En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias

incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras

palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del

sistema.Las incógnitas se suelen representar utilizando las

últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Las ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas se denominan ecuaciones lineales.

Dos o más ecuaciones lineales forman un sistema de ecuaciones lineales.

Cuando se debe calcular el valor de varias incógnitas, se necesitan varias ecuaciones.

Siempre se debe cumplir la siguiente condición:

DEBEN EXISTIR TANTAS ECUACIONES COMO INCOGNITAS

Para indicar que las ecuaciones están relacionadas, se denota por

2x – 3y = 8

5x + 4y = 7

x – 2y + 4z = 9

3x +y-7z = 4

2x – 5y + z = 10

METODO DE SUSTITUCION

a) Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones.b) Sustituir la expresión que representa su valor en la otra ecuación.c) Resolver la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.d) Sustituir el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resolver la ecuación resultante.

Sea el sistema:

3x + 2y = 8

4x – 3y = 5

De la primera ecuación se despeja la variable x:

8 – 2yX=

3

Este valor se sustituye en la

segunda ecuación quedando:

4 [(8 - 2y) / 3] – 3y = 5

[(32 – 8y) / 3] – 3y = 5 /* 3

32 – 8y – 9y = 15

- 17y = - 17 /*-1

17 y = 17 /:17

y = 1

Como

8 – 2yX=

3

8 – 2*1X=

3

X = 2

1.-

2.- 3.-

METODO DE IGUALACION

a) Despejar, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.b) Igualar las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.c) Resolver la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.d) Sustituir el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resolver.

Sea el sistema

x + 2y = 22 . . . . . (1),4x - y = 7 . . . . . . . (2).

1.-Se va a eliminar "x". Despejar el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:

x = 22 - 2y . . . . . . . . . . (3) ,x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . (4).

2.-Igualar las dos expresiones que representan el valor de "x":

22 - 2y = (7 + y) / 4 /*488 - 8y = 7 + y-9y = -81y = 9

3.-Sustituir en (3) o en (4) el valor hallado para "y":x = 22 - 2y . . . . . . . . . . (3),x = 22 - 2(9)x = 4

por tanto: x = 4; y = 9.

METODO DE REDUCCION

a) Multiplicar los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por un número tal que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.

b) Sumar las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstar si son de mismo signo.

c) Resolver la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.

d) Sustituir este valor en una de las ecuaciones dadas y resolver; se obtiene así la otra incógnita.

Sea el sistema:

x - 3y = 9 . . . .1) 2x + y = -10 . .2)

Multiplicar ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x": 2x - 6y = 18…….3)- 2x + y = -10 ……2) -7y = 28 , se obtiene: y = -4

Sustituir "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":

x - 3y = 9 x - 3(-4) = 9 x + 12 = 9 x = -3

OBSERVACIONES:1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas por el método de adición, escoger números tales que multiplicados por los coeficientes

de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.

2ª En el método de sustitución, despejar la incógnita que tenga menor coeficiente.

3ª En la resolución de un sistema dado, Se puede usar indistintamente cualquiera de los

tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.

Sin embargo, como algunos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias,

se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

4x + 3y =1

3x - 2y = -5 -4x / 3 + 5y = - 1/2

2x - 3y = 6 4

Solución:(x, y) = - 13 , 23 17 17

Solución:(x, y ) = 237 , 15 16 8

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