PROFEIGNACIO ROSALES ORTIZ6TO SEMESTRE

ALUMNAGEORGINA SOLIMAN LUCAS

UNIVERSIDAD DE LOS ANGELESINGSISTEMAS

COMPUTACIONALES

MATERIALOGICA MATEMATICA AVANZADA

SISTEMA KLEENE

SISTEMA DE KLEENE

INTRODUCCIOacuteN A LA TEORIA DE LA DEMOSTRACIOacuteN

Estructura deductiva es una representacioacuten formal de un proceso de razonamiento

para obtener una conclusioacuten a partir de

unas premisas Las deducciones se demuestran

foacutermula a foacutermula

LA FORMALIZACIOacuteN DE LAS ESTRUCTURAS DEDUCTIVAS EN TEORIacuteADE LA DEMOSTRACIOacuteN REQUIERE Un sistema de foacutermulas vaacutelidas Una serie de foacutermulas que se asumen

como vaacutelidas por hipoacutetesis (axiomas del sistema)

Unas reglas de demostracioacuten o inferencia que permiten obtener nuevas foacutermulas vaacutelidas a partir de los axiomas

Una definicioacuten de deduccioacuten que permita aplicando las reglas

representar cualquier deduccioacuten correcta

TEORIacuteA DE LA DEMOSTRACIOacuteN Es necesario que el conjunto de

axiomas y reglas sea consistente (no contradictorio)

No pueda demostrarse una foacutermula y su negacioacuten

DEFINICIOacuteN un sistema de demostracioacuten formal

S o sistema de pruebas se define matemaacuteticamente mediante los

SIGUIENTES CUATRO ELEMENTOS A es el alfabeto del sistema el conjunto de

siacutembolos que se pueden utilizar F es el conjunto de reglas de sintaxis las reglas

que permiten definir las foacutermulas bien construidas

X es el conjunto de axiomas foacutermulas vaacutelidas por definicioacuten

R es el conjunto de reglas de inferencias reglas de transformacioacuten

que permiten inferir una foacutermula la conclusioacuten a partir de un conjunto de foacutermulas las condiciones o premisas

Un sistema de demostracioacuten S como el anterior se puede representar en forma compacta como

S = (AFXR) Existen varios sistemas entre

los que podemos mencionar ndash Sistema L (Lukasiewizc y

Church) ndash Sistema PM (Principia

Mathematica) ndash Sistema de Kleene

Sistema axiomaacutetico KLEENE

K = (AFXR)DEFINIDO PORbull A EL ALFABETO ESTAacute COMPUESTO POR LOS SIacuteMBOLOS P Q R S T DE PROPOSICIONESATOacuteMICAS LOS SIacuteMBOLOS DE CONECTIVAS (~andorrarr) Y LOS SIacuteMBOLOS DE PAREacuteNTESIS ldquo(ldquo ldquo)rdquobull F EL CONJUNTO DE LAS FOacuteRMULAS BIEN CONSTRUIDAS (FBC) SE DEFINE RECURSIVAMENTECOMOAT TODA PROPOSICIOacuteN ATOacuteMICA ES UNA FBC~ SI A ES UNA FBC ENTONCES ~A ES UNA FBCRESTO SI A Y B SON DOS FBC ENTONCES AandB AorB ArarrB BrarrA SON FBCndash TODA FBC SE OBTIENE MEDIANTE LAS TRES REGLAS ANTERIORESndash NOTA EN LO QUE SE SIGUE USAREMOS TAMBIEacuteN LA CONECTIVA DE EQUIVALENCIA (OBICONDICIONAL) ENTRE DOS FOacuteRMULAS AharrB ESTA CONECTIVA SE ENTENDERAacute COMOUNA FORMA ABREVIADA DE REPRESENTAR LA FOacuteRMULA BIEN CONSTRUIDA (A rarr B) and (Brarr A)

X

R

AXIOMAS DE KLEENE Y REGLA DEDEMOSTRACIOacuteN

Foacutermula vaacutelida

De ArarrB y Ase puede deducir B(como foacutermulas vaacutelidas)

bull EJEMPLO DE DEMOSTRACIOacuteN T IDENTIDAD ArarrA

1 A rarr (A rarr A) AXIOMA 1 DE KLEENE B1048793A2 (A rarr (A rarr A)) rarr ((Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA))AXIOMA 2 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA C1048793A A1048793A3 (Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA) MODUS PONENS 1 Y 24 (Ararr((ArarrA)rarrA)) AXIOMA 1 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA5 (ArarrA) MODUS PONENS 43

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• SISTEMA DE KLEENE
• Slide 3
• Introduccioacuten a la TEORIA de la Demostracioacuten
• La formalizacioacuten de las estructuras deductivas en teoriacutea de la
• Teoriacutea de la demostracioacuten
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SISTEMA DE KLEENE

INTRODUCCIOacuteN A LA TEORIA DE LA DEMOSTRACIOacuteN

Estructura deductiva es una representacioacuten formal de un proceso de razonamiento

para obtener una conclusioacuten a partir de

unas premisas Las deducciones se demuestran

foacutermula a foacutermula

LA FORMALIZACIOacuteN DE LAS ESTRUCTURAS DEDUCTIVAS EN TEORIacuteADE LA DEMOSTRACIOacuteN REQUIERE Un sistema de foacutermulas vaacutelidas Una serie de foacutermulas que se asumen

como vaacutelidas por hipoacutetesis (axiomas del sistema)

Unas reglas de demostracioacuten o inferencia que permiten obtener nuevas foacutermulas vaacutelidas a partir de los axiomas

Una definicioacuten de deduccioacuten que permita aplicando las reglas

representar cualquier deduccioacuten correcta

TEORIacuteA DE LA DEMOSTRACIOacuteN Es necesario que el conjunto de

axiomas y reglas sea consistente (no contradictorio)

No pueda demostrarse una foacutermula y su negacioacuten

DEFINICIOacuteN un sistema de demostracioacuten formal

S o sistema de pruebas se define matemaacuteticamente mediante los

SIGUIENTES CUATRO ELEMENTOS A es el alfabeto del sistema el conjunto de

siacutembolos que se pueden utilizar F es el conjunto de reglas de sintaxis las reglas

que permiten definir las foacutermulas bien construidas

X es el conjunto de axiomas foacutermulas vaacutelidas por definicioacuten

R es el conjunto de reglas de inferencias reglas de transformacioacuten

que permiten inferir una foacutermula la conclusioacuten a partir de un conjunto de foacutermulas las condiciones o premisas

Un sistema de demostracioacuten S como el anterior se puede representar en forma compacta como

S = (AFXR) Existen varios sistemas entre

los que podemos mencionar ndash Sistema L (Lukasiewizc y

Church) ndash Sistema PM (Principia

Mathematica) ndash Sistema de Kleene

Sistema axiomaacutetico KLEENE

K = (AFXR)DEFINIDO PORbull A EL ALFABETO ESTAacute COMPUESTO POR LOS SIacuteMBOLOS P Q R S T DE PROPOSICIONESATOacuteMICAS LOS SIacuteMBOLOS DE CONECTIVAS (~andorrarr) Y LOS SIacuteMBOLOS DE PAREacuteNTESIS ldquo(ldquo ldquo)rdquobull F EL CONJUNTO DE LAS FOacuteRMULAS BIEN CONSTRUIDAS (FBC) SE DEFINE RECURSIVAMENTECOMOAT TODA PROPOSICIOacuteN ATOacuteMICA ES UNA FBC~ SI A ES UNA FBC ENTONCES ~A ES UNA FBCRESTO SI A Y B SON DOS FBC ENTONCES AandB AorB ArarrB BrarrA SON FBCndash TODA FBC SE OBTIENE MEDIANTE LAS TRES REGLAS ANTERIORESndash NOTA EN LO QUE SE SIGUE USAREMOS TAMBIEacuteN LA CONECTIVA DE EQUIVALENCIA (OBICONDICIONAL) ENTRE DOS FOacuteRMULAS AharrB ESTA CONECTIVA SE ENTENDERAacute COMOUNA FORMA ABREVIADA DE REPRESENTAR LA FOacuteRMULA BIEN CONSTRUIDA (A rarr B) and (Brarr A)

X

R

AXIOMAS DE KLEENE Y REGLA DEDEMOSTRACIOacuteN

Foacutermula vaacutelida

De ArarrB y Ase puede deducir B(como foacutermulas vaacutelidas)

bull EJEMPLO DE DEMOSTRACIOacuteN T IDENTIDAD ArarrA

1 A rarr (A rarr A) AXIOMA 1 DE KLEENE B1048793A2 (A rarr (A rarr A)) rarr ((Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA))AXIOMA 2 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA C1048793A A1048793A3 (Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA) MODUS PONENS 1 Y 24 (Ararr((ArarrA)rarrA)) AXIOMA 1 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA5 (ArarrA) MODUS PONENS 43

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INTRODUCCIOacuteN A LA TEORIA DE LA DEMOSTRACIOacuteN

Estructura deductiva es una representacioacuten formal de un proceso de razonamiento

para obtener una conclusioacuten a partir de

unas premisas Las deducciones se demuestran

foacutermula a foacutermula

LA FORMALIZACIOacuteN DE LAS ESTRUCTURAS DEDUCTIVAS EN TEORIacuteADE LA DEMOSTRACIOacuteN REQUIERE Un sistema de foacutermulas vaacutelidas Una serie de foacutermulas que se asumen

como vaacutelidas por hipoacutetesis (axiomas del sistema)

Unas reglas de demostracioacuten o inferencia que permiten obtener nuevas foacutermulas vaacutelidas a partir de los axiomas

Una definicioacuten de deduccioacuten que permita aplicando las reglas

representar cualquier deduccioacuten correcta

TEORIacuteA DE LA DEMOSTRACIOacuteN Es necesario que el conjunto de

axiomas y reglas sea consistente (no contradictorio)

No pueda demostrarse una foacutermula y su negacioacuten

DEFINICIOacuteN un sistema de demostracioacuten formal

S o sistema de pruebas se define matemaacuteticamente mediante los

SIGUIENTES CUATRO ELEMENTOS A es el alfabeto del sistema el conjunto de

siacutembolos que se pueden utilizar F es el conjunto de reglas de sintaxis las reglas

que permiten definir las foacutermulas bien construidas

X es el conjunto de axiomas foacutermulas vaacutelidas por definicioacuten

R es el conjunto de reglas de inferencias reglas de transformacioacuten

que permiten inferir una foacutermula la conclusioacuten a partir de un conjunto de foacutermulas las condiciones o premisas

Un sistema de demostracioacuten S como el anterior se puede representar en forma compacta como

S = (AFXR) Existen varios sistemas entre

los que podemos mencionar ndash Sistema L (Lukasiewizc y

Church) ndash Sistema PM (Principia

Mathematica) ndash Sistema de Kleene

Sistema axiomaacutetico KLEENE

K = (AFXR)DEFINIDO PORbull A EL ALFABETO ESTAacute COMPUESTO POR LOS SIacuteMBOLOS P Q R S T DE PROPOSICIONESATOacuteMICAS LOS SIacuteMBOLOS DE CONECTIVAS (~andorrarr) Y LOS SIacuteMBOLOS DE PAREacuteNTESIS ldquo(ldquo ldquo)rdquobull F EL CONJUNTO DE LAS FOacuteRMULAS BIEN CONSTRUIDAS (FBC) SE DEFINE RECURSIVAMENTECOMOAT TODA PROPOSICIOacuteN ATOacuteMICA ES UNA FBC~ SI A ES UNA FBC ENTONCES ~A ES UNA FBCRESTO SI A Y B SON DOS FBC ENTONCES AandB AorB ArarrB BrarrA SON FBCndash TODA FBC SE OBTIENE MEDIANTE LAS TRES REGLAS ANTERIORESndash NOTA EN LO QUE SE SIGUE USAREMOS TAMBIEacuteN LA CONECTIVA DE EQUIVALENCIA (OBICONDICIONAL) ENTRE DOS FOacuteRMULAS AharrB ESTA CONECTIVA SE ENTENDERAacute COMOUNA FORMA ABREVIADA DE REPRESENTAR LA FOacuteRMULA BIEN CONSTRUIDA (A rarr B) and (Brarr A)

X

R

AXIOMAS DE KLEENE Y REGLA DEDEMOSTRACIOacuteN

Foacutermula vaacutelida

De ArarrB y Ase puede deducir B(como foacutermulas vaacutelidas)

bull EJEMPLO DE DEMOSTRACIOacuteN T IDENTIDAD ArarrA

1 A rarr (A rarr A) AXIOMA 1 DE KLEENE B1048793A2 (A rarr (A rarr A)) rarr ((Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA))AXIOMA 2 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA C1048793A A1048793A3 (Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA) MODUS PONENS 1 Y 24 (Ararr((ArarrA)rarrA)) AXIOMA 1 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA5 (ArarrA) MODUS PONENS 43

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LA FORMALIZACIOacuteN DE LAS ESTRUCTURAS DEDUCTIVAS EN TEORIacuteADE LA DEMOSTRACIOacuteN REQUIERE Un sistema de foacutermulas vaacutelidas Una serie de foacutermulas que se asumen

como vaacutelidas por hipoacutetesis (axiomas del sistema)

Unas reglas de demostracioacuten o inferencia que permiten obtener nuevas foacutermulas vaacutelidas a partir de los axiomas

Una definicioacuten de deduccioacuten que permita aplicando las reglas

representar cualquier deduccioacuten correcta

TEORIacuteA DE LA DEMOSTRACIOacuteN Es necesario que el conjunto de

axiomas y reglas sea consistente (no contradictorio)

No pueda demostrarse una foacutermula y su negacioacuten

DEFINICIOacuteN un sistema de demostracioacuten formal

S o sistema de pruebas se define matemaacuteticamente mediante los

SIGUIENTES CUATRO ELEMENTOS A es el alfabeto del sistema el conjunto de

siacutembolos que se pueden utilizar F es el conjunto de reglas de sintaxis las reglas

que permiten definir las foacutermulas bien construidas

X es el conjunto de axiomas foacutermulas vaacutelidas por definicioacuten

R es el conjunto de reglas de inferencias reglas de transformacioacuten

que permiten inferir una foacutermula la conclusioacuten a partir de un conjunto de foacutermulas las condiciones o premisas

Un sistema de demostracioacuten S como el anterior se puede representar en forma compacta como

S = (AFXR) Existen varios sistemas entre

los que podemos mencionar ndash Sistema L (Lukasiewizc y

Church) ndash Sistema PM (Principia

Mathematica) ndash Sistema de Kleene

Sistema axiomaacutetico KLEENE

K = (AFXR)DEFINIDO PORbull A EL ALFABETO ESTAacute COMPUESTO POR LOS SIacuteMBOLOS P Q R S T DE PROPOSICIONESATOacuteMICAS LOS SIacuteMBOLOS DE CONECTIVAS (~andorrarr) Y LOS SIacuteMBOLOS DE PAREacuteNTESIS ldquo(ldquo ldquo)rdquobull F EL CONJUNTO DE LAS FOacuteRMULAS BIEN CONSTRUIDAS (FBC) SE DEFINE RECURSIVAMENTECOMOAT TODA PROPOSICIOacuteN ATOacuteMICA ES UNA FBC~ SI A ES UNA FBC ENTONCES ~A ES UNA FBCRESTO SI A Y B SON DOS FBC ENTONCES AandB AorB ArarrB BrarrA SON FBCndash TODA FBC SE OBTIENE MEDIANTE LAS TRES REGLAS ANTERIORESndash NOTA EN LO QUE SE SIGUE USAREMOS TAMBIEacuteN LA CONECTIVA DE EQUIVALENCIA (OBICONDICIONAL) ENTRE DOS FOacuteRMULAS AharrB ESTA CONECTIVA SE ENTENDERAacute COMOUNA FORMA ABREVIADA DE REPRESENTAR LA FOacuteRMULA BIEN CONSTRUIDA (A rarr B) and (Brarr A)

X

R

AXIOMAS DE KLEENE Y REGLA DEDEMOSTRACIOacuteN

Foacutermula vaacutelida

De ArarrB y Ase puede deducir B(como foacutermulas vaacutelidas)

bull EJEMPLO DE DEMOSTRACIOacuteN T IDENTIDAD ArarrA

1 A rarr (A rarr A) AXIOMA 1 DE KLEENE B1048793A2 (A rarr (A rarr A)) rarr ((Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA))AXIOMA 2 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA C1048793A A1048793A3 (Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA) MODUS PONENS 1 Y 24 (Ararr((ArarrA)rarrA)) AXIOMA 1 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA5 (ArarrA) MODUS PONENS 43

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TEORIacuteA DE LA DEMOSTRACIOacuteN Es necesario que el conjunto de

axiomas y reglas sea consistente (no contradictorio)

No pueda demostrarse una foacutermula y su negacioacuten

DEFINICIOacuteN un sistema de demostracioacuten formal

S o sistema de pruebas se define matemaacuteticamente mediante los

SIGUIENTES CUATRO ELEMENTOS A es el alfabeto del sistema el conjunto de

siacutembolos que se pueden utilizar F es el conjunto de reglas de sintaxis las reglas

que permiten definir las foacutermulas bien construidas

X es el conjunto de axiomas foacutermulas vaacutelidas por definicioacuten

R es el conjunto de reglas de inferencias reglas de transformacioacuten

que permiten inferir una foacutermula la conclusioacuten a partir de un conjunto de foacutermulas las condiciones o premisas

Un sistema de demostracioacuten S como el anterior se puede representar en forma compacta como

S = (AFXR) Existen varios sistemas entre

los que podemos mencionar ndash Sistema L (Lukasiewizc y

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K = (AFXR)DEFINIDO PORbull A EL ALFABETO ESTAacute COMPUESTO POR LOS SIacuteMBOLOS P Q R S T DE PROPOSICIONESATOacuteMICAS LOS SIacuteMBOLOS DE CONECTIVAS (~andorrarr) Y LOS SIacuteMBOLOS DE PAREacuteNTESIS ldquo(ldquo ldquo)rdquobull F EL CONJUNTO DE LAS FOacuteRMULAS BIEN CONSTRUIDAS (FBC) SE DEFINE RECURSIVAMENTECOMOAT TODA PROPOSICIOacuteN ATOacuteMICA ES UNA FBC~ SI A ES UNA FBC ENTONCES ~A ES UNA FBCRESTO SI A Y B SON DOS FBC ENTONCES AandB AorB ArarrB BrarrA SON FBCndash TODA FBC SE OBTIENE MEDIANTE LAS TRES REGLAS ANTERIORESndash NOTA EN LO QUE SE SIGUE USAREMOS TAMBIEacuteN LA CONECTIVA DE EQUIVALENCIA (OBICONDICIONAL) ENTRE DOS FOacuteRMULAS AharrB ESTA CONECTIVA SE ENTENDERAacute COMOUNA FORMA ABREVIADA DE REPRESENTAR LA FOacuteRMULA BIEN CONSTRUIDA (A rarr B) and (Brarr A)

X

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Foacutermula vaacutelida

De ArarrB y Ase puede deducir B(como foacutermulas vaacutelidas)

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1 A rarr (A rarr A) AXIOMA 1 DE KLEENE B1048793A2 (A rarr (A rarr A)) rarr ((Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA))AXIOMA 2 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA C1048793A A1048793A3 (Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA) MODUS PONENS 1 Y 24 (Ararr((ArarrA)rarrA)) AXIOMA 1 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA5 (ArarrA) MODUS PONENS 43

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SIGUIENTES CUATRO ELEMENTOS A es el alfabeto del sistema el conjunto de

siacutembolos que se pueden utilizar F es el conjunto de reglas de sintaxis las reglas

que permiten definir las foacutermulas bien construidas

X es el conjunto de axiomas foacutermulas vaacutelidas por definicioacuten

R es el conjunto de reglas de inferencias reglas de transformacioacuten

que permiten inferir una foacutermula la conclusioacuten a partir de un conjunto de foacutermulas las condiciones o premisas

Un sistema de demostracioacuten S como el anterior se puede representar en forma compacta como

S = (AFXR) Existen varios sistemas entre

los que podemos mencionar ndash Sistema L (Lukasiewizc y

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Mathematica) ndash Sistema de Kleene

Sistema axiomaacutetico KLEENE

K = (AFXR)DEFINIDO PORbull A EL ALFABETO ESTAacute COMPUESTO POR LOS SIacuteMBOLOS P Q R S T DE PROPOSICIONESATOacuteMICAS LOS SIacuteMBOLOS DE CONECTIVAS (~andorrarr) Y LOS SIacuteMBOLOS DE PAREacuteNTESIS ldquo(ldquo ldquo)rdquobull F EL CONJUNTO DE LAS FOacuteRMULAS BIEN CONSTRUIDAS (FBC) SE DEFINE RECURSIVAMENTECOMOAT TODA PROPOSICIOacuteN ATOacuteMICA ES UNA FBC~ SI A ES UNA FBC ENTONCES ~A ES UNA FBCRESTO SI A Y B SON DOS FBC ENTONCES AandB AorB ArarrB BrarrA SON FBCndash TODA FBC SE OBTIENE MEDIANTE LAS TRES REGLAS ANTERIORESndash NOTA EN LO QUE SE SIGUE USAREMOS TAMBIEacuteN LA CONECTIVA DE EQUIVALENCIA (OBICONDICIONAL) ENTRE DOS FOacuteRMULAS AharrB ESTA CONECTIVA SE ENTENDERAacute COMOUNA FORMA ABREVIADA DE REPRESENTAR LA FOacuteRMULA BIEN CONSTRUIDA (A rarr B) and (Brarr A)

X

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AXIOMAS DE KLEENE Y REGLA DEDEMOSTRACIOacuteN

Foacutermula vaacutelida

De ArarrB y Ase puede deducir B(como foacutermulas vaacutelidas)

bull EJEMPLO DE DEMOSTRACIOacuteN T IDENTIDAD ArarrA

1 A rarr (A rarr A) AXIOMA 1 DE KLEENE B1048793A2 (A rarr (A rarr A)) rarr ((Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA))AXIOMA 2 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA C1048793A A1048793A3 (Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA) MODUS PONENS 1 Y 24 (Ararr((ArarrA)rarrA)) AXIOMA 1 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA5 (ArarrA) MODUS PONENS 43

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1 A rarr (A rarr A) AXIOMA 1 DE KLEENE B1048793A2 (A rarr (A rarr A)) rarr ((Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA))AXIOMA 2 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA C1048793A A1048793A3 (Ararr((ArarrA)rarrA))rarr(ArarrA) MODUS PONENS 1 Y 24 (Ararr((ArarrA)rarrA)) AXIOMA 1 DE KLEENE DEFINIENDO B1048793ArarrA5 (ArarrA) MODUS PONENS 43

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