simulaciones gravitacionales de n cuerpos

Simulaciones Gravitacionales de N-Cuerpos

Eduardo Jeraldo D.

Departmento de Ciencias FísicasUniversidad Nacional Andrés Bello

16 de Diciembre de 2011

Esquema

1 IntroducciónMarco Teórico.

2 DesarrolloCreación del Programa.Implementación del Programa.Optimización del Programa.

3 Tiempos de Ejecución

4 Conclución

Eduardo Jeraldo (UNAB) Simulación de N-Cuerpos 16/11/2011 2 / 22

Introducción

Contenido




4 Conclución


Introducción Marco Teórico.

Contenido




4 Conclución



Marco Teórico

• ¿Que es una simulación de N-Cuerpos?



Marco Teórico

• ¿Que es una simulación de N-Cuerpos?

DefiniciónUna simulación de N-cuerpos es una simulación de un sistemadinámico de las partículas, por lo general bajo la influencia de lagravedad.



Marco Teórico

• ¿Para que sirve resolver este problema?



Marco Teórico

• ¿Para que sirve resolver este problema?

RespuestaEstas simulaciones se utilizan para estudiar la evolución dinámica delos cúmulos estelares, los procesos de formación, como el proceso deformación de filamentos de galaxias y los halos de galaxias de materiaoscura en la cosmología física.


Desarrollo

Contenido




4 Conclución


Desarrollo Creación del Programa.

Contenido




4 Conclución



Creación del Programa

Para realizar la simulación necesitamos:• Resolver la ecuación:

• Leyes de Newton.• Constantes Unitarias.





• Leyes de Newton.

La ecuación que debemos resolver es la ecuación de Newton.

F = ma





• Leyes de Newton.

Además la fuerza F es la fuerza de interacción entre cuerpos que seencuentran bajo potencial gravitatorio.

Fi =∑i 6=j

Gmimj(ri − rj)∣∣ri − rj

∣∣3





• Constantes Unitarias.

Para no tratar con tantos números, al momento del cálculo, definimosuna manera de que G sea igual a 1. Para esto usamos:

[L]

= α[m][

M]

= β[Kg]






Las siguientes ecuaciones las usamos para la siguiente relación:

[G]= 1

[L]3[

M] [

T]2 = 6,693 ∗ 1011

[m]3[

Kg] [

s]2






Para dejar esto bien implementado, despejamos cuanto tendrá quevaler el tiempo para que G = 1.

[T]=

(α3

6,693β

) 12

∗ 10−112[s]


Desarrollo Implementación del Programa.

Contenido




4 Conclución



Implementaciación del Programa.

• Programa realizado en C.• Usar un integrador de dos pasos.



Implementaciación del Programa.

La parte principal del programa es:

for(j=0;j<N;j++){aa[0][j] = aa[1][j] = aa[2][j] = r = 0.0;for(k=0;k<N;k++){if(k!=j){rx = s[0][j]-s[0][k];ry = s[1][j]-s[1][k];rz = s[2][j]-s[2][k];r1 = 1/(rx*rx + ry*ry + rz*rz);r = sqrt(r1*r1*r1);aa[0][j] -= G*m[k]*rx*r;aa[1][j] -= G*m[k]*ry*r;aa[2][j] -= G*m[k]*rz*r;

}}

}


Desarrollo Optimización del Programa.

Contenido




4 Conclución



Optimización del Cálculo.

Para que la rutina de cálculo sea óptima debemos:• Optimizar el cálculo:

• Cálculo Directo.• Cálculo de parte de las aceleraciones.• Cálculo usando Open MP.





• Cálculo Directo.

La primera rutina realiza un cálculo de manera directa.





• Cálculo de parte de las aceleraciones.

Solo calculamos una parte de la aceleraciones.Gracias a que las aceleraciones representan una matriz de la forma:

0 a12 . . . a1n

a21 0 . . . a2n...

...an1 an2 . . . 0

=

0 a12 . . . a1n

−a12 0 . . . a2n...

...−a1n −a2n . . . 0



Optimización del Cálculo.La programación para el cálculo de la parte superior de la matriz deaceleracion:for(j=0;j<N;j++){r = 0.0;for(k=j;k<N;k++) {ax = ay = az = 0.0;if(k!=j){rx = x[0][j]-x[0][k]; ry = x[1][j]-x[1][k];rz = x[2][j]-x[2][k]; r1 = 1 /(rx*rx + ry*ry + rz*rz);r = sqrt(r1*r1*r1);ax = -G*m[k]*rx*r; ay = -G*m[k]*ry*r; az = -G*m[k]*rz*r;

}aa[0][j] += ax; aa[0][k] -= ax;aa[1][j] += ay; aa[1][k] -= ay;aa[2][j] += az; aa[2][k] -= az;

}}




Para que la rutina de cálculo sea optima debemos:• Optimizar el cálculo:

• Cálculo usando Open MP.

Open MP nos permite realizar el calcular de manera paralela en losnúcleos del computador en que se ejecuta el programa.



Optimización del Cálculo.Agregamos la linea que comienza con #pragma para realizar laparalelización#pragma omp parallel for private(x,y,z,ax,ay,az,k,

rx,ry,rz,r1,r2,r)for(j=0;j<N;j++){x = s[0][j]; y = s[1][j]; z = s[2][j];ax = ay =az = 0.0;for(k=0;k<N;k++){if(k!=j){rx = x-s[0][k]; ry = y-s[1][k]; rz = z-s[2][k];r1 = rx*rx + ry*ry + rz*rz; r2 = r1*r1*r1;r = 1/sqrt(r2);ax -= G*m[k]*rx*r; ay -= G*m[k]*ry*r; az -= G*m[k]*rz*r;

}}aa[0][j] = ax; aa[1][j] = ay; aa[2][j] = az;

}




Para que la rutina de cálculo sea optima debemos:• Optimizar el cálculo:

• Cálculo usando Open MP.

Open MP nos permite realizar el calcular de manera paralela en losnúcleos del computador en que se ejecuta el programa.


Otra paralelización es posible usando la siguiente rutina:#pragma omp parallel forfor(j=0;j<3*n;j++) aa[0][j] = aa[1][j] = aa[2][j] = 0.0;#pragma omp parallel for reduction(+:bb) private(gmj,x,y,z

,ax,ay,az,k,rx,ry,rz,r,r1,r2,f)for(j=1;j<(n/2);j++){gmj = G*mj; x = s[0][j]; y = s[1][j]; z = s[2][j];ax = ay =az = 0.0; for(k=(j+1);k<n;k++){rx = x-s[0][k]; ry = y-s[1][k]; rz = z-s[2][k];r1 = rx*rx + ry*ry + rz*rz;r2 = r1*r1*r1; r = 1/sqrt(r2);f = G*mj*r; ax += f*rx; ay += f*ry; az += f*rz; f = gmj*r;aa[0][k] -= f*rx; aa[1][k] -= f*ry; aa[2][k] -= f*rz;} aa[0][j] += ax; aa[1][j] += ay; aa[2][j] += az;

m = n - j; if(m!=j){gmj = G*mj; ax = ay =az = 0.0;for(k=m+j;k<n;k++){rx = x-s[0][k]; ry = y-s[1][k]; rz = z-s[2][k];r1 = rx*rx + ry*ry + rz*rz;r2 = r1*r1*r1; r = 1/sqrt(r2);f = G*mj*r; ax += f*rx; ay += f*ry; az += f*rz;f = gmj*r; aa[0][k] -= f*rx; aa[1][k] -= f*ry; aa[2][k] -= f*rz;

} aa[1][m] += ax; aa[1][m] += ay; aa[2][m] += az;}}}

Tiempos de Ejecución

Contenido




4 Conclución




Estos son los tiempos de ejecución para una maquina con dosnúcleos:

Figura: Tiempos de ejecución para mil, diez mil y cien mil cuerpos


Conclución

Contenido




4 Conclución


Conclución

Conclusión

• El tiempo del programa, usando Open MP, depende delcompilador y la version de este mismo.

• Se debe explorar bien cual es el integrador mas optimo, y queentrege los resultados mas reales.

• Algunos calculos de la libreria matematica se demoran mas queotros.

• El uso de pow(a,b) demora mas que multiplicar a veces a.• Es mas facil multiplicar que dividir.


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