sistema de nivelación automático

8/17/2019 Sistema de Nivelación Automático

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SISTEMA DE NIVELACIÓN AUTOMÁTICOUniversidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Laboratorio de Electrónica

Sistemas de Control

200715097, Henry Isaias Ajquejay Ichaj

201222286, Julio Rubén Sanic Martinez

201212973, Bryan Alexander Barrientos Morales

GRUPO: SC120

Resumen—Mediante el siguiente trabajo, se pretende explicarla implementación de un control de posición en una barra quepresenta un grado de libertad, el cual consiste en el giro respectoa un eje que pasa por su centro de gravedad, el movimientode giro será provocado por una fuerza de empuje producidapor una hélice y un motor de corriente directa, de manera quecontrolando la velocidad de giro del motor se podrá regular lafuerza de empuje que actúa sobre la barra y con ello la posiciónde la misma.

I. OBJETIVOS

General

Experimentar la interacción de diseños prácticos conmodelos de sistemas de software, hardware y dinámicas

físicas.Específicos

Realizar el modelo de un fenómeno físico, de una formamuy aproximada a la realidad.Plantear el modelo de una planta de control.Simular la interacción entre los modelos de softwarehardware de la planta y el modelo del comportamientofísico del sistema.Diseñar los instrumentos necesarios para la implementa-ción de la planta anteriormente modelada.Realizar el análisis de los diseños ya implementados parapoder adaptarlos a los requerimientos mínimos.

II. MARCO TEÓRICO

II-A. SISTEMA DE CONTROL

Un sistema de control es un conjunto de dispositivos encar-gados de administrar, ordenar, dirigir o regular el comporta-miento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidadesde fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, seusan sistemas de control industrial en proceso de producciónindustriales para controlar equipos o máquinas. Existen dosclases comunes de sistemas de control, sistemas de lazo abiertoy sistemas de lazo cerrado. En los sistemas de control de lazoabierto la salida se genera dependiendo de la entrada; mientras

que en los sistemas de lazo cerrado la salida dependa de las

consideraciones y correcciones realizadas por la retroalimen-tación. Un sistema de lazo cerrado es llamado también sistemade control con realimentación.

Objetivos:Los sistemas de control deben conseguir los siguientes

objetivos:

1. Ser estables y robustos frente a perturbaciones y erroresen los modelos.

2. Ser eficiente según un criterio preestablecido evitandocomportamientos bruscos e irreales.

II-B. SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO

Son los sistemas en los que la acción de control estáen función de la señal de salida. Los sistemas de circuitocerrado usan la retroalimentación desde un resultado final paraajustar la acción de control en consecuencia. El control enlazo cerrado es imprescindible cuando se da alguna de lassiguientes circunstancias:

1. Cuando un proceso no es posible de regular por elhombre.

2. Una producción a gran escala que exige grandes insta-laciones y el hombre no es capaz de manejar.

3. Vigilar un proceso especialmente difícil en algunoscasos y requiere una atención que el hombre puede

perder fácilmente por cansancio o despiste, con lossiguientes riesgos que ello puedo ocasionar al trabajadory al proceso.

Sus características son:

Ser complejos, pero amplios en cantidad de parámetros.La salida se compara con la entrada y le afecta para elcontrol del sistema.Su propiedad de retroalimentación.Ser más estable a perturbaciones y variaciones internas.

La figura 1 representa el diagrama de bloques de un sistemade control a lazo cerrado.


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Figura 1. Diagramad de bloques de un sistema de control lazo cerrado

II-C. CONTROLADOR PID

Un controlador PID es un mecanismo de control por reali-mentación ampliamente usado en sistemas de control indus-trial. Este calcula la desviación o error entre un valor medidoy un valor deseado. El algoritmo del control PID consistede tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y elderivativo.

Figura 2. Diagrama de bloques de un controlador PID en un lazo realimen-tado.

II-C1. CONTROL PROPORCIONAL: El valor Proporcio-nal depende del error actual. La parte proporcional consiste enel producto entre la señal de error y la constante proporcionalpara lograr que el error en estado estacionario se aproxime acero.

Figura 3. Proporcional.

La fórmula del proporcional está dada por:

P sal = K pe(t)

La parte proporcional no considera el tiempo, por lo tanto,la mejor manera de solucionar el error permanente y hacer queel sistema contenga alguna componente que tenga en cuentala variación respecto al tiempo, es incluyendo y configurandolas acciones integral y derivativa.

II-D. CONTROLO INTEGRAL

El Integral depende de los errores pasados. El modo de con-trol Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error

en estado estacionario, provocado por el modo proporcional.El control integral actúa cuando hay una desviación entre lavariable y el punto de consigna, integrando esta desviaciónen el tiempo y sumándola a la acción proporcional, luego esmultiplicado por una constante Ki.

Figura 4. Integral.


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El control integral se utiliza para obviar el inconvenientedel offset (desviación permanente de la variable con respectoal punto de consigna) de la banda proporcional.

La fórmula del integral está dada por:

I sal = K i

ˆ t0

e(τ )dτ

II-E. CONTROL DERIVATIVO

Derivativo es una predicción de los errores futuros. Laacción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en elvalor absoluto del error; (si el error es constante, solamenteactúan los modos proporcional e integral).

El error es la desviación existente entre el punto de mediday el valor consigna, o "Set Point".

La función de la acción derivativa es mantener el erroral mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la mismavelocidad que se produce; de esta manera evita que el errorse incremente.

La fórmula del derivativo está dada por:

Dsal = K dde

dtLa acción derivada puede ayudar a disminuir el rebasa-miento de la variable durante el arranque del proceso. Puedeemplearse en sistemas con tiempo de retardo considerables,porque permite una repercusión rápida de la variable despuésde presentarse una perturbación en el proceso.

El tiempo óptimo de acción derivativa es el que retorna lavariable al punto de consigna con las mínimas oscilaciones.

El tiempo óptimo de acción derivativa es el que retorna lavariable al punto de consigna con las mínimas oscilaciones.

Figura 5. Derivativo.

II-F. MODELADO MATEMÁTICO

II-F1. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN SOLIDO RÍGIDO: Ecuación del movimiento de rotación de un solidorígido:

r × F ext = I α (1)

análoga a la segunda ley de Newton.

II-F2. MOMENTO DE INERCIA:

Momento de inercia de una masa puntual (motor dc):

I m= Momento de inercia del motor de dc.

I m = mml2 (2)

Momento de inercia de una varilla cuyo eje de giro

pasa por su centro de gravedad:

I b= Momento de inercia de la barra de madera respecto a sucentro de gravedad.

I b = 1

12ML2 (3)

Momento de inercia total:

I t= Momento de inercia debido al motor y a la barra (momentode inercia total del sistema).

I t = I c+I m (4)

II-F3. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFE-

RENCIA: En la figura 6 se puede observar un dibujo de laplanta en el cual se representan las fuerzas actuantes sobreel sistema y que son de interés para la obtención del modelomatemático del mismo.

Figura 6. Fuerzas sobre el sistema.

Para determinar el modelo matemático aproximado de estesistema, se empleara la ecuación del movimiento de rotaciónde un sólido análoga a la segunda ley de Newton y represen-tada por la ecuación (1).

Cabe señalar que solo serán de interés las fuerzas debidasa la masa del motor y las de fricción con el eje de giro, yaque el giro del cursor del potenciómetro influye notablemente;oponiendo resistencia al movimiento de la barra.

Ecuación del sistema de rotación del sistema:


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lF e − lF gsenθ − lβθ = I α (5)

donde:θ= posición de la barra respecto al eje de giro, se conside-

raran desplazamientos muy pequeños por lo que sinθ ≈ θ en[rad].

l =longitud desde el centro de la barra móvil a uno de sus

extremos.F g =fuerza de gravedad que actúa sobre el motor.β =coeficiente de rozamiento.I =momento de inercia del sistema móvil.α =aceleración angular.F e =fuerza de empuje generada por el giro de la hélice,

F e = 1

2ρV 2S ref C L (6)

donde:ρ =densidad del aire [Kg/m3].V =velocidad de giro de la hélice [ m

s ].

S ref =área que forma la hélice al girar [m2].

C L: coeficiente de elevación [adimensional].debido a que d

2θdt2

= α y ya que senθ = θ(se considerarandesplazamientos muy pequeños ante una perturbación), laecuación (5)puede escribirse de la siguiente forma:

lF eI −

lF gI

θ − lβ

I

dθ

dt =

d2θ

dt2

Aplicando la transformada de Laplace para obtener lafunción de transferencia, tenemos que:

L(lF e

I ) − L(

lF gI

θ) − L(lβ

I

dθ

dt) = L(

d2θ

dt2 )

lI F e(s)− lF gI θ(s)− lβ I [sθ(s) − θ(0)] = s

2θ(s)−sθ(0)−θ(0)

haciendo de la condición inicial en t = 0, tenemos que:

l

I F e(s) = s

2θ(s) + lβ

I sθ(s) +

lF gI

θ(s) (7)

Sacando factor común en miembro derecho y despejando,obtenemos la siguiente función de transferencia, que relacio-nará directamente la entrada con la salida:

θ(s)

F e(s) =

lI

s2 + lβI

s + lF gI

(8)

II-F4. IDENTIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE SEGUN- DO ORDEN: Como se puede observar, la ecuación obtenidaecuación (8) corresponde a un sistema de segundo orden quese puede representar de la siguiente forma:

Y (s)

X (s) =

K

s2 + 2ξωn + ω2n(9)

ωn =frecuencia natural no amortiguadaξ =factor de amortiguamientosustituyendo nos queda que:

lβ

I = 2ξωn

ω2n = lF g

I

despejando ωn , tenemos que:

ωn =

lF g

I

(10)

Y así conociendo los parámetros anteriores, podemos en-contrar el factor de amortiguamiento del sistema como sigue:

ξ = lβ

2Iωn(11)

Si se cumple que: |ξ | > 1, entonces se dice que es unsistema subamortiguado.

III. DISEÑO EXPERIMENTAL

El proyecto actual tiene como antecedente el funcionamien-

to de un helicóptero el cual consigue su sustentación graciasal giro de su rotor principal, impulsando el aire desde la partesuperior a la inferior de su rotor, y generando un potentechorro de aire debido al “Principio o Teorema de Bernouilli”(aplicable también a los fluidos), esto causa que la masa supe-rior de aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presión,creando así una succión que sustenta la aeronave. El perfil delas hélices está diseñado de tal forma que el aire circula amayor velocidad por su parte superior que por la inferior, y amayor velocidad hay menor presión (sustentación), y a menorvelocidad habrá mayor presión. Una vez en el aire, tiende agirar sobre si mismo pero en sentido contrario al giro de surotor principal, por ello, este giro ha de ser sincronizado con

el giro de su rotor secundario generando lo que se denomina“efecto antipar”. En la mayoría de los helicópteros consiste enuna doble hélice situada en la cola (rotor de cola), en un planovertical y que empuja en el mismo sentido que el giro del rotorprincipal, en esta práctica este efecto no será notable ya queel sistema esta fijo a una bancada que restringe la tendenciadel sistema a girar respecto al eje vertical.

III-A. MATERIALES

Microcontrolador Arduino UnoMicrocontrolador TivaC

Motor DCIntegrado L293DPantalla LCDPotenciometro 50kΩBatería 12VdcPlacas, ácido férrico, estaño, madera, entre otros mate-riales.

III-B. MAGNITUDES FÍSICAS A MEDIR

Posición angular θ de la barra respecto al eje de giro.Fuerza F e de empuje generada por el giro de la hélice.


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III-C. CARACTERÍSTICAS DE LA PLANTA

La planta como se observa en la figura 7 está formada pordos barras de madera, el balancín o barra móvil cuya longitudes de 56 cm y la barra bancada cuya altura es de 32 cm, elbalancín va unido a la bancada por medio de dos cojinetes ocajas de bolas que permiten el movimiento de giro, en uno delos extremos del balancín hay un soporte donde va colocado el

motor y la hélice, el motor es del fabricante Mabuchi con unapotencia nominal de 3 Watts y un eje de 2 mm de diámetro,la hélice tiene un diámetro de 13.5 cm. Solidario al eje degiro mediante unos pequeños tornillos está fijado el cursor deun potenciómetro que actúa como sensor de posición. Es aquí donde comienza todo el flujo de datos, el sensor en este casopotenciométrico, es alimentado con la fuente de 5 Volts queproporciona el microcontrolador, de manera que a cada valorde tensión entre cursor y común le corresponderá una posicióndeterminada del balancín. Este valor de tensión será registradopor el micro mediante una de sus entradas analógicas.

Figura 7. Planta real

III-D. SENSOR POTENCIOMETRICO

Para registrar la posición de la barra, como ya se habíacomentado anteriormente, se eligió un potenciómetro de cursorgiratorio ya que el movimiento del cursor se asemeja almovimiento que se quiere paramétrizar. Se ha seleccionadoun resistor variable de manera que la variación de resistenciaen función de la posición del cursor sea lineal, de esta maneratendremos una ley de variación matemáticamente sencilla Paracada posición del cursor habrá un valor diferente de resistenciaR(α) y con ello de tensión V(R), este último parámetro será

el registrado mediante la lectura de las entradas analógicas delmicrocontrolador. El potenciómetro seleccionado tiene un va-lor nominal de 47kΩ, si dividimos la tensión de alimentaciónempleada para dar energía a este sensor entre valor nominalde resistencia, obtendremos en cuanto variará la tensión leídapor cada ohm que se incremente debido al desplazamiento delcursor, en otras palabras, la resolución, que indicará cuantodebe variar la posición de la barra para notar algún cambioen la lectura del valor indicado por el sensor, si hacemos elcálculo tenemos:

Resolución = V cc

R =

5V

10kΩ = 0,5V /kΩ

Para el rango de tensiones en el que se trabaja esta reso-lución es buena ya que ante mínimas variaciones de posicióntendremos un cambio apreciable en la lectura del sensor.

III-E. HARDWARE Y SOFTWARE

Dado de que se trata de una planta de control digital, sehace útil e indispensable el uso de hardware computacional obien algún microcontrolador, en este caso se utilizó arduino,un microcontrolador y con la ayuda de la interfaz gráfica queprovee Labview.

III-E1. ARDUINO: Arduino es una plataforma de electró-nica abierta para la creación de prototipos basada en softwarey hardware flexibles y fáciles de usar. En este proyecto seutilizó el arduino uno dado que tiene I/O suficientes como semuestra en la figura 8.

Figura 8. Arduino Uno. Cortesía de Texas Instruments.

III-E2. LABVIEW: LabVIEW es un entorno de programa-ción gráfica que facilita visualizar, crear y codificar sistemasde ingeniería. Con la programación en arduino a través deesta interfaz gráfica es mas sencillo de elaborar un sistemade control digital ya que se diseña a través de diagramas

de bloques en vez de programar en sistemas tradicionalesbasados en código CD/CD++. Debido a que el actual reportetiene como fin principal presentar los detalles del proyectoasignado, no se abordarán mas detalles sobre la explicacióndel funcionamiento del programa.

La figura siguiente es el entorno de programación gráficoy representa la programación en diagrama de bloques similara un entorno de programación orientada a objetos como es elcaso de Visual Basic, (por su similitud se hace referencia aeste programa) al mismo tiempo que la figura 15 representala programación en diagrama de bloques final del proyecto enparticular.


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IV. RESULTADOS

IV-A. COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA REAL FRENTE A PERTURBACIONES

Figura 9. Evolución de la posición del sistema real, obtenida a travésde la lectura del sensor potenciométrico cuando se ha sometido la barra aoscilaciones libres.

ξ = 2,00 (12)

IV-B. RESPUESTA DEL SISTEMA FRENTE A UN ESCA- LÓN UNITARIO

Figura 10. Respuesta del sistema frente a un escalón unitario.

IV-C. SIMULACIÓN EN LAZO CERRADO DEL MODELOOBTENIDO

Figura 11. Simulación del sistema a lazo cerrado.

V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Como se puede observar, a partir de la ecuación obtenida(8) corresponde a un sistema de segundo orden que se puede

representar de la forma de la ecuación (9). Debido a que esun sistema de segundo orden el factor de amortiguamientodetermina el tipo de amortiguamiento del sistema, ya que elresultado es un amortiguamiento 0 ≤ |ξ | ≤ 1, con ξ = 0,36, sedice entonces que el sistema es subamortiguado de tal maneraque ante una perturbación o dicho de otra manera frente a unescalón unitario el sistema intentará establecerse a su setpoint.

Utilizando XCos, una interfaz gráfica de Scilab se comprobóla respuesta del sistema, tal y como se observa en la figura10, la respuesta se corresponde a la de un sistema de segundoorden con factor de amortiguamiento aproximadamente de 0,5.

La comprobación de la estabilidad del sistema se ignoró porcompleto en este proyecto.

Para la simulación del modelo en lazo cerrado se utillizónuevamente la herramienta gráfica de Scilab, XCos, se añadióun control PID que es el que mas uso se hace, al mismo tiempoque con este mismo logra buenos resultados tanto en respuestaen el tiempo frente a un escalón unitario (perturbación) comoen la estabilidad del sistema. Los valores del PID se ajustarona los valores experimentales de prueba y error.

VI. CONCLUSIONES

1. Según la figura 10 la respuesta se corresponde a la de unsistema de segundo orden con factor de amortiguamientoaproximadamente de 2.

2. Según la figura 11 se observa la respuesta del sistemafrente a un paso escalón el cual se puede aproximar ala de un sistema de primer orden con retardo.

3. Debido a que |ξ | > 1 se infiere que el tipo de amorti-guamiento del sistema es subamortiguado.

4. Las pruebas realizadas al concluir la aplicación han sidosatisfactorias, se ha logrado implementar un sistema quetiene un comportamiento aceptable y que cumple con

los objetivos planteados, sin sobrepicos y cuya posiciónevoluciona linealmente ante cambios en la referenciahasta conseguir el setpoint. Desde el punto de vistateórico, al comparar el modelo matemático en lazocerrado con el sistema de control real en cuanto arespuesta temporal, vemos que ambas respuestas sonmuy similares y semejantes a las de un sistema de primerorden con retardo.

VII. FUENTES DE CONSULTA

REFERENCIAS

[1] Control de posición de un balancín con motor y hélice. Vladimir Viltres

La Rosa. Escuela de Ingenierías Industriales. Universidad de Valladolid.Junio 2012.[2] Análisis de Redes, M.E. Van Valkenburg. Editorial Limusa.

VIII. ANEXOS

VIII-A. CALCULO MOMENTO DE INERCIA DEL SISTE- MA

VIII-A1. CALCULO MOMENTO DE INERCIA DEL MO-TOR: como:

mm ≈ 17g = 0,017kg yl = 23,02cm = 0,23m,entonces:


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De la ecuación (2) tenemos que:

I m = (0,017)(0,23)2 = 0,0008993kg − m2

VIII-A2. CALCULO MOMENTO DE INERCIA DE LAVARILLA DE MADERA: de las dimensiones de la varillarectangular se tiene que:

l

= 46,04cm = 0,4604m

a

= 1,43cm = 0,0143

a

= 1,59cm = 0,0159

entonces tenemos que el volumen V = l

(a

)(a

) =0,4604(0,0143)(0,0159) = 0,00010452m3

pero como M = V ρ, entonces, M = 0,00010452(700) =0,073162kg.

Entonces de la ecuación (3) tenemos que:

I b = 1

12(0,073162)(0,4604)2 = 0,001292kg − m2

VIII-A3. CALCULO MOMENTO DE INERCIA TOTAL DEL SISTEMA (MOTOR + VARILLA DE MADERA): De la

ecuación (4), tenemos que:

I t = 0,0008993 + 0,001292 = 0,0021913kg − m2

VIII-A4. CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE LAFUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: A partir de la ecuación(8), tenemos que:

l

I t=

0,23

0,0021913 = 104,96

Así como también,haciendo que β = 0,1599, tenemos que:

lβ

I t=

0,23

0,0021913(0,1599) = 16,78

haciendo que F g = mmg = 0,017(9,8 1 ) = 0,16677,entonces tenemos que:

lF gI t

= 0,23

0,0021913(0,16677) = 17,50

Así que la función de transferencia del sistema según laecuación (8)con los valores de los parámetros hallados, es:

Y (s)

X (s) =

104,96

s2

+ 16,78s + 17,50 (13)

VIII-A5. CALCULO DEL FACTOR DE AMORTIGUA- MIENTO: A partir de la ecuación (10), tenemos que:

ωn =

17,50 = 4,18rad

s

y así tenemos que el valor del factor de amortiguamientovale según la ecuación (11):

ξ = 16,78( 1

2(4,18)) = 2,00 (14)

VIII-B. PROGRAMACIÓN MEDIANTE DIAGRAMA DE BLOQUES EN LA INTERFAZ GRÁFICA DE LABVIEW DE LA RESPUESTA DEL SISTEMA FRENTE A UN ESCALÓN UNITARIO

Figura 12. Programación mediante diagrama de bloques en la interfaz graficade LabView de la respuesta del sistema frente a un escalón unitario.

VIII-C. PROGRAMACIÓN MEDIANTE DIAGRAMA DE

BLOQUES EN LA INTERFAZ GRÁFICA DE LABVIEW DE LA SIMULACIÓN EN LAZO CERRADO DEL MODELOOBTENIDO

Figura 13. Programación mediante diagrama de bloques en la interfaz graficade Labview de la simulación en lazo cerrado del modelo obtenido.

VIII-D. DIAGRAMA DE BLOQUES

Figura 14. Diagrama de bloques


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VIII-E. PROGRAMACIÓN DEL SISTEMA DE NIVEL AU-TOMÁTICO MEDIANTE DIAGRAMA DE BLOQUES EN LA

INTERFAZ GRÁFICA DE LABVIEW

Figura 15. Programación del sistema de nivel automatico mediante diagramade bloques en la interfaz grafica de LabView.

sistema de nivelación automático

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