1. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador Captulo IV SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES4.1DEFINICIONES:a. Espacios de Tres Dimensiones:Cuando los objetos, o sus idealizaciones, se colocan en un sistema de coordenadas quetenga 3 ejes perpendiculares entre s, se est definiendo un Espacio de 3 Dimensiones.Se toma como base un aula de clases convencional rectangular, vista desde su interiorpor los estudiantes. Hacia el frente se tiene una pared que claramente nos define unplano al que se asignaran las coordenadas x y y (x es horizontal y y es vertical).El eje de las x estar ubicado en la base de esa pared, y el eje de las y ser la lneavertical izquierda de la pared.Es importante mencionar que la representacin de esos 2 ejes coincide con la formatradicional de representar los 2 primeros ejes cartesianos.Sin embargo, para representar totalmente esa aula, tambin existe un eje que nospermite identificar la dimensin y posicin en profundidad de los objetos, el mismo quese lo ubicar sobre la pared izquierda, en su base. 212

2. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLos objetos (pizarrn, puerta, pupitres) dentro de este espacio tridimensional podran serrepresentados de la siguiente manera:b. Funciones Lineales:El punto de partida para la definicin de las funciones lineales es la ecuacin de la lnearecta y sus propiedades.Las siguientes expresiones constituyen ecuaciones de lneas rectas especficas, bastantecomunes:2x + 3y 5 = 0x 5 y = 122 x + 3y = 0x7 = 0y = 3x =0 213 3. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorTodas las ecuaciones presentadas previamente pueden ser representadas por una nicaecuacin general (Ecuacin General de la Recta).Ax + By + C = 0 Ecuacin General de la RectaEsta ecuacin tambin es un ejemplo de funcin lineal, en una de sus formasespecficas.Ax + By + C = 0 Funcin Lineal para un Espacio de 2 Dimensiones (2 variables)Si se compara la Ecuacin General con las expresiones de las rectas presentadaspreviamente se puede concluir que:En la ecuacin de la recta existen 2 variables: x y y.Existen 3 constantes: A: coeficiente de la variable x B: coeficiente de la variable y C: trmino independiente de las variables (trmino independiente)Algunas de las constantes (A, B, C) pueden ser nulas, pero al menos uno de los coeficientes de las variables debe ser no nulo.Se requieren 2 condiciones para poder definir una ecuacin, pues al dividir toda la expresin para una de las constantes solamente permanecen 2 indeterminadas.Si se extienden las caractersticas menc ionadas previamente a una expresin que tenga 3variables (x, y, z), se tendra una ecuacin como la siguiente:Ax + By + Cz + D = 0 Funcin Lineal para un Espacio de 3 Dimensiones (3variables)La ecuacin previa se utiliza para describir planos dentro de un espacio tridimensional.Se puede extrapolar la expresin anterior hacia una funcin lineal que involucre a nvariables, por lo que pertenecer a un espacio n-dimensional.A1 .x 1 + A 2 .x 2 + ... + A n .x n + B = 0 Funcin Lineal para un Espacio de nDimensionesProblema Resuelto 1:Representar grficamente la siguiente funcin lineal:x + y+ z = 6Solucin:Se prepara una tabla especial en la que se pueden proporcionar diversos valores a lavariable (inicialmente comprendidos entre z-7 y 7), de modo que la funcininicial se transforme en otra que contiene solamente x y y.x+ y+ z= 6 z f(x, y)-7 x + y 7 = 6 o x + y = 13-6 x + y 6 = 6 o x + y = 12-5 x + y 5 = 6 o x + y = 11-4 x + y 4 = 6 o x + y = 10 214 4. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador -3 x+ y3= 6o x+y =9 -2 x+ y2 = 6 o x+ y =8 -1 x + y 1 = 6 o x+y =70 x+ y+0 = 6 o x+y =61 x + y +1 = 6 o x+y =52 x+ y+ 2= 6 o x+y =43 x+ y+3= 6o x+ y = 34 x+ y+ 4= 6 o x+y =25 x+ y+5 =6o x+ y =16 x+ y+6 = 6 o x+y =07 x+ y+0 = 7 o x + y = 1Las funciones de x y y obtenidas son rectas paralelas, pues tienen la mismapendiente.Solamente por facilidad de dibujo se toman aquellos datos en que x, y z sonytodos positivos.z f(x, y)0 x+y =61 x+y =52 x+y =43 x+ y = 34 x+y =25 x+ y =16 x+y =0Sobre un diagrama de coordenadas tridimensionales, se dibujan planos con lascoordenadas z de la tabla (z = 1, z = 2, z = 3, z = 4, z = 5, z = 6), pues el plano x-yse identifica como z = 0. 215 5. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSobre los ejes que describen los nuevos planos se dibujan las dimensiones base a escala(la misma escala para todos los ejes), para fijar referencias para los grficos de lafunciones.Se procede a dibujar la primera func in, cuando z = 0 (sobre el plano x-y, con suspuntos en el primer cuadrante.Sobre el grfico anterior se dibuja la recta cuando = 1, tambin en el primerzcuadrante. 216 6. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe dibujan las restantes rectas, solamente en el primer cuadrante.Se traza n lneas rectas auxiliares adicionales (lneas entrecortadas), que unan los puntosde cruce de las rectas con sus respectivos ejes de coordenadas en 2 dimensiones, parafacilitar la visualizacin tridimensional de las rectas dibujadas previamente. 217 7. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorPara identificar ms claramente a la representacin grfica de la ecuacin original, secoloca sombreado sobre la geometra (el rea interior a un tringulo plano en el espacio)que se ha obtenido, lo que representar a todas las rectas intermedias que se generarancon valores de z positivos y no enteros.A pesar de que solamente se ha dibujado un sector del plano obtenido, es fcil extendermentalmente esta geometra hacia la zona en que los valores de y, o z sonx,negativos, y esa nueva representacin ampliada sera el grfico total de la funcin lineal,con 3 variables, presentada previamente.NOTA: Una manera de interpretar el resultado anterior es que todos los puntos delplano sealado en el grfico, y sus extensiones hacia valores negativos de las variables,cumplen con las condiciones fijadas por la ecuacin lineal propuesta (la suma de lascoordenadas x, y y z tiene un valor de 6).4.2SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:Cuando en un problema se deben cumplir simultneamente las condicio nes fijadas porvarias ecuaciones lineales, se ha establecido un Sistema de Ecuaciones Lineales.Ejemplo 1:Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultneas:x + y+ z = 2x + 2y + 3 z = 5xy+ z = 4Se puede concluir que el sistema de ecuaciones es lineal, pues en todas las ecuaciones elexponente de las variables es 1; adems cada ecuacin representa una condicinindependiente.Los valores de x, y y z, que son solucin al sistema, deben cumplirsimultneamente con las 3 condiciones expuestas. 218 8. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEjemplo 2:Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultneas:x 2 + y 2 = 13x+y = 5El sistema de ecuaciones no es lineal por que al menos una de las incgnitas, en almenos una de las ecuaciones tiene una potencia diferente de 1.4.3MTODOS DE RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES:Existen diversos mtodos para resolver sistemas de ecuaciones. Los principales seestudiarn a continuacin.4.3.1 MTODO DE SUSTITUCIN:Consiste en reducir progresivamente el orden del sis tema de ecuaciones, despejando unade las incgnitas de una de las ecuaciones, y reemplazar esta expresin en lasecuaciones restantes. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno a uno elorden del sistema hasta llegar a una ecuacin con una incgnita. En este punto secalcula el valor de la nica incgnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan losvalores de las otras incgnitas.Problema Resuelto 2:Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incgnitas:2 x + 3y = 13Ec . 1x y = 1 Ec . 2Solucin:Debido a que la segunda ecuacin es ms sencilla, se despeja x.x = y 1 Ec . 2La nueva expresin se ha definido como Ecuacin 2 debido a que obliga a cumplir lasmismas condiciones que la Ecuacin 2, pero su presentacin es diferente.Se reemplaza la Ecuacin 2 en la Ecuacin 1. 2 x + 3y = 136x87 2( y 1) + 3 y = 13 Se simplifica la expresin. ( 2 y 2) + 3y = 13 2 y 2 + 3 y = 13 5y = 15219 9. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadory = 3 Valor de la incgnita yEl valor obtenido para la incgnita y se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incgnitas (Ecuacin 1 o Ecuacin 2).Se reemplaza y en la Ecuacin 2.x y = 1 y}x (3) = 1 Se simplifica la expresin previa:x = 2 Valor de la incgnita xResumiendo los 2 resultados previos, la solucin del sistema de ecuaciones es:x=2Solucin del sistema de ecuacionesy=3Con el objeto de interpretar grficamente la solucin de un sistema de ecuacionessimultneas, se representan grficamente las 2 ecuaciones del sistema, para lo que seidentifican las intersecciones de las ecuaciones con los ejes x y y:En el mismo grfico se identifica el punto cuyas coordenadas son solucin del sistemade ecuaciones.220 10. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorNOTA: La solucin del sistema de ecuaciones, en el grfico, es igual a las coordenadasde la interseccin de la representacin grfica de las funciones lineales.No es extrao este resultado pues cada una de las lneas rectas representan grficamenteal conjunto de coordenadas que satisfacen cada funcin lineal independientemente, y elpunto de interseccin de las 2 rectas es el nico que cumple simultneamente con lascondiciones impuestas por las 2 funciones lineales, lo que es exactamente equivalente ala definicin de sistema de ecuaciones simultneas.Problema Resuelto 3:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas:x + y+ z = 6Ec . 1x y + 2z = 5Ec . 2x + 2y + 3 z = 14 Ec . 3Solucin:Se despeja x de la primera ecuacin.x = y z + 6 Ec . 1La nueva expresin se ha definido como Ecuacin 1 debido a que sus condiciones sonequivalentes a las de la Ecuacin 1.El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que esequivalente:x = y z + 6Ec . 1x y + 2z = 5Ec . 2x + 2y + 3 z = 14 Ec . 3Se reemplaza x de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2. x y + 2z = 5 64748 x ( y z + 6 ) y + 2z = 5 Se simplifica la expresin previa: y z + 6 y + 2z = 5 2y + z = 1 Ec . 4La Ecuacin 4 combina las condiciones impuestas por la Ecuacin 1 (o Ecuacin 1)con las condiciones de la Ecuacin 2, por lo que se la identifica como una nuevacondicin.Se reemplaza x de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 3. x + 2y + 3z = 14221 11. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 64748 x ( y z + 6) + 2y + 3z = 14 Se simplifica la expresin anterior: y z + 6 + 2 y + 3z = 14y + 2z = 8 Ec . 5Con la Ecuacin 4 y la Ecuacin 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2incgnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incgnitas. 2y + z = 1Ec . 4y + 2z = 8Ec . 5Se utiliza nuevamente el mtodo de sustitucin para transformar el sistema de 2ecuaciones con 2 incgnitas, en 1 ecuacin con 1 incgnita, pues esta ltima situacines equivalente a calcular el valor de 1 de las incgnitas.Se despeja z de la Ecuacin 4 (se poda haber despejado y el procedimientoyhubiera sido similar, al igual que los resultados finales).z = 2y 1 Ec . 4Se reemplaza x de la Ecuacin 4 en la Ecuacin 5. y + 2z = 8 y + 2(2 y 1) = 8 Se simplifica la expresin anterior: y + 4y 2 = 8 5y = 10y = 2 Valor de la incgnita yEl valor obtenido para la incgnita y se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incgnitas (Ecuacin 4 o Ecuacin 5).Se reemplaza y en la Ecuacin 5. y + 2z = 8 y } ( 2) + 2z = 8 Se simplifica la expresin: 2z = 6z = 3 Valor de la incgnita zLos valores de y y de z se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3incgnitas (Ecuacin 1, Ecuacin 2, Ecuacin 3).Se reemplazan los valores de y y z en la Ecuacin 1.222 12. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador x+ y+ z= 6 y z } } x + ( 2) + (3) = 6 Se simplifica la expresin:x = 1 Valor de la incgnita xLa solucin total del sistema de ecuaciones es:x =1y = 2 Solucin del sistema de ecuacionesz=3Si se representara grficamente a las 3 ecuaciones se obtendran 3 planos en el espaciotridimensional. Por analoga a la representacin grfica de la solucin de un sistema de2 ecuaciones lineales con 2 incgnitas, la interseccin de los 3 planos es un nico puntocuyas coordenadas constituyen la solucin del sistema de ecuaciones.Problema Resuelto 4:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:2 x 5 y + z = 10Ec . 1x + 2y + 3 z = 26Ec . 2 3x 4y + 2z = 5 Ec . 3Solucin:Se despeja z de la primera ecuacin.z = 2x + 5y 10 Ec . 1Se reemplaza z de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2. x + 2y + 3z = 26 x + 2y + 3( 2 x + 5 y 10) = 26 Se simplifica la expresin previa: x + 2y 6 x + 15 y 30 = 26 5x + 17 y = 56Ec . 4Se reemplaza z de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 3. 3x 4y + 2z = 5 3x 4 y + 2( 2x + 5y 10) = 5 Se simplifica la expresin anterior: 3x 4 y 4x + 10y 20 = 5223 13. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 7x + 6y = 25Ec . 5Con la Ecuacin 4 y la Ecuacin 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2incgnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incgnitas. 5x + 17 y = 56Ec . 4 7x + 6y = 25Ec . 5Se despeja x de la Ecuacin 4. 17 y 56x= 5 1756x=y Ec . 45 5Se reemplaza x de la Ecuacin 4 en la Ecuacin 5. 7x + 6 y = 25 17 56 7 y + 6 y = 25 5 5 Se simplifica la expresin:119392 y+ + 6 y = 25 5589 267y= 55 89 y = 267267y= 89y = 3 Valor de la incgnita ySe reemplaza y en la Ecuacin 4. 5x + 17 y = 56 5x + 17 (3) = 56Se simplifica la expresin previa: 5x + 51 = 56 5x = 5 5x= 5x = 1 Valor de la incgnita xSe reemplazan y y x en la Ecuacin 1.2( 1) 5( 3) + z = 10 224 14. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador Se simplifica la expresin: 2 15 + z = 10z = 7 Valor de la incgnita zLa solucin total del sistema de ecuaciones es:x = 1y=3 Solucin del sistema de ecuacionesz=7Si se representaran grficamente a las 3 ecuaciones, se obtendran 3 planos en el espaciotridimensional. Por analoga a la representacin grfica de la solucin de un sistema de2 ecuaciones lineales con 2 incgnitas, la interseccin de los 3 planos es un nico puntocuyas coordenadas constituyen la solucin del sistema de ecuaciones.4.3.2 MTODO DE SUMA Y RESTA:Consiste en escoger una ecuacin como base y una de las incgnitas para ser eliminadapara reducir el orden del sistema de ecuaciones en una unidad. La ecuacin base seempareja con cada una de las ecuaciones restantes del sistema, y multiplicando cada unade las 2 ecuaciones por constantes apropiadas, mediante una suma o una resta, miembroa miembro de las 2 ecuaciones se conforma una nueva ecuacin en la que se haeliminado la incgnita escogida. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce unoa uno el orden del sistema hasta llegar a una ecuacin con una incgnita. Luego secalcula el valor de la nica incgnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan losvalores de las otras incgnitas.Problema Resuelto 5:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:2 x + 3y = 9Ec . 1x+y = 4 Ec . 2Solucin:Se multiplica la segunda ecuacin por -2 para que el coeficiente que multiplica a lavariable x sea igual al de la primera ecuacin cambiado de signo. 2x 2y = 8 Ec . 2La nueva expresin se ha definido como Ecuacin 2 debido a que sus condiciones sonequivalentes a la Ecuacin 2.Se empareja la Ecuacin 1 con la Ecuacin 2.2 x + 3y = 9Ec . 1 2x 2y = 8 Ec . 2Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones:225 15. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador( 2x + 3y ) + ( 2x 2 y) = (9) + ( 8) Se simplifica la expresin:( 2x 2 x) + (3y 2 y) = 1y =1y = 1 Valor de la incgnita yEl valor obtenido para la incgnita y se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incgnitas (Ecuacin 1 o Ecuacin 2).Se reemplaza y en la Ecuacin 1.2x + 3y = 9y }2 x + 3(1) = 9 Se simplifica la expresin:2x + 3 = 92x = 6 6x= 2x = 3 Valor de la incgnita xLa solucin total del sistema de ecuaciones es:x=3Solucin del sistema de ecuacionesy=1Problema Resuelto 6:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:2 x y + 3z = 17Ec . 13x + y z = 1 Ec . 2x + 3y + 2 z = 7 Ec . 3Solucin:Se toman como base para disminuir el orden del sistema de ecuaciones a la Ecuacin 1y a la variable y.En primer lugar se empareja la Ecuacin 1 con la Ecuacin 2.2 x y + 3z = 17Ec . 13x + y z = 1 Ec . 2Si se suma, miembro a miembro, la Ecuacin 1 con la Ecuacin 2, se logra eliminar lavariable y de la ecuacin resultado. 226 16. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador (2 x y + 3z ) + (3x + y z ) = (17 ) + (1) Se simplifica la ecuacin previa. 2 x y + 3z + 3x + y z = 185x + 2 z = 18 Ec . 4En segundo lugar se empareja la Ecuacin 1 con la Ecuacin 3.2 x y + 3z = 17 Ec . 1x + 3y + 2 z = 7Ec . 3Si se suma, miembro a miembro, tres veces la Ecuacin 1 con la Ecuacin 3, se lograeliminar la variable y de la ecuacin resultado. 3(2 x y + 3z ) + (x + 3y + 2 z ) = 3(17 ) + (7 ) Se simplifica la expresin. 6 x 3y + 9z + x + 3y + 2z = 51 + 77 x + 11z = 58 Ec . 5Con la Ecuacin 4 y la Ecuacin 5 se puede conformar un sistema de ecuacioneslineales equivalente al original pero que tiene nicamente 2 incgnitas.5x + 2 z = 18Ec . 47 x + 11z = 58 Ec . 5Se utilizar nuevamente el mtodo de suma y resta para transformar el sistema de 2ecuaciones con 2 incgnitas, en 1 ecuacin con 1 incgnita, lo que es equivalente aencontrar el valor de 1 de las incgnitas.Se resta 11 veces la Ecuacin 4 menos 2 veces la Ecuacin 5, para eliminar lavariable z en la ecuacin resultado. 11(5x + 2z ) 2(7 x + 11z ) = 11(18) 2(58) Se simplifica la expresin anterior: (55x + 22z ) (14 x + 22z ) = 198 116 55x + 22z 14 x 22z = 82 41x = 8282 x=41x = 2 Valor de la incgnita xEl valor obtenido para la incgnita x se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incgnitas (Ecuacin 4 o Ecuacin 5).Se reemplaza x en la Ecuacin 4. 5x + 2z = 18 227 17. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador5(2) + 2z = 18 10 + 2z = 182z = 8 8z= 2z = 4 Valor de la incgnita zLos valores de x y de z se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3incgnitas (Ecuacin 1, Ecuacin 2, Ecuacin 3).Se reemplazan los valores de x y z en la Ecuacin 1.2 x y + 3z = 172( 2) y + 3(4) = 174 y + 12 = 17 y =1y = 1 Valor de la incgnita yLa solucin total del sistema de ecuaciones es:x=2y = 1 Solucin del sistema de ecuacionesz=44.3.3 OTROS MTODOS PARARESOLVER SISTEMASDEECUACIONES LINEALES:Existen otros mtodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como el Mtodo delos Determinantes, el Mtodo de Operaciones Matriciales o un sinnmero de MtodosNumricos orientados a la computacin. Sin embargo, por tratarse de elementos deapoyo al manejo matemtico de problemas para la administracin, en el presente textono se los tratar a detalle, aunque en captulos posteriores se har referencia al uso dealgunas herramientas computacionales.A continuacin, a modo de ejemplo, se presentar la mecnica de resolucin de sistemasde 2 con 2 incgnitas, y 3 ecuaciones con 3 incgnitas respectivamente, mediante elmtodo de los determinantes.Problema Resuelto 7:Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incgnitas, mediante elmtodo de los determinantes:2 x 3 y = 5 Ec . 1x + 2y = 8 Ec . 2228 18. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSolucin:Cada incgnita se obtiene al realizar la divisin entre 2 determinantes. En eldenominador de cada expresin se coloca la matriz de coeficientes organizadosordenadamente (una tabla con lo s valores numricos especificados) y se obtiene sudeterminante, y en el numerador se coloca la misma matriz en la que se ha reemplazadola columna de coeficientes de la incgnita que se calcula por la columna de trminosindependientes.La matriz de coeficientes es: 2 31 2 El vector de trminos independientes es: 5 8 De acuerdo a este mtodo, las incgnitas se calculan de la siguiente manera: 5 3 82x=2 312 2 5 18y= 2 3 12Existen 3 determinantes que deben calcularse, 2 numeradores y 1 denominador: 5 3D1 =82 2 5D2 = 18 2 3Dd = 12El determinante de una matriz cuadrada de 2 filas por 2 columnas se obtienerestando el producto de los elementos de la diagonal principa l menos la diagonalsecundaria.a b= (a )( d) (b )(c )c dPrimer Determinante Numerador: 229 19. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 5 3D1 = 8 2 5 3D1 = = ( 5)( 2) ( 3)( 8)82 5 3D1 == 10 + 24 82 5 3D1 = = 14 Primer determinante numerador 8 2Segundo Determinante Numerador: 2 5D2 = 1 8 2 5D2 == ( 2)(8) ( 5)(1) 18 2 5D2 == 16 + 5 18 2 5D2 = = 21 Segundo determinante numerador 1 8Determinante Denominador: 2 3Dd = 1 2 2 3Dd == ( 2)( 2) ( 3)(1) 12 2 3Dd == 4+3 12 2 3Dd = = 7 Determinante deno minador 1 2Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incgnitas: D1 14x== Dd 7x = 2 Valor de la incgnita x D2 21y== Dd 7230 20. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadory = 3 Valor de la incgnita yLa solucin total del sistema de ecuaciones es:x=2Solucin del sistema de ecuacionesy=3Problema Resuelto 8:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas, mediante elmtodo de los determinantes:2 x y + 3z = 17 Ec . 13x + y z = 1Ec . 2x + 3y + 2 z = 7Ec . 3Solucin:La matriz de coeficientes es: 2 1 3 3 1 1 1 3 2 El vector de trminos independientes es: 5 8 Las incgnitas se calculan con las siguientes expresiones: 17 1 31 1 173 2x= 2 1 3 31 1 1 3 2 2 17 3 3 1 1 1 7 2y= 2 1 3 31 1 1 3 2 231 21. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 2 1 17 3 1 1 1 3 7z= 2 1 3 31 1 1 3 2Existen cuatro determinantes que deben calcularse, 3 numeradores y 1 denominador: 17 13D1 = 11 1 73 2 2 17 3D2 = 31 1 17 2 2 1 17D3 = 31 1 13 7 2 1 3Dd = 31 1 13 2El determina nte de una matriz cuadrada de 3 filas por 3 columnas se obtienerepitiendo las 2 primeras filas de la matriz y ejecutando los productos diagonalesde izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, con su propio signo, y losproductos de derecha a izquierda y de arriba hacia abajo con signo cambiado, ysumando esos productos.a b cde fghi { (a)(e)(i) + (d)(h)(c) + (g)(b)(f) } { (c)(e)(g) + (f)(h)(a) +a b cd e f(i)(b)(d) }Primer Determinante Numerador: 17 1 3D1 = 111 73 2232 22. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador17 13 1 1 1 7 32 = [(17)(1)( 2) + (1)( 3)( 3) + (7)( 1)( 1)] 17 13 1 1 1 [(3)(1)( 7) + ( 1)(3)(17) + (2 )( 1)(1) ] 17 1 3D1 = 11 1 = [34 + 9 + 7] [21 51 2]2 3 2 17 1 3D1 = 11 1 = 50 + 322 3 2 17 1 3D1 = 11 1 = 82 Primer determinante numerador 232Segundo Determinante Numerador: 2 173D2 = 31 1 1722 17331 1172 = [( 2)(1)( 2) + (3)( 7)( 3) + (1)(17)( 1)] [(3)(1)(1) + (1)( 7)( 2) + ( 2)(17 )(3)]2 17331 1 2 17 3D2 = 31 1 = [4 + 63 17] [3 14 + 102] 172 2 17 3D2 = 31 1 = 50 91 172 2 173D2 = 3 1 1 = 41 Segundo determinante numerador 1 7 2 233 23. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorTercer Determinante Numerador:2 1 17D3 = 3 1 113 72 1 173 1 11 3 7 = [(2)(1)( 7) + (3)(3)(17) + (1)( 1)(1) ] [(17)(1)(1) + (1)( 3)( 2) + (7 )( 1)( 3) ]2 1 173 1 1 2 1 17D3 = 31 1 = [14 + 153 1] [ + 6 21] 17 13 7 2 1 17D3 = 31 1 = 166 2 13 72 1 17D3 = 3 1 1 = 164 Tercer determinante numerador13 7Determinante Denominador: 2 13Dd = 3 11 1 3 22 133 1 11 3 2 = [( 2)(1)( 2) + ( 3)( 3)( 3) + (1)( 1)( 1) ] [( 3)(1)(1) + (1)(3)( 2) + ( 2)( 1)(3)]2 133 1 12 1 3Dd = 3 1 1 = [4 + 27 + 1] [3 6 6] 1 322 1 3Dd = 3 1 1 = [32] [ 9] 1 32234 24. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 2 1 3Dd = 31 1 = 41 Determinante denominador 13 2Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incgnitas:D1 82x==Dd 41x = 2 Valor de la incgnita xD2 41y= =Dd 41y = 1 Valor de la incgnita yD3 164z= =Dd 41z = 4 Valor de la incgnita zLa solucin total del sistema de ecuaciones es:x=2y = 1 Solucin del sistema de ecuacionesz=44.4 SISTEMAS DE ECUACIONES INCONSISTENTES:En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones deun sistema se contraponen con las condiciones fijadas por otra ecuacin, lo quedetermina que no exista solucin al sistema de ecuaciones (no existen valores de lasvariables que cumplan todas las condiciones a la vez). Ese tipo de sistemas deecuaciones se identifica como Sistemas de Ecuaciones Inconsistentes.Problema Resuelto 9:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x + 2y = 7 Ec . 1x + 2 y = 3 Ec . 2Solucin:Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que en el miembro izquierdo se tieneexactamente la misma expresin en ambas ecuaciones, pero el miembro derecho esdiferente. Se puede concluir que los valores de y de que cumplen la primerax ycondicin jams podrn cumplir con la segunda ecuacin pues 2 cosas iguales a unatercera deberan ser iguales entre s, y se llegara a concluir el absurdo de que es7igual a -3.235 25. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEl sistema de ecuaciones es inconsistente y no existe solucin.Si se dibujaran las 2 lneas que representan a las ecuaciones lineales, se obtendran 2rectas paralelas que nunca se cruzan.NOTA: No siempre es posible detectar directamente las inconsistencias de un sistemade ecuaciones (como en el ejemplo previo), pero durante el proceso de resolucin sellega a expresiones inconsistentes que denotan que el sistema original tiene esacaracterstica.Problema Resuelto 10:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x + 2y + z = 4 Ec . 12 x y + 3z = 2 Ec . 23 x + y + 4z = 1 Ec . 3Solucin:Se despeja x de la primera ecuacin.x = 2y z + 4 Ec . 1Se reemplaza x de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2. 2 x y + 3z = 2 2( 2 y z + 4) y + 3z = 2 Se simplifica la expresin previa: 4 y 2 z + 8 y + 3z = 2 5y + z = 6 Ec . 4Se reemplaza x de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 3. 3x + y + 4z = 1236 26. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 3( 2 y z + 4) + y + 4 z = 1 Se simplifica la expresin: 6 y 3z + 12 + y + 4 z = 1 5y + z = 11 Ec . 5Con la Ecuacin 4 y la Ecuacin 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2incgnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incgnitas. 5y + z = 6 Ec . 4 5y + z = 11 Ec . 5Claramente se observa que el nuevo sistema de ecuaciones, que es equivalente al primersistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas, es inconsistente pues 6 no es igual a -11(dos cosas iguales a una tercera son iguales entre s).El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solucin.4.5SISTEMAS DE ECUACIONES REDUNDANTES:En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones deun sistema se repiten con relacin a las condiciones fijadas por otra ecuacin, lo quedetermina que exista redundancia de condiciones. Ese tipo de ecuaciones se identificacomo Ecuaciones Redundantes.Problema Resuelto 11:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x+y= 3 Ec . 12 x + 2y = 6 Ec . 2Solucin:Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que la segunda es exactamente el doble dela primera ecuacin, y que todos los valores de y de que cumplen la primera x ycondicin tambin cumplen con las condiciones de la segunda ecuacin.En definitiva, la segunda ecuacin es equivalente a la primera por lo que la primeraexpresin (una recta con infinitos puntos) es la solucin del sistema de ecuacionesx + y = 3 SolucinNOTA: A diferencia de los sistemas de ecuaciones inconsistentes, en que no existensoluciones vlidas, en los sistemas de ecuaciones redundantes pueden obtenerseinfinitas soluciones que se describen mediante funciones.Problema Resuelto 12:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:237 27. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador2x + y z = 1Ec . 1 x + 2y + 3z = 12Ec . 23 x y 4z = 11Ec . 3Solucin:Se despeja y de la primera ecuacin.y = 2x + z + 1 Ec . 1Se reemplaza y de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2. x + 2y + 3z = 12 x + 2(2 x + z + 1) + 3z = 12 Se simplifica la expresin previa:: x 4 x + 2z + 2 + 3z = 12 5x + 5z = 10 x+ z = 2 Ec . 4Se reemplaza y de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 3. 3x y 4 z = 11 3x ( 2x + z + 1) 4z = 11 Se simplifica la expresin anterior: 3x + 2x z 1 4z = 11 5x 5z = 10x z = 2 Ec . 5Con la Ecuacin 4 y la Ecuacin 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2incgnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incgnitas. x+ z = 2 Ec . 4x z = 2 Ec . 5La Ecuacin 5 es igual a la Ecuacin 4 multiplicada por -1, por lo que lascondiciones de las 2 ecuaciones son redundantes, o en otras palabras ambas ecuacionesfijan una nica condicin.x z = 2 SolucinTodos los puntos que pertenecen a la recta de la ecuacin anterior tienen porcoordenadas pares de soluciones que satisfacen al sistema de ecuaciones original.En el numeral siguiente se estudiar una solucin parametrizada ms detallada, que esapropiada para el presente problema.238 28. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador4.6 SISTEMAS CON MENOS ECUACIONES QUE INCGNITAS:Cuando se dispone de menos ecuaciones que incgnitas en un sistema de ecuaciones, encaso de que el sistema no sea inconsistente, existirn infinitas soluciones. La formageneral de esas infinitas soluciones se obtiene escogiendo las incgnitas en excesocomo parmetros, y encontrando expresiones para las restantes incgnitas en funcin deesos parmetros.Problema Resuelto 13:Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incgnitas:x + y z =1Ec . 1x + 2y + 3 z = 3 Ec . 2Solucin:En el presente caso se utiliza el mtodo de sustitucin.Se despeja x de la primera ecuacin.x = y + z + 1 Ec .1 Se reemplaza x de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2.x + 2y + 3z = 3( y + z + 1) + 2 y + 3z = 3Se simplifica la expresin previa:: y + z + 1 + 2y + 3z = 3y + 4z = 2y + 4z = 2 Ec . 3En vista de que no se puede continuar con el proceso de simplificacin, el sistema de 2ecuaciones con 3 incgnitas es reemplazado por su equivalente que es la Ecuacin 3con 2 incgnitas.y + 4z = 2 Ec . 3Se escoge la variable y como parmetro:y = y Valor parametrizado de la incgnita yLa interpretacin de la expresin previa es que y puede tomar cualquier valor real.Si se asume como conocido el valor de y, de la Ecuacin 3 se puede despejar z:y + 4z = 24z = y + 2 y+2z=4239 29. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador y 2z= + 4 4 y 1z= + Valor parametrizado de la incgnita z 4 2Si se escoge un valor especfico de y, el valor de z puede calcularse con laexpresin previa.Una vez que se conoce los valores parametrizados de y y de z (los 2 en funcin dey), se pueden reemplazar estas expresiones en la Ecuacin 1, para calcular x.x + y z =1 y 1x + (y ) + = 1 4 2Se simplifica la expresin anterior: y 1x+ y+ =1 4 25y 3x+ = 4 2Se despeja x: 5y 3x=+Valor parametrizado de la incgnita x4 2La solucin total es:5y 3x= + 4 2y=y Solucin parametrizada del sistema de ecuacionesy 1z=+4 24.7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGNEAS:Las ecuaciones lineales cuyos trmino s independiente son nulos se conocen comoecuaciones lineales homogneas. Cuando todas las ecuaciones de un sistema sonhomogneas se tiene un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogneas.Ejemplo 3:Las siguientes ecuaciones conforman un Sistema de Ecuaciones LinealesHomogneas.x + 2 y + 3z = 0 Ec . 1x y + 2z = 0 Ec . 22 x 3y + z = 0 Ec . 3 240 30. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorDe la simple observacin de los sistemas de ecuaciones lineales homogneos, surge unasolucin obvia, la misma que consiste en que todas las incgnitas tengan valor nulo.x=0y = 0 Solucin del sistema de ecuacionesz=0Ejemplo 4:El siguiente sistema de ecuaciones es un Sistema de Ecuaciones LinealesHomogneas.3 x + 2y + z = 0Ec . 12x y z = 0Ec . 22 x + y + 3 z = 0 Ec . 3Una de las soluciones al sistema de ecuaciones es:x=0y = 0 Solucin del sistema de ecuacionesz=0Sin embargo, bajo ciertas condiciones (cuando se manejan ecuaciones redundantes), esposible que el Sistema de Ecuaciones Lineales Homogneas tenga ms de unasolucin.Para identificar si la solucin a un sistema de ecuaciones lineales homogneas es nica,con valores nulos de todas las incgnitas, o si existen infinitas solucio nes porredundancia de condiciones, se debe resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera delos mtodos tradicionales.Problema Resuelto 14:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:4x 3y + z = 0 Ec . 1 3x + y + 2z = 0 Ec . 2 2x + y + 5 z = 0Ec . 3Solucin:Se aplica el mtodo de suma y resta.Se multiplica la Ecuacin 2 por 3 para que el coeficiente que multiplica a la variabley sea igual al de la Ecuacin 1 cambiado de signo. 9x + 3y + 6z = 0 Ec . 2241 31. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe empareja la Ecuacin 1 con la Ecuacin 2.4x 3 y + z = 0 Ec . 1 9x + 3y + 6z = 0 Ec . 2Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones: 5x + 7z = 0 Ec . 4Se empareja la Ecuacin 2 con la Ecuacin 3. 3x + y + 2z = 0Ec . 2 2x + y + 5 z = 0 Ec . 3Se resta miembro a miembro la Ecuacin 2 menos la Ecuacin 3 x 3z = 0Ec . 5Con la Ecuacin 4 y la Ecuacin 5 se conforma un sistema de ecuacio nes linealesequivalente al original pero que tiene nicamente 2 incgnitas. 5x + 7z = 0Ec . 4 x 3z = 0 Ec . 5Se resta la Ecuacin 4 menos 5 veces la Ecuacin 5, para eliminar la variable x en laecuacin resultado. ( 5x + 7z ) 5( x 3z ) = (0) 5(0 ) Se simplifica la expresin anterior: 5x + 7z + 5x + 15z = 0 22 z = 0z = 0 Valor de la incgnita zSe reemplaza z en la Ecuacin 4. 5x + 7z = 0 5x + 7( 0) = 0 5x = 0x = 0 Valor de la incgnita xSe reemplazan x y z en la Ecuacin 1. 4 x 3y + z = 0 4( 0) 3y + ( 0) = 0 3y = 0y = 0 Valor de la incgnita yLa solucin total del sistema de ecuaciones es nica: 242 32. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorx=0y = 0 Solucin nica del sistema de ecuacionesz=0Problema Resuelto 15:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:4x 3y + z = 0 Ec . 1 3x + y + 2z = 0 Ec . 2x 2y + 3z = 0 Ec . 3Solucin:Se aplica el mtodo de sustitucin.Se despeja z de la Ecuacin 1.Se despeja x de la primera ecuacin.z = 4x + 3y Ec . 1El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que esequivalente:z = 4x + 3y Ec . 1 3x + y + 2z = 0 Ec . 2x 2y + 3z = 0 Ec . 3Se reemplaza z de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2. 3x + y + 2z = 0 3x + y + 2( 4x + 3y ) = 0 Se simplifica la expresin: 3x + y 8x + 6y = 0 11x + 7y = 0Ec . 4Se reemplaza z de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 3. x 2 y + 3z = 0 x 2y + 3( 4x + 3y ) = 0 Se simplifica la expresin: x 2 y 12x + 9 y = 0 11x + 7 y = 0 11x + 7y = 0Ec . 5243 33. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorCon la Ecuacin 4 y la Ecuacin 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2incgnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incgnitas. 11x + 7y = 0Ec . 4 11x + 7y = 0Ec . 5Debido a que las 2 ecuaciones son iguales, se tiene ecuaciones redundantes, y enrealidad existe una nica condicin que cumplir. 11x + 7y = 0 Ec . 6Todos los puntos pertenecientes a la recta descrita mediante la Ecuacin 6 satisfacen lascondiciones impuestas por el sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas.En vista de que existe una sola ecuacin con dos incgnitas, existe la falta de unacondicin para resolver el sistema de ecuaciones original, por lo que, para encontrar lasinfinitas soluciones al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incgnitas, es necesarioescoger una de las incgnitas de la Ecuacin 6 como parmetro (como si su valor seconociera pero es genrico). Por ejemplo se toma a x como parmetro (x podrtomar infinitos valores, pero las restantes incgnitas se ajustarn al valor escogido parax).x = x Valor parametrizado de la incgnita xUna vez conocido el valor de x, se despeja y de la Ecuacin 6.7 y = 11x11y= x Valor parametrizado de la incgnita y 7Se reemplazan x y y en la Ecuacin 1.4 x 3y + z = 0 11 4( x ) 3 x + z = 07 Se simplifica la expresin:4( x ) 33x+z = 072833 x x+ z= 07 75 x+z=07Se despeja z:5z=x Valor parametrizado de la incgnita z7La solucin total del sistema de ecuaciones es: 244 34. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorx=x 11y=x Solucin parametrizada del sistema de ecuaciones7 5z= x 7Si se da un valor arbitrario a x y se calcula en base a las expresiones de la solucin unvalor consistente de y y de z, se obtiene una de las infinitas soluciones al sistema deecuaciones simultneas.NOTA: Cuando por efecto del proceso de resolucin de los sistemas de ecuaciones sellega a una sola ecuacin con 2 o ms incgnitas, se escogen las incgnitas en excesocomo parmetros (como valores conocidos pero genricos), y se resuelve el sistemapara las restantes incgnitas en funcin de los parmetros escogidos previamente. Estoes vlido no solamente para ecuaciones homogneas sino para cua lquier tipo deecuaciones lineales.4.8SISTEMAS CON MS ECUACIONES QUE INCGNITAS:La presencia de ms ecuaciones que incgnitas dentro de un sistema de ecuacionessignifica que existe un exceso de condiciones que cumplir. A veces esa situacin setraduce en redundancia de condiciones, y a veces es el resultado de condicionesinconsistentes.Ocasionalmente la simple observacin del sistema de ecuaciones nos permite detectar elorigen del exceso de condiciones, pero generalmente se requerir realizar el procesotradicional para resolver el sistema, y en alguna etapa de ese proceso ser evidente elorigen de la redundancia.Problema Resuelto 16:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incgnitas:x+y= 3 Ec . 1x 2y = 0 Ec . 22 x + 2y = 6 Ec . 3Solucin:Por simple inspeccin se detecta que la Ecuacin 3 es exactamente el doble de laEcuacin 1, por lo que reflejan la misma condicin (si un par de valores y xycumplen con la primera ecuacin, automticamente cumplirn tambin con la terceraecuacin). Rpidamente se puede eliminar la redundancia quitando cualquiera de las 2ecuaciones (en este caso, para conservar las expresiones ms sencillas se eliminar latercera ecuacin) y se obtendr un sistema de ecuaciones equivalente al original.x+y= 3Ec . 1x 2 y = 0 Ec . 2 245 35. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe resta miembro a miembro las dos ecuaciones (Ecuacin 1 menos Ecuacin 2), paraeliminar la incgnita x:( x + y) ( x 2y ) = (3) (0) Se simplifica la expresin:( x x ) + ( y + 2 y) = 33y = 3y = 1 Valor de la incgnita ySe reemplaza y en la Ecuacin 1.x+ y = 3x + (1) = 3x = 2 Valor de la incgnita xLa solucin total del sistema de ecuaciones es:x=2Solucin del sistema de ecuacionesy=1Problema Resuelto 17:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incgnitas:2 x + 3y = 7Ec . 1x 2y = 2Ec . 23 x 6y = 3 Ec . 3Solucin:Por simple inspeccin se detecta que el miembro izquierdo de la Ecuacin 3 esexactamente el triple del miembro izquierdo de la Ecuacin 2; sin embargo, el miembroderecho de la tercera ecuacin no es el triple del miembro derecho de la ecuacin 2, porlo que cualquier par de valores x y y que cumpla con la ecuacin 2 no cumplircon las condiciones de la ecuacin 3, establecindose una inconsistencia.El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solucin.Problema Resuelto 18:Resolver el siguiente sistema de 4 ecuaciones lineales con 3 incgnitas:x + y + z = 4 Ec . 12 x y + 3z = 2 Ec . 2 x + 3y + z = 6 Ec . 33 x 2 y z = 1 Ec. 4246 36. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSolucin:Se despeja x de la primera ecuacin.x = y z 4 Ec . 1Se reemplaza x de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2. 2 x y + 3z = 2 2( y z 4) y + 3z = 2 Se simplifica la expresin: 2 y 2 z 8 y + 3z = 2 3y + z = 10 3y + z = 10Ec . 5Se reemplaza x de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 3. x + 3y + z = 6 ( y z 4) + 3y + z = 6 Se simplifica la expresin: y + z + 4 + 3y + z = 6 4 y + 2z = 10 2 y + z = 52 y + z = 5 Ec . 6Se reemplaza x de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 4. 3x 2y z = 1 3( y z 4) 2 y z = 1 Se simplifica la expresin previa: 3y 3z 12 2y z = 1 5y 4z = 11Ec . 7Con la Ecuacin 4, la Ecuacin 5 y la Ecuacin 6 se puede armar un sistema de 3ecuaciones con 2 incgnitas (nuevamente una ecuacin ms que el nmero deincgnitas existentes), equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3 incgnitas. 3y + z = 10Ec . 52 y + z = 5 Ec . 6 5y 4z = 11 Ec . 7Se despeja z de la Ecuacin 5.z = 3y + 10 Ec . 5247 37. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe reemplaza z de la Ecuacin 5 en la Ecuacin 6. 2 y + z = 5 2 y + (3y + 10) = 5 Se simplifica la expresin anterior: 2 y + 3y + 10 = 5 5 y = 15y = 3 Valor de la incgnita yPara verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solucindefinida o inconsistente, se reemplaza z de la Ecuacin 5 en la Ecuacin 7. 5y 4z = 11 5 y 4(3y + 10) = 11 Se simplifica la expresin: 5y 12 y 40 = 11 17 y = 51y = 3 Valor de la incgnita y que verifica la redundanciaDebido a que en ambos casos se obtuvo un mismo valor para y, el sistema deecuaciones tiene solucin vlida (en caso de que los valores obtenidos en los 2reemplazos fueran diferentes, el sistema de ecuaciones sera considerado comoinconsistente).El valor obtenido para la incgnita y se debe reemplazar en cualquie ra de lasecuaciones con 2 incgnitas (Ecuacin 5, Ecuacin 6 o Ecuacin 7).Se reemplaza y en la Ecuacin 5. 3y + z = 10 3( 3) + z = 10z = 1 Valor de la incgnita zLos valores de y y de z se deben reemplaza r en cualquiera de las ecuaciones con 3incgnitas (Ecuacin 1, Ecuacin 2, Ecuacin 3 o Ecuacin 4).Se reemplaza y y z en la Ecuacin 1. x + y + z = 4 x + ( 3) + (1) = 4x = 2 Valor de la incgnita xLa solucin total del sistema de ecuaciones es:248 38. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorx = 2y = 3 Solucin del sistema de ecuacionesz=1Problema Resuelto 19:Resolver el siguiente sistema de 4 ecuaciones lineales con 3 incgnitas, muy similar alproblema anterior, con un cambio en el trmino independiente de la Ecuacin 4:x + y + z = 4 Ec . 12 x y + 3z = 2 Ec . 2 x + 3y + z = 6 Ec . 33 x 2 y z = 16 Ec. 4Solucin:Se despeja x de la primera ecuacin.x = y z 4 Ec . 1Se reemplaza x de la Ecuacin 1 en la Ecuacin 2. 2 x y + 3z = 2 2( y z 4) y + 3z = 2 Se simplifica la expresin: 2 y 2 z 8 y + 3z = 2 3y + z = 10 3y + z = 10Ec . 5Se reemplaza y de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 3. x + 3y + z = 6 ( y z 4) + 3y + z = 6 Se simplifica la expresin: y + z + 4 + 3y + z = 6 4 y + 2z = 10 2 y + z = 52 y + z = 5 Ec . 6Se reemplaza y de la Ecuacin 1, en la Ecuacin 4. 3x 2 y z = 16 3( y z 4) 2 y z = 16 249 39. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador Se simplifica la expresin: 3y 3z 12 2 y z = 16 5y 4z = 28 Ec . 7Con la Ecuacin 4, la Ecuacin 5 y la Ecuacin 6 se puede armar un sistema de 3ecuaciones con 2 incgnitas, equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3incgnitas. 3y + z = 10Ec . 52 y + z = 5 Ec . 6 5y 4z = 28 Ec . 7Se despeja z de la Ecuacin 5.z = 3y + 10 Ec . 5Se reemplaza z de la Ecuacin 5 en la Ecuacin 6. 2 y + z = 5 2 y + (3y + 10) = 5 Se simplifica la expresin anterior: 2 y + 3y + 10 = 5 5 y = 15y = 3 Valor de la incgnita yPara verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solucindefinida o inconsistente, se reemplaza z de la Ecuacin 5 en la Ecuacin 7. 5y 4z = 28 5y 4(3y + 10) = 28 Se simplifica la expresin: 5 y 12 y 40 = 28 17 y = 68y = 4 Valor inconsistente de la incgnita yDebido a que al reemplazar la Ecuacin 5 en la Ecuacin 6 y en la Ecuacin 7 (las 2ecuaciones restantes pues la Ecuacin 5 presenta condiciones equivalentes a laEcuacin 5), se obtuvieron valores diferentes para el sistema de ecuaciones esy,inconsistente pues -3 no es igual a -4.El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solucin.250 40. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador4.9PROBLEMAS PROPUESTOS:Problema Propuesto 1:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x + y+ z = 2x + 2y + 3 z = 5xy+ z = 4Solucin: x = 1, y = -1, z = 3Problema Propuesto 2:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:2 x + 14y 4z = 2 4x 3y + z = 83 x 5y + 6z = 7Solucin: x = -2, y = 1, z = 3Problema Propuesto 3:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:2 x y + 3z = 1x + 2y + z = 6 x + y + z = 2Solucin: x = 3, y = 2, z = -1Problema Propuesto 4:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x + y+ z = 2x + 2y + 3 z = 53 x + 5y + 7 z = 12Solucin: el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones por presentar condicionesredundantes. Si se parametriza z, la solucin genrica ser z = z, y = -2z + 3, x = z 1,que se cumple para cualquier valor de z (la solucin ser diferente si se parametriza otravariable).Problema Propuesto 5:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x + y+ z = 2x + 2y + 3 z = 5x + 3y + 5z = 3 251 41. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSolucin: el sistema de ecuaciones es inconsistente por presentar condicionesincompatibles. Si se elimina la variable x, tal incompatibilidad se expresa como y + 2z= 3, y + 2z = 0.5 (la expresin de incompatibilidad ser diferente si se escoge otravariable de eliminacin).Problema Propuesto 6:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:2x z = 2 x + 2y + z = 03 x 2 y 4z = 10Solucin: x = -1, y = 1.5, z = -4Problema Propuesto 7:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x+y= 5y+z=3x+z= 4Solucin: x = 3, y = 2, z = 1Problema Propuesto 8:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x+y+ z = 0x + 2 y + 3z = 4 2x + y 2 z = 6Solucin: x = 3, y = -2, z = -1Problema Propuesto 9:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x y + z = 32x + y + 3z = 4x 2 y 2z = 13 x + 2y 3 z = 23Solucin: x = 3, y = 4, z = -2 252