siste - usuarios de...

Estimadas y Estimados participantes,

En esta unidad vamos a hablar sobre los sistemas, su coportamiento con respecto acambios en las variables de entradas y algunos tipos de sistemas. Además vamos autilizar los conocimeintos adquiridos en Matemáticas al usar ecuaciones diferencialespara representar el modelo de un circuito RLC serie. Despues de este repaso,Aprenderemos a usar la Transformada de Laplace como herramienta para hallar lasfunciones de transferencia que representa al sistema.

Definición de Sistema, Proceso y Planta.Definición de Entradas (Variables Manipulada).Definición de Salidas (Variables Controlada).Definición de Perturbacines.Definición de Unidad de Control.Representación de un sistemas utilizando sistema de ecuaciones diferenciales.Uso de la tabla de Transformada de Laplace para representar la función detransferencia.

file:///C:/Documents and Settings/Miguel/Escritorio/USB_OACA/Siste...

1 de 42 07/05/2013 14:59

Conocimientos Previos

Solución de ecuaciones diferencial de 1º y 2º orden.Solución de sistemas de ecuaciones algebraícas.Solución de sistemas de ecuaciones de 2º grado, Método de la resolvente.Solución de sistemas de ecuaciones de orden mayor, Método de Rufinni.Manejo de números reales y complejos.


2 de 42 07/05/2013 14:59

Definiciones

Se puede definir un sistema como un conjunto de elementos que interactúan entreellos. Los sistemas pueden ser muy sencillos, por ejemplo el sistema de un átomo queestá compuesto por electrones, protones y neutrones. Pero los sistemas pueden llegara ser tan complejos que describirlo es imposible. Por ejemplo el sistema Humano.

Con el desarrollo industrial, debido a la máquina de vapor, la automatización fue elprimer objetivo de los ingenieros. El automatizar un proceso de fabricación traíacomo consecuencia aumentar la producción y calidad. Entonces los sistemas deproducción pasaron a ser automatizados. Naciendo la teoría de sistemas de controlalrededor de 1920.

Al principio se intentaba controlar el sistema del motor de vapor, pero cuando seconecto éste en la cadena de producción, ya el control no se aplicaba a sistemas, sinoque se aplicaba a plantas. Por lo tanto, Una planta es un sistema compuesto demáquinas y elementos con la única finalidad de entregar un producto final.

Pero ya los sistemas de control no estaban limitados a pequeñas plantas deproducción, Este crecimiento llevo a los sistemas de control a manejar Procesoscomplejos; por ejemplo la industria química, petroquímica, generación de energía yhasta tráfico de información por internet. Y así ahora se controla pequeños sistemas,plantas y procesos.

Durante este curso, llamaremos indiferentemente como sistema o planta o proceso alconjunto de elementos que deseamos controlar.

Figura 1: Representación en diagrama de bloque de un sitema, planta o proceso


3 de 42 07/05/2013 14:59

Variables de los sistemas

Todo proceso debe tener al menos una salida, Sea el producto final, o un parámetrofísico como velocidad, voltaje, corriente, fuerza, etc. Por otro lado, las plantas oprocesos poseen entradas, a veces varias, por ejemplo una entrada puede ser lamateria prima, la energía eléctrica que alimenta la planta, el combustible, vapor, calor,fuerza, aceleración, etc.

Cuando se desea automatizar o controlar un sistema lo primero que se estudia cual ocuales son las variables que se desean controlar, normalmente estas variables son lassalidas, las cuales queremos que lleguen a un valor esperado. Por ejemplo, temperaturadel agua, voltaje de salida, velocidad, posición, concentración, producto final, calidad,etc. Para realizar el control se observa cual o cuales entradas son las que afectan a lavariable controlada, estas serán conocidas como las variables manipuladas. y alcambiar los valores de estas variables haremos que la variable controlada llegue alvalor deseado. Y no sólo depende si se alcanza el valor deseado, sino cono se llega aese valor. Un ejemplo claro de este concepto son los ascensores o elevadores. Pues sediseña el control para que el ascensor llegue al piso deseado de la manera más rápida,pero no tan rápida para que las personas sientan los efectos de la aceleración cuandoparte y la desaceleración cuando llega al piso. Al mismo tiempo se espera llegar justoal piso y no quedar con un desnivel por encima o por debajo, pues esto podría causaraccidente al ingresar o salir del elevador.


4 de 42 07/05/2013 14:59

Control

Desde tiempo remoto el hombre ha intentado controlar su entorno. La siembra ha sidouna de esas actividades donde el hombre intentó controlar la cantidad de alimento quenecesitaba. Después de observar el comportamiento del clima, la tierra y elcrecimiento de las plantas el hombre decidió cuando y como sembrar para obtener unamayor cantidad de alimentos. Se puede decir que el control consiste en saber cuándoy dónde. Pero también el riego es importante, a que mucha o poco agua puede ser fatalpara el cultivo. Por lo tanto, podemos definir como unidad de control o controlador aldispositivo o ente que ejecuta una serie de reglas con la finalidad de alcanzar unameta. Los tipos de controles pueden ser a lazo abierto o a lazo cerrado.


5 de 42 07/05/2013 14:59

Control a lazo abierto

Se dice que un sistema o planta esta a lazo abierto cuando las entradas no sonafectadas o modificadas por los valores en las salidas de la planta. Un ejemplo deeste tipo de sistemas de control puede ser calentador de agua que usamos a diario ennuestras casas. Tomemos un calentador eléctrico. Cuando lo conectamos a la red deenergía eléctrica y lo encendemos, cuando abrimos la llave del agua, esta comienza apasar a través de una resistencia eléctrica la cual va calentando gradualmente el agua.La temperatura del agua (unas de las salidas que deseamos controlar) dependerá de lacantidad y temperatura del agua (dos de las entradas). si nosotros no incrementamosla potencia de la energía eléctrica o la apertura de la válvula de agua la salida nocambiará. Así el agua podrá salir más caliente o más fría, pero en ningún momento lasentradas cambiaran dependiendo de la temperatura de salida.


6 de 42 07/05/2013 14:59

Control a lazo cerrado

Ahora bien, si colocamos un sensor de temperatura dentro del depósito del aguaconoceremos la temperatura del agua en la salida. Podemos instalar un dispositivo quese encargue de encender y apagar el calentador si el agua está dentro de un rango detemperatura. Por ejemplo; si deseamos agua a 32º Celsius podemos colocar un rangode encendido y apagado de 4 grado, por lo tanto si el agua está por debajo de 30º seenciende el calentador y cuando llegue por encima de 34º se apaga. Con este simplecontrol On/Off unas de las entradas del sistemas se modificará dependiendo delvalor de la salida. La entrada ha cambiado, ya no he una señal de encendido y apagado,sino que es una señal de referencia que tiene el mismo valor fisico que la salidacontrolada. Observe en la simulación del calentador de agua que si cambio lareferencia, la salida de sistema intentará seguir a la entrada. Este tipo de sistemas decontrol se dice que son realimentados.


7 de 42 07/05/2013 14:59

Actividad

Explique la operación a lazo abierto de un sistema de semáforo de un cruce de camino.Cómo se puede implementar un control de tráfico que haga que el sistema sea a lazocerrado.


8 de 42 07/05/2013 14:59

Modelos Matemáticos

Sólo en el siglo 20 se comenzó a estudiar, matemáticamente, el efecto de loscontroles en los procesos. Pero intuitivamente el hombre primero comprendió eldesempeño del proceso que quería controlar, después lo controló utilizando técnicasde ensayo y error. La revolución industrial y la eficiencia en el proceso demanufacturado llevo a ingenieros a intentar conseguir herramientas que permitieranaplicar métodos de control de manera sencillo y seguro. El primer paso fuerepresentar el proceso o planta con un modelo matemático, J. C. Waxwell fue elprimero que implemento un modelo matemático para aplicarlo al control. Hoy díasabemos que si poseemos una buena representación matemática del proceso, ycalculamos un control para dicho modelo, entonces obtendremos un buen control queservirá para el proceso real.

Los Sistemas pueden ser: Lineales o no Lineales, estáticos o dinámicos,Variantes o invariantes en el tiempo.

Utilizaremos la transformada de Laplace para hallar el sistema de ecuacionesdiferenciales que describe un sistema


9 de 42 07/05/2013 14:59

Función de Transferencia

Un proceso físico o planta puede ser descrito con un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias. Tomemos por ejemplo un circuito eléctrico RLC serie. Eseste circuito la entrada será la fuente de voltaje vin(t), la salida del sistema será lacorriente i(t), y los elementos serán el resistor, la bobina y el capacitor (R, L, C).

Aplicando LKV tenemo

Sustituyendo la ley de Amper en cada elemento

Reescribiremos la ecuación integro-diferencial en una ecuación diferencial de 2ºorden al derivar toda la ecuación.

Rescribiendo la siguiente ecuación de manera Salida/Entrada y dejando el termino deorden mayor con coeficiente 1, tenemos:

Por lo tanto, la relación entre las entradas del sistema u(t) y las salidas y(t) puede serescrita en forma de una ecuación diferencial.

donde

De aquí observamos que la planta posee una función de transfeencia que nospuede ayudar a hallar la salida del sistemas conociendo la señal . De estamanera, si conocemos la función de transferencia y la señal de entrada, la salida de laplanta esta dada por la siguiente ecuación:


10 de 42 07/05/2013 14:59

donde el símbolo "*" se conoce como el operador convolución. Observe que parahallar la salida debemos realizar una operación que involucra una integración.


11 de 42 07/05/2013 14:59

Transformada de Laplace

Como recordaréis de las clases de Matemáticas, conseguir la solución de una ecuacióndiferencial de 1º y 2º orden es bastante duro. Utilizaremos una herramienta que nosayudará a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales a partir de soluciones deecuaciones algebraicas. Esta herramienta es la transformada directa e inversa deLaplace.

Para ellos utilizaremos un operador el cual es una variable compleja. Llamaremos aloperador como "s" la cual es una variable compleja que tiene dos componentes: unacomponente real σ y una imaginaria ω. Además tomaremos al operador s como unarepresentación sobre el espacio frecuencia. Al utilizar la transformada de Laplacepodemos representar una función en el tiempo f(t) como una función en la frecuenciaF(s).

Las primeras Transformadas que tendremos son:

Utilizando esta transformada reescribiremos la ecuación diferencial Salida/Entradacomo:

Observe que el resultado obtenido no depende más de derivadas, sino de dospolinomios dependiente de s que son de orden n o m. De esta manera podemosdespejar la variable de salida Y(s).

donde

G(s) será conocida como la función de transferencia del proceso o planta. Note queesta función es una fracción de dos polinomios. Estos polinomios, y en particular eldel denominador, serán estudiados para analizar el sistema y diseñar el control.


12 de 42 07/05/2013 14:59

Circuito RLC

Con la ecuación diferencial obtenida del circuito RLC serie vamos a hallar la funciónde transferencia de la corriente I(s) sobre el voltaje de la fuente Vin(s).

usando la transformada de Laplace con el operador s tenemos

despejando tenemos:

Si deseamos conocer cuanto vale la corriente del circuito RLC simplemente tenemos:

Si sabemos cuál es la transformada de Laplace de Vin(t), después realizamos unamultiplicación en el espacio de la frecuancia, y por ultimos simplemente debemoshallar la transformada inversa de Laplace de I(s), de esa manera resolvemos laecuación diferencial y hallamos i(t).


13 de 42 07/05/2013 14:59

Funciones de una variable compleja

Se dice que G(s) es una función de la variable compleja s, si para cada valor de sexiste uno o más valores correspondientes de G(s). Como s se define con parte real eimaginaria , la función G(s) también está representada por su parte real e imaginariaesto es

donde denota la parte real e representa la parte imaginaria de lafunción G(s).

La función G(s) será una función analítica en una región del plano s si la función ytodas sus derivadas existen en dichas región. Por ejemplo, si observamos lafuncióndel circuito eléctrico RLC, esta función es analítica en cada punto en el pano s,exceptos en dos puntos donde el polinomio divisor de la función se hace cero. En esospuntos la función es infinita.

Los puntos en el plano s donde no la función y sus derivadas no existen se conocencomo las singularidades de una función. Una de las singularidades más común es elpolo. éste juega un papel muy importante en los estudios de las teorías de controlClásica. Un polo es el mínimo factor del polinomio denominador de la función G(s):

Los factores que representan al polinomio en el numerador se conocen como ceros,también utilizados en la teoría de control. Por lo tanto, zi y pi serán puntos en elespacio s importante que representan la función de transferencia. pero estos puntosserán estudiados un poco más adelante en el curso.


14 de 42 07/05/2013 14:59

Definición

Dada la función real f(t) que satisface la condición:

para alguna σ real finita, la transformada de Laplace de f(t) se define como:

o

Transformada de Laplace de

La variable s se denomina el operador de Laplace, que es una variable compleja.observe que la definición de la Transformada va desde t=0 hasta ∞, lo que implica quecualquier información antes de t será desartada. Por lo tanto, la transformada deLaplace solo podrá representar funciones con existencia en el tiempo desde 0 hastainfinito. Tal representación es conocida como causal o simplemente, físicamenterealizable [Kuo, 1996].

Dada la transformada de Laplace , la operación para obtener se denominacomo la transformada inversa de Laplace que se denota por:

la integral de la transformada inversa de Lapace se presenta como:

donde c es una constante real que es mayor que las partes reales de todas lassingularidades de .


15 de 42 07/05/2013 14:59

Teoremas

Multiplicación por una constante: sea una constante y es la transformada deLaplace de . Entonces:

Suma y resta: Sean y las transformadas de Laplace de y ,respectivamente. Entonces:

Diferenciación: sea la transformada de Laplace de , y es el límite de , cuando tiende a 0. La transformada de Laplace de la derivada con respecto al

tiempo de es:

en general, para las derivadas de orden superior de ,

donde denota la derivada de i-ésimo orden de con respeto a , evaluadaen .

Integración : La transformada de Laplace de la primera integral de con respectoal tiempo, es la transformada de Laplace de dividida entre s, esto es:

para la integración de n-ésimo orden:

Traslación en el tiempo : la transformada de Laplace de retrasada en el tiempo es igual a la transformada de lapace de multiplicada por ; esto es:

donde , denota la función escalón unitario que está desplazada en el tiempoa la derecha por .

Teorema del valor inicial: si la transformada de Laplace de es entonces:


16 de 42 07/05/2013 14:59

si el límite existe.

Teorema del valor final: si la transformada de Laplace de es , y si esanalítica sobre el eje imaginario y en el semiplano derecho del plano s, entonces:

El teorema del valor final es muy útil para el análisis y diseño de sistemas de control,más adelante del curso lo usaremos.

Traslación compleja: la transformada de Laplace de multiplicada por ,donde es una constante, es igual a la transformada de Laplace F(s), con sremplazada por ; esto es:

Convolución real (multiplicación compleja): sean y las transformada deLaplace de y , respectivamente, y que , , para ;entonces;

donde el símbolo "*" denota la convolución en el dominio del tiempo.

Convolución compleja o multiplicación real: Utilizando los mismos axiomas delteorema anterior tenemos:

en donde, en este caso, * denota la convolución compleja.


17 de 42 07/05/2013 14:59

Tabla de Transformada de Laplace

A continuación presentamos un tabla de Transformadas comunes de Laplace, Esta tablaes tomada de


18 de 42 07/05/2013 14:59


19 de 42 07/05/2013 14:59

Descargar :Tabla 1


20 de 42 07/05/2013 14:59


21 de 42 07/05/2013 14:59

Descargar Tabla 2.


22 de 42 07/05/2013 14:59

Transformada de Señales de Entradas

La transformada de Laplace posee un par de ventaja con respecto a usar ecuacionesdiferenciales: La primera, es que se transformas ecuaciones diferenciales aecuaciones algebraicas fáciles de manejar y despejar; La segunda es que se resuelvenla solución homogénea y particular al mismo tiempo. En este curso tendremos quelidiar con las señales de entradas a las plantas, así que estudiaremos las señalestípicas y sus transformadas de Laplace.

Antes de comenzar hay algunas consideraciones de notación que debemos tener encuenta:

La transformada de Laplace de una función será representada por letramayúscula .Las funciones en el tiempo serán escritas con letras minúsculas .


23 de 42 07/05/2013 14:59

Escalón Unitario

La señal escalón es una de las más utilizada en control. Ya que se puede construircualquier señal a partir de sumatorias de señales escalón. sea

esta función escalón cumple con todas las propiedades de funciones, por ejemplo:

será la traslación de en 3,5 segundo a la derecha.

Transformada de Laplace:


24 de 42 07/05/2013 14:59

Ejemplo

Ejemplo: gráfique la siguiente función:


25 de 42 07/05/2013 14:59

Impulso

La señal impulso es muy importante, a pesar de solo ser una señal teórica, esta señalsimplemente representa una cantidad de energía finita en un instante de tiempoinfinitesimal. El impulso unitario se representa por y posee energía “uno”, está dadopor:

se puede graficar de la siguiente manera:

Esta señal tiene una gran importancia, ya que por propiedad de la convolución:

Ejemplo; hallemos de manera gráfica la convolución del impulso unitario con

, tenemos la siguiente gráfica:

Observando la ecuación de la convolución se debe realizar la integral desde 0 hasta ,la función sería como agarrar invertirla con respecto al eje Y, e irtrasladándola de izquierda a derecha mientra se multiplica por el "1" que existe en

. Observé el siguiente vídeo:


26 de 42 07/05/2013 14:59

La señal amarilla resulta ser la misma función .

Esta propiedad de la señal impulso podría ser útil para hallar el modelo matemático deuna planta. Si se inyecta una señal impulso en una planta, el resultado queobtendremos a la salida será la respuesta en el tiempo de la planta.

La transformada de Laplace de la señal impulso es:


27 de 42 07/05/2013 14:59

Rampa

La señal rampa unitaria se define como:

en la siguiente figura podemos observar su gráfica

La señal rampa es muy utilizada en sistemas con respuesta lenta. Por ejemplo, laapertura de válvulas industriales son accionadas a través de servomotores. Para evitarsobrepico de corriente y manejo adecuado de la apertura se utiliza este tipo de señalsobre el servo.

Transformada de Laplace de la señal rampa unitaria.

Para hallar esta transformada sin necesidad de utilizar su definición, utilizaremos losteoremas de la transformada para que sea más sencillo. Tomemos la señal escalón yaestudiada y la integraremos.

por lo tanto, si integramos la señal escalón unitario obtendremos la señal rampaunitaria. Utilizando el teorema de integración de la transformada de Laplace:

Así, la transformada de la señal rampa es:


28 de 42 07/05/2013 14:59

Señal polinómica en t

Con las señales antes estudiadas y los teoremas de la transformada de Laplaceencontraremos como representar una función polinómica en función del tiempo.

Debemos recordar que todas las señales que utilizaremos serán causales, que sequiere decir con esto, que sólo existe para valores de .

Comenzaremos estudiando la función parabólica:

Sí integramos la señal rampa tenemos:

aplicando la transformada de la Place en ambos extremos de la ecuación anteriortenemos:

despejando la Transformada de la función parabólica y sustituyendo la transforadade Laplace de la señal rampa.

Donde la parábola es multiplicada por el escalón unitario para asegurar lacausalidad de la señal. Analiticamente hallaremos las transformada de orden lostérminos de orden superior.

Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace tenemos:


29 de 42 07/05/2013 14:59

Señales exponencial y trigonométricas

Recuerde que todas las señales que estamos estudiando presentan la característica decausalidad, es decir, que sólo existe a partir de .

Comencemos con la señal exponencial

donde y son constantes. La transformada de Laplace de esta función está dadopor:

Intentemos realizar esta misma transformada pero utilizando el teorema de traslacióncompleja.

vamos a considerar que la exponencial está multiplicando un señal escalón con altura .

Señal coseno:

Transformada de la señal coseno:


30 de 42 07/05/2013 14:59

Integrando por parte

entonces:

volvemos a aplicar integración por parte para la nueva integral

sustituyendo esta integración y agrupando las integrales

despejando tenemos que:

Encuentre la Transformada de Laplace para la señal seno utilizando integración por parte.

Ayuda:

la Transformada de Laplace es:


31 de 42 07/05/2013 14:59

Transformada Inversa de Laplace

Hemos visto que podemos hallar la salida del sistema representada en el espacio s.Pero en control lo que nos interesa es hallar , su representación en el tiempo.

Como recordaréis en la definición de la transformada de Laplace, la transformadainversa se puede hallar a través de una integral, pero eso os parecerá mucho trabajo,en realidad utilizaremos una tabla de transformadas y trataremos de representar losresultados a partir de sumas de estas transformadas conocidas, esto es aprovechandola propiedad de la suma de la transformada. Ya que la función de Transferencia es unafracción y la salida será representada también por una fracción deberemos aprendera descomponer esta fracción en fracciones parciales simples a las cuales aplicaremosla tabla para hallar su transformada inversa.

Expansión en fracciones parciales:

Cuando la salida de un sistema es hallada mediante la transformada de Laplace y esuna función racional en s, se puede escribir como:

en donde y son polinomios en s. Se supone que el grado de en s esmayor que el de . El polinomio se escribe como:

donde los coeficientes son reales.

El método de fracciones parciales depende del polinomio , para elloencontraremos los factores del polinomio, dígase los polos simples de .


32 de 42 07/05/2013 14:59

Polos Simples

tiene los polos simples:

Tenemos la siguiente ecuación:

donde . Deseamos expandir en fracciones parciales de lasiguiente manera:

El coeficiente se determina de la siguiente manera:

Ejemplo:

Dada la función

hallar la expansión en fracciones simples

los coefcientes se determinan como sigue:

por lo tanto se conviete en:

usando la tabla de las Transformadas de Laplace tenemos


33 de 42 07/05/2013 14:59

Polos de orden múltiple

Tiene polos de orden múltiple:

Si de los polos de son idénticos, o se dice que el polo en es demultiplicidad , se escribe:

. Entonces se puede expandir como:

los coeficientes, , se hallan con el método de polossimples explicados anteriormente. Los coeficientes son hallados de la siguientemanera:

Ejemplo: Dada la salida

utilizar el método de polos de orden múltiple para hallar .

Expandiendo tenemos:

Los coeficientes correspondientes a los polos simple son:

y los coeficientes del polos de tercer orden son:


34 de 42 07/05/2013 14:59

La expansión en fracciones parciales completa es:

Utilice la Tabla de la transformada de Laplace para hallar


35 de 42 07/05/2013 14:59

Polos complejos conjugados simples

Para los polos complejos conjugados simples se puede utilizar el mismo método de lospolos simples. En control estos polos son muy comunes e importante, es por ellosmerecen un tratamiento especial.

Tiene polos complejos conjugados simples:

Usando el método de polo simple los coeficientes de los polos complejos conjugadossimple son:

Ejemplo:

suponiendo que los valores de y son tales que los polos de son complejos.entonces se expande como:

en donde:

y

Los coeficientes se determinan como:

la expansión en fracciones parciales es:

Al utilizar la transformada inversa desde la tabla


36 de 42 07/05/2013 14:59

Solución de Ecuaciones Diferenciales

A continuación resolveremos algunas ecuaciones diferenciales ordinarias linealesutilizando la Transformada de Laplace, Con la ayuda de los teoremas y la tabla detransformadas comunes hallaremos la solución en el tiempo de manera sencilla yrápida. El procedimiento para resolver las ecuaciones diferenciales se detalla acontinuación:

Transformar la ecuación diferencial al dominio de s mediante la transformada deLaplace, utilizando la tabla.

1.

Manipular las ecuaciones algebraicas transformada y resolverla para la variablede salida.

2.

Realizar la expansión en fracciones parciales de la ecuación algebraicatransformada.

3.

Obtener la transformada inversa de Laplace de la tabla.4.


37 de 42 07/05/2013 14:59

Ejemplo 1:

Considere la ecuación diferencial:

Las condiciones iniciales son y . para resolver laecuación diferencial, primero se toma la transformada de Laplace en ambos miembrosde la ecuación:

Al sustituir las condiciones iniciales y despejar , tenemos:

los coeficiente para expandir en fracciones parciales son:

por lo tanto:

Aplicando la transformada inversa de Laplace, al usar la tabla de transformadascomunes, tenemos:


38 de 42 07/05/2013 14:59

Ejemplo 2:

Considere la ecuación diferencial lineal:

Los valores iniciales de y son cero. Al tomar la transformadad deLaplace en ambos miembros de la ecuación diferencial y al resolver , se obtiene:

en donde y . La función la podemos expandir en tresfracciones simples. Pero antes de aplicar este método veamos las tablas detransformada de Laplace, la última transformada de la Tabla A2 cumple con yaque . utilizando la transformada inversa tenemos:

donde y . Así la solución en el tiempo de la ecuación diferenciales:

sustituyendo los valores:


39 de 42 07/05/2013 14:59

Referencia Bibliográfica

Kervin Warwick (1996). An introduction to control systems. 2nd edition.Advanced series in electrical and computer engineering, 8. World ScientificPublishing. ISBN 9789810215637.Karl J. Åström and Richard M. Murray (2008). Feedback Systems: AnIntroduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press. ISBN0-691-13576-2.Katsuhiko Ogata (2001). Modern Control Engineering. Prentice Hall, UpperSaddle River, NJ, 4th edition. ISBN 84-205-3678-4.Benjamin C Kuo (1991). Automatic Control Systems. Prentice Hall, NJ ,6th ed.Englewood Cliffs, ISBN 0-471-13476-7.


40 de 42 07/05/2013 14:59

Créditos

Asesoría Pedagógica Ensamblaje de Recursos

Asdrubal AguileraMiguel Rodríguez

Diseño Instruccional Web Diseño GráficoMiguel Rodríguez

Revisión y EstiloAsdrubal AguileraMiguel Rodríguez

ProgramaciónMiguel Rodríguez

Este Objeto de Aprendizaje es de carácter informativo/educativo y su uso es totalmente gratuito.

Este recurso está bajo una licencia Creative CommonsReconocimiento - No Compercial - Compartir igual a 3.0

Más información en http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es


41 de 42 07/05/2013 14:59

Obra colocada bajo licencia Creative Commons Attribution Non-commercial Share Alike 3.0 License

Sistemas de Control TI-2233


42 de 42 07/05/2013 14:59