimento de Taylor Junturas Josephson Experimento de TaylorOscilaciones no lineales forzadas Reacciones quımicas Conductores no linealesReacciones quımicas LasersInestabilidades opticas

5. Rutas al caos

La cascada de bifurcaciones de Feigenbaum no es la unica “ruta al caos.” Hemos visto que,en el sistema de Lorenz, el caos surge de una manera distinta. Sin embargo, se han identificadounas pocas “rutas al caos” tanto numericamente como en experimentos reales, que definen tantas“clases de universalidad,” que comprenden sistemas a veces muy distintos, pero que compartencaracterısticas generales en la manera en que surge el caos al variar los parametros. Nada indicaque la totalidad de las rutas al caos se agote en las conocidas, por supuesto. En la tabla se listanlas tres mas relevantes.

La cascada de bifurcaciones de la ruta de Feigenbaum no esta limitada al mapeo logısticoy sus parientes. Un gran numero de sistemas continuos presenta el mismo tipo de leyes de escaleouniversales en un esquema de cascada de bifurcaciones de perıodo. El sistema de Rossler es elejemplo mas sencillo, y es probablemente el sistema continuo mas sencillo que presenta caos:

x = −y − z, (47)y = x + ay, (48)z = b + (x− c)z. (49)

Este sistema tiene una sola no-linealidad, y le faltan las simetrıas que tiene el sistema de Lorenz.Para a = b = 0,1, y usando c como parametro de control con valores entre 4 y 18, puede versecomo una orbita simple sufre una cascada de bifurcaciones de perıodo que se acumulan en unatransicion al caos, dentro del cual aparecen perıodos impares que se bifurcan a su vez, llegandofinalmente al analogo del caos “denso” de r = 4. El esquema es identico al del mapeo logıstico.Vale la pena hacerlo en la computadora.

La ruta de la intermitencia fue estudiada originalmente por los pioneros Pommeau yManneville en 1979, quienes la descubrieron en el sistema de Lorenz. Una orbita intermitente,

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esencialmente, consiste en una orbita que parece regular durante un tiempo mas o menos largo,y que subitamente es interrumpida por un lapso de comportamiento caotico. La interpretacionde este fenomeno se basa en la observacion de que ocurre una bifurcacion tangente. De estas haytres tipos, pero basta ejemplificar uno de ellos. En la intermitencia de tipo I, un autovalor realcruza el cırculo unidad en 1 y pierde su estabilidad. Por ejemplo, el sistema

xn+1 = f(xn) = ε + xn + x2n. (50)

En un diagrama cobweb, podemos ver facilmente que f , que es una parabola, cruza la identidaddos veces si ε < 0. Cuando ε se hace 0, la parabola se hace tangente a la identidad (coales-cencia de los dos puntos fijos), y para valores ε > 0 no hay interseccion: ya no hay equilibrios.Aquı no hubo cascada ni nada parecido, todos los equilibrios desaparecen de golpe en una solabifurcacion. Sin embargo, para valores pequenos y positivos de ε, la parabola esta cerca de laidentidad. El diagrama cobweb nos muestra como una trayectoria que intente pasar por dondeestuvo el punto fijo pasara mucho tiempo rebotando entre la parabola y la identidad. O sea, latrayectoria pasara mucho tiempo cerca del punto fijo, aunque este ya no exista. Una vez del otrolado, el movimiento se vuelve caotico hasta que se produce una reinyeccion a la vecindad delfantasma del equilibrio y la historia se repite. Este mecanismo da lugar al los largos perıodoslaminares observados por Pommeau y Manneville. La duracion de las regiones laminares resultacomportarse, en promedio, como 〈T 〉 ∼ ε−1/2.

Otro sistema que muestra este comportamiento es el mapeo logıstico, cuando el caos desa-parece en un perıodo-3 mediante una bifurcacion tangente que ocurre en tres lugares a la vez.Despues, para valores mayores de r, el perıodo-3 vuelve a dar lugar a caos mediante una cascadade bifurcaciones pitchfork.

La ruta de Ruelle-Takens-Newhouse, esencialmente, consiste en un movimiento cuasi-periodico que resulta desestabilizado por una perturbacion periodica no lineal. Provee una rutaa la turbulencia mucho mas sencilla que la propuesta por Landau, y sustentada ademas experi-mentalmente. A medida que aumenta el parametro de control, aparece primero una frecuenciafundamental, y luego una segunda, y luego el espectro se vuelve continuo (experimentos deBenard y de Taylor). En el modelo de Landau, se requiere la aparicion de infinitas frecuenciasfundamentales, una especie de cascada de bifurcaciones de Hopf (cada bifurcacion de Hopf in-troduce una nueva frecuencia en el sistema), antes de obtener el comportamiento caotico (laturbulencia en el tiempo). El espectro de potencia permanece siempre discreto, aproximandosea un continuo solo en el lımite de infinitas bifurcaciones.

Esta claro que el Caos debe ocurrir por lo menos despues de dos bifurcaciones de Hopf, yaque dos bifurcaciones de Hopf producen movimiento sobre un toro bidimensional, y en 2D elcaos esta prohibido por el teorema de Poincare-Bendixson. El trabajo de RTN muestra que,despues de dos Hopf, el caos es “casi” inevitable. Dicho de otro modo: en un sistema con tresfrecuencias no conmensurables, el movimiento cuasiperiodico es inestable.

Es ademas el caso del caos en el mapeo de Anosov que vimos en un ejercicio. El comporta-miento es caotico cuando los autovectores contienen la razon dorada (

√5− 1)/2, cuasiperiodico

cuando son simplemente irracionales.

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Referencias

[1] K. T. Alligood, T. D. Sauer y J. A. Yorke, Chaos, An introduction to dynamical systems(Springer, New York, 1997).

[2] P. G. Drazin, Nonlinear Systems (Cambridge University Press, New York, 1992).

[3] M. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat.Phys. 19, 25-52 (1978).

[4] J. Gleick, Chaos, Making a new science (Abacus, London, 1987). Este libro es una intro-duccion a nivel divulgativo, escrita en pleno auge del estudio del caos determinista. Esespecialmente interesante para enterarse sobre la historia de la disciplina en sus primerosanos.

[5] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci. 20, 130-141 (1963).

[6] R. May, Nature (1976).

[7] G. Nicolis, Introduction to Nonlinear Science (Cambridge University Press, New York,1995).

[8] H. G. Schuster, Deterministic Chaos (1984).

[9] H. G. Solari, M. A. Natiello y G. B. Mindlin, Nonlinear Dynamics, A two way trip fromPhysics to Math (Institute of Physics, London, 1996).

[10] R. V. Sole y S. C. Manrubia, Orden y caos en sistemas complejos (Edicions de la UniversitatPolitecnica de Catalunya, Barcelona, 1996).

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