sismica 1.2

Ing Sismica UNC-EAP-Ing Civil

1. La ecuacion de movimiento, Planteamiento del proble-ma y metodos de solucion.

1.1. Problema

A partir de la definicion basica de la rigidez, determinar la rigidez efectiva de laprimavera combinado y escribir la ecuacion de movimiento de los sistemas a resorte-masa se muestra en 1,2,3.

Figura 1: Esquema

Solucion

1. Primero analizamos la sumatoria de fuerzas como calculo general del movi-miento para hallar la ecuacion general:

P (t)− (k1 + k2)u = mu (1)

P (t) = mu+ (k1 + k2)u (2)

2. Como vemos el problema ya se soluciono.

1.2. Problema

1. Sabiendo que es el mismo razonamiento de lo anterior dado analizamos yhacemos la

∑ni de resoltes continuos.

2. Como en resortes paralelos solo se suman las k constantes pero ahora tenemosque razonar otra manera tanto en paralelo como en serie.

En paralelo :km = k1 + k2 (3)

En serie :Fske

=Fskm

+Fsk3

(4)

Entonces :ke =(k1 + k2)k3

(k1 + k2 + k3)(5)

1 Christian Salcedo Malaver


Figura 2: Esquema

3. Ahora solo nos falta presentar la formula general.

P (t)− keu = mu (6)

P (t) = mu+ ((k1 + k2)k3

(k1 + k2 + k3))u (7)

1.3. Problema

Consideremos el movimiento libre en el plano xy de un pendulo compuesto queconsiste en la barra rıgida suspension de un punto de la figura (3). La longitud de lavarilla es L y masa m se distribuye uniformemente. la anchura de la barra uniforme by es el espesor n. El desplazamiento angular de la lınea central del pendulo medidodesde el eje y se denota por θ(t).

* Derivar la ecuacion que rige θ(t).

* linealizar la ecuacion para los pequeos θ.

* Determinar la frecuencia natural de las pequenas oscilaciones.



Figura 3: Esquema

Solucion

1. hacemos los calculos de los desplazamiento u = L2 sin(wt) con lo que tenemos

θ(t) = wt.

2. Ahora solo derivamos para complementar con los calculos y hallar u.

u = wL

2coswt. (8)

u = −w2L

2sinwt. (9)

3. Con lo cual tendriamos la siguiente solucion ya pues se tendria que usar elmomento angular en O ya que todos los momentos en un movimiento circularson 0.

mθL2

4+mg(

L

2)θ = 0 (10)

θ +2g

Lθ = 0 (11)

4. Ahora vamos a solucionar el problema con la cual usaremos la forma de hacerinfinitesimal el angulo de giro con la cual atacaremos .

5. Con la cual hallaremos en funcion de otros valores θ o wt lo que significa que



Figura 4: Angulo infinitesimal

debemos encontrar un valor infinitesimal y continuo de w.

mg sin(θ) = F1 (12)x

L= sin(θ) (13)√2g

l= wn (14)

mg

2sinwt = 0 (15)

6. Ahora calculamos la frecuencia en calculo de el caso de los angulos infinitesi-males.

Tn =2π

wnwn =

2π√L√

2g(16)

1.4. Problema

Desarrollar la ecuacion que regulen el movimiento longitudinal del sistema de laFigura 5, la barra se hace E modulo de elasticidad;. su seccion transversal es A ysu longitud es L. ignorar la masa de la barra y U medida de la posicin de equilibrioestatico.



Figura 5: Esquema

Solucion:

1. Como solo actua el axial entonces solo actuaria K = AEL y esto estaria dado

por laK entonces tendriamos:

Fy = mg(K) = mgAE

L(17)

u =gAE

L+ ui (18)

u = ui (19)

u = ui (20)

2. Como no hay amortiguamiento entonces establecemos la ecuacion del sistema:

mui + ku = P (t) (21)

1.5. Problema

Suponiendo que la viga que sin masa, cada sistema se muestra en la figura 6,figura 7 suponiendo que la viga se massiess, cada sistema tiene una sola DOF definecomo la desviacion vertical bajo el peso w. la rigidez a la flexion de la viga es la IEy es la longitud L.

1. Primero hallamos la matriz de rigidez del sistema en ese punto L2

Primera Viga:

[4EIL

6EIL2

6EIL2

12EIL3

](22)

Para la segunda parte de la viga:

[4EIL

6EIL2

6EIL2

12EIL3

](23)

Ahora la general:

4EIL

6EIL2 0

6EIL2

24EIL3

6EIL2

0 6EIL2

4EIL

(24)



Figura 6: Esquema

2. Ahora condensando hallamos la rigidez en ese sentido del grado de libertad 2:

K =96EI

2L3(25)

3. Ahora planteamos la ecuacion general del sistema:

mu+96EI

2L3u = W = mg (26)

1.6. Problema:

Hallar la ecuacion general de la siguiente estructura con los datos dados. Solucion

Figura 7: Esquema

1. Primero hallamos su matriz de rigidez .

Para la 1 parte Viga.K =12EI

L3Para segunda parte de viga:K =

12EI

L3La total seria:K =

24EI

L3(27)

2. Por lo tanto la ecuacion estara dada por lo siguiente:

mu+196EI

L3u = mg = W (28)



1.7. Problema

Derivar la ecuacion de movimiento para el marco se muestra en la Figura 8,la rigidez a la flexion de la viga y columnas es como se ha senalado, la masaconcentrada en el haz es igual, de lo contrario, asumir el marco de masa y elabandono de amortiguacion. al comparar el resultado con la ecuacion, el comentariosobre el efecto de fijacin de base.

Figura 8: Esquema

Solucion

1. Primero hallamos la matriz de rigidez del sistema mostrado

K1 = K3 =

4EIL

6EIL2

2EIL

6EIL2

12EIL3

6EIL2

2EIL

6EIL2

4EIL

(29)

(30)

K2 =

0 0 0

0 4EIL

2EIL

0 2EIL

4EIL

(31)

2. Ahora hallamos el calculo de la matriz global del sistema.

KT

4EIL

6EIL2

2EIL 0 0

6EIL2

24EIL3

6EIL2

6EIL2

6EIL2

2EIL

6EIL2

8EIL

2EIL 0

0 6EIL2

2EIL

8EIL

2EIL

0 6EIL2 0 2EI

L4EIL

Ordenando y condensando quedaria: −→ K∗ =

4EI

L3(32)



3. Ahora planteando la ecuacion de movimiento:

mu+4EI

L3u = P0 (33)

1.8. Problema

Una plataforma rıgida de peso W.

Figura 9: Esquema.

1. Calculamos las K de la plancha general:

Kcol =AE

L=

AE

h√

2(34)

Ke =AE√

2

4mu =

AE

h√

2=AE√

2

hhE0 (35)

2. Vibracion Libre.

2.1. Problema

Una mesa pesada con el apoyo de las patas de acero plano la figura 10. superiodo natural de vibracion lateral es de 0,5 seg. cuando una placa de 50 libras sesujeta a su periodo natural de aflorar en la vibracion lateral es de 0,75 seg. Cualesson el peso y la rigidez lateral de la mesa?



Figura 10: Esquema

Solucion

1. Como tenemos los periodos podemos hallar las velocidades angulares corres-pondientes. √

K

m= wn (36)

2π

wn= Tn

2π

T1= 8,3775 (37)

2π

T2= 12,5663 (38)

(8,3775)2 =K1

m1 + 50g

(39)

(12,5663)2 =K1

m1(40)

m1 =39,49942

g(41)

K1 = (12,5663)239,49942

g(42)

2.2. Problema

una masa m esta en reposo, parcialmente financiado por un resorte y en partepor detener la figura 11. en la posicion indicada, la fuerza del muelle es mg / 2. enel tiempo t = 0 se detiene se rotan, de pronto la liberacion de la masa. determinarel movimiento de la masa.



Figura 11: Esquema

Solucion

1. Tenemos que plantear la ecuacion del sistema.

u = A coswnt+B sinwnt (43)

Para condiciones inicialesu(0)yu(0) (44)

u = u(0) coswnt+u(0)

wnsinwnt (45)

2. Ahora tomamos en cuenta los primeros desplazamientos Kx = mg2 ,con lo

cual tendriamos que nuestro primer desplazamiento para u(0) = mg2K .

u(0) =mg

2K(46)

mw2n(mg

2K) =

mg

2(47)

wn =

√2K

m(48)

u(t) =mg

2Kcos

√2K

mt+ 0 (49)

3. Bueno resolvimos el problema en la ecuacion (49).

2.3. Problema

Una masa m1 cuelga desde un resorte (K) y est en estado de equilibrio. Unasegunda masa m2 desde una altura h y adherirse a m1 sin rebotar. Determinar elmovimiento u(t) desde la posicion de equilibrio de m1 y k.



Figura 12: Esquema.

Solucion

1. Analizamos por cantidad de movimiento con la cual tendriamos los siguientescalculos y referente a la caida libre del objeto B.

v2f = v20 + 2gh (50)

vf =√

2gh (51)∑P0 =

∑Pf (52)√

2ghm1 = (m1 +m2)uf (53)

uf =m1

√2gh

m1 +m2(54)

wn =

√k

m1 +m2(55)

(m1

√2gh

m1 +m2)(

√m1 +m2

k) sinwnt = ut (56)

2.4. Problema

Considere un clavadista pesa 200lb en el final de una tabla de clavado (vigavoladiza) de 3 pies . El clavadista oscila frecuencia de 2hz . Cul es la EI de la tablade voladizo?

1. Analizando por la frecuencia al problema tendriamos por el calculo de las



Figura 13: Esquema

frecuencias.

f =1

wn= 2HZ (57)

wn = 0,5 (58)

u(t) = u(0) coswt+u

wnsinwtu(t) = 3 coswt (59)

u(t)0 = 3piesu = −3(0,5)2 (60)

200lb(−3(0,5)2) + k(3) = 0 (61)

K =50lb

pulg2=

3EI

L3(62)

2.5. Problema

muestra que el movimiento de un sistema de overcritically amortiguado por udesplazamiento inicial u(0) y u la velocidad inicial u(o) es.

u(t) = eξwnt(A1e−wDt +A2e

wDt)

Tambien se puede tomar:wD = wn√ξ2 − 1

A1 =−u(0) + (−ξ +

√ξ2 − 1)wnu(0)

2wDA2 =

u(0) + (−ξ +√ξ2 − 1)wnu(0)

2wD

Solucion

u(t) = eξwnt(A1e−wDt +A2e

wDt) (63)

u(0) = A1 +A2 (64)

u(t) = −ξwne−ξwnt(A1e−wDt + ewDt) + e−ξwnt(−wDA1e

−wDt + wDA2ewDt) (65)

u(0) = ξwn(A1 +A2) + wD(A2 −A1) (66)



De este analisis analizamos la ecuacion 64 y la 66 con la cual tendriamos.

A1 =−u(0) + (−ξ +

√ξ2 − 1)wnu(0)

2wD(67)

A2 =u(0) + (−ξ +

√ξ2 − 1)wnu(0)

2wD(68)


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