sistemas de ecuaciones lineales

SISTEMAS DE SISTEMAS DE

ECUACIONES ECUACIONES

LINEALESLINEALES

UCA. Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras.

Introducción y notaciones

Estudio de un sistema de ecuaciones lineales

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

====++++++++++++

====++++++++++++====++++++++++++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...............

..............

...

...

2211

22222121

11212111

Expresión Analítica

,

,

,

i

i

ij

b

x

a coeficientes del sistema

incógnitas o variables

términos independientes

Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras. EPSA.

====

m

2

1

n

2

1

21

22221

11211

b

..

..

b

b

x

..

..

x

x

...

........

........

...

...

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

Expresión Matricial

Abreviadamente: A·X = B

A = Matriz de los coeficientes

(A|B) = Matriz ampliada


Expresión en función de las columnas de A:

====

++++++++

++++

2

1

2n

1n

2

22

12

1

21

11

..

b

b

·..

a

a

...·..

a

a

·..

a

a

nxxx

====

++++++++

++++

mmn

2

m2

1

m1 b

..

..·

a

..

.....·

a

..

..·

a

..

.. nxxx

1

·n

i i

i

x C B

=

=∑o equivalentemente,


Diremos que la matriz columna o elvector columna Ses una solucióndelsistema si se verifica que :

· BA S =

Tipos de sistemas

1. Sistema Incompatible

2. Sistema Compatible Determinado

3. Sistema Compatible Indeterminado


· OAX =

Sistemas Homogéneos

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneosi todos los términos independientes son nulos :

· OAX =

h∆∆∆∆∆∆∆∆ = {Soluciones del S.E.L.}

= {Soluciones del S.E.L.H.}Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras. EPSA.

� Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes

si cualquier solución de uno, lo es también del otro.

Sistemas Equivalentes

Transformaciones Elementales�Intercambiar dos ecuaciones.

�Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

�Sumar a una ecuación otra multiplicada por un escalar



Estudio de un s.e.l.

Resolución de un s.e.l.

Toda transformación elemental sobre un sistema de

ecuaciones lineales genera otro sistema equivalente.

Proposición 1

Proposición 2Si en un sistema de ecuaciones lineales se eliminan

las ecuaciones que son combinación lineal de otras

ecuaciones, se obtiene un sistema equivalente.


(1) Para todo sistema homogéneo se tiene que O∈∈∈∈ ∆∆∆∆h .

(2) Si s1 , s2∈∆∈∆∈∆∈∆h , entonces αααα·s1+ββββ·s2 ∈∈∈∈ ∆∆∆∆h, ∀α∀α∀α∀α,β∈β∈β∈β∈IR.

Proposición 3

Proposición 4Proposición 4

Si s0 es una solución de un sistema de ecuaciones

lineales y sh es solución del sistema homogéneo

asociado, entonces s0 + sh es solución del sistema.


Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficientepara que un sistema

de ecuaciones lineales sea compatiblees que el rango de

la matriz de los coeficientes coincidacon el de la matriz

ampliada.ampliada.

Corolario

• Si rg(A) ≠ rg(A|B) ⇒ S. INCOMPATIBLE

• Si rg(A) = rg(A|B) = n ⇒ S.C. DETERMINADO

• Si rg(A) = rg(A|B) < n ⇒ S.C. INDETERMINADO


Metodología

� Eliminar ecuacionesredundantes.

� Parametrizar el sistema.

====++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++++++

++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++

++++++++

++++++++

++++++++

mnnmppmppmmm

pnnppppppppp

pnnppppppppp

nnpppp

nnpppp

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

11 22 11

1 111 1 122 111 1

11 22 11

221122222121

111111212111

......

............

......

......

...........

......

......


Métodos Directos

� Método matricial .

� Método de Crámer.� Método de Crámer.

� Método Gauss(variante Gauss-Jordan)


Método Matricial o de la matriz inversa

A X B⋅ =A X B⋅ =


1X A B

−= ⋅

Método de Crámer

=

n

2

1

nnn2n1

2n2212

1n2111

n

2

1

b

.

b

b

A...AA

......

A...AA

A...AA

1

x

.

x

x

A

n1121 a...ab


nn2nn

n2222n1n2211111

a...ab

......

a...ab1bA...bAbAx

AA=+++=

n2n1n

22221

11211

nnn2n21n1n

b...aa

......

b...aa

b...aa

1bA...bAbAx

AA=+++=

........................................................................

Método de Gauss

=+++

=+++=+++

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

.........................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

=++=+++

>−<2nn2222

1nn1212111

1

11

212

................................

bx'a...x'a

bxa...xaxa

...

Ea

aE


=++>−< nnnn22n1

11

1nn bx'a...x'a

................................

Ea

aE

...

=

=++=+++

nnnn

2nn2222

1nn1212111

cxu

......................

cxu...xu

cxu...xuxu

........................................................................

Método de Gauss-Jordan

=

=++=+++

nnnn

2nn2222

1nn1212111

cxu

......................

cxu...xu

cxu...xuxu

=++=+++

−−

−−

nn

nn

exvxv

exvxvxv

......................

...

...

2112222

1111212111


........................................................................

=

==

nnnn dxd

dxd

dxd

......................2222

1111

= nnnn exv

......................

Escalonamiento de un S.E.LMediante este proceso podemos, a la vez, estudiar el carácter y resolver un sistema de m ecuaciones con nincógnitas.

* * * * . . . . . * *

* * * * . . . . . * *

* * * * . . . . . * *

0 0 * * . . . . . * *

0 0 0 * . . . . . * *( | )

. . . . .

0 0 0 0 . . . . . * *

0 0 0 0 . . . . . 0 0

0 0 0 0 . . . . . 0 0

A B

≈

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮


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