Sistemas con parámetros

distribuidos

Régimen Transitorio

Líneas y Máquinas

65-10. Teoría de Campos

Régimen Transitorio

Interesa en: conexiones, sobretensiones, caída de rayos, etc.

Líneas sin pérdidas: mayoría de los casos.

Líneas con pérdidas: ensayos analógicos, cálculos computacionales (EMTP, etc)

Línea sin pérdidas

[ ]

n)propagació de (velocidad1

donde1

x

i-

x

u-

:resultan 0g 0,rcon ,cualquiera onda una para sta telegrafidel ecuaciones Las

2

2

2

2

22

22

2

2

clv

mseg

clt

u

vt

ucl

tx

il

x

u

t

uc

t

ucug

t

il

t

ilir

⋅=∴

=⋅∂

∂⋅=

∂

∂⋅⋅=

∂⋅∂

∂⋅−=

∂

∂

∴

∂

∂⋅≈

∂

∂⋅+⋅=

∂

∂

∂

∂⋅≈

∂

∂⋅+⋅=

∂

∂

≈≈

( ) ( )( ) ( )tvxFtvxFi

tvxftvxfu

⋅++⋅−=

⋅++⋅−=

21

21

:teAnalogamen

:es Alembert)(D'solución Cuya

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )[ ]

[ ]

( ) ( )[ ]tvxftvxfZ

iFZf

FZf

c

l

cllvlZvl

Fvlf

FvlfvFvFl

ffx

tvx

tvx

f

x

f

x

fff

x

t

il

t

ilir

tvxFtvxFi

CC

C

C

⋅+−⋅−=∴

⋅−=

⋅=∴

=⋅

⋅=⋅=∴Ω=⋅

′⋅⋅−=′

′⋅⋅=′∴⋅′+−⋅′⋅=

′−′−=

+

∂

⋅−∂

⋅−∂

∂−=

=

∂

∂+

∂

∂−=

+

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂⋅≈

∂

∂⋅+⋅=

∂

∂

⋅++⋅−=

21

22

11

22

11

21

211

2121

21

1

ticacaracterís impedancia ó onda de impedancia la es

1 como pero

...

x

u

x

u-en dolareemplazány

dada Entonces

Para resolver un problema se requiere conocer la

longitud L de la línea y uno de los siguientes pares de

valores: l-c; ZC – v o ZC – τ , siendo τ el tiempo de travesía de la onda.

Todo sistema de cargas libres, que origina una cierta

distribución de tensiones, estará moviéndose a lo largo de la línea con velocidad v y originando la corriente i.

Si hay más de un conductor asociado a la línea, las ecuaciones pasan a ser matriciales, por ejemplo:

y el problema puede ser muy complicado . Para líneas polifásicas transpuestas pueden usarse los valores “de servicio” y considerarla como línea única.

[ ] [ ] [ ]

∂

∂⋅+⋅=

∂

∂−

t

ilir

x

u

( ) ( )( ) ( )

inversa la para análoga siendo directa,

cualquiera onda una para figura la deción representa laadmiten y

:como también escribirsepueden

e sexpresione Las

21

21

−=−=

+=

⋅++⋅−=

⋅++⋅−=

C

i

C

d

id

id

Z

u

Z

uiii

uuu

tvxFtvxFi

tvxftvxfu

Circuito equivalente

( )

L

CL

dL

CL

dL

idLC

idLL

LLL

ZZZ

uu

ZZ

ui

uuiZ

uuiZ

ipZu

iu

⋅+

⋅=⇒

+

⋅=⇒

−=⋅

+=⋅∴

⋅=

22

(*)

:será e entrerelación la línea, la de salida laEn

( ) ( )

dri

C

dr

C

ii

CL

CLr

dri

CL

dCLLCLi

iKiZ

uK

Z

ui

reflexióndefactorZZ

ZZK

uKu

ZZ

uZZiZZu

⋅=∴⋅==

+

−=

⋅=∴

+

⋅⋅−=⋅−=⋅

.con

22

ZL

CARGA

ud

+

u

-

i

+

uL

-

iL

2ud

ZC

ZL

iL

+

uL

-

El circuito equivalente de parámetros concentrados ,sin propagación, da

uL

e iL

(transmitidos):

Restando (*), se calcula uie i

ien función de u

d:

Ejemplo: las ondas de sobretensión (por ejemplo las producidas por una descarga atmosférica) tienen un frente de onda muy escarpado respecto a las ondas de frecuencia industrial. Aparecen simultáneamente:

y al llegar a la carga se reflejan según el valor de estas:

x

ud

U v

id

I=U/ZC v

x

U

v

2U

x

vI

x

La tensión llega a 2U, la i es I=0, en el extremo en un instante posterior a la

llegada de la onda incidente.

Línea abierta: ZL=infinito ρρρρL =1

vU

x

I

v

2I

x

Línea en CoCo: ZL=0, ρL= -1

Ejemplo: Línea de transmisión alimentada con fuente de cccon impedancia interna nula, sufre un CoCo a una distancia dde la fuente. Hallar i(t) en el lugar del CoCo y en la fuente.

En t<= 0-, la u a lo largo de la línea es cte. (c cargados, l no afecta) iL= E/RL= cte.

Línea de transmisión

R=0

d dx

ZC (real)

1 2

+

E

-

l dx

c dxRL

ZC (real)

Línea de transmisión

l dx

c dx

3

En t>= 0+ el flujo regular de cargas hacia RL se detiene de inmediato al producirse el CoCo ; hay un transitorio por descarga de los c a través de las l (la fuente es un CoCo

para las i transitorias; y en fuente y en CoCo siempre puede considerarse u=0)

Eu Lr ρ=

La tensión incidente para t>0 será ui=E, entonces:

L

LrR

EIi == ρ

En el corto (punto 1) tendremos:

11 −=+

−=

+

−=

C

C

C

C

ZR

ZR

ZR

ZRρ

Eur −=

Iir −=

Eut 1τ=

Iit 1τ=

02

1 =+

=CZR

Rτ

0=tu

0=ti

RL

v vir it

iL

riLriL iiiiii −−=⇒++

IIIiL 2)()( =−−−−=

uE

iI

21

Diagrama espacial

0<t

Sea t12=d/v el tiempo de travesía entre la fuente y el corto y t23=(Long-d)/v el

tiempo de travesía entre el corto y la carga:

Para

u

E

1

012 >> ttPara

E

0 V

3

E

E

023 >> tt

i

ir=I

21

I

0 V

ii=I

I

2I

0 A

iL

012 >> ttPara

023 >> tt

Condiciones de borde: en el CoCo siempre u2=0, en fuente siempre u1=E.

Cuando se aplica el CoCo , una onda de amplitud –E se dirige hacia la fuente haciendo u=0. La acompaña una

i=id-ii=0-(-E/ZC)=E/ZC. Cuando las ondas alcanzan la

fuente, las condiciones de borde imponen la iniciación de una nueva onda asociada a una id=E/ZC, que se

superpone a la preexistente. Al volver a incidir en el CoCo :

( )[ ]CC

drdid

iiid

C

C

C

Cr

Z

E

Z

EiKiiii

EuuEuuu

Z

Z

ZR

ZRK

211

;0

;10

0

2

=−−⋅=−=−=

−=∴+=+==

−=+

−=

+

−=

4Ii1

2I

τ 3τ t

2τ 4τ

3Ii2

I

t

fuente

falla

Línea con derivación o discontinuidad

Línea con discontinuidad (más ejemplos en NS p 338)Antes de la discontinuidad se propagan:

Al llegar a la discontinuidad se generan las ondas inversas ui e ii que subsisten

mientras no aparecen otras ondas debidas a reflexiones, etc. El análisis de lo

que pasa en la discontinuidad puede hacerse:

====

==

IZ

UZ

uii

Uuu

CC

dd

d

11

//1

//

2

21

2

2

22

ZZ

ZU

ZZ

ZZZ

ZZ

ZZ

UuC

CD

CDC

CD

CD

L+

⋅⋅=

+

⋅+

+

⋅⋅

⋅=

.peligrosas esoscilacion alugar dando máquina

la ay volver nuevamente reflejarse puede )( excesivo, es

toalargamien el si alarga; la aunque espiras) 1 lasen onessobretensi

(menores onda la de pendiente la suaviza pues onessobretensi

contra protección eficaz una constituye C el ,)300(Z aérea

línea una y Z )1000 a200(Z AT de máquina una es ZSi

:27 figura la de lasson x defunción en curvas mismas Estas

retorna que inversa onda la sería que

:es cte)(x C deposición la para que

pasivada) (fuentecon

12

:es emporalsolución t cuya reales), (números y Z por Z formado

resistivodivisor un de travésa carga se C que vese circuito Del

.1capacitor un es idaddiscontinu la ahora sianterior ejemploel, Dado

eras

C1

C1C2C2

21

21

21

2

C2C1

TRANSMi

LiiL

id

CC

CC

t

CC

CL

D

uu

UuuuUu

uux,t: u

CZZ

ZZ

eZZ

ZUu

CpZ

Ω≈

Ω=

−=∴+=

=+=∀

⋅+

⋅=

−⋅

+⋅⋅=

=

−

τ

τ

Evolución de las ondas, cuando llega a la carga en 3-3 se repite el fenómeno

Descarga atmosférica

1. Previo a la descarga. La línea acumula progresivamente cargas a través de aisladores de signo contrario al de la nube.

2. Se inicia la descarga sobre la línea. Las cargas se van recombinando, las “-” más concentradas en el frente. En tierra las “+” casi inmóviles.

3. Se completa la bajada de

“-”; la línea y el C entre espiras y a masa del transformador quedan cargados.

Nube (Base (“-”)- - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

Transformador

0 V

MV

- - - - - - - - - - - - -

+ + - - - - - - + + + + +

+ + + + + + + + +

Transformador

U=Max 0 V

- - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + +

Transformador

U- -+ +

A REVISAR

4. Se descarga C sobre el

bobinado del transformador,

asimilable a

( )

CL

L

RteUu t

C

⋅=−=

⋅=⋅⋅⋅= ⋅−

1;

;2

cos

022

0 ωαωω

αωα

Las máximas amplitudes no superan U, pero estas oscilaciones en el transformador se superponen a la variación real que impone el rayo.

Parámetros distribuidos en máquinas

Las máquinas eléctricas presentan parámetros distribuidos en forma análoga al caso de las líneas. El caso más importantepara analizar es el del transformador por estar frecuentemente conectado a líneas aéreas susceptibles de recibir descargas atmosféricas que originan ondas de alta tensión aunque de breve duración (del orden de los microsegundos). En estos casos es indispensable protegerlos con descargadores de sobretensiones (de carburo de silicio u óxido de zinc) que, no obstante, imponen una tensión muy superior, abrupta, a la nominal de diseño. Esto obliga a adoptar algunas providencias constructivas en los transformadores. El caso más exigido, y felizmente el más fácil de analizar, es el de un transformador con neutro puesto a tierra (que es el que se verá).

Con las máquinas rotativas acontece una situación similar, pero usualmente están sometidas a las sobretensiones internas del sistema (por desconexiones, etc.). Estas sobretensiones en ocasiones pueden ser importantes y deben preverse protecciones acordes a las mismas.

A REVISAR

Transformador con neutro a tierra

Considérese el caso de un bobinado de transformador puesta a tierra que recibe un rayo.

La distribución de potenciales dependerá de las capacidades a masa y entre espiras. Llamando:

( ) dxdxl

L

nLL

dxdxl

dxdxlC

l

lC

n

CnC

S

S

por ainductanci

espirapor ainductanci

por paralelo capacidadC

por serie capacidad

:figura laen observa se ranomenclatu última estacon

longitud de unidadpor paralelo capacidad C

longitud, de unidadpor serie capacidad

: tambiéno

paralelo totalcapacidad C tierra,a espira 1 de capacidadC

C

serie totalcapacidad C espiras, 2 entre capacidad

1

P

P

PP

1

sS1

=⋅

==

=⋅

=⋅⋅

=

=⋅

==

=⋅=

La corriente de descarga no puede atravesar inicialmente (t=0) la L y la tensión se reparte en los capacitores

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

⋅

⋅−⋅=⇒∴

⋅+⋅=

+=

=→=

=→=⋅+⋅==⋅=

≈⋅∂

∂

−⋅

⋅−=

∂

∂⇒

⋅∂

∂⋅

⋅−=

∂

∂

∂

∂⋅−=

∂

∂

⋅⋅⋅

−=∂

∂

⋅∂

∂+=+

⋅∂

∂+=+

++∂

∂⋅

⋅=

++⋅⋅⋅

=

−⋅−

−

⋅−⋅

∫

∫∫

∫

α

α

αα

αα

αα

αα

sh

l

xsh

eeUuAAeAeA

AAU

ulx

UuxeAeAu

Cu

ldx

u

dtt

u

llCx

u

dtx

i

lCx

u

t

u

lx

i

dtilCx

u

dxx

ixidxxi

dxx

uxudxxu

dxxit

u

l

dxxi

dxxudtilC

dxxu

xl

xl

xl

S

S

S

S

S

21

21

21

212

2

2

2

2

2

2

,0

0

0

1

1

1

;

con y :resulta solución cuya C

cond

:0t para que sea o C

C

pero C

P2

P

P

P

( )α

α

α

αα sh

l

ysh

UueAeAU

AA

Uuly

uyu

ldy

ud

y

⋅

=∴

⋅+⋅=

+=

∴

=→=

=→=⋅=

−21

21

2

2

2

2

0

00 :con y ,

:anterior forma misma la de es solución La

figura). Ver( coordenada la usar resulta simple Más

.permanente

regimen en que misma la es tensiones de

óndistribuci la y , :0 Si

espiras. 1

las en aplicada queda U la Si

0.t para tensiones

de óndistribuci la da se 33 figura la En

eras

l

yUl

y

Uu ⋅=⋅

⋅=≈

∞→

≈

α

αα

α :

37) figura

" los por dada está punto cada en alcanza se que amplitud máxima La

con LC descarga una de tratarse por 36, figura la muestra

como para oscilación una implica nteTemporalme

35). figura (, final uno hasta inicial valor un

de variará el y 34, figura la tiene se tramo un Para

0

(

"

1

2

22

U

LC

xU

UU

Ux

fi

∆∴

=

∆

∆∆

∆∆

ω

Los sucesivos “capacitores” se irán cargando con cierto retraso (carga RC) por lo que las oscilaciones en cada sección no serán contemporáneas.

Como α conviene que sea chico, de [52] se concluye que

conviene aumentar Cs y disminuir Cp. Ambas condiciones son difíciles de cumplir por necesidades de aislación. En transformadores de AT existen varias disposiciones constructivas para lograrlo. Una de ellas consiste en reforzar la aislación de las primeras espiras (ver fig 33) e interponer anillos conductores (aislados) entre ellas para que Cs no se vea reducida.