sistema de ecuaciones lineales

Sistema de Ecuaciones

Lineales

Mtro. Iván Ortiz Ramírez

Sistema de Ecuaciones Lineales

Se le llama asi, al conjunto de dos o mas ecuaciones que tienen idéntica soluciones, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas.

Si un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que el sistema es posible o “compatible”.

Si la solución es única diremos que el sistema es “compatible y determinado”.

Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es “compatible e indeterminado”.

Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son “incompatibles”.

Metodos de solución para Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incognitas, significa determinar los valores e las incognitas que generalmente son “x” y “y” que satisfacen a cada ecuación del sistema.

El proceso consiste en eliminar una de las dos incognitas, dando lugar a una ecuación lineal con una incognita; una vez determinado el valor de una de las incognitas, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema, obteniéndose el valor de la otra incognita.

1.Metodo de Adición o Sustracción (Reducción).2.Metodo de Igualación.3.Metodo de Sustitución.4.Metodo Grafico.5.Solución por determinantes.

Metodos de Adición o Sustracción (Reducción)

Pasos para aplicar el método:

1.Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incognitas.

2.Por suma o resta se elimina una de las incognitas.3.Se resuelve la ecuación lineal resultante.4.Se sustituye el valor determinando en cualquiera de

las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incognita.

Nota: si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incognitas de igual coeficientes, el paso primero se omite.

EJEMPLO4x + 6y = -3

Ec.15x + 7y = -2

Ec.2

Multiplique los miembros de la Ec. 1 por 5 y los de la Ec. 2 por (-4), resultando que los coeficientes de “x” se igualan y son de signo contrario. 5(4x + 6y = -3) = 20x + 30y= -15-4(5x + 7y = -2) =-20x - 28y= 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

20x + 30y= -15 -20x - 28y= 8 .

2y=-7Y=-7/2

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: 4x + 6(-7/2) = -15 4x – 21 =-3 4x=-3+21 x=18/4

Y=9/2

Solo falta comprobar los resultados, sustituyendo los valores de “X” y “Y” en las 2 ecuaciones originales.

Metodos de Igualación


1.Se despeja la misma incognita en cada una de las ecuaciones del sistema dado.

2.Se igualan entre si las expresiones obtenidas, consiguiendo eliminar una de las incognitas y dando lugar a una ecuación con una incognita.

3.Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.4.Se sustituye el valor determinado en cualquiera de

las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incognita.

EJEMPLO6x + 2y = -10

Ec.19x + 4y = -24

Ec.2

Despejando “y” en ambas ecuaciones, tenemos:6x + 2y = -10Y = -10-6x 29x + 4y = -24Y=-24-9x 4

Igualando entre si ambas expresiones, se obtiene:-10 – 6x = -24 – 9x 2 4 4(-10 – 6x) = 2(-24 – 9x) -40 – 24x = -48 – 18x18x -24x = -48 + 40 -6x = -8

x=-8/-6

X= 4/3

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: 9(4/3) + 4y = -24 12 + 4y = -24

4y = -24 – 12 y =-36/4

Y=-9


Metodos de Sustitución


1. despejar en cualquiera de las ecuaciones del sistema una de las incognitas en términos de la otra.

2.Se sustituye la expresiónpara incognita despejada en la otra ecuación que no se ha utilizado; se obtiene una ecuación con una incognita.

3.Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.4.Se sustituye el valor determinado en cualquiera de

las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incognita; también se sustituye en la expresión de la primera incognita despejada, obteniéndose el valor de la otra incognita; ambos procesos conducen al mismo resultado.

EJEMPLO7x - 4y = 5

Ec.19x +8y = 13

Ec.2

Despejando “y” de la Ec. 1, en términos de “x”:7x – 4y = 5 - 4y =5-7x y =5-7x -4

Se sustituye este valor en la Ec. 2, dando lugar a una Ec. Con una incognita.9x + 8(5 – 7x) =13 -4 9x - 10 + 14x =139x +14x= 13 +10 23x=23 x=23/23

X= 1

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: 7(1) - 4y = 5 7 - 4y = 5

-4y = 5 - 7 y =-2/-4

Y=1/2


Metodos por Determinantes


c1 b1X= c2 b2 = c1b2 - c2b1 a1 b1 a1b2 - a2b1 a2 b2

a1 c1y= a2 c2 = c1b2 - c2b1 a1 b1 a1b2 - a2b1 a2 b2

Ejercicios textuales Propuestos

1.La suma de dos números es 9 y su diferencia es 5; hallar dichos números.

2.Hace cinco años, la edad de una persona era el triple de otra y dentro de cinco años solo será el doble; ¿Cual es la edad de cada persona?.

3.Dies libras de nuez y doce libras de almendra costaron 454 pesos; ocho libras de nuez y diez libras de almendras costaron 376 pesos; hallar el costo de una libra de nuez y una libra de almendra.


La suma de dos números es 9 y su diferencia es 5; hallar dichos números.

DatosX= uno delos números buscadosY= otro de los números buscadosX+y=9 “suma de dos números es 9”X-y=5 “la diferencia de dos números es 5”


Hace cinco años, la edad de una persona era el triple de otra y dentro de cinco años solo será el doble; ¿Cual es la edad de cada persona?.

Datos X = edad de una personaY = edad de otra personaX – 5 hace cinco añosY -5 las edades eran.X+5 dentro de cinco añosY+5 las edades serán.

EcuacionesX - 5 = 3(y - 5)X + 5 = 2(y + 5)


Dies libras de nuez y doce libras de almendra costaron 454 pesos; ocho libras de nuez y diez libras de almendras costaron 376 pesos; hallar el costo de una libra de nuez y una libra de almendra.

Datos X = Costo de una libra de nuezY = Costo de una libra de almendra

Ecuaciones10x + 12y = 454 8x + 10y = 376

Matrices

Mtro. Iván Ortiz Ramírez

Metodos de Igualación


1. v

Gracias!!

Examen en parejas, la próxima sesión!!

sistema de ecuaciones lineales

Documents