SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Un problema relacionado con éste método consiste en obtener las raíces de un conjunto de ecuaciones simultaneas.

La solución de este sistema consta de un conjunto de valores xi  que simultáneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero.

Para el caso que las ecuaciones simultáneas son lineales, es decir se pueden expresar en la forma general.

Donde la b y la a son constantes. A las ecuaciones algebraicas y trascendentales que no se pueden expresar de esta forma se les llama ecuaciones no lineales.  Por ejemplo:

Son dos ecuaciones simultaneas no lineales con dos incógnitas, x y y  , las cuales se expresan en la forma de la ecuación (6.14) como

Así, la solución serán los valores de x y de y que hacen a las funciones u(x,y) y v(x,y) iguales a cero. La mayoría de los métodos para determinar tales soluciones son extensiones

de los métodos abiertos para resolver ecuaciones simples. Dos de ellos son: iteración de punto fijo y Newton – Rapson.

 

ITERACIÓN DE PUNTO FIJO

El método de iteración de punto fijo puede para modificarse para resolver dos ecuaciones simultáneas no lineales. Este método se ilustra ene le siguiente ejemplo.

Iteración de punto fijo para un sistema no linealPlanteamiento del problema. Con el método de iteración de punto fijo determine las raíces de la ecuación (6.16). Observe que un par correcto de raíces es x=2 y y=3. Inicie el calculo con el valor inicial x=1.5 y y = 3.5

Solución. En la ecuación (6.16a) se despeja x

Y en la ecuación (6.16b) se despeja y

Observe que dejaremos los subíndices en el resto del ejemplo.Con base en los valores iniciales, la ecuación (E6.10.1) se utiliza para determinar un nuevo valor de x:

Este resultado y el valor inicial de  y = 3.5 se sustituye en la ecuación (E6.10.2) para determinar un nuevo valor de y:

Y = 57 – 3 (2.21429) (3.5) 2 = - 24.37516

Así, parece que el método diverge.Este comportamiento es aun más pronunciado en la segunda iteración:

En efecto, la aproximación se esta descomponiendo.  Se repite el calculo, pero con la ecuación original puesta en forma diferente.   Por ejemplo, un despeje alternativo a al ecuación (6.16a) es:

Y de la ecuación (6.16b) es

Ahora los resultados son más satisfactorios:

Así, la aproximación converge hacia la solución correcta x=2 y y=3

Newton - Raphson

El Método Newton–Raphson  se utilizo empleando la derivada (al evaluar, es la pendiente de la recta tangente) de un función, para calcular su intersección con el eje de la variable independiente; esto es, la raíz. Dicho calculo se baso en la expansión de la serie de Taylor de primer orden

Donde  es el valor inicial de la raíz y  es el valor en el cual la recta tangente

intercepta al eje x .  En esta intersección, es, por definición, igual a cero y la ecuación (6.17) se reordena para tener

Que es la forma del método de Newton-Raphson para una sola ecuación.La forma para múltiples ecuaciones se obtiene en forma idéntica. Sin embargo, se debe usar una serie de Taylor de múltiples variables para tomar en cuenta el hecho de que más de una variable independiente contribuye a la determinación de la raíz. En el caso de dos variables, una serie de Taylor de primer orden se escribe para cada ecuación no lineal como

y

De la misma manera como en la versión para una sola ecuación, la raíz aproximada

corresponde a los valores de x y y, donde son iguales a cero. En tal situación, se reordena la ecuación (6.19) como:

Debido a que se conocen todos los valores con subíndice i (corresponde al ultimo valor

estimado), las únicas incógnitas son y Entonces, la ecuación (6.20) es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

En consecuencia, se pueden usar manipulaciones algebraicas (por ejemplo, la regla de Cramer) para resolverlo:

El denominador de cada una de estas ecuaciones se conoce formalmente como el determinante Jacobiano del sistema.La ecuación (6.21) es la versión para dos ecuaciones del Método de Newton-Raphson. Como en el siguiente ejemplo, se puede emplear en forma iterativa para determinar las raíces de dos ecuaciones simultaneas.Newton-Raphson para un sistema no lineal.

Ejemplo 1.Planteamiento del problema. Con el método de Newton-Raphson para múltiples ecuaciones determine las raíces de la ecuación (6.16). Observe que un par correcto de raíces es x=2 y y=3. Use como valores iniciales x=1.5 y y=3.5.Solución. Primero calcule las derivadas parciales y evalúelas con los valores iniciales de x y y:

Así, el determinante jacobiano para la primera iteración es

Los valores de las funciones se evalúan con los valores iniciales como

Estos valores se sustituyen en la ecuación (6.21)

Así, los resultados están convergiendo a los valores verdaderos x=2 y x=3. Los cálculos se repiten hasta que se obtenga una precisión aceptable.