“sincronización de temperatura de convección natural en

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

Tema A4. Termofluidos: Control de temperatura

“Sincronización de temperatura de convección natural en cavidades adyacentes controladas termostáticamente.”

Mario Sánchez Lópeza, Rafael Chávez Martínez a,*, Francisco Javier Solorio Ordaz a, Mihir Sen b

aFacultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Av. Universidad 3000, Ciudad Universitaria, CDMX, C.P. 04510, México. bDepartment of Aerospace and Mechanical Engineering,University of Notre Dame, Notre Dame, IN 46556, U.S.A..

*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

La sincronización de oscilaciones auto-sostenidas, como parte de un sistema complejo, ha sido observada en

considerables ejemplos. En el caso particular de sistemas térmicos el fenómeno puede presentarse en equipos industriales

y en el control de temperatura en edificios. El presente trabajo es un estudio experimental sobre la sincronización de

temperatura en dos cavidades adyacentes que comparten una pared común. La temperatura de las cavidades es controlada

independientemente, usando un control termostático on-off. En cada cavidad la temperatura es monitoreada por

termopares, y tiene un calentador eléctrico que prende y apaga como resultados de las oscilaciones en la temperatura.

La transferencia de calor por conducción a través de la pared común produce una interacción térmica entre las cavidades.

Los resultados muestran una sincronización en-fase de las oscilaciones de temperatura y, dependiendo de los parámetros

del sistema, también una diferencia de fase entre ellas.

Palabras Clave: convección natural en cavidades, control termostático, oscilación de temperatura, sincronización térmica, parámetro de orden de

Kuramoto

A B S T R A C T

Synchronization of self-sustained oscillations, as part of a complex system, has been observed in many examples. In the

particular case of thermal systems, the phenomenon can be present in industrial equipment and climate control of

buildings. The present work is an experimental study of the temperature synchronization in two adjacent cavities that

share a common wall. The temperature of the cavities is independently controlled using an on-off thermostatic control. In

each cavity the temperature is measured by thermocouples, each has an electric heater that goes on or off because of the

temperature oscillations. The heat transfer by conduction trough the common wall promotes the thermal interaction

between the cavities. Results show an in-phase synchronization of the temperature oscillations and, depending of the

system parameters, a phase shift between them.

Keywords: natural convection in cavities, thermostatic control, temperature oscillation, thermal synchronization, Kuramoto order parameter.

1. Introducción

La sincronización en-fase de oscilaciones auto-sostenidas, es un fenómeno que puede presentarse en sistemas dinámicos complejos de diferentes tipos. Huygens [1] en el siglo XVII reportó que los péndulos de dos relojes podían, bajo ciertas circunstancias, balancearse “en simpatía”. Desde entonces el fenómeno ha sido observado principalmente en sistemas compuestos de subsistemas interconectados [2-5]. Ha sido identificado en varias ramas de las ciencias naturales, sociales y de ingeniería. En las ciencias naturales se pueden mencionar la sincronización del

destello de las luciérnagas, así como en procesos fisiológicos humanos [6,7]. En las ciencias sociales, un ejemplo es la sincronización de los aplausos de una audiencia al final de un concierto donde se observan tres etapas [8]: en la primera la audiencia aplaude rápidamente sin sincronización, después la frecuencia de los aplausos disminuye y se sincronizan, y finalmente la frecuencia se incrementa y se rompe la sincronización. En ingeniería hay ejemplos de sincronización en sistemas mecánicos [9-14], térmicos [15], eléctricos y electrónicos [16], químicos [17], y en general en sistemas dinámicos

ISSN 2448-5551 TF 79 Derechos Reservados © 2018, SOMIM


complejos [2-4, 18, 19]. En la última década los estudios de sincronización han generado una gran cantidad de información teórica y experimental que ha sido reportada en la literatura. Sin embargo, ha habido poco trabajo experimental sobre sincronización de oscilaciones auto-sostenidas producidas por fuentes de calor. Una excepción es el estudio de la flama de velas, que es conocida por parpadear y oscilar de manera auto-sostenida, ambas atribuidas a la inestabilidad en el flujo ascendente cerca de la base de la flama [20]. Dependiendo de los parámetros geométricos y las condiciones iniciales, el titileo de las velas se puede sincronizar en diferentes formas [21]. Por ejemplo, tres velas en un arreglo triangular pueden exhibir cuatro diferentes modos de sincronización dinámica de la oscilación: en-fase, parcialmente en-fase, rotación y anulación [22]. Otra forma en que las oscilaciones pueden ocurrir en sistemas térmicos es mediante el control activo de la temperatura. Esto es muy común en aplicaciones domesticas e industriales, donde las oscilaciones de temperatura son frecuentes. Una red termo-hidráulica fue estudiada experimentalmente por Cai et. al [23], bloqueo de frecuencia, sincronización en fase y combinaciones de éstas fueron observadas en el flujo de tres circuitos secundarios controlados por termostatos. Otro caso de interés, es el control termostático de la temperatura en recintos, que es muy usado para el control de temperatura en edificios; éste suele ser histerético, es decir, existe una banda muerta de temperatura con un límite inferior y superior que controlan el encendido y apagado de un calentador o unidad de refrigeración, según aplique. Lo anterior lleva a oscilaciones auto-sostenidas de temperatura, por lo que es importante observar la posibilidad de sincronización de las oscilaciones en habitaciones adyacentes. En el pasado esto ha sido estudiado teóricamente usando el método de parámetros concentrados en las cavidades y una transferencia de calor por conducción simplificada entre ellas [24-26]. Varios modos dinámicos han sido predichos: una solución invariante en el tiempo y varios ciclos límite en-fase y fuera de fase. Sin embargo, estrictamente hablando, un análisis completo debe incluir la transferencia de calor por convección natural, la turbulencia en las cavidades y la conducción de calor transitoria en la pared de separación, lo cual es un problema más complejo. En la práctica, los subsistemas no son completamente idénticos, pero debe existir una similitud para que se presente la sincronización. Por esta razón es importante llevar a cabo experimentos de laboratorio bajo condiciones controladas para corroborar los resultados analíticos; siendo este el objetivo del presente trabajo. Pikovsky [19] define el concepto de sincronización como un “ajuste de ritmos de objetos oscilantes debido a su débil interacción”. Dos oscilaciones presentan sincronización en-fase si tienen la misma frecuencia y una diferencia de fase constante entre ellas. La diferencia de fase puede ser cero

(en cuyo caso están en-fase), 180° (anti-fase) u otro valor constante. Por definición, las oscilaciones a diferentes frecuencias no pueden entrar en sincronización. Este es un primer intento de estudiar la sincronización térmica bajo condiciones controladas. Es de interés la sincronización en-fase de oscilaciones de temperatura. Para esto, debe haber al menos dos subsistemas similares con oscilaciones auto-sostenidas que conviertan entradas constantes de energía en oscilaciones de temperatura, y debe haber interacción térmica entre dichos subsistemas. En el problema estudiado aquí hay dos cavidades similares (excepto por las diferencias inevitables en su construcción), controladas termostáticamente y que comparten una pared común. Las cavidades, incluyendo su respectivo sistema de control de temperatura, son los subsistemas. Las oscilaciones de temperatura se deben al control termostático en cada cavidad y la interacción térmica por conducción a través de la pared común. Las propiedades de la pared juegan un importante papel en el problema; si la conducción es muy pequeña las oscilaciones de temperatura en las dos cavidades serán independientes, y si es muy fuerte las temperaturas en las cavidades se comportarán como una sola.

2. Arreglo experimental

El modelo experimental diseñado y construido, consiste en dos cavidades, cada una con un calentador eléctrico y la instrumentación necesaria para la medición de temperatura y un control termostático independiente. Para minimizar la influencia ambiental del laboratorio donde se realizaron los experimentos, el modelo experimental fue instalado en una cámara ambiental.

2.1. Estructura

Las Figs. 1 - 4 muestran los esquemas del arreglo experimental que fue utilizado en el desarrollo de los experimentos. Los componentes de éste se describen a continuación:

Fig. 1. Modelo experimental: cavidades. Los simbolos • indican un termopar.



Cavidad: Las cavidades se muestran en la Fig. 1. Cada una mide internamente 56.3 mm de largo × 50 mm de ancho × 50 mm de alto, con una tolerancia de 0.05 mm. Los subíndices 1 y 2 denotan las variables de las cavidades izquierda y derecha respectivamente. Todas las piezas fueron ensambladas usando silicón para proporcionar un sello hermético. Cada cavidad tiene seis paredes, divididas en tres tipos:

• Pared común: Esta separa a las dos cavidades. En los experimentos realizados consiste en una lámina de cobre de 50 mm de ancho × 50 mm de alto × 0.24 mm de espesor, con una resistencia térmica de aproximadamente 6.4×10-7 m2K/W.

• Pared de calentamiento: Esta pared externa fue manufacturada en acrílico de 6mm de espesor e incorpora un calentador eléctrico. El calentador está compuesto por cinta de nicromel enrollada en una placa de mica de 45 mm de largo × 20 mm de ancho × 0.32 mm de espesor. Cada calentador tiene una resistencia eléctrica total de 1 Ω y es protegida en cada cara por una placa de mica de 50 mm × 25 mm. Para asegurar que el calor producido por el calentador se transfiere al interior de la cavidad, la cara externa de esta pared fue aislada con StyrofoamTM de 10 mm de espesor.

• Pared de acrílico. Cada cavidad tiene 4 paredes de este tipo y están manufacturadas en acrílico de 6 mm de espesor. A través de estas paredes se trasfiere calor del interior de la cavidad a la cámara ambiental.

Termostato: Cada calentador es controlado independientemente por un termostato operado por computadora; el esquema del sistema de control se muestra en la Fig. 2. El hardware del termostato está compuesto de una etapa de control y una de potencia. El primero es un sistema de adquisición de datos que adquiere la temperatura de la cavidad (usando una tarjeta NI PXIe-4353) y genera una señal de control digital (NI PXI-6528) para encender o

apagar el calentador. El segundo es un relevador y una fuente de potencia de precisión (Tektronix-PW4305) que suministra la energía al calentador, el calor generado por el calentador es de 2.70 W. El software de control e interface de usuario del termostato fue desarrollado en LabVIEW TM; éste compara la lectura del termopar con los límites de temperatura superior (TU) e inferior (TL), ambos establecidos por el usuario, y genera una señal de control que se envía al relevador para abrir o cerrar el circuito eléctrico de la etapa de potencia. El calentador se enciende cuando la temperatura cae por debajo de TL, y se apaga cuando supera TU. El software permite escoger el instante en el que cada calentador es activado por primera vez, por ejemplo ambos pueden ser activados al mismo tiempo o la activación de uno de ellos puede producirse al cumplir cierta condición. La computadora del sistema de adquisición de datos corre el programa de control LabVIEW TM y guarda los datos de los experimentos con una taza de muestreo de 1 muestra/s. Los datos adquiridos durante el desarrollo de cada experimento, para cada cavidad son: tiempo t, temperatura de la cámara TC, TU, TL , señal de control y 9 salidas de termopar. Cámara ambiental: Para minimizar los efectos de las variaciones de temperatura y movimientos del aire en el laboratorio, el modelo experimental se colocó en una cámara ambiental que se muestra en la Fig. 3. Esta es un cubo con dimensiones internas de 780 mm por lado, en la cual la temperatura, TC, puede ser controlada de 20°C a 25°C con una variación de ± 0.1°C. Las paredes de este dispositivo son compuestas y están conformadas al exterior por acrílico de 6 mm de espesor y al interior con StyrofoamTM de 50 mm de espesor. La temperatura de la cámara es controlada usando un baño térmico y cuatro elementos de calefacción. En la parte interna superior hay un intercambiador de calor por el cual circula agua desde el baño térmico, a una temperatura de 1°C por debajo de la temperatura deseada en la cámara. TC es corregida por los elementos calefactores, cada uno ubicado en una de las esquinas de la cámara; estos consisten en una resistencia eléctrica y un ventilador de bajo flujo. Cuatro termopares tipo T, representados con el

Fig. 2. Arreglo experimental: sistema de control termostático de temperatura

Fig. 3. Cámara ambiental. Los simbolos • indican un termopar



símbolo •, fueron instalados en diferentes puntos del plano medio vertical, a una distancia de 390 mm desde la pared posterior de la cámara. La temperatura promedio de estos termopares se compara con la temperatura deseada en la cámara para encender o apagar los elementos calefactores. Mediciones: Dentro de cada cavidad hay 9 termopares colocados en un arreglo de 3 × 3, localizados en el plano vertical, paralelo y a 25mm desde la pared posterior de la cavidad, como se muestra en la Fig. 4. Todos los termopares fueron calibrados en el rango de 10 °C a 60 °C con incrementos de 10 °C, para ello la lectura de cada termopar fue comparada contra un termistor de precisión (Omega, ON-401-PP) con una exactitud de 0.1 °C. Después de la calibración las lecturas de los termopares mostraron una desviación estándar de 0.015°C a temperatura ambiente.

2.2. Operación

El procedimiento experimental se detalla a continuación: Controles: Hay diferentes posibilidades para la señal de temperatura de control del termostato: puede ser la temperatura medida por uno de los nueve termopares o un promedio de todos ellos. Con excepción de la sección 4.3, los resultados reportados fueron obtenidos usando el termopar TCA como entrada de control al termostato respectivo, éste se muestra en la Fig. 4. Ejecución: Cada experimento comienza estableciendo TC y esperando el tiempo suficiente hasta que la temperatura dentro de las cavidades sea uniforme y aproximadamente igual a TC. Entonces TL y TU son establecidas en el programa de control de temperatura. A menos que se especifique lo contrario, los experimentos se llevaron a cabo activando los dos calentadores al mismo tiempo. Cada experimento dura el tiempo suficiente para asegurar que las oscilaciones de temperatura alcancen condiciones estables, de 24 horas a 40 horas. La temperatura de las cavidades 1 y 2 se definen como T1(t) y T2(t) respectivamente. Después de cada experimento, el termostato se apaga y se deja que el arreglo experimental

se enfríe a condiciones estables antes de la próxima ejecución.

3. Análisis de las señales

La frecuencia instantánea de una señal periódica f puede ser calculada con el recíproco del periodo τ de cada oscilación de temperatura. Un parámetro importante es la diferencia de fase entre las dos temperaturas, definida como:

∆∅ 2

(1)

donde t1 y t2 son los instantes cuando la temperatura de las cavidades alcanza TU, aunque puede calcularse para cualquier valor fijo ascendente o descendente entre TL y TU. Un valor positivo de Δφ indica que las oscilaciones en la cavidad 1 se adelanta a la cavidad 2, mientras que un valor negativo indica un retraso.

La sincronización de señales dinámicas es comúnmente analizada usando el parámetro de orden de Kuramoto r [14,27]. Este parámetro se calcula obteniendo la transformada de Hilbert de la señal real , obteniendo como resultado una señal analítica compleja , donde √1 . La fase instantánea es definida como

∅

(2)

La diferencia instantánea de fase entre las señales y ! es calculada como: ∆∅ ∅! ∅ (3)

Fig. 4. Posición de los termopares en cavidad 2; termopares TCA y TCB son usados para control en la sección 4.4. Distancias en mm.

Fig. 5 Temperaturas T1(t) y T2(t). —— cavidad 1, - - - - cavidad 2.



donde ϕ1(t) y ϕ2(t) son las fases de la oscilación de la temperatura de la cavidad 1 y 2 respectivamente. Para señales periódicas, las ecs. (1) y (2) dan el mismo resultado, mientras que la ec. (1) no funcionará para señales no periódicas.

El parámetro de orden de Kuramoto r para las dos señales se define como

!"#∅ #∅" (4)

Un valor de r = 1 indica la sincronización de las señales, mientras que r = 0 indica que las señales son independientes.

4. Resultados experimentales

De la Fig. 5 a la Fig. 9 se muestran los datos de un experimento realizado bajo las siguientes condiciones TL = 25 °C, TU = 30 °C, TC = 23°C, y condiciones iniciales T1(0) = T2(0) = 23.15 °C. En la Fig. 5 se puede ver que las temperaturas están sincronizadas desde el inicio del experimento. En la Fig. 6 se muestra la frecuencia instantánea que es constante durante las primeras 30 horas

Fig. 6 Frecuencia de T1(t) y T2(t). —— cavidad 1, - - - - cavidad 2.

Fig. 7 Diferencia de fase ∆ϕ(t), —— cuando la temperatura alcanza TU, - - - - cuando la temperatura alcanza TL

Fig. 8 Diagrama T1 - T2

Fig. 9 Parámetro de orden de Kuramoto r



del experimento y se incrementa significativamente durante las últimas 10 horas.

En la Fig. 7 se puede observar que los valores de Δϕ fluctúan alrededor de +4° indicando que T1(t) se adelanta ligeramente a T2(t). El mismo cálculo fue realizado cuando la temperatura en las cavidades alcanza TL, dando como resultado que Δϕ fluctúe alrededor de 0°, es decir T1(t) y T2(t) están perfectamente sincronizadas. En la Fig. 8 se muestra el diagrama T1(t) – T2(t), las flechas indican el sentido de progreso en el tiempo; es decir, a medida que el tiempo avanza, el punto (T1(t), T2(t)) se desplaza en sentido de las manecillas del reloj alrededor de una geometría “cuadrangular”. El ancho de esta geometría representa la diferencia de fase entre T1(t) y T2(t). Debido a que Δϕ = 0, la geometría cuadrangular se reduce a una línea recta a 45° respecto al eje horizontal. En la Fig. 9 se muestra el parámetro de orden de Kuramoto r cuyo valor es 1 durante todo el experimento.

4.1. Efecto de la temperatura de la cámara ambiental

Para estudiar el efecto de TC sobre la sincronización de la temperatura de las cavidades, se realizaron experimentos con TL = 25 °C y TU = 30 °C. TC fue modificada de 21 °C a 24 °C, con incrementos de 1 °C. Se define una diferencia de temperatura ΔT = TL – TC. El control de temperatura de ambas cavidades fue activado al mismo tiempo.

La Fig. 10 muestra la variación de la frecuencia de oscilación f para los diferentes valores de TC estudiados, a medida que Tc se incrementa f disminuye. Esto se debe a que el calor transferido del interior de las cavidades a la cámara ambiental disminuye con el incremento de ΔT, y como consecuencia los calentadores trabajan menos. En todos los casos las frecuencias de oscilación de las cavidades son

igual, solo para TC = 21 °C la variación de f es menor al 0.2%, esto como consecuencia de las diferencias inherentes en la construcción de las cavidades.

En la Fig. 11 se muestra el diagrama T1 – T2. Para 21 °C las oscilaciones de temperatura presentan un Δϕ = 54°, para TC = 22 °C la dirección de desplazamiento se invierte y la geometría del diagrama se modifica. Para 23 °C y 24 °C el ángulo de desfasamiento disminuye y oscila alrededor de 0°, por lo que el diagrama tiende a formar una línea a 45° respecto al eje X.

Fig. 10 Frecuencia de oscilación f; —— cavidad 1, - - - - cavidad 2. Fig. 11 Efecto de la temperatura de la cámara ambiental; TC = (a) 21 °C, (b) 22 °C, (c) 23 °C, (d) 24 °C

Fig. 12 Condiciones iniciales B1. Tiempo inicial. —— cavidad 1, - - - - cavidad 2.



4.2. Efecto del instante de encendido

En esta sección se analiza el efecto de la secuencia inicial de activación de los calentadores sobre la sincronización, con los siguientes parámetros ΔT = 5 °C y TC = 23 °C. Los siguientes casos fueron analizados: • Caso A: el control de temperatura de ambas cavidades es

activado al mismo tiempo, T1 (0) = T2 (0) = 23.15 °C. • Caso B1: ambos calentadores son activados al mismo

tiempo, T1 (0) = 25 °C, T2 (0) = 30 °C.

• Caso B2: ambos calentadores son activados al mismo tiempo, T1 (0) = 30 °C, T2 (0) = 25 °C.

• Caso C1: el calentador 1 se activa en t = 0, T1 (0) = T2 (0) = 23.08 °C, la cavidad 2 se activa cuando T1 = 30 °C.

• Caso C2: el calentador 2 se activa en t = 0, T1 (0) = T2 (0) = 23.17 °C, la cavidad 1 se activa cuando T1 = 30 °C.

Los resultados del caso A se muestran en la Fig. 6, en la que se observa que la frecuencia de oscilación es similar en las dos cavidades y varía entre 3.65 × 10-4 Hz y 3.7 × 10-4 Hz durante las primeras 30 horas del experimento. Los resultados para el caso B1 se muestran de la Fig. 12 a la Fig. 15. En la Fig. 12 se muestran las primeras quince horas del experimento, periodo durante el cual las oscilaciones de temperatura se sincronizan. Una vez que la temperatura se ha estabilizado, T1 está ligeramente adelantado a T2, como se muestra en la Fig. 13. Posteriormente, la frecuencia de oscilación de cada cavidad se incrementa paulatinamente hasta 3.65×10-4 Hz, que es similar a la presentada en el caso A. En la Fig. 14 se presenta la evolución de f durante todo el experimento. Respecto al ángulo de desfasamiento, la Fig. 15 muestra que T2 (t) inicialmente está retrasada respecto a T1 (t), posteriormente las condiciones se invierten, hasta que Δϕ = -175°; con el transcurso del tiempo Δϕ se incrementa hasta que oscila alrededor de cero.

La Tabla 1 muestra un resumen de los resultados obtenidos para las diferentes condiciones iniciales. Se puede observar que la frecuencia de oscilación es independiente de la condición inicial de activación de los calentadores eléctricos. Hay que resaltar que para todas las condiciones iniciales estudiadas la temperatura de la cavidad 1 esta adelantada a la de la cavidad 2, excepto para el caso A para el que Δϕ = -0.39°.

Fig. 14 Condiciones iniciales B1. Frecuencia de oscilación de la temperatura. —— cavidad 1, - - - - cavidad 2.

Fig. 13 Condiciones iniciales B1. 20 horas después. —— cavidad 1, - - - - cavidad 2. Fig. 15 Condiciones iniciales B1. Ángulo de desfasamiento



El tiempo necesario para alcanzar la condición estable, para todos los casos estudiados, se presenta en la Fig. 16. Para el caso B2, Δϕ no presenta la transición de positivo a negativo resultando en un tiempo de estabilización menor. Para todos los casos estudiados son necesarias 20 horas aproximadamente para alcanzar las condiciones estables.

Tabla 1 – Efecto del instante de activación

Casos f1 × 104 (Hz) f2 × 104 (Hz) Δϕ (°) tS (h)

A 3.68 3.68 -0.39 -

B1 3.70 3.70 1.47 17.5

B2 3.91 3.64 3.09 7.8

C1 3.71 3.63 0.77 20.03

C2 3.71 3.69 3.07 16.96

4.3. Efecto de la señal de control de temperatura

En esta sección el efecto de la señal de temperatura de control del termostato en la sincronización fue estudiada. Como se mencionó en secciones anteriores, nueve termopares fueron instalados en cada cavidad, y cualquiera de ellos puede ser utilizado como señal de control del termostato. Los experimentos fueron realizados bajo las siguientes condiciones: TL = 25 °C, TU = 30 °C y TC = 24 °C. Los casos estudiados fueron:

• Caso D: TCA fue utilizado como señal de control;

T1 (0) = T2 (0) = 24.15 °C. • Caso E: TCB fue utilizado como señal de control;

T1 (0) = T2 (0) = 23.83 °C.

• Caso F: La temperatura promedio de los nueve termopares fue utilizada como señal de control; T1 (0) = T2 (0) = 23.85 °C.

Los resultados para el caso D muestran que la frecuencia instantánea tiene un comportamiento similar en las dos cavidades, con un valor promedio de f = 3.65×10-4 Hz. El diagrama T1 – T2 para estas condiciones se presenta en la Fig. 11(d). La sincronización de las temperaturas es confirmada por el parámetro de orden de Kuramoto r que tiene un valor de 1, como se muestra en la Fig. 17(a).

Para el caso E las temperaturas presentan un desfasamiento entre ellas, que se hace más evidente a medida que transcurre el tiempo. Lo anterior afecta el para metro de Kuramoto r cuyo valor es muy cercano a 1, como se muestra en la Fig. 17(b). La relación f1 / f2 = 1.04, implica que después de 26 oscilaciones de la cavidad 1 y 25 oscilaciones de la cavidad 2 las temperaturas coinciden nuevamente. Para el caso F las frecuencias de oscilación son f1 = 3.35×10-4 Hz y f2 = 3.28 × 10-4 Hz, que da una relación f1 / f2 = 1.02. Para este caso 51 oscilaciones de temperatura de la cavidad 1 y 50 de la cavidad 2 son necesarias para que las temperaturas se superpongan nuevamente; es decir 42 horas aproximadamente, alrededor del doble de tiempo que el caso E. El parámetro de orden de Kuramoto es afectado como se muestra en la Fig. 17(c). La Tabla 2 es un resumen de las frecuencias de oscilación de los tres casos estudiados y las respectivas relaciones f1 / f2. Como se mencionó anteriormente, para el caso E existe un incremento en la diferencia de fases de las oscilaciones de temperatura provocando una mayor interacción térmica

Fig. 17 Parámetro de Kuramoto de orden r, efecto de la ubicación del control de temperatura

Fig. 16 Evolución del ángulo de desfasamiento



entre las cavidades; por lo que el tiempo necesario para alcanzar TL o TU es mucho mayor, es decir, disminuye la frecuencia de oscilación. Por otro lado, a medida que Δϕ disminuye la frecuencia de oscilación se incrementa. Esto modifica la frecuencia de oscilación instantánea, como se muestra en la Fig. 18.

Tabla 2 – Efecto de la señal de control de temperatura

Casos f1 × 104 (Hz) f2 × 104 (Hz) f1 / f2

D 2.75 2.75 1.00

E 3.47 3.32 1.04

F 3.35 3.28 1.02

Al analizar el campo de temperaturas de la cavidad 1, cuando se alcanza TU, la temperatura promedio para el caso D es de 31.47 °C mientras que para los casos E y F son 29.01 °C y 30.0 °C respectivamente. En general, la temperatura medida en todos los puntos de medición de la cavidad es mayor para el caso D. Esto se debe a que el termopar utilizado para controlar el termostato y el calentador eléctrico se encuentran en extremos opuestos de la cavidad, por lo que se necesita tiempo para que el calor transferido por convección desde el calentador llegue al termopar TCA. Esto implica que se necesita más tiempo para alcanzar TL y por tanto su frecuencia de oscilación es menor que para los casos E y F. Por otro lado, se observa una menor distribución de temperatura para el caso F, el cual tiene la mayor relación f1 / f2. Se puede deducir que una distribución

de mayor de temperatura en la cavidad promueve la sincronización de las cavidades, principalmente en la zona cercana a la pared de separación.

5. Conclusión

Desde hace años se sabe que las oscilaciones auto-sostenidas en un sistema compuesto por sub-sistemas acoplados pueden presentar sincronización entre las oscilaciones. Estudios teóricos previos han demostrado que hay razones para creer que puede presentarse la sincronización de la temperatura en dos cavidades conectadas térmicamente, pero a la fecha esta no se ha observado experimentalmente. Los análisis simplificados realizados en las referencias [24 - 26] muestran parte de la física detrás de la oscilación de la temperatura. Sin embargo, aspectos como los patrones de flujo convectivo, responsables del retraso entre la lectura de la temperatura por los termopares y la activación del calentado, no han sido considerados.

El objetivo de este trabajo fue encontrar las condiciones para las cuales se presenta la sincronización térmica. Las dos cavidades construidas fueron manufacturadas tan similares como fue posible y utilizando una pared de separación que favoreciera la interacción térmica entre estas. La oscilación de temperatura en cada cavidad fue inducida por un control de temperatura termostático independiente. Los resultados experimentales confirman la existencia de la sincronización para ciertas condiciones tanto de temperatura como iniciales. Las temperaturas oscilantes se sincronizan con un ángulo de desfasamiento de aproximadamente +4°. Se encontró que la señal de control del termostato afecta la sincronización de las cavidades. Mientras que la condición de encendido inicial de los calentadores no afecta a la sincronización y su frecuencia de oscilación.

Agradecimientos

Agradecemos a DGAPA (UNAM) por el patrocinio del proyecto PAPIIT-IN114216. Los experimentos se llevaron a cabo en el Laboratorio de Investigación en Termofluidos, Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

REFERENCIAS

[1] C. Huygens. Letter to de Sluse. Letter No. 1333 of February 24, 1665, page 241. In Oeuvres Complète de Christiaan Huygens. Correspondence. Vol. 5, pp. 1664-1665. Société Hollandaise des Sciences, Martinus Nijhoff, La Haye, 1673.

Fig. 18 Frecuencia instantánea de la señal de control E. —— cavidad 1, - - - - cavidad 2.



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“sincronización de temperatura de convección natural en

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