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SISTEMAS DE ECUACIONES
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S ISTEMAS DE ECUACI ONES
Ejercicio 1.- Resuelve los siguientes sistemas utilizando el mรฉtodo de GAUSS.
1. !2x + y โ z = 0x โ y + 2z = 5x + y + z = 4
2. !x + 2y + z = 42x + 5y + z = โ34x + 9y + 3z = 2
3. !2x โ y + z = 3x + 2y โ z = 4x โ 8y + 5z = โ6
4. !โx + 3y โ z = 4x + 4y = 5
2x โ 6y + 2z = 3
5. !4x + y โ 2z = โ33x โ y + 4z = โ2โx + y + z = 5
6. !2๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 1๐ฅ โ 3๐ฆ + ๐ง = 03๐ฅ โ 2๐ฆ = 1
Ejercicio 2.- Resuelve utilizando la regla de CRAMER
1. !2๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 0๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง = 5๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 4
2. !4๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง = โ33๐ฅ โ ๐ฆ + 4๐ง = โ2โ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 5
3. !โ๐ฅ + 3๐ฆ โ ๐ง = 4๐ฅ + 4๐ฆ = 5
2๐ฅ โ 6๐ฆ + 2๐ง = 3
4. !โ๐ฅ + 2๐ฆ โ ๐ง = 0๐ฅ โ 3๐ฆ + ๐ง = โ32๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 1
5. !2๐ฅ โ ๐ฆ โ ๐ง = 0โ๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 1๐ฅ โ 3๐ฆ โ 2๐ง = โ3
6. !๐ฅ โ ๐ฆ โ 2๐ง = 22๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ง = 13๐ฅ + ๐ง = 3
Ejercicio 3.- Resuelve los siguientes sistemas con parรกmetros mediante GAUSS
1. !๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 3๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = 5๐ฅ +๐๐ฆ + 3๐ง = 7
Resuรฉlvelo cuando tenga infinitas soluciones
2. !2๐ฅ + 3๐ฆ โ 4๐ง = 14๐ฅ + 6๐ฆ โ ๐๐ง = 2๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = 10
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3. !๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = 0๐ฅ +๐๐ฆ + 2๐ง = 0
2๐ฅ + (3 +๐)๐ฆ + 4๐ง = 0
Ejercicio 4.- Discute y resuelve los sistemas en los casos que sea posible por determinantes y rangos.
1. ;5๐ฅ + 4๐ฆ + 2๐ง = 02๐ฅ + 3๐ฆ + ๐ง = 0
4๐ฅ โ ๐ฆ +๐!๐ง = ๐ โ 1
2. !๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = ๐2๐ฅ + ๐ฆ + 4๐ง = 6๐ฅ โ 4๐ฆ + 5๐ง = 9
3. !๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = ๐ โ 12๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ง = 1
4. !2๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ง = 2๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐โ๐ฆ + ๐๐ง = 0
๐๐๐ ๐ข๐๐๐ฃ๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐.
Ejercicio 5.- Resuelve el siguiente sistema utilizando el concepto de ecuaciรณn matricial.
1. !2x + y โ z = 0x โ y + 2z = 5x + y + z = 4
2. !4x + y โ 2z = โ33x โ y + 4z = โ2โx + y + z = 5
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SOLUCIONES
Ejercicio 1.- Resuelve los siguientes sistemas utilizando el mรฉtodo de GAUSS.
1. !2x + y โ z = 0x โ y + 2z = 5x + y + z = 4
โ
L2 1 โ1 01 โ1 2 51 1 1 4
M2๐ฟ! โ ๐ฟ"
โ2๐ฟ# โ ๐ฟ"
L2 1 โ1 00 โ3 5 100 1 3 8
M3๐ฟ# + ๐ฟ!โ L2 1 โ1 00 โ3 5 100 0 14 34
M
โ !2x โ 3y + 5z = 10โ3y + 5z = 1014z = 34
Ahora de la ultima ecuaciรณn puedes despejar el valor de la incรณgnita z:
๐ง =3414
=177
Sabiendo el valor de la incรณgnita z puedes ir a la segunda ecuaciรณn y determinar el valor de y:
โ3y + 5z = 10 โ โ3y = 10 โ 5177โ โ3๐ฆ =
โ157
โ ๐ฆ =57
Y finalmente solo tienes que ir a la primera ecuaciรณn para saber el valor de x:
2x โ 3y + 5z = 10 โ 2x = 357โ 5
177โ ๐ฅ =
67
2. !x + 2y + z = 42x + 5y + z = โ34x + 9y + 3z = 2
โ
L1 2 1 42 5 1 โ34 9 3 2
M๐ฟ! โ 2๐ฟ"
โ๐ฟ# โ 4๐ฟ"
L1 2 1 40 1 โ1 โ110 1 โ1 โ14
M๐ฟ# โ ๐ฟ"โ L1 2 1 40 1 โ1 โ110 0 0 3
M
Finalmente, cuando ya has hecho todos los ceros necesarios debes de analizar la ultima final para distinguir el tipo de sistema.
L1 2 1 40 1 โ1 โ110 0 0 3
M โ !๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 4๐ฆ โ ๐ง = โ11
0 โ 3
Date cuenta de que llegas a un absurdo 0 โ 3 por tanto el sistema no tiene soluciรณn, se tarta de un sistema incompatible.
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3. !2x โ y + z = 3x + 2y โ z = 4x โ 8y + 5z = โ6
โ
L2 โ1 1 31 2 โ1 41 โ8 5 โ6
M2๐ฟ! โ ๐ฟ"
โ2๐ฟ# โ ๐ฟ"
L2 โ1 1 30 5 โ3 50 โ15 9 โ15
Mโ
๐ฟ# + 3๐ฟ! L2 โ1 1 30 5 โ3 50 0 0 0
M
Cuando ya has terminado de hacer los ceros correspondientes, fรญjate que tienes en la ultima fila todos ceros, eso quiere decir que estas ante un sistema compatible indeterminado y que, por tanto, tienes infinitas soluciones. Para resolver este tipo de sistemas seguirรกs el siguiente procedimiento:
L2 โ1 1 30 5 โ3 50 0 0 0
M โ !2๐ฅ โ ๐ฆ โ ๐ง = 35๐ฆ โ 3๐ง = 5
๐ง = ๐กโ P
2๐ฅ โ ๐ฆ = 3 โ ๐ก5๐ฆ = 5 โ 3๐ก
Fรญjate que del ultimo sistema puedes saber cuanto es el valor de la incรณgnita y, en funciรณn de t.
5๐ฆ = 5 โ 3๐ก โ ๐ฆ =5 โ 3๐ก5
Finalmente, con la primera ecuaciรณn y sabiendo el valor de las incรณgnitas ๐ง๐๐ฆ โถ
2๐ฅ โ ๐ฆ = 3 โ ๐ก โ ๐ฅ =3 โ ๐ก + ๐ฆ
2โ ๐ฅ =
3 โ ๐ก + 5 โ 3๐ก52
โ ๐ฅ =15 โ 5๐ก + 5 โ 3๐ก
10โ
๐ฅ =20 โ 8๐ก10
โ ๐ฅ =10 โ 4๐ก
5
4. !โx + 3y โ z = 4x + 4y = 5
2x โ 6y + 2z = 3โ
Lโ1 3 โ1 41 4 0 52 โ6 2 3
M๐ฟ! + ๐ฟ"โ
๐ฟ# + 2๐ฟ"Lโ1 3 โ1 40 7 โ1 90 0 0 11
M
Aquรญ tienes otro tipo de soluciรณn en funciรณn de los ceros que has hecho mediante GAUSS, fรญjate que la ultima fila tiene la siguiente estructura: 000๐๐ข๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ผ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐, El sistema no tiene soluciรณn.
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5. !4x + y โ 2z = โ33x โ y + 4z = โ2โx + y + z = 5
โ
L4 1 โ2 โ33 โ1 4 โ2โ1 1 1 5
M๐ฟ# โ ๐ฟ"โ L
โ1 1 1 53 โ1 4 โ24 1 โ2 โ3
M๐ฟ! + 3๐ฟ"
โ๐ฟ# + 4๐ฟ"
Lโ1 1 1 50 2 7 130 5 2 17
M2๐ฟ# โ 5๐ฟ!โ
Lโ1 1 1 50 2 7 130 0 โ31 โ31
M โ !โ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 53๐ฆ + 7๐ง = 13โ31๐ง = โ31
โ ๐ง = 1
Lo que tienes que hacer, una vez tengas los ceros correspondientes, es transformar la matriz en sistema para obtener la soluciรณn de forma escalonada.
2๐ฆ + 7๐ง = 13 โ ๐ฆ = 3
โ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 5 โ ๐ฅ = โ1
6. !2๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 1๐ฅ โ 3๐ฆ + ๐ง = 03๐ฅ โ 2๐ฆ = 1
โ
L2 1 โ1 11 โ3 1 03 โ2 0 1
M2๐ฟ! โ ๐ฟ"
โ2๐ฟ# โ 3๐ฟ"
L2 1 โ1 10 โ7 3 โ10 โ7 3 โ1
M๐ฟ# โ ๐ฟ"โ L2 1 โ1 10 โ7 3 โ10 0 0 0
M
Como te ha ocurrido en otro ejercicio anterior, la ultima fila de la matriz son todo ceros, por tanto, estas ante un sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.
L2 1 โ1 10 โ7 3 โ10 0 0 0
M โ !2๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 1โ7๐ฆ + 3๐ง = โ1
๐ง = ๐กโ P2๐ฅ + ๐ฆ = 1 + ๐ก
โ7๐ฆ = โ1 โ 3๐ก โ ๐ฆ =โ1 โ 3๐กโ7
2๐ฅ +โ1 โ 3๐กโ7
= 1 + ๐ก โ โ14๐ฅ โ 1 โ 3๐ก = โ7 โ 7๐ก โ ๐ฅ =3 + 2๐ก7
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Ejercicio 2.- Resuelve utilizando la regla de CRAMER
1. !2๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 0๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง = 5๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 4
Lo primero que tienes hacer es convertir el sistema en una matriz para identificar la matriz A que serรก la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de A.
!2๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 0๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง = 5๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 3
โ L2 1 โ1 01 โ1 2 51 1 1 4
M
Ahora tienes que calcula el determinante de la matriz A,
det(๐ด) = Y2 1 โ11 โ1 21 1 1
Y = โ2 โ 1 + 2 โ 1 โ 4 โ 1 = โ7
Y ahora para dar soluciรณn a las incรณgnitas:
๐ =
Y0 1 โ15 โ1 24 1 1
Y
Y2 1 โ11 โ1 21 1 1
Y=โ6โ7
=67 ; ๐ =
Y2 0 โ11 5 21 4 1
Y
Y2 1 โ11 โ1 21 1 1
Y=โ5โ7
=57 ; ๐ =
Y2 1 01 โ1 51 1 4
Y
Y2 1 โ11 โ1 21 1 1
Y=177
2. !4๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง = โ33๐ฅ โ ๐ฆ + 4๐ง = โ2โ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 5
Lo primero que tienes hacer es convertir el sistema en una matriz para identificar la matriz A que serรก la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de A.
!4๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง = โ33๐ฅ โ ๐ฆ + 4๐ง = โ2โ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 5
โ L4 1 โ2 โ33 โ1 4 โ2โ1 1 1 5
M
Ahora tienes que calcula el determinante de la matriz A,
det(๐ด) = Y4 1 โ23 โ1 4โ1 1 1
Y = โ4 โ 4 โ 6 + 2 โ 3 โ 16 = โ31
Y ahora para dar soluciรณn a las incรณgnitas:
๐ =
Yโ3 1 โ2โ2 โ1 4โ5 1 1
Y
Y4 1 โ23 โ1 4โ1 1 1
Y=
31โ31
= โ1; ๐ =
Y4 โ3 โ23 โ2 4โ1 5 1
Y
Y4 1 โ23 โ1 4โ1 1 1
Y=โ93โ31
= 3; ๐
=
Y4 1 โ33 โ1 โ2โ1 1 5
Y
Y4 1 โ23 โ1 4โ1 1 1
Y=โ31โ31
= 1
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3. !โ๐ฅ + 3๐ฆ โ ๐ง = 4๐ฅ + 4๐ฆ = 5
2๐ฅ โ 6๐ฆ + 2๐ง = 3
Lo primero que tienes hacer es convertir el sistema en una matriz para identificar la matriz A que serรก la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de A.
"โ๐ฅ + 3๐ฆ โ ๐ง = 4๐ฅ + 4๐ฆ = 5
2๐ฅ โ 6๐ฆ + 2๐ง = 3โ .
โ1 3 โ1 41 4 0 52 โ6 2 3
/
Ahora tienes que calcula el determinante de la matriz A,
det(๐ด) = Yโ1 3 โ11 4 02 โ6 2
Y = โ12
Y ahora para dar soluciรณn a las incรณgnitas:
๐ =
Y4 3 โ15 4 03 โ6 2
Y
Yโ1 3 โ11 4 02 โ6 2
Y
=โ16โ12
=43 ; ๐ =
Yโ1 4 โ11 5 02 3 2
Y
Yโ1 3 โ11 4 02 โ6 2
Y
=โ11โ12
;
๐ =
Yโ1 3 41 4 52 โ6 3
Y
Yโ1 3 โ11 4 02 โ6 2
Y
=41โ12
4. !โ๐ฅ + 2๐ฆ โ ๐ง = 0๐ฅ โ 3๐ฆ + ๐ง = โ32๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 1
โ Lโ1 2 โ11 โ3 12 1 โ1
0โ31M ; det(๐ด) = Y
โ1 2 โ11 โ3 12 1 โ1
Y = โ3 โ 0
โ ๐ธ๐ ๐ก๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐รณ๐๐. ๐ถ. ๐ท.โ ๐ถ๐ ๐ด๐๐ธ๐
๐ =
Y0 2 โ1โ3 โ3 11 1 โ1
Y
Yโ1 2 โ11 โ3 12 1 โ1
Y=43; ๐ =
Yโ1 0 โ11 โ3 12 1 โ1
Y
Yโ1 2 โ11 โ3 12 1 โ1
Y=โ9โ3
= 3;
๐ =
Yโ1 2 01 โ3 โ32 1 1
Y
Yโ1 2 โ11 โ3 12 1 โ1
Y=143
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5. !2๐ฅ โ ๐ฆ โ ๐ง = 0โ๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 1๐ฅ โ 3๐ฆ โ 2๐ง = โ3
โ L2 โ1 โ1 0โ1 2 1 11 โ3 โ2 โ3
M ; det(๐ด) = Y2 โ1 โ1โ1 2 11 โ3 โ2
Y = 2 โ 0
๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐ข๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐รณ๐.
๐ =
Y0 โ1 โ11 2 1โ3 โ3 โ2
Y
Y2 โ1 โ1โ1 2 11 โ3 โ2
Y
=โ2โ2
= 1; ๐ =
Y2 0 โ1โ1 1 11 โ3 โ2
Y
Y2 โ1 โ1โ1 2 11 โ3 โ2
Y
=0โ2
= 0;
๐ =
Y2 โ1 0โ1 2 11 โ3 โ3
Y
Y2 โ1 โ1โ1 2 11 โ3 โ2
Y
=โ4โ2
= 2
6. !๐ฅ โ ๐ฆ โ 2๐ง = 22๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ง = 13๐ฅ + ๐ง = 3
Primero puedes comprobar el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
det(๐ด) = Y1 โ1 โ22 1 33 0 1
Y = 1 โ 9 + 6 + 2 = 0 โ ๐ ๐๐๐๐๐๐(๐ด) < 3
Cogemos ahora un determinante 2x2 que este dentro de A para demostrar que el rango es dos:
|๐ด| = i1 โ12 1 i = 1 + 2 = 3 โ 0 โ ๐๐๐๐๐(๐ด) = 2
Ahora tienes que comprobar cual es el rango de la matriz ampliada, para ello debes de coger las dos columnas que has utilizado para demostrar que el rango de A era dos y la columna de la ampliada.
det(๐ด) = Y1 โ1 22 1 13 0 3
Y = 3 โ 3 โ 6 + 6 = 0 โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ
โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 2
Estas trabajando con un sistema con infinitas soluciones, te voy a enseรฑar como se da soluciรณn utilizando la regla de CRAMER. Tienes que entender lo siguiente, al ser el rango de las matrices dos, una de las filas es combinaciรณn lineal de las otras dos y, por tanto, podemos eliminarla. En este caso, para demostrar el rango de A y de Aโ he cogido las dos primeras filas, por tanto, serรก con esas dos ecuaciones con las que trabaje y quite la ultima fila:
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!๐ฅ โ ๐ฆ โ 2๐ง = 22๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ง = 13๐ฅ + ๐ง = 3
โ P ๐ฅ โ ๐ฆ โ 2๐ง = 22๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ง = 1
Ahora una de las letras, tienes que hacer que sea igual a una variable, en este caso, ๐ง = ๐, entonces;
P ๐ฅ โ ๐ฆ โ 2๐ง = 22๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ง = 1 โ P ๐ฅ โ ๐ฆ = 2 + 2๐
2๐ฅ + ๐ฆ = 1 โ 3๐
Y ahora tienes que hacer CRAMER con estas ecuaciones:
๐ =i2 + 2๐ โ11 โ 3๐ 1 i
i1 โ12 1 i
=2 + 2๐ + 1 โ 3๐
3=3 โ ๐3
๐ =i1 2 + ๐2 1 โ 3๐i
i1 โ12 1 i
=1 โ 3๐ โ 4 โ 2๐
3=โ3 โ 5๐
3
Ejercicio 3.- Resuelve los siguientes sistemas con parรกmetros mediante GAUSS
1. !๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 3๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = 5๐ฅ +๐๐ฆ + 3๐ง = 7
Resuรฉlvelo cuando tenga infinitas soluciones
Lo primero tal y como haces siempre en estos casos, es transformar el sistema en una matriz:
!๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 3๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = 5๐ฅ +๐๐ฆ + 3๐ง = 7
โ L1 2 1 31 3 2 51 ๐ 3 7
M
Y ahora tienes que hacer los ceros correspondientes:
L1 2 1 31 3 2 51 ๐ 3 7
M๐ฟ! โ ๐ฟ"โ
๐ฟ# โ ๐ฟ"L1 2 1 30 1 1 20 ๐ โ 2 2 4
M๐ฟ# โ 2๐ฟ!โ L1 2 1 30 1 1 20 ๐ โ 4 0 0
M
Ahora como ya has terminado de hacer los ceros que corresponden, tienes que recordar que clase de sistema tienes, en funciรณn de lo que aparece en la ultima fila, por tanto,
๐โ 4 = 0 โ ๐ = 4 Ahora vas a hacer una discusiรณn en funciรณn de la ultima fila y el valor de m:
โข Si ๐ = 4 โ ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐๐๐ ๐ก๐๐ ๐๐๐ก๐๐ข๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐.
โข Si ๐ โ 4 โ ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐ก๐ข๐๐00๐๐ข๐๐๐๐/๐๐ข๐๐๐๐ โ ๐. ๐ถ. ๐ท.
Ahora el ejercicio quiere que lo resuelvas cuando estas trabajando con un sistema compatible indeterminado, para eso tienes que cambiar el valor de ๐ = 4en el sistema y resolverlo:
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L1 2 1 30 1 1 20 ๐ โ 4 0 0
M โ ๐ = 4 โ !๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 3๐ฆ + ๐ง = 2๐ง = ๐ก
โ P๐ฅ + 2๐ฆ = 3 โ ๐ก๐ฆ = 2 โ ๐ก โ ๐ฅ = โ1 + ๐ก
2. !2๐ฅ + 3๐ฆ โ 4๐ง = 14๐ฅ + 6๐ฆ โ ๐๐ง = 2๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = 10
Lo primero tal y como haces siempre en estos casos, es transformar el sistema en una matriz:
!2๐ฅ + 3๐ฆ โ 4๐ง = 14๐ฅ + 6๐ฆ โ ๐๐ง = 2๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = 10
โ L2 3 โ4 14 6 โ๐ 21 1 ๐ 10
M
L2 3 โ4 14 6 โ๐ 21 1 ๐ 10
M๐ฟ" โ ๐ฟ#โ L
1 1 ๐ 104 6 โ๐ 22 3 โ4 1
M๐ฟ! โ 4๐ฟ"
โ๐ฟ# โ 2๐ฟ"
L1 1 ๐ 100 2 โ5๐ โ380 1 โ4 โ 2๐ โ19
M
2๐ฟ# โ ๐ฟ!โ L
1 1 ๐ 100 2 โ5๐ โ380 0 โ8 โ 5๐ 0
M
Ahora, en funciรณn de lo que puedas tener en la ultima fila, tendrรกs un resultado u otro, por tanto, tienes que igual a cero โ8 โ 5๐
โ8 โ 5๐ = 0 โ ๐ = โ85
Ahora veamos que soluciones tienes en funciรณn de este resultado:
โข Si ๐ = โ %&โ ๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐ โ
๐. ๐ถ. ๐ผ.(๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ) โข Si ๐ โ โ %
&โ ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐ก๐ข๐๐00๐๐ข๐๐๐๐/๐๐ข๐๐๐๐ โ
๐. ๐ถ. ๐ท.
3. !๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = 0๐ฅ +๐๐ฆ + 2๐ง = 0
2๐ฅ + (3 +๐)๐ฆ + 4๐ง = 0โ L
1 3 21 ๐ 22 3 +๐ 4
000M๐ฟ! โ ๐ฟ"โ
๐ฟ# โ ๐ฟ"L1 3 20 ๐ โ 3 00 ๐ โ 3 0
000M
Por tanto, ahora ๐โ 3 = 0 โ ๐ = 3
โข ๐๐, ๐ = 3 โ๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐, ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = 0 โ ๐ฅ = โ3๐ฆ โ 2๐ง
โข ๐๐๐ โ 3 โ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ข๐๐๐ .
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L1 3 20 ๐ โ 3 00 ๐ โ 3 0
000M โ !
๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = 0(๐ โ 3)๐ฆ = 0
๐ง = ๐ก
Si determinas que m es distinto de tres โ ๐ฆ = 0, ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐; ๐ฆ = 0; ๐ง = ๐ก; ๐ฅ = 2๐ก
Ejercicio 4.- Discute y resuelve los sistemas en los casos que sea posible por determinantes y rangos.
1. ;5๐ฅ + 4๐ฆ + 2๐ง = 02๐ฅ + 3๐ฆ + ๐ง = 0
4๐ฅ โ ๐ฆ +๐!๐ง = ๐ โ 1โ L
5 4 2 02 3 1 04 โ1 ๐! ๐โ 1
M
Ahora tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes:
det(๐ด) = Y5 4 22 3 14 โ1 ๐!
Y = 15๐! + 16 โ 4 โ 24 โ 8๐! + 5 โ 7๐! โ 7 = 0
7๐! โ 7 = 0 โ ๐ = ยฑ1 Ahora, como has tenido dos resultados tendrรกs tres casos diferentes para ver las distintas soluciones:
โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ โ ยฑ1 En este caso en concreto det(๐ด) โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 3 Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada podemos afirmar que ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 3 Y finalmente, y aplicando el Teorema de Rouche, ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = ๐ยบ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ๐. ๐ถ. ๐ท.
โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ = 1 Puedes hay que afirmar que det(๐ด) = 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) < 3 tienes que buscar un determinante de 2x2 dentro de la matriz de coeficientes para afirmar que el rango es 2.
i5 42 3i = 15 โ 8 = 7 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2
Para verificar el rango de la matriz ampliada, como he cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, voy a coger esas dos columnas y la columna de la matriz ampliada para verificar el rango de ๐ดโฒ
det(๐ด$) = Y5 4 02 3 04 โ1 0
Y = 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) < 3
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ก๐๐๐ง๐ก๐๐๐๐๐ ๐ข๐๐๐๐2๐ฅ2๐๐ข๐๐๐ โ 0โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 2
Para terminar, aplicando el Teorema de Rouche โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) โ ๐ยบ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ ๐. ๐ถ. ๐ผ.
โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ = โ1 Puedes hay que afirmar que det(๐ด) = 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) < 3 tienes que buscar un determinante de 2x2 dentro de la matriz de coeficientes para afirmar que el rango es 2.
i5 42 3i = 15 โ 8 = 7 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2
Para verificar el rango de la matriz ampliada, como he cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, voy a coger esas dos columnas y la columna de la matriz ampliada para verificar el rango de ๐ดโฒ
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det(๐ด$) = Y5 4 02 3 04 โ1 โ2
Y = โ30 + 16 = +14 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 3
Para terminar, aplicando el Teorema de Rouche โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) โ ๐. ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐.
2. !๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = ๐2๐ฅ + ๐ฆ + 4๐ง = 6๐ฅ โ 4๐ฆ + 5๐ง = 9
โ L1 2 1 ๐2 1 4 61 โ4 5 9
M
Ahora calcula el determinante de la matriz de coeficientes:
det(๐ด) = Y1 2 12 1 41 โ4 5
Y = 5 + 8 โ 8 โ 1 โ 20 + 16 = 0
Como el determinante de la matriz de coeficientes es cero independientemente del valor de k el rango de la matriz es ๐๐๐๐๐(๐ด) < 3
Comprueba que el rango es dos โ i1 22 1i = 1 โ 4 = โ3 โ 0 โ ๐๐๐๐๐(๐ด) = 2
Ahora como has cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, tienes que coger las dos primeras columnas y la ultima para determinar el rango de la matriz ampliada:
det(๐ด$) = Y1 2 ๐2 1 61 โ4 9
Y = 9 + 12 โ 8๐ โ ๐ โ 36 + 24 โ โ9๐ + 9 = 0 โ ๐ = 1
Ahora, como has obtenido una soluciรณn tienes que estudiar dos casos diferentes:
โข ๐ โ 1 โ det(๐ด$) โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 3 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2 โ ๐. ๐ผ.
โข ๐ = 1 โ det(๐ด$) = 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 2 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2 โ ๐ยบ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ๐. ๐ถ. ๐ผ. (โ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ ).
Observaciรณn, para demostrar que el rango de la matriz ampliada es dos , รบnicamente tienes que coger un determinante de dos por dos dentro de la matriz ampliada que de distinto de cero.
i1 22 1i = 1 โ 4 = โ3 โ 0 โ ๐๐๐๐๐(๐ดโฒ) = 2
3. !๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = ๐ โ 12๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ง = 1
Lo primero transformar el sistema en matriz:
!๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = ๐ โ 12๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ง = 1
โ L1 1 1 ๐ โ 12 1 ๐ ๐1 ๐ 1 1
M
Ahora tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes:
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det(๐ด) = Y1 1 12 1 ๐1 ๐ 1
Y = 1 + ๐ + 2๐ โ 1 โ 2 โ ๐! โ โ๐! + 3๐ โ 2 = 0
๐ =โ3 ยฑr9 โ 4(โ1)(โ2)
โ2= s๐ = 1
๐ = 2
Ahora como has obtenido dos resultados, vas a tener tres casos:
โข ๐๐ข๐๐๐๐๐ โ 1๐ฆ๐ โ 2 det(๐ด) โ 0 โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐ โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 3
Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada, hay que afirmar directamente que el rango de la matriz ampliada tambiรฉn serรก 3. Entonces, ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = ๐ยบ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ = 3 โ ๐. ๐ถ. ๐ท(1๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐)
โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ = 1 ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ det(๐ด) = 0 โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐ โ ๐๐๐๐๐(๐ด) < 3
Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i1 12 1i = 1 โ 2 = โ1 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(๐ด$) = Y1 1 02 1 11 1 1
Y = 1 + 1 โ 2 โ 1 = โ1 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 3
En este caso como los rangos son diferentes, ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 3 โ ๐. ๐ผ. No tiene soluciรณn
โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ = 2
๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ det(๐ด) = 0 โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐ โ ๐๐๐๐๐(๐ด) < 3 Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i1 12 1i = 1 โ 2 = โ1 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(๐ด$) = Y1 1 12 1 21 2 1
Y = 1 + 2 + 4 โ 1 โ 2 โ 4 = 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) < 3
En este caso tienes que determinar si el rango de la matriz ampliada, es decir Aโ, es dos. Para eso tienes que coger un determinante de dos por dos que este dentro de la matriz ampliada:
i1 12 1i = 1 โ 2 = โ1 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ดโฒ) = 2
En definitiva, ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2 = ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) โ ๐ยบ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ ๐. ๐ถ. ๐ผ.โ (โ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ )
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4. !2๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ง = 2๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐โ๐ฆ + ๐๐ง = 0
๐๐๐ ๐ข๐๐๐ฃ๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐.
!2๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ง = 2๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐โ๐ฆ + ๐๐ง = 0
โ L2 ๐ 1 21 ๐ 0 ๐0 โ1 ๐ 0
M
det(๐ด) = Y2 ๐ 11 ๐ 00 โ1 ๐
Y = 2๐! โ 1 โ ๐! โ ๐! โ 1 = 0 โ ๐ = s 1โ1
Ahora tienes que hacer la discusiรณn, como has obtenido dos resultados tienes 3 casos:
โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ โ 1๐ฆ๐ โ โ1
det(๐ด) โ 0 โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐ โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 3 Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada, hay que afirmar directamente que el rango de la matriz ampliada tambiรฉn serรก 3. Entonces, ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = ๐ยบ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ = 3 โ ๐. ๐ถ. ๐ท(1๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐)
โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ = 1 ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ det(๐ด) = 0 โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐ โ ๐๐๐๐๐(๐ด) < 3
Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i2 11 1i = 2 โ 1 = 1 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(๐ด$) = Y2 1 21 1 10 โ1 0
Y = โ2 + 2 = 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) < 3
Para demostrar que el rango es 2, tienes que coger un determinante de 2x2 que de distinto de cero:
i2 11 1i = 2 โ 1 = 1 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2
En definitiva, ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2 = ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) โ ๐ยบ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ ๐. ๐ถ. ๐ผ.โ (โ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ ) El ejercicio nos pide que resolvamos el sistema en este caso en concreto, por tanto:
!2๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 2๐ฅ + ๐ฆ = 1โ๐ฆ + ๐ง = 0
โ ๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ โ !2๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 2๐ฅ + ๐ฆ = 1๐ง = ๐ก
โ P2๐ฅ + ๐ฆ = 2 โ ๐ก๐ฅ + ๐ฆ = 1
Recordatorio: he quitado la ultima fila ya que, para hacer el rango de A que era 2 habรญa utilizado las dos primeras filas. Ahora para continuar, haces el mรฉtodo de reducciรณn:
P2๐ฅ + ๐ฆ = 2 โ ๐ก๐ฅ + ๐ฆ = 1 โ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ฅ = 1 โ ๐ก
Sabiendo que ๐ฅ = 1 โ ๐ก; ๐ง = ๐ก โ ๐ธ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐2๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 2 โ โ 2(1 โ ๐ก) + ๐ฆ + ๐ก = 2 โ 2 โ 2๐ก + ๐ฆ + ๐ก = 2 โ ๐ฆ = ๐ก
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โข ๐ถ๐ข๐๐๐๐๐ = โ1
๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ det(๐ด) = 0 โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐ โ ๐๐๐๐๐(๐ด) < 3 Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i2 โ11 โ1i = โ2 + 1 = โ1 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(๐ด$) = Y2 โ1 21 โ1 โ10 โ1 0
Y = โ2 โ 2 = โ4 โ 0 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 3
En este caso como los rangos son diferentes, ๐ ๐๐๐๐(๐ด) = 2 โ ๐ ๐๐๐๐(๐ด$) = 3 โ ๐. ๐ผ. No tiene soluciรณn Ejercicio 5.- Resuelve el siguiente sistema utilizando el concepto de ecuaciรณn matricial.
1. !2x + y โ z = 0x โ y + 2z = 5x + y + z = 4
!2x + y โ z = 0x โ y + 2z = 5x + y + z = 4
โ L2 1 โ11 โ1 21 1 1
M โ v๐ฅ๐ฆ๐งw = L
054M
Ahora voy a llamar a cada una de las matrices con un nombre para resolver el sistema matricialmente:
๐ด = L2 1 โ11 โ1 21 1 1
M; ๐ = v๐ฅ๐ฆ๐งw ; ๐ต = L
054M โ ๐ด โ ๐ = ๐ต โ ๐ = ๐ด'"๐ต
Se trata ahora de calcular la inversa de la matriz A para despuรฉs poder realizar las operaciones y dar soluciรณn a la matriz X.
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2. !4x + y โ 2z = โ33x โ y + 4z = โ2โx + y + z = 5
!4x + y โ 2z = โ33x โ y + 4z = โ2โx + y + z = 5
โ L4 1 โ23 โ1 4โ1 1 1
M โ v๐ฅ๐ฆ๐งw = L
โ3โ25M
Ahora voy a llamar a cada una de las matrices con un nombre para resolver el sistema matricialmente:
๐ด = L4 1 โ23 โ1 4โ1 1 1
M; ๐ = v๐ฅ๐ฆ๐งw ; ๐ต = L
โ3โ25M โ ๐ด โ ๐ = ๐ต โ ๐ = ๐ด'"๐ต
Se trata ahora de calcular la inversa de la matriz A para despuรฉs poder realizar las operaciones y dar soluciรณn a la matriz X.