Sistema SolarClase #3

Profesor: José Maza Sancho

9 Enero 2013

Escuela de Verano 2013

Resumen

Newton y la tercera ley de Kepler Unidad astronómica de distancia Sistema solar: grandes regularidades Planetas terrestres y jovianos

Isaac Newton (1643-1727)

Isaac Newton (1643-1727) en su magistral libro Principia Matematica de 1687 establece las bases de la mecánica y la ley de gravitación universal.

Dos masas se atraen con una fuerza proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias.

La ley de gravitación universal puede ser deducida de la tercera ley de Kepler.

€

mv 2

r= F

v = 2πrP

∴ m ⋅4π 2r2

P 2r= F → F ∝ r

P 2

Pero por la tercera ley de Kepler:

€

P 2 ∝ r3

Por lo tanto:

€

F ∝ rP 2 = r

r3 = 1r2

∴ F ∝ 1r2

A partir de la ley de Newton se puede deducir la forma general de la tercera ley de Kepler.

€

m1v12

r1=G m1m2

r2

m2v22

r2=G m1m2

r2

Pero:

€

v1 = 2πr1P

v2 = 2πr2P

Por lo tanto:

€

4π 2r12

P 2r1= Gm2

r2

4π 2r22

P 2r2= Gm1

r2

Sumando ambas ecuaciones:

€

4π 2

P 2 r1 + r2( ) = Gr2 m1 + m2( )

∴

4π 2r3 =G m1 + m2( )P 2

Forma General de la Tercera Ley de Kepler

Tercera ley de Kepler:

€

4π 2r3 =G m1 + m2( )P 2

La forma general de la tercera ley de Kepler sirve para calcular las masas.

Escribiendo la tercera ley para la órbita de la Luna alrededor de la Tierra y para la órbita de la Tierra alrededor del Sol se puede determinar la masa del Sol en masas terrestres.

La masa del Sol es 330.000 veces mayor que la masa de la Tierra.

La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna.

La distancia Tierra Sol se define como la Unidad astronómica de distancia que corresponde a 149.600.000 km.

El radio del Sol es de 696.000 km Esto equivale a 109 veces el radio

terrestre.

Tamaños de la Tierra y el Sol.

Sistema Solar: Grandes regularidades

El sistema solar está compuesto por el Sol y los planetas.

El Sol contiene el 99,87% de la masa del sistema solar.

La masa del Sol = 330.000 masas de la Tierra Masa de Júpiter = 318 masas terrestres Masa de todos los planetas equivale a 1,3

milésimas de la masa del Sol.

Todos los planetas orbitan alrededor del

Sol girando en sentido contrario a los punteros de un reloj (vistos desde el norte).

Todos los planetas giran “casi” en el mismo plano.

Los planetas rotan en torno a un eje que es “casi” perpendicular al plano de la eclíptica.

La rotación de los planetas es contra reloj vista desde el norte.

Se pueden distinguir dos familias de planetas:

Planetas terrestres Planetas jovianos. Los planetas terrestres son pequeños,

rocosos, densos, cercanos al Sol (Mercurio, Venus, La Tierra y Marte).

Los planetas jovianos son de hielo, poco densos, de gran tamaño y lejanos al Sol: Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.

Momento angular

El Sol gira en 25 días. La masa del sistema solar está en el Sol. El momento angular del sistema solar está

en los planetas, principalmente los planetas gigantes.

El momento angular de un sistema de partículas se conserva, a menos que actúen fuerzas externas.

La nebulosa solar primitiva depositó el momento angular en los planetas y la masa en el Sol.

Ley de Bode:

La gran separación existente entre la órbita de Marte y de Júpiter llamó la atención de los astrónomos desde los tiempos de Copérnico.

Kepler había utilizado el tetraedro para representar ese gran espacio (por ser el poliedro regular con una mayor razón entre el radio de la esfera circunscrita y la esfera inscrita).

Kepler llegó a sugerir la existencia de un planeta desconocido en esa gran laguna entre Marte y Júpiter.

En su búsqueda de la armonía en el sistema solar Kepler llegó a la tercera ley del movimiento planetario, que relaciona semi-ejes mayores y períodos de revolución, pero no encontró la “armonía” de los semi-ejes entre sí.

En el siglo XVIII el alemán J. Daniel Titius (1729-1796), profesor de física en Wittenberg, encontró una relación numérica que reproduce con una buena aproximación los semi-ejes mayores de las órbitas planetarias.

La publicó en 1772 en una nota a pie de página en un libro que tradujo.

Esta serie pasó inadvertida hasta que Johan Elert Bode (1747-1826), director del Observatorio de Berlín, la dio a conocer en 1778

ahora es referida como la “ley de Titius-Bode”, o simplemente como ley de Bode,

doble error pues no es una “ley” ni tampoco es de Bode.

Partiendo de una sucesión formada por el número 0 y los términos de una progresión geométrica de razón 2 y primer término 3 (0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...), si le agregamos 4 a cada término y luego dividimos por 10, resulta la serie: 0,4 0,7 1,0 1,6 2,8 5,2 10,0 19,6 38,8 ...

Esta serie representa muy bien las distancias de los planetas al Sol, desde Mercurio hasta Saturno, empezando en orden desde el primer término, pero omitiendo el quinto.

[Las distancias media al Sol son: Mercurio 0,39; Venus 0,72; La Tierra 1,0; Marte: 1,52; Júpiter 5,20; Saturno: 9,54].

Planeta Distancia Ley de Bode

Mercurio 0,39 0,4

Venus 0,72 0,7

Tierra 1,0 1,0

Marte 1,52 1,6

???? 2,8

Júpiter 5,20 5,2

Saturno 9,54 10,0

Planeta Distancia Ley de Bode

Mercurio 0,39 0,4

Venus 0,72 0,7

Tierra 1,0 1,0

Marte 1,52 1,6

???? 2,8

Júpiter 5,20 5,2

Saturno 9,54 10,0

Urano 19,18 19,6

Problema 1:

Calcular la razón entre la masa del Sol y la masa de la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 de la masa terrestre.

La tercera ley de Kepler para el movimiento de la Tierra alrededor del Sol se puede escribir:

€

4π 2 × 150 ×106( )3

=G × MSol + mT( ) × 365,25( )2

€

4π 2 × 384.000( )3 =G × mT + mL( ) × 27,3( )

2

La tercera ley de Kepler para el movimiento de la Lunaalrededor de la Tierra se puede escribir

Dividiendo ambas ecuaciones:

€

59,6 ×106 = MSol

mT × 1+ 181( )

×179,0

Por lo tanto:

€

M SolmT

= 337.000

Problema 2

Calcular la altura sobre la Tierra de un satélite geoestacionario:

R: La tercera ley de Kepler para el giro de la Luna en torno a la Tierra es:

€

4π 2 × 384.000( )3 =G × mT + mL( ) × 27( )

2

€

4π 2 × X 3 =G × mT + mSatélite( ) × 1( )2

La tercera ley de Kepler para el giro del satélite alrededor de la Tierra

Dividiendo ambas ecuaciones resulta (despreciando las masas de la Luna y del satélite, frente a la masa de la Tierra):

€

384.000X

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟3

= 271 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

€

384.000X

= 9

€

X = 384.0009

= 42.670 km[ ]

Esa es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite. Para saber la altura hay que restar el radio terrestre, 6.378 kilómetros por lo cual la respuesta es que la altura sobre la superficie terrestre de un satélite geoestacionario es de 36.292 km. o sea 36.300 km.

La distancia al centro equivale a 6,7 radios terrestres y la atura a 5,7

Tierra

PlutonMarte Mercurio

TierraPluton

Sol

Tierra

Pluton

SolSirio

Arturo

Jupiter tiene 1 pixel

La Tierra no es visible en esta escala

Sol – 1 pixel

Jupiter es invisible en esta escala