SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESIntroduccinUn problema fundamental que aparece en matemticas y en otras ciencias es el anlisis yresolucin de m ecuaciones algebraicas con n incgnitas. El estudio de un sistema deecuaciones lineales simultneas est ntimamente ligado al estudio de una matrizrectangular de nmeros definida por los coeficientes de las ecuaciones. Esta relacin pareceque se ha notado desde el momento en que aparecieron estos problemas.El primer anlisis registrado de ecuaciones simultneas lo encontramos en el libro chinoJiu Zhang Suan-shu (Nueve Captulos sobre las artes matemticas) (!"ase #c. $utor y%arlos#aza)escritoalrededordel &''a.%.(l comienzodel captulo )*** apareceunproblema de la siguiente forma+Tres gavillas de buen cereal, dos gavillas de cereal mediocre y una gavilla de cereal malose venden por 3 dou! "os gavillas de bueno, tres mediocres y una mala se venden por 3#dou! $ una buena, dos mediocres y tres malas se venden por %& dou! 'Cul es el preciorecibido por cada gavilla de buen cereal, cada gavilla de cereal mediocre, y cada gavillade cereal malo(,oy en da este problema lo formularamos como un sistema de tres ecuaciones con tresincgnitas+3 x+2 y+z=392x+3 y+z=34x+2 y+3 z=26dondex, y , zrepresentanel preciodeunaga!illadebuen mediocreymal cerealrespecti!amente.-os chinos !ieron el problema esencial. %olocaron los coeficientes de este sistemarepresentados por ca.as de bamb de color como un cuadrado sobre un tablero de contar(similar a un baco) y manipulaban las filas del cuadrado segn ciertas reglas establecidas./u tablero de contar y sus reglas encontraron su camino hacia 0apn y finalmenteaparecieron en Europa conlas ca.as de color sustituidas por nmeros y el tableroreemplazado por tinta y papel.En Europa esta t"cnica lleg a ser conocida como eliminaci)n *aussiana en honor delmatemtico alemn %arl 1. 2auss.%omo la t"cnica de eliminacin es fundamental empezamos el estudio de nuestra materiaaprendiendo cmo aplicar este m"todo para calcular las soluciones de los sistemas lineales.3espu"s de que los aspectos computacionales se mane4en bien profundizaremos encuestiones ms tericas.Eliminacin Gaussiana y matricesEnloque sigueconsideraremos fi4adouncuerpo5de coeficientes. Enel te6tonosreferiremos a los elementos del cuerpo como nmeroso escalares. El lector bien puedepensar que 5 es el cuerpo 7 de los nmeros racionales 8 de los reales o incluso % de loscomple4os. (unque debe tener en cuenta que todo lo dicho sobre sistemas de ecuacioneslineales y matrices es cierto en general para cualquier cuerpo 5.Definicin 1!1 /ea n1 un nmero natural. Una ecuacin lineal es una e6presin dela formaa1x1+a2x2++anxn=b3ondea1, a2, , anyb son nmeros conocidos x1, x2, , xn son incgnitas. -osnmeros ai se denominan coeficientes de la ecuacin mientras que b es el t"rminoindependiente.-a solucin de la ecuacin lineal anterior es una serie de nmeros 1, 2, , nque lasatisfacen es decir que !erifican+a11+a22++ann=bDefinicin1!!/eanm1yn1nmerosnaturales. Unsistemalinealesuncon4unto de m ecuaciones lineales y n incgnitas de la forma+a11x1+a12x2++ a1nxn b1a21x1+ a22x2 + +a2nxn b2 am1x1+ am2x2+ +amnxn bmS donde las xi son las incgnitas y los aij

bi son nmeros. -os nmeros aij sedenominan coeficientes del sistema y el con4unto de los bi trminos independientesdel sistema.Unasolucindel sistemalineal anterior esunaseriedenmeros1, 2, , nquesatisface cada ecuacin del sistema es decir que !erificaai 11+ai22++an=bi9ara i=1,2, , n"ro#lema$ El problema es calcular si es posible una solucin comn a un sistema linealcomo el anterior. 9ara estos sistemas e6isten tres posibilidades+ /:-U%*:; U;*%(+ E6iste uno y slo un con4unto de !alores para las incgnitasxique satisfacenlas ecuaciones simultneamente. /e dice entonces que elsistema escompatible determinado. 9or e4emplo el sistema formado por la nicaecuacin lineal2x1=3es compatible determinado su nica solucin esx1=3/ 2. *;1*;*$(/ /:-U%*:;E/+ E6isten infinitos con4untos de !alores para lasincgnitas xi que satisfacen las ecuaciones simultneamente. ;o es difcil probarque si el sistema tiene ms de una solucin entonces tiene infinitas si 5 el cuerpode nmeros es infinito. En este caso se dice que el sistema lineal escompatibleindeterminado.9ore4emploelsistemaformado por laecuacin lineal2x1+x2=3tienecomosoluciones x1=a x2=32adonde a es cualquier elemento de k luegoes compatible indeterminado. /*; /:-U%*:;+ ;ohay ningncon4untode!alores paralas incgnitas 6iquesatisfagantodas las ecuaciones simultneamente. El con4untode soluciones es!aco. 3ecimos que estos sistemas son incompatibles. 9or e4emplo el sistema dadopor las ecuaciones 2x1=3

x1=1es incompatible pues no hay ningn !alorde x1 que satisfaga ambas ecuaciones.2ran parte del traba4o acerca de los sistemas de ecuaciones es decidir cul de estas tresposibilidades es la que se presenta. -a otra parte de la tarea es calcular la solucin si esnica o describir el con4unto de soluciones si hay ms de una.Definicin 1!% 3os sistemas lineales con n incgnitas se dicen equivalentes si tienenlos mismos con4untos de soluciones.Ejercicio