sistemas de ecuaciones

7/18/2019 Sistemas de Ecuaciones

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANASESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

SEMANA III

Sistemas de Ecuaciones

Lineales



Definición

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones limeales dela forma:

mecuaciones

n incógnitas

Coeicientes del sistema

incógnitas

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3

3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + = + + + + =

+ + + + =

L

L

L L L L L L L L L L L L L L L

L

t!"minosinde#endientes



A$ mat"i% de loscoeicientes

Expresiónmatricial del

sistema

Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales

El sistema #uede se" esc"ito de la siguiente o"ma$

Matriz ampliada

&$ mat"i% de las

incognitas

'$ mat"i% de los t!"minos

inde#endientes

AX=B

…

nmnmmm

n

n

n

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

......

..........

......

......

......

=

…

mb

b

b

b

3

2

1

A* =

mmnmmm

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

......

............

......

......

......

321

33333231

22232221

11131211



Expresión matricial: ejemplo

El sistema 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2

(iene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

2 5 –3

1 –4 1

(iene la siguiente matriz ampliada$ A* =

2 5 –3 1

1 –4 1 –2

(iene la siguiente expresión matricial:

2 5 –3

1 –4 1

x

yz

=

1

– 2



Solución de un sistema de ecuaciones

Una solución del sistema$

es un conjunto ordenado de números reales (s! s"! s#! $$$ ! sn% tales

&ue se 'erifican todas las ecuaciones:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + = + + + + = + + + + =

L

L

L L L L L L L L L L L L L L L

L

=++++

=++++=++++

mnmnmmm

nn

nn

b sa sa sa sa

b sa sa sa sa

b sa sa sa sa

332211

22323222121

11313212111



Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo

−==−=

1

3

3

z

y

x

) Los *alo"es

• Los *alo"es

=−=

=

1

1

3

z

y

xson una solución del sistema #o" +ue$

onsideramos el sistema$

=+=++=−+

3 32

22

1

y x

z y x

z y x

son una solución del sistema #o" +ue$

=−⋅+⋅=−+−⋅+=−−+

3 )1(332

2)1()1(2 3

11)1(3

=⋅+−⋅=−+⋅+−=−−+−

3 )3(3)3(2

2)1(323

1)1(33



Clasificación de un sistema según el número de soluciones

Sistemas deecuaciones lineales

Incom#ati,le

Com#ati,le

)in solución

on solución

Dete"minado

Indete"minado

)oluciónúnica

*nfinitassoluciones

) +iscutir un sistema es decidi" a cu-l de estas t"es catego".as #e"tenece/



*$ Multi#lica" o di*idi" am,os miem,"os de unaecuación #o" un n0me"o distinto de ce"o/

**$ Suma" a una ecuación del sistema ot"a ecuación delmismo/

Sistemas Equivalentes

+os sistemas de ecuaciones lineales son e&ui'alentes si tienen exactamente lasmismas soluciones$

,ransformaciones +ue con*ie"ten un sistema en ot"o e+ui*alente$

***$ Elimina" una ecuación +ue es com,inación lineal deot"as dos/



)istemas e&ui'alentes: ejemplo

=−+=−+=−+

4422

13

322

z y x

z y x

z y x

=−+=−+=−+

22

13

322

z y x

z y x

z y x

=−+=−+=−+

322

13

22

z y x

z y x

z y x

−=+−−=+−

=−+

12

552

22

z y

z y

z y x

=−−=+−

=−+

3

552

22

z

z y

z y x

33 2

1 E E →

13 E E ↔

1223 E E E −→

133 2 E E E −→

233 2 E E E −→

Sistemas e+ui*alentes



Sistemas de ecuaciones escalonado

Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando 'erifica &ue! reordenadas susecuaciones de forma con'eniente! la matriz de los coeficientes es escalonada$

=−=+

53

432

y

y x

−=

=+=−+

23

324

5324

z

z y

z y x

E1em#los$



-esol'er un sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar todas sussoluciones o decidir &ue no tiene ninguna$

Resolución de sistemas deecuaciones

M!todos de "esolución$ $ M!todo de Gauss/

"$ M!todo de C"ame"/

#$ M!todo de la mat"i% in*e"sa/



Resolución de un sistema escalonado: ejemplo

−=−=+−

=−+

52

1483

92

z

z y

z y x

2

5

−= z

Los sistemas escalonados son -cilmente "esolu,les$

6259 =+−= x

23

2014−=

−+−

= y



Resolución de sistemas: método de auss

Se #ueden da" los siguientes #asos$

*$ Si es necesa"io "eo"dena" ecuaciones #a"a +ue a22 sea distinto de ce"o/

**$ Di*idi" la #"ime"a ecuación #o" a22 3 "esta" a cada ecuación un m0lti#lo de la #"ime"a #a"aelimina" todos los elementos +ue +uedan #o" de,a1o de a2242/

***$ Re#eti" los #asos ante"io"es ,asados a5o"a en a66 73 si es necesa"io en cada aii8/

*.$ El #"oceso te"mina cuando no +uedan m-s ecuaciones/

/0teniendo un sistema escalonado e&ui'alente9 mediante t"anso"maciones adecuadas/

El m1todo de 2auss #a"a "esol*e" un sistema de ecuaciones lineales

$

=++=++=++

,

;

;

3333232131

2323222121

1313212111

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa



!étodo de auss: posi"ilidades

En el m!todo de Gauss9 una *e% o,tenida la mat"i% se #ueden da" las siguientes#osi,ilidades$

*ncompati0le

) Si no es incom#ati,le9 se conside"a el n0me"ode ilas e incógnitas +ue +uedan$

n3 de ecuaciones = n3 de incógnitas

compati0le determinado

n3 de ecuaciones 4 n3 de incógnitas

compati0le indeterminado

=

=+=++

50

1483

92

z y

z y x

==+=++

52

1483

92

z

z y

z y x92

1483 =++ =+

z y x z y

123 =−+ z y x

) Si alguna de las ilas est- o"mada #o" todosce"os menos el t!"mino inde#endiente/



!étodo de auss: sistema compati"le determinado

72: ec8 7;68 < 6: ec

72: ec8 7;68 < =: ec

76: ec8 7;28 < =: ec

Se des#e1an incógnitas

5acia a""i,a

2

5

23

1420

6529

−=

−=

−

−=

=−+=

z

y

x



!étodo de auss: sistema incompati"le

72: ec8 7;68 < 6: ec

72: ec8 7;68 < =: ec

76: ec8 7;28 < =: ec

La 0ltima ecuación no tiene solución 3 #o" lo tanto el sistema es incom#ati,le/



!étodo de auss: sistema compati"le indeterminado

⇔

−=+−=−+

1483

92

z y

z y x

=−−−=

−−−

−+=

⇔t z

t y

t t x

3148

3

14829

72: ec8 7;68 < 6: ec

72: ec8 7;68 < =: ec

=

+=

−=

⇔t z

t y

t x

38

314

3

2

3

13

Se des#e1an incógnitas 5acia a""i,a9 des#u!s de 5ace" z > t



Regla de Cramer: sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas

Esta solución #uede se" e4#"esada de la siguiente o"ma$

Se o,se"*a +ue$

) El denominado" de las soluciones es el dete"minante de la mat"i% de los coeicientes/

) Cada nume"ado" es el dete"minante de la mat"i% o,tenida al sustitui" la co""es#ondientecolumna de coeicientes #o" la los de t!"minos inde#endientes/

El sistema al se" "esuelto #o" "educción se llega a$

=+

=+

2222121

1212111

b xa xa

b xa xa

;

2221

1211

222

121

1

aa

aaab

ab

x =

2221

1211

221

111

2

aa

aaba

ba

x =

21122211 −−=

aaaa

baab x 212221

1 21122211 −

−=aaaa

abba x 211211

2



Regla de Cramer: sistema de tres ecuacionescon tres incógnitas

Si ? A ? ≠ @9 el sistema de = ecuaciones con = incógnitas A 4 > ' tiene solución 0nicadada #o"$

Esta "egla es *-lida #a"a cual+uie" sistema de igual n0me"o de ecuaciones +ue deincógnitas 3 se llama regla de ramer /

42 >

,2 a26 a2=

,6 a66 a6=

,= a=6 a==

a22 a26 a2= a62 a66 a6=

a=2 a=6 a==

B 46 >

a22 ,2 a2=

a62 ,6 a6=

a=2 ,= a==

a22 a26 a2= a62 a66 a6=

a=2 a=6 a==

B 4=>

a22 a26 ,2

a62 a66 ,6 a=2 a=6 ,=

a22 a26 a2= a62 a66 a6=

a=2 a=6 a==



-egla de ramer (demostración%

Sea ) un sistema de ramer 7#o" deinición es sistema com#ati,le dete"minado8/

La solución se o,tiene como un cociente ent"e el dete"minante de la incógnitaco""es#ondiente 7el +ue se o,tiene sustitu3endo la columna de dic5a incógnita #o"

los t!"minos inde#endientes8 3 el dete"minante de la mat"i% de coeicientes/

D/ Como el sistema es com#ati,le9 ∃ 7s29s69////sn8 +ue es solución del sistema9 esdeci"

'> s2C2<s6C6<////<snCn

det7C29C69/////'9////Cn8 > det7C29C69////////9 s2C2<s6C6<////<snCn9/////////Cn8 >

det7C29C69////9 s2C2////Cn8 < det7C29C69///9 s6C69////Cn8 <//////< det7C29C69/////9 snCn9////Cn8

,odos los determinantes! excepto el &ue tiene todas las columnas distintas

son cero por tener dos columnas proporcionales$ 5uego

> det7C29C69/////9 siCi99////Cn8 > si det7C29C69/////9 Ci9////Cn8 3 des#e1ando si se o,tiene lo

+ue +ue".amos/

ni1 )C,...C,...C,Cdet(

)C,...B,...C,Cdet(

ni21

n21

i ≤≤=



Resolución de sistemas: método de la matri#inversa

A . ! = B

Si ? A ? ≠ @ la mat"i% A es in*e"si,le/Multi#licamos #o" la i%+uie"da a am,os miem,"os #o" A2

/

A"1 .

A.

! = A"1 .

B

# . ! = A"1 . B

! = A"1 . B

esta 0ltima igualdad nos "esuel*e el sistema/

El sistema

a2242 < a2646 < a2=4= > ,2

a6242 < a6646 < a6=4= > ,6

a=242 < a=646 < a==4= > ,=

tiene la siguiente e4#"esión mat"icial$

$11 $12 $13

$21 $22 $23

$31 $32 $33

x1

x2

x3

=

%1

%2

%3



Compati"ilidad de sistemas$ %eorema de Rouc&é

Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas! es compati0le si 6 sólosi! los rangos de las dos matrices son iguales/

rg( A% = rg ( A7%

Dado el sistema dem

ecuaciones lineales conn incógnitas$

siendo A 3 A la mat"i% de los coeicientes 3 la mat"i% am#liada$

=++++

=++++=++++=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

...

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

=

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

=

mmnmmm

n

n

n

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...

...............

...

...

...

* 3

2

1

321

3333231

2232221

1131211



%eorema de Rouc&é: demostración

) Esc"i,imos el sistema en o"ma *ecto"ial 7con las columnas8

C242< C646</////////<Cn4n> ' Sistema SH

+emostración

ond$ necesaria% Si S es com#ati,le9 e4iste al menos una solución 7s29s69s=9////sn8tal +ue

C2s2< C6s6</////////<Cnsn> '

Po" tanto ' es com,inación lineal de las columnas C29C69////Cn 3 el "ango de la mat"i%am#liada con esa columna ' no *a".a/ Luego rg(A% = rg(A7%

ond$ suficiente% Si "g 7A 8 > "g 7A<8 una ila o columna es com,inación lineal de lasdem-s/ Sólo #uede se" ' #o"+ue el "esto son iguales +ue las de A9 luego$

C2s2< C6s6</////////<Cnsn> '

Lo +ue +uie"e deci" +ue los coeicientes 7s29s69s=9////sn8 son una solución del sistema #o"lo +ue el sistema es com#ati,le/

onsecuencias: El "ango indica el n de ecuaciones linealmente inde#endientes/

SI el n de incógnitas es ma3o" +ue el "ango9 el sistema tiene ininitas soluciones/ Pa"a"esol*e"lo se eligen " ecuaciones inde#endientes 3 se #asan al segundo miem,"o lasn ; " 0ltimas incógnitas9 o,teni!ndose un sistema de " ecuaciones 3 " incógnitas +ue3a se #uede "esol*e" 3 +ue de#ende"- de n" #a"-met"os 7g"ados de li,e"tad8



Discusión de un sistema mediante el%eorema de Rouc&é

Sistemas deecuaciones lineales

Incom#ati,le

Com#ati,le

)in solución

on solución

Dete"minado

Indete"minado

)oluciónúnica

*nfinitassoluciones

Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas/

) Sea A la mat"i% de los coeicientes 3 sea p su "ango/) Sea A la mat"i% am#liada 3 sea q su "ango/

⇔ # ≠ +

⇔ # > + > n

⇔ # > +

⇔ # > + J n



Discusión ' resolución de un sistema dependientede un par(metro

) En ocasiones9 alguno de los coeicientes o t!"minos inde#endientes #ueden toma"

cual+uie" *alo"$ es un par8metro de sistema de o"ma +ue al da"le *alo"es o,tenemossistemas de ecuaciones die"entes/

) +iscutir el sistema seg0n los *alo"es de dic5o #a"-met"o es a*e"igua" seg0n sus*alo"es cu-ndo el sistema es com#ati,le o incom#ati,le9 3 en caso de com#ati,ilidad sies dete"minado o indete"minado/

Los siguientes #asos #ueden se" 0tiles #a"a discuti" un sistema$

Kalla" los *alo"es del #a"-met"o +ueanulan al dete"minante de la mat"i% de

los coeicientes

Pa"a dic5os *alo"es estudia" lanatu"ale%a del sistema

Pa"a los *alo"es +ue 5acen +ue eldete"minante de la mat"i% de los

coeicientes no sea nulo9 estudia" lanatu"ale%a del sistema



Sistema dependiente de par(metro: ejemplo

Conside"amos el sistema deecuaciones lineales$

Las matriz de coeficientes 6 la matriz ampliada asociadas al sistema son$

=++=−−

=++

5

32

23

z ymx

z y x

z my x

−−=11

211

31

m

m

A

−−=511

3211

231

*

m

m A

42223231 22 ++−=−++−+−= mmmmm A

2104220 2 =−=⇒=++−⇒= mmmm A

///// continuación /////



Sistema dependiente de par(metro )continuación* :ejemplo

−−−

−=

111

211

311

A

−−−

−=

5111

3211

2311

* A

A)/ *$ Cuando m > 2$ Las mat"ices son

"g7 A8 > 6

"g7

A8 > =

El sistema es incompati0le

−−=112

211

321

A

−−=

5112

3211

2321

* A

A)/ **$ Cuando m > 6$Las mat"ices son

Su 0nica solución se #uede o,tene"

mediante la "egla de C"ame"$

"g7 A8 > 6 >"g7 A8 ompati0le indeterminado

3

8 ,

3

51

t x

t y

+=+−=⇒

+=−−=+

=t y x

t y xt z

23

322,

A)/ ***$ Cuando

"g7 A8 > "g7 A8 > = > n0me"o de incógnitas2,1−≠m

ompati0le determinado 422

2613115

213

32

2 ++−+−=

−−

=mm

m

A

m

x

422

261315

231

321

2 ++−+−

=

−

=mm

m

A

m y

2

3

422

63351

311

21

2

2

−=++−−−

=

−

=mm

mm

A

m

m

z



ompati0les

es siem#"e solución del sistema

021

==== n x x x

Sistemas &omogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales es 9omog1neo si todos los t!"minos inde#endientes

son @/

Los sistemas 9omog1neos #ueden tene"9 #ues9 una o ininitas soluciones$

Si el dete"minante de la mat"i% de los coeicientes es no nulo9el sistema es com#ati,le

dete"minado 3 tiene como 0nica solución la solución t"i*ial/

Si el dete"minante de la mat"i% de los coeicientes es nulo9 el sistema es com#ati,le

indete"minado/ Ent"e sus ininitas soluciones se encuent"a la solución t"i*ial/

=+++

=+++=+++

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa



+nterpretación geométrica de una ecuación linealcon dos incógnitas

Los #untos 749 38 +ue *e"iican la ecuación lineal ax a"6 = 0 o"man una "ectaB se

dice +ue a24 < a63 > , es la ecuación de una recta en el plano$



+nterpretación geométrica de un sistemacon dos incógnitas

Las dos "ectas sólo tienen un #unto en com0n$ el sistema escom#ati,le dete"minado/

Las dos "ectas no tienen #untos en com0n$ el sistema esincom#ati,le/

Las dos "ectas tienen ininitos #untos en com0n$ el sistemaes com#ati,le indete"minado/



,ara resolver un pro"lema mediante un sistemade ecuaciones

$ Se identiican las incógnitas/

"$ Se e4#"esa el enunciado del #"o,lema mediante sistemas de

ecuaciones/

#$ Se "esuel*e el sistema/

;$ Se com#"ue,a +ue las soluciones del sistema tienen sentido con

"es#ecto al enunciado del #"o,lema/

sistemas de ecuaciones

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