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Sistema de Codificación Sub-banda de Imágenes con Wavelets

Sistema de CodificaciónSub-banda de Imágenes con

Wavelets

Sistema de CodificaciónSub-banda de Imágenes con

Wavelets

E

Gustavo Abraham Mas Levario, MaríaAurora Segura Corona, Miguel AngelLópez MartínezProfesores del [email protected]

n este trabajo se propone unasolución para implementar unsistema de compresión de imá-

genes basándose en un esquema de-nominado codificación sub-banda.Bajo este esquema se propone lautilización de la transformada llama-da wavelet. Por otra parte, se pre-tende que el sistema se implante usan-do un modelo de coprocesamientoentre una computadora huésped yuna tarjeta de expansión.

INTRODUCCIÓN

Hoy en día circulan en diversosmedios grandes volúmenes de infor-mación. Como resultado, la habilidadpara almacenar, accesar y transmitiresta información en una manera efi-ciente es crucial. Esto es particular-mente cierto para el caso de imáge-nes digitales, donde típicamente serequiere un gran número de bits pararepresentar una imagen digital sim-ple; con los rápidos avances en latecnología de sensores y la electróni-ca digital, este número crece aun máscon cada nueva generación de pro-ductos.

El procesamiento digital de imá-genes es un área de la ingeniería que

actualmente tiene una gran relevan-cia. Hoy en día son múltiples lasaplicaciones que involucran el proce-samiento de imágenes en alguna desus etapas, entre otras: multimedia,diagnóstico clínico, sistemas de infor-mación administrativos, robótica, jue-gos etc.

El uso de imágenes digitales enforma efectiva requiere de técnicasespecíficas para reducir el número debits requeridos en su representación.El área del procesamiento digital deimágenes que estudia este tipo deproblemas es la Compresión de Imá-genes.

La compresión de imágenes seencarga de codificar la informaciónde tal manera que se ocupe menostiempo en su transmisión y almace-namiento. Desde los inicios del pro-cesamiento de imágenes se han de-sarrollado diferentes métodos tantoteóricos como prácticos para lograrmejores tasas de compactación, conmejores índices de eficiencia.

El objetivo principal de este traba-jo es proponer una solución paraimplementar un sistema de compre-sión de imágenes, con base en unesquema de compresión denomina-do codificación sub-banda. Este es-quema tiene diferentes variantes, perose ha optado por la utilización de latransformada llamada wavelet. Porotra parte, se pretende que el sistemase implante bajo un esquema de co-procesamiento, entre una computa-

dora huésped y una tarjeta coproce-sadora con un DSP (Digital SignalProcessor) TMS320C50, de la fami-lia de Texas Instruments.

Este tipo de esquemas se puedeutilizar para resolver aplicaciones deconferencias remotas.

CONCEPTOS BÁSICOS DE IMÁGENES

• Imagen: Es la representación de laforma de una escena visual.

• Comúnmente tenemos familiari-dad con fotografías en color y enblanco y negro.

• Una fotografía en blanco y negroguarda la brillantez de cada puntode la escena.

• Una fotografía a color almacenael color de cada punto, además desu brillantez.

• En la fotografía convencional, elmecanismo por el cual se realiza elalmacenamiento es químico.

REPRESENTACIÓN DE IMÁGENES POR

UNA COMPUTADORA

Existe una gran diversidad de fuen-tes de donde obtener imágenes: foto-grafías, revistas, libros, cámaras digi-tales, etc.. Si el material original co-rresponde a un medio impreso, seemplea un digitalizador (scanner) paraadquirir la información, transformar-

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la a un formato gráfico y almacenarlaen la computadora.Si la fuente es unacámara digital, la transmisión es di-recta.

• En una computadora, una imagenes un arreglo de números.

• Éstos arreglos generalmente sonllamados matrices.

• Una matriz es un conjunto denúmeros ordenados en columnasy renglones.

• Cada elemento del arreglo es lla-mado Pixel o Pel (del inglés, pictu-re element).

• Cada elemento esta asociado auna columna y un renglón. Elnúmero de columna y el númerode renglón definen la coordenadadel pixel.

• El valor de cada pixel define labrillantez de cada punto, para unaimagen en blanco y negro (o entonos de gris); o representa elcolor que tiene cada punto en unaimagen a color.

• Independientemente del tipo deimágen, se utiliza una paleta cro-mática, en donde se definen elnúmero de colores o de tonos degris con los que se puede repre-sentar la imagen.

• Una paleta de escala de gris indicatodos los posibles tonos de grisque puede desplegar cada uno delos pixeles que componen la ima-gen en la pantalla o monitor.

• En las imágenes en tonos de gris,el valor de cada pixel indica el nivelde gris a utilizar para su represen-tación; este valor se compara conlos especificados en la paleta detonos, cuando uno coincide, en-

tonces se elige la cantidad de bri-llantez con la que se mostrara elpixel en pantalla.

• Una paleta de colores indica todoslos posibles colores que puededesplegar cada pixel que compo-ne a la imagen.

• Para las imágenes a color, el valordel pixel representa una combina-ción de niveles de rojo, verde yazul, que se emplea para repre-sentar el color de dicho pixel. Porlo tanto, cada posible color seasocia con una combinación dife-rente de intensidades; variandolos niveles de estas intensidades sepueden obtener diferentes tonospara un color dado.

Imagen en escalas de grises

Detalle de la Imagen anterior del ladosuperior izquierdo

Representación en forma de matriz dellado superior izquierdo del detalle anterior

CODIFICACIÓN SUB-BANDA

La compresión es una de las apli-caciones del procesamiento digital deseñales, que usa expansiones de laseñal como componente principal.La más notable de las expansiones, sediscretiza en tiempo por medio debancos de filtros. Cuando los canalesde un banco de filtros se usan paracodificar, el esquema resultante esconocido como codificación sub-ban-da. Las razones para expandir unaseñal y procesarla en el dominio trans-formado son numerosas. La codifica-ción de la fuente puede aplicarsedirectamente sobre el original, siendoesto usualmente más eficiente paraencontrar una transformación apro-piada. Por razones de eficiencia seconsidera que, a mayor complejidaddel codificador, se obtiene una mejorcompresión.

Figura 1. Representación de una imagen enuna computadora

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Esta forma de codificación ha pro-ducido esquemas de compresión dealta eficiencia para voz, audio, imáge-nes y video, algunos de los cuales hansido adoptados como estándares in-dustriales, por ejemplo: codificaciónsub-banda para voz de alta calidad a32 KBits/sec. ; AC, PAC y NUSI-CAM para audio; JPEG para imáge-nes y MPEG para video.

La codificación sub-banda es unatécnica para comprimir imágenes;inicialmente la imagen a comprimirse descompone en varias imágenesque contienen un rango limitado deinformación de la imagen original.Este proceso se denomina Filtrado,y las imágenes obtenidas son llama-das sub-bandas, obteniendose comoresultado una eliminación de pixeles.Dependiendo del criterio utilizado seeliminan todos los pixeles pares o losnones, tanto de las columnas comode los renglones de cada una de lassub-bandas; este proceso se conocecomo Submuestreo.

La etapa donde se realiza el filtra-do y el submuestreo es llamada Aná-lisis.

Hasta este punto aún no se hacomprimido la imagen, solo se haaplicado una transformación paracambiar su organización. Esto permi-te analizar desde otro punto de vista laimagen, sin que se haya perdido in-formación de importancia. Ahora sedebe elegir un método para codificarlas imágenes generadas y comprimirla imagen. El codificar la imagen sig-nifica analizar toda la informacióncontenida en ella y reinterpretarla, amodo que los datos a almacenar o atransmitir sean los mínimos posiblespara reconstruir la imagen original,empleando un código para tal efecto.El objetivo del código es el poderrepresentar un gran conjunto de in-formación (símbolos, números, dibu-jos, palabras, etc.) con otro conjuntode menor tamaño; el utilizar un códi-

go para esta representación es llama-do Codificación.

Ya que las imágenes obtenidas enel filtrado están perfectamente defini-das, se puede utilizar un código dife-rente para cada una, o el mismo,según convenga.

Una vez que se ha codificado (ocomprimido) la imagen, la informa-ción se puede almacenar o transmitirpor cualquier método; sin embargo,el esquema no esta completo hastaque se pueda reconstruir la imagenoriginal.

El proceso de reconstrucción sedenomina Decodificación, es de-cir de la información comprimida re-cuperar la versión original. Una vezque se ha aplicado la decodificaciónse tiene la imagen separada en sub-bandas y submuestreadas. El submues-treo consistió en eliminar tanto ren-glones como columnas ya sea pares oimpares; por lo que ahora se requierereponer esos datos. Así, se insertanceros en los lugares correspondientesa las columnas y renglones faltantes,llamándosele a esto Sobremues-treo. Nuevamente se realiza el pro-cedimiento de Filtrado a cada sub-banda, para finalmente sumar pixel apixel todas las sub-bandas y obtener laimagen original.

La etapa donde se realiza el sobre-muestreo, filtrado y suma de las sub-bandas (la reconstrucción de la ima-gen comprimida) se llama Síntesis.

Cabe señalar que la imagen re-construida tiene pérdidas, pero dadoque la visión humana no es perfecta,no se aprecian cambios significativosen el aspecto de la imagen reconstrui-da, si se le compara con la imagenoriginal.

Se emplean los términos de banday sub-banda debido a que la informa-ción contenida en la imagen se puede

concebir como un conjunto de fre-cuencias, organizadas para formar unespacio o área (en este caso el planode la imagen). En telecomunicacio-nes se llama banda al rango de fre-cuencias de operación de un equipo(radio, televisión, etc.), y las sub-ban-das son pequeños rangos comprendi-dos en la banda original. Transpor-tando esta noción al tema de imáge-nes, la banda correspondería a toda laimagen por comprimir, consideran-do que su información (todos los valo-res de sus pixeles) equivale a un rangode frecuencias. Como el proceso indi-ca una separación en imágenes com-plementarias, cada una de ellas (altener un pequeño rango de informa-ción) se considera como sub-banda.

De forma esquemática, el procesocompleto de codificación se puederesumir en tres etapas:

a) Análisis.b) Codificación.c) Síntesis.

Existen varias formas para desa-rrollar este esquema de compresiónde imágenes; una de ellas es el em-pleo de la Transformada WaveletDiscreta (DWT - Discrete WaveletTransform), con su contraparte, laTransformada Wavelet Discreta In-versa (IDWT-Inverse Discrete Wave-let Transform).

La Transformada wavelet satisfa-ce los requerimientos de la etapa deAnálisis, mientras que la Transforma-da Wavelet Inversa corresponde a laSíntesis.

TRANSFORMADA WAVELET

La idea fundamental tras las wave-lets es el análisis de acuerdo a unaescala. Las wavelets son funcionesque satisfacen ciertos requerimientosmatemáticos y se usan para represen-

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tar datos u otras funciones. Esta ideano es nueva, la aproximación usandosuperposición de funciones ha existi-do desde principios del siglo XIX,cuando Joseph Fourier descubrió quese podía superponer senos y cosenospara representar otras funciones. Sinembargo, en el análisis con wavelets,la escala que se emplea para analizarlos datos juega un rol especial. Losalgoritmos con wavelets procesan losdatos a diferentes escalas o resolucio-nes. Si se observa una señal a travésde una ventana grande, se puedenapreciar las características más grue-sas. Similarmente, si se observa lamisma señal con una ventana máspequeña, se aprecian los detalles máspequeños.

Esto hace a las wavelets interesan-tes y útiles; por muchas décadas losinvestigadores han querido obtenerfunciones mas apropiadas que lossenos y cosenos, base del análisis deFourier, para analizar señales conpicos muy agudos, en las que el resul-tado obtenido por este método esmalo. En estas aplicaciones las wave-lets entregan mejores resultados.

Las personas que empiezan a tra-bajar con wavelets frecuentemente sepreguntan, ¿porqué no usar los méto-dos tradicionales de Fourier?. Existenimportantes diferencias entre ambosanálisis: las funciones base de Fourierestán localizadas en frecuencia perono en tiempo, los pequeños cambiosen las frecuencias en la transformadade Fourier siempre producen cam-bios en el dominio del tiempo. Laswavelets están bien localizadas tantoen frecuencia/escala (por medio dedilataciones) y en tiempo (por mediode traslaciones). Esta localización esuna ventaja en muchos casos.

El nombre de wavelet viene delrequerimiento de que estas funcionesdeben ser integradas a cero (el valorobtenido al integrar esta función debeser cero), «ondeando» (waving) arriba

y abajo del eje x. Otros requerimien-tos son técnicos, pues debe asegurar-se rapidez y facilidad de cálculo en lastransformada wavelet directa e inver-sa. Existen muchos tipos de wavelets:suaves, con soporte compacto, conexpresiones matemáticas simples, confiltros asociados simples, etc; la mássimple es la Wavelet Haar.

La transformada wavelet tiene lassiguientes características:

• Una wavelet es una forma de ondacon una duración efectiva limita-da, de valor promedio cero.

• Comparando las wavelets con lasondas cosenoidales del análisis deFourier, éstas no tienen una dura-ción limitada, y se extienden de unmínimo al infinito.Las ondas co-senoidales son suaves y predeci-bles, mientras que las waveletstienden a ser irregulares y asimé-tricas.

• El análisis de Fourier consiste ensegmentar una señal en ondas devarias frecuencias; similarmenteen el análisis con wavelets se sepa-ra una señal en versiones despla-zadas y escaladas de la waveletoriginal.

• Las señales con cambios másabruptos se analizan mejor conuna wavelet irregular que con unasinusoide suave.

Desde un punto de vista matemá-tico, el procedimiento del análisiswavelet es adoptar una función pro-totipo, llamada de análisis o madre,y una función de escalamiento tam-bién llamada ecuación básica de dila-tación o recursión fundamental. Deestas dos expresiones se obtiene unsistema de ecuaciones; en el cual sesustituyen prototipos de la clase defunciones básicas ortonormales.Aquí se calculan varios coeficientes

(ak) que satisfacen al sistema de ecua-ciones; dependiendo de las ecuacio-nes y de la función básica utilizada, elsistema se vuelve complejo o sencillo,por lo que se tiene un número dife-rente de coeficientes. Estos coeficien-tes deben cumplir con ciertos requisi-tos para ser considerados como wave-lets; una vez cubiertos se dispone deun sistema wavelet.

Cuando se crea un sistema wave-let, se puede utilizar para expandiruna función, que en este caso puedeser una señal o una imagen. El expan-dir esta función significa representartoda su información de interés endiferentes niveles de resolución, esdecir, se hace una descomposición dela información y se reordena. Losdatos contenidos en los diferentesniveles en conjunto son la informa-ción necesaria para reconstruir la fun-ción. Si se calculan los coeficientesusando productos internos, si el siste-ma tiene soporte compacto y si seestablece un grado de dilatación en lafunción de expansión, ésta se simpli-fica.

La condición de soporte compac-to implica que los coeficientes calcu-lados sean un número finito de valo-res diferentes de cero.

En 1985, Stephane Mallat le dio alas wavelets un nuevo salto, ya que ensu trabajo sobre el procesamientodigital de señales descubrió algunasrelaciones entre los filtros espejo encuadratura (QMF - Quadrature MirrorFilter), los algoritmos piramidales ylas bases ortonormales de wavelets.Mallat demostró que el árbol o algorit-mo piramidal puede aplicarse a latransformada wavelet usando los co-eficientes wavelets como los corres-pondientes a un par de filtros QMF.

Inspirado en parte en estos resul-tados, Y. Meyer construyó las prime-ras wavelets no triviales, esto es, quelos coeficientes obtenidos en la solu-

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La característica que se desea queel filtro presente está determinadapor el tipo y número de coeficientesutilizados. La forma general de unsistema lineal invariante en tiempoFIR de salida y[k] a un tiempo k estádada por:

donde h[k] es la respuesta impulsodel sistema, o bien los coeficientesque describen el efecto deseado en elmismo.

La relación que encontró Daube-chies respecto a la implementacióncon filtros FIR fue la siguiente:

La función escalamiento:

es idéntica con respecto a la fór-mula general para un filtro FIR y[k],excepto por un coeficiente (2), inser-tado en la función de escalamiento.Esto indica que la salida solo tomarálos valores pares o impares de la señaltransformada (que correspondería aun submuestreo por 2 o decimación

por 2). Obviamente, en el proce-so inverso se requiere realizar elsobremuestreo por 2.

Las ak corresponden a loscoeficientes que se utilizan paraun filtro FIR pasa-bajas.

De la función básica:

se toma el mismo razona-miento que el anterior.

Las (-1k)ak+1 corresponden alos coeficientes del filtro FIR pasa-altas. Nótese como cambia elsigno de los coeficientes ak res-pecto a la relación (-1k).

[ ] [ ] [ ]nkxkhkyN

n

−= ∑−

=

1

0

( ) ( )∑∈

−=Zk

k ktat 2φφ

( ) ( ) ( )ktat kZk

k +−=Ψ +∈∑ 21 1φ

( ) ( )∑∈

−=Zk

k ktat 2φφ

( ) ( ) ( )ktat kZk

k +−=Ψ +∈∑ 21 1φ

( ) ( )( ) ( )ktt

kttjj

kj

jjkj

−Ψ=Ψ

−=

22

222/

,

2/, φφ

; j,k∈∈Z

2

0

1

1

2

12

2

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∈

∈+

∈+

∈

kZk

k

Zklkk

Zkk

Zkk

aa

aa

a

a

Función de escalamiento

Función básica

Clase de funciones básicas ortonormales

Condiciones que deben cumplir para serun sistema wavelet

Figura 2. Sistema Wavelet

interés permite seleccionar una fre-cuencia o conjunto de frecuenciasdeseadas, mientras que las frecuen-cias restantes son bloqueadas.

Existen diversos tipos de filtros,pero para efectos de este trabajo soloson de interés dos: los filtros pasa-bajas y los filtros pasa-altas. Una ca-racterística general de los filtros esque poseen una o varias frecuenciasde corte, es decir, las frecuencias apartir de donde el filtro limita su rangode funcionamiento.

El filtro pasa-bajas es aquel quebloquea todas las frecuencias mayo-res a la de corte, y permite el paso atodas aquellas menores.

Por el contrario el filtro pasa-altases aquel que bloquea las frecuenciasmenores a la de corte, permitiendotodas aquellas mayores.

La principal característica de losfiltros FIR es el presentar una res-puesta de duración finita a un impulsounitario. Además, se pueden imple-mentar utilizando técnicas recursivasy no recursivas, pero es práctica co-mún la utilización de estas últimas.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∞

−∞=

∞

=

∞

−∞=

Ψ+=l j k

kjl tkjdtlctg0

,,φ

Sistema Wavelet expandiendo una señal g(t).

Los coeficientes se calculan con productos internos.

Si el sistema wavelet tiene soporte compacto y seestablece un limite superior sobre el grado de dilatación,

la ecuación de expansión toma esta forma.

Figura 3. Sistemas Wavelet y expansión defunciones

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫

∫Ψ=⟩Ψ⟨=

=⟩⟨=

dtttggkjd

dtttgglc

kjkj

l

,, |,

| φφ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−

= ∈∈

Ψ+=1

0,,

J

jkj

ZkZll tkjdtlctg φ

ción son diferentes de cero, perosin tener un soporte compacto(que sea un número finito). IngridDaubechies utilizó el trabajo deMallat para construir un conjuntode funciones básicas ortonorma-les wavelet; donde descubrió quela transformada puede ser imple-mentada con un par de filtros deRepuesta a Impulso Finito (FIR –Finite Impulse Response) espe-cialmente diseñados. Este par defiltros FIR son el par QMF señala-do por Mallat.

FILTROS

Un filtro, en procesamientodigital de señales, es un dispositi-vo que a partir de una señal de

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Para la reconstrucción se usan losmismos filtros, pero aplicados en or-den inverso y cambiando el signooriginal.

La forma práctica de observarcomo funciona la transformada wave-let es a través de filtros, especialmen-te con un banco de filtros (un conjun-to ordenado de filtros en cascada)para la transformada wavelet. De estamisma forma se puede modelar elcomportamiento de la transformadawavelet.

TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA

(DWT - DISCRETE WAVELET

TRANSFORM)

El banco de filtros de un nivel parala trasformada wavelet discreta con-siste en dos filtros, uno pasa-bajas yotro pasa-altas, teniendo a la salida decada uno un submuestreador (down-sampler). A la entrada de cada filtro seaplica la señal o imagen a analizar; loscoeficientes están relacionados con la

Figura 4. Respuesta Característi-ca de un Filtro Pasa-bajas

Figura 5. Respuesta Caracterís-tica de un Filtro Pasa-altas

wavelet empleada, mientras que lossubmuestreadores eliminan la mitadde la señal de entrada. Así, a la salidade cada submuestreador se tiene unaseñal reducida de la versión original;la primera contiene una buena aproxi-mación de la señal (salida del filtropasa-bajas), mientras que el filtro pasa-altas genera una señal con los detallesde la imagen original.

De esta forma, la transformadawavelet permite analizar (sintetizar odescomponer) la señal en sub-ban-das, las que al codificarse satisfacen laetapa de Análisis de Codificación Sub-banda

TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA

INVERSA (IDWT-INVERSE DISCRETE

WAVELET TRANSFORM)

Para reconstruir la señal se em-plea la Transformada Inversa Wave-let (IDWT – Inverse Discrete WaveletTransform), en la que a cada sub-banda se aplica un sobremuestreador(upsampler) y el resultado se filtra,sumándose las sub-bandas conformeal orden que se siguió en la descom-posición. La característica de los fil-tros está dada por la wavelet que seempleó en la descomposición; el so-bremuestreo y el filtrado en esta eta-pa son una forma de interpolar losvalores que anteriormente fueron sub-muestreados.

Así funcionaría el esquema paraun sistema con señales en forma uni-dimensional; para el caso de imáge-nes se tendría que aplicar en formabidimensional, es decir, sobre los ejesX y Y. Como se mencionó anterior-mente, una imagen se representa pormedio de pixeles en la computadora;cada pixel está asociado a una colum-na y un renglón.

Para procesar la información deuna imagen se procede como sigue:

primero se aplica la DWT a cada unade las columnas y, posteriormente, alos valores obtenidos se aplicará laDWT para cada uno de los renglones.

Como resultado de la DWT seobtienen cuatro imágenes: Una deellas contendrá los valores de aproxi-mación, es decir, la definición de laforma, el color, y parte de la textura(Imagen a); las otras imágenes corres-ponden a los detalles en forma verti-cal (Imagen v), en forma horizontal(Imagen h) y en forma diagonal (Ima-gen d).

Para reconstruir se aplica la IDWTprimeramente sobre las imágenes a yh, formando una nueva imagen, T0.Después se aplica la IDWT a d y v,generándose D0. Finalmente se apli-ca a D0 y T0, con lo que se obtiene laimagen reconstruida.

En las figuras 6 y 7 se muestranlos procesos DWT e IDWT sobre unaimagen, y en las figuras 8 y 9 laaplicación de dichos algoritmos enuna imagen real.

CARACTERÍSTICAS DE LOS FILTROS

A diferencia de la compresión enaudio, los filtros para codificaciónsub-banda en imágenes no necesitanun alto rechazo fuera de la bandaseleccionada; sin embargo, existenalgunas otras restricciones:

Fase Lineal: En el filtrado regularde imágenes, la necesidad por la faselineal es bien conocida, ya que sin ellala distorsión sobre los bordes es noto-ria. Por esta razón, se requiere el usode filtros de fase lineal en codificaciónsub-banda.

Ortogonalidad: Los filtros orto-gonales tienen la facultad de que,cuando se implementa la transforma-da, ésta es unitaria entre la entrada y

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las sub-bandas. Esta característica per-mite que se conserve la energía sindistorsiones. En el caso no ortogonal,esto no ocurre, por lo que los algorit-mos para designación de bits no pue-den ser usados directamente. Obser-vese que un banco de filtros FIR defase lineal bien diseñado (con un buenrechazo fuera de banda) regularmen-te tiende a ser ortogonal, y por ello seaproxima satisfactoriamente.

Tamaño del filtro: El tamaño delfiltro se refiere al número de coefi-cientes que se necesitan para imple-mentarlo; para filtros grandes se re-quiere de un buen rechazo fuera de labanda o una alta regularidad. Ademásde su complejidad computacional, losfiltros de gran tamaño se evitanusualmente porque tienden a expan-dir los errores de codificación. Porejemplo, los bordes más finos intro-ducen mayor distorsión, ya que loscanales de alta frecuencia son cuanti-zados burdamente. Si los filtros songrandes (y usualmente su respuestaimpulso tiene muchos cambios designo), esto causa un efecto molestoconocido como ringing (introduce unruido periódico) alrededor de los bor-des. Por esta razón, los filtros usados

en compresión sub-banda de audio,tales como los filtros de 32 etapas delongitud, son demasiado largos paracompresión de imágenes; esto haceque se prefieran filtros cortos.

Regularidad: Un filtro ortogonalcon un cierto número de ceros en lafrecuencia de aliasing (p en el caso dedos canales) es llamado regular si susiteraciones tienden a una función re-gular.

La importancia de esta propie-dad para la codificación es que sedivide en dos partes cuando la des-composición es cíclica. Los resulta-dos son interesantes: se desea regula-ridad (el desempeño sin ella es pobre),a la vez que a mayor regularidadmejor compresión.

Si el filtro usado realiza un filtradosuave, al producirse las iteracionesserá menos notable que si se utilizarauna función altamente irregular.

En el caso de los sistemas biorto-gonales, tales como los bancos defiltros FIR de fase lineal, usualmentese enfrenta el caso donde el análisis ola síntesis son regulares, pero no

Señal

Señal A

Señal B

↓↓

↓↓

Señal Reconstruida

Señal A

Señal B

↑↑

↑↑

Figura 6. Representación por medio de un banco de filtros de la DWTy la IDWT

ambos. En tal caso, es preferible usarun filtro regular en la síntesis, por elmismo argumento mostrado anterior-mente. Visualmente, un análisis irre-gular es menos notable que una sínte-sis irregular.

Cuando la descomposición no tie-ne iteraciones, la regularidad no esimportante.

Selectividad de la Frecuencia:Lo que constituye el criterio más sig-nificativo en el diseño de filtros encodificación sub-banda de audio, es lomenos importante en la compresiónde imágenes. El Aliasing, que es elmayor problema en audio, es menosmolesto en la compresión de imáge-nes. El uso de filtros de longitud limitala frecuencia y la selectividad de lamisma. Una ventaja de la selectividadde la frecuencia es que los pesosperceptuales de errores son meno-res, y los errores serán confinados a labanda donde ocurren.

En conclusión, la codificación sub-banda de imágenes requiere de filtroscortos o con pocos coeficientes, quefiltren de una manera suave, conpoca regularidad si la descomposi-ción se va a iterar.

Se tiene la forma de obtener loscoeficientes que convengan a un dise-ño en particular; de hecho, se puedenaplicar los métodos tradicionales parael diseño de filtros FIR, pero paraconsiderar que se están empleandocoeficientes wavelets, estos debencumplir con las condiciones ya cita-das. Existen diferentes tipos de wave-lets, y cada uno presenta ventajas ydesventajas; entre ellos están:

a) Wavelet de Morlet.b) Wavelet del Sombrero Mexicano

(Mexican Hat Wavelet).c) Wavelet de Haar (esta es la más

básica de todas).d) Wavelet de Daubechies.e) Wavelets de Symlets.

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Figura 7. Algoritmo de DWT para Imágenes.

IMAGEN

FILTRADO PB EN EJE X

SUBMUESTREO EN EJE X

FILTRADO PB EN EJE Y

SUBMUESTREO EN EJE Y

FILTRADO PA EN EJE Y


IMAGEN a IMAGEN h

FILTRADO PA EN EJE X

SUBMUESTREO EN EJE X





IMAGEN v IMAGEN d

a

h

v

d

IMAGEN


SOBREMUESTREO EN EJE Y



IMAGEN a IMAGEN h

+

T0





IMAGEN v IMAGEN d

+

D0

SOBREMUESTREO EN EJE X SOBREMUESTREO EN EJE X

FILTRADO PB EN EJE X FILTRADO PA EN EJE X

T0 D0

+

Imagen

Reconstruida

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f) Wavelets de Coiflets.g) Wavelets Biortogonales de fun-

ciones Splines.

En la figura 10 se muestra unatabla con algunas características delos diferentes tipos de wavelets.

Para los fines de este trabajo seutilizaron la wavelet de Daubechies ylos resultados del artículo «WaveletFilter Evaluation for Image Compres-sion» [1], en donde se publicaron loscoeficientes que cumplen con las ca-racterísticas idóneas presentadas; enla Tabla 1 se presenta la transcrip-ción de esta tabla. En la Tabla 2están los coeficientes para la waveletde Daubechies.

CODIFICACIÓN DE LA IMAGEN

Una vez que se ha analizado laimagen y se ha descompuesto en sub-bandas, a estas se les puede codificarcon uno o varios códigos.

La intención de la codificación esencontrar otra forma de expresar lossímbolos con la información de unafuente (en este caso de una imagen),con otros símbolos para emplear unamenor cantidad de información, perosiempre y cuando permita recuperarla información en su forma original.

En la parte de codificación existendos grandes categorías: la Codifica-ción de Longitud Fija y la de LongitudVariable. En la codificación fija cadasímbolo existente en la imagen sereemplaza con el mismo número debits. En este caso es esencial el em-pleo de un buen cuantificador. Unejemplo de esta codificación es elalgoritmo de Lloyd-Max, utilizado paraconstruir una tabla que da el errormínimo de cuantificación en la normade la media cuadrada.

En la codificación de longitud va-riable, se asignan las palabras de có-digo mas cortas a los símbolos másfrecuentes, y las más largas a los demenor frecuencia. Los métodos máspopulares de este tipo son la Codifi-cación Huffman y la Aritmética.

IMPLEMENTACIÓN DEL SISTEMA

La implementación está plantea-da para una tarjeta coprocesadora,para conección al Bus de una micro-computadora (PC); el procesador endicha tarjeta es un DSP (Digital SignalProcessor - Procesador Digital deSeñales) de la familia de Texas Instru-ments, el TMS320C50. Este tipo deprocesadores tiene una arquitectura

dedicada para realizar operacionesaritméticas en un ciclo de máquina,además de realizar transferencias dedatos en un tiempo significativamen-te menor comparado con otros pro-cesadores. Estas características haceidóneo al DSP para el filtrado. Elalgoritmo de codificación sub-bandaque se está implementando requierede varios tipos de filtros, tanto para laetapa de análisis como para la desíntesis.

La imagen a comprimir se en-cuentra en la memoria de la PC anfi-triona, por lo que sé tendrá una re-gión de esta memoria que se mapearácon la memoria compartida de latarjeta huésped. La tarjeta huésped seencargará de comprimir la imagen oprocesar las secciones que se le en-víen. En la figura 11 se tiene undiagrama a bloques del sistema.

La tarjeta tiene dos regiones dememoria RAM: una memoria local,que solo podrá accesar el DSP, y unamemoria compartida que estará ma-peada también en la PC. El mapeo dela memoria compartida del DSP en lamemoria de la PC tiene como objetofuncionar como puente de comunica-ción entre el huesped y el anfitrion.Así, cuando la PC escribe a esta partede la memoria, la información estarádisponible inmediatamente para elDSP. Por otra parte, si el DSP escribedatos en su memoria compartida, laPC podrá acceder a la informacióninmediatamente.

Así mismo, la tarjeta coprocesa-dora se encarga de descomprimir yrecuperar la imagen, para dejarla enmemoria, y que la PC anfitriona seencarge de su presentación.

La computadora huésped realizala lectura, despliegue y almacenaje dela imagen, proporcionando una in-terface amigable para controlar lainteracción entre ella y la tarjetacoprocesadora.

Figura 8. Imagen Original

Figura 9. Imagen en el dominiode la DWT

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La ventaja de utilizar un sistema decoprocesamiento es reducir el tiemporequerido para la realización de ope-raciones matemáticas, en este casomultiplicaciones y sumas; si el siste-ma lo requiere, se puede optimizarpara funcionamiento en tiempo real.

El bus de interconección para latarjeta coprocesadora es tipo PCI,basado en un circuito integrado ( CI )de la empresa AMCC. Este CI pro-porciona toda la circuitería necesariapara el control y decodificación dedirecciones y datos.

Es conveniente señalar que se estátrabajando con imágenes en tonos degrises, ya que es la mejor manera deentender como se implementan estosalgoritmos; existe la posibilidad deimplementarlos para imágenes a co-lor, si se resuelven algunos problemascon la programación.

ARQUITECTURA DEL TMS320C50

El filtrado de señales por cualquiermetodo es la aplicación más comúnde los DSP. Estos no solamente per-miten el diseño de filtros con consis-tencia reproducible y característicasdefinidas, sino que la facilidad y flexi-bilidad de la implementación de unfiltro complejo no tiene paralelo.

La familia TMS320 consiste dedispositivos de 16 bits de punto fijo yde 32 bits de punto flotante; estosprocesadores poseen la flexibilidadoperacional de los controladores dealta velocidad, y la capacidad numéri-ca de los procesadores de arreglo.

Esta familia incluye 6 generacio-nes: C1x, C2x, C3x, C4x, C5x y C6x(la última de reciente aparición). Lasfamilias C1x, C2x y C5x son depunto fijo, y las C3x y C4x son depunto flotante;todas ellas tienen unnúcleo interno de CPU y una ampliavariedad de configuraciones de me-moria y periféricos.

DESCRIPCIÓN GLOBAL DE LA GENERACIÓN

TMS320C5X

La generación C5x consiste de losdispositivos C50, C51 y C53, y eldiseño de su arquitectura está basadoen la del C25. La combinación dearquitectura Hardvard avanzada (bu-ses separados para memoria de pro-grama y memoria de datos), periferi-cos adicionales e incremento de lamemoria en el circuito, y un conjuntode instrucciones altamente especiali-zado, es la base de su flexibilidadoperacional y de su velocidad.

Los dispositivos C5x pueden eje-cutar más de 20 MIPS (millones de

instrucciones por segundo). En la fi-gura 12 se muestran las principalescaracterísticas de esta generación.Además, los procesadores C5x pre-sentan las siguientes característicasfuncionales:

• Tiempo de ejecución de instruc-ciones de punto fijo en un solociclo de 35-/50-ns (28.6/20MIPS).

• Compatibilidad de código fuentecon los dispositivos C1x y C2x.

• Operación basada en memoriaRAM (C50).

• RAM de programa/datos en elcircuito, con un solo ciclo de 9K x16 bits. (C50)

• ROM de arranque integrada de unsolo ciclo de 2K x 16 bits.(C50)

• RAM de datos de acceso dualinterna de 1056 x 16 bits.

• Espacio máximo de memoria ex-terna direccionable de 224K x 16bits (64K de programa, 64K dedatos, 64K de puertos, y 32Kglobal).

• Unidad Aritmético Lógica (ALU),Acumulador (ACC) y Buffer delacumulador (ACCB) de 32 bitscada uno.

• Unidad Lógica Paralela (PLU) de16 bits.

• Temporizador de intervalos conregistros de periodo, de control y

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de conteo para detención de soft-ware, inicio y reset.

• Multiplicador paralelo de 16 x 16bits, con una capacidad de pro-ducto de 32 bits.

• Instrucciones de un solo ciclo paramultiplicar/acumular.

• Ocho registros auxiliares con unaunidad aritmética dedicada paradireccionamiento indirecto.

• Once registros contexto-conmu-tador (registros sombra, shadowregisters) para almacenar regis-tros estratégicos controlados porel CPU durante una rutina de ser-vicio a interrupción.

• Pila de hardware (stack) de ochoniveles.

• Registros de corrimiento circularhacia la izquierda o derecha de 0a 16 bits, y corrimiento de datosincremental de 64 bits.

• Dos buffers circulares direcciona-dos indirectamente para direccio-namiento circular.

• Operaciones de repetición de unasola instrucción y de repeticiónpor bloques para código de pro-grama.

• Instrucciones de movimiento debloques de memoria para mejorarel manejo de programa/datos.

• 64K de puertos paralelos, 16K delos cuales están mapeados en me-moria.

• 16 generadores de estados de es-pera programables por software,para espacios de memoria de pro-grama, datos, y puertos.

• Direccionamiento indexado.• Direccionamiento indexado de bit-

reversing para FFTs de raiz-2.• Generador de reloj interno.

BUS PCI

En la primavera de 1991, IntelCorp. empezó a trabajar sobre el BusPCI, básicamente sobre el nivel desistema, donde el ancho de banda deEntrada/Salida de los buses existen-tes no mantenía la velocidad corres-pondiente a la del CPU; esta veloci-dad continuaba cayendo conformelas nuevas tecnologías estaban dispo-nibles (por ejemplo 486/Pentium/P6, etc). El Bus ISA (Industry Stan-dard Architecture o AT) limita severa-mente la transferencia de datos, mien-tras que los estándares EISA (Exten-ded ISA) y Micro-Canal (MCA, MicroChannel) no habían sido vistos comoun remplazo efectivo o económicopara ISA. Para añadir funcionalidad auna computadora personal por me-dio de tarjetas de expansión, se pre-sentaban varios problemas, tales comoel conflicto de direcciones y de inte-rrupciones (IRQs), obligando a losusuarios a configurar los interrupto-res tanto de la tarjeta como de laconfiguración del sistema.

Bus Ancho Frecuencia en Bits (MHz)

IBM (PC) 8 4.77IBM PC-AT 16 6.8MCA (IBM PS/2) 16/32 10EISA 32 8VL BUS 32 33PCI Bus 32 33

Los objetivos de la creación deeste tipo de bus contemplan no soloun mejor desempeño en cuanto adireccionamiento, sino también la fle-xibilidad de uso. Otros objetivos con-siderados son:

• Alto desempeño, mayor a 100mega bytes (MB) sostenibles.

• Bajo costo (en términos de unabaja cuenta de uso de pines y elpoco uso de lógica de pegamento)

• Fácil de usar (configuración auto-mática)

• Compatibilidad de software

Figura 11. Diagrama Esquematico de la Tarjeta Coprocesadora

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• Control Total de Bus (espacio dedirecciones lineal).

• Interoperabilidad/confiabilidad(Las tarjetas de expansión soncompatibles en cualquier sistemaPCI)

El PCI es un bus síncrono de altodesempeño, que opera tanto para 33o 66 MHz. Para reducir la cuenta totalde pines (y el costo) de implementa-ción, las líneas de direcciones y dedatos están multiplexadas. Los usua-rios pueden definir el direccionamien-to tanto para 32 como para 64 bits,haciendo que los datos también pue-dan definirse de la misma manera.Esta flexibilidad permite varias confi-guraciones:

palabra/reloj transferencia

32 bits/33 MHz 132 MB/s32 bits/66 MHz 264 MB/s64 bits/33 MHz 264 MB/s64 bits/66 MHz 528 MB/s

Las señales están definidas paraactivarse en el flanco ascendente delreloj, exceptuando unas pocas seña-les asíncronas (tal como RESET). Lastransferencias de datos son de longi-tud variable, pudiendo ser definidaspara optimizar la posesión del bus porcualquier otro Master. La latencia delbus está definida en términos de unatransferencia de registro a registrosobre el mismo. La compatibilidad delsoftware está asegurada, ya que noexisten direcciones fijas o peticionesde interrupción para cualquier recur-so de PCI.

La operación del sistema está en

relación con el software y al uso de laconfiguración del espacio de memo-ria y de los comandos, lo cual puedesonar familiar en términos de la arqui-tectura Plug and Play (PnP - Instalar yejecutar). PCI actúa como base parala arquitectura de PnP; el uso de laconfiguración de direcciones no con-sume memoria o espacio de I/O (puer-tos), y permite a un dispositivo PCIsolicitar los recursos que requiere(memoria, puertos, IRQ, etc.) sin eluso de interruptores de configura-ción o intervención del usuario.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIO-NES

La aplicación de nuevas técnicasde procesamiento digital, como laTransformada Wavelet, permite re-solver en forma más sencilla proble-mas que anteriormente parecián pre-sentar mayor complejidad.

Esta nueva herramienta tiene ungran potencial en el campo del proce-samiento digital, ya que no solo seemplea para compresión de señales yde imágenes; también es muy útil enla supresión de ruido, análisis de se-ñales en sismografía y electrocardio-grafía, detección de bordes en imáge-nes, y en general en aplicacionesdonde la Transformada de Fourier noproduce resultados satisfactorios. LaTransformada Wavelet constituye lapuerta de entrada para el campo delAnálisis Multiresolución, donde losresultados obtenidos de la señal en

análisis se presentan con diferentesresoluciones.

El esquema de Codificación Sub-banda es una técnica de compresiónmuy versátil, que no solo sé puedeimplementar con wavelets; de hecho,con diseñar filtros que se ajusten a laaplicación y cumplan con el requisitode ser filtros QMF (Quadrature MirrorFilter) es suficiente. Sin embargo, lasventajas que ofrece la TransformadaWavelet son mayores que las de losfiltros QMF, considerando que loscoeficientes de wavelets se puedenajustar para formar un sistema QMF,sin que se pierdan las característicasde wavelets.

En la parte de codificación existeun criterio documentado para la elec-ción del codificador de cada sub-ban-da. Debido a la complejidad de laimplementación en hardware y losrequerimientos de memoria, se haoptado por la utilización de los forma-tos de compresión GIF y JPG, que serealizan vía software por parte de lacomputadora huésped.

Como trabajo a futuro se planteala implementación de este esquemade compresión, tanto en un DSP demayor capacidad (DSP TMS320C40),como en tecnología de FPGAs (FieldProgrammable Gate Array), así comoel empleo de criterios de codificaciónpara cada sub-banda.

Figura 12. Caracteristicas de la generación C5x de DSP´s

Dispositivo Memoria en chip Puertos I/O Tiempo de cicloRAM ROM (ns)

Datos Datos prog Serie Paralelo+prog

TMS320C50 1k 9k 2k 2 64k 50/35TMS320C51 1k 1k 8k 2 64k 50/35TMS320C53 1k 3k 16k 2 64k 50/35

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REFERENCIAS

[1] John D. Villasenor, BenjaminBelzer and Judy Liao, “Wave-let Filter Evaluation for Ima-ge Compression”, IEEE Tran-sactions on Image Processing,August, 1995.

BIBLIOGRAFÍA

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[12] "Wavelet toolbox". Michel Mi-siti, Yves Misiti, Georges Op-penheim and Jean-Michel Po-ggi. Ed. The Math Works Inc.

Longitud Coeficientes de Filtros (el origen es el coeficiente más a la izquierda, los coeficientes para índices negativos continúan por simetría.)

Regularidad Referencias / Comentarios

H0 9 0.852699, 0.377402, -0.110624, -0.023849, 0.037828 1.068

G0 7 0.788486, 0.418092, -0.040689, -0.064539 1.0701

Buen Desempeño

H0 13 0.767245, 0.383269, -0.068878, -0.033475, 0.047282, 0.003759, -0.008473 1.899 G0 11 0.832848, 0.4481092, -0.069163, -0.108737, 0.006292, 0.014182 20324

H0 6 0.788486, 0.047699, -0.129078 .0701 G0 10 0.615051, 0.133389, -0.067237, 0.006989, 0.018914 2.068

H0 5 1.060660, 0.353553, -0.176777 Diverge G0 3 0.707107, 0.353553 1.000

Coeficientes Enteros1

H0 2 0.707107, 0.707107 0.000 G0 6 0.707107, 0.088388, -.088388 1.000


H0 9 0.994369, 0.419845, -0.176777, -0.066291, 0.033145 0.830 G0 3 0.707107, 0.353553 1.000


H0 2 0.707107, 0.707107 0.000 G0 2 0.707107, 0.707107 0.000

Base de Haar Coeficientes Enteros

1

H0 9 0.544089, 0.296844, 0.041409, 0.056710, 0.040100 1.919 G0 23 1.2680, 0.6337, -0.2967, -0.3712, 0.0072, 0.1098, 0.0116, -0.0212, -0.0027,

etc. 3.437

Alta regularidad, pobre desempeño

1 - Un solo factor de normalización puede ser elegido para hacer todos los coeficientes valores enteros.• - Los filtros 7 y 8 dan un pobre desempeño pero son incluidos para ilustrar los siguientes puntos: el filtro 7 es la

base de Harr y tiene una regulridad de cero. El filtro 8 es un filtro con una alta regularidad pero un desempeñopara la compresión pobre, e ilustra que la regularidad sola no es suficiente criterio para elegir un filtro.

TABLA1.LOS MEJORES BANCOS DE FILTROS PARA COMPRESIÓN DE IMÁGENES CON WAVELETS

22 polibits 2000


TABLA 2.COEFICIENTES PARA LA WAVELET DE DAUBECHIES

sistema de codificación sub-banda de imágenes con wavelets de codificacion... · imagen en blanco...

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