SISTEMA DIÉDRICO

Paralelismo

Ejercicio Nº 105Hallar las trazas de una recta de perfil, paralela al segundo bisector y que pase por el punto dado A'-A''.

L T

A'

A''

r'-r''

Aplicamos la tercera proyección1º Trazamos una recta cualquiera PP.

L T

A'

A''

PP

O

r'-r''

2º Por A'' trazamos una paralela a LT, por A' trazamos una paralela a LT hasta que corte a la recta PP punto 1, con centro en O y radio O1 trazamos un arco de circunferencia hasta el punto 2, desde 2 trazamos una perpendicular que corta a la paralela trazada por A'' en A''' que resulta la 3ª proyección de A,

1

2L T

A'

A''

PP

O

A'''

r'-r''

3º Por O trazamos el plano α3, 2º bisector.

1

2L T

A'

A''

PP

O

A'''

r'-r''

4º Por A''' trazamos una paralela a α3 y obtenemos r''' que nos determina Vr1 y Hr1

1

2L T

A'

A''

PP

O

A'''

r'''

Vr1

Hr1

r'-r''

5º Desabatimos Vr1 y Hr1 y tenemos las trazas Vr y Hr de la recta r que pasa por A y es paralela al 2º bisector.

1

2L T

A'

A''

PP

O

A'''

r'''

Vr1

Hr1

Hr

Vr

r'-r''

Ejercicio Nº 106Hallar la traza con el segundo bisector de una recta de perfil, paralela al primer bisector, y que pase por un punto dado A'-A''.

L T

A'

A''

Aplicamos la tercera proyección1º Trazamos una recta cualquiera PP.

L T

A'

A''

O

2º Por A'' y A' trazamos paralelas a LT la paralela por A' corta a la recta PP en el punto 1, con centro en O y radio O1 trazamos un arco de circunferencia hasta el punto 2, desde 2 trazamos una perpendicular que corta a la paralela trazada por A'' en A''' que resulta la 3ª proyección de A,

L T

A'

A''

O

A'''

1

2

3º Por O trazamos el plano α, formando un ángulo de 45º con la recta PP, que es el 2º bisector.

L T

A'

A''

O

A'''

2º bisector

1

2

4º Por A''' trazamos una perpendicular a α y obtenemos r''' y nos determina B''' que el punto de intersección con el 2º bisector.

B'''

L T

A'

A''

PP

O

A'''

r'''

2º bisector

1

2

90°

r'-r''

5º Desabatimos B''', trazando una paralela a LT y una perpendicular que corta en el punto 3 a LT con centro en O y radio O3 trazamos un arco de circunferencia que cortara en 4 a la recta PP coincidiendo con el punto de corte de la paralela a LT como es lógico pues un punto que pertenece al 2º bisector las proyecciones vertical y horizontal se encuentran superpuestas. El Punto B'-B'' es la proyección de la intersección de la recta r'-r'' con el 2º bisector.

3

4B''' B'-B''

L T

A'

A''

PP

O

A'''

r'''

2º bisector

1

2

90°

r'-r''

Ejercicio Nº 107Por un punto dado A'-A'' trazar un plano paralelo a otro α , perpendicular al 2º bisector.

L T

A'

A''

Las horizontales y frontales de planos paralelos son paralelas entre si.1º Trazamos una horizontal de plano h'-h'' por el punto A'-A''.

L T

A'

A''

h''

h'

2º Hallamos la traza de la horizontal de plano h'-h'' Vh.

L T

A'

A''

h''

h'

Vh

3º Por Vh trazamos una paralela a α1-α2 que son las trazas del plano buscado β1-β2

L T

A'

A''

h''

h'

Vh

ß'-ß''

Ejercicio Nº 108Por un punto dado A'-A'' trazar un plano paralelo al segundo

bisector.

L T

A''

A'

1º Como sabemos las trazas de un plano paralelo al 2º bisector son paralelas a LT.2º Por A'' y A' una recta r'-r'' paralela al segundo bisector que tiene que tener sus proyecciones paralelas entre si.

L T

A''

A'r''

r'

3º Determinamos sus trazas Vr y Hr.

L T

A''

A'r''

r'

Vr

4º Por las trazas Vr y Hr trazamos α1-α2 paralelas a LT y son las trazas del plano pedido.

L T

A''

A'r''

r'

Vra

a

Ejercicio Nº 109Trazar una recta paralela a dos planos α y β, y que pase por un punto dado A'-A''

L T

A'

A''

ß1-ß2

La recta paralela a dos planos es también paralela a la intersección de ambos planos, teniendo presente que la intersección es una recta que pertenece a los dos planos por tanto es paralela a una recta de cada plano.1º Hallamos la intersección de los planos α y β recta i'-i''.

L T

A'

A''

i''

i'

ß1-ß2

2º Por A'-A'' trazamos la recta r'-r'' paralela a la recta i'-i'' que es la recta pedida.

L T

A'

A''

i''

i'

ß1-ß2

r''

r'

Vr

Hr

Ejercicio Nº 110Por un punto dado A'-A'' trazar una recta que sea paralela a un plano α y que

corte a otra recta dada r'-r''.

L T

A''

A'

r''

r'

a

a

1º Trazamos un plano β paralelo al plano α, mediante la horizontal de plano h'-h'' que pasa por A'-A''. Determinamos la traza Vh.

L T

A''

A'

r''

r'

a

a

h''

h'

Vh

2º Por Vh β2 paralela a α2 donde se corta con LT trazamos β1 paralela a α1.

L T

A''

A'

r''

r'

a

a

h''

h'

Vh

ß2

ß1

3º Determinamos la intersección de la recta r'-r'' con el plano β mediante el proyectante γ1-γ2 que nos determina la recta i'-i'' intersección de los planos β y γ. El punto de corte de r'' y i'' es el punto B'-B'' de intersección de la recta r'-r'' y el plano β.

L T

A''

A'

r''

r'

a

a

h''

h'

Vh

ß2

ß1?1

i''

i'

B'

B''

4º Uniendo el punto A'-A'' con el B'-B'' tenemos la recta pedida que pasa por el punto A'-A'', corta a la recta r'-r'' y es además paralela al plano α1-α2.

L T

A''

A'

r''

r'

a

a

h''

h'

Vh

ß2

ß1?1

i''

i'

B'

B''

Ejercicio Nº 111Trazar una recta que pase por un punto dado A'-A'' que corte a otra dada r'-r'' y sea paralela a un plano α dado determinado por la línea de tierra y un punto dado B'-B''.

L T

A'

A''

r''-

r'

B''

B'

1º Por el punto A'-A'' traza un plano paralelo al plano α1-α2. Por el punto B'-B'' trazamos una recta cualquiera que pertenezca al plano α1-α2, como es un plano que pasa por la LT cogemos un punto de esta C'-C'' y trazamos la recta s'-s'' que pasa por B'-B'' y C'-C''.

L T

A'

A''

r''-

r'

B''

B'

C'-C''

s'

s''

2º Por el punto A'-A'' trazamos la recta t'-t'' paralela a s'-s'' y determinamos las trazas Vt y Ht por las que trazamos las trazas del plano γ1-γ2 que tienen que ser paralelas a LT como es lógico al ser el plano α1-α2 un plano paralelo a LT.

L T

A'

A''

r''-

r'

B''

B'

C'-C''

s'

s''t''

t'

Vt

Ht

?1

?2

3º Hallamos la intersección de la recta r'-r'' con el plano α1-α2 por medio del plano proyectante de r'-r'', β'-β'' mediante las trazas Vi y Hi recta i'-i''.

L T

A'

A''

i''

i'

ß2-

r''-

r'

Vi

Hi

B''

B'

ß1

C'-C''

s'

s''t''

t'

Vt

Ht?1

?2

4º Hallamos la intersección de la recta i'-i'' y de la recta r'-r'' punto I'-I''.

L T

A'

A''

i''

i'

ß2-

r''-

r'

Vi

Hi

B''

B'

ß1

C'-C''

s'

s''t''

t'

Vt

Ht?1

?2

I''

I'

5º La recta A'-I'-A''-I'' es la recta solución del problema

L T

A'

A''

i''

i'

ß2-

r''-

r'

Vi

Hi

B''

B'

ß1

C'-C''

s'

s''t''

t'

Vt

Ht?1

?2

I''

I'

Ejercicio Nº 112Trazar una recta paralela al 1º bisector que corte a dos rectas dadas r'-r'' y s'-s'' y corte también a otra recta dada t'-t'' paralela al 1º bisector.

L T

r''

r'-

s''-

s'

t''

t'

1º Trazamos un plano α1-α2 paralelo al 1º bisector y que pase por la recta t'-t'. Para lo cual hallamos la traza de la recta Vt y trazamos las trazas α1-α2 paralelas como es lógico a LT por ser paralelo al 1º bisector.

L T

r''

r'-

aa

s''-

s'

t''

t'

Vt

2º Determinamos la intersección de las rectas r'-r'' y s'-s'' con el plano α1-α2 mediante los proyectantes β1-β2 de la recta r'-r'' y γ1-γ2 de la recta s'-s''. La intersección de α1-α2 y β1-β2 nos determina la recta m'-m'' que corta a la recta r'-r'' en el punto A'-A''.

L T

A''

A'

r''

r'-

aa

s''-

s'

ß2

ß1-

t''

t' m'

HmVm

m''

Vt

3º La intersección de α1-α2 y γ1-γ2 nos determina la recta n'-n'' que corta a la recta s'-s'' en el punto B'-B''

L T

A''

A'

r''

r'-

aa

s''-

s'

ß2

ß1-

?1

?2

B'

B''

t''

t' m'

HmVm

m''

-n''

Vn

Hn

n'

Vt

3º Uniendo el punto A'-A'' con el B'-B'' tenemos la recta pedida que corta en el punto D'-D'' a la recta t'-t'' y es además paralela 1º bisector.

L T

A''

A'

r''

r'-

aa

s''-

s'

ß2

ß1-

?1

?2

B'

B''

t''

t' m'

HmVm

m''

-n''

Vn

Hn

n'

Vt

D''

D'

Ejercicio Nº 113Trazar una recta que corte a dos rectas dadas r'-r'' y s'-s'' y sea paralela a la línea de tierra.

L T

r''

r's'

s''

1º Trazamos el plano α1-α2 que pase por la recta s'-s'' y sea paralelo a LT. Para lo que determinamos las trazas Vs y Hs y trazamos α1-α2 paralelas a LT.

L T

r''

r'

Vs

s'

s''

Hs

2º Hallamos la intersección de r'-r'' con el α1-α2 mediante el plano proyectante punto β1-β2 que nos determina la recta i'-i'' que corta a la recta r'-r'' en el punto A'-A''.

i'

Hi

L T

A'

A''

ß2

r''

r'

Vs

-ß1s'

s''i''

Hs

3º Por el punto A'-A'' trazamos la recta t'-t'' paralela a a LT que corta a la recta s'-s'' en el punto B'-B''.

i'

Hi

L T

A'

A''

ß2

r''

r'

Vs

B''

B'

-ß1s'

s''i''

t'

Hs

t''

Ejercicio Nº 114Trazar un plano que pase por dos puntos dados y sea paralelo a la recta perpendicular al plano horizontal de proyección.

L T

A''

A'

r'B'

B''

1º Al ser paralelo a la recta vertical r'-r'' será un plano proyectante horizontal. La traza vertical α2 será perpendicular a LT y la traza horizontal α1 tendrá que pasar por las proyecciones horizontales A' y B' de los puntos dados.Uniendo el punto A' con el B' tenemos la traza horizontal α1 del plano solicitado.

L T

A''

A'

r'

a

B'

B''

2º Donde corta α1 a LT trazamos la perpendicular a LT y obtenemos la otra traza del plano α paralelo a r'-r'' y que pasa por A'-A'' y B'-B'' α2.

L T

A''

A'

r'

a

a

B'

B''

Ejercicio Nº 115Trazar dos planos, tales que su intersección sea paralela a una recta horizontal dada h'-h'' y que cada uno de ellos pase por una de las dos rectas dadas r'-r'' y s'-s''.

L T

r''

r' s'

s''

h'

h''

Los planos pedidos son α y β que pasan por las rectas r'-r'' y s'-s'' y son paralelos a la horizontal h'-h''.1º Hallamos las trazas de la recta s'-s'' respectivamente Hs y Vs, por Hs trazamos una paralela a h' que es la traza horizontal β1 de uno de los planos pedidos, la otra traza vertical β2 del plano resulta de unir Vs con el punto de corte de β1 con LT.

L T

ß2r''

r'

ß1

s'

s''

Vt

h'Hs

h''

Vs

2º Hallamos las trazas de la recta r'-r'' respectivamente Hr y Vr, por Hr trazamos una paralela a h' que es la traza horizontal α1 del otro plano pedido, la otra traza vertical α2 del plano resulta de unir Vr con el punto de corte de α1 con LT.

L T

ß2

r''

r'

ß1

s'

s''

Vt

h'Hs

h''

Hr

Vs

Vr

3º Hallamos la intersección de los dos planos prolongando las trazas α2 y β2 que se cortan en el punto I’’, resultando la recta i'-i'' paralela a la horizontal h'-h''.

L T

ß2

r''

r'

ß1

s'

s''

Vt

h'Hs

h''

Hr

Vs

Vr

i'

i'' I''

Ejercicio Nº 116Por un punto dado A'-A'' hacer pasar un plano que sea paralelo a dos rectas dadas r'-r'' y s'-s'' que no se cortan.

L T

A''

A'

r''

s'

s''

r'

1º Por el punto dado A'-A'' trazamos las rectas r1'-r1'' y s1'-s1'' paralelas a r'-r'' y s'-s'' respectivamente.

L T

A''

A'

r''

s'

s''

r'

r1''s1''

r1'

s1'

2º Hallamos las trazas de las rectas paralelas trazadas por el punto A'-A'', Vr1 -Hr1 y Vs1.

L T

A''

A'

r''

s'

s''

r'

r1''s1''

r1'

s1'

Vr1

Vs1

Hr1

3º Uniendo las trazas verticales Vr1 y Vs1 obtenemos la traza vertical α2 del plano que queremos obtener, paralelo a las rectas r'-r'' y s'-s'' y que pasa por el punto A'-A'', la otra traza queda definida por el punto de corte de α2 con LT y la otra traza Hr1, no hace falta determinar la traza que falta Hs1 porque α2 corta a la LT.

L T

A''

A'

r''

s'

a

a

s''

r'

r1''s1''

r1'

s1'

Vr1

Vs1

Hr1