Instituto Tecnolgico de Tijuana

Ingeniera Industrial

Investigacin de Operaciones II

Ing. Juan Alfonso Daz

Sistema de colas (Modelo de lnea de espera)

Equipo

Juan Gerardo Carrillo GutirrezAlejandro Vargas Estrada

Marco terico

Se han desarrollado modelos que sirvan para que los gerentes entiendan y tomen mejores decisiones en relacin con la operacin de las lneas de espera. En la terminologa de las ciencias de la administracin, una lnea de espera se conoce como cola, y la serie de conocimientos que tienen que ver con las lneas de espera como teora de colas.A principios de 1900, A. K. Erlang, un ingeniero telefonista dans comenz a estudiar la congestin y los tiempos de espera que ocurren para completar llamadas telefnicas. Desde entonces, la teora de colas se ha vuelto mucho ms compleja, con aplicaciones en una amplia variedad de situaciones de lnea de espera.La teora de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Utiliza los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de lneas de espera (sistemas que involucran colas de algn tipo) que surgen en la prctica. Las frmulas de cada modelo indican cul debe ser el desempeo del sistema correspondiente y sealan la cantidad promedio de espera que ocurrir en diversas circunstancias. Por lo tanto, estos modelos de lneas de espera son muy tiles para determinar cmo operar un sistema de colas de la manera ms efi caz. Proporcionar demasiada capacidad de servicio para operar el sistema implica costos excesivos; pero si no se cuenta con sufi ciente capacidad de servicio surgen esperas excesivas con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.Los modelos de lnea de espera se componen de frmulas y relaciones matemticas que pueden utilizarse para determinar las caractersticas de operacin (medidas de desempeo) de una lnea de espera. Las caractersticas de operacin de inters incluyen:1. La probabilidad de que no haya unidades en el sistema2. El nmero promedio de unidades en la lnea de espera3. El nmero promedio de unidades en el sistema (el nmero de unidades en la lnea de espera ms el nmero de unidades que estn siendo atendidas)4. El tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera5. El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (el tiempo de espera ms el tiempo para que atiendan)6. La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendanLos gerentes que cuentan con esta informacin son ms capaces de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio contra el costo de proporcionar el servicio.Proceso bsico de colas El proceso bsico supuesto por la mayora de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan en el tiempo en una fuente de entrada. Luego, entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola. Se lleva a cabo el servicio que el cliente requiere mediante un mecanismo de servicio, y despus el cliente sale del sistema de colas.Fuente de entrada (poblacin potencial)Una caracterstica de la fuente de entrada es su tamao. El tamao es el nmero total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el nmero total de clientes potenciales. Puede suponerse que el tamao es infinito o finito (de modo que tambin se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Debido a que los clculos son mucho ms sencillos en el caso del tamao infinito, este supuesto se hace a menudo aun cuando el tamao real sea un nmero fijo relativamente grande, y debe tomarse como un supuesto implcito en cualquier modelo en el que no se establezca otra cosa.Tambin se debe especificar el patrn estadstico mediante el cual se generan los clientes en el tiempo. El supuesto normal es que se generan de acuerdo con un proceso Poisson; este caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin que importe cuntos clientes estn ya ah (por lo que el tamao de la fuente de entrada es infinito). Esto equivale a que la distribucin de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.ColaLa cola es donde los clientes esperan antes de recibir el servicio. Una cola se caracteriza por el nmero mximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, segn si dicho nmero es finito o infinito. El supuesto de una cola infinita es el estndar de la mayora de los modelos, incluso en situaciones en las que en realidad existe una cota superior (relativamente grande) sobre el nmero permitido de clientes, puesto que manejar una cota as puede ser un factor que complique el anlisis.Disciplina de la cola La disciplina de la cola se refiere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el servicio. En los modelos de colas se supone como normal a la disciplina de primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca de otra manera.

Mecanismo de servicio El mecanismo de servicio consiste en una o ms estaciones de servicio, cada una de ellas con uno o ms canales de servicio paralelos, llamados servidores. En una estacin dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Los modelos de colas deben especificar el arreglo de las estaciones y el nmero de servidores (canales paralelos) en cada una de ellas. Los modelos ms elementales suponen una estacin, ya sea con un servidor o con un nmero finito de servidores. El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminacin en una estacin se llama tiempo de servicio (o duracin del servicio). Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio de cada servidor (y tal vez de los distintos tipos de clientes), aunque es comn suponer la misma distribucin para todos los servidores (todos los modelos en este captulo se basan en este supuesto). La distribucin del tiempo de servicio que ms se usa en la prctica (por ser ms manejable que cualquier otra) es la distribucin exponencial.

El proceso de colas elemental La teora de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que prevalece es el siguiente: una sola lnea de espera (que a veces puede estar vaca) se forma frente a una estacin de servicio, dentro de la cual se encuentra uno o ms servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe el servicio de uno de los servidores, quiz despus de esperar un poco en la cola (lnea de espera).

Modelo de lnea de espera de mltiples canales con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencialesUna lnea de espera de mltiples canales se compone de dos o ms canales de servicio que se supone son idnticos en funcin de capacidad de servicio. En el sistema de mltiples canales, las unidades que llegan esperan en una sola lnea y luego se dirigen al primer canal disponible para ser atendidas. Tambin se habr visto en situaciones en las que cada uno de los k canales tiene su propia lnea de espera.Las caractersticas de operacin de un sistema de mltiples canales son mejores cuando se utiliza una sola lnea de espera en lugar de mltiples lneas de espera.A continuacin se presentan frmulas para determinar las caractersticas de operacin constante de una lnea de espera de mltiples canales. Estas frmulas son apropiadas si existen las siguientes condiciones:1. Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson.2. El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribucin de probabilidad exponencial.3. La tasa de servicios es la misma para cada canal.4. Las llegadas esperan en una sola lnea de espera y luego se dirigen al primer canal abierto para que las atiendan.Caractersticas de operacinLas siguientes frmulas se utilizan para calcular las caractersticas de operacin de lneas de espera de mltiples canales, donde = tasa de llegadas del sistema = tasa de servicios de cada canalk = nmero de canales1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 2. Nmero promedio de unidades en la lnea de espera: 3. Nmero promedio de unidades en el sistema: 4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera: 5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: 6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan:

7. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

Como es la tasa de servicios de cada canal, k es la del sistema de mltiples canales.Al igual que para el modelo de espera de canal nico, las frmulas de las caractersticas de operacin de lneas de espera de mltiples canales se aplican slo en situaciones en las que la tasa de servicios del sistema es mayor que su tasa de llegadas, en otros trminos, las frmulas se aplican slo si k es mayor que .Anlisis econmico de lneas de esperaLas decisiones que implican el diseo de lneas de espera se basarn, con frecuencia, en una evaluacin subjetiva de las caractersticas de operacin de la lnea de espera. Por ejemplo, un gerente puede decidir que un tiempo de espera promedio de un minuto o menos y un promedio de dos clientes o menos en el sistema son metas razonables. El modelo presentado anteriormente puede usarse para determinar el nmero de canales que cumplirn las metas de desempeo de la lnea de espera deseadas establecidas por el gerente.Por otra parte, es posible que un gerente desee identificar el costo de operar el sistema de lnea de espera y luego basar la decisin con respecto al diseo del sistema en un costo de operacin mnimo por hora o da. Antes de que pueda realizarse un anlisis econmico, se debe desarrollar un modelo de costo total, el cual incluye el costo de espera y el costo de servicio.Para desarrollar un modelo de costo total de una lnea de espera, comenzamos por definir la notacin que se utilizar:cw = costo de espera por periodo de tiempo de cada unidadL = nmero promedio de unidades en el sistemacs = costo de servicio por periodo de tiempo de cada canalk = nmero de canalesT C = costo total por periodo de tiempo

La adicin de ms canales mejora siempre las caractersticas de operacin de la lnea de espera y reduce el costo de espera.Sin embargo, los canales adicionales incrementan el costo de servicio. Un anlisis econmico de las lneas de espera intenta determinar el nmero de canales que reduzcan al mnimo el costo total equilibrando el costo de espera con el costo del servicio.El costo de servicio se incrementa a medida que lo hace el nmero de canales. Sin embargo, con ms canales, el servicio es mejor. Por consiguiente, el tiempo y costo de espera se reducen a medida que el nmero de canales se incrementa.El nmero de canales que dar una buena aproximacin del diseo de costo total mnimo se determina al evaluar el costo total de varias alternativas de diseo.

Identificacin del problema y modelacin de la lnea de espera

Para observar y analizar un sistema de colas real, se acudi al supermercado Soriana ubicado en Calzada del Tecnolgico 1100 Indeco Universidad, Tijuana, B.C. Dentro de este negocio se encuentran disponibles cinco cajas para atender a los clientes que llegan para pagar sus respectivas mercancas; sin embargo, se observ que a pesar de que existen cinco muebles caja (check-out) completamente equipados para su uso, actualmente solo se utilizan cuatro, es decir, solo existen cuatro cajeros haciendo uso de estas cajas, por lo que se plante la pregunta respecto a qu efecto tendra en el servicio si efectivamente se utilizaran las cinco cajas para atender a los clientes, en lugar de cuatro. Para recabar los datos necesarios, se cronometr el tiempo entre llegadas de los clientes, esto es, el tiempo transcurrido desde que llega un cliente a formarse a cualquiera de las cuatro cajas, hasta que llega el siguiente; esto con el objetivo de obtener una tasa media de llegadas, y para analizar los datos estadsticamente y aproximarlos a una distribucin de probabilidad. Por otro lado, tambin se cronometr el tiempo de servicio, esto es, el tiempo transcurrido entre la llegada de un cliente al frente del cajero, hasta que se le cobran todos sus artculos y se retira. Los registros se muestran a continuacin:#Tiempo entre llegadasTiempo de servicio

11:22.641:30.91

20:03.811:47.93

32:19.361:44.68

40:53.254:36.37

53:15.941:28.69

60:49.380:39.49

70:25.784:25.23

80:30.051:29.27

90:02.210:43.97

100:04.752:20.05

110:25.301:49.45

120:07.441:51.17

130:37.212:35.23

140:43.280:43.57

150:10.841:50.29

160:11.740:39.46

170:09.291:55.08

180:27.961:22.60

190:04.490:29.96

200:46.660:40.57

210:15.170:35.81

220:01.723:05.39

230:28.680:23.33

240:01.790:25.62

250:11.060:34.88

260:31.1601:34.13

270:10.900:46.39

280:07.290:37.26

290:05.090: 22.56

300:16.150:53.25

310:19.791:39.66

320:33.382:41.06

330:03.190:29.34

340:10.470:42.13

350:50.010:24.43

361:23.56

370:21.43

Una vez que se termin este proceso, se procedi a modelar el sistema de colas de acuerdo a los diversos parmetros. Se asume que la fuente de entrada es ilimitada, es decir, que los clientes posibles son infinitos. Se tiene que asignar cierta distribucin de probabilidad al patrn estadstico de generacin de clientes, por lo que se hizo una prueba de bondad de ajuste por medio de Minitab a los tiempos registrados entre llegadas. Esta prueba identific que los datos se asemejan a una distribucin exponencial, por lo que se puede decir que se generan de acuerdo a un proceso Poisson. A continuacin se muestran las imgenes del anlisis en Minitab.Prueba de bondad de ajuste.

Histograma de los tiempos entre llegadas, donde se muestra su semejanza y ajuste a una distribucin exponencial.

Se asume que la cola es infinita, es decir, que no hay un lmite para los clientes que se puedan llegar a formar en la cola; por otro lado, la disciplina de la cola es primero en entrar, primero en salir.El mecanismo de servicio consiste en una estacin de servicio, con cuatro canales paralelos. Como se haba explicado previamente, en el sistema de mltiples canales, las unidades que llegan esperan en una sola lnea y luego se dirigen al primer canal disponible para ser atendidas, pero tambin se habr visto en situaciones en las que cada uno de los k canales tiene su propia lnea de espera. Esto ltimo es lo que sucede en el caso que se analiza, cada uno de los cuatro canales tiene su propia lnea de espera; aunque no sea lo ms recomendable, ni el modelo sea el ms preciso para esta situacin, es posible utilizar el modelo descrito en el marco terico. Para especificar la distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio, se recurri nuevamente al uso de Minitab; de nuevo, los datos recopilados se ajustan exitosamente a una distribucin exponencial. A continuacin se muestran las imgenes del anlisis mediante Minitab.

Prueba de bondad de ajuste.

Histograma de los tiempos de servicio, donde se muestra su semejanza y ajuste a una distribucin exponencial.Caractersticas de operacin

= tasa de llegadas del sistema = 1.9880 clientes por minuto = tasa de servicios de cada canal = 0.7153 clientes por minutok = nmero de canales = 4

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: P0 = 0.051636727252. Nmero promedio de unidades en la lnea de espera. Lq = 0.95762886793. Nmero promedio de unidades en el sistema L = 3.7368823284. Tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera Wq = 0.48170466195. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: W = 1.8797194816. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan: Pw = 0.42062451087. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:P1= 0.1435115529P2= 0.1994274899P3= 0.1847531805P4=0.128368979P5= 0.08919248229P6 = 0.06197212875P7 = 0.192774187Como se puede observar, la probabilidad de que una unidad que ingresa al sistema tenga que esperar es considerable, un poco ms del 42%, en contraste, la probabilidad de que no haya unidades en el sistema es casi nula, alrededor del 5%. Otro factor muy importante, es que la probabilidad de que haya 7 o ms unidades en el sistema es bastante alta, casi un 20%; por otro lado, en promedio una unidad pasa en el sistema cerca de dos minutos, siendo el promedio de unidades en la lnea de espera bsicamente uno, es decir, frecuentemente habr por lo menos una unidad en la lnea de espera, siendo el nmero promedio de unidades en el sistema muy cercano a cuatro. Sin lugar a dudas, el factor que podra causar ms problemas de acuerdo a este anlisis, es el hecho de que la probabilidad de que haya 7 o ms unidades en el sistema es muy considerable (casi 20%), esto podra ocasionar tiempos de espera de aproximadamente 3 minutos en adelante con mucha frecuencia relativa.Se realiz el anlisis considerando que se utilizaran las cinco cajas; los resultados se muestran a continuacin. 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: P0 = 0.0594652. Nmero promedio de unidades en la lnea de espera. Lq = 0.2315383. Nmero promedio de unidades en el sistema L = 3.0107924. Tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera Wq = 0.1164685. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: W = 1.5144836. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan: Pw = 0.1850097. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:P1= 0.165269044P2= 0.229662281P3= 0.21276323P4=0.147830736P5= 0.082171817P6 = 0.016434363P7 = 0.14586853Como se puede observar el nmero promedio de unidades en la lnea de espera pas de casi uno, a menos de , adems, el tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera pas de casi 30 segundos a menos de 7 segundos; asimismo, la probabilidad de tener que esperar se redujo a menos de la mitad, de alrededor de 42% a 18%. Finalmente, otro aspecto importante es que la probabilidad de que haya 7 o ms unidades en el sistema se redujo de 19% a 14%. Este anlisis muestra que los beneficios ms importantes fueron reduccin en el nmero de unidades en la lnea de espera, tiempo promedio de espera y probabilidad de tener que esperar.Anlisis econmico de lnea de espera

Solamente como referencia, sin contar con datos muy exactos, se realiz un anlisis econmico partiendo de los siguientes datos: El ticket promedio (consumo) en Soriana es de $160. El salario de un cajero en Soriana es de $3800 al mes, trabajando 8 horas diarias (esto se traduce en un salario de $19.7916 por hora, aproximadamente).A partir del valor del ticket promedio, el equipo determin arbitrariamente que el costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad es la quinta parte del valor del ticket promedio, asimismo, se sume que el costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal es igual al salario por hora de los cajeros; por lo tanto, en el caso actual donde se utilizan cuatro cajas se determinaron los siguientes valores:cw = costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad = $32L = nmero promedio de unidades en el sistema = 3.736882328cs = costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal = $19.7916k = nmero de canales = 4CT = costo total por periodo de tiempo = $198.7466Esto significa que bajo los parmetros previamente definidos, se asume la actividad de este modelo de lnea de espera le cuesta a Soriana $198.7466 por hora.En cambio, si se asume que se estn utilizando las cinco cajas, el costo total por periodo de tiempo (CT) sera igual a $195.3033 por hora. Resulta evidente que el ahorro potencial de utilizar las cinco cajas es mnimo, pero a largo plazo podra representar ahorros importantes.

Bibliografa:Anderson, D. R., Sweeney, D.J., Williams, T.A., Camm J.D., Martin, K. (2011). Mtodos cuantitativos para los negocios (11a. Ed.). Mxico, D.F.: Cengage Learning. Hillier, F.S., Lieberman, G.J. (2010). Introduccin a la Investigacin de Operaciones (9 Ed.). Mxico, D.F.: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA.