sistemas de numeracion
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Materia Introducción a la Informática
Unidad 1
Sistema de Numeración
Ejercitación
Prof. Alejandro Bompensieri
Introducción a la Informática - CPU
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Ejercitación Sistemas de Numeración 1. Pasar a base 10 los siguientes números escritos en la base que se indican: a) A1B32(16 b) 652(8 c) 134(5 d) 2112(3 e) 1242(6 f) 10001110(2 2. Pasar a la base que se pide los siguientes números decimales a) 264 a 2 b) 289 a 7 c) 175 a 4 d) 645 a 5 e) 322 a 2 f) 468 a 3 g) 124 a 6 3. Pasar a bases 8 y 2 los siguientes números en hexadecimal a) BB34 b) 1BA23 c) 3124 d) 35649 e) 5F13 f) 1124 g) A1BC5 h) 259A 4. Pasar de base hexadecimal a 8 los siguientes números binarios a) A4352 b) 12B56 c)44681 d) 1B1C2 e) 6589 f) 22451 g) F4A3 5. Realizar las conversiones entre bases que se piden a) 32568(H a 8 b) 574(6 a 7 c) 5542(7 a 2 d) 2654(8 a H e) 111 (3 a 4 f) 2431(5 a H 6. Pasar a binario los siguientes números escritos en las bases que se indican:
a) 56,34(10 b) FA21,22C(16 c) 110,101(8 d) 25,32(10 e) A12,B32(16 f) 101,001(8 g) 12,23(10 h) 134,A22(16 i) 21,12(8
7. Escribir los siguientes números decimales en F=8,2, con bit de signo:
a) –53 b) –89 c)-16
8. Los siguientes números están escritos en F=6,2, con bit de signo. Indicar qué números decimales representan y cuáles son los números máximo y mínimo en este formato:
a) 010011 b) 11011 c) 100111 d) 010110 e) 011001} 9. Realizar la siguiente operación en F=8, 2, con bit de signo: -89-53 10. Realizar las siguientes sumas en hexadecimal A223 BC212 4568 + 124 + 22A5 + A3B2 11. Realizar las siguientes multiplicaciones en hexadecimal 1A23 2965 35B2 x A4 x 1B x 24
Materia: Introducción a la InformáticaUnidad 1: Sistema de NumeraciónProf. Alejandro Bompensieri
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SISTEMA DE NUMERACIÓNEVOLUCIÓN
• Sistema egipcio• Sistema babilónico• Sistema romano inicial• Sistema maya• Sistema chino• Sistema indio• Sistema árabe• Sistema español inicial• Sistema italiano• Sistema actual
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PROPÓSITO
• Intentar conservar los datos numéricos en forma de escritura– Grecia (inicialmente)– Roma (posteriormente)– Sistema indoarábigo
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DEFINICIÓN
• Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades.
• Se caracteriza por su base• Sistema posicional
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SISTEMA DECIMAL
• Proviene del sistema numérico indoarábigo.
• Sistema posicional– Conjunto de símbolos cuyo significado o valor
depende de su posición relativa al punto decimal.
• Base 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cifras o dígitos
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Teorema Fundamental de la Numeración (TFN)
• base: 10• i : posición respecto a la coma• m : número de dígitos a la derecha de la coma• n : número de dígitos a la izquierda de la coma menos 1• dígito : Cada uno de los que componen el número
Nº = Σ (dígito)i * (base)i
n
I = -m
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Ejemplos
• 2006(10= 2 * 103 + 0 * 102 + 0 * 101 + 6 * 100
• 4.25 (10= 4 * 100 + 2 * 10-1 + 5 * 10-2
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Teorema Fundamental de la Numeración
Relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración con la misma cantidad expresada en el sistema
decimal.
… + X2 * B2 + X1 * B1 + X0 * B0 + X-1 *B-1 + X-2 * B-2 …
base Dígito de la cantidad
Posición del dígito con respecto a la coma decimal
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EJEMPLO
• 201.1(3 = 2 * 32 + 0 * 31 + 1 * 30 + 1 * 3-1
18 + 0 + 1 + 0.333
19.333 (10RESULTADO =
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EJERCICIOS
• 516 (7=• 0.111(2=
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SISTEMA BINARIO
• Es el sistema utilizado internamente en los circuitos digitales que configuran al hardware
• Base 2• Posibles representaciones• 0 - 1
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Binary digit
bit
110011100000111100011110001111000011111
Ejemplo
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MÚLTIPLOS DEL BIT
• Nibble: conjunto de 4 bits (1010)• Byte: conjunto de 8 bits (10101110)• Kilobyte: conjunto de 1024 bytes (1024 * 8 bits)• Megabyte: conjunto de 1024 Kb (10242 * 8 bits)• Gigabyte: conjunto de 1024 Mb (10243 * 8 bits)• Terabyte: conjunto de 1024 Gb (10244 * 8 bits)
1024= es el múltiplo de 2 más próximo a 1000. 210=1024
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TABLA DE EQUIVALENCIAS
• 1 nibble = 4 bits.• 1 byte = 2 nibbles = 8 bits.• 1 kilobyte = 1024 bytes = 1024 * 8 bits.• 1 megabyte = 10242 Kb = 10242 * 8 bits.• 1 gigabyte = 1024 Mb = 10243 * 8 bits.• 1 terabyte = 1024 Gb = 10244 * 8 bits.
Byte = es la unidad básica de medida de la información
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Ejemplos
¿Qué nro. Decimal representa el binario 1001.1? (utilizar TFN)
1001.1(2 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1
8 + 0 + 0 + 2 + 0.5 = 9.5 (10
Suponiendo una capacidad de 8 MB. ¿Cómo puedo expresar su equivalente en bytes? ¿y en bits?
Capacidad = 8 * 10242 = 8.388.608 bytes = 67.108.864 bits
Capacidad = 8.388.608 bytes * 8 = 67.108.864 bits
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EjerciciosTransformar los siguientes números binarios a números decimales:
10010001(2
11111111(2
010011(2
010110 (2
011001(2
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SUMA BINARIA
• Semejante a sumar en el sistema decimal• Se manejan sólo 2 dígitos (0 y 1)• Si el resultado excede de los símbolos
utilizados, se agrega el exceso o acarreo
1 + 0 = 1
1 + 1 =10 (0 con acarreo 1)
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
Tabla del 1Tabla del 0
Tabla de sumar en el sistema binario
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EjemplosSumar los números binarios 100100 (36) y 10010 (18)
1 0 0 1 0 0 ............................ 36
1 0 0 1 0 ............................ 18
1 1 0 1 1 0 ............................ 54
++
Sumar los números binarios 11001 (25) y 10011 (19)
1 1 0 0 1 ............................... 25
1 0 0 1 1 ............................... 19
1 0 1 1 0 0 ............................... 44
+ +
111Acarreos
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Ejercicios
• 101110 (46) + 1110 (14)• 10101101 (173) + 100010111 (279)• 10.1 (2.5) + 11.01 (3.25)• 1101 (13) + 1110 (14) + 1100(12)
Sumar los siguientes números binarios
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RESTA BINARIA• Similar a restar en el sistema decimal• Si el sustraendo excede al minuendo, se sustrae una
unidad del dígito más a la izquierda (si existe y vale 1)• Este último se convierte en 0 y la unidad extraída
equivale a 1 * 2 en el minuendo de resta parcial que se está realizando.
1 - 0 = 1
1 + 1 = 0
0 - 0 = 0
0 - 1 = no cabe
Tabla del 1Tabla del 0
Tabla de restar en el sistema binario
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EjemplosRestar los números binarios 111111 (63) y 101010 (42)
1 1 1 1 1 1 ............................ 63
1 0 1 0 1 0 ............................ 42
0 1 0 1 0 1 ............................ 21
--
Restar los números binarios 111100 (60) y 101010 (42)
1 1 1 1 0 0 ............................... 60
1 0 1 0 1 0 ............................... 42
0 1 0 0 1 0 ............................... 18
- -
20
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Ejercicios
• 11101 (29) - 111 (7)• 110100101 (421) - 11101000 (232)• 11.01 (3.25) - 10.1 (2.5)
Restar los siguientes números binarios
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MULTIPLICACIÓN BINARIA
• Similar a la multiplicación en el sistema decimal• Salvo la suma final que se realiza en binario
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
Tabla del 1Tabla del 0
Tabla de multiplicar en el sistema binario
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EjemploMultiplicar los números binarios 110101 (53) y 1101 (13)
1 1 0 1 0 1............................ 53
0 0 1 1 0 1............................ 13
1 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 ............................. 689
**
+
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Ejercicios
• 11010 (26) por 101010 (42)• 111111 (63) por 101010 (42)
Multiplicar los siguientes números binarios
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DIVISIÓN BINARIA
• Similar a la división en el sistema decimal• Salvo que las multiplicaciones y las restas se
hacen en binario.
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EjemploDividir los números binarios 100010 (34) y 110 (6)
1 1 0 1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1............cociente (5)
1 0 1 0
1 1 0
1 0 0 .....................................resto (4)
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Ejercicios
• 10000000010 (1026) y 11 (3)• 10001000100 (1092) y 101010 (42)
Dividir los siguientes números binarios y comprobar el resultado
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SISTEMA OCTAL
• Sistema posicional• Base 8• Aritmética similar a la de los sistemas
decimal y binario• Posibles representaciones• 0 1 2 3 4 5 6 7
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Ejemplo¿Qué número decimal representa el número octal 4701?
Resolver utilizando TFN
4701(8 = 4 * 83 + 7 * 82 + 0 * 81 + 1 * 80
= 2048 + 448 + 0 + 1
= 2497 (10
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SISTEMA HEXADECIMAL
• Sistema posicional• Base 16• Aritmética similar a la de los sistemas
decimal, binario y octal• Posibles representaciones• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
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SISTEMA HEXADECIMAL
• Se asignan los siguientes valores absolutos (decimales) a los símbolos A, B, C, D, E, F
101112131415
ABCDEF
Valor absolutoSímbolo
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Ejemplo¿Qué número decimal representa el número hexadecimal 2CA?
Resolver utilizando TFN
2CA(16 = 2 * 162 + C * 161 + A * 160
= 512 + 12 * 161 + 10 * 160
= 512 + 192 + 10
= 714 (10
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CONVERSIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Es la transformación de una determinada cantidad expresada en uno de los sistemas de numeración vistos, a su representación equivalente en otro de los sistemas de numeración vistos.
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CONVERSIONES• Decimal a binario• Binario a decimal• Decimal a octal• Octal a decimal• Decimal a hexadecimal• Hexadecimal a decimal
• Hexadecimal a binario• Binario a hexadecimal• Octal a binario• Binario a octal• Octal a hexadecimal• Hexadecimal a octal
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Conversión decimal a binario
Es el método que se utiliza para convertir números enteros decimales a su respectivo número entero en binario. Se trata de dividir sucesivamente el número decimal y los sucesivos cocientes entre 2, hasta que el cociente en una de las divisiones tome el valor 0. La unión de todos los restos obtenidos, escritos en orden inverso, nos proporciona el número inicial expresado en binario.
Ejemplo: Convertir el decimal 10 a binario.
210
0 5
1 2
2
2
1010(10 = 1010(2
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Conversión binario a decimal
Es el método que aplica directamente el teorema fundamental de la numeración (TFN).
Ejemplo: Convertir el binario 101011 a decimal.
101011(2 = 1 * 20 + 1 * 21 + 0 * 22 + 1 * 23 + 0 * 24 + 1 *25
= 1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32
= 43(10
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Conversión hexadecimal a binario
Para convertir un número hexadecimal a binario se sustituye cada dígito hexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos. (ver tabla).
Ejemplo: Convertir el hexadecimal 2BC a binario.
2 B C
0010 1011 1100
Luego: 2BC(16 = 1010111100(2
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Conversión binario a hexadecimal
Se debe realizar el proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos binarios de 4 en 4 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito hexadecimal.
Ejemplo: Convertir el binario 100101100 a hexadecimal.
Luego: 100101100(2 = 12C(16
0001 0010 1100
1 2 C
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Ejercicios
• 15(10 a binario• 1994(10 a binario• 1101(2 a decimal• 10101100(2 a decimal• 11111001010(2 a decimal• 7BA3(16 a binario• 1100101001000(2 a hexadecimal
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Representación de números enteros
Las computadoras digitales utilizan 4 métodos para la representación interna de números enteros (positivos y negativos)
• Módulo y signo (MS)• Complemento a 1 (C-1)• Complemento a 2 (C-2)• Exceso a 2n-1
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Módulo y signo (MS)
En este sistema, el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.El resto de bits (n-1) representan el módulo del número.
Int. a la Informática CPU 44
Módulo y signo (MS)
Ejemplo: queremos representar los números 10 y –10. Disponemos de 8 bits, es decir, n = 8
Número 10 0 0 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 0
Signo +
Signo - Módulo
Módulo
luego
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Módulo y signo (MS)
• La ventaja de este sistema es poseer un rango simétrico (igual número de positivos y negativos).
• La desventaja es que posee dos representaciones para el número cero.
Para n = 8 bits– 0 0 0 0 0 0 0 0 (+0)– 1 0 0 0 0 0 0 0 (-0)
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Complemento a 1 (C-1)
En este sistema, también el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.El resto de bits (n-1) representan el módulo del número.El negativo de un número positivo se obtiene complementando todos sus dígitos (cambiar ceros por unos y viceversa) incluido el bit de signo.
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Complemento a 1 (C-1)
Ejemplo: queremos representar los números 10 y –10. Disponemos de 8 bits, es decir, n = 8
Número 10 0 0 0 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 0 1
Signo +
Signo - Módulo
Módulo
Complemento del positivo
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Complemento a 1 (C-1)
• La ventaja de este sistema es poseer un rango simétrico (igual número de positivos y negativos).
• La desventaja es que posee dos representaciones para el número cero.
Para n = 8 bits– 0 0 0 0 0 0 0 0 (+0)– 1 1 1 1 1 1 1 1 (-0)
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Complemento a 2 (C-2)En este sistema, también el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.El resto de bits (n-1) representan el módulo del número, igual que MS y C-1.El negativo de un número se obtiene en dos pasos.
1) Complemento a 12) Al resultado obtenido se le suma 1 en
binario, despreciando el último acarreo si existe.
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Complemento a 2 (C-2)
Ejemplo: queremos representar los números 10 y –10. Disponemos de 8 bits, es decir, n = 8
Número 10
0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1
Signo + Signo - MóduloMódulo
1º paso: Complemento del positivo C-1
2º paso: Sumar 1 en binario
1 1 1 0 1 0 1
+ 1
1
1 1 1 1 0 1 1 0
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Complemento a 2 (C-2)
• La ventaja de este sistema es poseer una única representación para el número cero.
• El último acarreo se desprecia, por lo tanto, el 0 y el –0 tienen la misma representación en C-2.
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Exceso a 2n-1
En este método la representación no utiliza ningún bit para el signo, con lo cual todos los bits representan un módulo o valor. Este valor se corresponde con el número representado más el exceso, que para n bits viene dado por 2n-1.
Materia Introducción a la Informática
Unidad 1
Tablas de Valores de Verdad
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Tablas de Valores de Verdad
NEGACION (NOT) P P´ V F F V CONJUNCION (AND) P Q P^Q V V V V F F F V F F F F DISYUNCIÓN (OR) P Q P∨Q V V V V F V F V V F F F CONDICIONAL P Q P Q V V V V F F F V V F F V BICONDICIONAL (XNOR) P Q P↔Q V V V V F F F V F F F V DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR) P Q P⊕Q V V F V F V F V V F F F
NAND P Q P Q V V F V F V F V V F F V NOR P Q P Q V V F V F F F V F F F V
Introducción a la Informática - CPU
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F MÁS0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 102 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 113 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 124 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 135 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 146 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 157 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 168 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 179 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1AC C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1BD D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1CE E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1DF F # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F POR0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4C 54 5B 62 698 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 789 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96B 0 B 16 21 2C 37 42 4C 58 63 6E 79 84 8F 9A A5C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1
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