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INVESTIGACIONES

Revista Bit, Septiembre 2000

DANIEL ORDÓÑEZ O.Ingeniero Civil Estructural Universidad de Chile

Master Ingeniería Sísmica y

Dinámica Estructural U.P.C

INTRODUCCIÓNMODELO DINÁMICO

La ecuación de movimiento para unaestructura de n-grados de libertad, consistemas de aislación basal que respondenen el rango lineal es:

M X + C . X + KX = MJ[ db + a] (1)

donde M es la matriz de masa, X es unvector que representa el desplazamiento

Este artículo corresponde a un ex-tracto de la tesis de Magister ti-tulada "Estudio Comparativo de laRespuesta Estructural Inelásticade Edificios Sismorresistentescon Aislamiento de Base, presen-tada en el First Conference (Euro-pa 1997), y básicamente está orien-tado a proporcionar una clasifica-ción de algunos sistemas de apoyodonde la no-linealidad se incorpo-ra en la ecuación dinámica del sis-tema a través del modelo de Wen(1976). Estos sistemas son: Apoyode Goma Laminad(Laminated Rub-ber Bearing (LRB)); Sistema Plomo-Goma, conocido como Neozelandés(New Zealand (NZ)); Sistema de Fric-ción Pura (Pure Friction (PF)) y Sis-tema de Péndulo Friccional (Fric-tion Pendulum (FPS)).La introducción de este artículodescribe los conceptos de la in-corporación del modelo de Wen ala ecuación dinámica del sistema.

relativo del piso (arriba del aislador), C,Kson el amortiguamiento estructural y lamatriz de rigidez, J es el vector que rela-ciona los desplazamientos de cuerpo rígidodel modelo y los grados de libertad, db esel desplazamiento de la base con respectoal suelo y a es la aceleración del suelo. Lafigura n-º 1 ilustra el modelo dinámico deuna estructura de 1-grado de libertad. Lasfuerzas debido a la rigidez estructural yamortiguamiento aplicado a la base se pue-de obtener de la ecuación (1), como

JC . X + JKX = JM X - JMJ[ db + a] (2)

y la ecuación de movimiento de la base sepuede representar por:

mb( db+ a)+ JM[ X + J( db + a)]+ ƒ = 0 (3)

donde mb es la masa que está sobre el aisla-dor y f es la fuerza aplicada a la base mb. Lanaturaleza y la expresión matemática de lafuerza f dependen del tipo de aislador.

SISTEMA DE FRICCIÓN PURA(PURE FRICTION (PF))

El sistema de fricción pura es un dispo-sitivo simple y corresponde a una conexióndeslizante. La fuerza f de la conexión desli-zante corresponde a la fricción pura deCoulomb y asume que las superficies dedeslizamiento están siempre en contacto.Esta se escribe como:

ƒ = µgmtotsign(.db) (4)

donde µ es el coeficiente de fricción, lostípicos valores están en el rango de 0.05 y0.3, g es la aceleración de gravedad, m tot

es la masa tota l sobre e l a is lador(JT MJ+mb) y db es el desplazamiento debi-do al deslizamiento. La ecuación (4) da lafuerza en la etapa de deslizamiento. Si lamasa se pega a la fundación la condición deno-deslizamiento debe ser verificada. El co-eficiente de fricción µ varia significativamen-te con la naturaleza de la superficie, la ve-locidad relativa, y la fuerza axial en la co-nexión (Constantinou 1990, Mokha 1988).

Figura Nº 2.Aparato de apoyo de Fricción Puraa) Esquema b) Modelo dinámico

Figura Nº1.Modelo dinámico de 1-grado delibertad con aislación basal.

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PÉNDULO FRICCIONAL(FRICTIONAL PENDULUM (FPS))

La fuerza f para la base corresponde aun sistema de péndulo friccional ideal (FPS)y asume que las superficies de deslizamien-to siempre están en contacto y se expre-san como sigue:

ƒ = µgmtotsign(.db) + kbdb (5)

donde kb es la rigidez lateral efectiva aldeslizamiento (Zayas et al 1988). La fuer-za de restauración está proveída por la cur-vatura de la superficie de deslizamiento enel sistema FPS. La rigidez lateral al desli-zamiento es usual para definir el períodode la conexión, correspondiendo a el perio-do de la estructura perfectamente rígidadada por Tc = 2π√-----mtot /Kb . Para el sistemaFPS, Tc = 2π√--r/g donde r es el radio decurvatura de la superficie de deslizamien-to. Si la masa se pega a la fundación, lacondición de no deslizamiento debe verifi-carse. Los coeficientes de fricción y el pe-ríodo de la conexión en el sistema varíaentre 0.05 < µ < 0.15 y 2 < Tc < 3, res-pectivamente. Para este estudio se consi-deró un coeficiente de fricción de 0.05 paraambos sistemas PF y FPS.

APOYO DE GOMA LAMINADO(Laminated Rubber Bearings (LRB))

La fuerza f para una estructura con unsistema LRB en la base, se puede repre-sentar por un amortiguamiento equivalente(Cb) y un coeficiente de rigidez (Kb) (Kelly1986). El sistema lineal equivalente permi-te una solución numérica simple del proble-ma. El diseño del período para un sistemaLRB es de Tb = 2s (donde Tb = 2π√-----mtot /Kb).Y el coeficiente de amortiguamiento equi-valente de la goma varía considerablemen-te. Para bajos esfuerzos, el valor es alre-dedor de v = 0.3(donde v=cb/2ωb 0), peropara altos esfuerzos el coeficiente de amor-tiguamiento baja a 0.05. El valor más usa-do es v = 0.1.

Alternativamente, para una representa-ción más precisa el sistema LRB se puedeusar el Modelo Histerético de Wen (Wen1976), donde la fuerza de restauración f(t)de un amortiguamiento histerético es:

ƒ(t)= αkbdb + s(1 - a) kbz (6)

donde α es un parámetro que indica elgrado de no linealidad del sistema (por ejem-plo α = 1 representa un sistema lineal) y zes un parámetro histerético que satisfacea la ecuación diferencial no lineal de primerorden:

.z = A

.db - β|

.db| | z| n-1 z - γ

.db| z| n (7)

Figura Nº 3.Aparato de apoyo de PendularFriccionante a) Esquema b) Modelodinámico.

Los parámetros A, β, γ, y n son pará-metros del modelo que se pueden ordenaren términos del parámetro y que son el des-plazamiento de fluencia y la fuerza de amor-tiguamiento histeretico. El exponente n con-trola la suavidad de la transición de la res-puesta elástica a la plástica. Los valorespara el modelo de Wen seleccionados paraeste estudio corresponden a: ƒy = 16.5 kN,dy = 0.0015 m, α=0.3, β = 66.66,γ = 600, A = 1.75 y n = 5.

SISTEMA PLOMO GOMA(NEW ZEALAND (NZ))

El sistema neozelandés es similar alLRB, pero incluye un núcleo central de plo-mo que reduce el desplazamiento de la basey provee de una fuente adicional de disipa-ción de energía. La fuerza de desplazamien-to para este sistema puede ser represen-tado usando el modelo de Wen. Los valo-res para el modelo de Wen seleccionadospara este estudio corresponden a:

ƒy = 0.185 kN, dy = 0.031m, α ¡ 0.157,β = 4.29, γ = -1.93, A= 0.11 y n = 1.

Figura Nº 5.Aparato de apoyo de NeoprenoZunchado a) Esquema b) Modelodinámico.

En la segunda parte de este artículopublicaremos los resultados y conclusionesde la investigación desarrollada.

Figura Nº 4.Aparato de apoyo de NeoprenoZunchado a) Esquema b) Modelodinámico.

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