1 Mdulo 09

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Curso: Matemtica Bsica

Un sistema de ecuaciones lineales o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones

lineales

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incgnitas puede ser escrito en forma

normal como:

nnmnnm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

Donde nxxx ,,, 21 son las incgnitas y los nmeros Raij son los coeficientes del sistema

sobre el cuerpo de los nmeros reales.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar segn el nmero de soluciones que

pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene solucin.

Sistema compatible si tiene solucin, en este caso adems puede distinguirse entre:

o Sistema compatible determinado cuando tiene una nica solucin.

o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.

Ejemplo: Resuelva el sistema:

2 3 7 1

3 4 6 5

5 2 4 7

x y z

x y z

x y z

Sistema incompatible nnijaA )(;0A

Sistema compatible indeterminado nnijaA )(;0A

Sistema compatible determinado nnijaA )(;0A

2 Mdulo 09

Solucin

Determinamos la matriz aumentada

2 3 7 1

3 4 6 5

5 2 4 7

Seleccionamos el 11 2a y a travs de las operaciones elementales se hace cero los nmeros

que estn por debajo de 2. Es decir:

2 1 2

2 3 7 1

3 2 0 1 9 13

5 2 4 7

F F F

3 1 3

2 3 7 1

0 1 9 13

5 2 0 19 43 9F F F

Seleccionamos el 22 1a de la nueva matriz aumentada y a travs de las operaciones

elementales se hace cero los nmeros que estn por debajo de -1. Es decir:

3 2 3

2 3 7 1

0 1 9 13

19 0 0 128 256F F F

Escribimos el nuevo sistema equivalente al dado inicialmente

2 3 7 1 (1)

9 13 (2)

128 256 (3)

x y z

y z

z

Resolvemos la tercera ecuacin y avanzamos hacia arriba. Es decir:

Ecuacin (3)

128 256

2

z

z

Ecuacin (2)

9 13

18 13

5

y z

y

y

Ecuacin (1)

2 3 7 1

2 15 14 1

1

x y z

x

x

3 22 1 2F F F Significa que en la nueva fila 2 se ubica el resultado

de multiplicar por 3 a los elementos de la Fila 1 y sumarlos con

sus correspondientes de la fila 2 multiplicados por 2.

5 23 1 3F F F Significa que en la nueva fila 3 se ubica el resultado

de multiplicar por 5 a los elementos de la Fila 1 y sumarlos con

sus correspondientes de la fila 3 multiplicados por 2.

193 2 3F F F Significa que en la nueva fila 3 se ubica el resultado

de multiplicar por 19 a los elementos de la Fila 2 y sumarlos con sus correspondientes de la fila 3 multiplicados.