Dinámica lineal de sistemas de parámetros distribuidos

Francisco López AlmansaCentro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE)

Universidad Politécnica de CataluñaCampus Norte UPC, 08034 Barcelonae-mail: francesc.lopez@ea.upc.es

En este trabajo se analiza el comportamiento dinámico de estructuras cuyas propiedades (en especial, la masa) no seencuentran concentradas en torno a ciertos puntos sino que más bien están distribuidas a lo largo de toda su extensión;como ejemplos paradigmáticos pueden citarse una viga o una losa de forjado (oscilaciones verticales) o una chimenea degran altura (oscilaciones horizontales). Debido a la dispersión de la masa no resulta fácil describir el comportamientodinámico de este tipo de estructuras mediante modelos discretos y puede ser más sencillo (especialmente en estructurasde geometría simple como barras rectas de sección constante, placas rectangulares o circulares de espesor constante,etc.) formular directamente las ecuaciones del movimiento de la estructura sin discretizar. En dicho caso se tienensistemas continuos (es decir, con infinitos grados de libertad) y el movimiento se rige por ecuaciones diferenciales enderivadas parciales. Se considera comportamiento elástico y lineal del material.Existen dos apartados. En el primero se formula la ecuación que rige la flexión dinámica (oscilaciones transversales)

de piezas lineales de directriz rectilínea y se describe el análisis modal (correspondiente a dicho caso) al mismo tiempoque se resuelve la ecuación del movimiento. En el segundo apartado se considera la flexión dinámica de placas planasanalizando los casos particulares de placas rectangulares y circulares.Es importante destacar que el notable desarrollo experimentado últimamente por los métodos numéricos de análisis

(en especial, los elementos finitos) ha generado una tendencia a estudiar las oscilaciones de sistemas de parámetrosdistribuidos mediante modelos discretos (de elementos finitos) en detrimento de los modelos continuos (consideradosen este trabajo). El principal interés de su estudio radica en la posibilidad de obtener soluciones analíticas simples(en casos de geometría sencilla) que proporcionan estimaciones suficientemente precisas de frecuencias naturales (y deotros parámetros dinámicos) de estructuras reales cuyas configuraciones puedan asimilarse a las de modelos geométricosde baja complejidad. Por otra parte, una importante ventaja de las expresiones analíticas es que permiten valorarfácilmente la influencia de los parámetros que influyen en la respuesta.

1. Sistemas continuos unidimensionales

En este apartado se analizan las oscilaciones planas transversales (de flexión, pues) de piezas lineales (barras) dedirectriz rectilínea. Existen tres subapartados, en el primero se formula la ecuación del movimiento, en el segundose realiza el análisis modal y se describen características de la solución y en el tercero se analiza el efecto de cargasmóviles.

1.1. Ecuación del movimiento transversal de barras rectas

En este subapartado se formula la ecuación diferencial que rige el comportamiento dinámico transversal de una piezalineal de directriz recta sometida a la acción de una carga dinámica perpendicular a su directriz. Al igual que enel resto de este trabajo se considera que el material se comporta de forma elástica y lineal y se supone que lasdeformaciones transversales de flexión están producidas únicamente por el momento flector (es decir, se desprecianlas deformaciones generadas por el cortante) y están continuamente contenidas en el plano en que actúan las cargasexteriores de excitación (es decir, análisis en dos dimensiones —2D—).En la figura 1.1.b se muestra un tramo de una barra rectilínea sometida a una carga dinámica exterior f(x, t)

siendo x la coordenada que describe la directriz y t el tiempo. Las constantes elásticas de la pieza son el módulo deelasticidad longitudinal E y el momento de inercia I; si la sección de la barra no es constante, I es función de x. Unparámetro importante en el análisis dinámico es la masa por unidad de longitud m la cual también depende de x parabarras de sección variable.

dxxMM∂∂+

Q y

x

dx

dxxQQ

∂∂+

f(x,t)

M

(b)

(a)

f(x,t)

Figura 1.1: Análisis dinámico transversal de una rebanada

En la figura 1.1.a se muestran los esfuerzos (fuerzas internas) a que se encuentra sometida una rebanada delongitud infinitesimal dx representando mediante Q al esfuerzo cortante transversal y medianteM al momento flector.Aplicando el principio de d’Alembert a las componentes verticales y de rotación (despreciando la inercia a rotación dela rebanada) y simplificando convenientemente se obtiene

−∂Q∂x

= f(x, t)−my∂M

∂x= Q (1.1)

Sustituyendo el segundo resultado en el primero y teniendo en cuenta la relación entre el momento flector y lacurvatura (la cual es aproximadamente proporcional a la derivada segunda de la flecha y) dada por ∂2y

∂x2 =ME I se

obtiene la ecuación diferencial que rige las oscilaciones de flexión de la pieza representada en la figura 1.1:

∂2

∂x2

µE I

∂2y

∂x2

¶+my = f(x, t) (1.2)

Si la barra tiene sección constante, esta relación se transforma en

E I yIV +my = f(x, t) (1.3)

la cual constituye una ecuación diferencial en derivadas parciales, de cuarto orden, lineal y de coeficientes constantes.La solución y (x, t) debe satisfacer además las condiciones de contorno correspondientes a las vinculaciones en losapoyos. En un empotramiento debe verificarse y = 0 e y0 = 0, en un apoyo simple (articulación) y = 0 e y00 = 0 yen un extremo libre (sin cargas aplicadas) es y00 = 0 e y000 = 0; si en el extremo actúan un momento M y una fuerzatransversal P las condiciones anteriores se convierten en E I y00 =M e E I y000 = P .En la deducción de las ecuaciones del movimiento anteriores está implícita la hipótesis de la existencia de un

sistema de referencia inercial al cual se supone unida la barra descrita en la figura 1.1; no obstante, en el caso deestructuras sometidas a acciones sísmicas no se cumple esta circunstancia. A continuación se muestra que, en dichocaso, puede deducirse una ecuación similar. Se considera el ejemplo representado en la figura 1.2 de una estructuravertical continua (que puede corresponder a un edificio de gran altura, a una torre de comunicaciones, a una antena, auna chimenea, etc.) sometida a un movimiento sísmico horizontal del terreno de cimentación (en ausencia de cualquierotro tipo de fuerzas de excitación). Se considera que el movimiento es plano.Se representa mediante yg al desplazamiento horizontal del terreno y mediante y al desplazamiento relativo de la

estructura respecto de su base (del terreno, pues) teniéndose, en consecuencia:

ya = yg + y (1.4)

en donde ya es el desplazamiento absoluto de cada punto de la estructura.

2

ÿg

yg

x

y

y

ya

Figura 1.2: Estructura continua vertical sometida a un sismo horizontal

Reformulando convenientemente las ecuaciones 1.1 se obtiene la ecuación diferencial del movimiento

∂2

∂x2

µE I

∂2y

∂x2

¶+my = −myg (1.5)

Si la barra tiene sección constante, la relación anterior se transforma en

E I yIV +my = −myg (1.6)

En las ecuaciones del movimiento anteriores (tanto para excitación f(x, t) como para −myg) no se ha incluidoningún tipo de amortiguamiento. Considerando amortiguamiento viscoso (es decir, fuerza proporcional a la velocidad),este efecto puede ser tenido en cuenta de dos maneras: a través de los desplazamientos transversales y y a través delas deformaciones longitudinales ε en la dirección de la directriz de la pieza. Denominando c1 al coeficiente deamortiguamiento transversal la fuerza de amortiguamiento fa perpendicular a la directriz se expresa mediante

fa = c1 y (1.7)

Denominando c2 al coeficiente de amortiguamiento longitudinal, en cada punto de la sección se tiene una tensiónnormal de amortiguamiento σa dada por

σa = c2 ε (1.8)

Integrando esta expresión a lo largo de la sección se obtiene el momento flector de amortiguamiento Ma a partirde la expresión Ma =

RSσa z dA

en donde z es la ordenada transversal en el plano de la flexión medida respecto de la fibra neutra. Teniendo en cuentaque ∂2y

∂x2 =ME I y que la distribución lineal de tensiones normales a lo largo del canto de la sección es lineal (σ =

M yI ) se

obtiene inmediatamente (Clough & Penzien, 1992) el siguiente resultado para el momento flector de amortiguamientoMa

Ma = c2 I∂3y

∂x2∂t(1.9)

Incluyendo los dos efectos de amortiguamiento anteriores en la ecuación diferencial del movimiento, resulta

∂2

∂x2

µE I

∂2y

∂x2+ c2 I

∂3y

∂x2∂t

¶+ c1 y +my = f(x, t); −myg (1.10)

que constituye la ecuación que rige las deformaciones dinámicas de flexión de una barra recta amortiguada y cargadatranversalmente. En barras de sección constante esta relación se convierte en

E I yIV + c2 I yIV + c1 y +my = f(x, t); −myg (1.11)

3

1.2. Análisis modal

De forma paralela al análisis desarrollado para sistemas discretos (de varios grados de libertad) se presenta en estesubapartado un estudio de los modos propios de vibración de barras de directriz rectilínea sometidas a distintascondiciones de sustentación como las mostradas en la figura 1.3.

(a) (c)

(e)(d)

(b)

(f)

Figura 1.3: Modos propios de vibración de barras rectas

En la figura 1.3 se muestran los primeros modos naturales de oscilación (no triviales) de las piezas rectas con lascondiciones de apoyo más habituales. Es destacable que en los casos e y f la sustentación es insuficiente y dichas barrasposeen uno y dos grados negativos de hiperestatismo (grados de movilidad), respectivamente.La resolución de la ecuación del movimiento se describe en este subapartado al mismo tiempo que se desarrolla el

análisis modal.

1.2.1. Determinación de parámetros modales

Se considera en primer lugar una barra sin amortiguamiento ni fuerzas externas de excitación cuyo movimiento apartir de unas condiciones iniciales prescritas es regido por

∂2

∂x2

µE I

∂2y

∂x2

¶+my = 0 (1.12)

Se trata de analizar la existencia de soluciones de esta ecuación en que todos los puntos de la barra oscilanarmónicamente con la misma frecuencia. Ello equivale a la existencia de soluciones de la forma

y(x, t) = φ(x) η(t) (1.13)

en que la pieza oscila de acuerdo con la función armónica η(t) siguiendo una determinada configuración φ(x). Cadaexpresión de esta forma constituye un modo propio de vibración de la barra. Desde el punto de vista matemático, ladescomposición expresada en la relación anterior corresponde a separar las variables x (en φ(x)) y t (en η(t)); es unprocedimiento habitual de resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.La sustitución de la solución y(x, t) = φ(x) η(t) en la ecuación del movimiento proporciona el resultado¡

E I φ00¢00

η +mφ η = 0 (1.14)

Separando las variables x y t se obtiene ¡E I φ00

¢00mφ

= − η

η= ω2 (1.15)

en donde ω es un valor real constante (ya que el primer miembro depende exclusivamente de x y el segundo de t).A partir de la igualdad anterior se obtienen las dos ecuaciones independientes siguientes (las cuales corresponden,

respectivamente, a las variables x y t):¡E I φ00

¢00 −mω2 φ = 0 η + ω2 η = 0 (1.16)

4

La segunda relación muestra que ω es la frecuencia natural de vibración del modo propio (expresada en radianespor segundo).En barras de sección constante la primera ecuación se convierte en E I φIV −mω2 φ = 0 y su solución general es

φ(x) = A1 sin a x+A2 cos a x+A3 sinh ax+A4 cosh ax (1.17)

en donde ω2 = a4 E Im y Ai (i = 1, ..., 4) son constantes cuyos valores pueden obtenerse a partir de las condiciones de

contorno. Por ejemplo, en barras articuladas en sus extremos (figura 1.3.a) éstas son:

φ(0) = 0 φ00(0) = 0 φ(L) = 0 φ00(L) = 0 (1.18)

en donde L es la longitud de la barra. Las dos primeras ecuaciones proporcionan la solución A2 = A4 = 0 mientrasque las dos últimas sólo admiten soluciones no triviales (valores no nulos de A1) si aL = i π en donde i debe ser unnúmero entero. Esto significa que existen infinitos modos propios cuyas frecuencias naturales ωi vienen dadas por

ωi = (i π)2

rE I

mL4(1.19)

A cada frecuencia ωi le corresponde la configuración φi(x) = A1 sini π xL . En sistemas discretos de varios grados

de libertad existen tantos modos propios de oscilación como grados de libertad, de forma análoga estos resultadosmuestran que en sistemas de parámetros distribuidos existen infinitos modos propios; no obstante, es obvio que lainfluencia de los modos superiores en la respuesta es escasa. La figura 1.4 muestra las configuraciones de los cuatroprimeros modos (para i = 1, 2, 3, 4).

Figura 1.4: Cuatro primeros modos de vibración de una barra articulada en sus extremos

El primer modo coincide con el representado en la figura 1.3.a.Para otras condiciones de sustentación las frecuencias naturales de oscilación responden a expresiones similares a

1.19:

ωi = (ki π)2

rE I

mL4(1.20)

en donde ki son coeficientes adimensionales. El análisis de esta expresión muestra que, al igual que sucede en lossistemas discretos, un aumento de masa (m) genera oscilaciones más lentas mientras que un incremento de rigidez(mayor E I o menor L) produce vibraciones más rápidas.En la tabla siguiente se muestra una lista de las primeras frecuencias naturales de las barras (de sección constante)

representadas en la figura 1.3.

5

Tabla 1. Frecuencias naturales de las barras representadas en la figura 1.3

Coeficiente ki (ωi = (ki π)2q

E ImL4 )

i art.—art. (a) emp.—emp. (b) voladizo (c) emp.—art. (d) art.—libre (e) libre—libre (f)1 1 1, 50 0, 60 1, 25 1, 25 1, 5052 2 2, 50 1, 49 2, 25 2, 25 2, 5003 3 3, 50 2, 50 3, 25 3, 25 3, 4964 4 4, 50 3, 50 4, 25 4, 25 4, 505 5 5, 50 4, 50 5, 25 5, 25 5, 50

En las dos últimas columnas de la tabla anterior se listan los valores de ki para las barras libres representadasen las figuras 1.3.e y 1.3.f, respectivamente; dado que la sustentación de éstas es, a todas luces, insuficiente existenademás tantos valores nulos de ωi como grados de movilidad admiten (una y dos, respectivamente). Estas frecuenciasnulas corresponden a movimientos de sólido rígido (ausencia de flexión) de traslación y rotación.La tabla anterior muestra nuevamente que las barras más rígidas tienden a oscilar con mayor frecuencia.Los valores expresados en la tabla anterior proporcionan las frecuencias naturales de vibración de las barras (de

sección constante) de la figura 1.3. Conviene destacar que en la masa m debe incluirse no sólo la propia de la barrasino la de todos los elementos que oscilan solidariamente con ésta; por ejemplo en una pasarela peatonal en m secomprende también a los peatones que generan las vibraciones. Si la masa no se encuentra uniformemente distribuidaa lo largo de la barra sino más bien concentrada en torno a algunos puntos, los valores deducidos en este subapartadono son, en rigor, aplicables. No obstante, si se considera repartida la masa a lo largo de toda la pieza el error cometidoes, en general, aceptable. Si la mayor parte de la masa oscilante se encuentra concentrada en torno a algunos puntosresulta más conveniente representar la estructura por modelos discretos de masas concentradas. En la referencia dePilkey se encuentra una tabla con frecuencias naturales de barras que incorporan masas concentradas.También es importante notar que las vigas de hormigón armado normalmente se encuentran fisuradas por lo que el

momento de inercia que debe ser utilizado en las expresiones anteriores es el correspondiente a la sección fisurada o, sise desea mayor exactitud, el momento de inercia equivalente determinado interpolando entre los correspondientes a lasección bruta (íntegra) y a la completamente fisurada. A este respecto, se puede emplear el criterio de interpolaciónde Branson propugnado por la vigente Instrucción EHE (artículo 50). En piezas pretensadas no suele existir fisuraciónpor lo que se debe emplear el momento de inercia de la sección íntegra.

1.2.2. Superposición modal

Dado que, en principio, pueden existir infinitos modos propios de vibración la solución se expresa como suma de lassoluciones particulares para cada frecuencia ωi:

y(x, t) =∞Xi=1

yi(x, t) =∞Xi=1

φi(x) ηi(t) (1.21)

Estableciendo un paralelismo con el análisis modal de los sistemas discretos, φi(x) son las configuraciones de losmodos propios (vectores modales) y ηi(t) son las coordenadas modales. Esta igualdad constituye la traducción, parasistemas continuos, de la expresión x(t) = Φη (t) = φ1 η1 (t) + · · ·+ φN ηN (t) correspondiente a sistemas discretos.A continuación se obtienen las condiciones de ortogonalidad entre modos como paso previo a la formulación de la

ecuación de movimiento de cada modo. De esta forma se resuelve la ecuación del movimiento libre no amortiguado.De forma similar al caso correspondiente a sistemas discretos, los modos propios son ortogonales respecto de la

masa y de la rigidez puesto que, por aplicación del teorema de reciprocidad, se tiene que

Z L

0

yi(x, t)m (x) yj(x, t) dx =

Z L

0

yj(x, t)m (x) yi(x, t) dx (1.22)Z L

0

φi(x) ηi(t)m (x) ω2j φj(x) ηj(t) dx =

Z L

0

φj(x) ηj(t)m (x) ω2i φi(x) ηi(t) dx (1.23)

ηi(t) ηj(t)¡ω2j − ω2i

¢ Z L

0

φi(x)m (x) ω2j φj(x) dx = 0 (1.24)

Ya que ηi(t) y ηj(t) no son nulas para cualquier valor de t, si ω2j 6= ω2i la integral debe ser igual a cero:Z L

0

φi(x)m (x) φj(x) dx = 0 i 6= j (1.25)

6

Esta igualdad equivale a la condición de ortogonalidad respecto de la matriz de masa (φTi Mφj = 0) para sistemas

discretos. En barras de sección constante se convierte enR L0φi(x)φj(x) dx = 0.

Integrando dos veces por partes se obtiene:

hφi(x)

¡E I (x) φ00j (x)

¢0iL0− £φ0i(x) ¡E I (x) φ00j (x)

¢¤L0+

Z L

0

φ00i (x)E I (x) φ00j (x) dx = 0 i 6= j (1.26)

El primer sumando es proporcional al cortante y el segundo al momento y a menos que los extremos estén libresy tengan alguna masa concentrada ambos son nulos; en dicho caso se tiene la segunda condición de ortogonalidad:Z L

0

φ00i (x)E I (x) φ00j (x) dx = 0 i 6= j (1.27)

Esta igualdad equivale a φTi Kφj = 0 para sistemas discretos. En barras de sección constante se convierte enR L

0φ00i (x)φ

00j (x) dx = 0.

Multiplicando y(x, t) =P∞

i=1 φi(x) ηi(t) por φi(x), integrando entre 0 y L y teniendo en cuenta la ortogonalidadde los modos propios respecto de la masa dada en la ecuación

R L0φi(x)m (x) φj(x) dx = 0 se obtiene la coordenada

modal i-ésima ηi(t):

ηi(t) =

R L0φi(x)m (x) y(x, t) dxR L

0φi(x)m (x) φi(x) dx

(1.28)

Esta igualdad puede ser considerada como la inversión de y(x, t) =P∞

i=1 φi(x) ηi(t) y como la generalización para

sistemas continuos de la expresión ηi (t) =φTi Mx(t)

φTi Mφi(para sistemas discretos). En barras de sección constante la masa

m desaparece de ambas integrales y puede ser simplificada (ηi(t) =L0φi(x) y(x,t) dx

L0φi(x) φi(x) dx

).

A partir de este resultado es posible formular la ecuación del movimiento en coordenadas modales. Se considera,

en primer lugar, el caso sin amortiguamiento regido por ∂2

∂x2

³E I ∂2y

∂x2

´+my = f(x, t). Multiplicando por φi(x), inte-

grando entre 0 y L y aplicando las relaciones de ortogonalidad entre modos la ecuación del movimiento se descomponeen infinitas ecuaciones independientes (desacopladas) en las que no aparece la variable x:

ηi + ω2i Mi ηi =Fi(t)

Mi(1.29)

en donde

Mi = m

Z L

0

φ2i (x)m (x) dx Fi(t) =

Z L

0

Φi(x) f(x, t) dx (1.30)

Mi y Fi(t) pueden ser consideradas como la “masa” del modo propio i y como la componente sobre dicho modode las cargas exteriores f(x, t).Esta expresión tiene el mismo aspecto que la ecuación diferencial del movimiento de un sistema discreto con un

solo grado de libertad. Ello completa el proceso de resolución en el caso en que actúa una fuerza exterior de excitaciónen ausencia de acción de amortiguamiento.En presencia de amortiguamiento el movimiento es regido por la ecuación ∂2

∂x2

³E I ∂

2y∂x2 + c2 I

∂3y∂x2∂t

´+ c1 y+my =

f(x, t). Multiplicando por φi(x), integrando entre 0 y L y aplicando las relaciones de ortogonalidad entre modosen la referencia Clough & Penzien (1992) se muestra que la ecuación del movimiento se descompone en las infinitasecuaciones independientes siguientes:

ηi + 2 νi ωi ηi + ω2i ηi =Fi(t)

Mi(1.31)

en donde Mi y Fi(t) son iguales que en el caso sin amortiguamiento y νi =c1

2mωi+ c2 ωi

2E tiene el significado de unafracción de amortiguamiento del modo propio i.Esta ecuación puede ser resuelta mediante las técnicas para sistemas discretos de un grado de libertad, en particular,

por aplicación de las integrales de Duhamel. Ello completa el proceso de resolución en el caso en que actúa una fuerzaexterior de excitación en presencia de acción de amortiguamiento. Es importante destacar que, en barras de secciónvariable, no siempre se puede desacoplar la ecuación del movimiento en coordenadas modales cuando se consideraamortiguamiento.

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1.3. Cargas móviles

Se analiza el efecto dinámico generado por un vehículo que cruza un puente a velocidad constante. Como ejemplosimple pero suficientemente representativo se considera una barra articulada en sus extremos como la representada enla figura 1.5.

v t

v

Figura 1.5: Vehículo cruzando un puente

La figura 1.5 muestra un vehículo de masa M y peso W (W =M g) atravesando un puente de un vano a velocidadconstante v, el origen del tiempo se toma en el instante en que el vehículo inicia el cruce del puente por lo que ladistancia al apoyo es v t. El vehículo ejerce dos tipos de acciones sobre el puente que cruza: fuerza móvil y efecto demasa. Representando al vehículo por un punto la fuerza obedece a la expresión

f(x, t) =W δ (x− v t) (1.32)

en donde δ (·) es la delta de Dirac. El efecto de masa se debe a que el vehículo también oscila con el puente y, por tanto,su masa debe ser añadida a la de éste. Dado que ésta es móvil, este efecto es difícil de modelar; afortunadamente, amenos que la masa del vehículo sea muy importante en comparación con la del puente este efecto suele ser despreciabley no se considera en este trabajo.En resumen, la ecuación diferencial que rige las oscilaciones del puente de la figura 1.5 es ∂2

∂x2

³E I ∂

2y∂x2 + c2 I

∂3y∂x2∂t

´+

c1 y+my =W δ (x− v t); si la barra tiene sección constante esta relación se convierte en E I yIV +c2 I y00+c1 y+my =W δ (x− v t). A continuación se presenta un análisis de la solución empleando coordenadas modales. La componentesobre el modo i de las cargas exteriores es:

Fi(t) =

Z L

0

Φi(x) f(x, t) dx =

Z L

0

sinπ i x

LW δ (x− v t) =W sin

π i v t

L(1.33)

Esta expresión muestra que el paso del vehículo equivale a excitar armónicamente cada modo con una frecuenciaΩi =

π i vL . Este resultado muestra que la frecuencia de la excitación crece con la velocidad y se reduce con la luz. Ya

que ωi = (i π)2q

E ImL4 la probabilidad de que alguno de los modos entre en resonancia es alta; cuanto menor sea el

orden de éste más peligro existe; el primer modo puede resultar excitado si v = πq

E ImL2 lo cual suele corresponder a

velocidades elevadas (como las de trenes de alta velocidad, por ejemplo). Para tener garantías de que ningún modo vaa resonar es necesario que la máxima velocidad de los vehículos sea claramente inferior al valor anterior; evidentementeeste objetivo sólo puede ser alcanzado dotando al puente de rigidez suficiente (E I

L2 ), reduciendo la masa o limitandola velocidad de los vehículos.La ecuación del movimiento del modo es ηi + 2 νi ωi ηi + ω2i ηi =

WMisin π i v t

L .Si el puente es atravesado por un tren, su efecto puede ser asimilado a una serie de cargas móviles regularmente

espaciadas tal como expresa la figura 1.6.

d v

Figura 1.6: Tren cruzando un puente

8

La figura 1.6 muestra un tren de cargas separadas por una distancia constante d. Además de los efectos anteriores,en este caso el puente se ve excitado por una frecuencia f = v

d (expresada en Hz).

2. Sistemas continuos bidimensionales

En el presente apartado se describen la formulación y la resolución de la ecuación que rige el movimiento de sistemascontinuos bidimensionales. Se consideran únicamente las vibraciones transversales de placas planas delgadas, deespesor constante, homogéneas e isótropas sometidas a acciones dinámicas perpendiculares a su plano. Se admiten lashipótesis habituales en la resistencia de materiales suponiendo comportamiento isótropo, elástico y lineal del materialy despreciando las deformaciones por cortante (modelo de Kirchhoff). Existen tres subapartados, en el primero sededuce la ecuación diferencial del movimiento y en los subapartados segundo y tercero se analizan algunos aspectosparticulares relativos, respectivamente, a las placas rectangulares y circulares.

2.1. Ecuación del movimiento

En la figura 2.1 se muestra un paralelepípedo de dimensiones transversales infinitesimales dx y dy sometido a unacarga dinámica f(x, y, t) dirigida según el eje z ortogonal al plano de la placa. En los bordes del paralelepípedose representan los esfuerzos cortantes (Qx, Qy), flectores (Mx, My) y de torsión (Mxy) por unidad de longitud. Elcomportamiento del material viene caracterizado por su módulo de Young E y por su coeficiente de Poisson ν. m esla masa por unidad de superficie y h es el espesor (constante) de la placa.

f(x,t)

z

x

y

h

dx dy

dxx

MM x

x ∂∂

+

dxx

MM xy

xy ∂∂

+

dxx

QQ x

x ∂∂

+

dyy

MM y

y ∂∂

+

dyy

MM yx

yx ∂∂

+

dyy

QQ y

y ∂∂

+

xM

xQxyM

yxM

yQ

yM

Figura 2.1: Elemento diferencial de una placa cargada dinámicamente

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Aplicando el principio de d’Alembert (en componentes verticales) al paralelepípedo de la figura 2.1 se obtiene laecuación del movimiento

∂Qx

∂x+

∂Qy

∂y∂y + f(x, y, t) = mw (2.1)

siendo w el desplazamiento del plano medio de la placa en la dirección del eje z.Despreciando la inercia del paralelepípedo a rotación, el equilibrio de momentos según los ejes x e y se expresa

mediante

∂Mxy

∂x− ∂My

∂y= Qy

∂Myx

∂y+

∂Mx

∂x= Qx (2.2)

Teniendo en cuenta las relaciones geométricas de la flexión de placas delgadas, las expresiones anteriores permitendeducir la ecuación diferencial en derivadas parciales del movimiento (Warburton, 1976):

D

µ∂4w

∂x4+ 2

∂4w

∂x2∂y2+

∂4w

∂y4

¶+m

∂2w

∂t2= f(x, y, t) (2.3)

en donde D viene dado por D = E h3

12 (1−ν2) . En una notación más simplificada, la ecuación del movimiento se expresatambién mediante D∆(∆w) +mw = f(x, y, t) en donde ∆ es el operador laplaciano.

2.2. Placas rectangulares

En este subapartado se considera el caso particular de una placa rectangular de dimensiones a y b como la representadaen la figura 2.2.

b

x

y

z

a

h

Figura 2.2: Placa rectangular

En ausencia de excitación exterior la ecuación del movimiento se transforma en

D

µ∂4w

∂x4+ 2

∂4w

∂x2∂y2+

∂4w

∂y4

¶+m

∂2w

∂t2= 0 (2.4)

Los modos propios de la placa serán soluciones de la forma

w(x, y, t) = φ(x, y) η(t) (2.5)

Sustituyendo esta solución en la ecuación anterior del movimiento y separando las variables x e y por un lado y tpor otro resultan las siguientes ecuaciones independientes:

∂4φ

∂x4+ 2

∂4φ

∂x2∂y2+

∂4φ

∂y4− ω2m

Dφ = 0 η + ω2 η = 0 (2.6)

en donde ω es la frecuencia del modo propio (radianes por segundo).Si la placa está articulada en su contorno la primera ecuación anterior admite soluciones de la forma

φij(x, y) = sini π x

asin

j π y

b(2.7)

10

en donde i y j son números enteros que representan el número de semiondas en, respectivamente, dirección de losejes x e y. Sustituyendo esta solución en la ecuación del movimiento se obtiene la frecuencia natural ωij (Warburton,1976):

ωij = π2r

D

m

"µi

a

¶2+

µj

b

¶2#(2.8)

Esta expresión proporciona las frecuencias naturales de placas rectangulares con bordes articulados. En placas dehormigón armado fisuradas (situación habitual aun en condiciones de servicio) el parámetro D debe calcularse paraun valor equivalente del espesor h que tenga en cuenta el nivel de fisuración. En losas pretensadas no suele existirfisuración y por tanto se debe considerar el canto total de la placa.En la referencia de Bares se presenta una lista completa de frecuencias naturales de placas rectangulares para

distintas condiciones de contorno.La solución general w se expresa mediante la siguiente serie doble:

w(x, y, t) =∞X

i,j=1

φij(x, y) ηij(t) (2.9)

En la referencia de Warburton se describe el proceso de resolución a partir del resultado anterior.

2.3. Placas circulares

En el presente subapartado se considera el caso particular de un placa circular de radio R como la representada en lafigura 2.3 sometida a una carga dinámica con simetría radial.

r ϕ

R h

Figura 2.3: Placa circular

Se consideran únicamente los modos propios de vibración cuya configuración es simétrica radialmente.La ecuación anterior del movimiento se transforma en coordenadas polares (r y ϕ, ver la figura 2.3) en

D∆2w +mw = f(r, t) (2.10)

en donde ∆ es el laplaciano en coordenadas polares, es decir (Pilkey, 1994)

D

µ∂4w

∂r4+ 2 r

∂3w

∂r3− 1

r2∂2w

∂r2+1

r3∂w

∂r

¶+m

∂2w

∂t2= f(r, t) (2.11)

ya que ∂∂ ϕ = 0 por simetría.

Los modos propios de vibración son soluciones de la forma

w(r, t) = φ(r) η(t) (2.12)

Sustituyendo esta solución en la ecuación del movimiento, se obtienen las dos siguientes ecuaciones independientes(correspondientes, respectivamente a las variables r y t):

∆2φ− ω2m

Dφ = 0 η + ω2 η = 0 (2.13)

en donde ω tiene el significado de una frecuencia. La primera ecuación puede descomponerse en

11

∆φ− ω

rm

Dφ = 0 ∆φ+ ω

rm

Dφ = 0 (2.14)

que son ecuaciones de Bessel de orden 0 y cuya solución general puede expresarse mediante combinación de funcionesde Bessel (Lafita y Mata, 1974):

φ(r) = C1 J0(αr) + C2 I0(α r) + C3 Y0(αr) + C4K0(α r) (2.15)

siendo α =

rωq

Dm . Si la placa está empotrada en el borde se tienen las siguientes condiciones de contorno φ(R) = 0

y φ0(R) = 0 y se deduce inmediatamente (Lafita y Mata, 1974) que C3 = C4 = 0. Las tres primeras frecuenciasnaturales son, en este caso:

ω1 =10, 21

R2

rD

mω2 =

39, 78

R2

rD

mω3 =

88, 90

R2R2r

D

m(2.16)

En las referencias de Bares y de Pilkey se presentan listas completas de frecuencias naturales de placas circularespara distintas condiciones de contorno.

References

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