SISTEMA BINARIO

Ingeniera / Escuela de Ingeniera Civil Ambiental / Anlisis Matemtico IV

El 4 de junio de 1996 el cohete no tripulado Ariane 5, lanzado por la Agencia Espacial Europea, explot 40 segundos despus de despegar. Despus de una dcada de desarrollo con una inversin de 7 mil millones de dlares, el cohete haca su primer viaje al espacio. El cohete y su carga estaban valuados en 500 millones de dlares. Un comit investig las causas de la explosin y en dos semanas emiti un reporte. La causa de la falla fue un error de software en el sistema de referencia inercial. Especficamente un nmero de punto flotante de 64 bits, relativo a la velocidad horizontal del cohete con respecto a la plataforma, fue convertido a un entero con signo de 16 bits. El nmero entero result mayor que 32,768, el entero con signo ms grande que puede almacenarse en una palabra de 16 bits, fallando por ello la conversin.

INTRODUCCIN

Dada la finititud de la palabra de memoria de las mquinas, es imposible representar todos los nmeros reales en ella. As, nmeros como /2,1/3 = 0.333..., nmeros muy pequeos (o muy grandes) se manejan usando nmeros que son aproximaciones de ellos, o simplemente no se manejan. Sin embargo, una de las caractersticas ms sobresalientes de los mtodos numricos es el uso de los nmeros reales en clculos extensos. Entonces la pregunta es qu efecto tienen tales aproximaciones en los clculos que hacemos con dichos nmeros, en los resultados que obtenemos e incluso qu nmeros reales pueden representarse con exactitud en la computadora?.

INTRODUCCIN

La forma estndar de representar un nmero real en forma decimal es con una parte entera, un punto decimal y una parte fraccionaria, por ejemplo:

45.67432 o 0.00012534.

Otra forma estndar, llamada notacin cientfica normalizada, en la cual la parte entera es cero y se obtiene al multiplicar por una potencia adecuada de 10. Por ejemplo:

45.67432 = 0.4567432 102

0.0012534 = 0.12534 102.

Nmeros en representacin de punto flotante y su aritmtica

En notacin cientfica normalizada, el primer nmero a la derecha del punto decimal es diferente de cero; en computacin a esta notacin se le llama representacin de punto flotante.

Un sistema computacional representa a los nmeros en punto flotante con las limitaciones que impone una longitud finita de palabra. Una computadora puede tener una longitud de palabra de 64 bits (dgitos binarios) la cual puede representar nmeros binarios en la forma:

2

Donde:

El signo de x ----- ocupa 1 bit.

El signo de m ----- ocupa 1 bit.

El entero m ----- ocupa a lo ms 10 bits, entonces el mximo valor de m que

se puede representar es 210 1 = 1 023.

El nmero q ----- ocupa 52 bits.

Al nmero q se le denomina mantisa y al nmero m se le llama exponente.

Son los nmeros reales = 0. 123 . 10

representables en una computadora denotado por (), que se obtiene cortando la mantisa de x en k cifras. Existen dos formas de efectuar ese corte:

Truncamiento: es la eliminacin de los dgitos a partir de +.

Redondeo: consiste en determinar a a partir de + , si + < , queda sin cambio; en caso contrario aumentamos en uno .

Nmeros de mquina

En el anlisis numrico es importante tener en cuenta que las soluciones calculadas son simples aproximaciones a las soluciones exactas. La precisin de una solucin numrica disminuye en el transcurso de los cmputos.

A fin de analizar un poco este problema se supone que es una aproximacin de y se define el error de aproximacin como = y el error relativo as:

=

, 0

Nmeros de mquina

Ejemplo: