sistemas de ecuaciones lineales

1

n

CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales

Este captulo presenta una sntesis sobre Sistemas de ecuaciones lineales1, concepto del lgebra lineal que utilizaremos frecuentemente como herramienta en el proceso de solucin de algunas ecuaciones diferenciales. Para evitar repeticiones reservamos las letras m y para referirnos a nmeros naturales no cero. n

1.1. Definicin de sistema de ecuaciones lineales (SE)2

Definicin 1.1 Sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas

Un sistema con m ecuaciones, incgnitas , con matriz de coeficientes y

valores externos (entradas o consumos) escrito en forma estndar (como en secundaria) es:

nxx ,,1

mb,

m i n jija ,,1 ,,1 Ab ,1

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xab xa xa xa

2211

22222121

11212111

Con producto punto de vectores se escribe:

mnmnmm

nn

nn

b x ,x ,xa ,a ,a

b x ,x ,xa ,a ,ab x ,x ,xa ,a ,a

,,

,,,,

2121

22122221

12111211

Y con multiplicacin de matrices es

BXA

F

F

F

CCC

mnmnmm

n

n

m

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

21

Las filas de la matriz se denotan con y sus columnas con . A mFF ,,1 nCC ,,1

1 En los captulos 1, 2 y 3 de [7] de la bibliografa encontrar una exposicin detallada de los temas de este captulo 2 Utilizamos las iniciales SE para referirnos a Sistemas de ecuaciones lineales

2 Sistemas de ecuaciones lineales

Para exponer la teora utilizamos la notacin BAX o BA , en esta se omite el vector de incgnitas y utiliza la raya | en lugar de los smbolos = . Adems, los nombres:

X

A matriz de coeficientes, X vector incgnita, B vector externo (entrada o consumo), BA

0

matriz ampliada.

Cuando el vector externo es nulo: el sistema de ecuaciones AX

0

00B se llama homogneo.

Para despejar las incgnitas expondremos los mtodos reduccin Gaussiana y regla de Cramer. nxx ,,1 Para exponer la reduccin Gaussiana es muy prctico resaltar las filas del sistema como: BAX

BXA

F

F

F

mnm b

bb

x

xx

2

1

2

1

2

1

BA Y para exponer el mtodo de Cramer (caso nm ) ser ms adecuado escribir el SE segn sus columnas:

BX

A

CCC

nn

n

b

bb

x

xx

2

1

2

1

21 ,,,

Ejemplo 1.1 El sistema tiene

7365832

21

21

21

xxxxxx

3m 2 ecuaciones y n 21, xx incgnitas .

Tiene coeficientes

311532

3231

2221

1211

aaaaaa

y valores externos

768

3

2

1

bbb

Con producto punto de vectores el SE se escribe:

7,3,16,1,58,3,2

21

21

21

xxxxxx

Sistemas de ecuaciones lineales 3

Con multiplicacin de matrices se escribe:

768

311532

2

1xx

La matriz de coeficientes y matriz ampliada son y

311532

768

311532

respectivamente

Cuando el SE tenga pocas incgnitas utilizaremos letras sin subndice ,,, zyx en lugar de ,,, 321 xxx

Ejercicio 1.1 Describa las componentes de

82363

zxzyx

como en el ejemplo 1.1.

1.2. Definicin de solucin de un sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones (SE) es un conjunto de ecuaciones con las mismas incgnitas. Cuantas ms propiedades o restricciones (no equivalentes) se impongan a las incgnitas, menor ser la cantidad de soluciones que satisfagan todas esas restricciones y cabe la posibilidad de que no haya soluciones que llenen los requerimientos de las ecuaciones. Especficamente, hay sistemas que no tienen solucin, es decir, no hay valores que llenen todas las incgnitas y satisfagan todas las restricciones o ecuaciones. Otros sistemas tienen solucin nica y hay sistemas con infinidad de soluciones. Resolver un SE se refiere al proceso de despejar las incgnitas cuando el sistema tenga infinidad de soluciones o solucin nica, o presentar las justificantes cuando no tiene solucin.

Una Solucin del SE es un conjunto de nmeros particulares que al sustituir en las posiciones de las

incgnitas respectivamente, producen identidades, es decir:

nss ,,1 nxx ,,1 m

BAS

mnmnmm

nn

nn

b sa sa sa

b sa sa sab sa sa sa

2211

22222121

11212111

, con notacin matricial se escribe donde

ns

ss

2

1

S

As, es una solucin del sistema si y solo si al sustituir en el SE, reduce cada ecuacin a una identidad. S S

Definicin 1.2 Conjunto solucin de un sistema de ecuaciones

El conjunto solucin del Sistema de ecuaciones BAX es S BASS / donde

ns

ss

2

1

S

Si el SE no tiene soluciones, escribimos y decimos que el SE tiene ecuaciones inconsistentes. OS Si el SE tiene una nica solucin S escribimos SS


Si el SE tiene infinidad de soluciones escribimos: S

x x sx sx xx S nkkkn ,,,,,/,, 1111 ix se refiere a que puede tomar cualquier valor en el conjunto de los nmeros reales. ix

Ejemplo 1.2 Los siguientes resultados sern demostrados en ejemplos posteriores.

Considere los SE S1

7375832

yxyxyx

S2

74775832

yxyxyx

Observe que la nica diferencia entre los sistemas es la tercera ecuacin. S1 y S2 tienen solo dos incgnitas, lo que hace pensar que bastar con dos de las tres ecuaciones para resolverlo, pero esto no es recomendable porque en algunos ejemplos la solucin de unas ecuaciones no necesariamente es solucin de todas las ecuaciones del SE. Adems, incluir en el proceso de solucin todas las ecuaciones solo trae ganancias. Para ilustrar esto hemos escogido S1 y S2.

El par es solucin de S1, es decir, si sustituye

2

121

sysx 2,1, yx en S1 obtiene las igualdades:

7231721582312

Al sustituir esos valores en S2 obtiene:

72417721582312

y la ltima no es una igualdad, ms es absurda. Aunque 2,1 es solucin de dos ecuaciones de S2, no es solucin de S2, porque se requiere que al sustituir en todas las ecuaciones resulten identidades

2,1

1.3. Regla de Cramer para resolver sistemas de n ecuaciones y n incgnitas

El siguiente teorema enuncia la regla de Cramer para obtener la solucin de un sistema , asumiendo que la matriz es cuadrada (de ) y que su determinante no es cero ( ). Dado esto, la

mecnica de la Regla de Cramer se basa en un intercambio de las columnas de la matriz con el vector (columna) y por esto denotamos la matriz con sus columnas

BAX 0A

AA nn det

B A nC,C ,, 2CA 1 . Por ejemplo, despus de reemplazar la primera columna de A con resulta B nC,,2 CB, y as sucesivamente. La Regla de Cramer es una generalizacin de un mtodo estudiado en secundaria y que recreamos en los siguientes dos ejemplos.


Ejemplo 1.3 Obtener la solucin del sistema de ecuaciones lineales

34

4532

345432

yx

yxyx

Suponemos que el sistema tiene solucin y es nica. Todo mtodo para resolver sistemas de ecuaciones lineales se basa en la reduccin de la cantidad de incgnitas. Observe que el coeficiente de y en la primera ecuacin es 3 y en la segunda es 4, multiplica la primera ecuacin por 4 y la segunda por 3 para recibir:

9121516128

yxyx

Cambie los signos en cualquiera de las ecuaciones, cambiando los signos de la segunda ecuacin obtiene:

yxyx

9121516128

sume las ecuaciones para obtener la siguiente ecuacin en la nica incgnita x , lo que permitir despejarla: 916158 x entonces 1xPor un procedimiento similar 2y

Ejemplo 1.4 Obtener la solucin del sistema de ecuaciones lineales

2

1

2

1bb

yx

dcba

bdycxbbyax

Emulando el proceso anterior, multiplique la primera ecuacin por y la segunda por para obtener: d b

2

1bbbdybcx

dbbdyadx

sume las ecuaciones para obtener:

21 bbdbxbcad

Puede escribir db

xdc 2

bbba 1 y si supone que 0badc

obtiene la solucin nica para

dcbadbbb

x 21

De forma similar obtiene una solucin nica para:

dcbabcba

y 21

La solucin es nica siempre que el determinante de la matriz de coeficientes yx, 0dcba

. Observe que

en las frmulas para determinar x y y los determinantes en los respectivos numeradores, se obtienen a partir

de dcba

reemplazando una de sus columnas por el vector

2

1bb


Por un procedimiento similar al anterior se puede demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1.1 Regla de Cramer

Sea una matriz de con A nn 0det A . Entonces el sistema BAX tiene una nica solucin . Y viceversa, es decir, si el sistema tiene solucin nica entonces

X 0det A .

Adems, si denota con: AdetnCCB ,,, 21 (reemplaza la primera columna por el vector externo) nCBC ,,,12 (reemplaza la segunda columna por el vector externo)

nkkk , CCBCCC ,,,,,, 1121 (etc)

BCC ,,, 11 n (reemplaza la ltima columna por el vector externo)

Entonces la nica solucin est dada por

A

A

A

nnn

kkk

sx

sx

sx

111

Ejemplo 1.5 Considere el SE con dos ecuaciones y dos incgnitas:

75823

yxxy

Coloque los trminos con incgnitas iguales en la misma columna:

75832

yxyx

Calcule el determinante de la matriz de coeficientes: 131532

Quite de la primera columna y en su lugar escriba , obtiene:

68

B 1313

1 78

Quite de la segunda columna y en su lugar escriba , obtiene:

68

B 2678

52

2

2

1

13262

13131

y

x

Como 0 entonces el SE tiene una nica solucin y est dada por:


Ejemplo 1.6 Para cules valores del parmetro a los sistemas

987

azyxzayxzyax

tienen solucin nica?

La matriz de coeficientes tiene determinante 231 a1

1111

3 aaaa

y resolvamos 0233 aa .

A prueba y error descubre que 1a es una solucin, aplica divisin sinttica 02112111

2301

a y la

ecuacin

equivale a

0 233 aa 021 2 aaa

011 aaa 2Si se quiere solucin nica, enuncia Cramer que, el determinante no debe ser cero, esto se cumple si 1a y

n tales casos aplicamos la regla de Cramer, que requiere de los siguientes determinantes: 2a . E

110710177 111

87

21 aaaa

a19 a

222 18816811

987

11 aaa

a

a

1696159987

111

12

3 aaaa aa

La solucin nica para cada SE est dada por: zyx ,,

21107

a

a;

282

a

y ; 21692

1 ax aa

az

Ejemplo 1.7 Aplique la regla de Cramer para despejar 21, del SE

Considerando a como incgnitas el SE con notacin matricial es

x

x

ex x e xx

221

221

2cossinsincos

21,

x

x

ee

xxxx

2

2

2

1

2cossinsincos


1sincoscossin

2 xxx

, obviasincos 2 xxx mente este determinante no es cero. Calcule

xxex

xx sin2coscos

221

xe

e x sin2

2

xxee

exx x

x

xsincos2

2sincos 2

2

22

xxe x sin2cos211 Solucin

xxe x sincos2222

.8 Para que valores de cba ,, se puede escribir 11 133 222

x

cbxxa

xxxx

Ejemplo 1

Multiplica por 12 xx cbxxax 12 xx 133 2 y obtiene: xDesarrolle las multiplicaciones y agrupe trminos semejantes (constantes, en y en respectivamente),

para obtener:

Iguale coeficientes de trminos semejantes y obtenga:

2x

acxxbaxx 22 133

1

3b

a

a3c

El determinante de la matriz de coeficientes es:

1001100011

Podramos aplicar la regla de Cramer; sin embargo, el sistema se resuelve fcilmente reemplazando 1a en

la primera ecuacin para obtener:

321

cba


1.4. Reduccin de Gauss para resolver SE con m ecuaciones y n incgnitas

La diferencia fundamental entre la reduccin Gaussiana que expondremos y la regla de Cramer es la generalidad del primero con respecto al segundo. Iniciamos esta seccin con algunos conceptos preliminares.

Definicin 1.3 Matriz escalonada reducida por renglones ERR

Decimos que una matriz de est escalonada reducida por filas si tiene las siguientes propiedades:

P1 Si tiene filas cero (todas las entradas de la fila son ceros) estn colocadas en la parte inferior deP2 Si una fila no es cero, su primer entrada no cero es un uno (llamado uno principal). P3 Si dos filas sucesivas no son cero, el uno principal de la fila superior est a la izquierda del uno principal

de fila inferior. Para el caso que tenga solo una fila no cero, estar colocada en el primer rengln.

P4 Cada columna que tiene un uno principal, tiene ceros en el resto de sus entradas.

,

Las siguientes matrices no estn en su forma escalonada reducida por renglones (verificarlo):

A cada matriz de le corresponde una y solo una matriz escalonada reducida por filas o renglones, la cual se obtiene despus de una sucesin de operaciones, que llamaremos operaciones elementales por filas y que descritas en la definicin 1.4.

Para obtener la matriz escalonada reducida por renglones de , empieza aplicando una operacin elemental a

la matriz original para obtener otra matriz a esta le otra operacin elemental y resulta otra matriz

y as sucesiv mente, al final del proceso frente a l matriz escalonada reducida por filas de .

Escribimos

Las operaciones elementales son familiares al lector, quiz no con ese nombre, como se observa en el siguiente ejemplo en que se aplica una de las operaciones elementales, denominada multiplicacin de una fila por una constante no cero (para que no anule la fila). Cada fila representa una ecuacin del SE y viceversa.

Multiplique la primera ecuacin de

E nm

E .

E

Ejemplo 1.9 Las siguientes matrices tienen las propiedades P1, P2, P3, P4 (verificarlo):

100010001

000002100000010

210000000000010

,

000002200000010

,

010100001

C nm E

C aplica

a

Ca

1C , estar2C E C

ECCC 21

9121516124

yxyx

y obtenga

9121543

yxyx

por 41

Otra operacin elemental es: multiplicar por -15 la primera fila y sumar a la segunda para obtener:

513343

yyx


Definicin 1.4 Operaciones elementales (OE)

Los tres tipos de operaciones elementales (OE MIS) permitidas sobre las filas de una matriz son:

M Multiplicar la fila de por cualquier nmero

Ck

f kC 0c para obtener otra matriz

Escribimos

1kkC y 1kC son iguales salvo por la fila f .

C .

1 k CC Ffc

k

I Intercambiar las posiciones de las filas f y g de C . k

kC y 1kC son iguales salvo por las filas f y g que estn intercambiadas. ,FgFfI

Escribimos 1 kk CC

S Sumar c veces ( c ) la fila f de C a la fila g de C . k kEl resultado de la OE se escribe en la fila de .

Escribimos

Antes de aplicar una OE para dar un paso , debe repasar las propiedades P1, P2, P3 y P4 en

C y seleccionar la operacin MIS apropia

g 1kC

1

kFgFfc

k CC

1 kk CCda que le acerqk ue a la matriz E escalonada por filas.

Solucin de un SE utilizando reduccin Gaussiana

La construccin de una solucin del SE BAX empieza al bir el SE como escri BAC , llamada matriz ampliada donde omite la incgnita X . Luego a ca operaciones elementales a la matriz ampliada para obtener:

pli

BEBA

Teorema 1.2 Las operaciones elementales no alteran la esencia de un sistema de ecuaciones, es decir, las soluciones de cualquiera de los sistemas de ecuaciones correspondientes a las matrices aumentadas en la cadena:

BEBA a originalson iguales. En particular, el sistem B AX y BEX tiene el mismo conjunto de soluciones, con

la ventaja de que BEX permite despej o existan, con mayor facilidad. ar las soluciones X , cuandEjemplo 1.10 Considere el sistema de ecuaciones:


32 zyx

923 zy227

xxyz

Reorde iones

72 zyx

32 zyx

na las ecuac 92322772

zyxzyx

zyx

Su matriz ampliada es

7112

922

3

123711

112

BA

u l en la fi fila por 21Para lograr un no principa primera la podra multiplicar la primera o proceder como sigue:

13112

93722

123112112711

93722

12311211271

9227

123711112 13,1 FFFI

Hacer ceros bajo el 1 principal, as:

2271122711 312 212 FF FF

754751

225015101530

37

112112 413 FF

a fila pod

9123

Para lograr un uno principal en la segund ra multiplicarla por 31 o proceder como sigue:

755147

225015301510

754751

225015101530 3,FFI

22711227112

1 principal de la segunda fila como sigue: Hacer ceros sobre y bajo el

90

473000

151051530

50 42 FF

160

25

5300

801

751

4722

2250

11711

5323

1F

FF

uno principal en la tercera fila:

2F

Para lograr un


1603

4725

5300100

1510801

16090

4725

53003000

1510801

3301 F-

1 principal de la tercera fila como se muestra en: Hacer ceros sobre y bajo el

BE

1321

000100010001

1603

4725

5300100

1510801

43532315138

FF FFFF

esponde a 1000 zyx es decir 10 La ltima ecuacin corr , es inconsistente y la solucin del SE es . En otras palabras, la for da S ma escalonada reduci BE corresponde al SE:

10003100

1001

zyxzyx

zyx

103

1

z

x

2010 zyx 2y

Aunque las primeras tres ecuaciones tienen una solucin, la solucin del sistema es

Ejemplo 1.11 Para cada valor del parmetro a se tiene un SE

S

987

azyxzayxzyax

212311

1111

23 aaaaa

aa

. Si 1a y 2En el ejemplo 1.6 calculamos a el ene

Ahora nos ocupamos de los casos y

determinante es distinto de cero, entonces el sistema de ecuaciones ti solucin nica.

1a 2a para los cuales el sistema no tiene solucin nica.

Para 1a el sistema se reduce a

x

987

zyxzyxzy

zyx ,, cuya suma zyx Obviamente inconsistente porque no existe sea 7,8 y 9 simultneamente.

Para 2a el sistema es

928272

zyx zyx zyx

y dejamos de ejercicio al lector aplicar reduccin Gaussiana

para comprobar que no tiene soluciones


Ejemplo 1.12 Considere los sistemas de ecuaciones

107

12

42

azz

z

yyy

xx

x, donde a es constante.

A continuacin se construye la matriz escalonada reducida por renglones de la matriz ampliada:

1111

1041

7212a

30102101

3030101111

90301111 12

23

2212 31

FF

F

FFF

gui

0100919130 331 aaa FFFPara el si ente paso debe considerar los casos 01 a y 0a 1a y 1a1 , los mismos que .

Con 1a la ltima matriz adopta la form

a

000030102101

y el sistema correspondiente es:

003

2yzx

z y

zx

3

2

Soluciones que puede escribir en la forma zy ,zzx 3,2,, . Hay infinida ones y el conjunto solucin es:

d de soluci

z zzS /,3,2 3

11 F

a Con entonces 1a 11a est definida y puede aplicar la OE a la matriz:

0100

2001

0100312101

0100

2101 1

ante es:

. El conjunto de soluciones es

3010003010 133

1 FFF

a y el sistema correspondie

z 0

y

x3

2 0,3,2 S

cios 1.2 constantes indeterm

1. Cul es la diferencia entre constante indeterminada y parmetro? ientes sistemas de ecuaci es

Ejerci dcba ,,, son inadas y BA, son parmetros (constantes arbitrarias).

2. Hallar el conjunto solucin de los sigu on


R.

R. 0,0,0

R. 3,2,1

R. S

102 xy 1453 yx 4,2

byax 0 R. abbyax 2 ab,

03402302

zyxyzxzxy

13462312

zyxyzxzxy

9237

72

zyxz

zyx 32 zyx

22xy

0yx R.

053423

02

zyxz

zxy z zy zx ;/ 5751

R.

zyx ;,,

1424192 wzx 597

x w z y x

3915122

y wzy

wz

wzywzx

6541

32

3. presencia d , cada uno de los siguientes represent milia de sistePor la e a una fa mas de ecuaciones.

Por ejemplo, representa los sistemas

ba,

053423

02

zyxbyzx

zxay

053423

02

zyxyzxzxy

42

,

23 yzx 5 , etc

0534

02

zyx

zxy10

Para cada familia de sistemas de ecuaciones dados a continuacin responder a las siguientes preguntas. Para que valores de el sistema de ecuaciones tiene solucin nica?

Para que cuaciones no tie

Para que valores de el sistema de ecuaciones tiene infinidad de soluciones?

a. R. Si 0a la solucin es

ba, valores de ba, el sistema de e ne solucin?

ba,

ayax

20ayax aa 11 , . Si 0a el conjunto solucin es

b. 0ayax R. Si 0a la solucin es 0ayax 0,0 . Si 0a la solucin es 2


c. R 0 ba 3 la solucin es 2

Si la solucin es

00

aybxbyax

. Si 0 0ab 0,0

la solucin es 0,0 Si 00 ba 00 bad. R. Si 00 ba la solucin es

Si 0ab la solucin es

20

aybxbyax .

22222,2

baa

bab

S 0i la solucin es 0 ba 0,2b Si la solucin es 00 ba a2,0

4. Para cada sistema de c ya su matriz aumentada y redzcala hasta su forma escalonada reducida por renglones, en n elemental que aplique estudie si hay restricciones sobre los parmetros , cada restriccin debe estudiarse por separado. Dar las soluciones en cada caso.

a.

R. Si tiene solucin nica

ecuaciones onstrucada operaci

ba,

7y

3444

9102

zyxbazyx

zx

4a

43,

4623,

4241215

ab

aba

aba

z z z z /23,1215 Si tiene infinidad 34 ba ,de soluciones Si no tiene soluciones.

b. R. Si 1a el SE tiene infinidad de soluciones

34 ba

107

12

42

zz

z

yyy

xx

x

a zzz /,3,2

Si el SE tiene solucin nica 1a 0,3,2

c. 2 zyx 53 zayx

33

2zyxR. Si tiene infinidad de soluciones 4a zzzz /,2,1 Si tiene nica

4a solucin 2,0,1

3 El smbolo matemtico denota la conjuncin y


d.

R. 3a y 4a tiene solucin nica

001

169

43

2

zz za

yy

ay

xxx

Si 43 aa

43

1,43

,12aaaa

En los siguientes ejercicios

7

sx, son variables. Hallar las constantes indeterminadas en cada ejercicio.

5. R.

,,ba

212162 22 xaxaxba 23 xbb 4,2 ba 6. R. Solucin es vaca

7.

1362 22 baxaxba 82 xxb

322322 953 222

xxcbx

xa

xxxxx

, 2x R. 3,2,1 cba

8. 222

3323213215

xc

xb

xa

xxxx

, 32 xx R. 1,2,3 cba

7225272252 7542 222223

ssdcs

ssbas

sssssss

R. 0;1 9. dcba

10. para que satisfaga la ecuacin con derivada

ba bxax BeAey s 023 yyy R. o 2,1 ba 1,2 ba

En los siguientes ejercicios x es una variable. Hallar las funciones si:

gf ,

x

xx

x

Bexg

Aeexf

x1ln

1ln 11.

eexgxfe

xgxfe

12

0 R.

xx

xxgxxfx

xgxxfx

cossin

0sincos R.

Bxxxxg

Axxxxf

cossin

sincos 12.

13. xe senxx 22cos .

x senx 2 cos

xe 211

221, son las incgnita

R.

s

senxxe x 2cos21 ; senxxe x cos222


En cada uno de los siguientes construya una ecuacin con derivadas sin los parmetros . Para esto derive tantas veces como nmero de parmetros tenga la funcin dada y obtenga un SE en

BA,yx,

metros. , sus derivadas y los

metros; luego utilice ope nes algebraicas sobre el sistema hasta eliminar los par

14. R.

par racio

AxAy lnln yxxyxy lnln 15. Aey R. 6xx Be 32 0 yy y 16. R. xx BeAey 22 04 yy

dxxxxx xxxI 2222 224 222

17. Calcule 3

Utilice reduccin Gaussiana para separar en fraccion

R.

es parciales.

AxxxxxI 1arctan2222ln 22 18. Sean cba ,, constantes. Resolver

c y x cbacz by ax abcabzacybcx222

3 R. cbaS ,,

baz

CAPTULO 1

sistemas de ecuaciones lineales

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