Sistema Diédrico

Fundamentos

La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano.Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio.Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblicua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblicuo al plano de proyección.

Fig 1En Sistema Diedrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente formando un diedro rectángulo (Fig. 2).Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical (Fig. 3). De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano.

Fig. 2 Fig. 3

El punto

Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. En la figura 4, el punto A del espacio queda representado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a´ sobre el plano Vertical.Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones a-a´ quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de tierra (Fig. 5). Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.

Fig. 4 Fig. 5

Conceptos de cota y alejamiento

La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se representa en el sistema diedrico, como la distancia de la proyección vertical a' a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra (Fig. 6).

Fig. 6 Fig. 7

Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y en el sistema diedrico su proyección vertical estará por encima de la línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra.Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y la proyección vertical por encima (Fig. 7).Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrará sobre la línea de tierra.

Alfabeto del punto

El alfabeto del punto es la representación del punto en las distintas posiciones que puede ocupar en el espacio respecto a los planos de proyección y a los planos bisectores. Los planos bisectores son los que dividen los cuadrantes en dos diedros iguales. Con los bisectores, el sistema queda dividido en ocho octantes (Figs 9 y 10).

Fig. 9 Fig. 10

Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos de proyección, por lo que tendrán la misma cota que alejamiento. Si son del mismo signo, las proyecciones del punto equidistan de la LT; y si son de distinto signo, éstas quedarán superpuestas (Fig. 10).Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema diédrico, podemos ayudarnos del esquema de la fig. 10, donde se puede observar claramente los valores de las cotas y alejamientos del punto. Por ejemplo, el punto A(a-a') tiene alejamiento positivo (a por debajo de LT) por estar por delante del plano vertical y cota nula (a' en LT) por encontrarse en el horizontal. Siguiendo este procedimiento podemos representar las demás posiciones (Fig. 11).

Fig. 11

La Recta

Dos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, para representarla en el sistema diédrico bastará con conocer las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella A y B. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir a con b y a' con b', se obtienen las proyecciones horizontal r y vertical r' de la recta (Fig. 12).

Fig. 12 Fig. 13

Trazas de la recta

Una recta también puede definirse por sus trazas. Las trazas de una recta son los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección.La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto H del plano horizontal, y por tanto con cota nula, lo que implica que su proyección vertical h' se encuentre en la línea de tierra.La traza vertical V, por tener alejamiento nulo, tendrá su proyección horizontal v, en la línea de tierra.

Partes vistas y ocultas

En este sistema el espectador se sitúa en el primer cuadrante, por ello, sólo serán vistos los elementos situados en él, representándose con línea continua.Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemos considerar la posición de las trazas. Si, por ejemplo, una recta tiene su traza vertical V(v-v') en el plano vertical superior y su traza horizontal H(h-h') en el plano horizontal anterior, el segmento comprendido entre las trazas pertenece al primer cuadrante, la semirrecta a partir de la traza vertical pertenece al segundo y la semirrecta a partir de la traza horizontal al cuarto (Fig 14).

Fig. 14 Fig. 15

Trazas con los bisectores

Las trazas con los bisectores son los puntos que tienen igual cota que alejamiento y pertenecen a la recta. El segundo bisector pasa por los cuadrantes que tienen cota y alejamiento de distinto signo, por tanto, la traza B2 con el segundo bisector es el punto de intersección de las proyecciones de la recta. Y al contrario, la traza con el primer bisector B1 es el punto cuyas proyecciones equidistan de la LT. Este se halla trazando la recta simétrica de una de las proyecciones hasta cortar la otra proyección (Fig. 15).

Alfabeto de la recta

Fig. 16

A) Recta paralela a la línea de tierra: es también paralela a los dos planos de proyección, por tanto, el alejamiento y la cota de todos sus puntos son constantes.

B) Recta horizontal: es paralela al plano horizontal, por lo que su proyección vertical se representa paralela a la LT. Sólo tiene traza con el plano vertical, al que es oblicua.C) Recta frontal: es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal, su proyección horizontal se representa paralela a LT por tener alejamiento constante. Sólo tiene traza don el plano horizontal.D) Recta vertical: es perpendicular al plano vertical y sólo tiene traza con él. Su proyección vertical es perpendicular a LT y la horizontal es un punto que coincide con su traza.E) Recta de punta: es perpendicular al plano vertical, por lo que todos los puntos de la recta se proyectan sobre su traza vertical.F) Recta genérica: es oblicua a los dos planos de proyección. Las trazas que la definen pueden ser dos puntos cualesquiera de los planos de proyección. Sus dos proyecciones son oblicuas a la LT.G) Recta que pasa por la LT. : Es también oblicua a los dos planos de proyección, pero sus trazas coinciden en un mismo punto de la LT, por lo que necesitamos un punto -M(m-m´)- que le pertenezca para definirla.H) Recta perpendicular a LT. : sus proyecciones son perpendiculares a la LT. También se necesita un punto para definirla.I) Recta de perfil: por ser paralela a un plano de perfil sus proyecciones son perpendiculares a la LT.

Fig. 17

El plano

Alfabeto del plano

El plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección vertical y horizontal.Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyección conforman el alfabeto del plano.

Fig. 18

A) Plano horizontal: es paralelo al plano horizontal de proyección, por lo que sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralela a la línea de tierra. Los elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.B) Plano Frontal: el paralelo al plano vertical. Sólo tiene traza horizontal paralela a la LT.C) Plano de canto o proyectante vertical: es perpendicular al plano vertical y oblicuo al horizontal. Al ser perpendicular al plano vertical, los elementos contenidos en el se proyectan sobre la traza con dicho plano.D) Plano vertical o proyectante horizontal: es perpendicular al plano horizontal. Su traza vertical es perpendicular a la LT. Y su traza horizontal oblicua.E) Plano genérico: es oblicuo a los dos planos de proyección.F) Plano paralelo a la LT. : es oblicua a los planos de proyección y perpendicular a los planos de perfil; se puede considerar un proyectante de perfil, lo que implica que todo lo contenido en él se proyecte sobre su traza de perfil.G) plano que pasa por LT. : sus trazas se confunde en la LT., por lo que se necesita un punto del mismo para definirlo. También es proyectante de perfil.H) Plano de perfil: es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical y al horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él, los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil de proyección.

Fig. 19

Relaciones de pertenencia

Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en las proyecciones homónimas de la recta (Fig. 20).

Fig. 20 Fig. 21Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las trazas homónimas del plano (Fig. 21).Un punto pertenece a un plano, si está contenido en una recta que a su vez pertenece al plano (Fig. 21).

Rectas notables del plano

Rectas horizontales: son las rectas horizontales que pertenecen al plano. Su Traza -V(v-v´)- esta sobre la traza –P´- del plano y su proyección horizontal es paralela a la traza P (Fig. 22).

Rectas Frontales: Su única traza -H(h-h´)- pertenece a -P- y la proyección -f- es paralela a la traza vertical –P´- del plano (Fig. 23).

Fig. 22 Fig. 23

Recta de máxima pendiente: Es la recta que perteneciendo al plano forma mayor ángulo con el plano horizontal (Fig. 24).

Recta de máxima inclinación: Es la recta del plano que forma mayor ángulo con el plano vertical (Fig. 25).

Fig. 24 Fig. 25

La recta de máxima inclinación tiene, al contrario que la r.m.p., La proyección vertical perpendicular a la traza homónima del plano. Ambas rectas son suficientes para definir un plano. Si, por ejemplo, se nos da un plano definido por su recta de máxima pendiente, la perpendicular por la traza -h- a la proyección horizontal -r- de la recta es la traza horizontal del plano. La traza vertical –P´- la trazamos uniendo el origen del plano con la traza vertical – v´-.

Determinación de las trazas de un plano

Un plano puede quedar determinado por los siguientes elementos: Dos rectas que se cortan (Fig. 26, 27 y 28). Tres puntos no alineados (Fig. 30). Una recta y un punto que no le pertenezca.(Fig. 31) Dos rectas paralelas (Fig. 29).

Fig. 26 Fig. 27

Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas se resuelven hallando las trazas de ambas rectas y trazando por ellas las trazas homónimas del plano.

Fig. 28 Fig. 29

Cuando nos dan tres puntos no alineados, podemos transformar el caso en el de dos rectas que se cortan si trazamos las rectas AB y AC, que se cortarán precisamente en el punto A.El caso de una recta y un punto exterior también se transforma en el primero si situamos en la recta un punto cualquiera, M, y lo unimos con el punto dado, los cuales definen una recta S que se corta con la recta dada en el punto M.

Fig. 30 Fig. 31

Intersecciones

Intersección entre planos

La intersección entre dos planos es una recta común a ambos. Para determinarla seguiremos los siguientes pasos: trazamos dos planos auxiliares, en la Fig. 1a se han trazado dos planos horizontales. La intersección del plano (H) con (P) es la recta R, y con (Q) la recta S. La intersección de ambas rectas es el punto A común a los tres planos y, por lo tanto, pertenece a la recta intersección de (P) y (Q).Procediendo del mismo modo con el segundo plano auxiliar, obtenemos el punto B, con el que queda definida la recta intersección de ambos plano.Si consideramos como planos auxiliares los planos de proyección, las intersecciones de estos con (P) y (Q), son precisamente sus trazas P-P´ y Q-Q´ (Fig. 1b). Recordad que las trazas de un plano son las rectas de intersección de este con los planos de proyección.

Fig. 1 Fig. 2

Planos cuyas trazas se cortan fuera de los limites del dibujo.

Si sólo se cortan las trazas horizontales de los planos, trazamos un plano horizontal que corte las trazas verticales de los planos dados. Las intersecciones de este plano con los planos (P) y (Q) son dos rectas horizontales que se cortan en el punto A(a-a´) común a los tres planos. Uniendo este punto con el punto de intersección de las trazas horizontales de los planos obtenemos la recta I (Fig. 2).Si solamente se cortan las trazas verticales procedemos de igual forma utilizando un plano frontal (Fig. 3), y utilizamos ambos planos auxiliares si no se cortan ninguna de las trazas (Fig. 4).

Fig. 3 Fig. 4

Casos particulares

La intersección entre dos planos cuyas trazas concurren en un mismo punto de la línea de tierra, se determina con el auxilio de un plano horizontal que corta a los planos (P) y (Q) según dos rectas horizontales. La intersección de dichas rectas es el vértice del triedro formado por los planos (P), (Q) y (H). Uniendo dicho punto con el punto donde concurren las trazas de los planos dados, obtenemos la recta intersección (Fig. 5).

Fig. 5Fig. 6

La intersección de dos planos paralelos a la línea tierra es una recta paralela a la línea de tierra. Por ser los planos perpendiculares al plano de perfil, la intersección de sus trazas en el plano de perfil es la proyección de perfil de la recta intersección. A partir de dicha proyección obtenemos las proyecciones diédricas. (Fig. 6)

Intersección entre recta y plano

La intersección entre una recta y un plano es el punto común a ambos, para determinarlo procedemos de la siguiente manera: contenemos la recta en un plano proyectante auxiliar (Q). La intersección entre (P) y (Q) es una recta S que corta a R en el punto I de intersección. (Fig. 7).La intersección de una recta R con un plano dado por dos rectas que se cortan S y T, se halla conteniendo la recta R en un plano proyectante, el cual corta el plano definido por las rectas S y T, según la recta AB coplanaria con ambas. La intersección de la recta R con la recta AB es el punto I de intersección de R con el plano dado. (Fig. 8)

Fig. 7 Fig. 8

Paralelismo y Perpendicularidad. Distancias

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas.Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aún siéndolo sus proyecciones diedricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de perfil también lo sean (Fig. 9).

Fig. 9 Fig. 10

Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el plano.Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamos una recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos la paralela R a la recta S (Fig. 10).El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una recta R dada, se resuelve trazando por el punto una recta S paralela a R. Cualquier plano que contenga a la recta S es paralelo a R.

Fig. 11 Fig. 12

Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquiera son dos rectas paralelas, de aquí que los planos paralelos tengan sus trazas homónimas paralelas.Los planos proyectantes de perfil deben tener paralelas sus trazas de perfil para ser paralelos en el espacio (Fig. 12).Para trazar por un punto un plano Q, paralelo a un plano P dado, podemos auxiliarnos de un recta horizontal o frontal. Si elegimos una recta horizontal, trazamos su proyección horizontal por la proyección horizontal del punto dado paralela a la traza horizontal del plano P. Conteniendo la traza de la recta horizontal, trazamos Q', paralela a P', y por el origen del plano obtenido sobre la línea de tierra, la traza Q paralela a P. (Fig. 11).

Perpendicularidad

Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano, pasen o no por el punto de intersección. En la Figura 13a, la recta R es perpendicular a S, T, V, ...

Fig. 13

Teorema de las tres perpendiculares.- Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a un plano de proyección (Fig. 13b) o está contenida en él (Fig. 13c), ambas rectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano. Considerando el plano proyectante definido por el haz de rectas perpendiculares a R en un punto, resulta que todas la rectas del haz se proyectan sobre su traza. Si la recta T, de dicho haz, es paralela al plano de proyección, el ángulo formado por R y T se proyecta sin deformación.(Fig. 13b)

Perpendicularidad entre recta y plano

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, si la recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su traza P. Por el teorema de las tres perpendiculares, siendo R y P perpendiculares y estando contenida la traza P del plano en el plano de proyección, las proyecciones de R y P deben mostrarse ortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta es perpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas de dicho plano (Fig 14 y 15).

Fig. 14 Fig. 15

Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano P dado, basta con trazar por las proyecciones del punto las proyecciones homónimas de la recta, perpendiculares a las trazas del plano. (Fig. 15)El problema inverso podemos resolverlo con el auxilio de una recta horizontal que, pasando por el punto, tenga su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano dado.

Perpendicularidad entre planos

Si una recta R es perpendicular a un plano (P), cualquier plano (Q) que contenga a la recta R es perpendicular a (P).

Perpendicularidad entre rectas

Para trazar una recta R perpendicular a otra S dada, trazamos el plano (P) perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el plano P es perpendicular a la recta S.

Distancias

Los problemas de distancia son una aplicación de la perpendicularidad, consisten en determinar la mínima distancia entre dos elementos geométricas.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es el segmento rectilíneo comprendido entre ambos. En el esquema de la Fig. 16, podemos apreciar que la distancia en verdadera magnitud entre las puntos A y B es la hipotenusa de un triangulo rectángulo cuyos catetos son la proyección horizontal del segmento AB y la diferencia de sus cotas. Construyendo dicho triángulo sobre el plano horizontal podemos obtenemos la verdadera magnitud del segmento AB. Lo mismo ocurre con el triángulo cuyos catetos son la proyección vertical del segmento y la diferencia de sus alejamientos.

Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto a un plano es el segmento comprendido entre el punto y el pie de la perpendicular trazada por el punto al plano.Para determinar la distancia en el Sistema Diedrico de un punto A a un plano (P) dados, trazamos por A la recta R perpendicular al plano (P). Hallamos el punto B de intersección de la recta R con el plano (P) auxiliándonos de un plano proyectante. Una vez obtenido el punto B construimos el triángulo rectángulo, de catetos la proyección vertical del segmento AB y la diferencia de alejamientos, para obtener la verdadera magnitud de la distancia.

Distancia de un punto a una recta

Si trazamos por el punto A un plano (P) perpendicular a la recta R y hallamos el punto B de intersección de la recta con el plano, obtenemos el segmento AB, mínima distancia entre R y A. (Fig. 18)

Fig. 18 Fig. 19

Distancia entre dos rectas paralelas

Trazamos el plano (P) perpendicular común a las rectas R y S. Las intersecciones del plano con las rectas son los puntos A y B que determinan el segmento mínima distancia entre las rectas. (Fig. 19)

Distancia entre dos planos paralelos

Trazamos una recta R perpendicular común a los planos dados y hallamos los puntos de intersección que determinan la distancia entre los planos. (Fig 20)

Fig. 20 Fig. 21

Distancia entre dos rectas que se cruzan siendo una de ellas perpendicular a uno de los planos de proyección

La distancia entre dos rectas que se cruzan es la perpendicular común a ambas rectas. Si una de las rectas, por ejemplo la R, es perpendicular al plano horizontal de proyección, las perpendiculares a dicha recta son todas paralelas a dicho plano. En virtud del teorema de las tres perpendiculares, la perpendicular común y la recta S han de proyectarse perpendiculares sobre el plano horizontal, puesto que una de ellas es paralela al plano de proyección. (Fig. 21)En el Sistema Diédrico trazamos por la proyección horizontal de la recta R, la perpendicular a la proyección horizontal de S. El pie de la perpendicular es la proyección horizontal del punto B. La proyección vertical de B la obtenemos refiriéndolo sobre S desde la proyección horizontal b. El punto A se obtiene trazando la paralela a la línea de tierra por a', ya que la recta AB es una horizontal.

Al ser la recta AB paralela al plano horizontal se proyecta sobre éste en verdadera magnitud

Abatimientos, giros y cambios de plano

Cuando un segmento o una figura plana son paralelos a los planos de proyección, se proyectan sobre ellos sin deformación. En la mayoría de los casos nos encontraremos con figuras que son oblicuas a ambos planos y, por lo tanto, se proyectan deformadas sobre los mismos. En estos casos tendremos que recurrir a los abatimientos, giros o cambios de plano, para obtener posiciones más favorables de las figuras respecto a los planos de proyección.

Abatimientos

Los abatimientos se usan generalmente, en el Sistema Diedrico, para obtener las verdaderas formas y magnitudes de figuras planas o para su construcción sobre planos oblicuos. Normalmente se abaten los planos que contienen las figuras sobre uno de los planos de proyección.Abatir un plano sobre otro plano, consiste en girar uno de ellos alrededor de su traza, denominada charnela, hasta hacerlo coincidir con el otro.

Abatimiento de un punto

Cuando se abate un punto, o cualquier otro elemento, lo que se abate en realidad es el plano que lo contiene.Para abatir el punto A contenido en el plano (P) sobre el plano (H), trazamos un arco de circunferencia de radio AC, igual a la distancia del punto A a la charnela P. El radio de giro r, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son la distancia del punto del espacio al plano de proyección y la distancia de la proyección del punto a la charnela. Este triángulo podemos dibujarlo sobre el plano de proyección para obtener el abatimiento del punto en el Sistema Diedrico. (Fig. 1)

Fig. 1 Fig. 2

Partiendo de las proyecciones del punto y de la traza horizontal del plano que lo contiene utilizada como charnela, hemos abatido el punto A sobre el plano horizontal de proyección. (Fig. 2).Por la proyección horizontal del punto trazamos la perpendicular a la charnela y determinamos el centro c. Sobre la paralela a la charnela trazada por a, trasladamos la cota del punto para obtener el radio r. Con centro en c y radio r, trazamos el arco de circunferencia que corta a la prolongación de ac en (A).

Abatimiento de una recta

Para abatir una recta basta con abatir dos de sus puntos. En la Fig. 3 hemos abatido las trazas de la recta R. La traza vertical la abatimos como en el apartado anterior y la traza horizontal no se mueve por estar contenida en la charnela.Las rectas horizontales de un plano son paralelas a su traza horizontal, por lo que abatidas sobre el plano horizontal de proyección, se mantienen paralelas a la charnela. Para abatir estas rectas, basta abatir su traza vertical y trazar por ella la recta abatida paralela a la charnela (Fig. 4)

Fig. 3 Fig. 4

Abatimiento de un plano

Abatir un plano consiste en abatir la traza que no hace la función de charnela, puesto que está rota sobre sí misma. Si queremos abatir la traza vertical de un plano sobre el horizontal de proyección, sólo tenemos que abatir dos puntos de ella. Si uno de ellos es el origen del plano que por pertenecer también a la charnela no se mueve, basta con abatir un punto cualquiera de la traza vertical y unirlo con el origen del plano (Fig. 4)

Representación de una figura plana

Para representar una figura plana contenida en un plano abatimos el plano y la construimos con las medidas reales sobre el plano abatido. Auxiliándonos de rectas horizontales o frontales desabatimos cada uno de sus vértices para obtener sus proyecciones diedricas. (Fig. 5)La circunferencia la podemos representar desabatiendo dos diámetros perpendiculares de la circunferencia. Estos se transforman en los diámetros conjugados de las elipses en que se proyectan las circunferencias.En el desabatimiento de la circunferencia podemos aplicar la afinidad ortogonal de eje la charnela y figuras homólogas la circunferencia abatida y su proyección sobre el mismo plano. (Fig. 6)

Fig. 5 Fig. 6

Los planos proyectantes tienen sus trazas perpendiculares, por lo tanto, tras el abatimiento se mantienen perpendiculares. Si abatimos un plano de canto sobre el horizontal tomando como charnela su traza horizontal, la traza vertical abatida coincidirá con la línea de tierra (Fig. 7)Los planos paralelos a la línea de tierra son proyectantes de perfil y podemos abatirlos sobre el mismo plano de perfil (Fig. 8)

Fig. 7 Fig. 8

Giros

Giro de un punto

Si un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia de radio la distancia del punto a la recta y contenida en un plano perpendicular al eje de giro.Si tomamos como eje de giro una recta vertical, la circunferencia de giro estará contenida en un plano horizontal y se proyectará sobre el plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y en el plano vertical como un segmento, igual a su diámetro, coincidente con la traza del plano horizontal que la contiene (Fig. 9).En el sistema diédrico se ha girado el punto A trazando un arco de circunferencia con centro en la proyección horizontal del eje, obteniendo así la nueva proyección horizontal del punto a1, por dicha proyección se traza la perpendicular a la línea de tierra para obtener sobre la traza del plano la nueva proyección vertical (Fig. 10)

Fig. 9 Fig. 10

Giro de una recta

para girar una recta basta girar dos de sus puntos el mismo ángulo. Si la recta corta el eje, el punto de intersección de ambas recta no se mueve tras el giro, por lo que es suficiente con girar un punto y unirlo con el punto de intersección (Fig. 11).Si la recta y el eje se cruzan, trazamos la perpendicular común, que será una horizontal si el eje es vertical. La perpendicular común y la recta R se proyectan durante el giro siempre perpendiculares, al permanecer la primera paralela al plano horizontal. De esta manera podemos girar la proyección horizontal de R que se mantendrá tangente a la circunferencia de giro. Girada la proyección horizontal de R, giramos un segundo punto que tendrá su nueva proyección horizontal sobre la proyección homónima de la recta (Fig. 12).

Fig. 11 Fig. 12

Podemos situar una recta mediante un giro paralela a unos de los planos de proyección. En la figura 13 hemos transformado una recta oblicua en frontal girándola alrededor de un eje vertical de manera que su proyección horizontal quede paralela a la línea de tierra.

Giro de un plano

Podemos girar un plano girando su traza horizontal y una recta horizontal. Trazamos un eje vertical que corte la recta horizontal y giramos la traza P con la perpendicular trazada desde la proyección horizontal del eje. La recta horizontal al girar alrededor de un eje vertical se mantiene siempre paralela al plano horizontal de proyección, por lo tanto, su nueva proyección horizontal será paralela a la nueva traza horizontal del plano pasando por e, y su traza v'1

tendrá la misma cota. Uniendo el origen del plano con v'1, obtenemos la nueva traza vertical del plano (Fig. 14).

Fig. 13 Fig. 14

Cambios de planos

En los abatimientos y en los giros los elementos del espacio cambian de posición respecto a los planos de proyección, sin embargo, en los cambios de planos son éstos los que cambian mientras que los elementos del espacio permanecen inmóviles.

El punto en los cambios de plano

Podemos sustituir uno de los planos de proyección por otro plano cualquiera siempre que sea perpendicular al plano que permanece. Si cambiamos el plano vertical, el nuevo plano será un proyectante vertical sobre el que obtendremos una nueva proyección vertical a'1

del punto A del espacio. La proyección horizontal es la misma en los dos sistemas al no cambiar el plano horizontal, y por la misma razón, la cota del punto también es la misma en los dos sistemas. Esto implica que las distancias de las proyecciones verticales a sus respectivas líneas de tierra sean iguales. (Fig. 15 y 16)

Fig. 15 Fig. 16

La recta en los cambios de plano

Para hallar las nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de plano hallaremos las nuevas proyecciones de dos de sus puntos, normalmente sus trazas. Si realizamos un cambio de plano horizontal, las proyecciones verticales de sus trazas h' y v' permanecen, obteniéndose la nuevas proyecciones horizontales de dichos puntos h1 y v1 trasladando sus cotas a partir de la nueva línea de tierra. El punto V tiene cota cero en los dos sistemas, por lo tanto, sigue siendo la traza vertical en el nuevo sistema (Fig. 17).Podemos transformar una recta oblicua en vertical realizando dos cambios de plano sucesivos. Primero la transformamos en frontal mediante un cambio de plano vertical y posteriormente realizamos un cambio de plano horizontal para transformarla en vertical. Para transformarla en frontal tenemos que trazar la nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal y para transformar esta en vertical la línea de tierra debe ser perpendicular a su proyección vertical (Fig 18).

Fig. 17 Fig. 18

El plano en los cambios de plano

Si realizamos un cambio de plano vertical, el vértice A, definido por la intersección de los dos planos verticales con el plano (P), pertenece a los dos sistemas. Este punto se proyecta con la misma cota en cada uno de los sistemas y pertenece a las trazas verticales del plano en ambos sistemas.(Fig. 19 y 20)

Fig. 19 Fig. 20

Angulos

Para determinar el ángulo que forman dos rectas que se cruzan trazamos por un punto de una de ellas una paralela T a la otra. (Fig. 1a)El ángulo que forma una recta con un plano es el que forma la recta con su proyección sobre dicho plano. Para determinar la proyección de una recta sobre un plano cualquiera, distinto a los de proyección, trazamos por un punto de la recta una perpendicular al plano y hallamos su intersección con él. Uniendo este punto con el punto I de intersección de la recta dada con el plano también dado obtenemos la proyección de R sobre (P). (Fig. 1b)

Fig. 1El ángulo de un diedro formado por dos planos (P) y (Q), es el lineal correspondiente, determinado por la sección producida sobre el diedro por un plano perpendicular a su arista.(Fig. 1c).

Angulo de dos rectas

Para hallar la verdadera magnitud del ángulo formado por dos rectas que se cortan podemos abatir el plano que las contiene sobre uno de los planos de proyección. En la figura 2 hemos abatido el ángulo sobre un plano horizontal utilizando como charnela la recta horizontal que corta a los lados del ángulo en los puntos M y N. En este caso, el radio del abatimiento del vértice A es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la distancia de la proyección del punto a la charnela y la diferencia de cotas entre el punto y la recta horizontal

Fig. 2 Fig. 3

Angulo de una recta y un plano

Ya hemos visto en la figura 2b que el ángulo que forman una recta y un plano es el formado por la recta y su proyección ortogonal sobre el plano. También hemos estudiado los procedimientos previos para hallar la proyección de la recta sobre el plano.

En el sistema diedrico hallamos el punto de intersección I de la recta R con el plano (P). Por un punto cualquiera M de la recta R, trazamos una recta perpendicular al plano P y hallamos su punto punto de intersección A. Las recta R y la que pasa por los puntos I y A son los lados del ángulo de vértice I. Abatiendo el punto I alrededor de una recta horizontal que corte a los lados del ángulo obtenemos su verdadera amplitud.

Fig. 4 Fig. 5

Angulo de una recta con los planos de proyección

El Angulo que forma una recta con el plano horizontal de proyección es el que forma la recta con si proyección horizontal. Para obtener la verdadera magnitud basta abatir plano proyectante horizontal que contiene tanto a la recta como a su proyección horizontal.(Fig. 5)La recta R y su proyección vertical r', están contenidas en un plano proyectante vertical, si abatimos dicho plano alrededor de su traza vertical obtenemos la verdadera magnitud del ángulo que forma la recta con el plano vertical.(Fig. 5)

Angulo de un plano con los planos de proyección

El ángulo que forma un plano con el plano horizontal de proyección es el que forma su recta de máxima pendiente con el plano horizontal. Abatiendo la recta de máxima pendiente sobre el plano horizontal se obtiene la verdadera magnitud del ángulo. (Fig. 6)El ángulo que forma un plano con el vertical de proyección es el que forma su recta de máxima inclinación con el plano vertical. (Fig. 7)

Fig. 6 Fig. 7

Poliedros regulares

Los poliedros son los cuerpos geométricos limitados por polígonos. Poliedros regulares son aquellos que tienen caras, aristas y ángulos iguales.

Fig. 1

Tetraedro

El tetraedro tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros y seis aristas.

Representación del tetraedro

Vamos a representar el tetraedro apoyado por una de sus caras sobre cualquier tipo de plano. Si la cara apoyada está contenida o es

paralela a uno de los planos de proyección se proyecta en verdadera magnitud. De lo contrario, será necesario dibujarla sobre el plano abatido y después desabatirlo.

Fig. 2 Fig. 3

En la fig. 2 se ha representado el tetraedro apoyado por una cara en el plano horizontal de proyección. El tetraedro queda determinado por la magnitud de la arista, la altura se obtiene abatiendo el triángulo rectángulo formado por la arista, su proyección ortogonal sobre la base y la propia altura (Fig. 1).La cara apoyada está en verdadera magnitud, y se representa por tanto, como un triángulo equilátero de lado igual a la arista del tetraedro. El vértice V se proyecta en el centro de la cara apoyada y está contenido en una recta vertical. La proyección vertical de V se obtiene al trasladar la altura obtenida por abatimiento, sobre la recta vertical.Para representar el tetraedro apoyado en un plano proyectante, se abate el plano y se dibuja la cara en verdadera magnitud. Desabatiendo el triángulo obtenemos las proyecciones diédricas de la cara apoyada. La altura es una perpendicular la plano desde el centro del triángulo, que resulta una frontal si el plano es de canto. Como las proyecciones verticales de las rectas frontales están en verdadera magnitud, trasladamos la altura del tetraedro sobre ella para obtener el vértice V. (Fig. 3)

Fig. 4Cuando la cara del tetraedro se apoya sobre un plano oblicuo a los dos planos de proyección, la altura es también oblicua. Para obtener el vértice V, podemos girar la altura alrededor de un eje que pase por el centro de la base para situarla en posición frontal. De esta manera, trasladamos la altura del tetraedro en verdadera magnitud sobre la recta girada y posteriormente deshacemos el giro (Fig. 4).

Secciones planas

Como norma general, para hallar la sección que produce un plano sobre un poliedro se halla la intersección del plano con cada una de las arista, obteniéndose así, los vértices del polígono sección.La sección que produce un plano secante sobre un tetraedro es un triángulo. Si el plano es horizontal o frontal una de las proyecciones de la sección será un segmento contenido en la traza del plano y la otra estará en verdadera magnitud.En la figura 5 se ha obtenido la sección con un plano horizontal. La traza del plano corta las aristas del tetraedro en los vértices de la sección. La proyección horizontal se obtiene hallando las proyecciones horizontales de estos vértices sobre las aristas respectivas.

Fig. 5 Fig. 6

Si el plano es vertical o de canto, una de las proyecciones de la sección sigue estando sobre la traza del plano, pero en este caso la otra proyección no está en verdadera magnitud, siendo necesario abatirla para obtener su verdadera formaCuando el plano es oblicuo a ambos planos de proyección, hallamos un primer vértice de la sección resolviendo el problema de la intersección entre una recta y un plano, siendo la recta una cualquiera de las aristas. Los restantes vértices podemos hallarlos sabiendo que la base y la sección son figuras homólogas en una homología de eje la charnela, o bien, aplicando el mismo procedimiento por el que hemos hallado el primer vértice, para las restantes arista.

Fig. 7Para obtener la verdadera magnitud de la sección, la abatimos sobre uno de las planos de proyección. El abatimiento lo podemos resolver sabiendo que la proyección de la sección y su abatimiento son figuras homologas en la afinidad de eje la charnela.(Fig. 7)

Intersección de una recta con un tetraedro

El procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólido consiste en contener la recta en un plano, hallar la sección que produce dicho plano en el sólido y, posteriormente, hallar la intersección de dicha sección con la recta. Los puntos de intersección del polígono sección con la recta son los puntos de entrada y salida de esta en el sólido.En el caso del tetraedro conviene trazar el plano definido por la recta y el vértice de manera que el polífono sección sea un triángulo cuyos vértices son dos puntos de la base y el propio vértice del tetraedro (Fig. 8)

Fig. 8 Fig. 9

En la figura 9, hemos trazado una recta S que pasa por V y corta a R en el punto M. Las rectas R y S determinan el plano (P), cuya traza horizontal P, hemos determinado pasando por las trazas homónimas de las rectas R y S. Los puntos de intersección de la traza P con las aristas de la cara apoyada en el plano horizontal son dos de los vértices de la sección, el tercero es el propio vértice del tetraedro. La intersección de R con los lados de la sección determinan los puntos A Y B.

Poliedros regulares

Hexaedro

El hexaedro tiene seis caras, que son cuadrados, doce aristas y ocho vértices.

Representación del hexaedro

Si situamos una de las caras del hexaedro contenida en el plano horizontal, la cara opuesta se proyecta coincidente con ella y las cuatro restantes son proyectantes respecto al plano horizontal.La proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo. Las caras horizontales se proyectan sobre el plano vertical en

dos segmentos paralelos a la L.T. a una distancia igual a la arista. (Fig. 10)

Fig. 10 Fig. 11

Para representar el hexaedro apoyado por una cara sobre un plano proyectante vertical, se abate primero éste sobre uno de los planos de proyección y posteriormente se dibuja la cara en verdadera magnitud. Las aristas perpendiculares a la base lo son también al plano proyectanteCuando el hexaedro se apoya por una de sus caras sobre un plano oblicuo, abatimos el plano para construir la cara apoyada en verdadera magnitud. Tras desabatir la cara, levantamos perpendiculares al plano por los vértices de la misma. Para obtener las medidas en proyección de las aristas perpendiculares a la base, realizamos el giro de una cualquiera de ellas para situarla paralela a uno de los planos de proyección. Una vez obtenida y sabiendo que el paralelismo es un invariante de la proyección cilíndrica, trazamos la cara paralela a la base. (Fig. 12)

Fig. 12

Secciones planas

Obtener las secciones planas producidas sobre cualquier poliedro por planos proyectantes no tiene gran dificultad y la manera de proceder no difiere entre ellos, por lo que podemos remitirnos a lo explicado para el tetraedro.Sin embargo, para la sección con un plano oblicuo, hemos preferido contener las aristas verticales en planos frontales, los cuales cortan al plano oblicuo según rectas frontales. Las intersecciones de estas rectas con las aristas verticales son los vértices de la sección. En la figura 13, una de las rectas frontales corta a la arista en su prolongación, fuera del sólido, en este caso se une el punto de intersección con los vértices contiguos de la sección para obtener los vértices correspondientes en la cara opuesta a la base.La verdadera magnitud de la sección se obtiene por afinidad.

Fig. 13

Intersecciones

El procedimiento general consiste, en hallar los puntos de intersección de la recta, con la sección que produce en el poliedro un plano cualquiera que contenga a la recta dada. En este caso hemos optado por contener la recta en un plano perpendicular a la base, de manera que la sección obtenida sea un cuadrilátero proyectante.

Fig. 14 Fig. 15

Poliedros regulares

Octaedro

Representación del octaedro

Cuando un octaedro se representa apoyado por un vértice y con una de sus diagonales perpendicular al plano horizontal de proyección, el contorno aparente de la proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista en verdadera magnitud. Los lados de este cuadrado son cuatro aristas horizontales que se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal. Las ocho aristas restantes son oblicuas y se proyectan sobre las diagonales del cuadrado. Las cotas de los vértices, extremos de la diagonal vertical, son cero y la magnitud de la diagonal respectivamente, y los cuatro vértices restantes se encuentran en el plano medio de octaedro, que es horizontal, a una distancia igual a d/2 (Fig. 16)

Fig. 16 Fig. 17

Secciones planas

La sección plana que produce un plano proyectante sobre el octaedro se obtiene directamente sobre la traza oblicua al cortar esta las aristas del poliedro y después se refieren los puntos obtenidos sobre las respectivas aristas en la otra proyección. (Fig. 17)La verdadera magnitud de la sección se obtiene abatiendo el plano.Si el plano secante es oblicuo, se puede trasformar en proyectante por medio de un cambio de plano. En la figura 18, se ha transformado el plano (P) en proyectante vertical y se ha obtenido la nueva proyección vertical de octaedro para obtener la sección.

Fig. 18

Intersección con recta

La intersección de una recta R con un octaedro se obtiene conteniendo la recta en un plano proyectante (P) y hallando la intersección de R con la sección producida en el sólido por el plano (P). (Fig. 19)

Fig. 19

2. Proporcionalidad

2.1. Proporcionalidad directa

Las magnitudes que varían de forma que su razón permanece constante son directamente proporcionales.Las magnitudes de los segmentos a, b, c, y d son directamente proporcionales.a/b =c/d = k

2.2. Teorema de thales

Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas sobre un par de rectas concurrentes son directamente proporcionales, y recíproco. (Fig. 5)Basándonos en este teorema podemos dividir un segmento en partes iguales. Trazamos una recta concurrente con el segmento dado. Tomamos n partes iguales sobre la recta a partir del extremo A del segmento, siendo n el número de partes en las que queremos dividir el segmento. Unimos el extremo B con la última división de la recta y trazamos paralelas por las demás divisiones. (Fig. 6)

Fig. 5 Fig. 6

2.3. Aplicaciones

Tercero proporcional

Sean los segmentos a y b, se llama tercero proporcional al segmento que verifica que: a/b = b/c

Para hallarlo se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se dibujan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b. Uniendo los extremos de los segmentos a y b, y trazando una paralela por el extremo del otro segmento b, se obtiene el segmento c. (Fig. 7)

Fig. 7 Fig. 8

Cuarto proporcional

Sean los segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional al segmento d que verifica que:

a/b = c/dPara hallarlo, se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se sitúan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento c. Uniendo los extremos de los segmentos a y c, y trazando por el extremo de b una paralela, obtenemos el segmento d. (Fig. 8)

Medio proporcional

Sean los segmentos a y b, se llama medio proporcional el segmento c que verifica que:

a x b = c²Si nos fijamos, nos daremos cuenta que se trata de un caso de tercero proporcional, puesto que la expresión anterior también se puede escribir como:

a/c = c/bPara su construcción podemos aplicar tanto el teorema de la altura como el del cateto, cuyos enunciados son los siguientes:Teorema de la altura.- En un triángulo rectángulo, la altura es media proporcional entre los segmentos en que divide la hipotenusa.Teorema del cateto.- En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.Si aplicamos el teorema de la altura, situamos los segmentos a y b consecutivamente. Por el extremo común levantamos una perpendicular. Trazamos el arco capaz del ángulo de 90º para el segmento suma (a+b). La intersección de la perpendicular con el arco

capaz es el vértice del triángulo rectángulo de hipotenusa (a + b) y de altura c. (Fig. 9)

Fig. 9 Fig. 10

Aplicando el teorema del cateto, situamos los segmentos a y b sobre la misma recta con un extremo común. Por el extremo no común del segmento menor levantamos una perpendicular, y seguidamente, trazamos el arco capaz del ángulo recto para el segmento mayor a. El cateto c, cuya proyección es el segmento b, es la media proporcional entre a y b. (Fig. 10)

2.4. Escalas

La razón de proporción entre las medidas de un dibujo y las magnitudes correspondientes del objeto real que representa, se llama escala. Se representa por una fracción cuyo numerador se corresponde con las medidas del dibujo y el denominador con las medidas de la realidad.

E = Dibujo / RealidadEscala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas de la realidad. Se representa con la fracción E = 1:1.Escala de ampliación es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son mayores que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2Escala de disminución es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son menores que las de la realidad. Por ejemplo, E = 1:25.000. Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidad por la escala, puesto que de la fórmula de la escala se deduce que

Dibujo = E x RealidadTambién podemos utilizar los escalímetros que existen en el mercado, que son reglas graduadas según las escalas de uso más frecuentes. No obstante, podemos contruir cualquier escala gráficamente.

Fig. 11Supongamos que queremos construir la escala E = 7/5. Tomamos un segmento de 7 cm reales y lo dividimos en 5 partes iguales aplicando el teorema de Thales. Dividiendo una de las unidades obtenidas en 10 partes obtenemos la contraescala para medir las décimas.

3. Construcción de polígonosLos polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos a dos.Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares. Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos interiores mayor de 180º.Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.

Fig. 12

3.1. Triángulos

Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a 180º.Se clasifican, según sus ángulos en:

Equilateros. Si tienen tres lados iguales

Isósceles. Si tienen dos lados iguales. Escalenos. Si tienen tres lados desiguales.

Fig. 13 Fig. 14

Según la magnitud relativa de sus lados en: Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos. Rectángulos. Si tienen un ángulo recto. Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso.

La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes. (Fig. 14)

Rectas y puntos notables.

Mediatrices

Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita. (Fig. 15)

Bisectrices

Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado Incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita. (Fig. 16)

Fig. 15 Fig. 16

Medianas

Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto. (Fig. 17)

Alturas

Las alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vértices opuestos. La intersección de las alturas es el Ortocentro. (Fig. 15)A efectos prácticos, como altura, se consideran las distancias de los vértices a los lados opuestos. Como generalidad, es la mínima distancia entre un punto y una recta. Si la recta es fija, el vértice opuesto se encuentra en el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija, o sea, una paralela al lado a una distancia igual a la altura de ese lado.

Fig. 17 Fig. 18

Construcción de triángulos.

A raíz del último comentario, vuelvo a hacer hincapié en la importancia que tiene el concepto de lugar geométrico para la resolución de la mayoría de los problemas de trazado geométrico.En la mayoría de los problemas de construcción de triángulos, uno de los datos será alguno de los lados, el cual nos servirá para fijar dos puntos y la recta que definen. A partir de estos elementos fijos el problema se reduce a determinar la posición del tercer vértice. Ese vértice se encuentra en la intersección de dos lugares geométricos cuya condición podemos deducir de los demás datos que nos den, como se puede observar en la tabla adjunta.

Tipos de datos Datos Lugar geométrico

LinealesDistancia entre puntos

Lados Medianas Alturas (vértice fijo)

Circunferencia

Distancia entre recta y punto

Alturas (lado fijo) Paralelas

AngulosAdyacentes

Angulos Semiángulos(vértice fijo)

Recta de dirección determinada

Opuestos Angulo opuesto(lado fijo) Arco capaz

Supongamos que queremos construir un triángulo dados los lados a y b, y la altura ha.

Fig. 19 Fig. 20

Fijamos el lado a, obteniendo la posición de los vértices B y C. Nos queda pues, determinar la posición del vértice A. La distancia de A a C es el lado b, por lo que trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de C la distancia b (una circunferencia de centro C y r = b). El otro dato es la altura del vértice A. Trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta a, la distancia ha. (Una paralela al lado BC a una distancia ha). (Fig. 19)

Con el mismo razonamiento hemos construido un triángulo de que conocemos el lado a, el ángulo a y la mediana na. Este ejercicio tiene cuatro soluciones, considerando la doble solución del arco capaz, de las que se han representado dos. (Fig. 20)

3.2.Cuadrilateros

Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se dividen en paralelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos, lo que nos permite construirlos por triangulación.Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos son iguales.Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y trapezoides, si no tienen lados paralelos.

Construcción de cuadriláteros.

Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse por triangulación, es decir, construyendo los dos triángulos en que quedan divididos por una de sus diagonales.Veamos algunos de los casos que pueden plantear cierta dificultad.

Cuadrado conociendo la diagonal.

Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Los puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices B y D del cuadrado. (Fig. 21)El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A y C, razón por la cual trazamos el arco capaz del ángulo recto respecto a la diagonal y la mediatriz de la misma.Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un triángulo rectángulo isósceles del que conocemos la base.

Rectángulo conociendo la diagonal y un lado

Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los lados porque los triángulos son escalenos. (Fig. 22)

Fig. 21 Fig. 22

Polígonos regulares

Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado.

Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexágono de lado AB.Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de un polígono de lado AB y n número de lados. En la Fig. 23 se ha representado el eneágono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9 y radio 9A.

Fig. 23 Fig. 24

Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.

A partir de un diámetro AB, dibujamos una circunferencia.Dividimos el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número de lados que ha de tener el polígono.Haciendo centro en los extremos del diámetro, trazamos arcos de radio AB que se cortan en los puntos M y N. Uniendo los puntos M y N, obtenemos sobre la circunferencia los vértices del polígono. (Fig. 24)

Metodo bereziak

Triangelua, hexagonoa eta dodekagonoa.

Hexagonoan zirkunskribatutako zurkuluaren erradioa poligonoaren aldearen neurria da. Zirkunferentzia sei alde berdinetan zatitu daiteke Podemos dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos de circunferencia con centros en los extremos de un diámetro y con el mismo radio de la circunferencia. (Fig. 25)Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, la circunferencia queda dividida en 12 partes iguales.Tomando sólo tres vértices no consecutivos del hexágono, se obtiene el triángulo equilátero.

Fig. 25 Fig. 26

Cuadrado y octógono.

Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partes iguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho partes iguales de la circunferencia. (Fig. 26)

Pentágono y decágono.

Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus radios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio trazamos un arco de radio ME, que corta en F al diámetro PQ. De esta

manera obtenemos los segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágono respectivamente. (Fig. 27)

Fig. 27 Fig. 28

Heptágono.

La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunscrita corta a la circunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado del heptágono. (Fig. 28)

Hexágono conociendo el lado.

Construimos el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB del hexágono. El vértice O hallado es el centro de la circunferencia circunscrita. (Fig. 29)

Fig. 29 Fig. 30

Pentágono conociendo el lado.

Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos. (Fig. 30)Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la magnitud del lado para obtener el punto M.

Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre la prolongación de AB determinando el punto F.La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentágono.Con las medidas del lado y la diagonal hallada construimos el pentágono por triangulación.

4. Curvas cónicasLas curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. (Fig. 31)

Fig. 31Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V.Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cónica, se producen las distintas curvas cónicas. (Fig. 32)

Fig. 32Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola.

4.1. Elipse

Elementos de la elipse.

Las elipses poseen los siguientes elementos: (Fig. 33)Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje mayor AA' es 2a y el del eje menor BB' 2b. El punto de intersección de los ejes es el centro de simetría.Focos. Son dos puntos fijos F y F', situados sobre el eje mayor y simétricos respecto al eje menor. FF' es igual a 2c.Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un mismo punto es igual a 2a.Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor.Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y radio igual a 2a.

Fig. 33 Fig. 34

La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor 2a.Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:PnF + PnF' = 2aPara determinar los focos F y F' de una elipse conocidos los ejes, se hace centro en un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de radio igual al semieje mayor a. La intersección del arco con el eje mayor son los focos de la elipse. (Fig. 32)Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que:BF + BF' = 2a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetría, resulta que BF=BF'=a.

Trazado de la elipse.

Método de los puntos.

Este método se basa en la definición de la elipse.A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje mayor AA', en segmentos complementarios cuya suma es 2a.A1 + 1A' = A2 + 2A' = A3 + 3A' = 2aEstos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto. Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A' del otro, y así, con los demás segmentos. (Fig. 35)El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.

Fig. 35 Fig. 36

Método de afinidad

Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios los semiejes de la elipse. (Fig. 36)Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamos paralelas al eje menor y por los extremos de los diámetros de la menor, paralelas el eje mayor.Los puntos de intersección pertenecen a la elipse.

4.2. Parábola

La parábola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Siendo Pn un punto cualquiera de la parábola, se cumple que:PnF = Pnd

La parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y por tanto, sólo tiene un foco y un vértice real. La circunferencia principal tiene su centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta perpendicular al eje mayor que pasa por el vértice. La circunferencia focal es una recta que coincide con la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito. El vértice equidista del foco y de la directriz. (Fig. 37)

Fig. 37 Fig. 38

4.3. Hipérbola

La hipérbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Siendo Pn un punto cualquiera de la hipérbola, se cumple que:PnF - PnF' = AA' = 2aLa hipérbola tiene dos ejes de simetría, el eje real AA' = 2a y el eje imaginario BB' = 2b. Se cortan en el centro de simetría O. La circunferencia principal tiene su centro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en F y F' y r = 2a.Los focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O y r = AB. (Fig. 38)La hipérbola y la parábola, al igual que la elipse, se construyen por el método de los puntos aplicando las propiedades de sus definiciones.

5. Tangencias y enlaces

5.1. Conceptos básicos

Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando tienen un único punto común.En una relación de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumple que:

El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.

La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio.

Fig. 39Cuando dos circunferencia son tangentes, se cumple que:

Sus centros están alineados con el punto de tangencia. La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios es igual

a la distancia entre sus centros.

De las propiedades anteriores se desprende, que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es la perpendicular a la recta en ese punto.Y que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el punto de tangencia.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

Si trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una circunferencia, el producto de los segmentos comprendido entre el punto P y los puntos de intersección de las rectas con la circunferencia.La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto de tangencia de una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P. (Fig. 40)

PA x PA' = PB x PB' = ... = PN x PN' = PT²

Fig. 40 Fig. 41

Eje Radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias. El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntos de intersección de ambas circunferencias.El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente común a ambas circunferencias en el punto de tangencia.Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza una circunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las tres circunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros de las circunferencias exteriores. (Fig. 41)Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a tres circunferencias. Se encuentra en la intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos.

5.2. Casos.

La mayoría de los problemas de tangencia se resuelven aplicando los conceptos de lugares geométricos, por suma y diferencia de radios, y por potencia.Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferencias tangentes a rectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, se pueden fijar tres condiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta y ser tangente a otra circunferencia. La combinación de estas tres condiciones nos dan 10 casos, que se representan por combinación de las iniciales P, R, y C. Cuando no se fijan las tres condiciones es necesario dar algún dato, como el radio o los puntos de tangencia.

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Con centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferencia que pase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada son los puntos T1

y T2, de tangencia. (Fig. 42)

Esto se explica, por que al ser recto el ángulo que forman el radio y la tangente en el punto de tangencia, éste debe encontrarse en el arco capaz del ángulo recto respecto al segmento OP.

Fig. 42 Fig. 43

Rectas tangentes comunes a dos circunferencias.

Trazamos una circunferencia auxiliar, concéntrica con la mayor, de radio igual a la diferencia de los de las dadas. Otra circunferencia que pase por los extremos de OO' y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B. Los radios OA y OB, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia mayor. Los radios que pasan por los puntos de tangencia de ambas circunferencias con la misma recta, son paralelos. (Fig. 43)Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se obtienen las tangentes interiores. (Fig. 44)

Fig. 44 Fig. 45

Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y una recta.

Si el dato es el radio r' de las circunferencias, los centros distarán r' de la recta, y r + r' ó r - r' del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones de los lugares geométricos determinan los centros de las soluciones. (Fig. 45)Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a la circunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La intersección del eje radical con la recta dada es centro radical de las tres circunferencias, es decir, la distancia de ese punto a los puntos de tangencia es la misma. (Fig. 46)

Fig. 46 Fig. 47

Si el dato es el punto de tangencia en la recta, los centros se encuentran en la perpendicular a la recta por dicho punto. Si trazamos la circunferencia tangente a una recta auxiliar, paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de la circunferencia dato, pasando por el centro C, y posteriormente restamos el radio, obtenemos una de las soluciones. (Fig. 47)

Caso PPP.

El centro de la circunferencia equidista de los tres puntos, por tanto, se encuentra en la intersección de las mediatrices de los segmentos formados por los puntos. (Fig. 48)

Fig. 48 Fig. 49

Caso PPR.

La recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y de la circunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical de las tres circunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres. Trazando una recta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la potencia. Si llevamos el segmento MT, sobre la recta, determinamos los puntos T1 y T2. De esta manera tenemos tres puntos de cada solución. (Fig. 49)

Fig. 50 Fig. 51

Caso PRR.

Si se dibuja el simétrico del punto dado respecto a la bisectriz, el caso se resuelve como el PPR, siendo R cualquiera de las rectas.

Caso RRR.

Los centros de la soluciones son los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos que forman las tres rectas. (Fig. 50)

Caso PPC.

Se traza una circunferencia auxiliar que pasando por los puntos A y B dados, corte a la circunferencia también dada. La recta que une los puntos de intersección de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada, es el eje radical de ambas circunferencias; y la recta AB, es el eje radical de las soluciones y de la auxiliar. El punto M, es por tanto, el centro radical de todas las circunferencias.Las tangentes trazadas a la circunferencia dada, desde el punto M, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia.Como los puntos de tangencia están alineados con los centros de las circunferencias, los centros de las soluciones se hallaran en los radios de la circunferencia dada, que pasan por los puntos de tangencia T1 y

T2 . Evidentemente, los centros de las soluciones también se encuentran en la mediatriz de AB. (Fig. 51)

5.3. Enlaces

Enlaces son las uniones armónicas por medio de tangencias entre distintas figuras.Para resolver problemas de tangencia hay que tener presente las dos propiedades fundamentales de las tangencias:

El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

Los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con el punto de tangencia.

Trazados de enlaces

Enlace de dos rectas.

Para definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia. Si conocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distancia igual al radio, obteniendo el centro del arco en su intersección. Los puntos de enlace se hallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectas tangentes.Si el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto de tangencia a la recta, y la bisectriz del ángulo que forman, se cortan en el centro del arco. (Fig. 52)

Fig. 52 Fig. 53

Enlace de dos arcos.

Dándonos el radio, las circunferencias concéntricas de radios iguales a la suma y diferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que los puntos de enlace están alineados con los centros. (Fig. 53)

Enlace de arco y recta.

Las paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las circunferencias concéntricas de radios la suma y diferencia, determinan los centros. (Fig. 54)

Fig. 54 Fig. 55

5.4. Curvas técnicas

Construcción del óvalo conociendo los ejes.

El óvalo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí.Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y obtenemos el punto E. Con centro en C y radio CE determinamos sobre la recta AC, el punto F. La intersección de la mediatriz del segmento AF con los ejes del óvalo, son centros de dos de arcos de la curva. Los otros dos se obtienen por simetría, y los puntos de tangencia por intersección de las rectas que unen los centros con los arcos. (Fig. 56)

Fig. 56 Fig. 57

Construcción del ovoide del que se conoce el eje menor.

La mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de diámetro la magnitud de dicho eje y centro su punto medio, determina el centro de uno de los arcos del ovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de AB. (Fig. 57)

Espiral de dos centros.

Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un primer arco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto de tangencia. La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio del segundo arco. (Fig. 58)

Fig. 58 Fig. 59

Espiral de tres centros.

Prolongamos los lados de un triángulo equilátero cuyos vértices son los centros de la espiral. Hacemos centro en el primer vértice con radio igual al lado y trazamos el primer arco hasta cortar la prolongación del primer lado. (Fig. 59)