simulaciÓn eficiente de mecanismos flexibles...

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

SIMULACIÓN EFICIENTE DE MECANISMOS FLEXIBLES

MEDIANTE FORMULACIONES TOPOLÓGICAS

TESIS DOCTORAL

FRANCISCO JAVIER FUNES MARTÍNEZ

Ingeniero Industrial

2015

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

SIMULACIÓN EFICIENTE DE MECANISMOS FLEXIBLES

MEDIANTE FORMULACIONES TOPOLÓGICAS

FRANCISCO JAVIER FUNES MARTÍNEZ

Ingeniero Industrial

Director de Tesis:

D. Javier García de Jalón de la Fuente

Dr. Ingeniero Industrial

Catedrático de Matemática Aplicada

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales

Universidad Politécnica de Madrid

2015

A David y a mis 3 M’s: Mónica, Mave y Mamá (Vega)

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AGRADECIMIENTOS

Quisiera expresar mi profundo agradecimiento a mi director, Javier García

de Jalón, por toda la dedicación prestada para que esta Tesis llegara a su

fin. El desarrollo de ésta ha sido muy largo y complejo, y gracias no sólo a

sus incontables aportaciones, sino también a su incondicional apoyo y es-

fuerzo que ha hecho posible llegar a culminar este proyecto.

Han sido muchos años y durante toda esta travesía hasta llegar, por fin, a

finalizar esta Tesis, han pasado un número muy grande de personas que

han aportado su granito para que saliera adelante. Agradezco a todas las

personas con las que trabajé en el CEIT y que me enseñaron gran parte de

lo que sé de la simulación de sistemas multi-cuerpo y de programación. En

particular quisiera mencionar a mis jefes y compañeros más cercanos du-

rante mi estancia en el área de Mecánica Computacional (“Mecacompu”):

Javier García Izaguirre, Nassouh Chehayeb, Antonio Avello y, muy espe-

cialmente, José Manuel Jiménez Bascones. También quisiera agradecer

toda la ayuda que me ha prestó José Ignacio Rodríguez al inicio de esta

Tesis compartiendo su trabajo conmigo.

Han sido muchos los compañeros de la Escuela aquí en Madrid con los que

he compartido muchas experiencias, escrito artículos y que me han ayuda-

do de una manera u otra hasta llegar aquí: Jesús Vidal, Francisco de Asís

Ribera, Enrique Álvarez, Alfonso Callejo y Andrés Francisco Hidalgo. No po-

dría olvidar a Carlos Vera, director de esta Escuela, por toda la ayuda que

me prestó como tutor. Gracias también a la dirección y a todo el personal

del INSIA en cuyo entorno, aunque casi sin vernos, esta Tesis ha llegado a

término.

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No podría dejar de agradecer todo el apoyo y colaboración a mi compañe-

ro y amigo Patxi Sarasola, que fue quien me inició en este mundo de la si-

mulación, introduciéndome en el CEIT. En estos años ha sido un gran apo-

yo que me ha animado siempre a avanzar en este proyecto lleno de altiba-

jos y me ha aportado mucha información sobre Ansys para poder imple-

mentar los ejemplos de esta Tesis.

Esta Tesis se ha realizado compaginándola con mi actividad laboral en Te-

lefónica, no sin mucha dificultad. No puedo dejar de agradecer a mis com-

pañeros y jefes la flexibilidad que me han prestado para poder llevar esta

tarea a su finalización. En particular agradezco a mis inmediatos superio-

res Susana Calvo, Virginia Burgueño, Felipe Hernández, Jesus “Cuco” Ma-

ganto y Vicente de los Ríos todo su apoyo y comprensión.

Por último y no por ello menos importante, quisiera agradecer a mi mujer

Mónica y a mi hijo David por todo el tiempo que he tenido que dedicar a la

Tesis a su costa y por el apoyo incondicional que siempre me han dado.

También a mis padres, Javier y Vega, que me han apoyado incondicional-

mente a lo largo de este tiempo, velando que en ningún momento flaquea-

ra en el esfuerzo de seguir hasta finalizarla. Gracias también a Cristina

Marcos, mi cuñada, que me ha ayudado en la realización de algunas figu-

ras presentadas en esta Tesis.

iii

RESUMEN

El objetivo de esta Tesis es presentar un método eficiente para la evaluación de sistemas mul-

ti-cuerpo con elementos flexibles con pequeñas deformaciones, basado en métodos topológi-

cos para la simulación de sistemas tan complejos como los que se utilizan en la práctica y en

tiempo real o próximo al real. Se ha puesto un especial énfasis en la resolución eficiente de

aquellos aspectos que conllevan mayor coste computacional, tales como la evaluación de las

ecuaciones dinámicas y el cálculo de los términos de inercia. Las ecuaciones dinámicas se esta-

blecen en función de las variables independientes del sistema, y la integración de las mismas

se realiza mediante formulaciones implícitas de index-3.

Esta Tesis se articula en seis Capítulos. En el Capítulo 1 se realiza una revisión bibliográfica de

la simulación de sistemas flexibles y los métodos más relevantes de integración de las ecuacio-

nes diferenciales del movimiento. Asimismo, se presentan los objetivos de esta Tesis.

En el Capítulo 2 se presenta un método semi-recursivo para la evaluación de las ecuaciones de

los sistemas multi-cuerpo con elementos flexibles basado en formulaciones topológicas y sín-

tesis modal. Esta Tesis determina la posición de cada punto del cuerpo flexible en función de

un sistema de referencia flotante que se mueve con dicho cuerpo y de las amplitudes de cier-

tos modos de deformación calculados a partir de un mallado obtenido mediante el Método de

Elementos Finitos. Se presta especial atención en las condiciones de contorno que se han de

tener en cuenta a la hora de establecer las variables que definen la deformación del cuerpo

flexible.

El Capítulo 3 se centra en la evaluación de los términos de inercia de los sistemas flexibles que

generalmente conllevan un alto coste computacional. Se presenta un método que permite el

cálculo de dichos términos basado en el uso de 24 matrices constantes que pueden ser calcu-

ladas previamente al proceso de integración. Estas matrices permiten evaluar la matriz de ma-

sas y el vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad sin que sea necesario evaluar

la posición deformada de todos los puntos del cuerpo flexible. Se realiza un análisis pormeno-

rizado de dichas matrices con el objetivo de optimizar su cálculo estableciendo aproximaciones

que permitan reducir el número de dichos términos y optimizar aún más su evaluación. Se

analizan dos posibles simplificaciones: la primera utiliza una discretización no-consistente ba-

sada en elementos finitos en los que se definen únicamente los desplazamientos axiales de los

nodos; en la segunda propuesta se hace uso de una matriz de masas concentradas (Lumped

Mass).

iv

Basándose en la formulación presentada, el Capítulo 4 aborda la integración eficiente de las

ecuaciones dinámicas. Se presenta un método iterativo para la integración con fórmulas de

index-3 basado en la proyección de las ecuaciones dinámicas según las variables independien-

tes del sistema multi-cuerpo. El cálculo del residuo del sistema de ecuaciones no lineales que

se ha de resolver de modo iterativo se realiza mediante un proceso recursivo muy eficiente

que aprovecha la estructura topológica del sistema. Se analizan tres formas de evaluar la ma-

triz tangente del citado sistema no lineal: evaluación aproximada, numérica y recursiva. El mé-

todo de integración presentado permite el uso de distintas fórmulas. En esta Tesis se analizan

la Regla Trapezoidal, la fórmula BDF de segundo orden y un método híbrido TR-BDF2. Para este

último caso se presenta un algoritmo de paso variable.

En el Capítulo 5 plantea la implementación del método propuesto en un programa general de

simulación de mecanismos que permita la resolución de cualquier sistema multi-cuerpo defi-

niéndolo mediante un fichero de datos. La implementación de este programa se ha realizado

tanto en C++ como en Java. Se muestran los resultados de las formulaciones presentadas en

esta Tesis mediante la simulación de cuatro ejemplos de distinta complejidad. Mediante análi-

sis concretos se comparan la formulación presentada con otras existentes. También se analiza

el efecto del lenguaje de programación utilizado en la implementación y los efectos de las po-

sibles simplificaciones planteadas. Por último, el Capítulo 6 resume las principales conclusiones

alcanzadas en la Tesis y las futuras líneas de investigación que con ella se abren.

v

SUMMARY

This Thesis presents an efficient method for solving the forward dynamics of a multi-body sys-

tem formed by rigid and flexible bodies with small strains for real-time simulation of real-life

models. It is based on topological formulations. The presented work focuses on the efficient

solution of the most time-consuming tasks of the simulation process, such as the numerical

integration of the motion differential equations and in particular the evaluation of the iner-

tia terms corresponding to the flexible bodies. The dynamic equations are formulated in terms

of independent variables of the muti-body system, and they are integrated by means of implic-

it index-3 formulae.

The Thesis is arranged in six chapters. Chapter 1 presents a review of the most relevant and

recent contributions related to the modelization of flexible multi-body systems and the inte-

gration of the corresponding dynamic equations. The main objectives of the Thesis are also

presented in detail.

Chapter 2 presents a semi-recursive method for solving the equations of a multi-body system

with flexible bodies based on topological formulations and modal synthesis. This Thesis uses

the floating frame approach and the modal amplitudes to define the position of any point at

the flexible body. These modal deformed shapes are obtained by means of the Finite Element

Method. Particular attention has been taken to the boundary conditions used to define the

deformation of the flexible bodies.

Chapter 3 focuses on the evaluation of the inertia terms, which is usually a very time-

consuming task. A new method based on the use of 24 constant matrices is presented. These

matrices are evaluated during the set-up step, before the integration process. They allow the

calculation of the inertia terms in terms of the position and orientation of the local coordinate

system and the deformation variables, and there is no need to evaluate the position and veloc-

ities of all the nodes of the FEM mesh. A deep analysis of the inertia terms is performed in

order to optimize the evaluation process, reducing both the terms used and the number of

arithmetic operations. Two possible simplifications are presented: the first one uses a non-

consistent approach in order to define the inertia terms respect to the Cartesian coordinates

of the FEM mesh, rejecting those corresponding to the angular rotations; the second approach

makes use of lumped mass matrices.

Based on the previously presented formulation, Chapter 4 is focused on the numerical integra-

tion of the motion differential equations. A new predictor-corrector method based on index-3

vi

formulae and on the use of multi-body independent variables is presented. The evaluation of

the dynamic equations in a new time step needs the solution of a set on nonlinear equations

by a Newton-Raphson iterative process. The computation of the corresponding residual vector

is performed efficiently by taking advantage of the system’s topological structure. Three

methods to compute the tangent matrix are presented: an approximated evaluation that con-

siders only the most relevant terms, a numerical approach based on finite differences and a

recursive method that uses the topological structure. The method presented for integrating

the dynamic equations can use a variety of integration formulae. This Thesis analyses the use

of the trapezoidal rule, the 2nd order BDF formula and the hybrid TR-BDF2 method. A variable-

time step strategy is presented for the last one.

Chapter 5 describes the implementation of the proposed method in a general purpose pro-

gram for solving any multibody defined by a data file. This program is implemented both in C++

and Java. Four examples are used to check the validity of the formulation and to compare this

method with other methods commonly used to solve the dynamic equations of multi-body

systems containing flexible bodies. The efficiency of the programming methodology used and

the effect of the possible simplifications proposed are also analyzed. Chapter 6 summarizes the

main Conclusions obtained in this Thesis and the new lines of research that have been opened.

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ÍNDICE

1 Introducción 1

1.1 Simulación de mecanismos flexibles: motivación ......................................................... 1

1.2 Estado del arte y revisión bibliográfica .......................................................................... 2

1.2.1 Simulación de sistemas flexibles ............................................................................ 2

1.2.2 Definición e integración de las ecuaciones dinámicas ......................................... 17

1.3 Objetivos de la Tesis .................................................................................................... 23

2 Método semi-recursivo para sistemas con elementos flexibles 25

2.1 Introducción ................................................................................................................. 25

2.2 Modelización de cuerpos flexibles mediante el sistema inercial flotante................... 26

2.2.1 Modos de deformación ........................................................................................ 28

2.2.2 Condiciones de contorno ..................................................................................... 33

2.2.3 Selección de modos ............................................................................................. 37

2.3 Cinemática del elemento flexible ................................................................................ 39

2.3.1 Cálculo de posiciones ........................................................................................... 39

2.3.2 Cálculo de velocidades ......................................................................................... 40

2.3.3 Cálculo de aceleraciones ...................................................................................... 43

2.4 Dinámica del elemento flexible ................................................................................... 44

2.4.1 Energía cinética .................................................................................................... 44

2.4.2 Energía potencial elástica del elemento flexible ................................................. 48

2.4.3 Fuerzas externas y de volumen ............................................................................ 50

2.4.4 Ecuaciones dinámicas del sólido flexible ............................................................. 53

2.5 Resolución de la simulación dinámica mediante formulaciones topológicas

semi-recursivas ............................................................................................................ 56

2.5.1 Cinemática del mecanismo .................................................................................. 56

2.5.2 Sistemas de cadena abierta ................................................................................. 60

2.5.3 Sistemas de cadena cerrada ................................................................................ 74

viii

2.5.4 Integración de las ecuaciones dinámicas mediante integradores numéricos

explícitos .............................................................................................................. 77

2.6 Ejemplos....................................................................................................................... 80

2.7 Conclusiones ................................................................................................................ 82

3 Cálculo eficiente de los términos de inercia del elemento flexible 83

3.1 Introducción ................................................................................................................. 83

3.2 Descripción del problema ............................................................................................ 84

3.3 Método basado en Integrales Inerciales de Forma ..................................................... 85

3.4 Método propuesto ....................................................................................................... 86

3.4.1 Matriz de masas ................................................................................................... 86

3.4.2 Vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad ................................ 90

3.4.3 Fuerzas de volumen ............................................................................................. 92

3.5 Evaluación por bloques de los términos de inercia ..................................................... 94

3.5.1 Matriz de masas ................................................................................................... 96

3.5.2 Vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad .............................. 100

3.5.3 Caso particular: elementos isoparamétricos ..................................................... 106

3.5.4 Aspectos de implementación del método propuesto ....................................... 107

3.6 Simplificaciones ......................................................................................................... 110

3.6.1 Eliminación de los términos cuadráticos en amplitudes ................................... 110

3.6.2 Formulación no consistente de la matriz de masas ........................................... 111

3.6.3 Formulación de masas concentradas (lumped masses) .................................... 111

3.7 Ejemplos..................................................................................................................... 113

3.8 Conclusiones .............................................................................................................. 113

4 Integración de las ecuaciones dinámicas 115

4.1 Introducción ............................................................................................................... 115

4.2 Integración implícita con proyección de coordenadas independientes .................... 116

4.2.1 Sistemas de cadena abierta ............................................................................... 117

4.2.2 Sistemas de cadena cerrada .............................................................................. 119

4.3 Evaluación eficiente de los términos del sistema de Newton-Raphson .................... 124

4.3.1 Cálculo del residuo ............................................................................................. 124

4.3.2 Evaluación de la matriz tangente ....................................................................... 128

4.4 Aspectos de integración ............................................................................................ 133

4.4.1 Fórmulas de integración .................................................................................... 133

4.4.2 Estimación del error de convergencia ............................................................... 134

ix

4.4.3 Proceso de Newton Raphson modificado .......................................................... 135

4.4.4 Implementación del paso variable ..................................................................... 136

4.5 Ejemplos..................................................................................................................... 137

4.6 Conclusiones .............................................................................................................. 138

5 Implementación y ejemplos 139

5.1 Entorno de simulación ............................................................................................... 139

5.2 Ejemplos considerados .............................................................................................. 142

5.2.1 Cuadrilátero articulado ...................................................................................... 142

5.2.2 Péndulo de cinco barras ..................................................................................... 146

5.2.3 Modelo de vehículo de Fórmula Student........................................................... 151

5.2.4 Turismo con remolque ....................................................................................... 155

5.3 Comparación de los métodos de cálculo de los términos de inercia ........................ 162

5.3.1 Evaluación de la matriz tangente ....................................................................... 162

5.3.2 Cálculo aproximado en los términos de inercia ................................................. 164

5.4 Integración de las ecuaciones dinámicas ................................................................... 166

5.4.1 Comparación entre el método propuesto y el método de la Lagrangiana

Aumentada ......................................................................................................... 167

5.4.2 Fórmulas de integración .................................................................................... 168

5.5 Comparación entre la implementación de Java y C++ ............................................... 169

6 Conclusiones y futuras líneas de investigación 173

6.1 Conclusiones .............................................................................................................. 173

6.1.1 Conclusiones sobre la formulación semi-recursiva para mecanismos

flexibles y la selección de modos de deformación............................................. 173

6.1.2 Conclusiones sobre el cálculo de los términos de inercia .................................. 175

6.1.3 Conclusiones sobre la integración de las ecuaciones dinámicas ....................... 175

6.2 Futuras líneas de investigación .................................................................................. 177

7 Referencias 179

1

Capítulo 1

Introducción

1.1 Simulación de mecanismos flexibles: motivación

Durante los últimos treinta años la simulación de mecanismos ha ido adquiriendo relevancia

en el proceso de diseño y análisis de sistemas complejos en muchos ámbitos de la ingeniería:

automoción, aeronáutica, robótica, biomecánica, máquina-herramienta, etc. Los modelos for-

mados por sólidos rígidos dan resultados muy cercanos a la realidad en un ámbito muy amplio

de situaciones. Sin embargo, existen cada vez más a menudo sistemas multi-cuerpo formado

por sólidos cada vez más ligeros, que pueden tener geometrías esbeltas y que suelen estar

sometidos a grandes cargas o movimientos bruscos que pueden afectar a su deformación y

ésta al movimiento general del sistema. Esto hace necesario la introducción de modelos y mé-

todos que incluyan la flexibilidad de los sólidos como un factor a considerar dentro del proceso

de simulación.

Las aplicaciones especializadas en la simulación de sistemas multi-cuerpo tales como MSC

Adams, FunctionBay RecurDyn y Simulia SIMPACK han incorporado modelos de sólidos flexi-

bles que interactúan con elementos rígidos y que permiten analizar el efecto de los sistemas

no rígidos en el movimiento del mecanismo. Por otra parte, algunas de las principales aplica-

ciones comerciales de cálculo de Elementos Finitos tales como ANSYS y Simulia ABAQUS tam-

bién están incluyendo modelos de cálculo propios, o bien incorporan add-ons que se integran

en la aplicación, o bien disponen de interfaces con aplicaciones externas que permiten simular

cuerpos con geometrías complejas unidos mediante pares cinemáticos con pequeños y gran-

des desplazamientos. También existen aplicaciones específicas de simulación de sistemas mul-

ti-cuerpo que parten de formulaciones basadas en el Método de Elementos Finitos, tales como

el LMS Samtech Samcef Mecano.

El análisis de mecanismos flexibles incluyen muchos aspectos que van desde el grado en que

afectan al movimiento general del sistema multi-cuerpo, la deformación del sólido flexible, el

estado tensional del mismo, cálculo de sensitividades, optimización, etc. La motivación de esta

Tesis se centra en desarrollar un método que permita definir y evaluar de manera eficiente las

ecuaciones dinámicas de sistemas con sólidos flexibles con pequeñas deformaciones e incor-

porarlos en herramientas de simulación en tiempo real (o “próximas” al tiempo real). Basán-

dose en una de las dos formulaciones semi-recursivas presentadas por Jiménez (1993) para los

Introducción

2

sistemas multi-cuerpo formado por sólidos-rígidos, se ha desarrollado una formulación que

permite integrar sólidos flexibles con pequeñas deformaciones. Los términos de inercia se

evalúan a partir de una interpolación no-consistente de velocidades utilizada por Avello

(1995). Se propone un sistema sencillo para evaluar de manera eficiente dichos términos a

partir de la matriz de masas obtenida de manera analítica o mediante una aplicación de Ele-

mentos Finitos convencional. Por último, se presenta un método de resolución de las ecuacio-

nes basado en coordenadas independientes que puede usar una amplia gama de fórmulas de

integración.

1.2 Estado del arte y revisión bibliográfica

1.2.1 Simulación de sistemas flexibles

Existen un gran número de artículos y libros relacionados sobre los cuerpos flexibles y la simu-

lación de dichos sólidos en sistemas multi-cuerpo. Así por ejemplo, Shabana (1997a) clasifica y

describe los avances más relevantes del momento en un artículo que contiene 105 referencias,

Shabana et al. (2007) hace una revisión específica de los métodos de integración de las ecua-

ciones dinámicas de los sistemas flexibles con 71 referencias. Wasfi and Noor (2003) realizan

una revisión pormenorizada de todo lo relacionado con la simulación de sistemas multi-cuerpo

con sólidos flexibles incluyendo nada menos que 865 referencias.

La inmensa mayoría de los artículos estudiados utilizan el Método de Elementos Finitos para

definir la deformación del sólido flexible, si bien existen aproximaciones analíticas o experi-

mentales fundamentalmente orientadas a resolver la dinámica de cuerpos con geometrías

simples. La simulación dinámica de sistemas multi-cuerpo con sólidos flexibles comparte mu-

chos puntos con la dinámica estructural no linear, y pueden encontrarse muchas aportaciones

que son válidas para ambos problemas. Aunque se estudian todos los aspectos relevantes en la

simulación de los sólidos flexibles una buena parte de los artículos se centran en estudiar uno

o varios de los puntos siguientes:

Grandes deformaciones y uso de elementos estructurales: en general todos los méto-

dos permiten trabajar con sólidos formados por elementos cuya posición se define

mediante los desplazamientos 3-D de los nodos definidos, tales como triángulos y cua-

drados en 2-D, y tetraedros, hexaedros y prismas en 3-D. Este tipo de elementos no

presentan problemas por tensiones generadas por movimientos de sólido-rígido y son

aptos para simulaciones en las que el sólido flexible puede sufrir tanto pequeñas como

grandes deformaciones. Sin embargo, los elementos tipo viga o placa son en general

más interesantes de utilizar ya que, entre otras razones, permiten definir de una ma-

nera más sencilla los pares cinemáticos que unen los sólidos entre sí así como las fuer-

zas y momentos que actúan sobre ellos. Los elementos utilizados en la mecánica clási-

ca, como por ejemplo la viga de Euler-Bernouilli, no representan fielmente la deforma-

ción en situaciones de grandes deformaciones. Esto se debe a que en este tipo de ele-

mentos la deformación se considera lineal, prescindiendo de los términos de segundo

orden y superiores que sí son relevantes para este tipo de movimientos. Kane et al.

(1987) presentan un caso de una viga rotatoria en la que se se ponen de manifiesto los

Estado del arte y revisión bibliográfica

3

problemas de no considerar estas no linealidades y constituye una referencia funda-

mental en multitud de artículos y Tesis Doctorales.

Grandes desplazamientos: algunas formulaciones presentan problemas cuando un só-

lido flexible realiza un movimiento de Sólido Rígido, ya que surgen tensiones internas

debidas a inconsistencias en la formulación (Shabana 1998). Por ello se presentan so-

luciones, tanto a nivel de método como mediante la definición de elementos finitos

concretos, para solventar este problema.

Efectos y distorsiones en las deformaciones o las tensiones. Existe una extensa canti-

dad de referencias en las que se diseñan nuevos modelos de elementos que permiten

modelizar efectos dinámicos no lineales. Un ejemplo clásico es la contracción geomé-

trica o foreshortening, que consiste en una contracción axial de un elemento esbelto

sometido a un giro debido al efecto de las deformaciones trasversales sobre el eje lon-

gitudinal, aunque hay otros como la inestabilidad por pandeo. Por otra parte, también

se crean nuevos modelos que intentan evitar efectos negativos que puedan afectar

tanto a los resultados como al rendimiento de la simulación. Un caso habitual de di-

chos efectos que pueden producirse es la sobre-estimación de ciertos esfuerzos (lo-

cking) que en ocasiones se presentan en ciertas formulaciones. Ejemplos de estas si-

tuaciones es la sobre-estimación del esfuerzo cortante (shear locking), sobre-

estimación de esfuerzos de tensión en elementos cáscara sometidos a flexión pura

(membrane locking), relacionados con el módulo de Poisson (volume locking, thickness

locking), etc.

Eficiencia: los métodos de resolución de sistemas flexibles suelen conllevar un número

elevado de variables que definen la deformación y es necesario evaluar términos com-

plejos, por lo que la evaluación del problema dinámico suele ser costoso. Muchos au-

tores plantean nuevos métodos más eficientes para la resolución de las ecuaciones di-

námicas de las formulaciones existentes, o bien se crean nuevas formulaciones optimi-

zadas para su resolución en tiempo real, generalmente circunscritas a pequeñas der-

formaciones.

La clasificación de las distintas formulaciones utilizadas para la simulación de sistemas flexibles

varía según cada autor, y realizar una revisión pormenorizada de las referencias en la simula-

ción de sistemas flexibles excede la finalidad de este capítulo. En esta Tesis se va a resumir el

estado del arte de las formulaciones más utilizadas actualmente según el origen de las que

derivan, incidiendo en los trabajos más relevantes y los más recientes.

1.2.1.1 Formulaciones derivadas del Método de Elementos Finitos

Existen varias formulaciones que provienen de los métodos usados en la dinámica no linear, y

que normalmente están basados en el Método de Elementos Finitos (MEF). Todas ellas se ba-

san en realizar un mallado en los sólidos flexibles que se divide en elementos finitos con geo-

metrías sencillas. Se establecen las ecuaciones dinámicas elemento a elemento ensamblándo-

las en un sistema de ecuaciones global de una manera análoga a la formulación tradicional de

elementos finitos. Los pares cinemáticos que unen los distintos cuerpos del sistema establecen

restricciones geométricas que pueden traducirse bien en la compartición de coordenadas en-

Introducción

4

tre distintos elementos o bien en ecuaciones de restricción. Las formulaciones derivadas de

este método se caracterizan, por regla general, en que la matriz de masas es constante y en

que no existe la matriz de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad. Como contraparti-

da, la matriz de rigideces suele ser altamente no lineal. La diferencia fundamental entre las

diferentes formulaciones de esta familia radica en las distintas variables usadas para definir el

movimiento y deformación del sistema.

La primera formulación, desde el punto de vista cronológico, es la Formulación Inercial, que

algunos autores denominan también Coordenadas Absolutas (Absolute Coordinate Formula-

tion o ACF). Creada en los años 70, es la más parecida al Método de Elementos Finitos clásico

utilizado para el cálculo estructural no linear. El movimiento de cada punto se define en fun-

ción de las funciones de interpolación y del movimiento de los nodos del elemento al que co-

rresponde. La posición de cada nodo se calcula respecto al sistema inercial, por lo que no hay

distinción entre el movimiento de sólido rígido y la deformación. Bauchau (2010) realiza una

explicación pormenorizada del método y define los tipos básicos de elementos usados en esta

formulación. Los trabajos de Simo and Vu-Quoc (1985, 1986a, 1986b, 1986c, 1988) han tenido

mucha repercusión y aparecen en muchos artículos como referencia de esta formulación. En

Simo and Vu-Quoc (1986a) se describen los conceptos básicos de la formulación ACF para una

viga plana con grandes deformaciones que gira en uno de sus extremos y en (1986b) integran

las ecuaciones utilizando la fórmula de Newmark, usando varios ejemplos con distintas confi-

guraciones del elemento viga. Otros artículos de Simo and Vu-Quoc (1986c y 1988) generalizan

la formulación al caso tridimensional. A diferencia de los trabajos anteriores, donde las rota-

ciones nodales se definen mediante ángulos o parámetros de Euler que se calculan en función

de su posición inicial (Lagrangiana Total), los trabajos de la Universidad de Lieja realizados por

Cardona and Geradin (1988) presentan un elemento viga derivado de los artículos anteriores,

en el que las rotaciones se parametrizan mediante un vector rotacional y lo calculan en función

de la posición anterior (Lagrangiana Actualizada), tal como se muestra en la Figura 1.1.

Figura 1.1. Formulación Inercial: elementos viga según el modelo de Cardona and Geradin (1988).

Las formulaciones inerciales suelen estar vinculadas a simulaciones de cuerpos flexibles some-

tidos a grandes deformaciones. Sin embargo, Gerstmayr and Schöberl (2006) aplican dicha


5

formulación para pequeñas deformaciones al prescindir de los términos cuadráticos del tensor

de Green-Lagrange. Con ello se consigue que no sólo la matriz de masas sea constante, sino

que la matriz de rigideces varíe únicamente debido a la rotación del elemento finito. Dicha

rotación puede calcularse en cada instante a partir de la posición de los nodos de dicho ele-

mento. Pechstein et al. (2011) desarrollan esta formulación usando Síntesis de Componentes

para reducir el número de variables que se han de integrar.

Otro método para establecer la orientación de la sección en cada nodo consiste en fijar un

sistema de referencia local en la misma, formado por un punto y tres vectores unitarios. Avello

et al. (1991) presentan una formulación alternativa para cuerpos con pequeñas deformaciones

unitarias y grandes desplazamientos elásticos, que están formulados con elementos viga según

el modelo de Timoshenko. Las ecuaciones dinámicas utilizan penalizadores para considerar las

ecuaciones de restricción.

Otra formulación que deriva del Método de Elementos Finitos es la creada por Shabana (1997b

y 1998), denominada Formulación de Coordenadas Nodales Absolutas (Absolute Nodal Coordi-

nate Formulation o ANCF). La formulación es similar a la anterior. Sin embargo, en vez de utili-

zar rotaciones nodales para definir la posición en los elementos inerciales (vigas, placas), este

método hace uso de las pendientes nodales respecto a los ejes del sistema de referencia iner-

cial. Según demuestran algunos autores como, García-Vallejo et al. (2007), los elementos utili-

zados en la formulación inicial pueden sufrir una tendencia a sobre-estimar ciertos efectos

(locking) tales como el esfuerzo cortante (shear locking) o el módulo de Poisson (Poisson lo-

cking) en situaciones en las que los esfuerzos principales son de flexión. Tanto estos autores

como Gerstmayr el al. (2008) y Matikainen et al. (2012) presentan elementos nuevos de distin-

to tipo, manteniendo la formulación original, pero que no presentan problemas de sobre-

estimación de ninguno de estos efectos. Schwab and Meijaard (2010) proponen otro tipo de

elemento viga para contrarrestar el efecto del esfuerzo cortante. Por su parte Pechstein and

Gerstmayr (2012) presentan un elemento específico tipo viga, derivado del modelo de Euler-

Bernouilli, para movimientos según su eje que puede ser utilizado para sistemas tales como

cintas o correas sometidas a fricción. Generalmente, en elementos unilineales, las pendientes

son utilizadas para establecer la curvatura de la fibra neutra. Nachbagauer and Gerstmayr

(2013), sin embargo, utilizan dichas variables para establecer también la orientación de la sec-

ción deformada. García-Vallejo et al. (2007) crea un método “híbrido” que combina la Formu-

lación ANCF para elementos flexibles y las coordenadas naturales para elementos rígidos en un

mismo formalismo.

Dado que esta formulación evalúa los términos de las ecuaciones dinámicas en función de los

elementos del mallado de cada uno de los sólidos flexibles, la velocidad de cálculo dependerá

del número de elementos finitos que hay en todo el sistema multi-cuerpo. Melanz et al. (2012)

utilizan las últimas técnicas de computación basadas en la paralelización de procesos con pro-

cesadores multi-núcleo y el uso de tarjetas gráficas para evaluar de manera más eficiente esta

formulación. Rong (2014) combina esta formulación con el Método de la Matriz de Transferen-

cia para evaluar más eficientemente las ecuaciones dinámicas mediante un proceso recursivo.

Recientemente, Gerstmayr et al. (2013) realiza una revisión de las aportaciones principales

sobre esta formulación y las distintas vías de desarrollo de la misma, incluyendo más de 130

Introducción

6

referencias. Por otra parte, Bauchau et al. (2014) comparan el modelo del elemento viga de la

Formulación Inercial con el equivalente expresado según la ANCF, concluyendo que ésta última

es menos precisa y que el cálculo es más costoso desde el punto de vista computacional, ex-

tendiendo la misma conclusión para el resto de elementos estructurales.

La tercera de las familias de formulaciones basadas en el Método de Elementos Finitos es la

formulación co-rotacional. La principal característica que la hace diferente a las anteriores es

que hace uso de un sistema de referencia local en cada elemento que forma el mallado de los

sólidos flexibles. El movimiento se descompone en un movimiento de desplazamiento de sóli-

do rígido, definido por el sistema de referencia local respecto al inercial, más otro que define la

deformación de cada punto con respecto dicho sistema de coordenadas local. Este método

deriva del Método de Modos Naturales (Natural Mode Method) planteado por Argyris et al.

(1979) en los años 50 para estática no lineal, en la que separa el movimiento de sólido rígido

de la deformación, que representa mediante una combinación de modos naturales respecto a

un sistema de referencia local dentro de cada elemento. La formulación co-rotacional utiliza el

mismo concepto, aunque la mayor parte de los autores consideran las deformaciones directa-

mente en vez de usar los modos de deformación. Belystschko and Hsieh (1973) desarrollan la

formulación actual para grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones. Crisfield (1990)

define elementos viga para esta formulación a partir del modelo clásico de Euler-Bernouilli.

Figura 1.2. Formulación co-rotacional: elementos viga según el modelo de Li and Vu-Quoc (2010).

Dentro de las formulaciones basadas en el Método de los Elementos Finitos, la formulación co-

rotacional es la que más ha evolucionado desde mediados de los años noventa. Existen abun-

dantes referencias de elementos finitos basados en esta formulación, y que varían según pe-

queñas y grandes deformaciones, el tipo de sistema de referencia utilizado, efectos considera-

dos tales como el esfuerzo cortante o la contracción geométrica, etc. Un factor diferenciador

de los elementos encontrados en la revisión bibliográfica es la posición y orientación del siste-

ma de referencia local: hay casos en el que éste puede ser ortogonal o bien estar definido me-

diante varios nodos del elemento; la posición del origen del sistema puede ser fija en un nodo

o bien estar situado mediante referencias geométricas según el elemento tales como centroi-

des o en la mitad de un segmento que una dos nodos concretos; la orientación de los ejes


7

igualmente puede ser fija o estar referenciada a características geométricas del elemento con-

creto. Asimismo, también es posible encontrar elementos con varios sistemas de referencia

locales para definir grandes deformaciones. Ejemplos recientes son los de Li and Vu-Quoc

(2007) para elementos placa triangulares y grandes deformaciones, Li et al. (2008) para ele-

mentos placa cuadrados, Li and Vu-Quoc (2010) para elementos viga en el que se definen tres

sistemas de referencia locales.

1.2.1.2 Formulaciones derivadas de métodos de simulación multi-cuerpo

Las formulaciones de simulación de sistemas rígidos multi-cuerpo han evolucionado para in-

corporar sólidos flexibles. La gran mayoría de ellas se basan en el Sistema de Referencia Flo-

tante (Floating Frame Reference o FFR). En éste el movimiento de cada punto del sólido flexi-

ble se descompone en dos: por una parte se define un movimiento de sólido rígido arrastrado

por un sistema local del sólido y, por otra, la deformación elástica de cada punto se establece

con respecto al sistema de referencia local. A diferencia de la formulación co-rotacional, que

define un sistema de coordenadas para cada elemento finito, en el sistema de Referencia Flo-

tante el sistema de coordenadas es único para todo el sólido. Las dos grandes ventajas de esta

formulación son que se integra de manera muy sencilla en las formulaciones clásicas de siste-

mas multi-cuerpo y que además es sencillo combinar elementos rígidos y flexibles en el mismo

sistema. Al contrario a las formulaciones basadas en el MEF, la matriz de masas y el vector de

fuerzas de inercia del sólido flexible son altamente no lineales, mientras que la matriz de rigi-

dez es constante.

Las formulaciones basadas en el Sistema de Referencia Flotante pueden ser clasificadas según

el tipo de variables usadas para definir la posición de cada sólido según las formulaciones clási-

cas equivalentes de sólido rígido: coordenadas de punto de referencia, coordenadas naturales

y coordenadas relativas.

Figura 1.3. Sistema de Referencia Flotante.

Las coordenadas de punto de referencia permiten establecer la posición del sistema local de

cada cuerpo según del origen del mismo respecto al sistema de referencia inercial y su orienta-

Introducción

8

ción según un conjunto de ángulos o parámetros. La unión entre los distintos sólidos se lleva a

cabo mediante ecuaciones de restricción que provienen de las restricciones geométricas de los

pares cinemáticos que los unen entre sí. Esta formulación se detalla en el libro de Nikravesh

(1988) para sólidos rígidos en los que la orientación de cada sistema local viene definida por

parámetros de Euler. Los sólidos flexibles se integran en esta formulación de manera muy sen-

cilla y directa, añadiendo al formalismo únicamente las variables de deformación y la flexibili-

dad del mismo en forma de fuerzas elásticas. Este tipo de coordenadas es utilizado por la apli-

cación Adams, que es el principal programa de resolución de mecanismos del mercado, y que

establece la orientación del sistema de coordenadas local de cada cuerpo en función de los

ángulos de Euler.

Las coordenadas naturales, descritas en detalle por García de Jalón and Bayo (1993), aprove-

chan los puntos y vectores definidos en los pares que unen cada elemento para crear el siste-

ma de referencia local. Estas coordenadas, al estar compartidas por varios cuerpos, permiten

establecer un conjunto de variables sensiblemente menor que en la formulación anterior, con

lo que la hace más eficiente. Como contrapartida, las ecuaciones de restricción no sólo se ge-

neran en los puntos y vectores compartidos de los pares, sino también en el propio sólido con

el fin de asegurar que la orientación de los ejes del sistema de referencia local se mantenga fija

con respecto a éste.

Por último, las coordenadas relativas permiten establecer la posición de cada cuerpo en fun-

ción de otro al que está unido por un par mediante los grados de libertad de dicho par. Esta

formulación suele ser la más eficiente ya que permite establecer un conjunto mínimo de varia-

bles. Para establecer la relación entre los distintos sólidos del sistema multi-cuerpo es necesa-

rio definir una estructura topológica de lazo abierto que permita evaluar la posición y orienta-

ción de los distintos sólidos en función del anterior. Sin embargo, la mayor parte de los meca-

nismos poseen lazos cerrados que no permiten esta relación biunívoca. Para solventar este

problema las formulaciones basadas en coordenadas relativas obligan a abrir dichos lazos eli-

minando ciertos pares para establecer un árbol topológico, e imponen ecuaciones de restric-

ción que permiten respetar todas las relaciones geométricas de los mismos.

Generalmente los métodos basados en coordenadas de punto de referencia o en las coorde-

nadas naturales se agrupan en los denominados métodos globales, ya que las ecuaciones di-

námicas se evalúan de manera conjunta, ensamblando los términos sólido a sólido y par a par,

y resolviéndolos de una sola vez, sea cual sea la topología del sistema. Por otro lado, los méto-

dos que utilizan las coordenadas relativas se denominan métodos recursivos o topológicos,

puesto que los términos de cada sólido o par se calculan recorriendo el árbol topológico con-

creto según el cual se ha definido el sistema multi-cuerpo.

Métodos globales

Son and Haug (1980) establecen uno de los primeros métodos basados en el sistema de refe-

rencia flotante. La geometría del sólido flexible respecto al sistema de referencia local se defi-

ne usando los nodos del mallado del Método de Elementos Finitos. Las principales aportacio-

nes provienen de A.A. Shabana, que en Shabana and Wehage (1983), Agrawal and Shabana


9

(1985) y Shabana (1998), establecen el desarrollo básico sobre el que fundamentan multitud

de trabajos posteriores.

Uno de los puntos más complejos de la formulación FFR consiste en definir la matriz de masas

y el vector de fuerzas inerciales dependientes de la velocidad en función de las coordenadas

que definen el sistema de referencia local y las variables que establecen la deformación del

sólido flexible. Shabana (1991) establece las Integrales Inerciales de Forma, que son unas ma-

trices constantes que permiten evaluar de manera eficiente los términos de inercia en función

de dichas matrices, de la posición y rotación del sistema local y de las coordenadas nodales

que definen la deformación del sólido. Las Integrales Inerciales de Forma pueden calcularse a

partir de la matriz de forma que define la deformación del sólido. Shabana establece cinco

tipos distintos de integrales inerciales de forma, que suponen un total de 16 matrices distintas

para el caso plano y 29 para el problema espacial.

En el caso de utilizar el MEF para definir la deformación local del sólido flexible, Shabana

(1998) establece un Sistema de Coordenadas Intermedio del Elemento, un concepto similar al

Teorema del eje paralelo. Este concepto consiste básicamente en establecer un sistema de

referencia en cada elemento finito paralelo al sistema local del sólido al que pertenece. Me-

diante rotaciones respecto a dicho sistema y la utilización de matrices booleanas es posible

ensamblar las distintas matrices inerciales de forma de cada elemento en un conjunto único

común a todo el sólido flexible. Este proceso se hace una sola vez, en un paso previo a la inte-

gración de las ecuaciones dinámicas, y tiene la ventaja de hacer que los términos de inercia

dependan de sólo siete integrales inerciales de forma para el caso espacial. Sherif and Nachba-

gauer (2015) describen todos los términos necesarios para evaluar exactamente las fuerzas de

inercia dependientes de velocidad, constantando el alto coste computacional que conlleva

dicho término.

Las coordenadas naturales permiten compartir puntos y vectores definidos en los pares para

definir el sistema de referencia local de los sólidos a los que unen. Las primeras referencias

para mecanismos con sólidos flexibles son las de Vukasovic (1990) y Vukasovic et al. (1993),

que utiliza un punto y dos vectores para definir el sistema de referencia local. Cuadrado (1993)

y Cuadrado et al. (1996) utilizan puntos y vectores en los pares cinemáticos que pueden de-

formarse con respecto al sistema local y que, al ser compartidos, establecen las ecuaciones de

restricción. Avello (1995), por su parte, utiliza un punto y un conjunto rígido de tres vectores

ortogonales en los pares. Una característica interesante de dicho autor, y que es usada en esta

Tesis, es que utiliza una interpolación no consistente entre posiciones y velocidades, presenta-

da por Cardona and Geradin (1991) de tal manera que permite evaluar de manera sencilla los

términos de inercia del sólido flexible a partir de las matrices de masas y rigideces de los ele-

mentos finitos obtenidas mediante el cálculo estructural a partir de su evaluación analítica o

de cualquier aplicación comercial. Cuadrado et al. (1996) establecen las integrales inerciales de

forma para coordenadas naturales. Gutiérrez (2003) y Gutiérrez et al. (2005) utilizan la formu-

lación FFR con coordenadas naturales para calcular el estado tensional de los sólidos flexibles

de un sistema multi-cuerpo.

Introducción

10

Métodos topológicos o recursivos

Estos métodos derivan del uso de coordenadas relativas. Tal como se ha expuesto previamen-

te, es posible definir una estructura topológica de un sistema multi-cuerpo en la cual se esta-

blezca la posición y el movimiento de cada sólido en función de otro anterior. Existen muchos

ejemplos en que dicha disposición surge de manera sencilla, ordenando los pares y sólidos del

sistema, tales como el cuerpo humano o un brazo robótico. Son los denominados sistemas de

cadena abierta. En otros casos, los más habituales, la posición de un cuerpo no solamente

depende de otro adyacente, sino de varios. En estos casos, denominados sistemas de cadena

cerrada, es necesario primero eliminar algunos pares para obtener dicha estructura en árbol, e

imponer posteriormente las condiciones de cierre de lazo (Wittenburg ,1978).

Al contrario que los métodos de coordenadas globales, cuya formulación es generalmente muy

sencilla y sólo varía en función de las coordenadas utilizadas para definir el sistema de referen-

cia local, los métodos recursivos han evolucionado de manera significativa. Generalmente esta

evolución se ha realizado con sistemas rígidos y luego se han extendido para sólidos flexibles.

Las primeras implementaciones en computadoras han hecho uso de métodos recursivos ya

que utilizan un número mínimo de variables. Por esta razón siempre se ha considerado la efi-

ciencia en la evaluación de las ecuaciones dinámicas y su resolución.

Los primeros métodos topológicos se desarrollaron para sistemas rígidos de cadena abierta.

Uicker (1965) estudió la dinámica de sistemas multi-cuerpo tridimensionales basándose en las

matrices de transformación de Denavit and Hartenberg (1955). Luh, et al. (1980) crearon un

método totalmente recursivo de orden O(n) para la resolución del problema dinámico inverso,

siendo n el número de sólidos del sistema multi-cuerpo. Walker and Orin (1982) resuelven el

problema dinámico directo mediante un método semi-recursivo, de orden O(n3) en el que es-

tablecen un sistema lineal de ecuaciones en función de las aceleraciones relativas, que es re-

suelto por el método de Gauss. Este método se conoce como el Método de la Inercia Com-

puesta. Posteriormente Featherstone (1983, 1987) presenta el Método de la Inercia Articula-

da, que es totalmente recursivo y de orden O(n) para el problema dinámico directo. Dicha

formulación se estimó en su momento más eficiente que la de Inercia Compuesta para siste-

mas con un número de sólidos rígidos mayor de 11, aunque este número se ha reducido en

referencias posteriores.

Bae and Haug (1987a y 1987b) presentan una variante más eficiente del método de la Inercia

Articulada, basada en la transformación de velocidades presentada por Jerkovsky (1978). Ji-

ménez (1993) desarrolla tres métodos para resolver el problema dinámico: uno totalmente

recursivo y dos semi-recursivos. El primer método establece las ecuaciones respecto al origen

de cada sistema de referencia local, y la evaluación de dichos términos. En las otras dos apro-

ximaciones utiliza el punto local que en cada instante coincide con el origen del sistema de

referencia inercial, ya utilizado por Featherstone (1987) y Bae et al. (1988), con lo que el cálcu-

lo de los términos se realiza por cada par. Son estas dos últimas formulaciones las más eficien-

tes, siendo la semi-recursiva la mejor para un número pequeño de pares.


11

Anderson (2001) demuestra que los métodos totalmente recursivos planteados hasta la fecha

para sistemas de cadena cerrada tienen un coste computacional superior a O(n), que depende

del número m de ecuaciones de cierre de lazo, y que estima en O(n + m + nm + nm2 + nm3). Por

tanto, el coste puede incrementarse significativamente cuando la geometría del sistema impli-

que que haya que abrir muchos lazos cerrados. Para ello plantea un método de orden O(n +

m).

Kim and Haug (1988 y 1989) evolucionan la formulación totalmente recursiva de Bae and Haug

para los elementos flexibles, usando una matriz de masas concentrada (lumped mass) y subdi-

vidiendo los sólidos flexibles en sub-cuerpos unidos solidariamente a fin de capturar las de-

formaciones debidas a las no linealidades geométricas. Bae et al. (2000 y 2001) presenta una

variante del método semi-recursivo, que guarda cierta similitud conceptual con el planteado

en esta Tesis, que se basa en la evaluación recursiva de los términos de las ecuaciones dinámi-

cas para plantear un sistema de ecuaciones en el que se resuelven todas las variables del sis-

tema, así como su primera y segunda derivadas y también los multiplicadores de Lagrange. A

fin de establecer una forma sencilla de integrar los pares y fuerzas, se define el Sólido Virtual

(Virtual Body) que permite introducir las relaciones de unión y los esfuerzos puntuales de ma-

nera sistemática en un programa de simulación de mecanismos con sólidos rígidos y flexibles.

Esta aproximación es utilizada por la aplicación comercial RecurDyn.

Znamenäcek and Valasek (1998) plantean un método en el que utilizan Síntesis de Componen-

tes para definir la deformación del sólido flexible, y presentan dos algoritmos recursivos que

utilizan dieciocho invariantes para definir las ecuaciones dinámicas del sólido flexible. Según

los autores, dicho método presenta un coste computacional de orden O(n2). Basándose en esta

formulación, Vampola and Valasek (2007) formulan un nuevo método semi-recursivo para

mecanismos flexibles. El ensamblado de las ecuaciones dinámicas del sistema guarda cierta

similitud en el planteado en esta Tesis. Sin embargo, las ecuaciones cinemáticas del sólido

flexible se plantean de manera distinta y la inercia del sólido se representa por masas concen-

tradas en ciertos puntos del mismo.

Dentro de los métodos recursivos la formulación propuesta por Saha (1995 y 1997) para me-

canismos de cadena abierta, extendida por Saha and Schiehlen (2001) para sistemas de cadena

cerrada, ha evolucionado de manera relevante en los últimos tres años: Koul et al. (2013),

Agarwal et al. (2013), Saha et al. (2013), etc. Dicha formulación se basa en las matrices DeNOC

(Decoupled Natural Orthogonal Complement), que a su vez provienen de las matrices NOC

definidas por Ángeles and Lee (1988). Las matrices NOC establecen la relación de velocidades

de los sistemas locales de los cuerpos que forman el mecanismo de cadena abierta en función

de las coordenadas relativas de los pares que los unen. Las matrices DeNOC descomponen

dicha matriz en dos: una matriz triangular y otra diagonal. En vez de evaluar las ecuaciones

dinámicas recursivamente sólido a sólido, se establece un proceso semi-recursivo dividiendo el

mecanismo en cadenas cinemáticas independientes (ramas) y evaluando los términos de iner-

cia y fuerzas de manera independiente en cada una de dichas cadenas. Esto, según indican los

autores, es especialmente eficiente para sistemas formados por cadenas cinemáticas largas. A

pesar de que hay muchas referencias recientes de dicho método, parece que todavía no ha

sido extendido a sistemas formados por sólidos flexibles.

Introducción

12

Una parte significativa de la formulación semi-recursiva utilizada en esta Tesis fue presentada

en Lisboa por Funes et al. (2004a). Posteriormente Cuadrado et al. (2006 y 2007), Lugrís et al.

(2007) y Lugrís (2008) evolucionan esta formulación usando integrales inerciales de forma para

evaluar los términos de inercia. Las ecuaciones dinámicas se evalúan mediante métodos basa-

dos en penalizadores y la Lagrangiana Aumentada (Cuadrado et al., 2004; Dopico, 2004). Estos

trabajos constituyen un interesante elemento de comparación que será analizado a lo largo de

los siguientes capítulos.

1.2.1.3 Otras formulaciones

Existen algunas formulaciones simplificadas, que fundamentalmente se derivan de estudiar de

manera parcialmente desacoplada el movimiento de sólido y las deformaciones. Así, por

ejemplo, Erdman and Sandor (1972) y Erdman and Sung (1983) realizan la simulación dinámica

considerando todos los sistemas rígidos, y calcula en cada instante la deformación de cada

sólido flexible considerando los esfuerzos que dicho movimiento en los pares, así como las

fuerzas de inercia. Sunada (1980) y Sunada and Dubowski (1981) realizan la simulación en dos

partes: por una parte realizan una simulación considerando los elementos rígidos para obtener

una trayectoria nominal, y luego integran las ecuaciones dinámicas considerando como varia-

bles únicamente las deformaciones de los sólidos flexibles. Estas formulaciones pueden consi-

derarse “primigenias” y no han evolucionado en los últimos años.

Otra formulación, denominado Método del Segmento Finito, consiste en descomponer el ele-

mento flexible en un sólido rígido unido por muelles y amortiguadores que representan la fle-

xibilidad del elemento. La posición y orientación del sólido vienen definidos por un punto y un

conjunto de ángulos (Euler o Bryant, por ejemplo) o parámetros (de Euler o de Rodríguez). Los

valores de dichos muelles o amortiguadores se pueden obtener mediante un cálculo previo

con una herramienta tal como el Método de Elementos Finitos. En una de las primeras refe-

rencias, Huston (1981) utiliza parámetros de Euler para definir la posición del sólido rígido.

Huston and Wang (1991) desarrollan el método en detalle resaltando sus ventajas y debilida-

des. Pese a que pueda ser considerado un método algo rudimentario, su aplicación en un ám-

bito amplio de casos reales es bastante eficaz y en los últimos años existen referencias que

hacen uso del mismo. Por ejemplo, Hamper et al. (2012a) y Hamper et al. (2012b) combinan

este método con el ACNF, y con el FFR, respectivamente, para simulaciones de raíles en el es-

tudio de sistemas ferroviarios. Asimismo, esta aproximación es frecuentemente usada en mo-

delos simples de elementos tales como ballestas (Huhtala et al., 1994). Haghshenas-Jaryani

and Bowling (2014) utilizan esta simplificación para el análisis dinámico de cierto tipo de pro-

teínas.

El Método de los Modos Móviles, al contrario que los anteriores, es un método bastante re-

ciente. La formulación, presentada por Chamorro et al. (2013) está especialmente orientada a

sólidos flexibles que soportan una carga móvil. Establece un sistema de referencia local al sóli-

do similar al utilizado en la formulación FFR que se mueve solidariamente con la carga móvil.

La flexibilidad se define mediante modos de deformación. Recuero and Escalona (2013) utili-

zan este método en combinación de los sub-espacios de Krylov, para modelizar la flexibilidad

de la vía sobre la cual se mueve un vehículo.


13

1.2.1.4 Reducción de componentes

Las formulaciones basadas en el MEF se basan en representar el movimiento y/o la deforma-

ción según un mallado de elementos unidos entre sí en los nodos. Generalmente un buen ma-

llado supone una gran cantidad de nodos y por tanto, un gran número de variables que han de

evaluarse en el proceso de integración de las ecuaciones dinámicas. Por ello es muy habitual

utilizar algún método de reducción de componentes con el objetivo de reducir el número de

variables a un valor razonable sin comprometer de manera significativa el resultado final del

análisis. Nuevamente, la simulación de sistemas multi-cuerpo se apoya en algunos de los mé-

todos utilizados en el cálculo estructural.

Un método habitual en el cálculo estático es la Condensación Estática de Variables, que consis-

te en clasificar los nodos en principales y secundarios, y establecer una relación entre ambos a

partir de las ecuaciones estáticas del sólido flexible. El procedimiento de cálculo es simple: se

dividen las ecuaciones según el tipo de nodos, se despejan las variables secundarias en función

de las principales y se sustituyen éstas en las ecuaciones dinámicas para dejarlas únicamente

en función de las variables principales.

Éste método fue propuesto por Guyan (1965) y da resultados aceptables siempre que el mo-

vimiento esté determinado por los modos asociados a las frecuencias más bajas. En caso de

frecuencias altas el método se vuelve impreciso. Cuando las frecuencias de las fuerzas aplica-

das son altas los términos de inercia son significativos y el método se vuelve impreciso. No

existen muchas referencias específicas para la simulación dinámica de sistemas multi-cuerpo

que usen este método, siendo la más destacable la de Ambrosio and Nikravesh (1991).

Un método derivado del anterior es la llamada Reducción Dinámica, que consiste en aplicar la

transformada de Laplace a las ecuaciones dinámicas antes de aplicar el mismo proceso de sus-

tituir las variables secundarias. Este método da mejores resultados que el anterior para fre-

cuencias más altas, pero implica estimar la frecuencia con la que calcular dicha reducción, lo

cual no es nada trivial. Sin embargo, éste y otros métodos tales como el Sistema de Reducción

Mejorada (Improved Reduction System o IRS), que es otra evolución del de Guyan, o el SEREP

(System Equivalente Reduction Expansion Method) raramente son utilizados en el análisis di-

námico de sistemas multi-cuerpo. Koutsovasilis (2013) compara estas técnicas de reducción de

componentes, obteniendo los mejores resultados cuando se combinan modos calculados por

distintos métodos.

El método más utilizado en conjunción con el Sistema de Referencia Flotante, es la Síntesis

Modal de Componentes (Component Model Synthesis o CMS) propuesta por Hurty (1965). Este

método descompone la deformación como combinación lineal de vectores de Ritz:

1

nt

P Pi i

i

q φ (1.1)

El término t

Piφ es un vector de Ritz de tamaño 3x1 correspondiente a la contribución del mo-

do i en la deformación de un punto P y αi es un escalar que representa la amplitud modal co-

Introducción

14

rrespondiente a dicho modo en un instante dado. Físicamente, este método pre-establece

unas deformaciones posibles para el sólido flexible. En general se puede decir que cuanto ma-

yor sea el número de vectores más exacta resulta esta aproximación. Sin embargo, lo habitual

es seleccionar un conjunto razonablemente bajo para que el coste computacional de la simula-

ción sea lo más reducido posible.

Los criterios para definir dichos vectores han sido fruto de no pocas aportaciones. Casi con

toda seguridad el método de selección de modos más utilizado es el de Craig-Bampton (1968),

que establece dos tipos de vectores: por un lado se establecen los desplazamientos debidos a

las deformaciones unitarias en ciertos nudos frontera que, habitualmente, corresponden a los

puntos donde el sólido se une a otros cuerpos mediante pares cinemáticos; el segundo tipo de

vectores de Ritz son vectores propios correspondientes al cálculo de valores y vectores propios

manteniendo los puntos frontera fijos.

El método de Craig-Bampton no está exento de inconvenientes. Uno de los mayores proble-

mas es que la selección de los puntos frontera y de los modos se hace habitualmente de forma

manual. Además, una selección inadecuada de los vectores puede introducir movimientos de

sólido rígido que generaría coordenadas redundantes con los que definen la posición u orien-

tación del sistema de referencia local. Por otra parte, este conjunto de vectores no es ortogo-

nal, lo que hace que la matriz de masas resultante no sea diagonal. Con el fin de establecer un

criterio objetivo y automatizable, Wallrapp and Wiedemann (2004) proponen unos factores de

participación para establecer cuáles son los modos más relevantes: a partir de un simple cálcu-

lo estático se calculan las deformaciones de ciertos puntos de interés y se ponderan con los

modos calculados; todos aquéllos que no superen cierto umbral de peso pueden ser descarta-

dos.

El programa MSC Adams (2014) introduce una variante para resolver parte de estos proble-

mas, ya que realiza un segundo cálculo de valores y vectores propios sobre el sistema dinámico

proyectado sobre los modos de Craig-Bampton. Con esto se consigue aislar los posibles modos

de sólido-rígido, que tendrán frecuencia cero y que por tanto pueden descartarse mediante un

proceso totalmente automático. Por otra parte, esta aproximación permite transformar la

matriz de masas proyectada sobre los nuevos modos en una matriz diagonal, con lo que se

consigue una evaluación más eficiente de los términos de inercia. Como contrapartida, los

modos pierden su sentido físico y es necesario seleccionar un número mayor de modos en

comparación con el método original.

A pesar de que el método de Craig-Bampton es con mucho el más utilizado, existen también

otros métodos de síntesis modal. Uno de ellos consiste en seleccionar únicamente modos cal-

culados mediante un proceso de valores y vectores propios generalizado en el que el sólido

flexible no tiene ningún punto fijo. Dietz et al. (2003) plantean un algoritmo para realizar una

selección automática de dichos modos y actualmente está implementado en el programa SIM-

PACK. Bauchau and Rodríguez (2003) utilizan el método de Herting (1985) para establecer un

conjunto de modos independientes en función de unos puntos frontera concretos. Para ello

realizan un análisis modal de las ecuaciones del sólido flexible, dividiendo los modos resultan-


15

tes según correspondan a desplazamientos de sólido rígido o no, y clasificando las componen-

tes según pertenezcan a los puntos internos o frontera.

En la Síntesis Modal de Componentes, además de una correcta (y, si es posible, automática)

selección de modos se han estudiado de manera intensiva las condiciones de contorno a partir

de las cuales son calculados. El objetivo fundamental es simplificar las ecuaciones dinámicas,

consiguiendo en la medida de lo posible desacoplar las deformaciones respecto a las coorde-

nadas que establecen la posición y orientación del sistema de referencia local. Tal como resu-

men Wasfy and Noor (2003), existen dos posibilidades para lograr dicho objetivo: establecer el

sistema de referencia local en el punto en el que la energía sea mínima (sistema Tisserand) o

bien en el que la suma cuadrática de los desplazamientos sea también mínima (sistema Bu-

ckens). Heckmann (2009) realiza un estudio pormenorizado de estos sistemas y otros adiciona-

les (los denominados Tangente y Cuerda), considerando el tipo de formulación utilizado y la

posible captura de las no linealidades geométricas que puedan interesar. Shabana (1997a), sin

embargo, afirma que diferentes grupos de frecuencias naturales establecidas respecto a distin-

tos sistemas de referencia pueden producir idénticos desplazamientos debidos a la deforma-

ción.

Desde 2006 los más recientes desarrollos con el objetivo de reducir el número de variables en

la simulación de sistemas multi-cuerpo con sólidos flexibles se han centrado en el uso de los

subespacios de Krylov (1931), ya utilizados para el cálculo estructural. Existen un número im-

portante de aportaciones, muchas de ellas de autores provenientes de la Universidad de Stutt-

gart, como las de Lehner and Eberhard (2006). Las ecuaciones dinámicas se representan como

una función de transferencia, en la que las entradas corresponden a excitaciones externas,

mientras que las salidas son los desplazamientos de ciertos puntos de interés del mecanismo.

Aplicando la Transformada de Laplace y haciendo un cambio de variables para convertir el

problema en uno de index-1, es posible sustituir la función de transferencia por una suma de

potencias alrededor de ciertos puntos denominados puntos de expansión. Aplicando el sub-

espacio de Krylov es posible establecer una base reducida de modos. El método de Krylov para

obtener la descomposición de valores singulares es un proceso iterativo especialmente eficien-

te en problemas con matrices dispersas. Sin embargo, los vectores resultantes del proceso se

vuelven linealmente dependientes al cabo de cierto número de evaluaciones, por lo que es

necesario un proceso de ortogonalización de los modos durante dicho proceso iterativo.

El método descrito da buenos resultados para sistemas en los que el número de modos reque-

rido es alto (más de 60, según algunos autores). Sin embargo, cuando éste es menor y el nú-

mero de variables es alto, el método no resulta efectivo. Lehner and Eberhard (2007) plantean

como alternativa un método en dos pasos usando el método de Krylov en conjunción con ma-

trices Gramianas. Recientemente, Fehr et al. (2010) han estimado el error del proceso de re-

ducción.

En general la reducción de componentes supone una linealización de las deformaciones del

sólido flexible. Esto hace que su uso se circunscriba a pequeñas deformaciones. Sin embargo,

la reducción modal puede también incluir ciertas no linealidades tales como la contracción

geométrica o foreshortening. Kane et al. (1975), por ejemplo, desarrollan un elemento viga no

Introducción

16

lineal y expresan la fibra neutra y el desplazamiento transversal a través de un conjunto de

modos supuestos.

La mayor parte de los métodos descritos en este Apartado se utilizan con la aproximación del

sistema de referencia flotante. Sin embargo, Pechstein et al. (2011) combinan la formulación

inercial con la síntesis modal de componentes a fin de reducir el número de variables consi-

guiendo además que la matriz de masas sea constante, el vector de fuerzas de inercia inde-

pendiente de la velocidad y que la matriz de rigidez dependa únicamente de la rotación del

sólido. Kobayashi et al. (2011) utilizan el método de Craig-Bampton para una viga plana usando

la formulación ANCF. Por su parte, Boer et al. (2014) plantean dos métodos para la resolución

eficiente de sistemas utilizando la formulación co-rotacional. Ambos métodos están basados

en la reducción de coordenadas mediante una proyección sobre un conjunto ortogonal de

modos de baja frecuencia. La diferencia entre ambos métodos estriba en la relación entre las

amplitudes de los modos y las coordenadas generalizadas.

1.2.1.5 Sólidos con no linealidades geométricas

Aunque esta Tesis se centra en la resolución de sistemas con pequeñas deformaciones, resulta

conveniente hacer una breve referencia al problema de la resolución de sólidos flexibles con

no linealidades geométricas. Un ejemplo típico es la contracción geométrica o foreshortening,

que no considera los esfuerzos transversales en la deformación axial. Asimismo, la tracción

suele aumentar la rigidez a flexión, mientras que la compresión la reduce como se demuestra

con el pandeo. El estudio de estos fenómenos es muy extenso, por lo que únicamente se van a

nombrar algunas de las soluciones más relevantes aportadas hasta la fecha.

Uno de los problemas relacionados con la rigidez geométrica se debe a que los elementos es-

tructurales comúnmente utilizados para calcular la deformación del sólido flexible no suelen

tener en cuenta los acoplamientos entre los desplazamientos longitudinales y transversales

para establecer la deformación en una dirección concreta, o bien se desprecian los términos

de segundo orden o superior en las expresiones de deformación, por lo que no son capaces de

capturar estos efectos.

En general el uso de elementos de volumen 3-D tales como tetraedros, hexaedros y prismas no

padecen estos problemas en prácticamente ninguna de las formulaciones descritas anterior-

mente. Sin embargo, la modelización con elementos estructurales suele ser con frecuencia

más conveniente y es en esos casos en los que surgen estos problemas. En las situaciones en

los que se planteen grandes deformaciones la mayor parte de las formulaciones basadas en el

MEF, resumidas en el Apartado 1.2.1.1, son las más adecuadas para resolver simulaciones en

las que surjan problemas de no linealidades geométricas. En dichas formulaciones no lineales

los elementos tales como vigas y placas suelen considerar estos problemas por defecto. Para

efectos más concretos tales como la inestabilidad por pandeo existen propuestas para cada

formulación.

Para el Sistema de Referencia Flotante existen varias posibles aproximaciones para tener en

cuenta grandes desplazamientos. Una muy utilizada, presentada por Wu and Haug (1988), y


17

cuya aplicación se circunscribe fundamentalmente para los casos de sólidos formados por vi-

gas es dividirlos en sub-cuerpos y unirlos mediante uniones totalmente rígidas o bracket joints.

De esta manera se capturan algunas no linealidades a costa de incrementar de manera mode-

rada el número de variables (modos o puntos, según se use o no la Síntesis de Componentes) a

calcular. Teóricamente esta aproximación puede extenderse a los casos de placas y cáscaras

pero, sin embargo, no se han encontrado referencias que hagan uso de este método para es-

tos casos. Urruzola (1999), además, afirma que las uniones para estos casos son difíciles de

justificar desde el punto de vista físico y puede presentar problemas numéricos.

Otra posibilidad es usar ciertos elementos especialmente diseñados para capturar dichas no

linealidades geométricas. Así por ejemplo, Kane et al. (1975) proponen un elemento viga en el

que introducen una variable curvilínea que mide la extensión de la fibra neutra y que puede

ser linealizada mediante una reducción de modos, mientras que Barnejee and Kane (1989)

extienden dicha formulación a placas. Sadigh and Misra (1995) presentan una formulación que

permite definir elementos de cualquier geometría y Urruzola (1999) establece una modeliza-

ción reducida de componentes estructurales genéricos que, estableciendo distintas hipótesis y

simplificaciones, permite relacionar un considerable grupo de modelos presentados por distin-

tos autores.

Finalmente, existen otras formulaciones basadas en introducir el efecto de la rigidización a

través de matrices de rigidez no lineales. Bakr and Shabana (1986) obtienen una expresión de

la energía elástica de cuarto orden. Mediante el proceso de Síntesis Modal y una conveniente

selección de modos (axiales y transversales) consiguen un número de variables reducido. Mayo

et al. (1995 y 2004) extienden la formulación anterior introduciendo términos de orden supe-

rior.

1.2.2 Definición e integración de las ecuaciones dinámicas

Dado que en esta Tesis se va a presentar un método de integración de las ecuaciones dinámi-

cas de sistemas multi-cuerpo, es conveniente hacer una breve revisión de los métodos más

relevantes, haciendo especial hincapié en aquéllos que son utilizados para sistemas con cuer-

pos flexibles. En general las ecuaciones dinámicas tienen la siguiente expresión, tanto para un

sólido concreto como para el ensamblado de las ecuaciones del sistema completo:

T qF Mq Cq Φ λ Q 0 (1.2)

donde M es la matriz de masas, C la de amortiguamiento del sistema y Q el vector de fuer-

zas a las que está sometido el sistema, y que comprenden las fuerzas externas aplicadas, las

fuerzas de inercia dependientes de la velocidad, las de volumen como el peso y las fuerzas

elásticas de los cuerpos flexibles. qΦ es la matriz Jacobiana que proviene de las ecuaciones de

restricción del mecanismo y λ son los multiplicadores de Lagrange, que conjuntamente en el

término T

qΦ λ representan las reacciones impuestas por dichas restricciones. q es el vector

de los coordenadas del mecanismo, que dependen de la formulación utilizada.

Introducción

18

Este sistema no lineal de ecuaciones diferenciales de segundo orden puede integrarse numéri-

camente de muchas maneras. Tradicionalmente los integradores son de primer orden, por lo

que es frecuente utilizar las variables de estado para reducir el orden de la expresión (1.2):

integración

q qy y

q q (1.3)

Este método permite resolver las ecuaciones con una gran variedad de integradores comercia-

les, implícitos o explícitos, de paso fijo o variable, con o sin estimación de error, etc. En el caso

de usar códigos que utilizan fórmulas de integración implícita, es habitual facilitar una matriz

tangente, exacta o aproximada, para resolver el sistema de ecuaciones no lineales que aparece

en el proceso de integración en cada paso.

Otra opción consiste en linealizar la expresión (1.2) e incorporar las fórmulas de integración a

las variables de estado, bien sean las posiciones y velocidades, o bien las velocidades y acele-

raciones. De esta forma se genera un sistema no lineal que puede resolverse iterativamente

mediante el método de Newton-Raphson. El proceso consiste en realizar una estimación de las

variables de estado y sus derivadas y corregirlas mediante dicho sistema iterativo hasta con-

verger en una solución.

Shabana et al. (2006) estudian los principales métodos para integrar las ecuaciones dinámicas

en sistemas con grandes deformaciones. En general concluyen que los integradores explícitos

no son prácticos en estos casos, ya que exigirían un paso de integración excesivamente peque-

ño. Tanto estos autores como Negrut et al. (2005) consideran que en sistemas formados por

mecanismos con elementos flexibles se producen oscilaciones “parásitas” que deben ser evi-

tadas, por lo que se recomienda usar fórmulas de integración que incluyan amortiguamiento

numérico, tales como la de Newmark (1959) o la de Hilber-Hughes-Taylor o HHT (1977)

1.2.2.1 Formulaciones Lagrangianas

Uno de los métodos más habituales que se utilizan para integrar las ecuaciones de sistemas

multi-cuerpo formados por sólidos rígidos proviene de combinar la expresión (1.2) con la se-

gunda derivada de las ecuaciones de restricción:

T

t

q

qq

QM Φ q

Φ Φ q0 Φ λ (1.4)

El vector de fuerzas generalizadas Q incorpora los términos de amortiguamiento Cq como

una fuerza más. A partir de esta expresión se calculan las aceleraciones que, junto con las ve-

locidades, pueden integrarse con cualquier familia de integradores de index 1 presentados

para la expresión (1.3). Dado que las restricciones solamente se aplican en aceleraciones, las

integraciones con largos intervalos de tiempo pueden hacer que las ecuaciones de restricción

en posiciones y velocidades dejen de cumplirse. Una solución para este problema fue propues-


19

ta por Baumgarte (1972), que incorpora unos términos función de las ecuaciones de restricción

y de su primera derivada.

Cuando el sistema multi-cuerpo presenta ecuaciones de restricción redundantes la expresión

(1.4) no es directamente resoluble dado que la matriz es singular. Por otra parte, los valores de

las reacciones de los pares, representados en amplitud por los multiplicadores de Lagrange,

pueden adoptar infinitas combinaciones. Existen distintos métodos para solventar este pro-

blema. El más conocido es la eliminación de ecuaciones redundantes en cada paso de integra-

ción, que es también el utilizado por la aplicación MSC Adams. Otra alternativa es utilizar la

matriz pseudo-inversa, que permite obtener la solución de mínima norma de los multiplicado-

res de Lagrange pero que conlleva un coste computacional muy superior al de la alternativa

anterior. Wojtyra and Fraczek (2012) compara ambos métodos junto con la formulación de

Lagrangiana Aumentada, que se explica en el Apartado 1.2.2.3. Según sus conclusiones, las

reacciones obtenidas por cualquiera de los tres métodos no tienen por qué tener sentido físi-

co, e incluso un mismo método puede obtener resultados diferentes variando ciertas coorde-

nadas o variables. García de Jalón and Gutiérrez-López (2013) realizan un análisis parecido

utilizando las Formulaciones Lagrangianas y los Métodos basados en la Proyección de Veloci-

dades, que se detallan en el Apartado 1.2.2.4, llegando a conclusiones similares respecto al

valor de las reacciones.

La expresión (1.4) puede utilizarse para cualquier tipo de formulación. En el caso de formula-

ciones totalmente recursivas de cadena abierta el sistema se reduce a las aceleraciones del

elemento que une el mecanismo con el elemento fijo y los multiplicadores de Lagrange al de

las restricciones de par que los une. En el caso de sistemas de cadena cerrada, además de las

variables anteriores se han de incluir los parámetros de Lagrange de los pares cinemáticos

rotos (Yen 1993). En el caso de la extensión de esta formulación a sistemas flexibles, la expre-

sión es idéntica, y las variables que representan las deformaciones se calculan mediante un

proceso recursivo posterior.

Dicho método es el planteado por Shabana et al. (2006) para la resolución de sistemas con

grandes deformaciones, y también es el establecido por defecto en el programa comercial

MSC Adams. Sin embargo, no es un método recomendable para resolver sistemas flexibles ya

que puede exigir pasos de tiempo muy bajos lo que incrementa significativamente los tiempos

de cálculo. Negrut et al. (2005) desarrollan para la versión 2005 de dicha aplicación una formu-

lación aparentemente similar a (1.4) específica para sistemas flexibles: utilizando la fórmula

HHT propuesta por Hilber et al. (1977) predice las posiciones y velocidades para el siguiente

instante, y se establece un proceso iterativo en función de las aceleraciones y los multiplicado-

res de Lagrange para corregir sus valores.

1

2

T

kk

q

q

eM Φ q

e0 Φ λ (1.5)

1 1, k k k k q q q λ λ λq (1.6)

Introducción

20

La matriz M y los vectores 1e y 2e dependen de la matriz de masas, de los vectores de fuer-

zas y de las ecuaciones de restricción, así como de las variables, de los multiplicadores de La-

grange y del amortiguamiento numérico de la fórmula HHT. El método presentado utiliza paso

variable y estima el error de distinta forma según se trate de posiciones o deformaciones elás-

ticas.

Otro método basado en los multiplicadores de Lagrange es el planteado por Yen (1993), de-

nominado Método del Espacio Tangente, que se aplica con formulaciones recursivas para sis-

temas multi-cuerpo formados por sólidos rígidos y que es extendido a los sistemas flexibles por

Bae et al. (2001). Para ello se consideran, junto a la expresión de las ecuaciones dinámicas, las

ecuaciones de restricción y sus derivadas, y las propias fórmulas de integración. De esta forma,

linealizando todo el conjunto de expresiones se llega al siguiente sistema iterativo:

0 0 10 0 0

0 0 20 0 0

TT T

TT T

q q q λ

q

q q

q q q

FF F F F

ΦΦ q

ΦΦ Φ q

ΦΦ Φ Φ q

U q q βU U λ

U q q βU U

(1.7)

donde q

F , q

F , q

F y λF son las derivadas parciales de la expresión (1.3), 0

TU es una matriz

booleana que define las coordenadas independientes y 0 , 1β y 2β son valores y vectores

numéricos que dependen de la fórmula de integración utilizada. Este sistema resulta significa-

tivamente más grande al considerar no sólo las aceleraciones sino también las posiciones y

velocidades. Sin embargo, el sistema lineal (1.7) puede resolverse mediante algoritmos de

matrices dispersas y permite calcular de una vez todas las variables del sistema. Bae et al.

(1999) plantean dividir la expresión en tres sistemas iterativos independendientes, en los que

se resuelven secuencialmente las posiciones, velocidades y aceleraciones. Este planteamineto

es utilizado en la aplicación RecurDyn.

Negrut et al. (2009) analizan cinco formulaciones lagrangianas con distintos tipos de integrado-

res implícitos para la simulación de sistemas rígidos o flexibles basados en el Sistema de Refe-

rencia Flotante: tres utilizan la fórmula HHT, uno el método de Newmark y el quinto la fórmula

de diferencias finitas hacia atrás (Backward Differentiation Formula o BDF) de segundo orden.

En conclusión, cada método presenta sus fortalezas y debilidades según que la prioridad sea la

rapidez de cálculo o la precisión numérica. En el caso de grandes deformaciones Cardona and

Geradin (1988) plantean distintas fomulaciones implícitas usando varias fórmulas de integra-

ción (Newmark, α-generalizada y HHT) y presentan un método que conserva la energía.

1.2.2.2 Métodos basados en penalizadores

Las formulaciones basadas en penalizadores sustituyen los multiplicadores de Lagrange por

unas penalizaciones en función de las violaciones de las ecuaciones de restricción y de sus pri-

mera y segunda derivadas:


21

22T T

t q q q qM Φ Φ q Q Φ Φ Φ q Φ Φ 0 (1.8)

donde , y son las constantes de penalización. Mientras que para sistemas no stiff con

elementos rígidos los valores de las dos últimas suele ser moderado (típicamente 1 y 10, res-

pectivamente), la constante de penalización suele ser alta, del orden o superior a 107. Físi-

camente términos de penalización se pueden interpretar como muelles, amortiguadores y

masas que ejercen una fuerte oposición al incumplimiento de las restricciones de par. Esta

formulación permite resolver un sistema menor que los planteados en las Formulaciones La-

grangianas y permiten introducir ecuaciones de restricción redundantes sin consecuencia al-

guna. Sin embargo, puesto que los términos de penalización deben ser altos para asegurar el

complimiento de las restricciones, puede suceder que el sistema de ecuaciones resultante esté

mal condicionado.

Avello (1995) utiliza esta aproximación para desarrollar su formulación para sistemas flexibles.

Calcula las derivadas aproximadas de la expresión (1.8) y establece el valor de la matriz tan-

gente para su uso con integradores implícitos de index-1, tales como el integrador DDASL de

Petzold (1983). En los casos de que las variables de deformación afecten a las uniones en los

pares, la rigidez del cuerpo flexible puede superponerse con la constante de penalización en el

término de fuerza. Esto puede condicionar el valor de , que debe tener siempre un valor lo

suficientemente alto como para obligar el cumplimiento de la restricción de par.

1.2.2.3 Fórmulas basadas en la Lagrangiana Aumentada

Esta formulación, planteada por Bayo and Ledesma (1996) para la simulación de mecanismos,

combina los multiplicadores de Lagrange y el método de penalizadores. Existen dos versiones.

La primera, de index-1 aplica la penalización solamente en el término de aceleraciones:

*T qMq Φ λ Q 0 (1.9)

donde los multiplicadores de Lagrange se calculan de manera iterativa, partiendo del valor

cero y convergiendo a la solución real:

* *

1 1i i i λ λ Φ (1.10)

Esta aproximación es más robusta y permite usar valores de penalización más bajos que la

formulación basada exclusivamente en penalizadores. Según plantean Cuadrado et al. (1997),

el valor del término de penalización puede estar entre 105 y 107 para sistemas formados por

sólidos rígidos y ecuaciones normalizadas. Dado que la penalización solamente se aplica en

aceleraciones, se plantea realizar una corrección de posiciones y velocidades. La segunda ver-

sión plantea el término de penalización en posiciones y el cálculo es análogo.

Desde la Universidad de Coruña se ha realizado un intensivo análisis y desarrollo de esta for-

mulación. Cuadrado el al. (1997) demuestran que el método de index-1 es más estable para

pasos de integración pequeños, mientras que el método de index-3 es más eficiente con pasos

mayores. Aprovechando esta característica, y que ambos formalismos son muy similares, Car-

Introducción

22

denal et al. (1999) proponen un algoritmo multi-etapa que puede alternar entre un método y

otro según sea necesario.

Cuadrado et al. (2000) utilizan en la versión con penalización en posiciones y plantean usar la

misma matriz tangente utilizada en el proceso iterativo para realizar las proyecciones de velo-

cidades y aceleraciones. Este método puede considerarse casi como definitivo, en el sentido

que se ha desarrollado para distintas formulaciones y se ha extendido para distintos proble-

mas, manteniendo prácticamente invariables las ecuaciones a resolver.

Existen un número importante de referencias que desarrollan el método en distintas facetas.

Así, en lo que respecta a formulaciones, Cuadrado and Dopico (2003) aplican este método para

la formulación semi-recursiva propuesta por Jiménez (1993) para sólidos rígidos, Cuadrado et

al. (2006 y 2007) extienden también el Método de la Lagrangiana Aumentada a la formulación

semi-recursiva presentada por Funes et al. (2004a) para sistemas flexibles basados en métodos

topológicos; Lugrís et al. (2007) compara esta formulación con la equivalente en coordenadas

naturales.

Cuadrado et al. (2004) y Dopico (2004) plantean distintas fórmulas de integradores estructura-

les (Newmark, HHT, ∝–generalizado) así como diversas fórmulas implícitas de Runge-Kutta.

González et al. (2007) estudian distintos aspectos de implementación del método, usando

librerías numéricas avanzadas y técnicas de matrices dispersas. Dopico et al. (2007) proponen

un método basado en el método original con mejor comportamiento en la conservación de la

energía, aunque sacrifica cierto grado de robustez para simulaciones de sistemas complejos.

En general, casi todas las referencias estudiadas utilizan un único valor de penalización ∝. Gon-

zález and Kövecses (2013) plantean utilizar un valor único multiplicado por una matriz de pe-

sos, de tal manera que cada ecuación de restricción tenga una penalización diferente. Aun

tratándose de sistemas formados por sólidos rígidos, los pesos se calculan en función de la

matriz de rigidez de elementos flexibles equivalentes. Esto permite obtener una solución con

sentido físico en sistemas con ecuaciones redundantes.

1.2.2.4 Métodos basados en la proyección de coordenadas independientes

Finalmente, la cuarta familia de métodos para la resolución de las ecuaciones dinámicas está

basada en clasificar las variables del sistema multi-cuerpo en dos grupos: las coordenadas de-

pendientes dq y las independientes iq . Éste último grupo constituye los grados de libertad

del mecanismo. El método propuesto por Wehage (1980) y Wehage and Haug (1982) plantea

las ecuaciones dinámicas del sistema multi-cuerpo en función de las coordenadas indepen-

dientes. La relación entre ambos tipos de variables se establece a través de la matriz Jacobiana

de las ecuaciones de restricción de par. Por su parte, Serna et al. (1982) utilizan la matriz de

proyección de velocidades R para establecer dicha relación:

d i q

q Rq Φ R 0 (1.11)

Objetivos de la Tesis

23

Derivando la expresión de velocidades de (1.11) es posible establecer una relación lineal entre

las aceleraciones dependientes e independientes. Sustituyendo estas expresiones es posible

expresar la ecuación dinámica (1.2) en función de las coordenadas relativas y eliminar los mul-

tiplicadores de Lagrange. Esta proyección de velocidades permite resolver directamente la

dinámica de mecanismos de cadena abierta de manera recursiva, tal como se ha espuesto

anteriormente. En los casos de cadena cerrada es necesario realizar una segunda proyección

de velocidades sobre las restricciones de cierre de lazo.

Este método es usado para sistemas formados por sólidos rígidos por Jiménez (1993). Rodrí-

guez (2000) y Rodríguez et al. (2004) presentan una formulación para sistemas rígidos e inte-

gradores implícitos de index-1. Haug et al. (1997) y Negrut et al. (1997) presentan un método

implícito basado en coordenadas independientes y que aplican con distintos integradores es-

tructurales. Este método guarda cierta similitud con el presentado en esta Tesis, aunque el

sistema iterativo se basa en las aceleraciones y la matriz tangente es bastante más compleja

que la planteada en el Capítulo 4. Posteriormente, Negrut et al. (2003) desarrollan la misma

formulación para integradores Runge-Kutta implícitos. García de Jalón et al. (2011) aplican este

método en mecanismos realistas e integradores explícitos, cuantificando el coste computacio-

nal de los distintos pasos necesarios para evaluar la derivada de las variables de estado.

En sistemas flexibles con grandes deformaciones basados en el Método de Elementos Finitos,

Cardona and Geradin (1988) utilizan este método con la fórmula de Runge-Kutta implícita. En

estos problemas, sin embargo, el número de coordenadas dependientes es relativamente bajo

en relación con el de las variables independientes. Según Shabana et al. (2007) los métodos de

coordenadas independientes no son muy eficientes para estos sistemas, ya que la matriz de

masas proyectada sobre las coordenadas independientes pierde su estructura de matriz ban-

da, típicas en estas formulaciones. Esto implica que no puedan aplicarse algoritmos de matri-

ces dispersas, con lo que el coste computacional es mayor.

1.3 Objetivos de la Tesis

El propósito de esta Tesis es conseguir establecer una metodología completa que permita la

resolución en tiempo real de las ecuaciones dinámicas de un sistema multi-cuerpo formado

por sólidos rígidos y flexibles, con pequeñas deformaciones y grandes desplazamientos. Para

ello se ha buscado combinar aquellas formulaciones más eficientes para la simulación multi-

cuerpo y la representación de la deformación de los cuerpos flexibles. Se ha puesto especial

énfasis en la facilidad de implementación, permitiendo obtener las características de los cuer-

pos flexibles a partir de resultados provenientes del Método de Elementos Finitos obtenidos a

partir de aplicaciones comerciales o mediante cálculos propios.

En primer lugar, se ha escogido el método semi-recursivo RTDyn1, propuesto por Jiménez

(1993), que está basado en formulaciones topológicas. Estas formulaciones permiten estable-

cer el movimiento relativo entre cuerpos mediante un número mínimo de variables. Por otra

parte, los métodos semi-recursivos son muy eficientes y fáciles de implementar para cualquier

tipo de mecanismo realista. Para definir la deformación de los cuerpos flexibles se ha utilizado

la aproximación planteada por Avello (1995), que establece una interpolación no consistente

Introducción

24

entre posiciones y velocidades. La gran ventaja de este método es que permite establecer las

componentes inerciales de las ecuaciones dinámicas del sólido flexible a partir de la matriz de

masas del mismo. Las deformaciones del sólido flexible se expresan mediante el Sistema de

Referencia Flotante. Para minimizar el número de variables de deformación, se utiliza el méto-

do de Síntesis Modal de Componentes.

Partiendo del método de Craig-Bampton (1965) para la selección de modos, se realiza un análi-

sis pormenorizado de las condiciones de contorno para la definición de dichos modos de de-

formación. A fin de evitar que algunos de éstos puedan ser combinación no sólo de otros mo-

dos sino también de coordenadas relativas definidos en el par, se analizan qué restricciones

deben cumplirse en los puntos de unión del cuerpo flexible con otros sólidos, así como la posi-

ción del sistema de referencia local. El método propuesto se extiende a otros tipos de condi-

ciones de contorno.

Dado que la formulación original propuesta por Avello (1995) establece la necesidad de calcu-

lar las posiciones y velocidades de los nodos del mallado del cuerpo flexible, se propone un

método alternativo que permite evaluar dichos términos sin tener que evaluar todos los no-

dos, ni perder la principal característica del método original: el poder calcular los términos de

inercia a partir de la matriz de masas. Partiendo de las matrices de masas de los tipos de ele-

mentos finitos más comunes, se realiza un análisis detallado de la estructura y de las caracte-

rísticas de las expresiones inerciales a fin de optimizar todavía más el cálculo de dichos térmi-

nos. Además se establecen dos aproximaciones a dichos términos que permitan evaluarlos con

un menor coste computacional.

Por último, se presenta un método de integración de las ecuaciones dinámicas basado en las

coordenadas independientes, que puede ser utilizado con un amplio abanico de fórmulas im-

plícitas de integración. El método plantea dos etapas “predictor-corrector”. La segunda conlle-

va la linealización de las ecuaciones dinámicas para la resolución iterativa de un sistema de

ecuaciones lineales. Se analizan detalladamente cada uno de los términos de este sistema a fin

de establecer los algoritmos que permitan evaluarlos de manera eficiente aprovechando la

estructura topológica del sistema multi-cuerpo. Para la evaluación de la matriz tangente del

sistema lineal se presentan tres métodos: numérico, topológico y aproximado. Finalmente, se

plantea la aplicación de este método con tres fórmulas diferentes de integración, se estable-

cen los criterios de convergencia y se define un método de integración con paso variable.

25

Capítulo 2

Método semi-recursivo para

sistemas con elementos

flexibles

2.1 Introducción

El objetivo de este Capítulo es presentar un método eficiente para el cálculo de la dinámica de

un sistema multicuerpo con elementos rígidos y flexibles, que permita su aplicación a la simu-

lación en tiempo real de sistemas complejos. La modelización del elemento flexible aquí pre-

sentada se basa en la utilización del Sistema de Referencia Flotante y en la reducción modal de

las componentes de deformación elástica según modos estáticos y dinámicos, a fin de minimi-

zar el número de variables de cálculo. La definición de estos modos constituye una cuestión

compleja que será analizada en detalle.

El modelo de elemento flexible de esta Tesis utiliza la interpolación de velocidades no consis-

tente para el cálculo de las ecuaciones dinámicas presentada por Avello (1995). Esto permite la

utilización de las matrices de masas y rigideces calculadas mediante el Método de Elementos

Finitos, que pueden evaluarse con programas propios o bien ser obtenidas directamente me-

diante un programa comercial de cálculo estructural.

El movimiento del mecanismo se define mediante la formulación de Bae and Haug (1987,

1988) que expresa las ecuaciones dinámicas en función de las coordenadas relativas definidas

en las uniones o pares entre elementos. Estas formulaciones topológicas han demostrado ser

más eficientes que las globales para sistemas de tamaño medio y grande, tanto para sistemas

rígidos (Rodríguez, 2000) como flexibles (Lugrís, 2008).

El planteamiento de las ecuaciones dinámicas del mecanismo se realiza mediante la formula-

ción semi-recursiva RTDyn1 presentada por Jiménez (1993). Para el caso de sistemas de cade-

na abierta, las coordenadas relativas de los pares y las variables de deformación constituyen

un conjunto de incógnitas independientes, que pueden ser resueltas directamente por el inte-

grador. En el caso de cadena cerrada, las coordenadas relativas de los pares no son indepen-

dientes, por lo que se recurre a una segunda transformación de velocidades para expresar el

Método semi-recursivo para sistemas con elementos flexibles

26

conjunto de todas las coordenadas del sistema en función de los grados de libertad del meca-

nismo. Tanto en un caso como en otro la incorporación de las variables que expresan la de-

formación elástica de los cuerpos flexibles a las ecuaciones cinemáticas y dinámicas del meca-

nismo se realiza de manera sencilla, comportándose como coordenadas relativas adicionales a

las definidas en los pares.

2.2 Modelización de cuerpos flexibles mediante el siste-ma inercial flotante

El modelo del cuerpo flexible está basado en el Sistema de Referencia Flotante, en inglés Floa-

ting Frame Reference Approach o FFR. El movimiento de un punto arbitrario del sólido flexible

se descompone en uno de gran amplitud, que define los desplazamientos de sólido rígido y

otro de pequeña amplitud, que define la deformación elástica. Cada cuerpo flexible tiene un

sistema de referencia local, rígidamente unido a él, cuyo movimiento respecto al sistema iner-

cial representa el movimiento de sólido rígido. La deformación de cada punto se define con

respecto al sistema de referencia local. Así, considérese el elemento de la Figura 2.1, en el que

la posición Pr de un punto cualquiera P del sólido flexible se puede expresar en la forma:

0 0P P Pu P r r Ar r A r q (2.1)

donde Pr corresponde a la posición del punto en el sistema inercial, A es la matriz de rota-

ción del sistema local, Pur es la posición del punto con respecto al sistema de referencia local

en la posición indeformada y Pq es la deformación elástica del punto respecto al sistema local.

0r

Pr y

x

z

Pur

Pq

z

x

y

Pr

Figura 2.1. Sistema de Referencia Flotante.

El método más utilizado para calcular la deformación de un sólido flexible es el Método de

Elementos Finitos, que divide el cuerpo en un mallado formado por elementos de geometrías

sencillas que comparten puntos o nodos. De esta forma la deformación de cada punto físico

del cuerpo se puede expresar mediante una interpolación de los desplazamientos según las

coordenadas de cada uno de los nodos. Si se consideran pequeñas deformaciones, es posible

Modelización de cuerpos flexibles mediante el sistema inercial flotante

27

escribir las ecuaciones dinámicas del elemento flexible sin restricciones en función de las ace-

leraciones del sistema de referencia local y las deformaciones respecto al mismo, según la

siguiente expresión (Heckmann, 2009):

3 t

ext

r

MEF MEF MEF

m m

sim

I g C a 0

J C α Q Q 0

M q K q C q

(2.2)

El término m es la masa del elemento e 3I es la matriz de identidad. El tensor de inercia del

elemento deformable es J , y g es la matriz antisimétrica asociada a la posición deformada

del centro de gravedad; MEFM , MEF

K y MEFC corresponden, respectivamente, a las matrices

de masas, rigideces y amortiguamientos derivadas del Método de Elementos Finitos, orienta-

das según el sistema de referencia inercial en el instante dado. Las matrices tC y rC son los

términos de acoplamiento inerciales entre las amplitudes de los modos de deformación y las

coordenadas del sistema de referencia local. Los vectores extQ y

Q son respectivamente las

fuerzas generalizadas debidas a las cargas externas y a las fuerzas de inercia dependientes de

la velocidad. Los vectores a y α son las aceleraciones lineal y angular del sistema de referen-

cia local, y q son las aceleraciones de las variables que definen la deformación. La formulación

del Sistema de Referencia Local presenta una matriz de inercia altamente no lineal y una ma-

triz de rigideces constante (Shabana, 1998), a diferencia de otras formulaciones tales como la

Formulación Inercial o la Formulación de Coordenadas Nodales Absolutas (en inglés, Absolute

Nodal Coordinate Formulation o ANCF). En ambos casos la matriz de masas es constante y la

matriz de rigideces es no lineal.

La utilización del Sistema de Referencia Flotante permite una representación exacta del movi-

miento sólo cuando el modelo del cuerpo flexible está formado por elementos finitos cuyos

nodos presentan desplazamientos únicamente según coordenadas de posición, tales como

tetraedros, prismas y hexaedros (Shabana, 1998). Por el contrario, si se utilizan elementos

estructurales como vigas, placas o cáscaras, en cuyos nodos no sólo se definen desplazamien-

tos según los ejes Cartesianos sino también giros con respecto a dichos ejes locales, el movi-

miento es sólo aproximado. Esto se debe a que la formulación del sistema de referencia flotan-

te permite que en este tipo de elementos se generen tensiones internas dentro del elemento

flexible aunque dicho elemento sólo tenga movimiento de sólido rígido.

Dado que dichos elementos son los que más se utilizan en la práctica para la representación de

elementos flexibles, la utilización de la formulación FFR se circunscribe fundamentalmente al

ámbito de las pequeñas deformaciones. Esto no representa un gran problema, ya que en un

gran número de casos prácticos (robótica, automoción etc.) esta aproximación es perfecta-

mente asumible.

La utilización directa del Método de Elementos Finitos en la simulación de mecanismos con

elementos flexibles mediante el Sistema de Referencia Flotante implica incorporar los despla-

zamientos locales de cada nodo del mallado del cuerpo flexible en las ecuaciones dinámicas


28

del movimiento del mecanismo. Un mallado de un modelo realista suele tener una gran canti-

dad de nodos cuyas posiciones y velocidades deben calcularse en cada instante. Esto supone

reducir la eficiencia de la simulación de manera significativa, lo que hace que no resulte viable

la aplicación directa del Método de Elementos Finitos para mecanismos flexibles complejos en

simulaciones en tiempo real.

Para evitar el problema descrito es habitual recurrir a la Síntesis de Componentes Modales

(Hurty, 1965) mediante el método de Rayleigh-Ritz, que es el que se utiliza en esta Tesis y se

trata en detalle en el siguiente Apartado. En los últimos años se han desarrollado otros méto-

dos de reducción de variables, utilizados ya en otros ámbitos de la Ingeniería tales como el

Control Adaptativo, que están basados en la utilización del sub-espacio de Krylov (Lehner and

Eberhard, 2006) y las matrices Gramianas (Lehner and Eberhard, 2007; Fehr et al., 2008).

2.2.1 Modos de deformación

Esta Tesis modeliza la deformación del cuerpo flexible basándose en el método de Rayleigh-

Ritz, en el que la deformación local del cuerpo flexible se define mediante las funciones de

Ritz, que son un conjunto reducido de funciones o modos de deformación supuestos. La de-

formación elástica de un punto del sólido flexible puede ser aproximada como una combina-

ción lineal de vectores constantes:

1

nt

p Pi i

i

q φ (2.3)

donde t

iPφ es un vector de Ritz de tamaño 3x1 y que representa la contribución del modo i en

la deformación del punto P . La variable i es un escalar que representa la amplitud modal

correspondiente a dicho modo en un instante dado. Los vectores de Rayleigh-Ritz han de cum-

plir dos condiciones (Heckmann, 2009):

Los modos deben ser linearmente independientes entre sí.

Además los modos han de satisfacer las condiciones de contorno del sólido, así como

las restricciones cinemáticas del mecanismo.

Ritz (1909) demostró que si estas condiciones se cumplían la resolución de las ecuaciones di-

námicas convergía a la solución exacta al aumentar el número de vectores utilizados para defi-

nir el modelo. La elección de los modos puede ser arbitraria siempre que cumplan las condi-

ciones citadas. Las condiciones de contorno constituyen una cuestión fundamental en la defi-

nición de dichas funciones de Ritz. Schwertassek et al. (1999) señalan que, dependiendo de la

posición del sistema de referencia local y de la selección de las restricciones de desplazamien-

tos y giros de ciertos puntos, es posible obtener una solución cercana a la exacta con un núme-

ro relativamente reducido de modos.

Para definir las condiciones de contorno resulta conveniente clasificar los nodos del cuerpo

flexible en dos tipos. Los nodos frontera son aquéllos que se sitúan en los contornos con el


29

resto del mecanismo así como con el sistema de referencia local, en caso de que éste esté

físicamente unido al cuerpo. El resto de nodos de la discretización del Método de Elementos

Finitos se denominarán nodos internos.

Los modos de Ritz más utilizados son los calculados mediante el método de Craig-Bampton

(1968), aunque existen otros conjuntos posibles también utilizados en la simulación de siste-

mas multi-cuerpo flexibles. La formulación presentada en esta Tesis es válida con todos ellos.

Sin embargo, el método Craig-Bampton se diferencia del resto por definir dos tipos de modos

con unas condiciones de contorno muy concretas, que hacen que la formulación presentada

sea particularmente eficiente. Dichos modos se clasifican en estáticos y dinámicos. Según esta

división, la expresión (2.3) puede representarse como combinación de ambos tipos de modos:

1 1

e d

i j

n nt t

P P i P j

i j

q φ ψ (2.4)

siendo i

t

Pφ y j

t

Pψ , respectivamente, las componentes traslacionales de ese punto en los

modos estáticos y dinámicos, expresados según el sistema de referencia local. Las variables i

y j son las amplitudes asociadas a dichos modos, y ne y nd son los números de modos de

cada tipo que se consideran.

En caso de que el cuerpo flexible contenga elementos estructurales que incluyan deformacio-

nes según los giros, también es posible evaluar dichas deformaciones como combinación lineal

de los modos de deformación. En cada punto P se define un vector Pθ que contiene las tres

componentes rotacionales de la deformación en P , que son combinación lineal de las com-

ponentes rotacionales de los modos estáticos i

r

Pφ y dinámicos j

r

Pψ :

1 1

e d

i j

n nr r

P P i P j

i j

θ φ ψ (2.5)

Los modos pueden ensamblarse como columnas en sendas matrices φ y ψ . El número de

filas corresponden a las coordenadas traslacionales y rotacionales de cada punto, mientras que

el número de columnas está definido por los modos de deformación.

La obtención de los modos estáticos se realiza dando un valor unitario a una coordenada de un

punto frontera del elemento, dejando fijas las demás coordenadas de dicho punto y del resto

de los puntos frontera. El cálculo de estos modos se realiza a partir de la matriz de rigidez del

elemento. Ordenando dicha matriz según los nodos internos (subíndice i) y los nodos frontera

(subíndice f), la ecuación de equilibrio estático del elemento flexible es la siguiente:

ii if i i

fi ff f f

K K X F

K K X F (2.6)


30

donde K es la matriz de rigidez, X es la matriz de desplazamientos según los distintos mo-

dos estáticos y F corresponde a la matriz de fuerzas correspondientes. Los modos estáticos

se calculan dando un valor unitario a cada una de las coordenadas de los puntos frontera y

dejando a cero las restantes. Las fuerzas correspondientes a los nodos internos también se

anulan. De esta manera los desplazamientos de dichos nodos internos pueden calcularse fá-

cilmente:

1, f i i ii if

X I F 0 X K K (2.7)

Los modos estáticos φ , expresados según el sistema de referencia local, se obtienen ensam-

blando las deformaciones de los nodos internos y de frontera:

1

ii if

K Kφ

I (2.8)

En la Figura 2.2 se muestran los seis modos estáticos de una viga en voladizo. En este caso el

sistema de referencia local se establece en un extremo, limitando los desplazamientos y giros

en el origen de dicho sistema. Los tres primeros modos corresponden con los desplazamientos

del extremo de la viga, mientras que los restantes se deben al giro unitario respecto de cada

uno de los ejes ortogonales situados en dicho punto.

Figura 2.2. Modos estáticos de una viga empotrada.

Los modos dinámicos se calculan resolviendo un problema de valores y vectores propios. Para

ello se establecen valores cero en aquellas coordenadas de los puntos frontera que se conside-

ren fijas según las condiciones de contorno definidas. El método de Craig-Bampton establece

como condiciones de contorno que todas las coordenadas de los puntos frontera sean fijas,

por lo que el problema de valores propios se resuelve únicamente considerando los elementos


31

de los nodos internos en la matriz masas M y la matriz de rigideces K . Así, los valores y vec-

tores propios generalizados se calculan según las expresiones siguientes:

2

ii ii i K M ψ 0 (2.9)

i

ψψ

0 (2.10)

La Figura 2.3 muestra los seis primeros modos dinámicos de la viga biempotrada, en los que las

seis coordenadas de ambos extremos están fijas, entendiendo como ‘primeros’ aquéllos en los

que el valor de la frecuencia natural tiene una menor magnitud.

Figura 2.3. Modos dinámicos de una viga empotrada.

El cálculo de los modos estáticos y dinámicos descritos hasta el momento se ha realizado con

unas condiciones de contorno concretas, las que corresponden al método de Craig-Bampton.

Sin embargo, es posible calcular ambos tipos de modos con otras condiciones de contorno

diferentes. Así, en el caso de dejar los nudos frontera sin restricciones, el cálculo de los modos

dinámicos es similar, salvo porque se considerarían las matrices de masas y rigideces de todos

los nodos de la discretización de elementos finitos del cuerpo flexible:

2 K M ψ 0 (2.11)

En este caso las primeras seis frecuencias son nulas y corresponden al movimiento de sólido

rígido y, por tanto, sus modos correspondientes deben descartarse. Aunque esta aproximación

es perfectamente válida, sin embargo, por regla general cuando se combinan modos estáticos

y dinámicos suele ser más conveniente utilizar los modos dinámicos calculados con los extre-

mos fijos según la expresión (2.10), ya que en caso contrario podrían existir casos en los que el

conjunto de modos elegido no sea linealmente independiente.

La combinación de modos de deformación con formulaciones topológicas introduce dos condi-

ciones adicionales a las planteadas por Heckmann (2009):


32

Los modos, además de ser linealmente independientes entre sí, deben serlo también con respecto a los desplazamientos de sólido-rígido que definen las coordenadas rela-tivas.

Como consecuencia del punto anterior, la selección de modos y condiciones de con-torno no debe permitir el movimiento de sólido-rígido respecto al sistema de referen-cia local.

Así, por ejemplo, considérese la Figura 2.4 en la que se representa una viga plana con el ex-

tremo izquierdo articulado respecto al eje Y, y el otro extremo con un par de revolución con el

eje en dirección del eje Z. Se puede comprobar que el modo correspondiente a un desplaza-

miento unitario vertical en el segundo par de la viga es prácticamente equivalente a una com-

binación lineal del giro en el extremo articulado y un modo correspondiente al giro del extre-

mo empotrado.

Figura 2.4. Comparación entre modos estáticos y dinámicos.

La combinación de modos estáticos y dinámicos del método de Craig-Bampton tiene cierto

sentido físico cuando estos últimos se evalúan fijando los desplazamientos de los nodos fron-

tera. En este caso, los modos estáticos permiten calcular la deformación debida a la unión del

elemento flexible con el resto de elementos vecinos, mientras que los modos dinámicos captu-

ran la deformación debida a las fuerzas internas y de volumen de dicho elemento. Para el caso

en que los modos dinámicos se evalúen dejando los nodos frontera libres, no es habitual utili-

zar modos estáticos.

Si bien el método de simulación dinámica basado en formulaciones recursivas presentado en

este Capítulo es independiente del tipo de modos dinámicos seleccionados para el modelo

simulado, la utilización conjunta tanto de modos estáticos como de modos dinámicos con

coordenadas fijas en los nodos frontera es más interesante por el coste computacional que

aquélla que utiliza únicamente modos con extremos libres: las formulaciones recursivas esta-

blecen la posición, velocidad y aceleración de cada elemento del mecanismo en función del

elemento anterior dentro de la cadena cinemática que se forma en el sistema simulado.

En el caso de que un elemento flexible sea el punto de origen de dos cadenas cinemáticas los

modos estáticos se definen en cada nodo frontera. Por tanto, cada modo estático afectará a


33

una sola rama de la cadena cinemática. Los modos dinámicos con extremos libres, en cambio,

sí afectan a todas las cadenas que salen del elemento flexible.

Figura 2.5. Modos estáticos vs modos dinámicos de extremos libres.

2.2.2 Condiciones de contorno

La configuración del cuerpo flexible tiene una importancia fundamental a la hora de calcular

los modos estáticos y dinámicos ya que determinan la forma de estos últimos. Existen tres

factores que hay que tener en consideración: la elección del punto en el que se establece el

sistema de referencia local, definir cuáles van a ser los nodos frontera y qué grados de libertad

en dichos nodos han de fijarse o dejarse libres a la hora de calcular los modos de deformación.

Existen multitud de referencias que tratan sobre esta cuestión, entre las que se encuentran

Tadikonda et al. (1995), Schwertassek (1999), Lugrís (2008), Heckmann (2009) y Vlasenko and

Kasper (2010). La mayor parte de las mismas se centran en estructuras unidimensionales for-

madas por elementos viga unidos entre sí. Aunque muchas de las conclusiones de estos traba-

jos sólo tienen sentido físico con este tipo de elementos, algunas pueden ser también extrapo-

ladas a otros cuerpos flexibles más complejos.

Tradicionalmente se han definido tres tipos de sistemas de referencia, que determinan no sólo

su posición respecto al elemento flexible, sino que también establecen las condiciones de con-

torno de los puntos frontera. El más sencillo es el sistema de referencia tangente (en inglés,

tangent frame) que se sitúa habitualmente en un extremo del elemento, fijando no sólo los

desplazamientos sino también los ángulos u orientaciones del cuerpo flexible con respecto a

dicho sistema. Las coordenadas del resto de nodos frontera se dejan libres.

El segundo tipo de sistema local de referencia considerado se denomina “de cuerda” (en in-

glés, chord frame), y se aplica a elementos unidimensionales. Al igual que el sistema de refe-

rencia tangente, el sistema local se define en un extremo del elemento flexible, aunque fijando

únicamente las traslaciones. En el otro extremo del elemento se limitan también únicamente

los desplazamientos, lo que permite que los modos del elemento se asemejen a los de una

cuerda.

Por último, el tercer sistema de referencia, denominado Buckens para pequeñas deformacio-

nes, tiene su equivalente llamado Tisserand para grandes deformaciones. En este caso el sis-

tema local no está asociado físicamente a un punto concreto del elemento flexible, sino a su

1

2

3 1

2

3


34

centro de gravedad, y los nodos frontera no tienen ninguna coordenada fija. De esta manera el

momento lineal del elemento flexible debido a las coordenadas locales es cero. La gran ventaja

de utilizar este sistema de referencia es que de esta forma se anulan los términos de inercia

que relacionan las aceleraciones según las deformaciones y según las coordenadas del sistema

local. Es decir, en la expresión (2.2) los términos mg , tC y rC son nulos. Esto hace que la

matriz de masas sea diagonal por bloques y las aceleraciones del sistema de referencia local

están completamente desacopladas respecto a las variables de deformación.

Figura 2.6. Sistemas de referencia tangente, de cuerda y Buckens para una viga.

Schwertassek et al. (1999) y Heckmann (2009) analizan la idoneidad de los sistemas de refe-

rencia descritos para elementos unidimensionales con modos únicamente dinámicos. En gene-

ral cualquiera de los tres sistemas puede dar buenos resultados en función del número de mo-

dos seleccionados. De acuerdo a los ejemplos presentados en dichos artículos, el sistema de

Buckens precisa menor número de modos que los demás, seguido por el sistema de cuerda y,

por último, el sistema tangente.

En esta Tesis, además de los aspectos citados, se ha de considerar la idoneidad de cada uno de

estos sistemas al combinarlos con los métodos topológicos de simulación de sistemas multi-

cuerpo. Estos métodos se basan en establecer una relación entre los distintos cuerpos que

forman el mecanismo para poder expresar la posición, velocidad y aceleración de cada uno con

respecto al anterior y a la unión que los relaciona. Por tanto, en cada cuerpo se ha definir un

‘punto de entrada’ que lo relaciona con el anterior. Cuando se utilizan métodos topológicos

basados en coordenadas relativas la posición idónea del sistema de referencia corresponde a

dicho punto de entrada. Esta condición no es necesaria pero sí muy conveniente desde el pun-

to de vista de la eficiencia en el cálculo, ya que simplifica considerablemente la evaluación

cinemática del mecanismo, tal como se verá en el Apartado 2.5.2.1. Por otra parte, al utilizar

una reducción de variables de deformación mediante el método de la Síntesis Modal, el siste-

ma elegido debe permitir calcular de manera eficiente los modos de deformación.

En general, tanto el sistema tangente como el de cuerda no presentan inconvenientes ni con la

formulación ni con la suposición de modos de deformación. Además, el primero presenta una

posición idónea del sistema de referencia en el caso de estar en el punto de entrada del árbol.

Por otra parte, el sistema de coordenadas de Buckens presenta dos problemas debidos fun-

damentalmente a que el centro de gravedad va cambiando conforme se deforma el sólido

flexible. Por una parte, el hecho de que el punto no sea fijo hace que sea no posible utilizar el


35

origen como punto de entrada del sistema. Esto no supone un problema insalvable ya que se

puede definir como punto de entrada cualquier otro punto frontera. El segundo problema es

referenciar los modos de deformación con respecto al origen del sistema. Al variar en cada

instante es necesario recalcular los modos constantemente, lo que lo invalida para simulacio-

nes de tiempo real. Como aproximación se podría suponer que el centro de gravedad va a va-

riar poco respecto a una posición dada, y calcular los modos en relación con dicha posición.

La formulación presentada en esta Tesis no precisa que la posición del sistema de referencia

local tenga que situarse en una posición concreta del elemento flexible, ni tampoco que dicho

sistema deba estar unido a un punto físico. Esto permite utilizar un sistema de referencia del

tipo Buckens ‘aproximado’, que puede resultar muy conveniente para mecanismos complejos

tales como el sistema en celosía correspondiente al chasis del vehículo mostrado en la Figura

2.7. En casos como éste la utilización las un sistema de referencia tangente no parece reco-

mendable ya que implica empotrar el punto de entrada y esto carece de sentido físico en una

estructura como ésta. En todo caso la formulación planteada establece las ecuaciones de cada

sólido flexible respecto al origen del sistema de referencia inercial, por lo que la gran ventaja

numérica del sistema de Buckens, consistente en desacoplar los términos de inercia del siste-

ma inercial de las deformaciones, desaparece.

Figura 2.7. Chasis flexible de un vehículo.

La selección de las coordenadas que se han de fijar en cada punto frontera supone una cues-

tión importante a la hora de definir las condiciones de contorno. El método de Craig-Bampton

es la opción más simple, ya que fijar un punto implica restringir todas sus coordenadas. Heck-

mann (2009) plantea fijar el sistema de referencia siempre en el punto de unión entre elemen-

to flexible y el elemento anterior en el árbol topológico, lo cual resulta muy ventajoso, como se

ha comentado anteriormente. De acuerdo al tipo de unión entre ambos cuerpos y, en particu-

lar con las fuerzas que se transmitan de uno a otro, se establecen unas recomendaciones ge-

nerales para definir las condiciones de contorno del sistema de referencia:


36

Si la unión entre el elemento flexible y el elemento anterior no transmite fuerza o

momento en una dirección dada, la coordenada asociada a dicha dirección debe dejar-

se libre. Así, por ejemplo, si el par de unión es un par de revolución, el ángulo de dicho

par no debe estar fijo.

Si el elemento flexible tiene restringidas todas las coordenadas en un punto, se debe

definir en dicho punto un sistema de referencia tangente.

Si por el contrario el elemento tiene seis grados de libertad, se recomienda utilizar un

sistema de referencia Buckens.

Las coordenadas guiadas transmiten fuerzas y momentos al elemento flexible. Es decir,

aunque esté definido un par que teóricamente deja libre dichas coordenadas, éstas no

lo están realmente. Por tanto, en esta configuración la condición de contorno debe ser

fijar dichas coordenadas.

En la formulación presentada por Lugrís (2008) se utiliza siempre el sistema de referencia de

tipo tangente y, al igual que Heckmann (2009), dicho sistema se une al punto de entrada del

árbol topológico. Las condiciones de contorno de los puntos frontera que unen dicho sólido

flexible con los elementos siguientes del árbol topológico se definen en función de las fuerzas

que trasmiten los pares correspondientes: si el elemento de unión entre ambos sólidos no

transmite fuerza o par, se deja libre el desplazamiento o el giro, respectivamente. Sin embar-

go, el desarrollo de las ecuaciones dinámicas se limita al caso en que los modos dinámicos se

calculan fijando todas las coordenadas de los puntos frontera.

En esta Tesis se van a considerar dos tipos de condiciones de contorno diferentes a la hora de

determinar qué puntos y cuáles de sus coordenadas o giros han de fijarse:

Restricción según par: El primero consiste en establecer una combinación de los crite-

rios de Lugrís (2008) y Heckmann (2009) para definir las condiciones de contorno, pero

no sólo en el origen del sistema local, sino en todos puntos frontera. Tanto en el punto

de entrada como en el resto de nodos frontera se fijan las coordenadas únicamente en

las direcciones y ángulos que pueden recibir fuerzas o momentos externos debidos al

tipo de par, o bien porque la coordenada esté guiada. Así, por ejemplo, la viga de la Fi-

gura 2.4 tiene dos pares de revolución, el primero respecto al eje Y y el segundo res-

pecto al eje Z. De acuerdo con la hipótesis planteada este elemento no recibe momen-

tos en las direcciones de los ejes de ambos pares, por lo que las rotaciones correspon-

dientes se dejan libres.

Método de Craig-Bampton: Se fijan todas las coordenadas de todos los puntos fronte-

ra, realizando una selección de los modos estáticos que actúan únicamente en las di-

recciones en la que los pares puedan recibir fuerzas o momentos. Los modos dinámi-

cos se evalúan con esas condiciones (contornos fijos), por lo que no afectan al movi-

miento de los puntos frontera. Ésta es la aproximación utilizada por la mayor parte de

los autores (Avello, 1995), así como por la aplicación comercial MSC Adams.


37

2.2.3 Selección de modos

Tal como se han definido en el Apartado 2.2.1, en esta Tesis se va a utilizar una combinación

de modos estáticos y dinámicos. La selección de los primeros se determina en los puntos fron-

tera del elemento flexible de manera coherente con las condiciones de contorno. Es decir,

para las condiciones de contorno de restricción según el tipo de par, se fijan únicamente las

coordenadas en las que los pares transmiten fuerzas o momentos entre elementos, mientras

que en las de Craig-Bampton se fijan todos los puntos frontera.

Para el caso de las condiciones de contorno según las restricciones de par, los modos dinámi-

cos se calculan con las mismas expresiones utilizadas para Craig-Bampton, aunque con una

pequeña modificación: no se fijan todas las coordenadas de los nudos frontera, sino únicamen-

te aquéllas que reciben fuerzas y/o momentos de los pares a los que se unen. Dicho de otra

forma, las coordenadas de los nodos frontera que no reciben fuerzas de los pares se compor-

tan como las componentes de los nodos internos y se calculan junto a éstos.

En mecanismos complejos como el chasis de la Figura 2.7, en los que hay muchos puntos fron-

tera, el cálculo de modos según ambos tipos de condiciones de contorno no puede aplicarse

de manera estricta por dos motivos. Por un lado, el número de modos estáticos sería excesi-

vamente alto; por otra parte, al fijar tantos puntos del mecanismo los modos dinámicos resul-

tantes no aportarían unas deformadas realistas. El primer problema tiene dos posibles solu-

ciones:

Suponer desplazamientos unitarios no sólo en un punto, sino en una zona del con-

torno o en varios puntos simultáneamente para definir un modo estático. Esto implica

que dichas zonas del cuerpo flexible se comportarán como zonas rígidas.

Dejar varios puntos frontera libres, sin restricciones. De esta manera no se definen en

ellos sus correspondientes modos estáticos. En dichos puntos la deformación vendrá

dada por la amplitud de los modos dinámicos.

La primera solución implica que ciertas zonas del sólido flexible se moverán solidariamente.

Por ejemplo, es posible considerar el desplazamiento de cada uno de los dos puntos de unión

de los triángulos de una suspensión, con lo que se reduciría de cuatro a uno el número de mo-

dos estáticos en cada dirección en dicha parte del chasis (Figura 2.8). Esta suposición es perfec-

tamente válida si los triángulos que se conectan al chasis se consideran como rígidos.

El no considerar modos estáticos en algunos puntos frontera puede ser una buena aproxima-

ción siempre que en dichos puntos los modos dinámicos no presenten grandes amplitudes ni

existan fuerzas o momentos importantes. En caso de que los esfuerzos que en ellos actúan

sean significativos, será necesario incluir un mayor número de modos dinámicos para que la

deformación resultante aproxime bien la realidad. En el caso del chasis de la Figura 2.7, estos

puntos pueden ser las uniones de las suspensiones con el chasis o incluso una parte significati-

va del propio chasis.


38

Figura 2.8. Modos estáticos combinados: suspensión delantera izquierda y parte frontal.

Por regla general, la selección de un conjunto válido y suficiente de modos estáticos y dinámi-

cos ha de realizarse manualmente. Los modos estáticos no suelen constituir un conjunto muy

grande, ya que o bien no hay muchos puntos frontera o bien se utilizan modos compuestos. En

todo caso, siempre se pueden seleccionar únicamente aquéllos que puedan recibir fuerzas de

cierta magnitud. En el caso de los modos dinámicos, el cálculo de valores y vectores propios

suele requerir la determinación de un gran número de ellos, tantos como coordenadas de no-

dos tenga el mallado del elemento flexible. Un método ampliamente utilizado consiste en se-

leccionar el conjunto de modos que tengan las menores frecuencias naturales y cuyas defor-

madas tengan más probabilidades de ser excitadas por las fuerzas aplicadas.

Wallrapp and Wiedemann (2004) presentan un método que permite calcular para cada modo

unos coeficientes de participación en la deformación de cada nodo del elemento flexible. Esto

permitiría seleccionar de una manera automatizable los modos que más influyan en la defor-

mación del elemento flexible, en función de la configuración del mecanismo y de su movimien-

to. Sin embargo, el método presenta dos inconvenientes: el cálculo se realiza en una posición

arbitraria del mecanismo, con lo cual se calcula el peso de los modos únicamente para esa

configuración; por otra parte, inicialmente es necesario evaluar todos los modos para deter-

minar cuáles de ellos influyen más en la deformación del cuerpo flexible.

El programa de simulación de mecanismos MSC Adams utiliza un método simple y eficaz de

selección de modos que, además, permite asegurar que los modos seleccionados son inde-

pendientes entre sí. Para ello, partiendo del método de Craig-Bampton, calculan un nuevo

conjunto de modos mediante un segundo cálculo de vectores y valores propios a partir de las

matrices de masas y rigideces proyectadas sobre el conjunto de modos original:

* 2 * * K M ψ 0 (2.12)

* *, T T

K φ ψ K φ ψ M φ ψ M φ ψ (2.13)

Cinemática del elemento flexible

39

Estos nuevos modos *

ψ son ortogonales entre sí. Además, es posible identificar y descartar

los modos de sólido rígido ya que su frecuencia es cero. Dado que todos los modos tienen una

frecuencia asociada, es posible elegir un subconjunto a partir de un valor umbral para dicha

frecuencia. Los que más influencia tienen en el movimiento global frecuentemente estarán

relacionados con las frecuencias más bajas. Los modos finales son el resultado de la expresión:

* ψ φ ψ ψ (2.14)

Estos modos son totalmente compatibles con la formulación propuesta en esta Tesis. Un pe-

queño inconveniente que tienen es que los modos resultantes de esta doble ortogonalización

no tienen un sentido físico claro. Por otra parte, aparecen deformaciones simultáneamente en

todos los nudos frontera, lo que supone una desventaja respecto al método de Craig-Bampton

desde el punto de vista del cálculo de las posiciones, velocidades y aceleraciones mediante los

métodos topológicos.

2.3 Cinemática del elemento flexible

2.3.1 Cálculo de posiciones

La posición de un punto P del elemento flexible respecto al sistema inercial se puede calcular

combinando las expresiones (2.1) y (2.4):

0 0

1 1

e d

i j

n nt t

P P Pu P i P j

i j

r r Ar r A r φ ψ (2.15)

En el caso de las condiciones de contorno de Craig-Bampton, la expresión (2.15) se simplifica

notablemente para los nodos frontera, ya que las amplitudes de los modos dinámicos no afec-

tan a dichos puntos. Por otro lado, los modos son ortogonales entre sí y el número de modos

estáticos ne que afectan a cada punto frontera es siempre menor o igual a tres:

0 0

1

e

i

nt

P Pu P i

i

r r Ar r A r φ (2.16)

Cuando el modelo de elementos finitos del cuerpo flexible está formado por nodos en los que

se definen únicamente las coordenadas de traslación, la matriz de rotación en cada punto

coincide con la del sistema de referencia local. Sin embargo, es más habitual utilizar modelos

formados por elementos finitos de tipo viga, placa o cáscara en los que los desplazamientos de

los nodos no sólo se definen mediante las coordenadas de traslación, sino también mediante

pequeñas rotaciones. Esto implica que en los puntos de la discretización de elementos finitos

cada nodo tiene una matriz de rotación propia PA asociada a la matriz del sistema local y al

desplazamiento angular del propio nodo:

P d d A A A A A (2.17)


40

donde A es la matriz de rotación del punto P respecto al sistema de referencia inercial. Las

matrices dA y dA son respectivamente las matrices de rotación por deformación del nodo

referidas a los sistemas de referencia local y global. Para pequeñas deformaciones dicha matriz

de rotación puede aproximarse mediante la siguiente expresión:

1

1

1

z y

d z x

y x

A I θ (2.18)

El vector θ contiene las tres componentes rotacionales de la deformación en cada punto, que

es combinación lineal de las componentes rotacionales de los modos estáticos i

r

Pφ y dinámi-

cos j

r

pψ , según la expresión (2.5). Combinando ambas expresiones resulta:

1 1

e d

i j

n nr r

p n P i P j

i j

A A A A I φ ψ (2.19)

Las expresiones anteriores son válidas tanto para los nodos internos y frontera que aparecen

según la discretización mediante el MEF, como para cualquier punto material del elemento

flexible. En los primeros las componentes de los modos se extraen directamente de los vecto-

res obtenidos en las expresiones (2.10) y (2.11) para el cálculo de los modos estáticos y diná-

micos, respectivamente. Para un punto material cualquiera, los modos asociados a ese punto

se obtienen por interpolación de los modos en los nodos, utilizando las funciones de interpola-

ción para cada coordenada. Dichas funciones se ensamblan en las matrices N para cada ele-

mento del mallado de elementos finitos:

p φ N φ (2.20)

p ψ N ψ (2.21)

2.3.2 Cálculo de velocidades

La velocidad del punto P del sólido flexible se obtiene derivando la expresión (2.15). La orien-

tación de los modos estáticos y dinámicos según el sistema de referencia local es constante,

variando únicamente su amplitud respecto al tiempo. El vector ω es la velocidad de rotación

del sistema de referencia flotante. Así, la expresión de la velocidad queda:

0

1 1 1 1

e d e d

i j i j

n n n nt t t t

P Pu P i P j P i P j

i j i j

v v ω A r φ ψ A φ ψ (2.22)

En esta Tesis se utiliza una variante de la formulación semi-recursiva RTDyn1 desarrollada por

Jiménez (1993), que plantea la velocidad de un punto del elemento, no respecto al origen del

sistema de referencia local, sino referida al punto que en cada instante coincide con el origen


41

del sistema de referencia fijo. En el caso del elemento flexible este punto debe estar rígida-

mente unido al sistema de referencia flotante, de tal manera que la velocidad de éste se calcu-

le únicamente en función de la velocidad del origen del sistema local y el vector de rotación de

éste, y no de las derivadas de la deformación. Denominando s a la velocidad del punto coinci-

dente con el origen del sistema inercial, la expresión de la velocidad es:

0 0 0 0 s v ω r v ω r (2.23)

0 0 v s ω r (2.24)

De esta manera, es posible expresar la velocidad de cualquier punto material del elemento

flexible en función del punto coincidente con el origen del sistema inercial, sustituyendo (2.24)

en (2.22) y agrupando términos en la forma:

0

1 1 1 1

e d e d

i j i j

n n n nt t t t

P Pu P i P j P i P j

i j i j

v s ω r A r φ ψ A φ ψ (2.25)

1 1

e d

i j

n nt t

P P P i P j

i j

v s ω r A φ ψ (2.26)

Dado que en muchos casos se definen rotaciones en los nodos de un sólido flexible, cada uno

de dichos nodos tiene su propia velocidad angular, que es función de la velocidad de rotación

del sistema de referencia local y de las derivadas respecto al tiempo de las amplitudes de los

modos de deformación. Éstos últimos se comportan como si fueran pares de revolución cuyos

ejes están definidos por las componentes de los modos. Así, la velocidad angular de un punto

P se calcula según la expresión siguiente:

1 1

e d

i j

n nr r

P P i P j

i j

ω ω A φ ψ (2.27)

Muchos autores ensamblan las velocidades lineales y angulares en un único vector, lo que

simplifica la notación. Agrupando las expresiones (2.26) y (2.27):

1 1

1 1

1

1

n n ee d

n ne d

d

t t t t

P P P P nP P

r r r rP P P P P

n

φ φ ψ ψv I r s A 0

ω 0 I ω 0 A φ φ ψ ψ (2.28)

Se denomina Z al vector que ensambla las velocidades lineal y angular del elemento referido

al punto que en cada instante coincide con el origen del sistema inercial. Las velocidades de las


42

amplitudes modales estáticas y dinámicas se condensan, respectivamente, en los vectores η y

ε . Agrupando el resto de términos en las matrices SR

PD y Flex

PD las velocidades del punto P se

pueden expresar como:

SR Flex

P P P

P

Zv η

D Z D D ηω ε

ε

(2.29)

Las formulaciones topológicas, en general, evalúan las velocidades de un elemento respecto al

anterior siguiendo las cadenas cinemáticas del mecanismo. En el elemento flexible esto no es

directamente posible, ya que la velocidad de rotación de los nudos frontera varía con respecto

a la velocidad angular del sistema de referencia local. Intuitivamente, se puede apreciar que

los modos se comportan de manera análoga a los pares cinemáticos que unen dos elementos.

Esta suposición se puede demostrar mediante el uso de un sistema de referencia propio del

punto frontera. Si se considera la velocidad del punto rígidamente unido a dicho sistema de

referencia y que en un instante coincide con el origen inercial, se verificará:

P P P P P P P s v ω r v ω r (2.30)

Sustituyendo (2.26) y (2.27) en (2.30), agrupando y eliminando términos, se puede llegar a la

siguiente expresión:

1 1 1 1

e d e d

i j i j

n n n nt t r r

P P P i P j P i P j P

i j i j

s s ω r A φ ψ ω A φ ψ r (2.31)

1 1 1 1

e d e d

i j i j

n n n nt t r r

P P i P j P P i P j

i j i j

s s A φ ψ r A φ ψ (2.32)

Al estar solidariamente unido este sistema de referencia al punto frontera, la velocidad angu-

lar es la de éste. Ensamblando (2.32) y (2.27), y comparando el resultado con (2.28), resulta:

P Flex

P P

I r ηZ Z D

0 I ε (2.33)

Así, por ejemplo, considérese un punto en el que hay un único modo estático de traslación en

una coordenada de un punto frontera con respecto a un eje u. El modo de traslación en dicho

punto t

φ es igual al vector de dirección de dicho eje, mientras todas las componentes del

modo de traslación t

φ son idénticamente nulas. Así, desarrollando (2.33), la velocidad del

punto con ese único modo es:

P

P

I r A 0 u uZ Z Z

0 I 0 A 0 0 (2.34)


43

El vector u corresponde a la orientación de la traslación respecto al sistema inercial, y se ob-

tiene de premultiplicar el eje local por la matriz de rotación del elemento. Análogamente, en el

caso en que el punto esté afectado únicamente por un modo de rotación respecto a un eje u,

la situación es la inversa: las componentes del modo de traslación son nulas, mientras que el

modo de rotación coincide con el eje de rotación:

P P

P

I r A 0 0 r uZ Z Z

0 I 0 A u u (2.35)

Los vectores que multiplican a las amplitudes modales en las expresiones (2.34) y (2.35) coin-

ciden, respectivamente, con los de un par prismático y otro de revolución. En el caso de que no

se utilice la reducción de Craig-Bampton, o que las condiciones de contorno permitan que un

modo afecte a más de una rotación o una translación, se aplica directamente la expresión

(2.33), siendo el resultado equivalente a combinar ambas expresiones.

2.3.3 Cálculo de aceleraciones

Las aceleraciones lineales del punto P se pueden obtener derivando las expresiones (2.26) y

(2.27) respecto al tiempo:

1 1

1 1

e d

i j

e d

i j

n nt t

P P P P i P j

i j

n nt t

P i P j

i j

a s α r ω v ω A φ ψ

A φ ψ

(2.36)

Sustituyendo la velocidad del punto y agrupando términos se obtiene la expresión siguiente:

1 1

1 1

2

e d

i j

e d

i j

n nt t

P P P P i P j

i j

n nt t

P i P j

i j

a s α r ω ω r A φ ψ

ω A φ ψ

(2.37)

Los primeros tres términos son equivalentes a la aceleración de sólido rígido. El cuarto expresa

la aceleración relativa en función de las segundas derivadas de las amplitudes modales respec-

to al tiempo, y el último término representa la aceleración de Coriolis. Análogamente, derivan-

do la expresión (2.27) se puede calcular la aceleración angular:

1 1 1 1

e d e d

i j i j

n n n nr r r r

P P i P j P i P j

i j i j

α α ω A φ ψ A φ ψ (2.38)

Al igual que en el cálculo de velocidades, para la evaluación recursiva de las aceleraciones de

un mecanismo es necesario establecer un sistema de referencia en cada punto frontera, que

permita establecer la relación entre la aceleración del cuerpo flexible y la del siguiente ele-


44

mento de la cadena cinemática, que se une en dicho punto. Derivando (2.35), la aceleración

resulta ser:

P PFlex Flex

P P P

I r η 0 v ηZ Z D D

0 I ε 0 0 ε (2.39)

La matriz del segundo término que multiplica las segundas derivadas de las amplitudes de los

modos es idéntica a aquélla definida para el término de velocidades. Análogamente al caso de

velocidades, es fácil demostrar que el tercer término es una combinación lineal de vectores

idénticos a los que aparecen en los pares prismático y de revolución.

2.4 Dinámica del elemento flexible

2.4.1 Energía cinética

Para obtener la expresión de la energía cinética del elemento flexible se utiliza una interpola-

ción de velocidades que hace uso de las mismas funciones de interpolación iN que con las

que se define la deformación (Cardona and Géradin, 1991). Así, la velocidad en un punto cual-

quiera del elemento flexible i se obtiene interpolando las velocidades de los nudos con la mis-

ma función de interpolación utilizada para las posiciones:

N r N v (2.40)

La matriz N contiene las funciones de interpolación iN de las coordenadas de ese nodo. El

vector Nv contiene todas las velocidades de los nodos del mallado obtenido por el MEF. Esta

interpolación no es consistente con la expresión (2.26). Sin embargo, los valores obtenidos son

muy parecidos o incluso iguales, suponiendo un buen número de elementos finitos.

Figura 2.9. Elemento plano de cuatro nodos.

s

b

c

1 2

3 4

x

y

Dinámica del elemento flexible

45

Así por ejemplo, considérese el elemento de la Figura 2.9. Éste es un elemento plano definido

por cuatro nodos en los que se definen sólo los desplazamientos. La altura del rectángulo es 2b

y la anchura 2c. La función de interpolación viene dada por la siguiente expresión:

1 2 3 4

1 2 3 4

0 0 0 0

0 0 0 0

N N N N

N N N N

N (2.41)

1

2

3

4

1(1 )(1 )

4

1(1 )(1 )

4

1(1 )(1 )

4

1(1 )(1 )

4

N

N

N

N

(2.42)

1 1

1 1

x

b

y

c

(2.43)

Dado que el elemento no tiene rotaciones, la velocidad angular es la misma para cualquier

punto. Las velocidades de los nodos tienen entonces la siguiente expresión:

1 1

2 2

3 3

4 4

N

s ω r A q

s ω r A qv

s ω r A q

s ω r A q

(2.44)

Sustituyendo las velocidades (2.44) en (2.40) se obtiene la aproximación de la velocidad de un

punto por la interpolación de las velocidades de los nodos:

1 1

1 2 3 4 2 2

1 2 3 4 3 3

4 4

0 0 0 0

0 0 0 0N

N N N N

N N N N

s ω r A q

s ω r A qN v

s ω r A q

s ω r A q

(2.45)

4

1

4 4 4

1 1 1

0

0

0 0 0

0 0 0

i

N i i

i i

i i i

i i

i i ii i i

N

N

N N N

N N N

N v s ω r A q

s ω r A q

(2.46)


46

Cada bloque de la matriz es una matriz identidad multiplicada por una constante. Esto permite

poder conmutar esta matriz en los productos vectoriales y matriciales:

4 4 4

1 1 1

0 0 0

0 0 0

i i i

N i i

i i ii i i

N N N

N N N

N v s ω r A q (2.47)

Es fácil demostrar que la suma de las cuatro funciones de interpolación es 1. Esto hace que el

primer término sea igual a la velocidad s . En el segundo sumando el término entre paréntesis

corresponde a la interpolación de cualquier punto del elemento, que depende de las variables

y de las funciones de interpolación iN . Dado que las funciones de interpolación están

normalizadas, la posición de cualquier punto del elemento puede obtenerse como interpola-

ción de los nodos utilizando las mismas funciones de interpolación. Este tipo de elementos se

denominan isoparamétricos. Por último, el paréntesis del tercer término es la interpolación de

los desplazamientos del punto. De esta forma, la expresión (2.47) se simplifica quedando en la

forma:

N N v s ω r A q (2.48)

que es la expresión exacta de la velocidad en un punto cualquiera. En general, es fácil generali-

zar esta demostración para cualquier elemento isoparamétrico. Por tanto, la interpolación de

velocidades es consistente con este tipo de elementos finitos. Avello (1995) también demues-

tra esta coincidencia para el caso de una viga de Timoshenko. Sin embargo, en elementos es-

tructurales como la viga de Euler-Bernouilli o con los elementos cáscara o placa, en los que

también se establecen rotaciones infinitesimales para definir la deformación de un punto, esta

interpolación es sólo una aproximación válida para pequeños desplazamientos. Lo mismo ocu-

rre con los elementos sub y superparamétricos.

Sustituyendo esta interpolación de velocidades en la expresión de la energía cinética T , se

obtiene:

1 1 1 1

2 2 2 2

T T T T T T MEF

N N N N N NV V V

T dm dm dm r r v N Nv v N N v v M v (2.49)

La matriz MEFM es la matriz de masas del MEF expresada en el sistema de referencia global:

MEF T

Vdm M N N (2.50)

La matriz de masas es constante si está referida al sistema de referencia local, y puede calcu-

larse fácilmente o importarse de un programa de elementos finitos. Para establecer su orien-

tación respecto al sistema de referencia inercial, es necesario realizar en cada instante la trans-

formación siguiente:


47

T

T

MEF MEF MEF T

N N

T

A 0 0 A 0 0

0 A 0 0 A 0M M A M A

0 0 A 0 0 A

(2.51)

donde MEFM es la matriz de masas respecto al sistema de referencia local y NA es una ma-

triz diagonal por bloques con tantas matrices de rotación A como nodos tenga el mallado. En

caso de que en los nodos se definan también rotaciones, la matriz NA tendrá dos matrices de

rotación por nodo.

La expresión (2.29) permite calcular la velocidad de cualquier punto del elemento flexible en

función de las velocidades del sistema de referencia local y las amplitudes modales. Ensam-

blando las velocidades nodales se llega a:

11 1 11 1

1

11 1 11 11

2 21 2 21 22

2 21 2 21 2

1 1

f i

f i

f i

f i

f i

t t t t

n n

r r r r

n n

t t t t

n n

r r r rN n n

t t t tn

n n nn n nn

nn

3 1

3 3

3

3 3

3

3 3

I r Aφ Aφ Aψ Aψv

0 I Aφ Aφ Aψ Aψω

I r Aφ Aφ Aψ Aψv

v ω 0 I Aφ Aφ Aψ Aψ

v I r Aφ Aφ Aψ Aψ

ω0 I Aφ

1

1

1 1

s

f i d

n

r r r t

nn n nn n

s

ω

Z

D η

ε

Aφ Aψ Aψ

(2.52)

La matriz D expresa la relación entre las velocidades de los nodos por un lado, y las velocida-

des del sistema de referencia local y las amplitudes modales por otro. Sustituyendo en (2.49)

se puede calcular la energía cinética en función de las velocidades del elemento:

1

2

T T MEFT

Z

Z η ε D M D η

ε

(2.53)

Por tanto, es posible obtener una aproximación de la matriz de masas del elemento flexible en

función de las variables o coordenadas que definen su posición. La matriz D se puede partir

según las columnas que afectan a las variables del sistema de referencia local, los modos está-

ticos y los modos dinámicos:

flexSR SR

D D D D D D (2.54)

Sustituyendo en (2.53) se puede expresar la matriz de masas en función de los distintos blo-

ques que dependen de cada coordenada generalizada:


48

1

2

T T TSR MEF SR SR MEF SR MEF

T TT MEF MEF

TMEF

T

sim

D M D D M D D M DZ

Z η ε D M D D M D η

εD M D

(2.55)

Tal como se puede comprobar en (2.28) y (2.51), tanto la matriz D como la matriz de masas

están multiplicadas por la matriz de rotación. Es fácil demostrar que los siguientes términos de

la matriz anterior son constantes:

T T

MEF MEF T MEF

N N N N

D M D A D A M A A D D M D (2.56)

T T

MEF MEF T MEF

N N N N


T T

MEF MEF T MEF

N N N N


El resto de elementos de la matriz son no lineales y varían en cada instante. La matriz de masas

puede partirse en función de las coordenadas a las que hace referencia, esto es, las velocida-

des del sistema de referencia local, y las amplitudes de los modos estáticos dinámicos:

, ,

,

SR SR SR

T MEF

sim

M M M

D M D M M

M

(2.59)

2.4.2 Energía potencial elástica del elemento flexible

La energía potencial de deformación no depende de la posición del sistema de referencia local

sino de las amplitudes de los modos de deformación. En la siguiente demostración se va a con-

siderar el caso más complejo que se puede presentar, que corresponde a un elemento con un

sistema de referencia tangente unido a un punto material e, y en el que se han definido tanto

modos estáticos como dinámicos, siendo éstos calculados fijando los nodos frontera. El resto

de casos se pueden obtener como simplificaciones de éste. El vector de desplazamientos noda-

les, que se denominará Nq , se puede evaluar nodo a nodo según la expresión (2.4) que matri-

cialmente se expresa según:

e

N i i i

f

q 0 0η

q q ψ φε

q 0 I

(2.60)

De acuerdo a estos desplazamientos, es posible evaluar la energía potencial elástica por blo-

ques a partir de la matriz de rigideces de los elementos finitos:


49

1 1

2 2

T

T MEF T T MEFi

i i iT

i

V

0 0η0 ψ 0

q K q η ε K ψ φε0 φ I

0 I

(2.61)

La matriz de rigideces se puede dividir por bloques, en función de los puntos de entrada e,

internos i y de frontera f:

1

2

1

2

ee ei efT

T T i

i ii if i iT

i

ff

T T T

i ii i i if fi i ff i ii i if iT T

T

i ii i

V

sim

sim

K K K 0 0η0 ψ 0

η ε K K ψ φε0 φ I

K 0 I

φ K φ φ K K φ K φ K ψ K ψ ηη ε

ψ K ψ ε

(2.62)

Los modos estáticos en los nudos internos se evalúan según (2.7). Sustituyendo este resultado

en los bloques fuera de la diagonal, es fácil demostrar que éstos son idénticamente nulos:

1 1T

T

i ii if i ii i fi ii if iii fi i

φ K K φ K ψ K K K K K ψ 0 (2.63)

Por otra parte, sustituyendo la expresión de los modos estáticos en el primer bloque diagonal,

la expresión también se simplifica, quedando únicamente la matriz de rigideces condensada en

los nodos frontera:

1

1 1 1 1

1

T T

i ii if i ii i i if fi i ff

T T

fi ii ii ii if fi ii if fi ii if ff

T

fi ii if ff

φ K K φ K φ φ K K φ K

K K K K K K K K K K K K

K K K K K

(2.64)

Por último, el segundo bloque de la diagonal es una matriz diagonal que contiene las frecuen-

cias naturales del elemento flexible:

2 2 2 2

1 2diag , ,...,T

i ii i n ψ K ψ Ω (2.65)

Sustituyendo en la expresión (2.62), la expresión de la energía potencial elástica resultante es

muy simple:

2

1

2

T T

iV

ηK 0η ε

ε0 Ω (2.66)

Como se puede ver en esta expresión, la energía potencial elástica es independiente de si exis-

te un punto fijo solidario al sistema de referencia o, por el contrario, de que los modos se ha-

yan calculado con respecto a un sistema tipo Buckens o Tisserand.


50

La fuerza generalizada debido a la deformación se puede calcular a partir de la energía poten-

cial elástica:

2elast

dV

dq

ηK 0Q

ε0 Ω (2.67)

2.4.3 Fuerzas externas y de volumen

El cálculo de las fuerzas generalizadas debidas a esfuerzos externos es sencillo. Considérese

una fuerza puntual aplicada sobre un sólido flexible en un punto P del mismo. La expresión

de la fuerza generalizada es la siguiente:

T

TPext ext P ext

rQ F D F

q (2.68)

El vector q contiene las variables que definen la posición y orientación del sistema de referen-

cia y los modos de deformación. La matriz que expresa las derivadas de las posiciónes de los

nodos del cuerpo flexible es PD obtenida en (2.29). Si el punto coincide con uno de los nodos

del mallado de elementos finitos su evaluación es directa. En caso contrario, será necesario

interpolar tanto la posición del punto como los modos de deformación del sólido. Otra opción

es establecer las fuerzas nodales que equivalen a las fuerzas externas y proyectar sobre las

variables de estado mediante la matriz D .

T MEF

ext ext Q D F (2.69)

En este caso el sistema de referencia que se utilice para calcular las fuerzas nodales equivalen-

tes debe coincidir con el sistema de referencia local utilizado en la simulación multi-cuerpo.

Por esta razón la expresión (2.69) no resulta tan útil como la anterior a efectos prácticos. Sin

embargo, establecer la relación de las fuerzas generalizadas con las fuerzas aplicadas del Mé-

todo de Elementos Finitos ayudará en la deducción de las ecuaciones dinámicas del cuerpo

flexible que se realizará en el siguiente apartado.

En el caso de la evaluación de las fuerzas de volumen, el cálculo es más complejo ya que es

necesario integrar la expresión anterior del modo siguiente:

T

PV

V

dv

r

Q Fq

(2.70)

En general, prácticamente todas las referencias analizadas (Avello, 1995; Shabana, 1998; Lu-

grís, 2008) exponen la necesidad de calcular directamente esta integral en cada instante de

tiempo. Esto obliga a conocer necesariamente las funciones de interpolación del elemento y

realizar dicha evaluación en cada paso de integración. Sin embargo, basándose en la misma

metodología utilizada en el cálculo estático del Método de Elementos Finitos, este problema


51

puede simplificarse en un buen número de casos prácticos. Para ello es posible suponer que la

fuerza de volumen en cada punto puede evaluarse como interpolación del valor de las fuerzas

en los nodos recurriendo a las mismas funciones de interpolación utilizadas para los desplaza-

mientos del elemento flexible. Si además se considera la interpolación de velocidades (2.40),

es posible obtener la matriz pD como interpolación de las matrices D de cada nodo. Tenien-

do en cuenta ambas aproximaciones, se obtiene:

TT Tp

V p N N

V V V

T T T T T MEF

N N V

V V

dv dv dv

dv dv

rQ F D N f N D N f

q

D N N f D N N f D F

(2.71)

El vector MEF

VF contiene las fuerzas nodales equivalentes correspondientes a las fuerzas de

volumen del elemento. Las fuerzas de volumen calculadas por el Método de Elementos Finitos

están referenciadas al sistema de coordenadas local del elemento flexible. Sin embargo, lo más

habitual es que las fuerzas aplicadas sobre un sólido flexible sean constantes con respecto al

sistema inercial y no con respecto al sistema local. Esto hace necesario realizar un proceso algo

más complejo. Para un elemento flexible con N nodos:

Directamente, o bien mediante una aplicación de elementos finitos, se obtienen por

separado las fuerzas nodales equivalentes xf , yf y zf , correspondientes a aplicar una

fuerza idéntica a la fuerza de volumen original pero orientada según cada una de las

tres direcciones del sistema de referencia local del elemento.

A partir de la dirección real de la fuerza distribuida respecto al sistema inercial se esta-

blece el vector de 3 filas v .

Se ensamblan los tres vectores xf , yf y zf en una matriz. Para cada instante, se pro-

yecta dicha matriz respecto al sistema de referencia inercial:

2

T

U x y z N x y z

A 0 0

0 A 0Q f f f A A f f f A

0 0 A

(2.72)

Premultiplicando el vector de direcciones v por la matriz anterior se obtiene el vector

de fuerzas nodales equivalentes actuando en los nodos del sistema pero orientadas

según el sistema de referencia inercial.

Finalmente las fuerzas generalizadas en los nodos se transforman según el sistema lo-

cal y los modos de deformación:

T

V UQ D Q v (2.73)


52

La expresión (2.72) corresponde al caso más habitual en el que la fuerza distribuida está apli-

cada únicamente según las coordenadas Cartesianas. Sin embargo, también puede extenderse

para incluir también fuerzas distribuidas que también afecten a las rotaciones nodales. Para

ello se evaluarían otros tres vectores adicionales ( 1rf , 2rf y 3rf ) que transforman la fuerza

distribuida según las coordenadas de rotación. La expresión (2.72) quedaría en la forma:

2 1 2 3U N x y z r r r

A 0Q A f f f f f f

0 A (2.74)

Por otra parte, el vector v incluiría los tres giros respecto al sistema inercial. Esto da generali-

dad a la expresión anterior, pero es poco práctico en la mayoría de los casos. Los dos primeros

pasos del método propuesto se realizan una única vez. En cada evaluación de las fuerzas du-

rante la integración de las ecuaciones dinámicas se evaluará la fuerza generalizada mediante la

expresión (2.73).

Figura 2.10. Viga sometida a una carga triangular vertical constante.

Por ejemplo, considérese la viga plana de la Figura 2.10. Este elemento está sometido a una

carga triangular vertical constante que es independiente de la inclinación de la viga en el plano

y cuyo valor máximo es q. De acuerdo con el método descrito, se evalúan las fuerzas xf , yf y

zf dando un valor unitario a q en cada uno de los ejes del sistema de referencia local. Por otro

lado, se establece fN dando el valor q en la dirección real de la carga, que corresponde con el

eje Y. Así:

q

1

2 α


53

2 10 0

3 3

2 10 0

3 3

T T Tx

U T T Ty

ql ql

ql ql

f A 0 A 0Q A A

f 0 A 0 A (2.75)

0

0

1

0

0

1

N

f (2.76)

Para el caso particular del peso no es necesario realizar este proceso, sino que se puede parti-

cularizar la expresión (2.71) de una manera mucho más simple: para ello se pueden interpolar

las fuerzas nodales equivalentes Nf en cada nodo, de tal manera que la gravedad aparece en

las componentes de traslación de dichos nodos:

T T T T

peso N

V V

T T T MEF

V

dv dv

dv

g

0

g

Q D N N f D N N 0

g

0

g g

0 0

g g

D N N D M0 0

g g

0 0

(2.77)

2.4.4 Ecuaciones dinámicas del sólido flexible

Una vez establecidas las energías cinética y potencial en función de las amplitudes modales y

de las velocidades del sistema de referencia local, es fácil deducir las ecuaciones dinámicas del

elemento flexible sin restricciones, que se pueden calcular a partir de la fórmula de Lagrange

(Avello, 1995). Otra forma de deducirlas es mediante el Teorema de las Potencias Virtuales.

Partiendo de las ecuaciones expresadas según el Método de Elementos Finitos:

* 0T MEF MEF MEF MEF

N N elast ext VW q M q F F F (2.78)


54

donde *

Nq son las velocidades virtuales compatibles con las ecuaciones de restricción. El ca-

rácter virtual de las velocidades se indicará a partir de ahora con un asterisco. Por tanto, a

partir de la expresión (2.52) que relaciona las velocidades nodales con las velocidades del sis-

tema de referencia local y las derivadas de las amplitudes modales, es posible establecer la

relación entre las velocidades virtuales de los nodos y las velocidades virtuales según las varia-

bles de estado:

*

* *

*

N

Z

r D η

ε

(2.79)

Derivando la expresión (2.52) se puede obtener la aceleración de los nodos en función de las

aceleraciones y de las velocidades de las variables de estado:

N

Z Z

q D η D η

ε ε

(2.80)

Sustituyendo ambas expresiones en las ecuaciones de la potencia virtual (2.78) se obtiene:

* * * 0T

T T T T MEF MEF MEF MEF

elast ext VW

Z Z

Z η ε D M D η D η F F F

ε ε

(2.81)

Las variables del vector de velocidades virtuales son independientes y pueden tomar cualquier

valor. Por tanto, para que la potencia virtual sea cero los factores que las multiplican en la

expresión (2.81) deben ser cero. Agrupando términos, queda:

0T MEF T MEF T MEF MEF MEF

elast ext V

Z Z

D M D η D M D η D F F F

ε ε

(2.82)

Los términos de fuerzas elásticas, las fuerzas externas aplicadas sobre el elemento y las fuerzas

de volumen, al premultiplicarlas por la transpuesta de la matriz D, corresponden con las fuer-

zas generalizadas elastQ , extQ y VQ , tal como se puede ver en las expresiones (2.67), (2.69) y

(2.71).

El segundo término en (2.82) corresponde de las fuerzas de inercia dependientes de la veloci-

dad. En la práctica no es necesario evaluar la matriz D , sino que se puede calcular explícita-

mente el producto de dicha matriz por las velocidades de las variables del sistema. Tal como se

puede comprobar en la expresión (2.80), el valor de dicho producto matricial corresponde a las

aceleraciones de los nodos cuando las aceleraciones correspondientes a las segundas deriva-


55

das son cero. Para cada nodo, esto se puede obtener aplicando directamente las expresiones

(2.37) y (2.38), correspondientes a la aceleración linear y angular, respectivamente, en cada

punto. Si se anulan s , α , i y j , ensamblando para todos los nodos, resulta la siguiente

expresión:

1 1 1

1 1

1 1

1 1

2 2 2

1 1

2 2

1 1

2

2

2

e d

i i

e d

i i

e d

i i

e d

i i

n nt t

i j

i j

n nr r

i j

i j

n nt t

i j

i j

n nr r

i j

i j

n

ω ω r ω A φ ψ

ω A φ ψ

ω ω r ω A φ ψZ

D ηω A φ ψ

ε

ω ω r ω1 1

1 1

e d

i i

e d

i i

n nt t

n i n j

i j

n nr r

n i n j

i j

A φ ψ

ω A φ ψ

(2.83)

Las ecuaciones dinámicas del sólido flexible sin restricciones pueden expresarse de una forma

más compacta:

0elast ext V inercia M q Q Q Q Q (2.84)

siendo:

T MEF T MEF

inercia

Z Z Z

q η q η M D M D Q D M D η

ε ε ε

(2.85)

Si se comparan estas expresiones con las correspondientes para sólido rígido (por ejemplo, en

Rodríguez 2000), puede verse que ambas son prácticamente equivalentes hasta tal punto que

las fórmulas de sólido rígido pueden considerarse un caso particular de las de elementos flexi-

bles, en las que los modos de deformación no se aplican.


56

2.5 Resolución de la simulación dinámica mediante for-mulaciones topológicas semi-recursivas

2.5.1 Cinemática del mecanismo

La formulación recursiva presentada en esta Tesis se basa en una estructura topológica que

establece la relación entre los distintos elementos en función de los pares que los unen. Esta

estructura es única en mecanismos de cadena abierta. En los sistemas de cadena cerrada es

necesario primero abrir los lazos cerrados eliminando ciertos pares. Esto hace que la configu-

ración topológocia se pueda definir de distintas formas. En Funes et al. (2004b) se establecen

ciertos criterios de ruptura de par en función del tipo de unión y se define un algoritmo que

permite determinar el árbol topológico de manera automática. La relación entre los elementos

de un mecanismo permite evaluar la posición, velocidad y aceleración de cada uno de ellos en

función del elemento anterior. Considérense los dos elementos de la Figura 2.11 de un meca-

nismo unidos por un par. Dicho par une los puntos P1 y P2 de cada cuerpo.

Figura 2.11. Elementos flexibles unidos por un par.

La posición del punto P2 se puede obtener a partir de la posición del elemento anterior y de los

movimientos relativos que permite el par que une ambos cuerpos.

2 1 11,

1

pn

t

P P i i P j j

j

z

r r d r u (2.86)

Los valores iz corresponden a las coordenadas correspondientes a los grados de libertad del

par. Los vectores t

iu son vectores unitarios de los ejes de traslación, que pueden existir o no

según el tipo de unión entre ambos elementos. A partir de la expresión anterior es posible

Elemento i

gi

gi-1

Elemento i-1

pi-1 pi di-1,i

Resolución de la simulación dinámica mediante formulaciones topológicas semi-recursivas

57

establecer la posición del origen del sistema local del elemento i en función del sistema de

referencia del elemento anterior:

1 1 1 1

1 1

p pn n

t t

i i i i j j i i i j j i

j j

z z

g p g p u g g p u p (2.87)

El vector g define la posición del sistema de referencia local de cada elemento, mientras que

p representa la distancia entre el origen de dicho sistema y el punto de unión del par. En el

caso de que los elementos sean flexibles, sustituyendo la expresión (2.15) se obtiene una rela-

ción entre la posición de ambos sistemas, en función de los grados de libertad del par que los

une y de las amplitudes de los modos de los puntos frontera:

1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 , , 1

1 1 1

, ,

1 1

pe d

i j

e d

i j

nn nt t t

i i i P P i P P j P j j

i j j

n nt t

i P P i P P j P

i j

z

g g A r φ ψ u

A r φ ψ

(2.88)

La orientación del sistema de referencia del punto P2 dependerá del sistema de referencia en

el punto P1 y, en caso de que el par permita rotaciones, de los grados de libertad de dicho par.

Así, la matriz de rotación del elemento i vendrá dada por:

2 1P P par A A A (2.89)

La matriz parA es la matriz de rotación del par, expresada según el sistema de referencia local.

En caso de que el par permita varias rotaciones, se establecen varias rotaciones en serie, esta-

bleciendo cada rotación en función del sistema de referencia de la rotación anterior:

,1 ,2 , ppar par par par n A A A A (2.90)

Los vectores r

ju son vectores unitarios correspondientes a los ejes de rotación del par. Así, la

matriz de rotación debida a un giro j del par, expresada en coordenadas locales, queda:

, sin 1 cosr r r

par j j j j j jz z A I u u u (2.91)

Si los sólidos fueran rígidos, las matrices de rotación de los puntos P1 y P2 coincidirían con las

de los sistemas de referencia de cada cuerpo. Sin embargo, en los sólidos flexibles cada punto

tiene su propia matriz de rotación. Si se sustituye la expresión (2.19), que establece la relación

entre las matrices de rotación del sistema local del elemento flexible y el punto frontera, en la

expresión (2.89), y se considera que la matriz es ortogonal, se puede obtener una relación

entre las matrices de rotación de dos elementos flexibles unidos por un par:


58

2 2 1 11

1 1 1 1

e d e d

i j i j

n n n nr r r r

i P i P j i P i P j par

i j i j

A I φ ψ A I φ ψ A (2.92)

1 1 2 21

1 1 1 1

e d e d

i j i j

Tn n n n

r r r r

i i P i P j par P i P j

i j i j

A A I φ ψ A I φ ψ (2.93)

La velocidad del punto P2 puede obtenerse a partir de la velocidad del punto P1 del elemento

anterior y de la velocidad del par que une ambos cuerpos flexibles:

2 1 2 1

1

pn

t

P P P P j j

j

z

v v ω r r u (2.94)

Análogamente, la velocidad de rotación del punto P2 dependerá de la velocidad de rotación del

punto P1 y de la velocidad de rotación relativa del par:

2 1

1

pn

r

P P j j

j

z

ω ω u (2.95)

Ensamblando las expresiones (2.94) y (2.95) se obtiene una expresión más compacta:

2 1

2 1

pn tP P

jri jP P j

z

I r rv v u

ω ω u0 I (2.96)

En el caso de un par de revolución existe un eje de rotación ru y ninguno de traslación t

u . El

par prismático es el caso contrario, ya que únicamente tiene un eje de traslación. Los otros

pares más comunes pueden ser considerados como combinaciones de pares de rotación y/o

de traslación. Es menos habitual que haya pares que tengan un eje de rotación y otro de tras-

lación para el mismo grado de libertad, aunque sí existe este tipo de pares. Un ejemplo de este

tipo de pares son las levas o los pares piñón-cremallera.

Cuando los dos elementos unidos por el par son flexibles no es posible relacionar directamente

las velocidades de los sistemas de referencia de cada cuerpo ya que la velocidad de rotación

varía en cada punto frontera, tal como se demostró en el Apartado 2.3.2. Para poder obtener

esa relación es necesario primero recurrir al sistema de referencia de cada punto frontera:

2 12 1

2 1

2

1

1

1

p

p

n tP PP P

P P jrj j

n tP

P jrj j

z

z

I r rI r I r uZ Z

0 I 0 I u0 I

I r uZ

0 I u

(2.97)

Así, sustituyendo en esta expresión la relación (2.95) se obtiene:


59

2

2 1

2

1

1

1

1

1

p

p

p

n t

P i i

P P jrj j

n

rn tP j j

jP jrj j

z

zz

r ω ωuZ Z

0u

r uuZ

u0

(2.98)

Agrupando términos y sumandos, es posible relacionar las velocidades de los sistemas de refe-

rencia de ambos puntos mediante las velocidades y los ejes correspondientes a los coordena-

das relativas del par:

2

2 1

1

pn t r

P

P P jrj j

z

u r uZ Z

u (2.99)

Por regla general, es habitual expresar esta relación de la siguiente manera (Rodríguez, 2000):

2 1

1

pn

P P j j

j

z

Z Z b (2.100)

Como se demostró en el Apartado 2.3.2, en los elementos flexibles las velocidades Z de los

puntos P1 y P2 no coinciden con los vectores de velocidad del sistema de referencia local. Así,

para el caso de elementos flexibles, es posible sustituir las velocidades de cada punto según la

expresión (2.33), con lo que se obtiene una relación entre los vectores de velocidades del sis-

tema de referencia flotante del elemento i con respecto al del elemento flexible anterior i-1:

2 1

2 11

11

pn

P PFlex Flex

i P i P j j

ji i

z

I r η I r ηZ D Z D b

0 I ε 0 I ε (2.101)

1 2

1 21

11

pn

P PFlex Flex

i i P j j P

ji i

z

I r η I r ηZ Z D b D

0 I ε 0 I ε (2.102)

Para unificar la notación, dado que los modos de deformación se comportan como coordena-

das relativas en los puntos frontera, la expresión anterior se puede escribir de la siguiente ma-

nera:

1 2

1

1 1 1 1 1

pe d e dnn n n n

i i i i j j j j i i j j

i j j i jP P

z

Z Z Φ Ψ b Φ Ψ (2.103)

Los vectores y Φ Ψ son equivalentes a los b correspondientes a las coordenadas relativas de

los pares. Sin embargo, al contrario que en estos últimos, en los modos dinámicos es habitual

que una misma amplitud modal pueda afectar no sólo a la traslación o a la rotación, sino a

ambas simultáneamente. Además, los vectores tu y r

u frecuentemente no son unitarios. Por


60

otro lado, los modos estáticos en los puntos frontera son completamente equivalentes a las

coordenadas relativas de los pares.

Como puede comprobarse en la expresión anterior, las derivadas de las amplitudes modales se

comportan como si fueran pares adicionales que unen ambos elementos flexibles. Obsérvese

que si ambos sólidos fueran rígidos, los términos relativos a las amplitudes modales desapare-

cerían, coincidiendo la expresión (2.102) con la formulación para sólidos rígidos utilizada por

muchos autores (por ejemplo, Jiménez 1993).

En el caso de que los elementos sean flexibles, en todas las expresiones anteriores se ha consi-

derado la existencia de modos tanto estáticos como dinámicos en los puntos frontera. Éste es

el caso más general, y se aplica a las condiciones de contorno de Tipo 1 definido en el Aparta-

do 2.2.3. Para las condiciones de Craig-Bampton las expresiones son significativamente más

simples ya que no aparecerían modos dinámicos. Si, además, el origen del elemento i coincide

con el punto P2, la expresión es todavía más sencilla:

1

1

1 1

penn

i i i i j j

i jP

z

Z Z Φ b (2.104)

La relación entre las aceleraciones de los puntos P1 y P2 se obtiene derivando la expresión

(2.100):

2 1 1

1 1

p pn n

P P j j j j P j j j

j j

z z z

Z Z b b Z b d (2.105)

El vector jd depende del tipo de par (traslación o rotación). Para el caso de que los cuerpos i e

i-1 sean elementos flexibles, la expresión que se obtiene es análoga:

1

2

1

1 1 1

1 1

pe d

e d

nn n

i i i i i j j j j j j

i j jP

n n

i i i j j j

i j P

z

Z Z Φ υ Ψ λ b d

Φ υ Ψ λ

(2.106)

2.5.2 Sistemas de cadena abierta

Los mecanismos de cadena abierta son aquéllos cuya estructura topológica es abierta, sin lazos

cerrados, y similar a la forma de un árbol, de tal manera que para cada sólido sólo hay una

única cadena cinemática que lo una al sistema de referencia inercial. Esto permite la evalua-

ción de la posición de un cuerpo en función del anterior y del par que los une. En mecanismos

de cadena abierta formados por sólidos rígidos, un conjunto válido de grados de libertad está

formado por las coordenadas de los pares que los unen. En mecanismos flexibles, además de

estas coordenadas es necesario considerar las amplitudes de los modos de deformación. Exis-

ten muchos ejemplos de este tipo: péndulos, brazos robóticos, satélites, etc. Sin embargo,


61

aunque estos mecanismos se dan en la realidad, existen en una proporción mucho menor que

los de cadena cerrada. En todo caso, la estructura en cadena abierta es la base de las formula-

ciones topológicas, ya que cualquier mecanismo se reduce primero a esta estructura y, si pro-

cede, se aplican condiciones de cierre de lazo para los casos de cadena cerrada.

Esta Tesis hace evolucionar el método semi-recursivo RTDyn1 de Jiménez (1993) cuyo objetivo

era resolver las ecuaciones dinámicas de mecanismos de cadena abierta. Este método resulta

ser muy eficiente, aunque para cadenas largas no tanto como las formulaciones totalmente

recursivas tales como el Método de la Inercia Articulada (Featherstone, 1987). Sin embargo, al

contrario que este último, las formulaciones semi-recursivas son muy fáciles de extender a

sistemas de cadena cerrada. El método RTDyn1 se basa en proyectar las ecuaciones dinámicas

del mecanismo sobre las variables de estado mediante una matriz de transformación de velo-

cidades. Así, las ecuaciones dinámicas para un mecanismo formado únicamente por sólidos

rígidos tienen la siguiente expresión:

T T R MR z R Q M R z (2.107)

El vector z corresponde a las coordenadas relativas de los pares del mecanismo; R es la ma-

triz que relaciona las velocidades Cartesianas de cada elemento con las variables de estado. Si SR

q es el vector que engloba las velocidades Zi de los sistemas de referencia de cada sólido

rígido, la matriz de proyección de velocidades verifica:

SR q R z (2.108)

Figura 2.12. Mecanismo de cadena abierta.

La extensión de estas expresiones a los mecanismos que incluyen sólidos flexibles es sencilla.

Considérese el mecanismo de la Figura 2.12. Este sistema está formado por seis elementos, de

los cuales dos de ellos, los representados con colores más oscuros, son flexibles. Para no com-

plicar excesivamente el ejemplo, se considera que cada par tiene un único grado de libertad y

que cada elemento flexible tiene un solo modo estático en cada par y un solo modo dinámico.

Z4

5

6

Z5

Z6 4

Z3

0

Z1

3

2

Z2

1


62

Los modos estáticos se numerarán según el par donde estén definidos. El sistema de referen-

cia de cada elemento flexible se considera situado en un punto arbitrario del mismo, de tal

forma que han de considerarse modos estáticos también en cada punto de entrada de los sóli-

dos flexibles.

Las velocidades del sistema de referencia local de cada elemento, según la expresión (2.104),

dependen de las velocidades de las coordenadas relativas y de las derivadas de las amplitudes

de los modos estáticos. Si se consideran que las condiciones de contorno son de Tipo 2, los

modos dinámicos no aparecen puesto que han sido calculados fijando los puntos frontera:

1 1 1z Z b (2.109)

2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2z z z Z Z b Φ b b Φ (2.110)

3 2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3z z z z Z Z Φ b b b Φ Φ b (2.111)

4 1 4 4 4 4 1 1 4 4 4 4z z z Z Z b Φ b b Φ (2.112)

5 4 5 5 5 5 1 1 4 4 4 4 5 5 5 5z z z z Z Z Φ b b b Φ Φ b (2.113)

6 4 6 6 6 6 1 1 4 4 4 4 6 6 6 6z z z z Z Z Φ b b b Φ Φ b (2.114)

Como puede verse en las expresiones anteriores, las velocidades de los sistemas de referencia

locales de cada sólido dependen de las velocidades de los coordenadas relativas de los pares y

de las derivadas de los modos estáticos. Estas ecuaciones pueden agruparse y representarse

matricialmente. Separando las coordenadas relativas por un lado y las amplitudes modales por

otro, queda:

1 11

2 21 2 2

3 31 2 3 2 3

4 41 4 2 4

5 51 4 5 2 4 5

6 61 4 6 2 4 6

2

3

4

5

6

2

4

1

1

1

1

1

1

1

z

z

z

z

z

z

Z b

Z b b Φ

Z b b b Φ Φ

Z b b Φ Φ

Z b b b Φ Φ Φ

Z b b b Φ Φ Φ

2

3

4

5

6

2

4

(2.115)

Comparando esta expresión con la (2.108), se observa que la matriz anterior es la matriz R

para elementos flexibles, que proyecta las velocidades de los sistemas de referencia locales y


63

las derivadas de las amplitudes de los modos sobre las derivadas de las coordenadas relativas

definidas en los pares y las derivadas de los modos.

SR

q z

q η R η

ε ε

(2.116)

donde SR

q es el vector obtenido de ensamblar las velocidades Z de los sistemas de referen-

cia locales de cada elemento. En general, teniendo también en cuenta la expresión (2.115),

esta matriz puede representarse de la manera siguiente:

SR

R R 0

R 0 I 0

0 0 I

(2.117)

La matriz SRR es idéntica a la que habría si todos los sólidos fueran rígidos. El bloque

R inclu-

ye los términos de acoplamiento entre las amplitudes de los modos estáticos y las velocidades

de los sistemas de referencia locales de los sólidos. Para el caso particular de que todos los

sólidos fueran flexibles y tuvieran el sistema de referencia en el punto de entrada, la estructu-

ra de ambos bloques sería idéntica.

Las ecuaciones dinámicas del mecanismo pueden obtenerse aplicando el Teorema de las Po-

tencias Virtuales. Así, la potencia virtual del mecanismo es el sumatorio de las potencias virtua-

les de cada elemento, en el que no aparecen las reacciones internas en los pares. Dado que en

los mecanismos existirán sólidos rígidos y flexibles, la suma de las potencias virtuales puede

descomponerse según el tipo de elemento:

* * *

1 1

0flexSR

nnT SR SR flex flex

i i i i j j j

i j

W

Z M Z Q q M q Q (2.118)

La potencia de los elementos flexibles del segundo sumando se evalúa según las ecuaciones

dinámicas para sólidos flexibles de la expresión (2.84). Es posible obtener las velocidades vir-

tuales Cartesianas *

iZ de cada elemento a partir de las expresiones de las velocidades virtuales

relativas. Así, en el ejemplo considerado, las velocidades virtuales tienen una forma similar a

las expresiones (2.109) a (2.114). La potencia virtual del elemento 6, que es un sólido rígido,

es:

5 5

* * * * *

6 6 6 6 6

1 1

T SR SR

i i

i i

W W W W

Z M Z Q (2.119)

Sustituyendo la velocidad virtual de dicho elemento a partir de la expresión (2.114) resulta:


64

5* * * * *

4 6 6 6 6 6 6 6

1

5* * * *

4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

1

TSR SR

i

i

T SR SR T T SR SR

i

i

W W z

W z

Z b M Z Q

Z M Z Q b M Z Q

(2.120)

Esta portencia virtual de cada elemento es, en general, no nula. Sin embargo, el último tér-

mino es el único que depende de la velocidad virtual del par 6. Por tanto, para que para cual-

quier valor de *

6z la potencia virtual del mecanismo sea nula, es necesario que la siguiente

expresión sea cero:

6 6 6 6 0T SR SR b M Z Q (2.121)

Considerando la potencia virtual del sólido 5, se puede obtener una expresión análoga para el

par 5:

5 5 5 5 0T SR SR b M Z Q (2.122)

Separando la potencia virtual del elemento 4 más los términos restantes de los sólidos 5 y 6, La

expresión de la potencia virtual queda como:

3* * * *

4 4 4 4 5 5 5 5 5

1

* *

6 6 6 6 6 4 5 5 5 6 6 6

T flex flex T SR SR

i

i

T SR SR SR SR SR SR

W W

q M q Q M Z Q

M Z Q Z M Z Q M Z Q

(2.123)

Descomponiendo 4 4 4

flex flex M q Q según los términos del sistema de referencia local del sóli-

do 4 y los modos de deformación se obtiene:

4 4 4

SR

flex flex

RS

M q Q RS

RS

(2.124)

Donde RS representa residuos que deberían ser nulos. En los sólidos rígidos, únicamente

existe el término SRRS . Sustituyendo (2.124) en (2.123), desarrollando q y agrupando térmi-

nos, resulta:

5

6 4

3* * * *

4 4 5 6 5 5 5 5

1

* *

6 6 6 6 4 6

T SR SR SR T SR

i

i

T SR

W W

Z RS RS RS Φ RS RS

RS RS RS

(2.125)

Sustituyendo el término *

4Z de acuerdo a la expresión (2.112), se obtiene:


65

4

5 6

3* * *

1 4 5 6

1

* *

4 4 4 5 6 4 4 4 6

* *

5 5 5 5 6 6 6 6

T SR SR SR

i

i

T SR SR SR T SR

T SR T SR

W W

z

Z RS RS RS

b RS RS RS Φ RS RS

Φ RS RS Φ RS RS

(2.126)

Análogamente a las coordenadas relativas de los pares 5 y 6, los términos que multiplican a *

4z

, *

4 , *

5 y *

6 deben ser nulos para que la potencia virtual sea cero para cualquier valor de las

velocidades virtuales. Así, desarrollando el resto de elementos de la potencia virtual y ensam-

blándolos en una sola matriz, es fácil deducir que:

* * 0T TW q R M q Q (2.127)

Si se deriva la expresión (2.116) para obtener q en función de las coordenadas relativas y los

pares y se tiene en cuenta que el paréntesis debe ser cero para que la potencia virtual sea nu-

la, resulta:

T T

z z

R M q Q R M R η R η Q 0

ε ε

(2.128)

T

z z

R MR η Q MR η

ε ε

(2.129)

Comparando la expresión (2.107) para mecanismos de sólidos rígidos con la obtenida en

(2.129) es fácil comprobar que la introducción de los modos de deformación de los sólidos

flexibles no afecta de manera significativa a la estructura de la expresión, ya que éstos se aco-

plan perfectamente al formalismo original, introduciendo únicamente los términos de fuerzas

e inercia de los elementos flexibles.

El cálculo de los términos de fuerza e inercia en el Método de la Inercia Articulada se ha reali-

zado tradicionalmente haciendo uso de la matriz de accesibilidad T en la matriz R . Para ello,

se descompone dicha matriz en dos partes. En el ejemplo considerado, que tiene sólidos tanto

rígidos como flexibles, los bloques SRR y

R se pueden descomponer en la forma siguiente:


66

1

2

3

4

5

6

SR SR SR

bI

bI I

bI I IR T H

bI I

bI I I

bI I I

(2.130)

2

3

4

5

6

ΦI

ΦI I

R Φ T HI I

ΦI I I

ΦI I I

(2.131)

A partir de las matrices de accesibilidad SRT y

T se pueden identificar todos los términos no

nulos de la matriz de masas y del vector de fuerzas generalizadas de la expresión (2.107). En

esta Tesis se va a realizar la evaluación de los términos no nulos de otra manera, basada en

recorrer la estructura topológica del mecanismo. Este método resulta más fácil de implemen-

tar en lenguajes de programación orientada a objetos y es también algo más eficiente: se ha

comprobado que en simulaciones realizadas con mecanismos formados por sólidos rígidos se

obtienen mejoras de hasta un 10% en el tiempo total de cálculo en sistemas con estructuras

topológicas complejas.

2.5.2.1 Matriz de masas

Las matrices de masas de cada elemento se pueden ensamblar en la matriz de masas del me-

canismo según la misma estructura de esta matriz R . De esta manera, la matriz del sistema T

R MR de la expresión (2.107) puede calcularse del modo siguiente:

, ,

,

TSR

SR SR SR SR

TT

sim

R 0 0M M M R R 0

R MR R I 0 M M 0 I 0

M 0 0 I0 0 I

(2.132)

Desarrollando esta expresión, el resultado puede expresarse como la suma de tres matrices:


67

,

, ,

, , ,

T TSR SR SR SR SR

TT SR

T TSR SR SR SR

T TSR SR SR

simsim

sim

R M R R M R 00 0 0

R MR R M R 0 M M

M0

0 R M R M

R M M R R M

0

(2.133)

El primer sumando corresponde a la acumulación de la matriz de masas de sólido rígido pro-

yectada en las coordenadas relativas y en las amplitudes de los modos estáticos. El cálculo de

los términos de esta matriz, a partir de las matrices de accesibilidad, es sistemático y puede

realizarse de manera recursiva. En primer lugar se acumulan las masas desde los sólidos en los

extremos de la estructura topológica hacia el sistema de referencia fijo:

5 5

6 6

4 4 5 6

3 3

2 2 3

1 1 2 4

SR

SR

SR

SR

SR

SR

M M

M M

M M M M

M M

M M M

M M M M

Figura 2.13. Acumulación de los términos de masa de sólido-rígido del mecanismo.

Una vez acumulados los términos de inercia referidos a los sistemas de referencia locales de

cada sólido, los elementos no nulos de cada columna de la primera matriz se obtienen recursi-

vamente. Para ello se multiplica el vector de velocidad b de cada par (o el vector Ф de cada

modo estático) por la masa acumulada justo por encima del mismo para obtener el producto

i i

M b y se recorre la rama del árbol topológico desde dicho sólido hasta el elemento fijo,

multiplicando dicho producto por cada vector de las velocidades relativas y las amplitudes

modales. Así, por ejemplo, en el caso de la velocidad relativa z3 la columna correspondiente de

la matriz de masas puede obtenerse según la siguiente figura:

Z4

5

6

Z5

Z6 4

Z3

0

Z1

3

2

Z2

1


68

3 3

33 3

2 3

22 3

1 3

3 3 3,

3 3,

2 3 3,

3 3,

1 3 3,

T SR T

z z

T SR T

z

T SR T

z z

T SR T

z

T SR T

z z

R M R b M b

R M R Φ M b

R M R b M b

R M R Φ M b

R M R b M b

Figura 2.14. Cálculo recursivo de los términos de sólido-rígido de la variable z3.

De esta forma, los términos de esta primera matriz pueden evaluarse según las siguientes ex-

presiones:

,i j

TSR SR SR T

i j jz z

R M R b M b (2.134)

,

i j

i j

TSR T

jz

R M R Φ M Φ (2.135)

,

i

i j

TSR SR T

j jz

R M R Φ M b (2.136)

El segundo sumando de la expresión (2.133) añade los términos de inercia que son dependien-

tes sólo de las amplitudes modales. No existe relación entre las amplitudes de distintos sólidos

flexibles. Por tanto, estos términos se evalúan elemento a elemento. Además, tal como se ha

demostrado en el Apartado 2.4.1, los bloques M , ,

M y M son constantes.

Por último, el tercer término proyecta los términos de inercia que relacionan los movimientos

de sólido rígido y las amplitudes modales sobre estas últimas. Su cálculo también es sistemáti-

co y puede implementarse de manera eficiente elemento a elemento. Las expresiones para su

evaluación son las siguientes:

,,

,

j

i j

T SRSR SR T

iz

R M b M (2.137)

,,

,

j

i j

T SRSR SR T

iz

R M b M (2.138)

,,

,

j

i j

T SRSR T

i

R M Φ M (2.139)

Z4

5

6

Z5

Z6 4

Z3

0

Z1

3

2

Z2

1


69

, ,, , j i

i j

T SR SRSR SR T

i j

R M M R Φ M M Φ (2.140)

El cálculo de las tres primeras expresiones es muy sencillo: cada bloque , jSR

M o , jSR

M es un

vector de tres filas; para cada uno de esos vectores, se recorre la rama de la estructura topoló-

gica desde el elemento al que pertenece hasta el elemento fijo, multiplicándolo por cada vec-

tor b o Φ de cada par o modo, respectivamente, que haya en dicha rama. Para el caso de la

expresión (2.140), el primer sumando se calcula de igual manera. El segundo, en cambio, co-

rresponde a los modos estáticos del mismo elemento que coinciden con el punto de entrada

del elemento, y se evalúan premultiplicando el vector , jSR

M correspondiente por todos los

modos estáticos en los puntos frontera del elemento flexible. Cuando el origen del sistema

local coincide con el punto de entrada del elemento, el segundo sumando desaparece. Así,

para el ejemplo considerado los valores no nulos del modo estático del elemento flexible 4,

definido en el par 6, se calcularían de la manera siguiente:

6

6 6

6

6 4

4

6

4 6

6

1 6

,, ,

6,

,, ,

4,

,

6

,,

4,

,,

1,

TSRSR SR T

TSRSR SR T

SR

TSRSR SR T

z

TSRSR SR T

z

R M M R Φ M

R M M R Φ M

M Φ

R M b M

R M b M

Figura 2.15. Cálculo recursivo de los términos de sólido rígido de la variable z3.

2.5.2.2 Vector de fuerzas

El vector de fuerzas de la expresión (2.129) se calcula de manera similar aprovechando la topo-

logía del mecanismo de cadena abierta. Desarrollando la correspondiente expresión según la

partición por bloques de la matriz R dada por (2.117) se obtiene:

T TSR SR SR

SR

T TT

SR

R 0 0 R QQ

R Q R I 0 Q R Q Q

Q0 0 I Q

(2.141)

Para simplificar la notación se han incluido en el vector de fuerzas los términos de fuerzas iner-

ciales dependientes de la velocidad:

Z4

5

6

Z5

Z6 4

Z3

0

Z1

3

2

Z2

1


70

z

Q Q MR η

ε

(2.142)

Todos los términos del vector de fuerzas de la expresión (2.141) pueden calcularse a la vez, en

un proceso que consta de dos pasos. En primer lugar se acumulan las fuerzas de sólido rígido SR

Q de cada elemento desde dicho elemento hasta el elemento fijo, formando los vectores

Q . Así, para el ejemplo considerado, las fuerzas acumuladas son:

5 5

6 6

4 4 5 6

3 3

2 2 3

1 1 2 4

SR

SR

SR

SR

SR

SR

Q Q

Q Q

Q Q Q Q

Q Q

Q Q Q

Q Q Q Q

Figura 2.16. Acumulación de los términos de fuerza de sólido-rígido del mecanismo.

Finalmente, para cada coordenada relativa o amplitud modal se multiplica el vector b o

correspondiente por el valor Q del sólido posterior unido a éste en la cadena cinemática, y

se le suma la fuerza aplicada específicamente sobre dicha coordenada relativa o amplitud mo-

dal. Así, para la rama que une los elementos 1, 2 y 3, las fuerzas se calcularían desde el extre-

mo de la rama hasta el elemento fijo:

3

3 3

3

2 2

2

2

1

3 3

3

3

2 2

1 1

TSR SR T

z

TT

SR

TT

SR

TSR SR T

z

TSR SR T

z

R Q b Q

R Q Q Φ Q Q

R Q Q Φ Q Q

R Q b Q

R Q b Q

Figura 2.17. Cálculo recursivo de los términos de fuerza de sólido-rígido de la variable z3.

Z4

5

6

Z5

Z6 4

Z3

0

Z1

3

2

Z2

1

Z4

5

6

Z5

Z6 4

Z3

0

Z1

3

2

Z2

1


71

Frecuentemente existen fuerzas aplicadas en los pares cinemáticos como, por ejemplo, cuando

existen resortes o amortiguadores que se aplican directamente sobre las coordenadas relativas

definidas en dichos pares. Por otro lado, para las condiciones de contorno de Craig-Bampton,

las fuerzas generalizadas correspondientes a los modos dinámicos están completamente des-

acopladas del resto de fuerzas. Así las expresiones de las fuerzas sobre las coordenadas relati-

vas y las amplitudes de los modos de deformación del sólido flexible, son:

i i

i

Tz zSR SR T

i iz

R Q Q b Q Q (2.143)

i i

i

i

TSR T

i

R Q Q Φ Q Q (2.144)

i i

i

Q Q (2.145)

El cálculo del término Rz para los sistemas de cadena abierta puede realizarse también de

forma recursiva, aprovechando la estructura topológica del mecanismo. Para ello, si se deriva

con respecto al tiempo la expresión (2.108), que relaciona las velocidades de los sistemas de

referencia locales de cada sólido con las velocidades relativas de los pares y las amplitudes

modales, resulta:

z z

q R η R η

ε ε

(2.146)

Es fácil deducir que el segundo sumando corresponde a las aceleraciones de los sistemas loca-

les de cada sólido cuando las aceleraciones de los pares y de las amplitudes modales son nulas.

Así, para el ejemplo considerado, las aceleraciones locales son:

1 1 1 1z Z b d (2.147)

2 1 1 1 2 2 2 2 2 2z z Z b d b d Φ υ (2.148)

3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3z z z Z b d b d Φ υ Φ υ b d (2.149)

4 1 1 1 4 4 4 4 4 4z z Z b d b d Φ υ (2.150)

5 1 1 1 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5z z z Z b d b d Φ υ Φ υ b d (2.151)

6 1 1 1 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6z z z Z b d b d Φ υ Φ υ b d (2.152)

Haciendo que las aceleraciones de los pares iz y de las amplitudes de los modos i sean nu-

las, las expresiones quedan en función únicamente de los vectores id y iυ . Es fácil deducir


72

que cada bloque correspondiente al sólido i del segundo sumando de la expresión (2.146) es

una acumulación de estos vectores id y iυ desde el elemento fijo hasta el sólido correspon-

diente.

2.5.2.3 Generalización de las condiciones de contorno

La matriz R de la expresión (2.117) es válida para el caso de que las condiciones de contorno

sean las correspondientes a modos calculados mediante el método de Craig-Bampton, es de-

cir, para el caso de que los modos dinámicos hayan sido calculados con todas las coordenadas

de los puntos frontera fijas. Para otras condiciones más generales, como las de una restricción

de par, en la que en los puntos frontera se hayan definido amplitudes tanto de los modos está-

ticos como de los dinámicos, es fácil demostrar que la matriz R tiene una estructura similar,

pero incluye también términos de acoplamiento de los modos dinámicos:

SR

R R R

R 0 I 0

0 0 I

(2.153)

En los bloques SRR y

R , para una coordenada relativa o amplitud modal dada, se repiten los

mismos vectores b o Φ en cada columna, en las filas correspondientes a aquellos sólidos

que están por encima de la coordenada dentro de la rama del árbol topológico de la cadena

cinemática. En la submatriz R esto no es así, ya que una misma amplitud modal aplica un

vector diferente para cada cadena cinemática. En el ejemplo de la Figura 2.12 la matriz R

tendría la forma:

2

3

4

5

6

R (2.154)

Teniendo en cuenta este nuevo bloque R , la expresión de la matriz de masas es algo más

compleja que la expresión (2.133), ya que los modos estáticos y dinámicos se comportan de la

misma manera. Sin embargo, la estructura es muy similar:


73

,

, ,

, , ,

, ,

T T TSR SR SR SR SR SR SR

T TT SR SR

TSR

T TSR SR SR SR

T TSR SR SR

TSR SR

sim

sim

sim

R M R R M R R M R

R MR R M R R M R

R M R

0 0 0

M M

M

0 R M R M

R M M R R M

R M M R

(2.155)

En el primer bloque, que corresponde a la acumulación de los términos de sólido rígido sobre

las coordenadas de los pares y los modos de deformación, todos sus elementos son no nulos.

El cálculo es idéntico al considerado en el caso anterior, aunque ahora también se incluyen los

vectores correspondientes a las amplitudes de los modos dinámicos. El segundo bloque per-

manece constante, y el tercer sumando trata los modos dinámicos de igual manera que los

estáticos. El vector de fuerzas varía de manera parecida a la matriz de masas:

T TSR SR SR

SR

T TT

SR

T T

SR

R 0 0 R QQ

R Q R I 0 Q R Q Q

QR 0 I R Q Q

(2.156)

El proceso de cálculo es idéntico al de la expresión (2.141), evaluándose a la vez los términos

correspondientes a los pares y a los modos de deformación estáticos y dinámicos. Siguiendo el

mismo proceso explicado en el Apartado 2.5.2.2 con las condiciones de contorno Craig-

Bampton, es fácil deducir que el término Rz es una acumulación de estos vectores id , iυ y

iλ desde el elemento fijo hasta el sólido correspondiente. Por tanto, la generalización de las

condiciones de contorno hace que los modos dinámicos afecten a la cinemática de los puntos

frontera y, por ello, el cálculo de los términos de inercia del mecanismo debe incluir dichos

términos. Sin embargo, el método de cálculo presentado en los Apartados 2.5.2.1 y 2.5.2.2

para evaluar todos los términos de inercia y de fuerzas, basado en la topología del mecanismo,

es perfectamente válido para cualquier tipo de condiciones de contorno.

T TSR SR SR

SR

T TT

SR

T T

SR

R 0 0 R QQ

R Q R I 0 Q R Q Q

QR 0 I R Q Q

(2.157)


74

Una de las mayores ventajas de la formulación presentada en este Capítulo es que la relación

entre los elementos rígidos y flexibles es completamente natural: las fórmulas de cálculo de la

matriz de masas y del vector de fuerzas del mecanismo permiten utilizar sólidos de ambos

tipos sin ningún tratamiento especial ni ningún coste computacional adicional.

2.5.3 Sistemas de cadena cerrada

Los mecanismos de cadena cerrada tienen una estructura con pares cinemáticos que hacen

que un sólido pueda tener más de una forma de unirse topológicamente al elemento fijo. En

estos mecanismos las coordenadas relativas de los pares no forman un conjunto independien-

te de coordenadas. La resolución de este tipo de sistemas mediante métodos recursivos em-

pieza por abrir las cadenas cinemáticas cerradas eliminando un par y establecer un conjunto

de ecuaciones de restricción que asegure las condiciones de cierre de lazo:

, , Φ q η ε 0 (2.158)

Al eliminar algunos pares es posible formar un mecanismo de cadena abierta y utilizar las fór-

mulas cinemáticas y dinámicas de cadena abierta mostradas en los Apartados 2.5.1 y 2.5.2. Sin

embargo, dado que las coordenadas de los pares no forman un conjunto de variables indepen-

dientes, no es posible utilizar directamente la expresión (2.129) para el cálculo de las acelera-

ciones.

Existen distintos métodos para resolver estos problemas, cada uno con sus ventajas e inconve-

nientes. En esta Tesis se va a utilizar una segunda transformación de velocidades descrita, en-

tre otros, por García de Jalón and Bayo (1994). Esta segunda transformación proyecta las coor-

denadas relativas de los pares en un subconjunto de dichas coordenadas que son independien-

tes y representan los grados de libertad del mecanismo. Este método es bastante eficiente

para un rango amplio de ejemplos (Rodríguez, 2000). Los dos inconvenientes principales de

este método son que resulta necesario establecer un conjunto válido de grados de libertad zi, y

que pueden existir posiciones en que la configuración del mecanismo cambie, de modo que el

mecanismo pueda ganar o perder grados de libertad. El primer problema no suele resultar

muy importante, ya que es relativamente fácil en muchos casos establecer un conjunto de

coordenadas que sean válidas para toda la simulación, bien manualmente o bien a partir de la

descomposición LU o QR de la matriz Jacobiana del mecanismo. Por otra parte, no es frecuente

que los mecanismos reales tengan ganancia o pérdida de grados de libertad, ya que en la prác-

tica esto conduce a un movimiento impredecible del mecanismo. Por el contrario, siempre es

interesante a efectos de diseño que el método de resolución de las ecuaciones dinámicas sea

capaz de detectar estos casos, que frecuentemente suelen ser un defecto de diseño que es

necesario corregir.

2.5.3.1 Evaluación de la segunda proyección de velocidades

La segunda proyección de velocidades se realiza a partir de una matriz zR , que relaciona las

velocidades relativas de los pares y las amplitudes modales con los grados de libertad, y que


75

además su imagen o subespacio de columnas es una base del subespacio nulo de la matriz

Jacobiana zΦ de las ecuaciones de restricción (2.158):

i

i

z z

z z

η R η R q

ε ε

(2.159)

z z

Φ R 0 (2.160)

El sistema de ecuaciones (2.160) es indeterminado, por lo que no puede evaluarse directamen-

te la matriz zR . De la expresión (2.159) se deduce que cada columna de la matriz corresponde

al valor de las velocidades del mecanismo cuando se da un valor unitario a la velocidad del

grado de libertad correspondiente y cero a todas los demás. Así, si se define la matriz booleana

B, que únicamente tiene un 1 por fila correspondiente a cada grado de libertad, se puede cal-

cular la matriz zR según la siguiente expresión:

z

z

Φ 0R

B I (2.161)

Es frecuente en la práctica que la matriz de este sistema tenga más ecuaciones que incógnitas.

Esto no es problema en los casos en los que la posición del mecanismo sea consistente con las

restricciones. Sin embargo, durante el proceso de integración de las ecuaciones dinámicas es

posible que no sea así y que algunas ecuaciones sean incompatibles en las posiciones interme-

dias de algunos procesos iterativos. En la práctica esto no constituye un problema, puesto que

una descomposición LU con pivotamiento por columnas descarta las ecuaciones redundantes

o menos significativas, convirtiendo el sistema en compatible determinado.

Las condiciones de cierre de lazo más las ecuaciones de guiado de coordenadas que constitu-

yen las ecuaciones de restricción, definen las restricciones en los puntos frontera. Nuevamen-

te, la elección de un tipo u otro de condiciones de contorno supone un importante factor a

tener en cuenta en la evaluación de la matriz zR . Así, si los sólidos flexibles tienen condiciones

de contorno del método de Craig-Bampton, los puntos frontera dependen únicamente de las

coordenadas relativas definidos en los pares y de la amplitud de los modos estáticos. Por ello,

si se particiona la matriz del sistema (2.161) según las coordenadas dependientes e indepen-

dientes, más los modos estáticos y dinámicos, la expresión queda:

d i

z z z

z

0Φ Φ Φ

IIR

II

II

(2.162)

De esta manera la matriz zR es muy fácil de calcular por bloques:


76

1 1

d i d

z z z z

z

Φ Φ Φ Φ

IRI

I

(2.163)

En términos prácticos, únicamente es necesario factorizar la matriz d

zΦ , que corresponde a la

matriz Jacobiana de las ecuaciones de restricción definida en los pares dependientes. El resto

de la matriz se obtiene resolviendo tantos sistemas de ecuaciones como coordenadas relativas

independientes y modos estáticos haya. Este proceso es mucho más eficiente que la resolución

directa de la expresión (2.161), dado que en esta expresión la matriz es más grande.

Las expresiones anteriores son válidas únicamente cuando los modos de deformación se han

evaluado según el Método de Craig-Bampton. Para un caso más general, como las Restriccio-

nes según par presentadas en el Apartado 2.2.2, las ecuaciones de restricción también depen-

den de las amplitudes correspondientes a los modos dinámicos. El cálculo de la matriz de pro-

yección es similar a la anterior, aunque en este caso hay un sobrecoste por la necesidad de

calcular las columnas adicionales correspondientes a dichos modos:

d i

z z z z

z

0Φ Φ Φ Φ

IIR

II

II

(2.164)

1 1 1

d i d d

z z z z z z

z

Φ Φ Φ Φ Φ Φ

IRI

I

(2.165)

2.5.3.2 Ecuaciones dinámicas de cadena cerrada

Una vez definida la matriz de proyección de velocidades es fácil obtener la expresión de las

potencias virtuales en función de las coordenadas independientes del sistema. Así, partiendo

de la expresión (2.127) y sustituyendo las velocidades virtuales según (2.159):

* * 0T

T T i TW z

q R M q Q R q R M q Q (2.166)

* 0T

i T TW z

q R R M q Q (2.167)

Para que la potencia virtual sea nula para cualquier conjunto de valores de *i

q el factor que la

multiplica en la expresión anterior debe ser nulo:


77

T T zR R M q Q 0 (2.168)

Por otra parte, el valor de q puede expresarse en función de las variables independientes,

combinando las expresiones (2.116) y (2.159):

i

z

z z

q R η R R η

ε ε

(2.169)

Derivando respecto al tiempo esta expresión se obtiene:

i i

d

dt

z

z

z zR R

q R R η η

ε ε

(2.170)

El segundo término de esta suma puede calcularse haciendo nulas las aceleraciones de las

coordenadas relativas independientes y las segundas derivadas de las amplitudes de los modos

con respecto al tiempo. Sustituyendo esta expresión en (2.168) y separando términos se llega

a una expresión análoga a la de sólido rígido:

i i

T T T Td

dt

z

z z z

z zR R

R R M RR η R R Q M η

ε ε

(2.171)

2.5.4 Integración de las ecuaciones dinámicas mediante integra-dores numéricos explícitos

En este Apartado se presenta la integración de las ecuaciones dinámicas por integradores ex-

plícitos de index-1, con el fin de establecer un punto de referencia de esta formulación y de

plantear los posibles puntos de evolución de la misma. Estos métodos son tradicionalmente

muy rápidos y eficientes para casos en que los mecanismos no presentan ecuaciones stiff.

Ejemplos de fórmulas de integración que son ampliamente utilizadas por muchos autores son

la familia de integradores de Runge-Kutta explícitos y las fórmulas de Adams-Bashforth-

Moulton. Existen códigos muy sofisticados, que permiten controlar el error de truncamiento,

variar el paso en función de criterios de error y de convergencia y cambiar el orden de integra-

ción. Ejemplos de este tipo de códigos son la DE (Shampine y Gordon, 1975) escrita en Fortran,

y la ODE113 en Matlab. Los integradores explícitos resuelven ecuaciones diferenciales ordina-

rias (en inglés, ordinal differential equations, u ODE), del tipo:

, f ty y (2.172)

El funcionamiento de este tipo de integradores, a grandes rasgos, es el siguiente: el integrador

estima un valor del vector de estado (o de valores integrados), y obtiene mediante llamadas a


78

funciones de usuario la derivada de dicho vector. En el caso de los mecanismos, en el que no

sólo existen posiciones y velocidades, sino también aceleraciones, es frecuente recurrir a la

siguiente reducción de orden:

int.numéricaT T T T T T

t t t t y q q y q q (2.173)

Dependiendo de la topología del mecanismo, es decir, de si es de cadena abierta o cerrada, es

preciso integrar un conjunto de variables y aplicar una serie u otra de expresiones.

2.5.4.1 Sistemas de cadena abierta

En los mecanismos con sólidos flexibles, el vector de variables de estado está formado por las

coordenadas relativas de los sistemas de referencias locales y las amplitudes de los modos

estáticos y dinámicos, así como sus derivadas respecto al tiempo. La resolución es directa y

sigue los pasos mostrados a continuación:

1. El integrador devuelve el vector de estado T T T T T T Ty z η ε z η ε

2. Se calcula la posición y velocidad Cartesianas de todos los sólidos de acuerdo con las

expresiones de posición y de velocidad presentadas en el Apartado 2.5.1.

3. Se evalúan según la expresión (2.85) los vectores de fuerzas Q y las matrices de masas

M proyectados sobre las coordenadas de los pares y las amplitudes de los modos es-

táticos y dinámicos.

4. Se calculan las fuerzas y matrices de masas acumuladas, Q y

M , acumulando las

fuerzas de cada sólido desde los extremos del árbol topológico hasta el elemento fijo.

5. El vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad se calcula acumulando los

vectores id y iυ desde el elemento fijo hacia los extremos del árbol topológico.

6. Se proyectan los términos de fuerza y la matriz de masas sobre las coordenadas de los

pares y las amplitudes modales tal como se indica en los Apartados 2.5.2.1 y 2.5.2.2.

7. Se resuelve el sistema de ecuaciones (2.129) para hallar las aceleraciones de las coor-

denadas de los pares y de las amplitudes modales.

8. Finalmente, se ensambla el vector T T T T T T Ty z η ε z η ε

2.5.4.2 Sistemas de cadena cerrada

En el caso más general de mecanismos con lazos cerrados, los grados de libertad son única-

mente un subconjunto de las coordenadas del sistema. Existen distintas formas de plantear el

vector de estado. La más obvia es considerar tanto las posiciones como las velocidades inde-

pendientes, de tal forma que durante el proceso de integración se tenga que evaluar la expre-

sión:


79

T Tint.numéricaT i T T i T T

tt

T Tint.numérica T i T T i T T

t t

y z η ε z η ε

y z η ε z η ε

(2.174)

Este planteamiento implica la evaluación en cada iteración de las coordenadas dependientes

de los pares. Esta operación se realiza mediante el siguiente proceso iterativo de Newton-

Rapshon:

d d zΦ z Φ (2.175)

Este proceso se debe hacer para cada evaluación del vector y , lo que suele resultar muy cos-

toso. Por esta razón en esta Tesis se plantea la alternativa de integrar únicamente las veloci-

dades independientes, pero todas las coordenadas de los pares:

Tint.numéricaT i T T T T T

tt

Tint.numérica T i T T T T T

t t

y z η ε z η ε

y z η ε z η ε

(2.176)

Aunque esto implica la integración de un número mayor de variables, se compensa el sobre-

coste que supone la resolución iterativa según la expresión (2.175). Dado que se integran las

velocidades independientes, es necesario evaluar las velocidades dependientes, pero este

problema es lineal. Derivando las ecuaciones de restricción se obtiene:

d d i i

t z zΦ z Φ Φ z (2.177)

Volviendo a derivar se pueden obtener las aceleraciones dependientes, que también son nece-

sarias para evaluar las fuerzas de inercia dependientes de la velocidad:

d d i i d d i i

t z z z zΦ z Φ Φ z Φ z Φ z (2.178)

El algoritmo es algo más complicado que en el caso de cadena abierta y queda como sigue:

1. El integrador devuelve el vector de estado T

T i T T T T Ty z η ε z η ε

2. Se calculan las posiciones Cartesianas de todos los sólidos de acuerdo con las expre-

siones de posición en el Apartado 2.5.1.

3. A partir de las velocidades independientes iz se calculan las velocidades dependien-

tes mediante la expresión (2.177). Se calculan las velocidades Cartesianes según la ex-

presión (2.103).

4. Se evalúa la matriz zR a partir de las fórmulas (2.163) o (2.165), según las condiciones

de contorno.


80

5. Se evalúan según la expresión (2.85) los vectores de fuerzas Q y las matrices de masas

M proyectados sobre las coordenadas de los pares y las amplitudes de los modos es-

táticos y dinámicos.

6. Se calculan las aceleraciones dependientes dz haciendo nulas las aceleraciones inde-

pendientes, mediante la expresión (2.178). Se evalúan las aceleraciones de cada siste-

ma de referencia mediante la fórmula (2.106). El vector de fuerzas de inercia se obtie-

ne realizando elemento a elemento el producto de las aceleraciones del sólido por la

matriz de masas. El resultado se resta al vector Q del elemento correspondiente.

7. Se calculan las fuerzas y matrices de masas acumuladas, Q y

M , acumulando las

fuerzas de cada sólido desde los extremos del árbol topológico hasta el elemento fijo.

8. Se proyectan los términos de fuerza y la matriz de masas sobre las coordenadas de los

pares y las amplitudes modales, tal como se explica en los Apartados 2.5.2.1 y 2.5.2.2.

El resultado se proyecta de nuevo por medio de la matriz zR .

9. Se resuelve el sistema de ecuaciones (2.171) para hallar las aceleraciones según las

coordenadas de los pares independientes y las amplitudes modales.

10. Finalmente, se ensambla el vector T

T i T T T T Ty z η ε z η ε

2.6 Ejemplos

A continuación se presentan dos ejemplos con el objetivo de validar la formulación presentada

tanto para cadena abierta como cerrada, y así determinar los aspectos que se han de desarro-

llar para conseguir una formulación válida para la simulación de sistemas multi-cuerpo de gran

tamaño en tiempo real. Otros aspectos presentados en este Capítulo, como la influencia de las

condiciones de contorno o el número de modos seleccionados, se analizarán más en detalle en

el Capítulo 5.

La simulación de ambos ejemplos no se ha realizado programando rutinas específicas para

cada caso. Por el contrario, se ha implementado una librería de simulación dinámica que utiliza

los métodos recursivos presentados introduciendo los diferentes ejemplos mediante ficheros

de datos. Dicha librería se ha programado en C++ y se ha encapsulado en una MEX-function de

Matlab para poder ser gestionada desde este entorno, en el que se validan y cargan los fiche-

ros de datos, se establecen las condiciones de simulación y se representan los resultados gráfi-

camente.

El primer caso estudiado ha sido un cuadrilátero articulado plano. Todas las barras son esbel-

tas, flexibles, de acero y tienen distinta longitud. Cada sólido está formado por diez elementos

tipo barra según el modelo de Euler-Bernouilli. Los modos han sido calculados mediante el

método de Craig-Bampton. Se han seleccionado 2 modos estáticos y 6 dinámicos. Dado que el

sistema es de cadena cerrada se ha eliminado uno de los pares de la barra superior para for-

mar la estructura topológica de cadena abierta. El tiempo total de simulación es de 4 segun-

dos.

Ejemplos

81

Figura 2.18. Cuadrilátero plano con cuatro lados de distinta dimensión.

El segundo ejemplo consiste en un péndulo de dos barras, que es ya de por sí un sistema de

cadena abierta formado por dos sólidos flexibles idénticos. Cada uno tiene 0,5 m de longitud,

sección cuadrada y un peso de 12 kg. El mallado está formado por elementos isoparamétricos

prismáticos con 8 nodos, totalizando un total de 4 elementos y 24 nodos. El elemento fijo y las

dos barras del péndulo están unidos mediante sendos pares de revolución, de ejes paralelos, lo

que permite realizar un movimiento según el plano XZ. Cada uno de los dos pares tiene un

único grado de libertad, a los que hay que añadir las amplitudes de los modos del elemento

flexible. Para este ejemplo se han seleccionado los 10 primeros modos dinámicos consideran-

do fijo un extremo de la barra.

El péndulo está sometido a su propio peso y la simulación dura cinco segundos. Este mecanis-

mo resulta particularmente interesante ya que los sólidos sufren fuertes aceleraciones y cam-

bios bruscos de velocidades, por lo que el elemento flexible recibe durante la simulación fuer-

zas y momentos en cualquier dirección. En esta simulación las fuerzas de inercia dependientes

de la velocidad cobran especial relevancia. Dado que el modelo flexible hace uso de elementos

isoparamétricos no presenta los problemas de los elementos estructurales en relación a la

aparición de tensiones en movimientos de sólido rígido, tal como explica Shabana (1998), por

lo que cabe esperar un mejor comportamiento ante grandes desplazamientos.

Para cada uno de los ejemplos considerados se ha realizado la integración de las ecuaciones

dinámicas mediante dos integradores distintos. Por un lado se ha utilizado la fórmula de Run-

ge-Kutta de orden 4 y paso constante. Por otro, se ha realizado la integración con la rutina de

orden y paso variable DE (Shampine y Gordon, 1975), estableciendo tanto para el error absolu-

to como el relativo un valor de 10-5.

Las pruebas en ambos casos han sido realizadas en un PC portátil del año 2012 con procesador

Intel Core-I7 y 6 GB de RAM. En la Tabla 2.1 pueden verse los resultados obtenidos para ambos

ejemplos. El error de la energía representa la desviación estándar de la energía total (cinética


82

más potencial) durante el tiempo total de la simulación. Un menor error de la energía indica

una mejor conservación de ésta durante la simulación y en general menos errores de integra-

ción.

Los resultados obtenidos respecto a la conservación de la energía confirman que el método

propuesto es válido. Sin embargo, los tiempos de ejecución tanto para el cuadrilátero articula-

do como para el péndulo doble están muy lejos del objetivo de la Tesis. Resulta interesante ver

que el integrador de paso variable obtiene peores resultados en coste computacional que el

método de Runge Kutta de orden cuatro y paso fijo, y que esto no siempre supone un mejor

resultado en la conservación de la energía.

Tabla 2.1. Resultados de las simulaciones propuestas.

Ejemplo Integrador Nº de pasos

de Integración

Tiempo de ejecución (s)

Error Energía (%)

Cuadrilátero articulado

RK-4 2·104 33,07 6,83·10

-4

ODE 181.827 75,68 6,67·10-4

Péndulo de 2 barras

RK-4 2·105 138,68 8,58·10

-8

ODE 907.406 298,61 3,76·10-7

2.7 Conclusiones

En este Capítulo se ha desarrollado un método para la simulación de sistemas multi-cuerpo

formados total o parcialmente por sólidos flexibles. Los resultados obtenidos en la simulación

prueban que el método es eficiente solamente cuando los cuerpos están formados por un

número reducido de elementos finitos. Por otra parte, la integración explícita exige para ser

estable un paso de integración muy reducido. A priori ambos problemas ya eran conocidos.

Por una parte, Lugrís (2008) ya planteó el problema de realizar la interpolación no consistente

de velocidades para el cálculo de los términos de inercia, ya que obliga a calcular la posición,

velocidad y aceleración de todos los nodos del mallado de elementos finitos. Por otra parte,

una inmensa mayoría de los autores estudiados utilizan métodos implíctos para la resolución

de este tipo de problemas, considerando en gran parte de ellos fórmulas con amortiguamiento

numérico.

Es por tanto necesario mejorar la formulación descrita en este Capítulo haciendo que la eva-

luación de los términos de inercia sea independiente del número de nodos del mallado y,

desarrollando un método de integración numérica de las ecuaciones dinámicas mucho más

eficiente que los planteados en este Capítulo.

83

Capítulo 3

Cálculo eficiente de los

términos de inercia del

elemento flexible

3.1 Introducción

En uno de los ejemplos del Capítulo anterior se observó una degradación del método propues-

to en términos de coste computacional al aumentar el número de elementos finitos del ele-

mento flexible. Esto se debe a que es necesario proyectar la matriz de masas y los vectores de

fuerzas obtenidos mediante el Método de Elementos Finitos según las coordenadas del siste-

ma local y los modos de deformación. Para ello se deben evaluar tanto la posición como la

velocidad de todos los nodos de la discretización en elementos finitos del sólido flexible. Por

tanto, conforme aumente el número de elementos y nodos crece el número de cálculos nece-

sarios y, consecuentemente, el coste computacional.

Una solución para este problema está basada en el uso de las Integrales Inerciales de Forma

(Inertia Shape Integrals). Mediante el uso de estas integrales, es posible evaluar los términos

de inercia del cuerpo deformado a partir de varias matrices y valores inerciales del cuerpo sin

deformar. Esta aproximación ha sido utilizada por varios autores con distintas formulaciones, y

permite calcular eficientemente los términos de inercia.

En este Capítulo se presenta un método alternativo al de las Integrales Inerciales de Forma,

que también permite independizar el cálculo de los términos de inercia del número de nodos

del mallado de elementos finitos. Para calcular dichos términos de inercia, en vez de evaluar la

posición de todos los nodos y proyectar la matriz de masas y las fuerzas mediante la matriz D ,

los términos de inercia se evalúan en función de un conjunto de veinticuatro matrices de ma-

sas de pequeño tamaño, que se mantienen constantes durante toda la simulación, de la posi-

ción del sistema de referencia local y de la amplitud de los modos de deformación. Este con-

junto de matrices se evalúa en mediante un sencillo preproceso con un coste computacional

pequeño. Durante el proceso de integración de las ecuaciones dinámicas, se consigue reducir

de manera significativa el número de operaciones necesarias en cada iteración, lo que hace

que la simulación del elemento flexible sea independiente del número de elementos finitos

Cálculo eficiente de los términos de inercia del elemento flexible

84

que lo componen, dependiendo únicamente de la cantidad de los modos de deformación se-

leccionados.

En esta Tesis se compara un método y otro, analizando las similitudes entre ambas soluciones,

así como las fortalezas y debilidades de cada uno. Por último, se analizan las posibles simplifi-

caciones que permitan mejorar la eficiencia de ambos métodos sin que se penalice significati-

vamente la precisión numérica del resultado.

3.2 Descripción del problema

Tanto la matriz de masas como las fuerzas de inercia dependen de la matriz D :

T MEFM D M D (3.1)

T MEF

inercia

Z

Q D M D η

ε

(3.2)

Esta matriz D es la matriz que proyecta los términos de inercia obtenidos por el Método de

Elementos Finitos según los desplazamientos de los nodos, sobre las coordenadas en el siste-

ma inercial y las amplitudes de los modos de deformación seleccionados. Su expresión depen-

de tanto de las posiciones de cada nodo como de los modos de deformación. El valor de dicha

matriz se puede ver en la expresión (2.52) que, para mayor claridad, se reproduce aquí:

1 1 1 1

,1 , ,1 ,

1 1 1 1

,1 , ,1 ,

2 2 2 2

2 ,1 , ,1 ,

2 2 2 2

,1 , ,1 ,

,1 , ,1 ,

,1

f i

f i

f i

f i

f i

t t n t t n

r r n r r n

t t n t t n

SR r r n r r n

n n n n

n t t n t t n

n

r

3 1

3 3

3

3 3

3

3 3

I r Aφ Aφ Aψ Aψ

0 I Aφ Aφ Aψ Aψ

I r Aφ Aφ Aψ Aψ

D D D D 0 I Aφ Aφ Aψ Aψ

I r Aφ Aφ Aψ Aψ

0 I Aφ A , ,1 ,f i

n n n

r n r r n

φ Aψ Aψ

(3.3)

Por tanto, para evaluar las expresiones (3.1) y (3.2) es necesario previamente haber evaluado

todas las posiciones de los nodos de la discretización del Método de Elementos Finitos, lo que

hace que el coste computacional sea elevado en cuerpos flexibles con un mallado complejo. El

mismo problema se reproduce al considerar las fuerzas de inercia dependientes de la veloci-

dad, que exigen conocer las velocidades de cada nodo. Esto hace necesario buscar métodos

alternativos que permitan una evaluación eficiente de los términos de inercia evitando tener

que calcular las posiciones y velocidades nodales.

La evaluación de los términos de inercia es independiente del tipo de modos utilizados: estáti-

cos, dinámicos o una combinación de ambos. A fin de simplificar la notación, en este Capítulo

Método basado en Integrales Inerciales de Forma

85

se van a considerar únicamente los modos φ y las amplitudes η , que representarán indistin-

tamente ambos tipos de modos de deformación.

3.3 Método basado en Integrales Inerciales de Forma

Las Integrales Inerciales de Forma no son un método para optimizar los términos de inercia,

sino que surgen de la necesidad de evaluar dichos términos en los cuerpos flexibles para apli-

car el Sistema de Referencia Flotante. Este método es utilizado por muchos autores con distin-

tas formulaciones: Shabana (1998) para la formulación de puntos de referencia, Cuadrado et

al. (1996) para coordenadas naturales y Lugrís (2008) para métodos topológicos. A partir de las

siguientes integrales, junto con la masa total del elemento finito, es factible evaluar dichos

términos expresados según el sistema de referencia local y los desplazamientos nodales:

1,2,3i i i iV V

I dV S dV i r N (3.4)

, 1,2,3kl k l kl k lV V

I dV dV k l r r I x N (3.5)

, 1,2,3T

kl k lV

S dV k l N N (3.6)

Estas integrales son función de la posición de cada punto con respecto al sistema de referencia

local y la matriz de interpolación N del elemento finito. Las expresiones (3.4), (3.5) y (3.6)

hacen referencia a un único elemento finito. En los casos más habituales los cuerpos flexibles

están formados por un gran número de elementos. Es posible obtener las integrales inerciales

de forma global para el cuerpo ensamblando las expresiones de cada elemento. Shabana

(1998) expresa las integrales en términos de unas funciones de forma S que permiten calcular

los desplazamientos de cualquier punto como una interpolación de los vectores de Ritz. Estas

funciones de forma pueden obtenerse analítica o experimentalmente. Sin embargo, dado que

en la mayor parte de la bibliografía estudiada se utiliza el método de elementos finitos para su

evaluación, se ha preferido expresar directamente las integrales inerciales de forma en función

de las matrices de interpolación N .

Mediante estas integrales es posible evaluar los términos de inercia respecto al sistema local y

las deformaciones nodales. Sin embargo, en la formulación presentada en esta Tesis se utiliza

la síntesis modal a fin de reducir el número de variables que deben ser evaluadas. Es sencillo

demostrar que post-multiplicando la matriz de interpolación N por la matriz de amplitudes

modales φ se consigue proyectar las integrales inerciales de forma sobre las amplitudes mo-

dales.

Las expresiones originales permiten calcular la matriz de masas y el vector de fuerzas inerciales

dependientes de la velocidad respecto al sistema de referencia local y a los desplazamientos

nodales. Lugrís (2008) evalúa dichas expresiones referidos al punto que coincide en cada ins-

tante con el origen del sistema de referencia inercial utilizando la reducción modal. Esto per-

mite calcular los términos de inercia del Capítulo anterior sin necesidad de evaluar la posición


86

de todos los nodos de la discretización mediante elementos finitos, mejorando significativa-

mente la velocidad de cálculo en cada iteración.

Sin embargo, el uso de las integrales inerciales de forma plantea dos problemas. Por un lado es

necesario conocer las expresiones de dichas integrales. Vlasenko and Kasper (2010) demues-

tran que es posible evaluar dichas integrales a partir de la matriz de masas obtenida por el

MEF cuando el cuerpo flexible está formado por elementos no estructurales formados por

nodos en los que únicamente se definen desplazamientos según los tres ejes de cooordenadas

X, Y y Z. Sin embargo, en el caso más general, en el que haya elementos estructurales como las

vigas o cáscaras, esto no es posible.

Por otro lado, es necesario ensamblar las integrales de todos los elementos. Shabana (1998)

presenta un proceso basado en el sistema de coordenadas intermedio del elemento (Interme-

diate Element Coordinate System) que exige identificar cada elemento, evaluar dichas integra-

les, orientarlas según el sistema de referencia local y recalcularlas respecto al origen de dicho

sistema de referencia. En casos sencillos tales como elementos isoparamétricos o vigas biarti-

culadas este proceso es muy sencillo y rápido. Sin embargo, en modelos de mecanismos realis-

tas este proceso puede resultar muy costoso, aunque deba realizarse una sola vez.

3.4 Método propuesto

El método propuesto en este Apartado es un desarrollo de las expresiones del Capítulo 2. Esta

aproximación, por tanto, considera la interpolación no consistente de las velocidades. Median-

te una conveniente manipulación de las matrices de masas, el vector de fuerzas dependientes

de la inercia y la matriz de proyección D , es posible obtener unas expresiones que no requie-

ren la evaluación de las posiciones y velocidades de cada nodo del mallado de elementos fini-

tos. La gran ventaja de esta formulación es que es posible obtener estas expresiones a partir

únicamente de la posición indeformada, la matriz de masas de los elementos finitos y los mo-

dos de deformación. Es decir, no es preciso conocer términos adicionales de inercia del siste-

ma, que son particulares de los métodos basados en la evaluación de las integrales inerciales

de forma: ni los tipos de elementos que forman el mallado, ni las funciones de forma de cada

uno de ellos.

3.4.1 Matriz de masas

La evaluación de la matriz de masas del cuerpo flexible se obtiene según la expresión (3.1), que

depende de la matriz de masas obtenida por el método de los elementos finitos MEFM . Sin

embargo, dicha matriz ha de evaluarse de acuerdo a la orientación respecto del sistema de

referencia inercial en cada instante:

T MEF T MEF T

N ND M D D A M A D (3.7)

La matriz NA es, tal como se define en la expresión (2.51), una matriz diagonal por bloques

que se obtiene ensamblando tantas matrices de rotación A como nodos haya. En el caso de

Método propuesto

87

que en dichos nodos se definan no sólo los desplazamientos axiales en cada dirección sino

también las rotaciones según cada eje, a cada nodo corresponderá definir dos matrices de

rotación: una para los desplazamientos según los ejes y otra para las rotaciones según esos

ejes. Agrupando la matriz transpuesta de NA y la matriz de proyección D se obtiene:

1 1

1 1

1

1

1

1 1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2

m m

m

m

j m

m

m

T T T t T t T T t t

T T r T r T

T T T t T t

T T T r T r

N

T T T t T t

N N N

T T r T r

N N

1 1

3 3

3

3

A A r A Aφ A Aφ A A r φ φ

0 A A Aφ A Aφ 0 A φ

A A r A Aφ A Aφ

A D 0 A A Aφ A Aφ

A A r A Aφ A Aφ

0 A A Aφ A Aφ

1

1

1

1

2 2 2

2 2

m

m

j m

m

m

r r

T T t t

T r r

T T t t

n N N

T r r

N N

3

3

φ

A A r φ φ

0 A φ φ

A A r φ φ

0 A φ φ

(3.8)

Esta expresión define la matriz de proyección D orientada según el sistema local del cuerpo

flexible. Ésta puede particionarse según el sistema local y los modos de deformación:

T

N SR A D D D D (3.9)

Sustituyendo (3.9) en (3.7), se obtiene la siguiente expresión:

T MEF T MEF

SR SRSR SR SR

T MEF simsim

M MD M D D M DM

MD M D (3.10)

El bloque D es constante e independiente de la orientación del sólido, ya que únicamente

depende de los modos de deformación. Por su parte, el bloque SRD puede dividirse en la su-

ma de otros dos bloques:

1

2

1 2

T T

T

T T

TSR SR SR

T T

n

T

3 3

3 3 3

3 3

3 3 3

3 3

3 3 3

A 0 0 A r

0 A 0 0

A 0 0 A r

D D D 0 A 0 0

A 0 0 A r

0 A 0 0

(3.11)

Teniendo en cuenta que la matriz de rotación del cuerpo flexible es ortogonal, es posible ex-

presar SRD de la siguiente forma:


88

31 1

3

32 2

3

3

3

T T T T

T

T T T T

TSR

T T T

N

T

33 3 3

33 3 3 3 3

33 3 3

33 3 3 3

33 3

33 3 3

I 0A 0 0 A r A A 0 A r A

0 I0 A 0 0 0 0

I 0A 0 0 A r A A 0 A r A

D 0 I0 A 0 0 0 0

I 0A 0 0 A r A A

0 I0 A 0 0

T

T

T

N

3

3

3

3

3 3

A 0

0 A

0 A r A

0 0

(3.12)

El término T

iA r A corresponde a la matriz antisimétrica asociada con el producto vectorial por

el vector de posición de cada nodo según la orientación del sistema de referencia local, aun-

que referido al origen del sistema inercial. Así, es posible expresar la posición de cada nodo en

función de la posición del sistema de referencia local y de las amplitudes de los modos estáti-

cos y dinámicos:

0

1

m

j

nT T T t

i i i i i j

j

A r A r r A r A r r φ (3.13)

De acuerdo a esta expresión, el bloque 2

SRD puede expresarse como el producto de tres matri-

ces:

1

1

3 1 1 1

0 3

3 2 2 2

32

1 3

33

m

m

n mmm

t t

t t

T

SR T

t t

N N N

3

3 3

3 3 3 3 3

3

3

3 3

3 3 3 3 33 3

33

3 3 3 3 3

0 I r φ φ0 0

0 0 0 0 00 r I

0 I r φ φ0 I A 0

D 0 0 0 0 00 I 0 A

0 I r φ φ0 I

0 0 0 0 0

(3.14)

1 3

3 32 2 3

1 3

3x ,3 1 3

3

T

SR SR Tm

m

0r I

0 0 A 0D D Ω I Γ

0 Ω 0 AΓ I

(3.15)

El bloque 2

SRD es siempre constante, ya que depende únicamente de la posición de los nodos

en la configuración indeformada y de los modos de deformación. La matriz 1Ω es muy disper-

sa: si m es el número total de modos, bien sean estáticos y/o dinámicos, el tamaño de esta

matriz es 3 x m filas y 3 columnas. Sin embargo, el número de términos no nulos es de única-

mente 9+3·m. El bloque Γ será utilizado en expresiones posteriores.

Sustituyendo las expresiones obtenidas en (3.12) y (3.15), así como considerando que el blo-

que D es constante, es posible obtener los términos de la matriz de masas en función de un

Método propuesto

89

número mínimo de variables. Así, el bloque SRM puede calcularse según la siguiente expre-

sión:

1 2 1 2T T MEF

SR SR SR SR SR M D D M D D (3.16)

1 1 1 2 2 1 2 2T MEF T MEF T MEF T MEF

SR SR SR SR SR SR SR SR SR M D M D D M D D M D D M D (3.17)

Desarrollando esta expresión término a término:

1 2

31 1 31

2 33 3

T

T MEF

SR SR TT

A 0 A 0M MD M D

0 A 0 AM M (3.18)

4

31 2 2 1 3 1 3

53 3 1 3

TT

T MEF T MEF

SR SR SR SR T

A 0 0 M Ω A 0D M D D M D

0 A 0 M Ω 0 A (3.19)

3 3 32 2 3

6

3 3 1 1 3

T

T MEF

SR SR T T

A 0 0 0 A 0D M D

0 A 0 Ω M Ω 0 A (3.20)

Ensamblando estas matrices se llega a la siguiente expresión:

1 2 4

3 31

2 4 3 5 5 63 31 1 1 1 1

T

SR TT T T T T T

A 0 A 0M M M ΩM

0 A 0 AM Ω M M M Ω Ω M Ω M Ω (3.21)

Por tanto, SRM depende de la matriz de rotación A , de la matriz 1Ω , y de seis matrices cons-

tantes iM . Estas matrices tienen distintos tamaños: 1

M , 2M y 3

M son matrices cuadradas

3 × 3; 4M y 5

M son 3 x (3·m+6); 6M es la matriz más grande, de tamaño (3·m+6) x (3·m+6).

Los bloques de la matriz de masas que acoplan el sistema local y los modos de deformación,

SRM se calculan de una manera similar:

7

31 2

8 93 1

T T FEM

SR SR SR T

A 0 MM D D M D

0 A M Ω M (3.22)

En este caso, las matrices son de un tamaño mayor, ya que afectan a las amplitudes modales. 7

M y 8M son matrices rectangulares 3 x m, mientras que 9

M es 3 x (3·m+6). Los cuatro res-

tantes bloques de la matriz de masas afectan únicamente a los modos estáticos y dinámicos.

Dado que el bloque D es constante, el bloque siguiente también lo es:

10T MEF

M D M D M (3.23)


90

3.4.2 Vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad

Al realizar el cálculo directo del vector de fuerzas de inercia se necesita evaluar no sólo la posi-

ción de todos los nodos del mallado, sino también sus velocidades. La expresión que permite

evaluar este vector tiene la siguiente forma:

T

T MEF T MEF T T MEF T

v N N N N

Z Z ZQ D M D D A M A D A D M A D

η η η (3.24)

El primer paréntesis coincide con la expresión (3.9). El producto de la matriz D por la veloci-

dad del sistema de referencia local y por las derivadas de las amplitudes modales respecto al

tiempo puede ser evaluado mediante la expresión (2.83) que, para mayor claridad, se repite

aquí:

1

1

1

1

1

1

1 1

1 1

2 2 2

212 2

m

m

m

m

m

m

t t

r r

t r

r

t r mN N N

r r

N N

3 1

3 3

3

3 3

3

3 3

0 r s Aφ Aφ

0 0 Aφ Aφs

0 r s Aφ Aφ ω

Dq 0 0 Aφ Aφ

0 r s Aφ Aφ

0 0 Aφ Aφ

1 1

1

2 2

2

1

2

2

2

r

r

r

r

r

N

r

N

ω ω r ω v

ω ω

ω ω r ω v

ω ω

ω ω r ω v

ω ω

(3.25)

con

1 1

i i

m mr t r r

P P i P P i

i i

v A φ ω A φ (3.26)

Esta expresión es válida para los cuerpos flexibles cuyo mallado está formado por elementos

con desplazamientos angulares, tales como vigas, placas y membranas. En el caso de que en

todos o en algunos de los nodos no se definan este tipo de desplazamientos como, por ejem-

plo, en el caso de los elementos de tipo tetraedro o hexaedro, estas filas serían cero o no exis-

tirían.

La obtención de una expresión que permita independizar el cálculo del vector respecto a los

nodos del mallado de elementos flexibles es algo más compleja que en el cálculo de la matriz

de masas. Para el cálculo de la fuerza centrífuga en cada punto i es necesario realizar dos pro-

ductos vectoriales, que pueden expresarse de manera matricial en la forma:

1,...,i i i N ω ω r ω ω r (3.27)

El producto matricial ω ω es una matriz simétrica que se puede particionar en tres colum-

nas:

Método propuesto

91

2 2 2

1 2 3 ω ω ω ω ω (3.28)

Aprovechando la simetría de esta matriz, es posible evaluar la expresión (3.27), es posible co-

mo la suma de tres productos de matriz por vector:

2

1

2 2 2 2

1 2 3 2

2

3

2

11,3 1,3

2 2 2 2

2 1,3 1 2 1,3 3

2 1,3 1,33

T

i i i i

T

Tii

TT

i i

TT

ii

ω

ω ω r ω ω r ω ω ω r ω r

ω

ω rr 0 0

ω r 0 ω r ω 0 ω

0 0 rω r

(3.29)

De una manera similar a la evaluación de la matriz de masas, las matrices dependientes de la

posición de cada nodo pueden ser expresadas en función de la posición del origen del sistema

local y de los modos de deformación. Así, desarrollando para el caso del primer sumando:

1

1,3 1 1,3 1

1,3 1,3

1,3 1,3 0

3

1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1

2

1,3 1,3 1,3 1,3 1,3

m

T T

i i

T

T T t t

i i i

T

r r

0 ω A 0 A ω

0 0

0 e r φ φ0

A 0 0 0 0 0 A ω

0 0 0 0 0

(3.30)

con

0 0

2 3 0 0 1,3

0

, , 1 1 1

x

T

y

z

r r 0 0

I r 0 r 0 e

Γ 0 0 r

(3.31)

Los otros dos sumandos se calculan de manera prácticamente idéntica. El resto de los términos

de velocidades de la expresión (3.25) hacen referencia a las velocidades lineales y angulares

relativas de cada nodo i. Dichos términos pueden expresarse en función de las derivadas de los

desplazamientos nodales y de la velocidad angular en cada instante:

1

1

3

3

3

3

2 2 2 2

2 2 m

m

r r r T ri Ti i i

r r T rri i ii

t t

i i

r r

i i

ω v A 0v A v A vω ω A ω

0 Aω A ω A ωω ω

φ φA 0Γ ω

0 A φ φ

(3.32)


92

La matriz Γ es la derivada con respecto al tiempo de Γ , que contiene las amplitudes de los

modos de deformación y la velocidad angular del sistema de coordenadas local del cuerpo

flexible:

1 3

3

T

m

I

Γ ω A ω

I

(3.33)

El vector de fuerzas de volumen vQ puede particionarse según los bloques que hacen referen-

cia al sistema de referencia local y a los modos de deformación:

,

,

v SR

v

v

QQ

Q (3.34)

Ensamblando las expresiones (3.29) y (3.32) para todos los nodos del mallado de elementos

finitos, sustituyendo en dichas expresiones la matriz D dada por (3.11) y desarrollando las

fórmulas así obtenidas, se llega a las siguientes expresiones para obtener cada término del

vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad:

3 3 311 2 12 2

, 2 1 2 215 16

3 1 1

3 3 313 2 14

2 317 18

3 1 1

T T

v SR T T

T

T T

A 0 0 0Q M A ω M A ω

0 A M M

A 0 0 0M A ω M Γ ω

0 A M M

(3.35)

19 2 20 2 21 2 22

, 2 1 2 2 2 3

T T T T

v Q M A ω M A ω M A ω M Γ A ω (3.36)

Las matrices 11M a 22

M son constantes, de tamaños que varían desde 6 x 3 hasta m x

(3·m+6). Por tanto, las expresiones (3.35) y (3.36) no precisan calcular la posición de los nodos

del mallado MEF y únicamente están referidas a la posición y velocidad del sistema local, así

como de las amplitudes modales y de sus derivadas respecto al tiempo.

3.4.3 Fuerzas de volumen

Las fuerzas de volumen también dependen del número de nodos que forman el mallado de

elementos finitos del cuerpo flexible. Tal como se indica en el Apartado 2.4.3 dichas fuerzas,

cuando tienen un valor constante respecto al sistema inercial, pueden calcularse según la si-

guiente expresión:

T T T

V U N N x y z Q D Q v D A f f f A v (3.37)

Tanto los vectores if como el vector v se mantienen constantes a lo largo de toda la integra-

ción. Sin embargo, las matrices de rotación A y la matriz de proyección D varían. De manera

Método propuesto

93

análoga a lo planteado para el cálculo de la matriz de masas es posible sustituir ambos térmi-

nos según la expresión (3.9):

T

T

V SR x y z Q D D f f f A v (3.38)

El vector de fuerzas de volumen se puede particionar según las coordenadas del sistema local y

los modos estáticos y dinámicos:

,

,

V SR

V

V

QQ

Q (3.39)

Desarrollando la expresión (3.37) según (3.9) y (3.12) de una forma similar a los anteriores

términos de inercia, es posible obtener las expresiones de las fuerzas de volumen en función

de trece matrices constantes Q , independizándolas de los nodos del mallado del MEF:

1

3

, 2 33 1

T

V SR T

A 0 QQ A v

0 A Q Ω Q (3.40)

4

,

T

V Q Q A v (3.41)

Estas cuatro matrices iQ son constantes, y sus tamaños varían desde 3 x 3 hasta m x (3·m+6).

Sólo han de calcularse una vez a partir de las posiciones de cada nodo, de la matriz QU y de los

modos de deformación.

En el caso particular de las fuerzas de gravedad no es necesario utilizar la expresión anterior,

sino que es posible recurrir a algunas de las matrices utilizadas para el cálculo de la matriz de

masas. Desarrollando la expresión (2.77):

3

3

3

3

3

3

TT MEF T MEF T T MEF T

peso N N N

Ig g

00 0

Ig g

Q D M D A M A A D M 0 A g0 0

Ig g

00 0

(3.42)

Comparando esta ecuación y la (3.7), es fácil comprobar que ambas expresiones tienen una

gran parte en común. Análogamente al resto de matrices, se puede particionar el vector según

el sistema de referencia local y los modos estáticos y dinámicos:

,

,

peso SR

peso

peso

QQ

Q (3.43)


94

Desarrollando la ecuación (3.42) se llega a las siguientes expresiones:

1

3 7

, ,2 43 1

T T T

peso SR pesoT T T

A 0 MQ A g Q M A g

0 A M Ω M (3.44)

Las matrices 1M , 2

M , 4M y 7

M corresponden a las utilizadas para el cálculo de los distintos

bloques que forman la matriz de masas según las expresiones (3.21) y (3.22). La matriz 1Ω es

la que aparece en (3.15).

3.5 Evaluación por bloques de los términos de inercia

Hasta este momento, el método propuesto en esta Tesis para el cálculo de los términos de

inercia y fuerzas de volumen está basado únicamente en la suma y multiplicación de matrices,

unas constantes y otras variables. Estas últimas están formadas por la matriz de rotación y por

algunas variables convenientemente ensambladas en las matrices 1Ω , 2Ω , Γ y Γ . Dichas

matrices, como se ha comentado anteriormente, son muy dispersas. Utilizando esta propiedad

y haciendo uso de librerías avanzadas para el cálculo matricial, es posible obtener muy buenos

resultados en la evaluación de los términos de inercia.

En este punto se quiere considerar la posibilidad de ir aún más allá en la eficiencia de la eva-

luación de los términos de inercia mediante el aprovechamiento de ciertas particularidades de

la matriz de masas de elementos finitos. En general, en una matriz de masas obtenida por este

método puede definirse la siguiente estructura:

11 11 12 12 1 1

11 11 12 11 1 11

21 21 22 22 2 2

21 21 22 22 2 11

1 1 2 2

1 1 2 2

n n

tt tr tt tr tt tr

n

rt rr rt rr rt rr

n n

tt tr tt tr tt tr

MEF n

rt rr rt rr tr rr

n n n n nn nn

tt tt tt tr tt tr

n n n n nn nn

tt tt rt rr rt rr

M M M M M M

M M M M M M

M M M M M M

M M M M M M M

M M M M M M

M M M M M M

(3.45)

En los casos en que la matriz esté formada únicamente por elementos cuyos desplazamientos

están definidos por las componentes axiales de cada nodo, los bloques ij

trM y ij

rrM son nulos o

no existen. La matriz de masas obtenida por el Método de Elementos Finitos es simétrica, por

lo que ij

trM debe ser igual a la matriz transpuesta de ji

rtM . Sin embargo, en general la matriz

ij

trM no tiene por qué ser igual a ij

rtM . Es decir, dentro de las coordenadas de un mismo bloque

ij, los bloques no son simétricos, con la única excepción de los bloques de la diagonal (en los

que el índice i coincide con j) debido a la simetría de la matriz de masas.

Evaluación por bloques de los términos de inercia

95

Por otra parte, atendiendo a las funciones de interpolación de algunos de los elementos finitos

lineales más comunes tales como tetraedros, hexaedros, placas y cáscaras, independientemen-

te del número de nodos que conformen dichos elementos, se da la siguiente propiedad:

ij

ij ij

tt

ij

m

m

m

M (3.46)

Los bloques correspondientes a las coordenadas de posición de los nodos son matrices diago-

nales. Esta propiedad se explica fácilmente. Por un lado, en estos elementos las matrices de

interpolación N de la posición de cada punto del elemento están desacopladas en las tres

direcciones Cartesianas, por lo que se justifica que las componentes cruzadas de cada bloque ij

ttM , que corresponden con la integral de volumen de T

i jN N , son cero cuando i j , y por

tanto la matriz tiene estructura diagonal. Por otra parte, en estos elementos las funciones de

interpolación son iguales para todas las coordenadas, por lo que la integral de volumen de

i jN N es idéntica para cualquier valor de i=1,2,3.

En el caso particular del elemento viga de Euler-Bernouilli la función de interpolación de la

deformación según el eje X es distinta de las demás, aunque en los ejes Y y Z sí son equivalen-

tes entre sí. Esto hace que las integrales de volumen de T

i jN N de la diagonal no sean iguales,

aunque la magnitud de dicha diferencia es relativamente pequeña. Por otra parte las integra-

les de volumen de T

i jN N sí son cero cuando i j , lo que hace que estas matrices sean siem-

pre diagonales. En todo caso, tanto en el primer grupo de elementos como en este tipo de

vigas, se cumple la siguiente propiedad:

3

1

i

ni ij i i

tt tt

i i

m

m m

m

M M I (3.47)

La suma de los bloques correspondientes a las componentes de los desplazamientos nodales

en una fila o una columna es igual a la matriz identidad multiplicada por un valor constante.

Esta expresión es válida tanto para cada elemento aislado como para los bloques de la matriz

ensamblada: las matrices de rotación A que definen la orientación de cada elemento con

respecto al sistema local del cuerpo flexible son ortogonales, por lo que su transformación del

sistema local al elemento finito con respecto al sistema de coordenadas del cuerpo flexible

dejan invariante esta matriz. Por otra parte, de la suma de todos los bloques ij

ttM resulta una

matriz diagonal con la masa total del elemento finito.

3

0 0

pn nij

tt p p

i j

p

m

m m

m

M I (3.48)


96

En los casos de que se consideren elementos estructurales con desplazamientos rotacionales,

el ángulo girado según uno de los ejes del elemento no afecta a su deformación y, consecuen-

temente, no interviene en la función de interpolación correspondiente. Por tanto, los elemen-

tos de la diagonal de los bloques ij

trM son cero. Debido a la simetría de las rotaciones y a la

convención de signos utilizada en todas las formulaciones estudiadas, se cumple que estos

bloques ij

trM tienen también una estructura anti-simétrica.

Todas estas propiedades también son extensibles a la matriz del cuerpo flexible que surge de

ensamblar las matrices de todos sus elementos finitos. Para simplificar la notación de las ex-

presiones posteriores, se definen las siguientes matrices, que acumulan los términos por filas,

columnas o de manera total:

0 0 0

0 0 0 0 0 0

, , ,

, ,

n n ni ij i ij i ij

tt tt tr tr rr rr

j j j

n n n n n nij ij ij

tt tt tr tr rr rr

i j i j i j

M M M M M M

M M M M M M

(3.49)

Dado que la matriz de masas es simétrica, la acumulación de estos términos es igual tanto por

filas como por columnas. tt

M es la matriz diagonal de la expresión (3.48). Además, como

consecuencia de la expresión (3.48), las matrices i

tt

M son diagonales.

3.5.1 Matriz de masas

Teniendo en cuenta estas expresiones, se pueden reformular los distintos bloques de la matriz

de masas vistos en el Apartado 3.4.1. En primer lugar, los bloques que no están multiplicados

por ninguna otra matriz resultan ser las acumulaciones en filas y columnas de la matriz de ma-

sas original:

1 2 3

3, , P tr rrm M I M M M M (3.50)

donde 1M es una matriz diagonal que no depende de la orientación del sólido flexible y 2

M

es una matriz anti-simétrica. Por tanto, es posible orientar dicho bloque respecto al sistema

inercial premultiplicando el vector asociado a dicha matriz por la matriz de rotación del sólido.

Esto reduce el número de operaciones necesarias en dicha evaluación. Las tres matrices res-

tantes, en vez de calcularlas aisladamente, es más conveniente evaluarlas como producto de

éstas por la matriz 1Ω :

4 5 6

1 1 1 1

1 1 1 1

, , n n n n

i i T T ij

tt i tr i i tt i

i i i j

M Ω M r M Ω M r Ω M Ω r M r (3.51)

Teniendo en cuenta que la posición de cada punto i según la orientación del sistema local vie-

ne dada por la expresión (3.13), se puede desarrollar el primer producto de la siguiente forma:


97

4

1 0

1 1 1 1j

n n n mi T i i t

tt tt i tt i j

i i i j

M Ω M A r M r M φ (3.52)

Los bloques i

tt

M son diagonales y todos sus valores no nulos son idénticos, por lo que el pro-

ducto de matriz por matriz puede ser sustituido por un producto de matriz por constante. Por

otra parte, en el primer sumando sólo dichos bloques dependen del número de elementos

finitos. Por tanto, es posible sacar fuera del sumatorio los términos independientes:

4

1 0

1 1 1 1

n n n mi i i t

tt tt i tt ij j

i i i j

M Ω M r M r M φ (3.53)

4 4 4

1 0 1 2

1

mT

P j j

j

m

M Ω A r m m (3.54)

donde se han definido los dos bloques siguientes:

4 4

1 2

1 1

, j

n ni i t

i j i

i i

m m

m r m φ (3.55)

Mediante este desarrollo se ha convertido un producto matricial de dos matrices cuya dimen-

sión mayor era 6+3·m en la matriz antisimétrica asociada a una suma de 2+m productos de

constante por vector. Por tanto, el número de operaciones aritméticas es sensiblemente más

pequeño que en la formulación original. Además, la matriz 4

1m es constante, por lo que puede

añadirse directamente a la matriz 2M sin necesidad de evaluar dicha suma en cada iteración.

En el caso del producto matricial 5

1M Ω el desarrollo es muy similar. Sin embargo, no es posi-

ble reducir tanto el número de operaciones debido a que los bloques i

tr

M no son diagonales:

5

1 0

1 1 1 1j

n n n mi i i t

tr tr i tr i j

i i i j

M Ω M r M r M φ (3.56)

5 5 5

1 0 1 2

1

m

tr j j

j

M Ω M r M M (3.57)

5 5

1 2

1 1

, j

n ni i t

tr i j tr i

i i

M M r M M φ (3.58)

El último término necesario para calcular la matriz de masas es el producto 6

1 1

TΩ M Ω , que es

más laborioso de desarrollar. Sin embargo, es posible reutilizar algunos de los elementos pre-

viamente calculados:


98

6

1 1

1 1

n nT T ij

i tt j

i j

Ω M Ω r M r (3.59)

6

1 1 0 0

1 1 1 1k l

Tn n m m

T t ij t

i i k tt j j l

i j k l

Ω M Ω r r φ M r r φ (3.60)

6

1 1 0 0

1 1 1

0

1 1 1

1

0 0 0

l

k

n n mT T j j t

tt tt j tt j l

j j l

Tn n m

i T

tt

i t

tt i tt i k

i i k

nT ij

i tt j

i j

tt

M r r

Ω M Ω

M

r M r M r M φ

M r M φ r

r M r

r

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

l k

k l

n n n m n n mT ij t t ij

i tt j l i k tt j

i j l i j k

Tn n m m

t ij t

i k tt j l

i j k l

r M φ φ M r

φ M φ

(3.61)

Los términos resaltados en rojo, que se cancelan entre sí, han sido añadidos por conveniencia.

Agrupando términos y utilizando la expresión (3.53) se obtiene:

6 6

1 1 1 0 0

4 4 4 4

0 1 2 1 2 0

1 1

6 6 6

2 2 3

1 1 1 1

T T

P

Tm m

T T

j j j j

j j

Tm m m m

j j j j ij i j

j j i j

m

Ω M Ω M r r

r m m m m r

M M M

(3.62)

donde,

6 6

1 2

1 1 1 1

6

3

1 1

, ,

j

i j

n n n nT ij T ik t

i tt j j i tt k

i j i k

n n Tt kl t

ij k tt l

k l

M r M r M r M φ

M φ M φ

(3.63)

Todas estas expresiones suponen sumar un número importante de productos de matrices por

escalar. Sin embargo, muchas de estas operaciones se pueden realizar una sola vez, ya que hay

varios bloques que, para la misma posición en la matriz de masas, son constantes o están mul-

tiplicados por la misma variable. Así, resumiendo, los bloques de la matriz de masas quedan en

la forma:


99

2 4 4 4

1 1 0 2

1

3 5 5 6

1 1 1 1

5 5 6

1 1 1 0 0

2 4 2 4

1 0 0 1

5 6 5 6

2 2 2 2

1

6

3

1 1

m

tr P j j

j

T T T

TT

rr P

T

mT

j j j j j

j

m m

ij i j

i j

m

m

M M Ω M m r m

M M Ω Ω M Ω M Ω

M M M M r r

M M Ω r r M M Ω

M M M M

M

(3.64)

El desarrollo del bloque de la matriz de masas que acopla los términos relacionados con el

sistema local y las amplitudes modales, SRM , se realiza de manera análoga. Las matrices

constantes 7M y 8

M se calculan según la siguiente expresión:

7 77

1 1

8 88

1

T FEM m

SR

m

m mMD M D

m mM (3.65)

Los vectores 4

2 jm son los mismos que se definen en (3.55). El resto de vectores constantes

corresponden a las siguientes expresiones:

7 4 8

2

1 1

, j j j

n ni r i t i r

j j rt i j tr i rr i

i i

m m M φ m M φ M φ (3.66)

El producto 9

1

TΩ M tiene una expresión similar. Así, la columna correspondiente para cada uno

de los modos es:

9

1

1 1j j

j

n nT T ik t ik r

i tt k tr k

i k

Ω M r M φ M φ (3.67)

9 9 9 9

1 0 1 2 3

1j

mT T

j j jk k

k

Ω M r m m m (3.68)

con,

9 4

1 2

1j

ni r

j j tr i

i

m m M φ (3.69)

9

2

1 1j j

n nik t ik r

j i tt k tr k

i k

m r M φ M φ (3.70)


100

9

3

1 1k j j

n nt il t il r

jk i tt l tr l

i l

m φ M φ M φ (3.71)

Por tanto, la matriz considerada queda en la forma,

7

3

8 9 9 93 2 0 1 3

1

j

j

mSR T

j j j jk k

k

mA 0

M0 A m m r m m

(3.72)

Finalmente, la matriz 10M se puede calcular por bloques de manera análoga. Sin embargo, al

ser constante, sólo ha de evaluarse una vez. Esto hace que la aplicación de este método para

dicha matriz no sea muy relevante.

3.5.2 Vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad

El cálculo del vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad se realiza de manera

similar. Sin embargo, al contrario que en el cálculo de la matriz de masas, no se va a buscar la

similitud con las matrices 11M a 22

M , ya que hay partes del vector que pueden ser evaluadas

de manera más eficiente a través de la expresión original: a partir de la partición del vector

según la expresión (3.34) y, a su vez, separando las componentes de traslación y rotación del

sistema de referencia local según la expresión:

,

,

,

t

v SR

v SR r

v SR

QQ

Q (3.73)

3.5.2.1 Componente traslacional del sistema de referencia local

Es fácil demostrar que el bloque ,

t

v SRQ del vector de fuerzas de inercia dependientes de la

velocidad, correspondiente a las coordenadas de traslación del sistema local del elemento

flexible, se puede calcular mediante la siguiente expresión:

,

1

2n

t i T r i T r

v SR tt i i tr i

i

Q AM A ω ω r ω v AM A ω ω (3.74)

Las tres primeras filas, relacionadas con la posición del sistema de referencia local y que for-

man el bloque ,

t

v SRQ , se pueden analizar por partes, dado que las matrices i

tt

M son equiva-

lentes a multiplicar el resto de la expresión por la constante i

ttm . Por otra parte, el producto

de la matriz de rotación por su transpuesta es la matriz identidad, quedando la expresión mul-

tiplicada únicamente por dicha constante. Además, se pueden sacar como factor común aque-

llos términos que no dependan del índice del sumatorio:

1 1 1

2 2n n n

i T r i i r

tt i i tt i tt i

i i i

m m m

A A ω ω r ω v ω ω r ω v (3.75)


101

4

0 1

41 1 2

1

4

2

1

2

2

Pn ni i r mtt i tt i

i i j

j

m

j

j

m

m m

r m

ω ω A r ω A v ω ω Am

ω A m

(3.76)

Todos los vectores de inercia se usan para el cálculo de la matriz de masas. Para calcular el

segundo sumando de ,

t

v SRQ es necesario permutar el producto vectorial y proyectar la veloci-

dad angular relativa según el sistema de coordenadas local del cuerpo flexible:

1 1 1

n n ni T r i T r i T r T

tr i tr i tr i

i i i

A M A ω ω A M A ω ω A M A A ω A ω (3.77)

1 1

n ni T r T i r T

tr i tr i

i i

A M A A ω A ω A M ω A ω (3.78)

14

1

1 1 1

dnn ni r T i r T T

tr i tr i j j j

i i j

A M ω A ω A M φ A ω A M A ω (3.79)

donde se ha definido una nueva matriz similar a la 5

2 jM de (3.58), pero relacionada con las

componentes de rotación de las amplitudes modales:

14

1

1j

ni r

j tr i

i

M M φ (3.80)

Agrupando todos los términos de ,

t

v SRQ se obtiene:

4 4 14 4

, 0 1 2 1 2

1 1

2m m

t T

v SR P j j j j j

j j

m

Q ω ω A A r m m A M m ω (3.81)

3.5.2.2 Componente rotacional del sistema de referencia local

El bloque ,

r

v SRQ es más complejo de evaluar, ya que el número de componentes es substan-

cialmente mayor que el correspondiente a la componente traslacional:

,

1

1

2

2

i T r i T r

tr i i rr i

nT ij T r

nSR r j tt i ii

T i T rj

j tr i

AM A ω ω r ω v AM A ω ω

Q r AM A ω ω r ω v

r AM A ω ω

(3.82)

Tal como se ha indicado previamente, el bloque i

rt

M es anti-simétrico, por lo que se puede

definir el vector i

rt

m asociado a dicha matriz. Esto permite resolver el primer sumando de

manera directa:


102

1 1

n ni T i

tr i tr i

i i

AM A ω ω r A m ω ω r (3.83)

1 1

n ni T i T i T i T

tr i tr i i tr i tr i

i i

A m r ω ω m ω ω r A m r ω ω ω m r ω (3.84)

2 17 17 2 17 17

0 1 2 0 3 4

1 1

m mT T

i i i

i i

A ω ω m r m m ω m r M M ω (3.85)

donde se han definido las matrices siguientes:

17 17

1 2

1 1

17 17

3 4

1 1

i

i

m mi i t

tr i i tr j

i j

m mi T i tT

tr i i tr j

i j

m m r m m φ

M m r M m φ

(3.86)

El segundo y tercer sumando de la expresión (3.85) se pueden desarrollar de una manera sen-

cilla haciendo uso de bloques definidos anteriormente:

14

1

1 1

2 2n m

i T r

tr i j j

i j

A M A ω v A M ω (3.87)

17

5

1 1 1

n n mi T r i r T

rr i rr i j j

i i j

A M A ω ω A M ω A ω A M ω (3.88)

donde se ha definido otra nueva familia de matrices:

17

5

1

j

mi r

i rr i

j

M M φ (3.89)

El siguiente término no puede ser calculado de una manera sencilla y para determinarlo de un

modo exacto sería necesario descomponer la expresión en tres sumandos, tal como se ha he-

cho en el Apartado 3.4.2. Como se ha descrito previamente, el bloque ij

ttM es diagonal pero,

de manera general, sus valores no son idénticos salvo en elementos isoparamétricos. Sin em-

bargo, la diferencia entre esos elementos de la diagonal es relativamente pequeña: en el caso

de la viga de Euler-Bernouilli el término de inercia en X es / 3Pm mientras que en Y y en Z son

154 / 420Pm , un 10% mayor; para la viga de Timoshenko (sin considerar efectos de cortante)

el término en X es también / 3Pm y los otros dos 156 / 420Pm , un 11% más. Por tanto, a fin

de desarrollar la expresión de una manera más sencilla, se va a considerar que todos sus valo-

res son iguales. Más adelante se evaluarán los efectos de estas aproximaciones. Aplicando la

regla de expulsión:


103

1 1 1 1

1 1 1 1

=

n n n nT ij T T ij T T

j tt i j tt i

j i j i

n n n nT ij T T ij T

j tt i j tt i

j i j i

r AM A ω ω r A r M ω ω ω ω r

A r M r ω ω A r M ω r ω

(3.90)

Considerando la aproximación anterior, el primer sumando es nulo: cuando i=j es un producto

vectorial de dos vectores iguales, y cuando i≠j para cada par ij existe otro par ji que lo cancela.

El resto de la expresión puede ser desarrollada de la manera siguiente:

1 1 1 1

1 1 1 1

6

1 1

1 1

n n n nT ij T T ij

j tt i i tt j

j i j i

n n n nij T T ij

j tt i j tt i

j i j i

n nT ij T

j tt i

j i

A r M ω r ω A ω ω r M r

A ω rM r ω A ω r M r ω

Aω r M r ω ω Ω M Ω ω

(3.91)

El quinto sumando es mucho más sencillo y puede expresarse en función de matrices ya defi-

nidas:

1 1 1 1

n n n nT ij T r ij r

j tt i j tt i

i j i j

r AM A ω v A rM ω v (3.92)

1 1 1 1 1

k

n n m n nij r T ij t

j tt i j tt i k

i j k i j

A r M ω v A r M φ ω (3.93)

4 6 6

0 2 2 3

1 1 1 1

+m m m m

T

j j j j ij i j

j j i j

A r m M M ω (3.94)

Se puede demostrar que esta expresión es equivalente a:

6,36

1

02 T

A Ω M ω

Γ (3.95)

Finalmente, el sexto término es similar al anterior:

1 1 1 1

j

n n n nT i T r T i r

j tr i j tr i j

i j i j

r AM A ω ω A r M φ ω (3.96)

14 14 14

0 1 2 3

1 1

n mT

j j kj k j

j k

A r M M M ω (3.97)

con:

14 14

2 3

1 1 1 1

j i j

n n n nT ik r rT kl r

j i tr k jk k tr l

i k k l

M r M φ M φ M φ (3.98)


104

Agrupando y reordenando los seis términos calculados, el bloque correspondiente a las com-

ponentes traslacionales del vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad queda

según la siguiente expresión:

2 17 17

0 1 2

1

2 17 17 6

0 3 4 1 1

1

,

14 9 6 14 6 14

1 1 2 2 3 3

1 1

4 14 17

0 2 1 5

1 1

2 2

2

mT

i i

i

mT T

i

i

SR r m m

j j j j ij ij i j

j i

m mT

j j j j j

j j

m r m m ω

ω m r M M Ω M Ω

Q A

M m M M M M

r m M M

ω (3.99)

3.5.2.3 Componentes modales

Por último queda por evaluar los términos del vector de fuerzas de inercia que corresponden a

las amplitudes modales. Para cada modo se demuestra que:

,

1 1 1 1

2k k k

n n n nT Tt ij T r r ij T r

v i tt j j i tr j

i j i j

Q φ AM A ω ω r ω v φ AM A ω ω (3.100)

Análogamente al resto de bloques del vector de fuerzas de inercia dependientes de la veloci-

dad, se analiza este bloque por sumandos. El término dependiente de la velocidad centrípeta

se puede desarrollar aplicando la regla de expulsión:

3

1 1 1 1k k

n n n nT Tt ij T t ij T T T

i tt j i tt j

i j i j

φ AM A ω ω r φ M A ω ω ω ω I r (3.101)

1 1 1 1

k k

n n n nT Tt ij T T t ij T T

i tt j i tt j

i j i j

φ M A ω ω r φ M ω ω A r (3.102)

1 1 1 1

k k

n n n nT Tij t T T ij t

tt i j tt i j

i j i j

M φ ω ω r ω ω M φ r (3.103)

Dado que en todas las expresiones aparecen productos escalares, es fácil extraer de cada uno

de los dos sumandos las velocidades angulares, dejando en los sumandos únicamente las ma-

trices de masas, modos y posiciones que dependen de los mismos.

3

1 1 1 1k k

n n n n TT ij t T ij t

tt i j tt i j

i j i j

ω M φ r M φ r I ω (3.104)

Deshaciendo convenientemente la regla de expulsión, la expresión se simplifica a:

1 1

k

n nT ij t

tt i j

i j

ω M φ r ω (3.105)

Por último, se desarrolla la posición según la orientación del sistema de referencia local:


105

1 1 1 1

k i k l

n n m nT i t ij t ij t t

tt i j tt i j tt l j l

i j l j

ω M φ r M φ r M φ φ ω (3.106)

4 19 19

2 0 1 2

1

mT T

i i il l

l

ω m A r M M ω (3.107)

donde se han definido los siguientes bloques:

19 19

1 2

1 1 1

, i i k

n n nij t ij t t

i tt i j ik tt l j

j l j

M M φ r M M φ φ (3.108)

El segundo sumando, correspondiente a la aceleración de Coriolis, es más sencillo de obtener:

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 2

= 2

= 2

k k

k l

k l

n n n nT Tt ij T r t ij r

i tt j i tt j

i j i j

n n mTt ij t

i tt j l

i j l

m n n Tt ij t

i tt j l

l i j

φ AM A ω v φ M v ω

φ M φ ω

φ M φ ω

9

3

1

= 2

Tm

il l

l

m ω

(3.109)

El vector 9

3ikm corresponde a la expresión definida en (3.71). El desarrollo del último sumando

es análogo:

1 1 1 1 1

19

3

1

=

k k l

n n n n mT Tr ij T r r ij r

i tr j i tr j l

i j i j l

m

il l

l

φ AM A ω ω φ M φ ω

m ω

(3.110)

donde se ha definido otra nueva familia de bloques:

19

3

1 1k l

n nr ik r

ij i tr l

k l

m φ M φ (3.111)

Por tanto, agrupando términos, las componentes modales del término de fuerzas dependiente

de la gravedad se calculan según la siguiente expresión:

4 19 19 9 14

, 1 0 1 2 3 4

1 1

2k

Tm m

T

v j j kj kj j

j j

Q ω m r M M m m ω (3.112)

Esta expresión es sustancialmente más sencilla y claramente menos costosa de calcular que la

propuesta en (3.36).


106

3.5.3 Caso particular: elementos isoparamétricos

Cuando un cuerpo flexible es modelado mediante un conjunto de elementos finitos en los que

únicamente se utilizan los desplazamientos axiales de cada nodo, las expresiones del Apartado

anterior se simplifican considerablemente. Este caso puede aparecer con mucha frecuencia, ya

que existen muchos cuerpos flexibles en los que sus volúmenes o espesores no hacen conve-

niente utilizar vigas o placas, y los desplazamientos rotacionales pueden no ser tenidos en

cuenta. Otro caso es considerar una formulación no consistente para evaluar los componentes

inerciales, que se presentará en el Apartado 3.5.4.

En el cálculo del término de sólido rígido de la matriz de masas desaparecen las matrices 2M ,

3M y 5

1M Ω , quedando:

4

3 33 1

63 31 1

T

p

SR TT

m

sim

A 0 A 0I M ΩM

0 A 0 AΩ M Ω (3.113)

Si bien la evaluación inicial de los términos constantes de inercia se simplifica, la desaparición

de términos no tiene influencia en la eficiencia del cálculo de la matriz de masas en cada itera-

ción. Comparando la expresión (3.113) con la (3.64) es fácil ver que las operaciones necesarias

para evaluar ambas expresiones son las mismas, ya que únicamente se eliminan bloques cons-

tantes que se sumaban a otros también constantes y que permanecen.

Lo mismo ocurre con el término de la matriz de masas que relaciona el sistema de referencia

local y los modos de deformación: desaparece el término 8

jm , que sólo tiene sentido cuando

hay componentes rotacionales de deformación, y los vectores 7

jm y 9

1 jm pueden ser sustitui-

dos por 4

2 jm . Sin embargo, el número de operaciones necesario para cada evaluación perma-

nece inalterable.

4

23

4 9 93 0 2 2 3

1

j

j

mSR T

j j jk k

k

mA 0

M0 A r m m m

(3.114)

En el cálculo del vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad, en la componente

traslacional del sistema de referencia local, ocurre exactamente lo mismo, ya que únicamente

desaparece el bloque 14

1 jM en la evaluación del término de Coriolis:

4 4 4

, 0 1 2 2

1 1

2m m

t

v SR P j j j j

j j

m

Q ω ω A r m m ω A m (3.115)

Matricialmente puede representarse por:


107

6,34 6

, 1

02t T T

v SR

Q ω A M Ω A ω A M A ω

Γ (3.116)

La expresión ,

r

v SRQ se simplifica también considerablemente:

6,34 6 6

, 1 1 1 1

02r T T T T T

v SR

Q A M Ω A ω ω A Ω M Ω A ω A Ω M A ω

Γ (3.117)

Por último, en las componentes modales del vector de fuerzas de inercia, , iv Q , únicamente

desaparece el vector 14

4ikm . Por otra parte, para este tipo de elementos flexibles, dada la parti-

cular propiedad de ij

ttM , es fácil de mostrar que los bloques satisfacen las relaciones:

19 6

1 2

1 1i i

n nij t ij t

i tt j j tt j j i

j j

m

M M φ r φ r M (3.118)

19 6

2 3

1 1 1 1i k i k

m n m nij t t ij t t

ik tt l j tt l j ik

l j l j

m

M M φ φ φ φ M (3.119)

La evaluación de estos términos, por tanto, no se ve alterada con respecto a un cuerpo flexible

en el que sí se definan deformaciones en las componentes de rotación.

4 6 6 9

, 2 0 2 3 3

1 1

2i

Tm m

T

v i i ik k ik k

k k

Q ω m r M M m ω (3.120)

Es fácil deducir que esta expresión puede expresarse matricialmente como:

6,36 9

, 1 2i i

i

T

T T

v

0Q ω Ω M ω M ω

Γ (3.121)

3.5.4 Aspectos de implementación del método propuesto

En la evaluación de los términos de masas y fuerzas dependientes de la velocidad han apareci-

do un número de ‘familias’ de matrices y vectores muy numeroso. Por otra parte, la evaluación

de los términos dependientes de las amplitudes modales ha sido presentada como productos

de matriz por constante o vector por constante. En este punto se quiere profundizar un poco

más en los métodos más eficientes de evaluación de las expresiones presentadas, tanto en la

evaluación inicial de los términos constantes como en el cálculo de las masas y fuerzas en cada

iteración.

3.5.4.1 Cálculo de los términos de inercia en cada iteración

La evaluación de los términos de inercia expresada como una suma de productos de vectores

3x1, matrices 3x3 y constantes, no es lo más eficiente en términos de coste computacional. Las

razones fundamentales son variadas y dependen principalmente de la arquitectura actual de


108

los procesadores así como del funcionamiento de los compiladores y lenguajes de programa-

ción. Por un lado, las CPUs actuales permiten la evaluación simultánea de varias operaciones

de punto flotante similares. Es lo que se conoce como vectorización. Este proceso suele ser

trasparente para el programador ya que estas operaciones se definen durante la compilación o

incluso en la propia ejecución. En ocasiones sí es posible establecer alguna directiva de compi-

lación o bien un comando específico del entorno de programación. Intel y AMD, por ejemplo,

también permiten programar directamente estos procesos mediante instrucciones SSE y AVX.

Por otra parte, las arquitecturas actuales de los procesadores con varios núcleos están espe-

cialmente optimizadas para realizar procesos paralelos. Algunas librerías matemáticas tales

como las Math Kernel Libraries (MKL) de Intel están especialmente optimizadas para realizar

cálculos matriciales dividiendo los procesos en partes para realizarlos en paralelo. Sin embar-

go, estos procesos tienen una importante limitación: las operaciones en paralelo se realizan

sobre la misma memoria del ordenador. Por tanto los distintos procesos que se ejecuten en

paralelo no deben escribir a las mismas variables ya que los resultados del cálculo podrían no

ser correctos. Las librerías de programación en paralelo utilizan distintos métodos para poder

compartir la memoria mediante procesos de exclusión y sincronización. Sin embargo, estos

procesos comportan una pérdida substancial de rendimiento, por lo que la paralelizaciónsólo

suele ser rentable a partir de un cierto tamaño de las matrices/vectores, muy por encima que

lo que es habitual en dinámica de sistemas multi-cuerpo.

En las formulaciones topológicas es difícil realizar procesos en paralelo dado que la comparti-

ción de memoria es muy habitual ya que los procesos son recursivos. Su uso solamente se jus-

tificaría en casos existan muchos modos de deformación. Por el contrario, el uso de vectoriza-

ción en un solo procesador sí es viable ya que se realizan un importante número de operacio-

nes con matrices 3 x 3 y vectores de 3 valores.

En el cálculo de los términos de inercia, es muy eficiente el sustituir las sumas de productos

matriciales por simples productos de matriz por vector o matriz por matriz. Esto permite defi-

nir, por ejemplo, para el cálculo de la matriz de masas:

4 4

2 2

1

m

j j

j

m M η (3.122)

6 6 6 6 6

2 2 21 22 23

1

mT

j j j

j

M M M η M η M η (3.123)

6 6 6

311 312 313

6 6 6 6

3 321 322 322

1 16 6 6

331 332 333

T T T

m mT T T

ij i j

i jT T T

η M η η M η η M η

M η M η η M η η M η

η M η η M η η M η

(3.124)

La evaluación matricial permite tomar ventaja de la vectorización que permiten los compilado-

res actuales. Opcionalmente, si el número de amplitudes modales es muy alto, la paraleliza-


109

ción podría reducir los tiempos de evaluación de los términos de inercia. En general, estos

procesos siempre implican alguna sobrecarga con respecto a los procesos secuenciales dado

que es necesario crear y destruir durante la ejecución un número de procesos o hilos indepen-

dientes para ejecutar los cálculos en paralelo. Por tanto, la paralelización únicamente se justifi-

ca si el número de modos es lo suficientemente grande.

3.5.4.2 Evaluación de las matrices constantes

Al igual que los métodos basados en las integrales inerciales de forma, la evaluación de los

términos de inercia depende de productos de matrices constantes por la posición del sistema

de referencia local, la matriz de rotación y las amplitudes modales. En esta Tesis se han pre-

sentado un buen número de bloques y vectores que deben evaluarse una única vez. Sin em-

bargo, dado que éstos dependen del número de elementos y nodos de la discretización y que

el número de bloques presentado es muy elevado, este proceso puede resultar muy costoso

para casos complejos. Por otra parte, las matrices de masas resultantes del Método de Ele-

mentos Finitos suelen ser muy grandes y están almacenadas en matrices dispersas. Esto hace

que los cálculos matriciales con ellas sean muy eficientes cuando se utilizan métodos específi-

cos para este tipo de matrices. Sin embargo, no es fácil trabajar con estas matrices de una ma-

nera convencional ya que su almacenamiento no hace fácilmente accesibles los elementos de

la matriz cuando se hace una búsqueda de términos concretos de la misma.

Aunque se han presentado muchas familias de bloques y vectores, realmente no es necesario

evaluar cada uno de ellos por separado, ni tampoco almacenarlos tal como se han representa-

do en el desarrollo teórico. Para calcular estos términos, lo más eficiente es obtener las si-

guientes matrices resultantes de subdividir las matrices 1

SRD y 2

SRD en la expresión (3.11).

1

1

1 2 3

1 13 3 1

3

2 23 3 2

1 2 2 2

3

3 3

3

m

m

t t

t t

SR SR SR SR

N

3

3 33 3 3

3

3 3 3 3 3

3

3 3 3

φ φI 0 I r

0 00 I 0 0

φ φI 0 I r

D 0 I D 0 D D0 0 0

I 0 I r φ

0 I 0 01

m

t t

N N

3 3

φ

0 0

(3.125)

Es fácil demostrar que todos los bloques necesarios para obtener la matriz de masas pueden

ser deducidas a partir de productos de dichas matrices por la matriz de masas obtenida por el

Método de Elementos Finitos:

1 2

1 1

3

TMEF

SR SRsim

M MD M D

M (3.126)

2 3

4 4

1 2 1 21 2

5 5

1 2

T T

MEF MEF

SR SR SR SR

m mD M D D M D

M M (3.127)


110

1 2 2 3

3 3

6 2 2 6 2 2

1 2

6 2 2

3

T TMEF MEF

SR SR SR SR

TMEF

SR SR

M D M D M D M D

M D M D

(3.128)

7

1

8

T MEF

SR

MD M D

M (3.129)

1 2 3

9 1 9 2 9 2

1 2 3 T MEF T MEF T MEF

SR SR SR M D M D M D M D M D M D (3.130)

Las matrices D se pueden ensamblar de manera muy eficiente con las librerías BLAS. Algunas

operaciones, como por ejemplo la multiplicación de matrices por 1

SRD , son una mera acumula-

ción de términos por filas o columnas situados en intervalos de 6. Esta operación puede ser

implementada mediante funciones específicas de dicha librería. Además, para modelos con

mallados complejos la matriz de masas MEFM es muy dispersa, por lo que es posible utilizar

métodos de matrices sparse para realizar estas operaciones.

3.6 Simplificaciones

El cálculo de los términos de inercia mediante la interpolación no consistente se puede realizar

en función de la matriz de masas obtenida por un programa de cálculo de elementos finitos.

Esto facilita la evaluación y, comparando con el cálculo mediante integrales inerciales de for-

ma, el coste computacional en cada iteración es similar. Sin embargo, en general la evaluación

de la matriz de inercia y del vector de fuerzas de inercia dependientes de la velocidad sigue

siendo costosa en los casos de sistemas flexibles complejos. En los ejemplos analizados en esta

Tesis la evaluación de estos términos puede suponer el 30% del tiempo total de la simulación.

Por tanto, es interesante analizar cómo simplificar los términos de inercia a fin de reducir el

coste computacional.

3.6.1 Eliminación de los términos cuadráticos en amplitudes

La primera aproximación se basa en criterios puramente numéricos: basándose en los valores

que pueden tomar los elementos de la matriz de masas, los modos de deformación y las ampli-

tudes modales, es posible eliminar los bloques menos significativos.

En general el valor de las amplitudes modales suele ser muy pequeño cuando se hace uso de la

hipótesis de pequeñas deformaciones. Por otro lado, los modos de deformación tampoco alte-

ran de forma significativa los valores de la inercia: en los ejemplos de casos reales analizados,

el máximo valor de las amplitudes modales ronda un valor que se sitúa entre 0 y 8, pero que

raramente supera el valor de 2. En el caso de los términos de la matriz de masas original del

cálculo de elementos finitos, es posible distinguir tres tipos de elementos según del bloque

que procedan: ttM , trM y rrM . Por ejemplo, analizando los distintos tipos de elementos viga

más utilizados, los elementos de cada bloque tienen un valor máximo de:

2 ij ij ij

tt tt tr tr rr rrm k m k l m k l (3.131)

Simplificaciones

111

donde l es la longitud del elemento y cada valor k es una constante que depende del tipo de

elemento viga utilizado, de las dimensiones de su sección y de sus propiedades materiales. El

valor de rrk es un orden de magnitud menor que trk , y éste a su vez es otro orden de magni-

tud menor que ttk . Sin embargo, las constantes de menor valor están multiplicadas por la

longitud del elemento. Suponiendo que las expresiones son más o menos equivalentes a las de

(3.131) para la matriz ensamblada, en el caso vigas esbeltas no parece conveniente despreciar

ningún elemento.

Por tanto, desde el punto de vista numérico, únicamente parece razonable despreciar los tér-

minos que están multiplicados por dos amplitudes modales. Eso permite despreciar las matri-

ces 6

3ijM , 15

8ijM , 16

8ijM y 17

8ijM . Sin embargo, 6

3ijM debe usarse para evaluar los términos depen-

dientes de la velocidad de las amplitudes de deformación de la expresión (3.95). En resumen, a

priori este método no reduce significativamente el número de bloques necesarios, por lo que

la mejora en términos de coste computacional no parece relevante.

3.6.2 Formulación no consistente de la matriz de masas

Otra opción que permite simplificar el cálculo de los términos de inercia es evaluar la matriz de

masas con otro tipo de elementos finitos más simples que los utilizados para calcular la matriz

de rigideces y los modos de deformación. La aplicación práctica de esta simplificación supone

prescindir de las componentes angulares de deformación. Otra opción sería utilizar funciones

de interpolación respecto a un número menor de nodos en cada elemento finito. Sin embargo,

esta aproximación es menos fácil de implementar si se pretende obtener las matrices de ma-

sas y rigideces a partir de un programa de elementos finitos.

Esta simplificación es utilizada por Lugrís (2008), que calcula la matriz de masas de cuerpos

flexibles formado por vigas mediante elementos de dos nodos con matrices de interpolación

dependientes de los desplazamientos axiales de cada nodo. En términos numéricos, esto es

equivalente a despreciar los términos cruzados y de rotación en la energía cinética:

1

2

n nT ij

i tt j

i j

T v M v (3.132)

Las expresiones utilizadas en este caso son exactamente iguales a las descritas en el Apartado

3.5.3. Además, para este caso en particular la interpolación no consistente de velocidades

coincide con el cálculo mediante integrales inerciales de forma.

3.6.3 Formulación de masas concentradas (lumped masses)

La última aproximación presentada en esta Tesis hace uso de la formulación de masas concen-

tradas. Esta matriz no consistente tiene una característica muy particular, que la hace idónea

en términos de eficiencia: es diagonal. Esto hace que no haya términos cruzados de ningún

tipo. En términos físicos, esta aproximación supone que la energía cinética se puede expresar

como:


112

1

2

n nT ij T ij

i tt j i rr j

i j

T v M v ω M ω (3.133)

Dado que únicamente hay términos en la diagonal, la expresión anterior puede simplificarse

de manera substancial:

1

2

nT ii T ii

i tt i i rr i

i

T v M v ω M ω (3.134)

Si bien en los casos en que los elementos tengan desplazamientos rotacionales aparecen tér-

minos de inercia rrM , éstos apenas suponen coste adicional en el cálculo de la matriz de ma-

sas ya que únicamente incorpora el término rr

M :

4 4

3 1 0 2

1

6 4 4

1 0 0 1 0 1

6 6 6

2 2 3

1 1 1

mT

p P j j

j

T T

rr PSR

Tm m m

T

j j j ij i j

j i j

m m

m

sim

I A m r m A

M M r r M Ω r M ΩM

A AM M M

(3.135)

El resto de términos de la matriz de masas, así como en el vector de fuerzas de inercia depen-

dientes de la velocidad, no cambia con respecto al caso de elementos sin coordenadas de rota-

ción.

Si bien esta aproximación es equivalente en términos de coste computacional a la formulación

no consistente del Apartado 3.6.2, una gran ventaja de este método es que la evaluación de las

matrices constantes se simplifica enormemente, reduciendo el coste computacional del pre-

proceso. Así, por ejemplo, los bloques constantes de la matriz de masas 6M pueden calcularse

mediante las siguientes expresiones, en las que aparece únicamente un solo sumatorio:

6 6

1 2

1 1

6

3

1

, ,

j

i j

n nT ii T ii t

i tt i j i tt i

i i

n Tt kk t

ij k tt k

k

M r M r M r M φ

M φ M φ

(3.136)

El programa de simulación de mecanismos MSC Adams (2014) realiza una ortogonalización de

los modos obtenidos mediante el método de Craig-Bampton. Esto hace que al proyectar la

matriz de masas convencional sobre dichos modos, se obtenga exactamente la misma estruc-

tura que con la matriz de masas concentradas: diagonal tanto con los términos de los despla-

zamientos axiales como en los rotacionales. A diferencia del método propuesto, que está ba-

sado en formulaciones topológicas, en MSC Adams se utilizan coordenadas de punto de refe-

rencia. Si se comparan las expresiones mostradas en este Apartado con las que utiliza dicha

aplicación, el resultado es muy similar. La principal diferencia es que la formulación utilizada

Ejemplos

113

en esta Tesis establece el sistema de referencia local coincidente con el origen del sistema

global, y esto introduce términos adicionales a los que tiene MSC Adams.

3.7 Ejemplos

Utilizando los mismos sistemas multi-cuerpo descritos en el Apartado 2.6 del Capítulo anterior

se desea validar la mejora de rendimiento al utilizar el método planteado en la Sección 3.4,

tanto para sólidos flexibles formados por elementos estructurales como con elementos isopa-

ramétricos. El análisis de las simplificaciones planteadas, el error cometido al implementarlas y

la posible reducción del coste computacional se analizarán en detalle en el Capítulo 5.

Tabla 3.1. Comparación entre métodos de cálculo de términos de inercia.

Ejemplo Integrador Método

original (s) Método

propuesto (s) % de Mejora


RK-4 33,07 11,31 65,8%

ODE 75,68 25,79 65,9%


RK-4 138,68 21,83 84,25%

ODE 298,61 51,82 82,64

En la Tabla 3.1 se muestran los resultados del método original del Capítulo 2 (“método origi-

nal”) frente a la primera aproximación planteada en el Apartado 3.4. Todos los demás paráme-

tros de la simulación se han mantenido idénticos: paso de integración, errores, etc. Se puede

comprobar que la reducción del tiempo de simulación es muy significativa, sobre todo en el

caso del péndulo de dos barras. La razón de esta diferencia es que la formulación para elemen-

tos isoparamétricos utilizada para este ejemplo (y descrita en el Apartado 3.5.3) es mucho más

eficiente que la utilizada con los elementos estructurales.

3.8 Conclusiones

La evaluación de los términos de inercia de un cuerpo flexible puede ser realizada sin necesi-

dad de calcular la posición y velocidad de todos los nodos del mallado de elementos finitos

utilizado. El método propuesto plantea una ventaja sustancial sobre las integrales inerciales de

forma, que es que pueden ser evaluadas a partir de la matriz de masas original sin necesidad

de conocer las funciones de interpolación ni la orientación de los elementos con respecto a su

sistema de referencia inercial. El cálculo se basa en utilizar un conjunto de 24 matrices cons-

tantes multiplicándolas por la posición del sistema local del sólido flexible y las amplitudes de

los modos de deformación.


114

Se han analizado los elementos lineales más utilizados y se han conseguido evaluar unas ex-

presiones aún más eficientes que pueden ser aplicadas para todo tipo de elementos, estructu-

rales o no. En el caso de elementos isoparamétricos la resolución depende únicamente de 7

matrices constantes. Por otro lado, este análisis ha permitido estudiar tres posibles simplifica-

ciones, dos de las cuales pueden reducir sensiblemente el coste computacional de la simula-

ción.

Sin embargo, tal como se ha validado en los ejemplos, si bien esta mejora supone un importan-

te salto cuantitativo en términos de coste computacional, la integración de las ecuaciones di-

námicas está todavía lejos de ser en tiempo real, lo que era uno de los objetivos fundamenta-

les de esta Tesis.

115

Capítulo 4

Integración de las ecuaciones

dinámicas

4.1 Introducción

Tal como se ha podido comprobar en los ejemplos utilizados hasta ahora, la integración me-

diante métodos explícitos no es adecuada para la simulación de mecanismos con sólidos flexi-

bles. Esto es especialmente relevante en los casos en los que la rigidez del sólido flexible es

elevada o el número de modos de deformación alto, correspondiendo a un amplio rango de

frecuencias. Esto hace que el problema deba ser considerado stiff.

Tal como indican numerosos autores como Shabana et al. (2007), Wasfy and Noor (2003) y

Negrut et al. (2009), la integración numérica de este tipo de problemas se suele realizar con

formulaciones implícitas. Las dos familias de fórmulas de integración más utilizadas son las

diferencias finitas hacia atrás (Backward Differentiation Formulae o BDF) y los métodos estruc-

turales. Shabana et al. (2007), de hecho, indican que la fórmula HHT (Hilber, Hughes and Tay-

lor) es el “caballo de batalla” de los principales programas de simulación de sistemas multi-

cuerpo flexibles. También es frecuente establecer la necesidad de utilizar fórmulas de integra-

ción que incorporen cierto amortiguamiento numérico, como sucede por ejemplo con los mé-

todos de Newmark, α-generalizada y HHT.

En este Capítulo se presenta una evolución del método presentado por Yen (1993), que se

combina con la proyección de coordenadas independientes, con el objetivo de minimizar el

número de variables que se han de integrar. Este método se puede utilizar con varias fórmulas

de integración, entre las que se incluyen algunas de las más utilizadas en este tipo de simula-

ciones: las BDF, la regla trapezoidal y la fórmula de Newmark.

En general todos los métodos implícitos conllevan dos fases: una que estima el valor de las

variables de estado para el nuevo instante del paso correspondiente (predictor) y un proceso

iterativo que implica resolver las las ecuaciones dinámicas linealizándolas para aplicar el méto-

do de Newton-Raphson (corrector). Con el fin de reducir al máximo el número de operaciones

necesarias para evaluar los distintos términos de las ecuaciones dinámicas se estudia cómo

resolver de manera eficiente cada uno de los términos relacionados con el citado proceso ite-

Integración de las ecuaciones dinámicas

116

rativo. Por un lado, se presenta un método para evaluar el residuo de las ecuaciones dinámicas

que es totalmente recursivo. El cálculo de la matriz tangente generalmente conlleva un alto

coste computacional, por lo que se analizan tres tipos de resolución: una totalmente numérica

basada en el método numérico de las diferencias finitas, un método aproximado en el que se

evalúan recursivamente las derivadas de los términos más relevantes, y por último un método

que aprovecha la estructura topológica del mecanismo.

Esta Tesis utiliza la aproximación del sistema de referencia flotante, que combina grandes de-

plazamientos y rotaciones, junto con amplitudes modales que determinan la deformación de

los cuerpos flexibles. Las magnitudes de estas variables son muy diferentes, lo que obliga a

hacer un tratamiento especial en la resolución del proceso iterativo. Finalmente se incorpora

un criterio de paso variable en el proceso de integración numérica con el fin de mejorar la fia-

bilidad del método propuesto.

4.2 Integración implícita con proyección de coordenadas independientes

Las ecuaciones dinámicas del sistema multi-cuerpo con sólidos flexibles y utilizando el método

de la síntesis de componentes dependen de las aceleraciones según las coordenadas relativas z

de los pares y según los modos de deformación η . Si, por el momento, no se considera la se-

gunda proyección de velocidades sobre las ecuaciones de restricción de los pares eliminados,

las ecuaciones dinámicas son las que aparecen en el Apartado 1.2. Si se consideran todas las

coordenadas del sistema flexible y los términos de amortiguamiento se consideran una fuerza

más, la expresión queda:

, T

q

zF Mq Q Φ λ 0 q

η (4.1)

El vector λ representa los multiplicadores de Lagrange, de modo que el término T

qΦ λ corres-

ponde a las fuerzas de restricción de los pares eliminados. El vector Q de fuerzas generaliza-

das condensa las fuerzas externas, los efectos de amortiguación, las fuerzas de inercia depen-

dientes de la velocidad y las fuerzas elásticas. Existen multitud de métodos basados en el uso

de integradores implícitos, tal como se ha descrito en la Sección 1.2.2. El método propuesto es

una evolución del presentado por Yen (1993), cuya fórmula iterativa para aplicar Newton-

Raphson que, por claridad, se vuelve a representar a continuación:

0 0 10 0 0

0 0 20 0 0

TT T

TT T

q q q λ

q

q q

q q q

FF F F F

ΦΦ q

ΦΦ Φ q

ΦΦ Φ Φ q

U q q βU U λ

U q q βU U

(4.2)

Integración implícita con proyección de coordenadas independientes

117

Las matrices q

F , q

F , q

F y λF son las derivadas parciales del vector de fuerzas (4.1) respecto a

las posiciones, velocidades, aceleraciones de las coordenadas de los pares y los multiplicadores

de Lagrange. El vector Φ corresponde a la violación de las ecuaciones de restricción. Φ y Φ

son respectivamente su primera y segunda derivadas. La matriz 0U es una matriz booleana

que determina las coordenadas independientes del sistema multi-cuerpo. La constante 0 y

los vectores 1β y 2β dependen de la fórmula de integración utilizada y de los valores de las

variables integradas en los pasos de integración anteriores. El proceso consiste en predecir los

valores de q , de sus derivadas y de los multiplicadores de Lagrange, para luego corregir esta

estimación mediante el proceso iterativo de Newton-Raphson en el que se estima la variación

de dichas variables mediante la resolución del sistema lineal (4.2).

Bae et al. (2000) utilizan este sistema de ecuaciones para resolver la integración de las ecua-

ciones dinámicas mediante métodos topológicos. Kim and Haug (1988 y 1989) amplían esta

formulación para sistemas con sólidos flexibles. Todos estos autores usan fórmulas BDF para la

integración, pero es posible utilizar también otras fórmulas tales como la regla trapezoidal u

otros integradores estructurales.

Este método es robusto y fácilmente aplicable. Además, permite calcular de una sola vez todas

las variables del sistema y sus derivadas. Sin embargo, esto hace que el sistema lineal que se

ha de resolver iterativamente sea relativamente grande, sobre todo en mecanismos complejos

con un número grande de pares y amplitudes modales. Por otra parte, suele ser frecuente

establecer ecuaciones de restricción redundantes. En este caso el sistema lineal (4.2) puede

tener filas y columnas linealmente dependientes que hacen inviable la factorización de la ma-

triz si no se realiza una selección previa de las ecuaciones en cada iteración (o bien cuando

surja el problema). El método propuesto trata de resolver ambos problemas: por un lado se

intenta minimizar el número de variables que han de ser integradas y por otro se elimina la

necesidad de seleccionar las restricciones independientes.

4.2.1 Sistemas de cadena abierta

Para el caso de que le mecanismo sea de cadena abierta el sistema se simplifica notablemente

ya que desaparecen las ecuaciones de restricción de cierre de lazo y los multiplicadores de

Lagrange:

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 2

T T T

T T T

q q qF F F q F

U U q U q q β

U U q U q q β

(4.3)

Este sistema lineal puede ser particionado según la estructura siguiente:

A A

C C

x bA B

x bT C (4.4)


118

El bloque T es triangular superior y sus valores constantes. Por otra parte C es también

constante. Es fácil comprobar que, realizando operaciones a nivel de bloque, el sistema puede

condensarse de la manera siguiente:

1 1

C A B

A A C

B A T C x b A T b

T x b C x (4.5)

Sustituyendo en la expresión (4.3) resulta:

2

0 0 0 0

1 1 1 1

q q q q qF F F q F F q q F q (4.6)

0 0

1 1

q q q (4.7)

2 2

0 0 0

1 1 1

q q q q (4.8)

siendo q y q los residuos de las fórmulas de integración en el proceso de Newton-Raphson:

0 1 q q q β (4.9)

0 2 q q q β (4.10)

Sin embargo, es posible independizar estas expresiones de dichos residuos: si se impone que

dichos residuos sean nulos en cada una de las iteraciones, las fórmulas de integración siempre

se tienen que cumplir. Esto permite determinar las velocidades y aceleraciones a partir de las

posiciones:

1

0

1

q 0 q q β (4.11)

1 0 22

0

1 1

0

q 0 q q β q β β (4.12)

Por otra parte, en estas condiciones las expresiones (4.6), (4.7) y (4.8) se simplifican notable-

mente:

2

0 0

1 1

q q qF F F q F (4.13)

0

1

q q (4.14)


119

2

0

1

q q (4.15)

El proceso de resolución quedaría de esta manera:

1. Estimar las velocidades y aceleraciones para el siguiente paso de integración usando

las fórmulas (4.11) y (4.12).

2. Evaluar las matrices q

F , q

F , q

F y calcular la matriz tangente de la expresión (4.6).

3. Calcular el residuo F con la expresión (4.1) con los valores estimados.

4. Resolver el sistema lineal (4.13) para evaluar la variación de las coordenadas q .

5. Corregir los valores de las velocidades y aceleraciones mediante las expresiones (4.14)

y (4.15).

6. Establecer un criterio de convergencia comparando la variación de posiciones con un

cierto umbral: q . Si se alcanza dicha tolerancia el proceso termina. Si no, se ha

de repetir el proceso desde el punto 2.

Como se puede comprobar, solamente es necesario iterar sobre los valores de las coordenadas

y no sobre sus primeras y segundas derivadas. Los ejemplos utilizados en esta Tesis han de-

mostrado que es posible utilizar un método iterativo de Newton Raphson modificado en el que

se mantiene constante la matriz Jacobiana del sistema no lineal durante varias iteraciones,

reduciendo sensiblemente el coste computacional. Esto hace que mientras el proceso iterativo

no converja se puede pasar directamente al punto 3.

4.2.2 Sistemas de cadena cerrada

Los sistemas de cadena cerrada presentan más complejidad ya que a priori no es posible des-

cartar ni las ecuaciones de restricción ni los multiplicadores de Lagrange. Una posible solución

es utilizar el método de la Lagrangiana Aumentada (Bayo and Ledesma, 1996). Mediante esta

aproximación los multiplicadores de Lagrange pueden ser calculados de modo iterativo corri-

giendo con el vector de ecuaciones de restricción multiplicado por un término α de penaliza-

ción.

* *

1 1i i i λ λ Φ (4.16)

Dado que los multiplicadores de Lagrange se pueden calcular de manera independiente no es

necesario incluirlos en la expresión (4.2). Por otra parte, al incluir un término de penalización

en posiciones, el método de la Lagrangiana Aumentada permite considerar todas las coorde-

nadas del sistema multi-cuerpo. Es decir, tampoco es necesario tener en cuenta de modo ex-

plícito las ecuaciones de restricción. De esta manera la expresión original de Yen (1993) para

esta aproximación es muy similar a la de cadena abierta:


120

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 2

T

T T T

T T T

q q q q qF Φ Φ F F q F

U U q U q q β

U U q U q q β

(4.17)

donde se han despreciado ciertos términos, tal como propone Dopico (2004):

T T qq qΦ Φ 0 Φ λ 0 (4.18)

Es fácil demostrar que siguiendo el mismo desarrollo que en el caso de cadena abierta el resul-

tado es idéntico al método de index-3 con penalización de posiciones de Bayo and Ledesma

(1993). Dado que el término de penalización solamente afecta a las posiciones, es necesario

una corrección en velocidades y aceleraciones, que puede realizarse bien mediante el método

original presentado por dichos autores, o bien mediante el método modificado de Cuadrado et

al. (2000).

En esta Tesis se va a presentar otra alternativa basada en una segunda proyección de veloci-

dades, ya utilizada por Jiménez (1993) y Rodríguez (2000). Para ello se hace uso de la matriz R

que establece una relación lineal entre las velocidades independientes y dependientes:

d i q

q Rq Φ R 0 (4.19)

Esta matriz puede ser calculada de dos maneras. La primera forma es separar las columnas de

la matriz Jacobiana según las velocidades independientes y dependientes y resolver el siguien-

te sistema lineal:

1 d i d i

d

d d

q q q q

RΦ R Φ R Φ Φ R

I (4.20)

Otra opción equivalente es calcular el sub-espacio nulo del siguiente sistema:

1

d i d i

q q q qΦ Φ Φ Φ0 0

R RI I0 I 0 I

(4.21)

El coste computacional depende del ratio entre coordenadas dependientes e independientes.

En general siempre es más eficiente resolver el sistema (4.20). Sin embargo, conforme mayor

sea el valor de ese ratio, es decir, el número de coordenadas dependientes sea más grande

respecto al de coordenadas independientes, el sistema (4.21) puede ser igual o más eficiente

que el primero.

El método propuesto no considera las velocidades y aceleraciones de todas las coordenadas,

sino únicamente de las independientes. Las primeras y segundas derivadas de las coordenadas

dependientes pueden ser calculadas directamente en cada iteración. Esto permite reducir el

tamaño del sistema lineal. Además, el uso de la matriz de proyección de velocidades elimina

los multiplicadores de Lagrange. Así, el sistema resultante queda:


121

1 1 1 1 1

0

0

d i i i

d i

d

i

i i

i i

q q q q

q q

F F F F q F

qΦ Φ Φ

q qI I

q qI I

(4.22)

siendo 1F la expresión (4.1) pre-multiplicada por la matriz R . En este caso la matriz booleana

0U no aparece por utilizar solamente las velocidades y aceleraciones independientes. En el

proceso iterativo las derivadas de las coordenadas dependientes se calculan utilizando la mis-

ma matriz Jacobiana:

d id t i

q qΦ q Φ Φ q (4.23)

d d id t d i q q qΦ q Φ Φ q Φ q (4.24)

Realizando el mismo proceso que en caso de cadena abierta es posible desacoplar las posicio-

nes, velocidades y aceleraciones del sistema (4.22):

1 1 11 1 1 1

0 00 0

1 11 1

i d

i ii i i d

i

d i i i

q q

q zq q q q

Φ Φ Φq

q F F q q F qF F F F (4.25)

0 0

1 1i i i

q q q (4.26)

2 2

0 0 0

1 1 1i i i i

q q q q (4.27)

Análogamente, es posible formular el proceso de tal manera que tanto en la predición como

en cada iteración se cumplan las fórmulas del integrador tanto en velocidades como en acele-

raciones. Las expresiones para estimar el valor inicial de las velocidades y aceleraciones inde-

pendientes en cada paso de integración serán:

1

0

1 i i i

q 0 q q β (4.28)

2 1 0 22

0

1 1 i i i i

0

q 0 q q β q β β (4.29)

Este método permite simplificar las expresiones (4.25), (4.26) y (4.27) considerablemente:


122

11 1 1 1

0 0

1 1

i d

i i i d

i

d

z z

q q q q

Φ Φq Φ

q FF F F F (4.30)

0

1i i

q q (4.31)

2

0

1i i

q q (4.32)

En la expresión (4.30) aparecen derivadas parciales de 1F respecto a las coordenadas inde-

pendientes y sus derivadas. Los términos 1

iqF y 1

dqF pueden obtenerse seleccionando las co-

lumnas correspondientes de 1

qF . El resto de derivadas pueden calcularse mediante la regla de

la cadena:

1

1 1

i

i

q q

F qF F R

q q (4.33)

1

i

TqF R MR (4.34)

Cuando los variables son consistentes y el integrador ha convergido el vector de ecuaciones de

restricción Φ debe ser nulo. Desarrollando la primera fila de la expresión (4.30) es posible

establecer una relación entre la variación de las coordenadas dependientes e independientes:

1 i d d ii d d i

z z z zΦ q Φ q 0 q Φ Φ q (4.35)

Esta relación es exacta siempre que se utilice el método de Newton-Raphson modificado, y se

calcule la matriz tangente en la posición exacta del instante anterior. Si la matriz se actualiza

durante el proceso iterativo, la expresión anterior es sólo una aproximación. Sustituyendo la

expresión (4.34) en (4.30), agrupando los términos dependientes de las coordenadas indepen-

dientes y reordenando términos se obtiene:

1 1 1 2 1 1

0 0

1 1i i i d d ii i

q q q q z zF F F q F Φ Φ q F (4.36)

1 1 1 1 1 1

0 0

1 1i d d i i i i

q q z z q qF F Φ Φ F F q F (4.37)

1

1 1 1 1 1

0 0

1 1d i

d i i i i

z z

q q q q

Φ ΦF F F F q F

I (4.38)


123

Comparando este resultado con la expresión (4.20) el primer producto matricial supone pro-

yectar las derivadas parciales de 1F respecto a las variables independientes:

1 1 1 1

0 0

1 1i i i

i

i

q q q

F F F q F (4.39)

con

1

1 1 1 1 1d i

i d i d i

i

z z

q q q q q

Φ ΦF F F F F R

I (4.40)

La expresión (4.39) puede multiplicarse por 2

0 :

1 1 2 1 1

0 0 0i i i i q q q

F F F q F (4.41)

El proceso de resolución con este método, utilizando el método de Newton-Raphson modifica-

do, es el siguiente:

1. Calcular las derivadas parciales de 1F , evaluar la matriz R mediante (4.20) y calcular

la matriz tangente según la expresión (4.41).

2. Estimar las velocidades y aceleraciones para el siguiente paso de integración usando

las fórmulas (4.28) y (4.29).

3. Calcular las velocidades y aceleraciones dependientes mediante las expresiones (4.23)

y (4.24), respectivamente.

4. Evaluar el residuo de 1F a partir de la posición y de las velocidades y aceleraciones es-

timadas, proyectado sobre las ecuaciones independientes, mediante la expresión (4.1).

5. Resolver el sistema (4.41) para obtener la corrección de las posiciones independientes.

6. Calcular la corrección de velocidades y aceleraciones mediante (4.31) y (4.32), y corre-

gir las coordenadas y sus derivadas.

7. Si la corrección de posiciones es menor que una tolerancia dada, q , el proceso

ha finalizado. En caso contrario repetir el proceso desde la etapa 4.

Comparando con el método original, en el método propuesto el proceso iterativo se realiza

con un número de variables mucho menor. Los sistemas de ecuaciones que se resuelven en el

proceso, que afectan a las velocidades y aceleraciones dependientes así como a la matriz de

proyecciones R , utilizan la misma matriz Jacobiana. Por tanto, no es necesario realizar más

que una factorización fuera de la matriz tangente. Dicha matriz Jacobiana es muy pequeña ya

que solamente afecta a los pares eliminados para abrir los lazos cerrados en la estructura to-

pológica del sistema multi-cuerpo. Por otra parte, al eliminar del proceso iterativo las variables

dependientes, que pueden ser calculadas en cada iteración de manera directa, la convergencia


124

de dicho proceso depende de un número mucho más pequeño de variables, lo que hace que

sea más estable.

4.3 Evaluación eficiente de los términos del sistema de Newton-Raphson

El método de integración de las ecuaciones dinámicas presentado en el Apartado anterior

comporta una etapa de predicción relativamente sencilla y un proceso iterativo que conlleva

un mayor coste computacional. Por tanto, es importante optimizar este proceso para reducir al

máximo el tiempo total de la simulación. Este proceso implica fundamentalmente tres pasos:

1) la evaluación del residuo de la expresión 1F suponiendo unos valores aproximados de las

variables del sistema multi-cuerpo y sus primeras y segundas derivadas, 2) el cálculo de la ma-

triz tangente, y 3) la resolución del sistema de ecuaciones lineales. Éste último punto se puede

optimizar mediante el uso de librerías especializadas para cálculo matricial, como Lapack y

BLAS. Sin embargo, la evaluación previa de los dos términos conocidos de dicho sistema de

ecuaciones puede ser optimizada utilizando la topología del mecanismo.

El cálculo del residuo del término 1F es el proceso que más veces ha de realizarse. Rodríguez

(2000) aprovecha la estructura topológica del mecanismo para evaluar de manera recursiva

dicho residuo en sistemas formados por sólidos rígidos. En esta Tesis se extiende este plan-

teamiento a los mecanismos con cuerpos flexibles.

Para tamaños del paso de integración moderados es posible mantener constante la matriz

tangente siempre que el proceso mantenga un ratio de convergencia razonable. Sin embargo,

el cálculo de dicha matriz conlleva la evaluación de un buen número de términos. En las formu-

laciones globales las expresiones utilizadas suelen ser más sencillas. Sin embargo, aunque las

basadas en métodos topológicos generan expresiones más compactas, suelen ser más comple-

jas. Esta Tesis plantea tres formas de calcular esta matriz, todas ellas de manera aproximada,

dada la complejidad de las expresiones utilizadas. Es bien conocido que la familia de métodos

de Newton-Raphson no exige el cáculo exactos de las Jacobianas para alcanzar la convergen-

cia.

4.3.1 Cálculo del residuo

La evaluación de la función implícita 1F que define las ecuaciones dinámicas del sistema mul-

ticuerpo, en una configuración exacta debe ser nula. Sin embargo, durante el proceso iterativo

de Newton-Raphson, los valores de las coordenadas y de sus derivadas son sólo aproximados (

q , q y q respectivamente). En este caso el valor de 1F no es nulo, sino que tiene un valor

residual:

( , , ) rs F q q q 0 (4.42)

Las ecuaciones dinámicas presentadas en (4.1) pueden ser representadas, en vez de matri-

cialmente, como una suma de las ecuaciones dinámicas de todos los sólidos que forman parte

Evaluación eficiente de los términos del sistema de Newton-Raphson

125

del mecanismo (en este caso aparecerán también las reacciones internas). Dado que es posible

aprovechar de manera diferente cada tipo de amplitud modal, estática o dinámica, es intere-

sante utilizar las condiciones de contorno de Craig-Bampton y volver a distinguir entre ambos

tipos de modos. Considérese un sistema multi-cuerpo de cadena abierta con todos sus ele-

mentos flexibles. Aplicando el Teorema de las Potencias Virtuales, la potencia total es la suma

de las potencias virtuales de cada sólido:

*

*

1 *

T

N

i i

i

i i

Z Z

η M η Q

ε ε

(4.43)

donde *Z ,

*η y *

ε son las velocidades virtuales que definen el movimiento y la deformación

de cada sólido. En esta expresión no aparecen los multiplicadores de Lagrange (esfuerzos in-

ternos), ya que se cancelan entre sí. Si se expanden los dos últimos sumandos:

* * *

2* * *

1 1

1 * * *

1 1

T T T

N

i i N N N N

i

i N Ni N N

Z Z Z Z Z Z

η M η Q η M η Q η M η Q 0

ε ε ε ε ε ε

(4.44)

Las velocidades virtuales son consistentes con la primera derivada de las ecuaciones de restric-

ción del mecanismo, por lo que se deben satisfacer las mismas relaciones recursivas de las

velocidades. Así, a partir de la expresión (2.103) es posible establecer la siguiente relación:

* * * * *

1 1 1N N N N N N N N Z Z φ b z φ (4.45)

Para no complicar las fórmulas utilizadas se han considerado un par con un único grado de

libertad. Si se consideraran pares con varias coordenadas relativas, se debería hacer un suma-

torio de productos *

N Nb z . Por otra parte, se define un residuo para cada sólido en la forma:

i i i

i

Z

RS M η Q

ε

(4.46)

Sustituyendo (4.45) y (4.46) en (4.44), dicha expresión queda como:

* * * * * *

1 1 12* * *

1

1 * * *

1

T T T

N N N N N N NN

i N N

i

i N

Z Z Z φ η B z φ η

η RS η RS η RS 0

ε ε ε

(4.47)

Reordenando en función de las velocidades virtuales:


126

* *

2* *

1

1 * *

1

* *

* *

1

* *

1

T T

N

i N

i

i N

T TT

N N

T T

N N N N

N N

Z Z

η RS η RS

ε ε

Z I 0 0 z B 0 0

η φ 0 0 RS η φ I 0 RS 0

ε 0 0 0 ε 0 0 I

(4.48)

El último término es función de las amplitudes de los modos del último elemento y de las

coordenadas relativas del último par. Al ser el mecanismo de cadena abierta estas variables

son independientes y pueden adoptar cualquier valor. Por tanto, para que se cumpla el Teo-

rema de las Potencias Virtuales este sumando debe ser cero. Dado que las velocidades virtua-

les también pueden tener cualquier valor, para que este sumando sea nulo se debe cumplir

que:

N

N

T

N N

T

N N

rs B 0 0

rs φ I 0 RS 0

0 0 Irs

(4.49)

Éste término evalúa el residuo para de los términos relativos al último par de la cadena cine-

mática y las amplitudes de los modos de deformación del último sólido flexible. Eliminando

este término y expandiendo un sumando adicional en (4.48):

* * *

3* * *

2 1 1

1 * * *

2 1

T T T

NT

i N N N N

i

i N N

Z Z Z I 0 0

η RS η RS η RS φ 0 0 RS 0

ε ε ε 0 0 0

(4.50)

La matriz RS se puede particionar según los las velocidades del sistema local y las amplitudes

de los modos estáticos y dinámicos:

SR

i

i

RS

RS RS

RS

(4.51)

Sustituyendo en la expresión anterior y agrupando términos:

* * *

13* * *

2 1 1

1 * * *

2 1

T T TSR SR

N NNT SR

i N N N N

i

Ni N N

Z Z Z RS RS

η RS η RS η RS φ RS 0

ε ε ε RS

(4.52)

Análogamente a lo realizado para el sólido N, la velocidad Cartesiana del sólido N-1 puede

expresarse en función de la del elemento anterior y del par que los une:


127

* * * * * *

2 2 2 1 1 1 1 13* * *

2 1 1 1

1 * * *

12

T T TSR SR

N N N N N N N N NNT SR

i N N N N N

i

N Ni N

Z Z Z φ η B z φ η RS RS

η RS η RS η RS φ RS 0

ε ε ε RS

(4.53)

* * *

13* * *

2 2 1 1

1 * * *

2 2

*

1

*

1

*

1

T T TSR SR

N NNT T SR

i N N N N N

i

Ni N N

TT

N

T

N

N

Z Z Z I 0 0 RS RS

η RS η RS η φ 0 0 RS φ RS

ε ε ε 0 0 0 RS

z B 0 0

η φ I 0

ε 0 0 I

1

1 1

SR SR

N N

T SR

N N N

N

RS RS

RS φ RS 0

RS

(4.54)

Es posible anular el último sumando, ya que en el mecanismo de cadena abierta las velocida-

des del par N-1 y de deformación del sólido del mismo índice son independientes:

1

1

1 1 1

1 1 1N

N

T SR SR

N N N N

T T SR

N N N N

N

rs B 0 0 RS RS

rs φ I 0 RS φ RS 0

0 0 I RSrs

(4.55)

El proceso seguiría de la misma manera hasta el primer elemento. En resumen, el cálculo del

residuo se realiza acumulando el residuo global desde los extremos del árbol topológico hacia

la base o raíz. Las expresiones de los residuos correspondientes a las coordenadas de los pares,

las amplitudes de los modos estáticos y las de los dinámicos son, respectivamente:

nT SR

i i j

j i

nT SR

i i i j

j i

i i

zrs b RS

rs RS φ RS

rs RS

(4.56)

El primer término corresponde al residuo en las coordenadas relativas de los pares, y su expre-

sión es idéntica al caso de sólidos rígidos presentado por Rodríguez (2000). El segundo término

afecta a los modos estáticos y depende del término propio de inercia de dichos modos más el

residuo de sólido rígido proyectado sobre dichos modos. Este residuo de sólido rígido corres-

ponde a los elementos que estén por encima del nudo frontera correspondiente al modo está-

tico. Por último, el residuo correspondiente a los modos dinámicos (que son modos internos)

se calcula de manera completamente independiente.

Si el sistema es de cadena cerrada es necesario realizar la proyección de los residuos sobre el

subespacio nulo de las ecuaciones de restricción. Se evalúa el residuo de las variables de cade-

na abierta de acuerdo con las fórmulas de la expresión (4.56), y posteriormente se realizaría

una proyección según la matriz R :


128

.

.

SR

T

c cerrada

c abierta

rs

rs R rs

rs

(4.57)

En realidad no es necesario evaluar dicha matriz R , salvo que sea también necesaria para

calcular la matriz tangente. Particionando el residuo según las coordenadas dependientes e

independientes y aprovechando la expresión (4.21), es posible calcular este residuo utilizando

la misma matriz usada para calcular las velocidades y aceleraciones dependientes:

1

.

.

i d i

d i

SR

T

c cerrada

c abierta

q q q

q q

rs

rs R rs rs Φ rs Φ rs

rs

(4.58)

Cabe resaltar que los modos dinámicos calculados según el proceso de Craig-Bampton no par-

ticipan en esta proyección dado que son independentes de las ecuaciones de cierre de lazo.

Por otra parte, al utilizar el método de Newton-Raphson modificado, en cada iteración sola-

mente se factoriza la matriz Jacobiana de restricciones de par y únicamente la parte corres-

pondiente a las coordenadas independientes.

4.3.2 Evaluación de la matriz tangente

El cálculo de las derivadas parciales de la función 1F respecto a las aceleraciones relativas y las

amplitudes de los modos de deformación es fácil de evaluar y corresponde a la matriz de ma-

sas proyectada sobre dichas variables, tal como se define en la expresión (4.34). Sin embargo,

la evaluación exacta respecto a las coordenadas y a sus primeras derivadas no resulta fácil de

implementar. En particular, las ecuaciones dinámicas basadas en la formulación de coordena-

das relativas son altamente no lineales, y es muy difícil determinar una expresión analítica para

las derivadas parciales. Si se considera el caso del sistema de cadena cerrada, las derivadas

parciales respecto a la posición y velocidad son:

T Td d

d d

q q

F QR Mq Q R M q

q q (4.59)

Td d

d d

F QR

q q (4.60)

En las expresiones anteriores se supone que los pares no dependen de las velocidades, por lo

que no se consideran las derivadas respecto a las mismas ni de la matriz de proyecciones R ni

la matriz de masas M .

Existen distintas aproximaciones para calcular estas derivadas. Callejo (2014) propone la dife-

renciación automática de las ecuaciones dinámicas, utilizando librerías específicas para tal fin.

En esta Tesis se van a plantear dos de las variantes más usadas por distintos autores y, ade-


129

más, se presenta una tercera alternativa que aprovecha la estructura topológica del sistema

multi-cuerpo para reducir el número de operaciones y mejorar el coste computacional.

4.3.2.1 Cálculo aproximado

Si se considera cómo evaluar la derivada parcial de 1F con respecto a las coordenadas se pue-

den analizar los distintos términos de la expresión (4.59). La matriz multi-dimensional q

R pue-

de evaluarse a partir de la derivada de la ecuación (4.19) respecto al tiempo:

d

dt t

q q q

R RΦ R Φ R Φ q 0

q (4.61)

Haciendo que todas las velocidades q sean nulas es posible calcular la derivada de q

R respec-

to al tiempo:

1 t t

q q q q

R Rq 0 Φ R Φ 0 Φ Φ R (4.62)

Para la mayor parte de las ecuaciones de cierre de lazo (identidad de puntos, vectores parale-

los, distancia constante, etc.) el término qΦ es cero cuando las velocidades son nulas. Esto

hace que la derivada de q

R respecto al tiempo sea habitualmente nula. Si se considera que

todos los valores de q son nulos excepto uno:

1

, 1 , 1 , 1 , 1

1

0 i i i i

j

q q q q

j i i

q j i

q j i q q

q q q q

R Rq Φ R Φ 0 Φ Φ R (4.63)

Igualmente, para las ecuaciones de restricción más comunes la matriz Jacobiana qΦ no de-

pende de las derivadas de las coordenadas, o bien en casi todos los casos es posible elegir un

conjunto de pares en los que esta afirmación sea correcta. Esto hace que se pueda utilizar la

misma matriz Jacobiana para el cálculo de todas las derivadas parciales y que ésta sea además,

la matriz Jacobiana utilizada para el cálculo de las velocidades, las aceleraciones y el residuo.

Por otro lado, la matriz , 1iq qΦ tiende a ser bastante dispersa: solamente si las ecuaciones de

restricción son no lineales la matriz presentará valores no nulos.

La matriz multi-dimensional qM es también bastante compleja de analizar. La matriz de ma-

sas resulta de proyectar las matrices locales de cada sólido, que pueden ensamblarse en la

matriz M , sobre las coordenadas relativas y las amplitudes modales de deformación agrupa-

das en la matriz zR , tal como se ha descrito en el Capítulo 2. Derivando dicha matriz de masas

M :


130

T

T T Td d d

d d d

z zz z q z z z z

R M RM R MR M MR R R R M

q q q (4.64)

El cálculo de la derivada de zR respecto de q es fácilmente evaluable analíticamente, si bien

el coste computacional es bastante alto. Gran parte de los términos de la matriz de inercia M

son constantes ya que solamente los momentos de inercia dependen de la orientación del

sistema de referencia local respecto al inercial. Un rápido vistazo a la expresión (4.64) permite

concluir que los valores de esta derivada están en el mismo orden de magnitud que la propia

masa del sistema mecánico.

Algunos autores como Rodríguez (2000), Dopico (2004) y Lugrís (2008) desprecian el efecto de

dichas variables y dejan las expresiones de las derivadas de las ecuaciones de restricción úni-

camente dependientes de las fuerzas aplicadas y de la matriz R :

ext

Td d

d d

F QR

q q (4.65)

ext

Td d

d d

F QR

q q (4.66)

En vista de la fórmula planteada en esta Tesis para el cálculo de las correcciones de las posi-

ciones independientes, según la expresión (4.41), esta aproximación parece bastante razona-

ble teniendo en cuenta que ambas matrices están multiplicadas por 2

0 y 0 , respectivamen-

te. Estas constantes, que dependen de las fórmulas de integración utilizadas, son directamente

proporcionales al paso de integración, que suele ser pequeño. Por tanto únicamente son rele-

vantes los términos cuyo valor sea uno o dos órdenes de magnitud superiores que los términos

de inercia proyectados sobre las coordenadas que se integran.

Particularizando para el caso de sistemas multi-cuerpo con sólidos flexibles es necesario consi-

derar la matriz de rigidez de los modos de deformación, que suelen tener una magnitud rele-

vante. En los casos en que los elementos del mecanismo sufran grandes variaciones de veloci-

dad las fuerzas de inercia dependientes de la velocidad pueden ser relevantes y por tanto sus

derivadas deberían también ser consideradas.

4.3.2.2 Cálculo por diferencias finitas

Muchos integradores para ecuaciones diferenciales algebráicas (Differential Algebraic Equia-

tions o DAEs), como la rutina DASSL implementada en Fortran y la ode15i de Matlab, permiten

usar las derivadas parciales a través de funciones definidas por el usuario, o bien evalúan de

manera numérica dichas derivadas mediante diferencias finitas. Este último método permite

calcular dichas derivadas parciales mediante evaluaciones del residuo: dando un pequeño in-

cemento al valor de una de las variables es posible determinar un valor aproximado de la deri-

vada parcial respecto a dicha variable.


131

*

i i i q q q (4.67)

*1, , , ,i i i i

i i i

t t

F FF q q F q q

q q q (4.68)

Análogamente, las derivadas parciales respecto a las velocidades se calculan de una manera

similar:

*

i i i q q q (4.69)

*1, , , ,i i i i

i i i

t t

F FF q q F q q

q q q (4.70)

La evaluación de cada matriz de derivadas parciales implica calcular N+1 residuos de la función 1

F . Para optimizar el tiempo de cálculo, Hidalgo (2014) utiliza librerías de paralelización como

MPI, TBB y OpenMP, para realizar la evalución de varias derivadas parciales de manera simul-

tánea aprovechando la arquitectura multi-núcleo de los procesadores actuales. Dado que estas

librerías utilizan el mismo espacio de memoria, se hace necesario crear tantas instancias de las

ecuaciones 1F como procesos se ejecuten simultáneamente.

4.3.2.3 Cálculo basado en la topología del mecanismo

Partiendo de la aproximación anterior es posible establecer un proceso basado en la topología

del sistema multi-cuerpo que permite reducir el número de operaciones necesario para calcu-

lar las derivadas mediante diferencias finitas. Considérese el mecanismo de la Figura 4.1. Por

simplicidad solamente se van a considerar las coordenadas relativas, aunque es fácilmente

generalizable para las amplitudes modales de deformación. Al dar una perturbación en el par 4

únicamente se ven afectados los sólidos 4, 5 y 6.

Figura 4.1. Cálculo recursivo de las derivadas parciales por perturbación de la variable z4.

Z

4

5

6

Z5

Z6 4

Z3

0

Z1

3

2

Z2

1


132

El cálculo del residuo de cadena abierta solamente afectará a la rama de los elementos 1, 4, 5 y

6. En la siguiente expresión se indican con un carácter (+) los términos afectados:

6 6 6

5 5 5

*

4 4 4 5 6

3 3 3

2 2 2 3

1 1 1 2 3 4 5 6

T

T

T

T

T

T

F z b RS

F z b RS

F z b RS RS RS

F z b RS

F z b RS RS

F z b RS RS RS RS RS RS

(4.71)

Restando la expresión obtenida respecto al residuo calculado sin considerar ninguna perturba-

ción, es decir, con la posición real, queda:

6 66 6 6

5 55 5 5

*4 44 4 4

3

2

4 41 1

T T

T T

T T

T

F z b RS b RS

F z b RS b RS

F z b RS b RS

F z 0

F z 0

F z b RS RS

(4.72)

siendo i

RS la acumulación de residuos desde el par i hasta los extremos del árbol topológico.

Generalizando la expresión anterior resulta:

T T

j j j j j

T

i i k k

j k

i k

F z b RS b RS

F z b RS RS (4.73)

Esto puede aplicarse tanto si la perturbación se realiza en el valor de la función como en su

derivada, a fin de determinar ambas derivadas parciales de la función de 1F . Con objeto de

minimizar el número de operaciones este proceso se ha de realizar de manera ordenada, va-

riando el valor de las coordenadas de los pares y de las amplitudes modales de los cuerpos

flexibles según su disposición desde los extremos a la base del árbol. Partiendo de la posición

exacta, al modificar el valor de una de las variables es necesario recalcular las posiciones, velo-

cidades y aceleraciones de todos los sólidos que están por encima de dicha variable en el ár-

bol, mientras que los que están entre la base y la variable se mantienen constantes. Al mante-

ner un orden según el árbol topológico, el recálculo de posiciones para cada columna de la

matriz tangente solamente se realiza sobre las variables que ya hayan sido modificadas en la

iteración anterior.

La generalización de este método a los sólidos flexibles es muy sencilla: las amplitudes de los

modos estáticos utilizan las mismas expresiones (4.73), ya que éstos se comportan como un

par más. Los modos dinámicos calculados sin fijar los puntos frontera se comportan de la mis-

Aspectos de integración

133

ma manera. Si, por el contrario, éstos son evaluados con las condiciones de contorno de Craig-

Bampton, la expresión es todavía más sencilla ya que solamente afecta al residuo del sólido del

que forman parte:

T T

j j j j j F ψ RS ψ RS (4.74)

4.4 Aspectos de integración

La solución de las ecuaciones diferenciales del movimiento planteadas en esta Tesis conlleva

su integración numérica en el tiempo. Este Apartado estudia las fórmulas de integración que

pueden utilizarse con el método propuesto y estudia en detalle los aspectos numéricos que

permiten que la integración sea rápida y robusta.

4.4.1 Fórmulas de integración

Tal como se ha explicado previamente, el método propuesto en el Apartado 4.2 permite el uso

de distintos tipos de fórmulas de integración, fundamentalmente del tipo multi-etapa. Esta

Tesis se centra fundamentalmente en tres tipos. El primero es la regla trapezoidal, que es utili-

zado por muchos autores. Esta fórmula es muy simple de utilizar, es A-estable, y permite utili-

zar pasos de integración relativamente grandes en una amplia variedad de situaciones.

El segundo tipo de fórmulas implementadas son las fórmulas de diferencias finitas hacia atrás

(BDF), que son las utilizadas por los autores de la formulación original en la que se ha basado la

presentada en este Capítulo. Aunque se pueden utilizar las fórmulas de cualquier orden, en

esta Tesis se ha implementado la fórmula de segundo orden, BDF-2, que se mantiene durante

toda la simulación. Esta fórmula solamente puede ser aplicada a partir del segundo paso de

integración puesto que necesita los valores de los dos pasos anteriores. Para calcular el primer

paso se ha utilizado también la regla trapezoidal en vez de usar la fórmula BDF-1 (Euler implici-

to). La razón es que usar la BDF de primer orden suele dar problemas en la simulación de me-

canismos complejos, tal como se ha demostrado en muchas pruebas realizadas. Otra posibili-

dad podría haber sido reducir el paso de integración en los primeros pasos, pero la solución

planteada resulta más sencilla y eficiente, y no ha planteado los problemas de usar la fórmula

de Euler implícito.

Como consecuencia natural de las elecciones anteriores, se ha considerado utilizar la fórmula

combinada TR-BDF2, presentada por Bank et al. (1985) para la simulación de semiconductores

y circuitos. Hasta la fecha no se han encontrado referencias que hagan uso de dicha fórmula en

los sistemas multi-cuerpo. Sin embargo, esta fórmula es L-estable y parece que se comporta de

manera eficiente en problemas de tipo stiff. Éste método divide el paso de integración en dos

partes: en una primera parte se hace uso de la regla trapezoidal, mientras que en el resto del

intervalo se utiliza la fórmula BDF de segundo orden. El parámetro γ sirve para dividir el inter-

valo de integración en esas dos partes. El valor más utilizado es 2 2 ya que minimiza

el error de truncamiento local.


134

A primera vista podría parece que este método no es eficiente, ya que para realizar un paso

realmente se hacen dos y esto podría implicar duplicar todos los procesos de cálculo. Sin em-

bargo, es posible reutilizar la misma matriz tangente si se utiliza el método de Newton-

Raphson modificado, ya que para ambas fórmulas tienen la misma matriz para el valor dado

del parámetro γ. Por otra parte, esta fórmula puede facilitar el uso de pasos de integración

mayores.

Tabla 4.1. Parámetros de integración.

Integrador 0 1β 1 0 2β β

TR

2

t

0

1n n

q q

2

0 0

2 1n n n

q q q

BDF-2 2

3

t 1

1 2

2n n

t t

q q

0

1 0 1

1

2

2

n n

n n

t

t

q q

q q

TR-BDF2

2

t

0

1n n

q q

2

0 0

2 1n n n

q q q

1

2t

1 1

1n n

t t

q q

0

0

1

1

1

n n

n n

t

t

q q

q q

4.4.2 Estimación del error de convergencia

En los puntos anteriores, se ha supuesto que el proceso iterativo de Newton Raphson alcanza

la convergencia a la solución deseada cuando q . Esta condición supone que el proceso

converge cuando la modificación de las variables no supera la tolerancia fijada. Sin embargo,

los sistemas multi-cuerpo considerados en esta Tesis contienen traslaciones, rotaciones y am-

plitudes modales. Las magnitudes de estas variables son muy distintas entre sí. Por tanto, es-

tablecer una tolerancia fija para valores que tan diferentes pueden ser, es o bien muy restricti-

vo para las variables con mayor magnitud, o bien demasiado laxo para las que tienen valores

más pequeños, dependiendo de la toleracia seleccionada.

Negrut et al. (2007) utilizan distintos valores para la tolerancia según el tipo de variable consi-

derada. En esta Tesis se ha preferido una norma de error ponderada, en la que se normalizan

Aspectos de integración

135

los valores de las variaciones de las variables mediante una función de peso que depende de

un error absoluto y otro relativo:

2

1

1 ni

i i

q

n w

(4.75)

donde:

1,..., i iw relTol q absTol i n (4.76)

Los parámetros relTol y absTol corresponden a los errores relativos y absolutos, respectica-

mente. La primera tolerancia determina qué porcentaje de variación es aceptable respecto a la

magnitud de la variable. El error absoluto establece un umbral de precisión general relaciona-

do con el error de máquina y de redondeo numérico. Es además el criterio utilizable cuando las

variables tienen un valor próximo a cero. Mediante este criterio se puede considerar que el

proceso converge cuando el error ponderado alcanza 1 .

4.4.3 Proceso de Newton Raphson modificado

Dado que la evaluación de la matriz tangente es la que conlleva el mayor coste computacional

del proceso iterativo, es conveniente restringir su evaluación en la medida de lo posible. En

particular el método propuesto, basado en las coordenadas independientes, hace que el sis-

tema sea mucho más estable que otras formulaciones que iteran sobre todas las variables del

sistema.

El criterio ideal para determinar cuándo se debe calcular la matriz tangente sería hacerlo en

una única ocasión, previa al proceso iterativo. Sin embargo, las pruebas realizadas en esta Te-

sis demuestran que en las simulaciones de sistemas multi-cuerpo realistas sometidos a unos

movimientos y esfuerzos exigentes, esto no es posible. Un método sencillo de determinar

cuándo se necesita calcular la matriz dentro del proceso es evaluar el ratio de convergencia en

función del error normalizado del paso actual k+1 y el paso anterior k:

1k k

k

(4.77)

Este valor debe ser siempre menor que 1. Por tanto, el ratio de convergencia δ debe fijarse

entre 0 y 1. Cuanto menor sea este ratio más exigente es el criterio de convergencia. En gene-

ral es conveniente que el ratio sea superior a 0.5 ó 0.6, pues de lo contrario obligaría a re-

evaluar la matriz tangente continuamente. Teniendo en cuenta el coste computacional de

dicho cálculo con respecto a la evaluación del residuo, siempre es más adecuado realizar más

iteraciones con la misma matriz que re-calcularla. Por tanto, es necesario llegar a un compro-

miso entre ambas aproximaciones.


136

Si la expresión (4.77) tuviera un valor mayor que 1 el proceso estaría divergiendo. En este caso

se debería rechazar la iteración y recalcular la matriz. Otra opción más adecuada es descartar

todo el proceso predictor-corrector del paso actual y rehacer el proceso con un paso menor.

4.4.4 Implementación del paso variable

La gran mayoría de las librerías de integración, así como las aplicaciones comerciales de simu-

lación de mecanismos, hacen uso de una estrategia de paso de integración variable. Esto hace

que el proceso de simulación sea más robusto y que el usuario no tenga que preocuparse de

averiguar qué paso de integración es más adecuado para el modelo que quiere simular. El uso

de un paso de integración variable permite establecer pasos grandes en las condiciones de

simulación más favorables, o reducirlo cuando los movimientos y deformaciones tienen gran-

des variaciones con el tiempo.

Algunos autores como Cuadrado et al. (2004) o García de Jalón et al. (2005) usan estrategias

de integración con paso fijo a fin de evitar el sobrecoste que implica evaluar el error de trun-

camiento local, que en algunos casos y especialmente en simulaciones de sistemas grandes,

puede ser relevante. Sin embargo, esto induce a un proceso de ensayo-error a fin de encontrar

el mayor paso que garantice la convergencia durante toda la simulación. Por otra parte, esto

puede llevar a seleccionar un paso excesivamente pequeño que permita converger en una

situación particular, penalizando el resto de la simulación.

Tal como se ha comentado anteriormente, el valor 0 del integrador es proporcional al paso

de integración y multiplica a la derivada parcial de las ecuaciones dinámicas respecto a las

velocidades 1

iqF . Por otra parte, el cuadrado de dicha constante multiplica a la derivada res-

pecto a las coordenadas 1

iqF . Por tanto, cuanto menor sea el paso menos peso tendrán estas

derivadas parciales en la matriz tangente. Esto es muy relevante en los sistemas con sólidos

flexibles, ya que 1

iqF contiene la matriz de rigidez de las variables de deformación: cuanto más

pequeño es el paso que se selecciona mayor relevancia adquieren los términos de inercia fren-

te a la rigidez elástica.

Aunque esta Tesis no hace uso de formulaciones basadas en la Lagrangiana Aumentada, es

interesante recalcar que este efecto del paso de integración pequeño también afecta a estas

formulaciones de una manera particular. Si bien Bayo and Ledesma (1993) presentaron dos

métodos, el más utilizado en la actualidad incluye el término de penalización α que afecta ex-

clusivamente a las posiciones. Adaptando las fórmulas originales de Dopico (2004) para formu-

laciones semi-recursivas a la terminología la utilizada en esta Tesis. La expresión queda de la

siguiente forma:

1 1 2 1 1

0 0 0

T T q q q q q q

F F F Φ Φ q F Φ Φ (4.78)

Ejemplos

137

Si el valor del parámetro 0 es muy pequeño debido a un paso de integración reducido, el

término de penalización pierde peso frente a los términos de inercia 1

qF , ya que está multipli-

cado por el cuadrado de dicho valor. Por otra parte, si el sistema multi-cuerpo contiene sólidos

flexibles el término de penalización se suma a 1

qF , que incluye la rigidez de dichos cuerpos. Si

dichas rigideces son altas se hace necesario que el valor del término de penalización sea lo

suficientemente alto para tener un valor relevante en los términos en los que los pares elimi-

nados dependan de las amplitudes modales de ciertos sólidos.

En esta Tesis se plantea el uso de un criterio que permita acotar el valor del paso variable con

el fin de evitar pasos de integración excesivamente pequeños y que, por otra parte, establezca

un paso de integración óptimo en las situaciones en las que no haya problemas de estabilidad.

Para el caso de la fórmula TR-BDF2 se considera el error de truncamiento habitual para esta

fórmula, que depende del error de convergencia final del proceso iterativo de la expresión

(4.75). El paso nuevo se define como:

1 1 3min 1.5, n

n n

tt t

(4.79)

Cuando el proceso iterativo converge se aplica la expresión (4.79) a fin de determinar el nuevo

paso de integración. Si, por el contrario, el proceso no converge para un número de intentos (5

en esta Tesis) o bien diverge, se retorna al último paso correcto y se reduce el paso de integra-

ción a la mitad.

4.5 Ejemplos

En este Apartado se desea cuantificar la mejora de rendimiento, en términos de tiempo de

cálculo, basándose en los mismos ejemplos mostrados en los capítulos previos: el cuadrilátero

articulado y el péndulo de dos barras. Para ello se compara el método de integración de las

ecuaciones dinámicas proyectadas sobre las coordenadas independientes aplicando la fórmula

de la regla trapezoidal y un paso de integración constante, frente a la integración explícita pre-

sentada en el Apartado 2.5.4 con el integrador de Runge-Kutta de orden 4, que es el que mejo-

res resultados presentaba. El cálculo de las componentes de inercia de los sólidos flexibles se

realiza según el método de las 24 matrices presentado en el Apartado 3.4 para ambos méto-

dos de integración.

La simulación en cada uno de los casos se ha realizado con el mayor paso de integración que

permite cada método, a fin de obtener el mejor tiempo de simulación para cada caso sin sacri-

ficar la precisión de los resultados. Como puede comprobarse los pasos de integración del mé-

todo implícito son mucho mayores y los tiempos dos órdenes de magnitud más bajos, dentro

de lo que podría considerarse tiempo real.


138

Tabla 4.2. Comparación entre métodos de integración explícito e implícito.

Ejemplo Integrador Nº de pasos de integración (s)

Tiempo total de simulación (s)


Explícito (RK-4) 2·104 11,31

Implícito (TR) 1600 0,41


Explícito (RK-4) 2·105 21,83

Implícito (TR) 500 0,10

4.6 Conclusiones

En este Capítulo se ha presentado un método de integración de las ecuaciones diferenciales

del movimiento de sistemas multi-cuerpo basado en la proyección de las coordenadas inde-

pendientes. Tal como era previsible por los trabajos previos realizados por otros autores, en

este tipo de simulaciones es necesario utilizar fórmulas implícitas de integración para conse-

guir tiempos razonables de simulación. El método planteado es válido para cualquier tipo de

sistema multi-cuerpo, ya sean todos sus sólidos rígidos, o bien parte, o bien la totalidad de los

mismos sean flexibles.

Se ha planteado utilizar el árbol topológico del método recursivo para evaluar de manera efi-

ciente los distintos elementos del sistema iterativo que plantea la integración implícita: el

cálculo del residuo y la matriz tangente. Por otra parte, la utilización de las variables indepen-

dientes genera un sistema más estable que permite el uso de aproximaciones más eficientes,

tales como el método de Newton-Raphson modificado. Por otra parte, los métodos recursivos

permiten tratar de una manera más eficiente los distintos términos afectados por las amplitu-

des modales de los sólidos flexibles. Por una parte, los modos que definen desplazamientos en

los pares son tratados casi como una variable más asociada a un par. Por otra, los modos di-

námicos calculados con los puntos frontera fijos se gestionan de manera completamente inde-

pendiente.

En los ejemplos planteados se consigue el objetivo de alcanzar una eficiencia que permite

tiempos de simulación en tiempo real. Quedaría contrastar si estos resultados se extienden a

sistemas de tamaños más realistas que tengan un gran número de variables y cuyos sólidos

flexibles tengan geometrías complejas.

139

Capítulo 5

Implementación y ejemplos

En los Capítulos anteriores se ha presentado una formulación semi-recursiva para la resolución

eficiente de la dinámica de los sistemas multi-cuerpo con sólidos flexibles, en la que se han

desarrollado métodos alternativos para mejorar la representación del cuerpo flexible median-

te distintas configuraciones modales y diferentes condiciones de contorno. Asimismo, se ha

desarrollado un método de cálculo de los términos de inercia que permite evaluarlos de mane-

ra más eficiente, y se han planteado distintas alternativas que permiten calcularlos de una

forma más sencilla asumiendo ciertas aproximaciones. Por último, la integración de las ecua-

ciones dinámicas se resuelve mediante un método que permite distintas fórmulas de integra-

ción, así como el uso de paso fijo o variable.

Los ejemplos utilizados al final de cada Capítulo han permitido validar con ejemplos sencillos

las principales aportaciones de esta Tesis y las mejoras que se han ido describiendo en los capí-

tulos posteriores a fin de aproximar la evaluación de la simulación a tiempos cercanos al tiem-

po real. Sin embargo, todas las posibilidades explicadas en el párrafo anterior han sido única-

mente formuladas. En este Capítulo el objetivo es contrastar cada una de estas cuestiones con

una selección de ejemplos de distinto tipo: dos que pueden considerarse meramente académi-

cos y dos que son casos más realistas.

5.1 Entorno de simulación

Tal como se ha explicado brevemente en el Apartado 2.6, para el desarrollo de esta Tesis no se

han programado rutinas específicas para la resolución de cada ejemplo. Por el contrario, se ha

desarrollado un programa general que permite la resolución de una gran variedad de sistemas

multi-cuerpo cuya geometría, propiedades y variables de simulación puedan se introducidos a

través de una interfaz o fichero de configuración.

Por cuestiones prácticas, este programa se ejecuta en el entorno de Matlab, que permite:

La creación del formalismo que representa al sistema multi-cuerpo y los parámetros

de simulación a partir de variables locales del entorno, que pueden ser leídas a partir

de un fichero externo o bien ser introducidas manualmente por el usuario.

Ejecutar la simulación ajustando los parámetros de simulación y del integrador.


140

Realizar un post-proceso para ver la animación en un entorno gráfico, o bien visualizar

los distintos valores que toman las variables del sistema a lo largo del tiempo

El programa se ha denominado RecSim (Recursive Simulation), permite la simulación de siste-

mas multi-cuerpo totalmente rígidos o flexibles, y ha sido implementado en dos lenguajes dife-

rentes: Java y C++. El primer lenguaje permite el desarrollo rápido de las distintas fórmulas y

aplicaciones, mientras que C++ aporta más eficiencia en los tiempos de cálculo. Ambos son

lenguages orientados a objetos, lo que permite de una manera relativamente sencilla adaptar

una estructura de uno a otro. Sin embargo, C++ cuenta con muchas capacidades propias (pun-

teros, referencias, librerías) que obligan a alterar de manera significativa la programación a fin

de conseguir la mejor eficiencia. Por otra parte, en la implementación en C++ se ha hecho uso

intensivo de rutinas y librerías externas para mejorar aún más su eficiencia: MKL, integradores

en Fortran, directivas de compilación para realizar cálculos vectoriales, etc.

La integración de ambas implementaciones en Matlab es idéntica a nivel funcional. Es decir, se

ha realizado una programación tal que las llamadas a una librería u otra es casi idéntica: las

funciones se llaman de manera diferente pero similar, pero los datos que se han de introducir,

las variables y la forma de llamar a cada función son totalmente iguales. Sin embargo, la inte-

gración real a nivel de programación es muy diferente entre ambos programas.

El programa basado en lenguaje Java se integra en el entorno Matlab de una manera muy di-

recta, ya que esta aplicación permite interactuar directamente con las funciones y objetos de

dicho lenguaje de programación. En la Figura 5.1 aparecen representadas los principales mó-

dulos de la aplicación. La creación del modelo se realiza mediante un contructor implementa-

do en el propio lenguaje de Matlab. Sin embargo, los objetos, la topología y las fuerzas y mo-

vimientos actuantes son creados en Java.

Se han implementado dos tipos de métodos de simulación. En un primer lugar se permite utili-

zar los distintos integradores de index-1 que aporta Matlab, tanto explícitos como implícitos,

así como aquéllos que el usuario pueda crear mediante rutinas específicas. De esta manera el

integrador puede pedir a una función de específica evaluar el cálculo de las derivadas, la matriz

tangente o bien calcular el residuo, según el tipo de integrador utilizado. Así, por ejemplo, para

integradores explícitos tipo ode45 o ode113, únicamente es necesario evaluar las derivadas de

las variables de las ecuaciones dinámicas. En cambio, para el integrador implícito ode15i se

puede calcular el residuo de dichas ecuaciones y, opcionalmente, el valor de la matriz tangente

aproximada.

El segundo método para realizar la simulación es utilizar los integradores y métodos imple-

mentados en la propia librería, que van desde la fórmula de Runge-Kutta de orden 4 y paso

fijo, hasta los métodos específicos presentados en el Capítulo 4. Asimismo, se han implemen-

tado las distintas formas de evaluación de la matriz tangente presentadas en el Apartado 4.3.2.

Las distintas funcionalidades del post-proceso permiten realizar animaciones, así como visuali-

zar los valores de posición, velocidad y aceleración de cada punto, así como el valor de las

fuerzas, en función del tiempo. En la implementación en Java este proceso se hace accediendo

directamente a los objetos del modelo.

Entorno de simulación

141

Figura 5.1. Implementación en Java.

La implementación en C++ es bastante más compleja. Para ello se ha definido una MEX-

function, que es una rutina-puente, en este caso realizada en C, que permite a Matlab interac-

tuar con otros lenguajes de bajo nivel. En este caso prácticamente todas las funciones están

“en” o “detrás” de dicha función. Así, por ejemplo, constructor está embebido en la función

MEX, ya que ha de “traducir” estructuras y funciones propias del interfaz C-Matlab a los obje-

tos de la librería RecSym. En los procesos de simulación y post-proceso la función MEX actúa

como mero traductor pasando la información del modelo o de las ecuaciones dinámicas a las

rutinas de Matlab en unas estructuras propias de dicho entorno.

Figura 5.2. Implementación en C++.

Integrador

Constructor

Mo

del

o

Ecuaciones

Dinámicas

Integrador

1- Creación

2 - Simulación

3 -Post-proceso

MATLAB RECSYM

Integr.

Construct

Mo

del

o Ec.

Diná-

micas Integrador

1- Creación

2 - Simulación

3 -Post-proceso

MATLAB RECSYM

Inte

rcam

bio

Vble

s

MEX-Function


142

En la implementación de C++ se han incorporado las rutinas de integración DE (Shampine,

1975) y DASSL (Petzold, 1985), manteniendo su código original en Fortran 77. Asimismo, las

rutinas de cálculo con vectores y matrices, tanto densas como dispersas, se han realizado im-

plementando algoritmos directamente o bien mediante el uso de las librerías BLAS y Lapack.

Estas últimas han demostrado una mejora de un 30% en el cómputo global de la simulación,

siendo este valor notablemente más alto en casos de sistemas multi-cuerpo grandes. Esta li-

brería en C++ puede ser migrada con relativa sencillez a otros entornos de simulación o incluso

formar el núcleo de una aplicación independiente, implementando los correspondientes cons-

tructor e interfaz de usuario.

5.2 Ejemplos considerados

Esta Tesis presenta cuatro ejemplos de distinta complejidad para analizar todas las aportacio-

nes de esta Tesis y comparar las distintas formulaciones presentadas. En este Apartado se des-

cribe detalladamente cada uno de los casos analizados, poniendo especial énfasis en las condi-

ciones de contorno aplicadas y la validez de las mismas.

5.2.1 Cuadrilátero articulado

El primer ejemplo considerado es parecido a uno de los dos utilizados en los Capítulos anterio-

res. El cuadrilátero articulado, similar al que aparece representado en la Figura 2.18, consiste

en un sistema formado por cuatro barras. Todas ellas son de acero y tienen una sección cua-

drada de 10 mm de lado. Las longitudes de las mismas son, expresadas en metros y de menor

a mayor: 0.5, 1 y 1.80. Todas las barras son flexibles y cada una está formada por 10 vigas del

tipo Euler-Bernouilli de idéntica longitud. La estructura topológica es de cadena cerrada. Para

formar la cadena cinemática se ha eliminado la unión entre la barra más larga y el elemento

fijo. El sistema está sometido a una velocidad inicial de 1 rad/s en el par de revolución que une

el elemento más pequeño con el elemento fijo y se mueve libremente bajo la acción de la gra-

vedad. La simulación realizada dura 12 segundos.

Uno de los puntos más interesantes de este ejemplo es la selección de modos y las condiciones

de contorno utilizadas en su definición. Se han considerado los dos tipos de condiciones plan-

teados en el Apartado 2.2.2.: el método de Craig-Bampton y la restricción según par. En cada

una de las configuraciones consideradas se han seleccionado un número mínimo de modos

“representativos”, distinto en cada caso. Para definir un criterio válido para los tres casos se ha

definido el criterio en función del número de la energía elástica total: conforme se selecciona

un número de modos mayor es la energía acumulada, pero ésta crece de modo asintótico. Por

tanto se han definido como criterio descartar el primer modo (y los subsiguientes) que no su-

pongan un crecimiento superior al 2% respecto a la selección anterior.

Ejemplos considerados

143

Figura 5.3. Representación del cuadrilátero flexible en Matlab.

La primera aproximación ha sido utilizar el sistema de referencia tangente y el método de

Craig-Bampton. Para ello se ha considerado que el sistema de referencia local se sitúa en el

extremo de cada barra donde se une con el elemento anterior y se han calculado los modos

estáticos y dinámicos tal como se ha explicado en el Apartado 2.2.1. Dado que el mecanismo

se mueve en el plano YZ, se han descartado el modo de torsión así como los modos en los pla-

nos XZ y XY. Por tanto, solamente es posible seleccionar 3 modos estáticos: el correspondiente

a la deformación axial y los dos que surgen al imponer un desplazamiento o una rotación uni-

taria en el extremo opuesto. Adicionalmente se consideran otros 17 modos dinámicos corres-

pondientes a deformaciones en el plano YZ, lo que suma un total de 20 modos.

En la Figura 5.5 se representa la posición final del sistema muti-cuerpo y la energía cinética,

potencial y total a lo largo del tiempo de simulación. Puede comprobarse la energía total se

mantiene constante, tal como era de esperar en un sistema conservativo. La energía elástica

muestra máximos en intervalos de 1.8 segundos aproximadamente, lo que corresponde a la

posición más baja de la barra más pequeña. Entre cada intervalo aparecen picos de deforma-

ción correpondientes a frecuencias altas.

Figura 5.4. Energías cinética, potencial, total y elástica según el método de Craig-Bampton.


144

Si para definir las condiciones de contorno se utiliza el método de restricción de par, es fácil de

comprobar que en cada barra se deben dejar libres las deformaciones angulares de cada ex-

tremo en el plano YZ. Esto hace que el método coincida con el sistema de la cuerda. Por tanto,

solamente es posible considerar el modo estático axial ya que el resto o bien están en otro

plano o no existen al liberar dichos ángulos. En este caso el número de modos dinámicos es 10

que corresponden a las primeras frecuencias de las deformaciones en el plano YZ. Al liberar

una coordenada en cada uno de los extremos, el orden de magnitud de los valores de modos

dinámicos resulta mayor que el de los estáticos. Para evitar problemas numéricos se ha norma-

lizado cada uno de ellos respecto su valor máximo obtenido.

Figura 5.5. Energías cinética, potencial, total y elástica según el método de restricción de par.

Comparando la Figura 5.4 con la Figura 5.5 pueden deducirse cuatro conclusiones:

La energía cinética, potencial y total son prácticamente idénticas con ambas condicio-

nes de contorno. Sin embargo, existe un ligerísimo desfase entre las mismas respecto

al tiempo.

La magnitud de los picos de deformación elástica es un orden de magnitud mayor en el

método de Craig-Bampton., lo que podría indicar que este método es más adecuado

para capturar la deformación del sistema.

Por otra parte, el método de restricción de par solamente captura las deformaciones

del cuadrilátero en los picos de deformación. Éstas corresponden a los modos de de-

formación axiales. En el caso del método de Craig-Bampton, adicionalmente, también

participa uno de los modos estáticos de deformación.

En ambos métodos los modos dinámicos apenas participan en la deformación del sis-

tema.

Mientras que los modos seleccionados en el sistema de la cuerda son ortogonales entre sí, en

el caso del sistema tangente no sucede lo mismo. Realizando una segunda proyección tal como

hace la aplicación MSC Adams, es posible obtener un grupo ortogonal de estos últimos modos.

Para utilizar esta aproximación en el caso plano es necesario descartar los modos estáticos y

dinámicos que estén fuera de dicho plano, ya que en caso contrario esta segunda proyección

suele crear modos no sólo en planos perpendiculares sino también en otros oblicuos en los


145

que la deformación no debería tener lugar. Utilizando 15 modos ortogonales el resultado ob-

tenido es muy parecido al correspondiente al sistema de la cuerda: los picos de deformación

tienen magnitud similar y apenas surgen deformaciones fuera de dichos picos.

Figura 5.6. Energías cinética, potencial, total y elástica obtenidos mediante doble proyección.

Por tanto, si bien los modos evaluados mediante el método de Craig-Bampton son aparente-

mente capaces de capturar más energía de deformación, dicha energía se debe a que se exci-

tan más modos debido a que no son linelmente independientes. Una correcta selección de

modos o bien una doble proyección permiten obtener resultados más aproximados a la reali-

dad.

Puede comprobarse que la energía elástica está entre dos y tres órdenes de magnitud por de-

bajo de la energía total. Tampoco la amplitud de los ciclos varía de forma significativa, salvo un

desfase en el tiempo. Esto, a priori, podría indicar que el efecto de la deformación es poco

relevante en el movimiento del mecanismo. Sin embargo, tal como se puede comprobar en los

diagramas de energía anteriores, los ciclos del movimiento del cuadrilátero no son tan regula-

res como en el caso de que las barras fueran rígidas. Esto hace que la posición del mecanismo

no coincida en el mismo instante de tiempo si el sistema está formado por sólidos rígidos o

flexibles. En la Figura 5.7 se muestran las posiciones del sistema sólido y flexible al final de la

simulación.

Figura 5.7. Posiciones del cuadrilátero a los 12s considerando sistema rígido y flexible.


146

Si se comparan los tiempos de ejecución, para el caso de utilizar el método propuesto en el

Apartado 4.2 aplicando la regla trapezoidal como fórmula de integración con un paso de 0.8 s

para las configuraciones y número de modos indicados anteriormente, se comprueba que los

tiempos de evaluación se incrementan según crece el número de modos que se incluyan para

definir la deformación de las barras. Por el contrario, el número de evaluaciones de la matriz

tangente así como las veces que se debe calcular el residuo se mantienen constantes. La defi-

nición de un conjunto de modos bien adaptado al mecanismo supone también mejores tiem-

pos de simulación. Por otra parte, el método de ortogonalización utilizado por MSC Adams

permite unos tiempos cercanos a la configuración óptima si bien el número de modos debe ser

mayor para obtener resultados similares.

Tabla 5.1. Cuadrilátero articulado. Tiempos y número de evaluaciones.

Ejemplo Nº modos

flexibles por barra

Número de evaluaciones

residuo

Nº Eval. matriz tangente

Tiempo de simulación (s)

Barras rígidas 0 19.160 9.600 0,31

Sistema tangente 20 19.163 9.600 6,54

Sistema de la cuerda 10 19.083 9.600 3,15

Doble proyección 15 18.880 9.600 4,11

El número de evaluaciones tanto de la matriz tangente como del residuo es prácticamente

idéntico en todos casos considerados. Esto indica que tanto la configuración como el número

de modos no afectan al proceso iterativo de resolución de las ecuaciones dinámicas.

5.2.2 Péndulo de cinco barras

El segundo ejemplo corresponde a un péndulo tridimensional formado por cinco barras unidas

mediante pares de revolución con ejes perpendiculares, de acuerdo a la disposición represen-

tada en la Figura 5.8. El péndulo está formado por cinco barras de acero, todas flexibles, que

tienen 750 mm de longitud y sección cuadrada de 40 mm de lado. Cada barra está formada por

320 elementos prismáticos isoparamétricos de 20 nodos situados en los vértices (8) o en la

mitad de cada arista (12). El número total de nodos por barra es de 1.865.

La elección de este tipo de elemento finito es debida a que este mecanismo está sujeto a

grandes esfuerzos debido a las fuerzas de inercia dependientes de la velocidad y a que las ba-

rras del extremo libre sufren cambios de velocidad muy bruscos, lo que puede generar grandes

desplazamientos. Tal como se ha explicado en el Apartado 1.2.1.2, el sistema de referencia

flotante sólo es adecuado para este tipo de simulaciones si se usan mallados formados por

elementos no estructurales, dado que si nose pueden generar tensiones en los elementos fini-

tos con movimientos de sólido rígido. Como contrapartida, la modelización de las uniones

entre los distintos sólidos es más compleja. En este caso los pares de revolución se han defini-

do haciendo que coincidan ciertos puntos en las aristas de cada extremo de las barras, y esta-


147

bleciendo una dirección compartida según otro punto del plano de dicho extremo. La simula-

ción consiste en dejar caer por su propio peso el mecanismo desde la posición indicada en la

Figura 5.8 durante 8 segundos.

Figura 5.8. Péndulo de cinco barras.

Los nodos del mallado con elementos finitos 3D solamente presentan desplazamientos en las

tres direcciones Cartesianas. Al no introducirse variables de rotación la definición de las condi-

ciones de contorno también presenta cierta complejidad. Por ejemplo, un problema que surge

es que, a diferencia de los ejemplos modelados con elementos estructurales, las condiciones

de contorno han de ser normalmente aplicadas a superficies o aristas y no a nodos individua-

les. Existe un método muy utilizado para evitar estos inconvenientes, que se utiliza en el ejem-

plo presentadodo en el Apartado 5.2.4, y que consiste en unir los puntos de una superficie

mediante barras rígidas a un único punto con el que se define el par, pero esta solución tiene

como contrapartida que se pierde la ventaja de poder evaluar los términos de inercia de una

manera eficiente según las expresiones presentadas en el Apartado 3.5.3.

Cuando se aplica el método de Craig-Bampton resulta complicado definir los modos estáticos

de torsión o los correspondientes a dar un giro unitario en la sección del extremo de cada ba-

rra. Una posibilidad de calcular una aproximación al modo de torsión consiste en aplicar un

momento respecto al eje longitudinal a la barra, apoyándose en la superficie de una sección

ortogonal y manteniendo el desplazamiento de dicha sección fijo y el otro extremo de la barra

empotrado. Esto permite representar una deformación similar a la buscada, aunque la defor-

mación no es unitaria ni fácil de normalizar. Para el caso de los modos estáticos correspon-

dientes a dar un giro unitario en el extremo la solución es similar: se limitan los desplazamien-

tos de una arista y se aplica un momento unitario respecto a la misma. Los programas de ele-

mentos finitos permiten aplicar este tipo de esfuerzos sobre superficies o bordes de geome-

trías, e introducir condiciones de contorno complejas, por lo que este cálculo es relativamente

sencillo. La deformación resultante, que no es unitaria, debe ser normalizada según la magni-

tud del resto de modos a fin de que éstos no generen problemas numéricos durante la simula-

ción.


148

Figura 5.9. Cálculo aproximado de modos estáticos de torsión y flexión.

En la Figura 5.10 se representan las energías cinética, potencial, total y elástica del ejemplo

utilizando 20 modos de deformación en cada barra calculados con estas condiciones de con-

torno. Análogamente a lo que ocurre en el ejemplo del cuadrilátero articulado se producen

picos de energía elástica coincidentes en el tiempo, y que corresponden fundamentalmente a

la amplitud del modo estático axial de cada barra. Por otra parte, la magnitud de la energía

elástica es dos órdenes de magnitud más baja que la energía total.

Figura 5.10. Diagramas de energía del Péndulo de 5 barras con modos evaluados según Craig-Bampton.

La aplicación del método de restricción de par también plantea los mismos problemas a la hora

de modelizar los pares del sistema. Las pruebas realizadas en esta Tesis para este ejemplo, al

contrario que en el cuadrilátero articulado, no reportan ninguna ventaja adicional a las condi-

ciones de contorno del método de Craig-Bampton. En este caso se han utilizado tres modos

estáticos, correspondientes a la deformación axial, la torsión de la barra y los momentos co-

rresponientes al giro en sentido perpendicular al par de revolución de un extremo. Los modos

estáticos han sido evaluados fijando las aristas donde se sitúan los pares de revolución en vez

de limitar el movimiento de toda la superficie de cada extremo.


149

Figura 5.11. Cálculo de los modos de flexión y torsión según el método de restricción según par.

El balance de energía de la simulación realizada con los modos calculados con estas condicio-

nes de contorno son bastante similares a los que se obtienen utilizando el método de Craig-

Bampton durante la primera mitad de la simulación. Sin embargo, a partir de los 5 s el movi-

miento es muy diferente, aun manteniendo el mismo método, integrador, tolerancias e im-

plementación. Por otra parte, los valores máximos de la energía elástica son sensiblemente

menores y el efecto de de la deformación en general es mucho más reducido que en el caso

anterior.

Figura 5.12. Diagramas de energía del péndulo de 5 barras con modos evaluados

según restricción según par.

Una tercera opción para establecer las condiciones de contorno a la hora de definir los modos

de deformación consiste en empotrar un extremo de la barra y evaluar los modos dinámicos

dejando el otro extremo libre. Estas condiciones de contorno permiten obtener un conjunto

ortogonal de modos que puede resultar muy conveniente en un ejemplo como el considerado,

ya que los efectos de torsión y flexión aparecen de manera natural en el cálculo de valores y

vectores propios. El balance de energía obtenido para 15 modos es muy similar durante la

mayor parte del tiempo de la simulación al modelo con modos calculados según el modelo de

Craig-Bampton, tanto en el balance global del las energías cinética y potencial como en la

energía de deformación. Incluso los valores máximos de la energía elástica, debidos a la ampli-

tud del modo axial, mantienen el mismo orden de magnitud y se observa una excitación similar

del resto de modos. Sin embargo, en los últimos segundos de la simulación se aprecia clara-

mente que ambas soluciones también empiezan a diverger y la posición final de las barras

termina del mismo modo siendo diferente, aunque esta diferencia es mucho menor que en el


150

caso de restricción según par. El resultado no varía conforme se aumenta el número de modos

considerado.

Figura 5.13. Diagramas de energía del péndulo de 5 barras con modos dinámicos de viga empotrada.

La Tabla 5.2 muestra el coste de la simulación en términos del número de operaciones y tiem-

po de ejecución, para el modelo sólido y los tres mecanismos presentados según el método

utilizado para calcular los modos de cada barra. En este caso se ha considerado igual número

de modos y se ha utilizado el mismo paso de integración (0.04 s). Todas las configuraciones

requieren el mismo número de evaluaciones de la matriz tangente. Puede comprobarse que

los sistemas cuyos modos han sido evaluados con el método de Craig-Bampton y el de restric-

ción según par son igual de eficientes, dado que requiere un número prácticamente idéntico

de evaluaciones del residuo. Sin embargo, la configuración que utiliza modos según el sistema

de referencia tangente requiere 3 veces más evaluaciones de residuo y el tiempo total de si-

mulación es un 80% mayor. El péndulo rígido tiene cuatro veces menos variables (5 frente a

20), pero el tiempo de simulación para idénticas condiciones es dos órdenes de magnitud me-

nor. A pesar de que el mecanismo está sometido a cambios bruscos de velocidad y de las altas

frecuencias que presentan los modos de deformación, no es necesario más que una única eva-

luación de la matriz tangente por iteración.

Tabla 5.2. Péndulo de 5 barras. Tiempos y número de evaluaciones.

Ejemplo Nº modos

flexibles por barra


residuo



Barras rígidas 0 4.009 2.000 0,03

Craig-Bampton 15 4.007 2.000 0,95

Restricción según par 15 4.002 2.000 1,12

Sistema tangente 15 12.672 2.000 1,99


151

5.2.3 Modelo de vehículo de Fórmula Student

El siguiente ejemplo consiste en un coche de Fórmula Student realizado en 2011 por los estu-

diantes de últimos cursos en la Escuela de Ingenieros Industriales de la Universidad Poiltécnica

de Madrid. El modelo está formado por un chasis flexible, el sistema de dirección, cuatro sis-

temas de suspensión independientes de doble triángulo y cuatro barras tipo “push rod” que

unen el soporte de la rueda con el muelle y el amortiguador. El número total de sólidos es de

49, unidos mediante 42 pares cinemáticos. De estos 49 sólidos 12 son barras rígidas unidas por

pares esféricos en cada extremo: 2 que unen la dirección con cada una de las manguetas del

eje delantero, 2 en cada uno de los sistemas push-rod de cada suspensión y 2 barras que unen

el chasis con las manguetas con el eje trasero. Estos cuerpos, conocidos en inglés como rods,

pueden calcularse eficientemente utilizando la aproximación presentada por García de Jalón et

al. (2005), que permite reducir el número de parámetros relativos a cambio de incluir una res-

tricción de distancia constante.

Los muelles de las suspensiones no se suponen lineales, pero los amortiguadores sí. Las cuatro

ruedas han sido representadas según el modelo de la Fórmula Mágica de Pacejka de 1996 (Pa-

cejka, 2012). A excepción del chasis, todos los sólidos son considerados rígidos. El número total

de grados de libertad, además de las amplitudes de los modos del chasis flexible, es de 14: los

6 correspondientes a la posición y orientación del chasis respecto a un punto en su parte infe-

rior, la rotación de cada rueda y el desplazamiento vertical de las mismas. Para obtener la es-

tructura de lazo abierto se elimina uno de los pares esféricos en cada una de las suspensiones,

así como las uniones de los palieres con las manguetas en el eje trasero.

Figura 5.14. Vehículo Fórmula Student 2011 y modelo MEF.

El modelo MEF del chasis se ha realizado mediante 192 barras de distintas secciones unidas

rígidamente entre sí. Estas barras han sido modeladas cada una con un número variable de

elementos finitos tipo viga de Euler-Bernouilli en 3 dimensiones. El total de elementos y nodos

utilizados es de 820 y 863, respectivamente. Aunque el método desarrollado en el Capítulo 3

de esta Tesis hace que el cálculo sea independiente del número de elementos utilizado, las

pruebas realizadas han demostrado que la simulación es ligeramente más eficiente conforme

mayor sea el número de elementos finitos considerado a la hora de modelar el sólido flexible.

La simulación consiste en la “maniobra del alce”, que consiste en un giro brusco de dirección


152

con el fin de evitar un obstáculo en la carretera. El tiempo de simulación total es de 5 segun-

dos.

En este ejemplo se han considerado cuatro configuraciones distintas. En el primer caso se han

establecido modos en todos los puntos donde el chasis se une con otro cuerpo: cada uno de

los ocho triángulos de la suspensión, las uniones con los cuatro amortiguadores y los puntos

donde se conectan mediante los push-rod los cuatro balancines con los amortiguadores. En

cada uno de estos 16 puntos se han definido tres modos estáticos.

Figura 5.15. Vehículo Fórmula Student 2011: Modelo multi-cuerpo.

En la segunda configuración se han considerado solamente los pares que conectan los triángu-

los de las suspensiones. El resto de puntos en los que están los pares que unen el chasis con el

resto de cuerpos se dejan libres de tal manera que se pueden desplazar en función de los mo-

dos seleccionados. Esto reduce el número de modos a la mitad, es decir a 24. Sin embargo,

esta configuración implica que las amplitudes de dichos modos no afecten a cadenas cinemáti-

cas individuales dentro del árbol topológico y que se generen fuerzas en los muelles y amorti-

guadores. La tercera configuración es una evolución de la anterior, en la que se considera que

los triángulos de cada suspensión se mueven solidariamente, tal como aparece en el primer

gráfico de la Figura 2.8.

Por último, el caso más simplificado consiste en considerar únicamente la flexión de la parte

central del chasis. Para ello se han fijado los puntos de unión de las suspensiones traseras y se

han dispuesto desplazamientos unitarios iguales según las tres direcciones axiales en todos los

puntos de unión de los triángulos de las suspensiones delanteras. La representación de la con-

figuración propuesta aparece representada en el segundo gráfico de la Figura 2.8. El número

total de modos se reduce únicamente a 3.

Todas las configuraciones consideradas se han calculado con las condiciones de contorno de

Craig-Bampton. El método de restricción según par para este caso únicamente libera los giros

de los pares de revolución que unen los triángulos de cada suspensión con el chasis flexible.

Los modos resultantes, tanto estáticos como dinámicos, son muy similares a los obtenidos

según las condiciones de Craig-Bampton.


153

En la Figura 5.16 se representa el desplazamiento del centro de gravedad del chasis a lo largo

de la simulación para las cuatro configuraciones planteadas. La curva de color negro corres-

ponde al caso en el que el chasis se considera rígido. Es posible deducir las siguientes conclu-

siones:

La diferencia entre el modelo de chasis rígido y flexible es notable: en la primera fase

el chasis flexible tiende a desplazarse menos, mientras que durante el segundo giro el

centro de gravedad se desvía más de la trayectoria nominal.

Las configuraciones primera y segunda son muy similares. Esto indica que los modos

de los amortiguadores y balancines apenas afectan al movimiento del chasis.

Por el contrario, la aproximación en la que se consideran solidarias las deformaciones

de los triángulos de cada una de las suspensiones difiere bastante de las anteriores.

Posiblemente la causa sea que en la realidad las fuerzas que se aplican en los triángu-

los superiores sean muy distintas a las que sufren los inferiores, por lo que esta apro-

ximación desvirtúa las deformaciones reales del chasis.

El caso más simple es una aproximación más tosca que las dos primeras, pero a su vez

se ajusta mejor que la anterior y podría considerarse suficiente si el coste computacio-

nal es un factor que ha de ser tenido en cuenta.

Figura 5.16. Vehículo Fórmula Student. Desplazamiento trasversal del centro de gravedad del chasis.

En ninguna de las configuraciones consideradas hasta el momento se han incluido modos di-

námicos. En el siguiente caso se ha considerado el modelo de 24 modos estáticos, definidos en

cada triángulo de la suspensión, complementándose con otros 10 modos adicionales cuyas

frecuencias oscilan entre 4.5·105 y 3.6·106 Hz. Por otra parte, se ha simulado la configuración

original con modos estáticos únicamente, en los que se han despreciado los correspondientes

a los desplazamientos en el eje Z, dejando únicamente 16 modos estáticos.


154

Los resultados de la Figura 5.17 demuestran que las tres configuraciones son prácticamente

idénticas. Es posible despreciar los modos dinámicos, se ya que al tener el chasis flexible tantas

uniones con otros elementos las deformaciones obtenidas son muy pequeñas, apenas acumu-

lan energía elástica y sus frecuencias asociadas son muy altas. Por otra parte, la simulación con

paso constante ha supuesto no pocos problemas de convergencia, por lo que ha sido necesario

ajustar el paso de integración para lograr obtener una simulación válida. Por otra parte, los

modos correspondientes a los desplazamientos verticales tampoco afectan de manera rele-

vante a la posición global del chasis y pueden ser despreciados.

Figura 5.17. Vehículo Fórmula Student. Desplazamiento trasversal del centro de gravedad del chasis

considerando modos dinámicos.

En el caso estudiado los resultados obtenidos con las condiciones de contorno según el modelo

de restricción según par no han aportado diferencias relevantes respecto al Método de Craig-

Bampton. Al aplicar este criterio se dejan libres el giro según la dirección X, es decir, la direc-

ción longitudinal del coche. Sin embargo, las deformaciones obtenidas para un sólido con tan-

tos pares son prácticamente idénticas a las que se calculan con el método aquí planteado.

En la Tabla 5.3 se muestran los tiempos de resolución y el número de evaluaciones del residuo

y de la matriz tangente durante la simulación. Estos datos han sido obtenidos utilizando el

método propuesto en el Apartado 4.2.2 utilizando como fórmula de integración la regla trape-

zoidal y un paso constante de 10-3, que es lo suficientemente pequeño para asegurar la con-

vergencia de la integración y la precisión del resultado en todos los casos considerados. Como

puede comprobarse los tiempos de resolución dependen crecen conforme se incrementa el

número de modos utilizados. Es posible deducir de los datos obtenidos que este incremento

del coste computacional proviente tanto del incremento de variables que se deben calcular

durante el proceso de integración de las ecuaciones dinámicas, como del incremento de eva-

luaciones de residuo que han de realizarse para llevar a cabo el proceso iterativo correspon-

diente a la evaluación de las ecuaciones no lineales. Nuevamente, el método propuesto en

esta Tesis no parece requerir para este ejemplo más que una única evaluación de la matriz

tangente en cada paso de integración.


155

Tabla 5.3. Fórmula Student. Tiempos y número de evaluaciones.

Ejemplo Nº de

modos


residuo



Chasis rígido 0 30.007 7.501 4,31

Modos en susp. y amort. 48 38.608 7.501 25,75

Modos en suspensiones 24 35.013 7.501 20,56

Modos compuestos susp. 12 34.266 7.501 12,77

Modos compuestos frontal 3 30.137 7.501 6,34

5.2.4 Turismo con remolque

El sistema multi-cuerpo de este ejemplo está formado por dos mecanismos conectados entre

sí: un turismo formado por elementos rígidos y un remolque de dos ejes cuyo chasis se consi-

dera flexible. Ambos están unidos por una rótula, que se modeliza como un par esférico. El

automóvil está formado por el chasis, las supensiones y la dirección. Las dos suspensiones de-

lanteras son de tipo Mc Pherson, mientras que las traseras están formadas por sendos siste-

mas multi-link de 5 puntos, cuya disposición es muy similar a Ia presentada como caso tipo en

el IAVSD (Körtum and Sharp, 1994).

El número de cuerpos y pares del vehículo es de 27 y 25, respectivamente. 12 de los sólidos

han sido modelados como rods: las cinco barras que unen las mangetas del eje trasero con el

chasis y las uniones de las suspensiones delanteras con la dirección. El sistema tiene 15 grados

de libertad: la posición y orientación del centro de gravedad del vehículo, la altura de las cua-

tro manguetas, el giro de cada una de las cuatro ruedas y el giro del volante en el sistema de

dirección. El remolque está formado por nueve sólidos: el chasis flexible, cuatro ruedas y las

cuatro barras que unen éstas al chasis mediante amortiguadores de torsión. El remolque tiene

nueve pares e incorpora 11 grados de libertad adicionales al vehículo: cuatro pares de revolu-

ción que unen el chasis y las barras de las suspensiones, el giro de las cuatro las ruedasy un par

esférico que une el chasis con el remolque. Por tanto, sin considerar las amplitudes de los mo-

dos de deformación del chasis del remolque, el número total de grados de libertad es de 26. La

simulación consiste en un maniobra del alce similar a la mostrada en el ejemplo anterior. El

tiempo de simulación total son 15 segundos.


156

Figura 5.18. Ejemplo de turismo con remolque.

En los ejemplos anteriores los cuerpos flexibles estaban formados por elementos finitos del

mismo tipo. En este caso el chasis ha sido modelado utilizando una amplia variedad de ele-

mentos finitos: de volumen o 3-D, barras, vigas, placas, así como otros elementos especiales

que incluye la aplicación comercial de elementos finitos Ansys para establecer contactos y

uniones rígidas entre elementos. El número total de elementos finitos del mallado del chasis es

de 35.798 con un total de 171.283 nodos. Estos datos generan matrices de masas y rigideces

con filas y columnas de más de un millón de variables.

Figura 5.19. Remolque flexible y modelo MEF.

Dada la geometría de las uniones del chasis con el amortiguador de torsión de cada rueda,

estas partes han sido modeladas mediante elementos isoparamétricos. Esto dificulta la mode-

lización del par de revolución con la barra de cada rueda, ya que este tipo de elementos finitos

no permiten modelar de manera simple los pares de revolución. Para ello se ha utilizado una

solución comúnmente utilizada en la simulación con el método MEF, que consiste en unir me-

diante barras rígidas el punto donde se define el par con un número suficientemente grande

de nodos del orificio del chasis donde se sitúa el amortiguador. Esta solución tiende a rigidizar

la zona de unión del chasis flexible, pero puede considerarse válida para este ejemplo en parti-


157

cular, dado que el amortiguador de torsión está rígidamente unido a éste. De manera análoga,

la unión del remolque al vehículo se ha modelado mediante la misma aproximación.

En este ejemplo se consideran dos tipos de condiciones de contorno. En una primera aproxi-

mación los modos se calculan utilizando las condiciones de contorno correspondientes al mé-

todo de Craig-Bampton, en el que se fijan las cuatro uniones del chasis con las suspensiones de

cada rueda y la unión del remolque con el chasis. Dejando esta última fija, se consideran los

desplazamientos unitarios en direcciones trasversales (Y y Z) de los puntos de cada eje. En la

Figura 5.20 se muestra la deformación vertical y trasversal correspondiente a una de las cuatro

ruedas.

Figura 5.20. Remolque flexible. Modos estáticos correspondientes a la rueda trasera.

Adicionalmente se pueden considerar los cuatro modos dinámicos calculados fijando todos los

puntos de unión citados, correspondientes a las frecuencias más bajas (19 a 47.5 Hz), y que

afectan a la flexión y torsión del chasis. Se descartan los modos correspondientes a frecuencias

más altas ya que las deformaciones que representan son locales, es decir, afectan solamente a

partes concretas del chasis fundamentalmente localizadas en la superficie de la plataforma del

remolque.

La segunda configuración del remolque considerada ha consistido en fijar el punto de unión

del remolque con el vehículo y dejar libres el resto de puntos del mismo. Esto genera un con-

junto de modos ortogonales entre sí. En este caso, se han tomado 10 modos asociados a fre-

cuencias entre 4.67 y 73.94 Hz. En la Figura 5.22 se representa la deformación según los cuatro

modos correspondientes a las frecuencias más bajas. Como puede comprobarse, estos modos

reflejan deformaciones de alargamiento, flexión y torsión. Un problema que podría aparecer

en una selección de modos como ésta es que puede generar incompatibildades con ciertas

restricciones geométricas con otros sólidos que se considerasen rígidos, como sucedería por

ejemplo en el caso de haber considerado un eje rígido para cada par de ruedas. Sin embargo,

dada la configuración particular de este cuerpo flexible, no se presentan situaciones de este

tipo.

Al igual que en el caso del vehículo Fórmula Student, el método de restricción según par no

aporta un conjunto muy diferente de modos ya que éstos son muy similares a los calculados

según el método de Craig-Bampton.


158

Figura 5.21. Remolque flexible. Modos dinámicos con condiciones de Craig-Bampton.

De acuerdo a las dos condiciones de contorno consideradas se han establecido cinco configu-

raciones. En las tres primeras los modos han sido calculados con las condiciones de contorno

de Craig-Bampton, mientras que los otros dos tienen condiciones de contorno libres. El primer

caso tiene cuatro modos estáticos: uno en cada rueda según la dirección Y. En la segunda con-

figuración se añaden a estos cuatro modos los cuatro modos dinámicos que aparecen en la

Figura 5.21. En el tercer caso se consideran sendos modos estáticos en cada rueda según las

direcciones Y y Z, más los cuatro modos dinámicos, haciendo un total de 12 modos. En las dos

últimas configuraciones se han seleccionado los 5 y 10 modos dinámicos de menor frecuencia,

respectivamente.

En la Figura 5.23 se puede observar la posición según el eje Y del centro de gravedad del

vehículo según las 5 configuraciones descritas en el párrafo anterior. Asimismo se representa

el movimiento considerando el chasis del remolque como si fuera totalmente rígido. Los casos

con más modos presentan un resultado muy parecido en el que la flexibilidad presenta cierta

oposición al movimiento del vehículo en comparación al caso del sistema rígido. Este efecto va

creciento ligeramente conforme se aumenta el número de modos considerado en cada confi-

guración. Por otra parte la primera configuración, en la que se consideran únicamente los cua-

tro modos estáticos, difiere completamente del resto de configuraciones, ya que el efecto de

la flexibilidad sobre el movimiento del vehículo es el contrario, pues parece incrementar el

efecto del giro de la dirección. Esto podría interpretarse como que es necesario establecer un

número suficiente de modos para poder obtener resultados aceptables.

La Tabla 5.4 muestra el número de operaciones así como los tiempos de cálculo para cada una

de las configuraciones propuestas. Se ha utilizado un paso de integración común de 0.00033 s.,

si bien los casos con menos modos admiten pasos mucho mayores. Al contrario que en los

casos anteriores, en los que se ha utilizado la regla trapezoidal, en este caso se utiliza el méto-


159

do híbrido TR-BDF2 ya que converge más fácilmente con pasos de integración razonables. El

cálculo de los términos de inercia ha sido realizado según el método propuesto en el Apartado

3.4.

Figura 5.22. Remolque flexible. Modos dinámicos con extremos libres.

Puede comprobarse que tanto en el modelo con el remolque rígido como en los casos con

condiciones de Craig-Bampton es necesario una única evaluación de la matrix tangente y tres

evaluaciones de residuo para cada paso de integración, salvo en el caso de 12 modos en el que

son necesarias algunas evaluaciones adicionales en algunos pasos para que la solución conver-

ja. Los tiempos en los tres casos estudiados son muy similares, lo que indica que una pequeña

variación en el número de modos no incrementa de manera significativa el coste computacio-

nal de la simulación. Un dato curioso es que la configuración con más modos es la más eficien-

te de las tres en términos de tiempo de cálculo, a pesar de que el número de variables es el

mayor y que el número de evaluaciones del residuo y de las matrices tangentes tampoco justi-

fican que el problema converja mejor que en el resto de casos, sino justo lo contrario. El uso de

las librerías de Lapack y BLAS podría ser la causa de este comportamiento ya que pueden op-

timizar el cálculo con matrices más grandes.

En las configuraciones con modos libres, por el contrario, es necesario realizar un número lige-

ramente mayor de evaluaciones de la matriz tangente. El número de evaluaciones del residuo

es por el contrario sustancialmente mayor que en las configuraciones obtenidas según el mé-

todo de Craig-Bampton. Ambos datos indican que el proceso tiene instantes en los que el pro-

ceso iterativo tarda más de lo deseado en converger o bien diverge en alguna situación. Ob-

servando la magnitud de los modos dinámicos de ambas configuraciones no se percibe un

problema de escalado, ya que los valores máximos y medios no son muy distintos en orden de

magnitud respecto a los obtenidos al fijar las uniones con los ejes de las ruedas. Por tanto,


160

parece más bien que el problema pueda estar originado o bien por la naturaleza propia de este

tipo de modos o bien por la elección del paso de integración.

Figura 5.23. Turismo con remolque. Desplazamiento trasversal del centro de gravedad del chasis.

Si se comparan los tiempos de integración se puede comprobar que los métodos más eficien-

tes, que son aquéllos cuyos modos se han calculado según las condiciones de contorno de

Craig-Bampton, suponen aproximadamente un 55-65% más de tiempo con respecto al caso de

sólido rígido. Al contrario que en ejemplos anteriores, en este modelo el incremento de varia-

bles del sistema multi-cuerpo al incorporar los modos de deformación no suponen un % tan

significativo que justifique por sí solo el alto coste computacional que indica este tiempo.

Tabla 5.4. Turismo con remolque. Tiempos y número de evaluaciones.

Ejemplo Nº de

modos


residuo

Nº Eval. matriz

tangente


Chasis Rígido 0 270.056 45.000 28,68

Craig-Bampton: 4 estáticos 4 270.098 45.000 41,37

Craig-Bampton: 4 est. + 4 din. 8 270.082 45.000 44,19

Craig-Bampton: 8 est. + 4 din. 12 270.590 45.002 40,75

Extremos libres: 5 din. 5 347.492 45.365 57,07

Extremos libres: 10 din. 10 2.239.696 46.874 338,67

Se ha realizado un análisis detallado de la evaluación del código utilizado para esta simulación

a través de la herramienta Intel VTune Analizer. En la Figura 5.24 puede comprobarse que cua-

tro de las cinco funciones de mayor coste computacional corresponden a funciones del sólido

flexible, funciones que conllevan casi el 35% del total de tiempo de integración.


161

Figura 5.24. Turismo con remolque. Coste computacional de la simulación con la configuración de ocho

modos estáticos y cuatro dinámicos según la configuración de Craig-Bampton.

Los datos de la Tabla 5.4 muestran los resultados numéricos de cada configuración para un

mismo paso de integración. Dicho intervalo de tiempo es válido en todos los casos, ya que

permite que el proceso de integración converja y dé resultados con una precisión similar. Sin

embargo, los casos con menos modos pueden ser calculados con pasos más grandes, lo que

permite obtener menores tiempos de resolución con idénticos resultados. La Tabla 5.5 mues-

tra los nuevos tiempos de cálculo y el número de evaluaciones necesario. En el caso del remol-

que rígido el tiempo es más de tres veces menor, mientras que los dos casos con menor núme-

ro de modos calculados según el método de Craig-Bampton también reducen significativamen-

te su coste computacional. Como contrapartida, cada iteración requiere un número mayor de

evaluaciones del residuo y de la matriz tangente. El caso con puntos frontera fijos y 12 modos,

así como el de modos dinámicos con puntos frontera libres, requieren el paso de integración

mostrado en la tabla anterior. El caso con 10 modos libres puede ser resuelto de manera más

eficiente reduciendo el paso de integración. Con ello se divide por tres el tiempo de integra-

ción y también el número de evaluaciones se reduce drásticamente.

Tabla 5.5. Turismo con remolque. Tiempos y número de evaluaciones con paso según configuración.

Ejemplo Nº de

modos

Paso de integración

(s)


residuo

Nº Eval. matriz

tangente

Tiempo de simulación

(s)

Chasis Rígido 0 0.001 101.584 15.212 9,09

Craig-Bampton: 4 estáticos 4 0.001 126.118 23.566 19,53

Craig-Bampton: 4 est. + 4 din. 8 0.0005 191.049 32.783 32,55

Craig-Bampton: 8 est. + 4 din. 12 0.00033 270.590 45.002 40,59

Extremos libres: 5 din. 5 0.00033 347.492 45.365 57,07

Extremos libres: 10 din. 10 0.00025 620.866 63.259 108.08


162

5.3 Comparación de los métodos de cálculo de los térmi-nos de inercia

Los resultados mostrados en los ejemplos considerados han sido obtenidos calculando los

términos de inercia según las expresiones mostradas en el 3.4. A pesar de haber independiza-

do dichos términos de la posición y velocidad de los nodos del mallado de elementos finitos, el

coste computacional del proceso es alto, sobre todo en los casos complejos con un gran núme-

ro de modos de deformación. En este Apartado se quieren analizar las tres propuestas para

evaluar la matriz tangente del proceso de integración planteado en el Capítulo 0. Por otra par-

te, se va a comparar el cálculo de los términos de inercia utilizada hasta el momento con la

formulación alternativa presentada en el Apartado 3.5 y las dos posibles simplificaciones plan-

teadas en el Apartado 3.6, analizando tanto el coste computacional como el grado de desvia-

ción que pueden presentar estas tres aproximaciones.

En cada uno de los cuatro ejemplos considerados se utilizará la configuración de modos que

tenga un mejor equilibrio entre el tiempo de resolución y la precisión del resultado:

Para el cuadrilátero articulado se va a considerar el caso en el que los modos han sido

calculados con el método de restricción según par, ya que es la configuración óptima y

la que presenta mejor balance de energía.

En el péndulo de cinco barras los tiempos de ejecución son muy similares en los casos

de Craig-Bampton y restricción según par y el movimiento global de las barras son muy

similares. Sin embargo, la primera configuración parece capturar de manera más efi-

ciente la energía elástica del sistema.

Los dos conjuntos de modos del vehículo de Fórmula Student más precisos son los que

consideran 24 y 48 modos estáticos. Dado que la diferencia en precisión es relativa-

mente pequeña, se escoge la primera configuración por ser la más eficiente en térmi-

nos de coste computacional.

Igualmente, en el caso del vehículo con remolque, la mejor relación entre precisión y

eficiencia corresponde al modelo que tiene cuatro modos estáticos y cuatro dinámicos

calculados según las condiciones de Craig-Bampton.

5.3.1 Evaluación de la matriz tangente

En el Apartado 5.3.1 se han planteado tres alternativas para evaluar la matriz tangente utiliza-

da en el proceso iterativo para resolver la integración de las ecuaciones de restricción: una

matriz aproximada que considera únicamente las derivadas de las fuerzas generalizadas res-

pecto a las variables y sus derivadas, el cálculo numérico mediante diferencias finitas y un

cálculo numérico basado en la estructura recursiva del sistema multi-cuerpo.

Los resultados numéricos mostrados en los ejemplos anteriores se han calculado utilizando la

primera aproximación. El programa escrito en Java ha sido implementado para realizar la com-

paración entre los tres métodos propuestos, por lo que los tiempos de simulación son mayo-

res. En la Tabla 5.6 se muestran los resultados utilizando cada una de las aproximaciones pre-

Comparación de los métodos de cálculo de los términos de inercia

163

sentadas. Dado que la implementación está realizada en Java, no es posible evaluar el ejemplo

del vehículo con remolque debido a que la máquina virtual de Java no permite trabajar con el

tamaño de las matrices de masas y rigideces según los nodos. Cada combinación ejemplo-

método utiliza el paso de integración que mejor tiempo de resolución ha dado sin sacrificar la

precisión de la simulación. En todos los casos el cálculo numérico de la matriz tangente permi-

te el uso de pasos de integración mayores y se reducen el número de evaluaciones del residuo

y del cálculo de dicha matriz tangente. Sin embargo el coste computacional que supone dicho

cálculo es muy superior al cálculo aproximado de la matriz tangente. El método recursivo pre-

senta mejores tiempos de resolución que el puramente numérico, pero los resultados son sus-

tancialmente peores que los obtenidos con la expresión aproximada. Llama la atención en

particular el caso del péndulo de cinco barras, en el que el efecto de las fuerzas externas no

debería ser tan relevante ya que únicamente depende de la gravedad y de las fuerzas de iner-

cia dependientes de la velocidad. Estas últimas no están incluidas en el cálculo aproximado.

Por tanto, parece evidente que lo importante para calcular las derivadas de las ecuaciones

dinámicas respecto a las variables y sus derivadas es obtener unas expresiones muy eficientes

desde el punto de vista computacional, aun sacrificando cierto grado de precición.

Tabla 5.6. Cálculo de la matriz tangente. Comparación de los métodos

implementados con sistemas flexibles.

Ejemplo Cálculo matriz

tangente


(ms)


residuo

Nº Eval. matriz

tangente


(s)

Cuadriátero articulado

Aproximado 5 5,298 2,400 3,56

Numérico 4,4 6.722 2.750 53,63

Recursivo 4,4 6.790 2.750 23,53


Aproximado 1,33 11,999 6,001 19,15

Numérico 2 11,016 4,001 254,48

Recursivo 2 11,001 4,001 204,48

Vehículo Fórmula Student

Aproximado 0.83 26,813 6.006 12,22

Numérico 1,20 17.888 4.000 77,71

Recursivo 1,20 18.563 4.000 37,65

Los procesos numéricos planteados hacen uso intensivo del cálculo del residuo. En los ejem-

plos mostrados en la Tabla 5.6, al ser sistemas con sólidos flexibles, los resultados obtenidos

dependen no sólo del cálculo propuesto de la matriz tangente, sino también del cálculo de los

términos de inercia. Tal como se ha podido comprobar en el análisis del código realizado para

el caso del vehículo con remolque, este cálculo supone un % importante del tiempo total de la

simulación.


164

Tabla 5.7. Cálculo de la matriz tangente. Comparación de los métodos implementados

con sistemas rígidos.


tangente


(ms)


residuo

Nº Eval. matriz

tangente


(s)


Aproximado 2,9 10.630 4.200 1,56

Numérico 3,5 8.734 3.400 1,69

Recursivo 3,5 8.734 3.400 1,65


Aproximado 5,33 3.242 1.500 0,77

Numérico 2,7 10.804 3.000 1,15

Recursivo 3 8.167 2.001 0,83


Aproximado 0,66 30.007 7.501 9,48

Numérico 1 20.000 5.000 47,02

Recursivo 2 11.654 2.501 8,92

Turismo con remolque

Aproximado 1 97.080 15.166 32,55

Numérico 2 46.473 7.852 53,88

Recursivo 2 45.481 7.780 21,52

La Tabla 5.7 muestra los resultados correspondientes a los mismos ejemplos pero en los que

todos los sólidos han sido modelados como rígidos. En general los métodos numéricos requie-

ren de pasos mayores y, consecuentemente, de un número menor de cálculos de la matriz

tangente y de evaluaciones del residuo. En los ejemplos pequeños los tiempos de cálculo son

muy similares. En cambio, para los dos vehículos los resultados son muy dispares: mientras

que el método puramente numérico supone un incremento importante del tiempo de integra-

ción en el caso recursivo es prácticamente igual o incluso mejor que el método aproximado.

5.3.2 Cálculo aproximado en los términos de inercia

El método propuesto en el Apartado 3.4 permite independizar los términos de inercia de las

posiciones y velocidades del mallado, que pueden calcularse usando 24 matrices constantes, la

posición y orientación del sistema de referencia local y las amplitudes de los modos de defor-

mación y sus derivadas respecto al tiempo. Sin embargo, tal como se ha podido comprobar en

los ejemplos anteriores, este cálculo supone un porcentaje muy relevante del tiempo de simu-

lación total, aun y cuando el número de sólidos flexibles sea muy reducido. Así por ejemplo, los

ejemplos del vehículo de Fórmula Student y el vehículo con remolque tienen un único cuerpo

Comparación de los métodos de cálculo de los términos de inercia

165

flexible y, sin embargo, más del 30% del tiempo total de la simulación corresponde a la evalua-

ción de los términos de dicho sólido.

Por tanto, resulta primordial reducir de manera significativa el coste computacional de todas

las funciones relacionadas con los sólidos flexibles. En particular el cálculo de los términos de

inercia consituye la parte más costosa de todo el proceso de cálculo. En este Apartado se quie-

re comparar el método original con el propuesto en el Apartado 3.5 que en términos generales

es prácticamente idéntico salvo en la evaluación del término de las fuerzas de inercia depen-

dientes de la gravedad correspondiente a las velocidades angulares del sistema inercial. En

este caso se ha considerado una aproximación a fin de reducir de manera significativa el nú-

mero de operaciones necesarias para su evaluación.

Adicionalmente se consideran las dos simplificaciones planteadas en esta Tesis: la descrita en

el Apartado 3.6.2, que utiliza una matriz de masas inconsistente calculada a partir únicamente

de las coordenadas Cartesianas del mallado, y la del Apartado 3.6.3, que hace uso de la matriz

de masas obtenida a partir de la matriz de masas concentradas (Lumped masses). La Tabla 5.8

muestra los resultados para cada método utilizando la regla trapezoidal y el cálculo de la ma-

triz tangente aproximada. Si bien se ha analizado la necesidad de variar el paso de integración,

los mejores resultados en términos de eficiencia para cada aproximación se han obtenido

manteniendo el mismo utilizado en el Apartado 5.3.1. Por tanto, los distintos métodos plan-

teados para la evaluación de los términos de inercia no plantean la necesidad de restringir el

paso de integración, ni tampoco permiten ampliarlo.

En casi todos los ejemplos los distintos métodos de evaluación de los términos de inercia ma-

netienen el número de evaluaciones del residuo y del cálculo de la matriz tangente en unos

valores muy similares. Solamente el caso del vehículo de Fórmula Student presenta una dismi-

nución significativa del número de evaluaciones del residuo. Dado que los tres métodos alter-

nativos al de las 24 Matrices conllevan de alguna manera ciertas aproximaciones, se esperaba

que el proceso de integración para dichos métodos fuera similar o ligeramente más costoso,

por lo que este caso resulta curioso.

En general se aprecia que los tres métodos alternativos suponen una mejora sustancial del

tiempo de cálculo sin afectar a los resultados obtenidos. El método inconsistente y el de masas

concentradas (lumped masses) arrojan datos prácticamente idénticos. Esto era de esperar ya

que el proceso de cálculo de la matriz de masas y el vector de fuerzas de inercia es casi idénti-

co, diferenciándose únicamente en que el cálculo con la matriz de masas concentradas incluye

en el cálculo dos términos adicionales poco significatios con respecto al del método inconsis-

tente. La gran ventaja del cálculo de masas concentradas está en el coste que supone el pre-

proceso para el cálculo de las matrices constantes de masas: mientras que en el método incon-

sistente se precisan un número de operaciones de O(nz), siendo nz en número de términos no

nulos de la matriz de masas, en el caso del cálculo de la matriz de masas concentradas el nú-

mero de operaciones está en función del número de filas o columnas de dicha matriz. Los re-

sultados medidos por el profile presentan una reducción del 40% en términos de tiempo de

cálculo.


166

Tabla 5.8. Cálculo los términos de inercia. Comparación de métodos propuestos.

Ejemplo Método Paso de

integración (ms)


residuo

Nº Eval. matriz

tangente


(s)


24 Matrices 3,33 7.455 3.600 2,17

Aproximado 3,33 7.450 3.600 2,01

Inconsistente 3,33 7.462 3.600 1,50

Lumped M. 3,33 7.442 3.600 1,58


24 Matrices 4 4.007 2.000 0,94

Aproximado 4 4.503 2.000 0,87

Inconsistente n.a. n.a. n.a. n.a.

Lumped M. 4 4.801 2.000 0,85


24 Matrices 0,83 27.254 6.000 6,23

Aproximado 0,83 27.158 6.000 6,05

Inconsistente 0,83 26.890 6.000 5,28

Lumped M. 0,83 26.892 6.000 5,02


24 Matrices 0,33 138.065 45.060 32,55

Aproximado 0,33 137,854 45.053 28,84

Inconsistente 0,33 137.653 45.060 24,61

Lumped M. 0,33 138.065 45.060 24,59

5.4 Integración de las ecuaciones dinámicas

En el Capítulo 4 se ha presentado un nuevo método de integración de las ecuaciones dinámi-

cas del sistema multi-cuerpo que permiten utilizar distintas fórmulas de integración. En este

Apartado se analiza la eficiencia de este método y el efecto de aplicar las fórmulas planteadas

en esta Tesis. Para ello se van a utilizar los mismos ejemplos planteados en el Apartado ante-

rior, con los modos calculados utilizando idénticas condiciones de contorno.


167

5.4.1 Comparación entre el método propuesto y el método de la Lagrangiana Aumentada

A lo largo del desarrollo de esta Tesis se ha puesto de manifiesto que la simulación de sistemas

multi-cuerpo con sólidos flexibles no permite integrar las ecuaciones dinámicas de manera

eficiente utilizando integradores explícitos de index-1. Con el fin de acercar los tiempos de

resolución al tiempo real se ha planteado una evolución del método de integración propuesto

por Yen (1993) en la que se utilizan las coordenadas independientes del sistema en el proceso

de iteración.

En este Apartado se desea comparar el método propuesto el método implícito de index-3 ba-

sado en la Lagrangiana Aumentada presentado por Cuadrado et al. (2000) para sistemas for-

mados por sólidos rígidos y extendidos posteriormente por Cuadrado et al. (2006 y 2007) a

mecanismos con sólidos flexibles. Esta evolución del método de la Lagrangiana Aumentada

que plantea las ecuaciones dinámicas en función de las posiciones, presentada por Bayo y Le-

desma (1996), plantea un único término de penalización en posiciones. La novedad principal

introducida por Cuadrado et al. (2000) consiste en corregir las velocidades y aceleraciones

utilizando la misma matriz tangente de la expresión anterior, con lo que únicamente es nece-

sario factorizar una matriz a lo largo de todo el proceso. Este método se ha mostrado particu-

larmente eficiente y robusto, por lo que supone un punto de referencia a partir del cual valorar

la eficiencia del planteado en esta Tesis.

En la Tabla 5.9 se muestran los resultados para tres ejemplos ejemplos de cadena cerrada

planteados, tanto en tiempo de ejecución como en número de evaluaciones de cada término.

Al igual que en las comparativas anteriores, se ha utilizado el mayor paso posible que permitie-

ra que el proceso de integración convergiera manteniendo la precisión de los resultados. En el

caso de la Lagrangiana Aumentada se ha utilizado un coeficiente de penalización de 1010. Este

valor es dos o tres órdenes de magnitud superior al que se suele utilizar para sistemas de sóli-

dos rígidos. En las pruebas realizadas ha sido necesario subir este parámetro a ese valor. Una

posible razón a este incremento es que en la matriz tangente el coeficiente de penalización se

superpone a la matriz de rigideces y, para los sistemas con sólidos flexibles de acero, los coefi-

cientes de dicha matriz tienen que puede rondar 107.

Como puede comprobarse los tiempos de integración de del método de la Lagrangiana Au-

mentada son superiores en todos los casos. La principal razón es que en cada iteración ha sido

necesario evaluar la matriz tangente, es decir, no es posible utilizar el método de Newton-

Raphson modificado, ya que según las pruebas realizadas el proceso con sólidos flexibles no

converge si no se re-evalúa dicha matriz con más frecuencia. Como consecuencia de esto no es

necesario evaluar el residuo, ya que es más eficiente calcularlo a partir de los términos utilza-

dos para la matriz tangente. Si bien el método de la Lagrangiana Aumentada no necesita pro-

yectar las ecuaciones sobre las variables independientes, lo que permite ahorrar la evaluación

de la matriz de proyección, esto no compensa en términos de tiempos de cálculo la necesidad

de calcular la matriz tangente.


168

Tabla 5.9. Comparación entre métodos de integración.


tangente


(ms)


residuo

Nº Eval. matriz

tangente


(s)

Cuadriátero

articulado

L. Aumentada 2,5 - 14.433 3,23

Coord. Indep 3,33 7.455 3.600 2,17

Vehículo Fórmula

Student

L. Aumentada 0.83 - 29.776 10,17

Coord. Indep 0,83 27.254 6.000 6,23

Turismo con

Remolque

L. Aumentada 0,25 - 214.866 61,27

Coord. Indep 0,33 138.065 45.060 30.01

5.4.2 Fórmulas de integración

La integración de los ejemplos considerados con el método propuesto en esta Tesis ha sido

realizada hasta el momento usando la regla trapezoidal, salvo en el caso del turismo con re-

molque en el que se ha utilizado el método híbrido TR-BDF2. En este Apartado se desea com-

parar las distintas fórmulas de integración planteadas en esta Tesis según el método propues-

to.

La Tabla 5.10 muestra los resultados de cada caso para cada integrador. Los mejores tiempos

se obtienen en las fórmulas de paso fijo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los resul-

tados obtenitos son consecuencia de multitud de tests para llegar a los mismos. La fórmula

más eficiente es la TR-BDF2 de paso fijo, que permite pasos de integración más grandes con

menor número de evaluaciones de la matriz tantente y de evaluaciones del residuo.

La fórmula BDF2 obtiene muy buenos tiempos de integración, siendo incluso mejores en algún

ejemplo que los obtenidos por el método híbrido TR-BDF2. Sin embargo, en este caso ha habi-

do pasos de integración en los que la solución converge pero en los que la energía sufre una

degradación importante. En general estas situaciones se han producido cuando hay cambios

bruscos de velocidad – en particular para el péndulo - o bien se han alcanzado puntos de bifur-

cación y bloqueo – en el cuadrilátero – por lo que parece que no es recomendable utilizar para

casos conservativos esta fórmula si no se utiliza una estimación del error de truncamiento y,

consecuentemente, paso de integración variable. El uso de la regla trapezoidal necesita unos

pasos de integración mayores y suele no arroja los mejores tiempos de simulación. Sin embar-

go, en las pruebas realizadas se ha mostrado como el más robusto casi con cualquier paso de

integración.

Comparación entre la implementación de Java y C++

169

Tabla 5.10. Integración de las ecuaciones dinámicas. Comparación de fórmulas de integración.

Ejemplo Fórmula de Integración


(ms)


residuo

Nº Eval. matriz

tangente


(s)


Regla Trapezoidal 3,33 7.455 3.600 2,17

BDF2 4 6.401 3.000 1,72

TR-BDF2 6 4.607 2.000 1,19

TR-BDF2 paso vble. Vble. 6.840 883 1,26


Regla Trapezoidal 4 4.942 2.000 0,94

BDF2 4 6.607 2.000 1,22

TR-BDF2 5,3 3.874 750 0,62

TR-BDF2 paso vble. Vble. 2.418 1.208 0,61

Vehículo Fórmula

Student


BDF2 0,62 32.056 8.000 6,91

TR-BDF2 0,83 27.254 6.000 5,64




BDF2 0,33 138.065 45.060 29,82

TR-BDF2 0.5 182.110 30.019 30,01


Si bien los resultados del método híbrido TR-BDF2 de paso variable son los más discretos hay

que resaltar que la integración demuestra ser muy robusta para todos los ejemplos considera-

dos durante el proceso de elaboración de esta Tesis. Además, no ha presentado problemas de

posible degradación de la energía del sistema multi-cuerpo a lo largo de la simulación, como se

han encontrado en BDF2.

5.5 Comparación entre la implementación de Java y C++

En esta Tesis se han realizado dos implementaciones de los métodos y formulaciones propues-

tas: una en Java y otra en C++. Este Apartado pretende analizar la diferencia entre el efecto de

usar ambos lenguajes. Dado que C++ permite integrar de manera sencilla distintas librerías de

cálculo numérico (Lapack, BLAS) y directivas de optimización para la compilación, éstas pueden


170

suponer a priori unos elementos diferenciales entre ambos lenguajes. En la Tabla 5.11 se

muestran los resultados de los ejemplos considerados utilizando Java y C++ sin hacer uso de

las librerías matemáticas mencionadas, y también la implementación haciendo uso de dichas

librerías.

Tabla 5.11. Comparación entre lenguajes de programación.

Ejemplo Implementación Tiempo de

simulación (s)


Java 4,37

C++ 2,33

C++ con Lapack y Blas 2,17


Java 8,16

C++ 1,00



Java 13,09

C++ 8,64



Java No disponible

C++ 52,33


Los tiempos de resolución que se muestran en la Tabla 5.11 indican claramente que la imple-

mentación en Java es menos eficiente que la de C++, lo cual se debe probablemente a la má-

quina virtual que utiliza y en la que se apoyan muchas de sus ventajas como la portabilidad.

Este lenguaje, que nació a mediados de los años 90, ha evolucionado creciendo en funcionali-

dades y capacidades. Si bien su uso se ha enfocado en arquitecturas cliente-servidor, también

es posible encontrarlo en multitud de aplicaciones de escritorio, como es el caso de Matlab.

Sin embargo no ha evolucionado en términos de eficiencia de la manera que se esperaba en su

momento. Si se comparan los resultados obtentidos por aquéllos presentados por Rodríguez

(2000) hace 15 años, la diferencia en eficiencia entre Java y C++ no sólo no se ha reducido sino

que ha aumentado. Esto indica que los compiladores de este último lenguaje han aprovechado

las últimas evoluciones de los procesadores actuales para exprimir al máximo una de sus mejo-

res cualidades: la eficiencia.

Comparación entre la implementación de Java y C++

171

La mejora de rendimiento de las librerías matemáticas utilizadas se pone de manifiesto en los

ejemplos más grandes, cosa totalmente previsible que ya había sido puesta de manifiesto por

otros autores utilizando distintas formulaciones y métodos de cálculo de las ecuaciones diná-

micas.

173

Capítulo 6

Conclusiones y futuras líneas

de investigación

El objetivo de esta Tesis ha sido la simulación de las ecuaciones dinámicas de sistemas multi-

cuerpo con sólidos flexibles, con pequeñas deformacione,s en tiempos cercanos al tiempo real.

Los resultados obtenidos demuestran que la metodología planteada en esta Tesis sí permite

llegar a muy buenos tiempos de resolución incluso con ejemplos complejos utilizando una pla-

taforma modesta como es un PC portátil de hace cuatro años. En este Capítulo se plantean las

principales conclusiones de todos los aspectos tratados a lo largo de todo el desarrollo de Te-

sis.

6.1 Conclusiones

6.1.1 Conclusiones sobre la formulación semi-recursiva para me-canismos flexibles y la selección de modos de deformación

En esta Tesis se ha presentado un método semi-recursivo para el cálculo de las ecuaciones

dinámicas de sistemas con sólidos flexibles basado en métodos topológicos.

1. El método planteado permite combinar de manera sencilla los sólidos rígidos y flexi-

bles. Las amplitudes de los modos de deformación pueden tratarse de una manera

muy similar a las coordenadas relativas de los pares. El proceso de cálculo es más efi-

ciente si se consideran las condiciones de contorno de Craig-Bampton, ya que permite

aprovechar mejor la topología del mecanismo al independizar las distintas ramas del

árbol topológico según los modos de deformación estáticos en cada par.

2. Los métodos recursivos calculan los términos de las ecuaciones dinámicas en cascada

siguiendo el árbol topológico del sistema multi-cuerpo. Esto permite utilizar imple-

mentaciones recursivas muy eficientes. Sin embargo, esta formulación dificulta de ma-

nera importante el aprovechamiento de los procesadores multi-core que ejecutan dis-

tintos procesos en paralelo. El uso de estas técnicas no resulta eficiente incluso con

modelos complejos.

Conclusiones y futuras líneas de investigación

174

3. La flexibilidad en vehículos puede constituir un efecto relevante que hay que tener en

cuenta en un amplio rango de simulaciones, como por ejemplo la propia conducción

del vehículo. Sin embargo, la consideración de qué cuerpo debe considerarse rígido o

flexible dependerá del efecto que se quiera estudiar y en ocasiones apenas influirá en

el movimiento global del sólido considerado y, por el contrario, puede incrementar

sustancialmente el coste computacional.

4. Las condiciones de contorno constituyen un elemento importante a tener en cuenta

en el cálculo de los modos de deformación de los elementos flexibles. Los ejemplos

analizados demuestran que cuando se considera un número suficientemente alto de

modos los cálculos tienden a converger al mismo resultado. Sin embargo, una correcta

definición de las condiciones de contorno permite utilizar un conjunto sensiblemente

menor de modos para obtener resultados muy cercanos a los correctos, con lo que se

gana en coste computacional. Por el contrario, un conjunto demasiado pequeño y mal

seleccionado de modos puede llevar a resultados erróneos, en el sentido de que se en

el movimiento aparecen efectos contrarios a los que se muestran con un conjunto

adecuado.

5. En el proceso de selección de modos es necesario descartar los modos que puedan ser

combinación lineal de otros, pero también aquellos otros que puedan tener una de-

formación similar al movimiento permitido por el par que une el sólido flexible con

otros cuerpos, o a una combinación de éstos y el resto de modos de deformación. Una

segunda ortogonalización de los modos tal como utiliza MSC Adams, si bien no asegura

prevenir el problema de redundancia con el movimiento de pares, sí genera un conjun-

to ortogonal de modos con unas matrices de forma que raramente suelen coincidir

con el desplazamiento de dichos pares.

6. La utilización de modos no ortogonales puede generar ciertas deformaciones de alta

frecuencia que no afectan significativamente al movimiento del sólido flexible, pero

que sí pueden realentizar el proceso de integración.

7. En sólidos flexibles unidos a un número significativo de elementos, como puede ser el

caso delchasis de un vehículo, los modos dinámicos obtenidos según el método de

Craig-Bampton apenas introducen deformaciones que afecten de manera relevante al

movimiento del sistema multi-cuerpo.

8. Frecuentemente es necesario realizar un cierto escalado de los modos de deforma-

ción. Esto se debe a que en esas ocasiones hay una gran diferencia de magnitud entre

los modos estáticos y dinámicos. Esto genera un problema en el que los modos con

mayores amplitudes no aportan al sólido flexible deformación alguna. Por otra parte,

en los modos calculados con extremos libres se pueden generar amplitudes cuya mag-

nitud puede resultar demasiado grande en ciertas coordenadas, con lo que se generan

problemas numéricos que pueden dificultar o realentizar el proceso de integración.

Conclusiones

175

6.1.2 Conclusiones sobre el cálculo de los términos de inercia

El cálculo de los términos de inercia constituye un elemento clave en el proceso de simulación

ya que, como se ha demostrado en esta Tesis, conlleva un elevado porcentaje del tiempo de

cálculo.

1. Se ha implementado un proceso que libera dicho cálculo de la necesidad de evaluar

todas las posiciones y velocidades de los nodos del mallado de elementos finitos. Sin

embargo, por sí mismo este método puede no mejorar suficientemente la eficiencia en

mecanismos complejos, ya que puede suponer un % de tiempo de cálculo elevado aun

considerando un número moderado de sólidos flexibles.

2. Las dos aproximaciones planteadas –utilizar una matriz calculada a partir de considerar

únicamente las coordenadas Cartesianas y el uso de matrices de masas concentradas–

permiten una reducción importante en los tiempos de ejecución sin sacrificar la preci-

sión de los resultados. Esto parece indicar que no es necesario calcular de manera

exacta los términos de inercia para obtener resultados válidos en el proceso de simu-

lación.

3. En esta Tesis se ha puesto especial énfasis en la obtención de los datos del sólido flexi-

ble a partir de cálculos sencillos o bien directamente de aplicaciones MEF. En este sen-

tido el uso de la interpolación no consistente para velocidades permite utilizar direc-

tamente la matriz de masas en vez de tener que desarrollar los términos de inercia a

partir de las distintas funciones de interpolación propias de cada tipo de elemento. De

esta forma se aprovecha todo el potencial de los programas MEF para el mallado y de-

finición de los elementos finitos. La integración de estos datos es muy sencilla.

4. Se ha optimizado en la medida de lo posible el proceso de cálculo durante la integra-

ción de las ecuaciones diferenciales del movimiento. Sin embargo, el preproceso que

se ha de realizar para calcular las matrices constantes necesarias para evaluar los tér-

minos de inercia pueden suponer un coste significativo a la hora de considerar sólidos

flexibles con grandes mallados.

6.1.3 Conclusiones sobre la integración de las ecuaciones dinámi-cas

En esta Tesis se ha presentado un método implícito de index-3 basado en la proyección de las

ecuaciones dinámicas sobre las variables independientes del sistema multi-cuerpo. Los resul-

tados obtenidos permiten conseguir buenos tiempos de resolución con pasos de integración

razonablemente altos. Las conclusiones más significativas obtenidas son las siguientes:

1. La resolución de sistemas multi-cuerpo con sólidos flexibles con métodos de integra-

ción de index-1 no resulta viable en términos de coste computacional, tanto con inte-

gradores sencillos como usando librerías de integración con fórmulas de paso y orden

variable. Esto va en línea con la tendencia de gran parte de los autores estudiados en


176

la revisión bibliográfica, que tienden a utilizar métodos en los que se combinan las

ecuaciones dinámicas con fórmulas implícitas de integración de index-3.

2. El método planteado resulta ser particularmente eficiente tanto para sistemas forma-

dos por sólidos rígidos como flexibles, en comparación a otros sistemas de resolución

utilizados actualmente. Al no introducir términos de penalización no plantea proble-

mas en el condicionamiento numérico de la matriz tangente.

3. Dado que el método desarrollado realiza un proceso en el que es necesario un gran

número de evaluaciones del residuo de las ecuaciones dinámicas, es preciso que dicho

proceso esté muy optimizado para no comprometer el rendimiento de la integración

de las ecuaciones dinámicas.

4. Los ejemplos estudiados han demostrado que no es necesario realizar un cálculo muy

exacto de la matriz tangente, tal como ya demostraron Rodríguez (2000) y Dopico

(2003) para sistemas formados por sólidos rígidos. Sin embargo, conforme más exacta

es dicha matriz menor es el número de iteraciones necesarias en cada paso. En este

caso incluso es posible utilizar pasos de integración mayores. Por tanto es necesario

establecer un proceso de cálculo que permita equilibrar ambos factores para obtener

un menor tiempo de cálculo. El método numérico planteado en esta Tesis, que calcula

dicha matriz por diferencias finitas aprovechando la topología del mecanismo, permite

combinar ambos efectos y libera al desarrollador de la necesidad de calcular la deriva-

da de las fuerzas generalizadas, lo que en algunas ocasiones es difícil de realizar.

5. En particular, para los sólidos flexibles se ve necesario introducir algún tipo de amorti-

guamiento numérico que permita eliminar las frecuencias espúreas que puedan surgir

por la aparición de sólidos flexibles con rigideces altas. En ese sentido, el método hí-

brido TR-BDF2 planteadado en esta Tesis, que es L-estable e introduce cierto grado de

amortiguamiento, parece aprovecharse de esta característica para obtener mejores

resultados que el resto de integradores.

6. Los resultados obtenidos permiten deducir que las estrategias de paso fijo que no usan

los datos de pasos anteriores son más eficientes. Las fórmulas utilizadas en esta Tesis

son la regla trapezoidal y el método híbrido TR-BDF2. En particular, la segunda fórmula

es más eficiente en términos generales ya que permite usar pasos de integración ma-

yores, lo que conlleva un menor número de evaluaciones de la matriz tangente y del

residuo.

7. El uso del método de Newton-Raphson modificado, esto es, no tener que evaluar y

factorizar la matriz tangente en cada iteración, es fundamental a la hora de mejorar la

eficiencia del proceso iterativo del proceso de integración. El uso de una estrategia

que permita decidir cuándo se ha de recalcular la matriz tangente o cuándo proseguir

con el proceso realizando una nueva iteración resulta fundamental para establecer un

proceso eficiente que conlleve el menor tiempo de cálculo posible.

Futuras líneas de investigación

177

8. La introducción de técnicas de paso variable permite obtener un método cómodo y

robusto de integración. Sin embargo, la estrategia utilizada en esta Tesis en función del

error de truncamiento conlleva un incremento en el tiempo de cálculo que no es des-

preciable.

6.2 Futuras líneas de investigación

En vista de los resultados y conclusiones obtenidas a lo largo del desarrollo de esta Tesis se

plantean las siguientes nuevas líneas de investigación:

1. Cuando se inició esta Tesis se planteó la combinación de la formulación RTDyn1 plan-

teada por Jiménez (1993) con la modelización del sólido flexible según un sistema de

referencia flotante y síntesis modal. De esta forma se buscaba aunar un método para

el cálculo eficiente de las ecuaciones dinámicas con un número mínimo de paráme-

tros. Sin embargo, durante el desarrollo de la Tesis ha adquirido especial relevancia el

cálculo de los términos de inercia. Por tanto, parece interesante utilizar el método al-

ternativo RTDyn0, que calcula las ecuaciones en función del sistema de referencia local

definido en cualquier punto, en vez de hacerlo respecto al origen del sistema inercial.

De esta manera es posible utilizar sistemas de referencia tipo Bückens/Tisserand y po-

der considerar por separado los términos de inercia según las coordenadas en el sis-

tema local y las correspondientes a los modos de deformación.

2. Una evolución natural del método de integración planteado en esta Tesis sería combi-

narlo con las fórmulas de Newmark y de Hilber-Hughes-Taylor. En ambos casos sería

necesario realizar algunos cambios en las fórmulas planteadas. En el caso de HHT,

además, es necesario considerar el valor ponderado de las fuerzas generalizadas entre

dos pasos consecutivos.

3. La incorporación de la estrategia de paso variable mejora la robustez del método de

integración. Sin embargo, los resultados obtenidos indican que los criterios utilizados

llevan a un paso excesivamente conservador en un amplio rango de situaciones. Sería

conveniente analizar en detalle qué factores se han de tener en cuenta y cómo depu-

rar dicha estrategia a fin de poder incrementar su eficiencia.

4. El método de integración ha planteado el proceso iterativo en función de la variación

en la posición de las coordenadas y las amplitudes de los modos. Una posible alterna-

tiva podría ser expresar dicho proceso en función de las aceleraciones, tal como está

implementado en MSC Adams para sólidos flexibles (Negrut et al., 2007). Según los re-

sultados presentados por Cuadrado et al. (1997) para la formulación de la Lagrangiana

Aumentada, esta alternativa suele ser más robusta pero menos eficiente. Cardenal et

al. (1999) proponen incluso una estrategia que alterna entre los métodos iterativos

basados en posiciones o aceleraciones considerando el tamaño de paso y la conver-

gencia del proceso de integración. Sería conveniente analizar este problema para el

método planteado y estudiar en profundidad las posibles estrategias a utilizar.


178

5. El desarrollo de modelos con sólidos flexibles y síntesis modal permite una simulación

eficiente. Sin embargo, existen muchos casos en los que es necesario establecer una

relación entre los distintos sólidos más compleja que la que representan los pares ha-

bitualmente utilizados en la simulación de sistemas rígidos. Sería deseable desarrollar

modelos de contacto compatibles con modos de deformación y que no supongan un

incremento sustancial en el coste computacional de la simulación.

179

Capítulo 7

Referencias

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