simulacion de un brazo antropomorfico con muñeca esferrica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Mecánica

Simulación de un Brazo Antropomórfico con Muñeca Esférica 6 GDL

William Branther Jiménez Mejía 20107032A Jaspers W. Huanay Quispe 20094523G

Henry NimbomaVillafuerte 20091017C

Dynamic of Systems MultiBody

Prof: Ing. José Machuca Mines.

Lima - Peru

Simulación de un Brazo Antropomórfico con Muñeca Esférica 6 GDL

Simulación de un brazo Antropomórfico con Muñeca Esférica 6 GDL

Resumen:

En este trabajo, se presenta la simulación cinemática de brazo antropomórfico con muñeca esférica 6 GDL. El mecanismo tiene una configuración mecánica de cuatro vínculos con cadena cinemática del tipo rotacional. Los vínculos están unidos consecutivamente. Para el modelado de cinemática directa se emplea lasecuaciones vectoriales. En el documento, se presentan la cinemática yel simulador respectivo construido para el estudio de sus características de movimiento. Finalmente, se presentan las graficas respectivas delcomportamiento del mecanismo obtenidas en Matlab y la simulación respectiva en SolidWorks.

Palabras Clave–Cinemática, simulación, brazo antropomórfico

Abstract:In this paper, we present the kinematics and simulation of an anthropomorphic arm with spherical wrist 6 DOF. The mechanism has a mechanical configuration of four-link and kinematic chain rotational type. The links are connected consecutively. For the direct kinematic model uses the vector equations. In this paper we present the kinematic and its simulator for the study of their characteristics of movement. Finally, we present the graphs for the behavior of the mechanism obtained in Matlab and SolidWorks the respective simulation.

Keywords–Kinematic, simulation, anthropomorphic arm

1 Introducción

Dynamic of Systems MultiBody Página 2


Seis grados de libertad (6DoF son el acrónimo de las palabras inglesas "Sixdegrees of freedom") se refiere al movimiento en un espacio tridimensional, es decir, la capacidad de moverse hacia delante/atrás, arriba/abajo, izquierda/derecha (traslación en tres ejes perpendiculares), combinados con la rotación sobre tres ejes perpendiculares (Guiñada, Cabeceo, Alabeo). El movimiento a lo largo de cada uno de los ejes es independiente de los otros, y cada uno es independiente de la rotación sobre cualquiera de los ejes, el movimiento de hecho tiene seis grados de libertad.

Los brazos de un Robot, a menudo son categorizados por sus grados de libertad (por lo general más de seis grados de libertad). Este número generalmente se refiere al número de un solo eje de rotación de las articulaciones en el brazo, donde un mayor número indica una mayor flexibilidad en posicionar una herramienta. Esta es una métrica muy práctica, en contraste a la definición abstracta de los grados de libertad, que mide la capacidad global de posicionamiento de un sistema. DeanKamen, inventor del Segway, presentó recientemente un prototipo de un brazo robótico con 21 grados de libertad para DARPA. Los robots humanoides suelen tener 30 o más grados de libertad, con seis grados de libertad en el brazo, cinco o seis en cada pierna, y varios más en el torso y el cuello.

Seis grados de libertad también es un estilo de jugabilidad donde amenudo no existe la gravedad, y los jugadores son libres de moverse en cualquier dirección tridimensional.

2 Descripción del mecanismo

El mecanismo de análisis se muestra en la figura 1. El mecanismo consta de una base fija a la que va unido el 1er elemento que es un cilindro, los siguientes vínculos están unidos en articulaciones angulares.

Fig. 1. Brazo Antropomórfico con muñeca esférica de seis grados de libertad


http://es.wikipedia.org/wiki/Robot

http://es.wikipedia.org/wiki/DARPA

http://es.wikipedia.org/wiki/Segway

http://es.wikipedia.org/wiki/Dean_Kamen

http://es.wikipedia.org/wiki/Grados_de_libertad_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_navegaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_navegaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Traslaci%C3%B3n_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional


Para nuestro sistema se le ha asignado las medidas siguientes, el 1er elemento es de longitud L1, el siguiente vinculo es de longitud L2, el siguiente vínculo es un elemento rotacional de longitud L3, el último vinculo es también rotacional y de longitud L4, los puntos de análisis son el punto P y P0 como se muestra en la figura 2.

Fig. 2. Dimensiones del Brazo Antropomórfico con muñeca esférica de seis grados de libertad

3 Geometría del robot

L1=0.8

L2=0.7

L3=0.9

L4=0.8



4 Modelado Cinemático

Para el modelado cinemático del mecanismo, para el caso de la posición directa se emplean dos métodos la representación matricial de Denavit-Hartemberg (D-H) y las ecuaciones vectoriales. Como una solución al objeto de análisis empezamos por darle valores a las velocidades angulares que vendrían hacer los parámetros “q” al mismo tiempo ya que nuestro sistema es un brazo de 6 gdl y todas rotacionales.

q1=sin(t)*pi/8;

q2=pi/3+sin(t)*pi/20;

q3=pi/6-sin(t)*pi/4;

q4=t.*pi/8;

q5=pi/2+sin(t)*pi/20;

q6=pi/4+t.^2*pi/20;

desde t=[0:0.01:6];



Formulación de cinemática directa usando la representación matricial de Denavit-Hartemberg (D-H)

En la siguiente tabla se muestra los parámetros del sistema:

i ai α i di θi

1 0 π /2 L1 θ 12 L2 0 0 θ 23 0 π /2 0 θ 34 0 π /2 L3 θ 45 0 π /2 0 θ 56 0 0 L4 θ 6

Usando el siguiente código en matlab para el cálculo de las matrices de transformación del sistema de referencia X k Y k Z k respecto del sistema de referencia X k−1Y k−1 Zk−1

function CinematicaPosicionDirecta%Cinemática Posición usando D-Hclcclear allclose allsyms L1 L2 L3 L4 tsyms q1 q2 q3 q4 q5 q6%Valores angulares q% q1=sin(t)*pi/8;% q2=pi/3+sin(t)*pi/20;% q3=pi/6-sin(t)*pi/4;% q4=t.*pi/8;% q5=pi/2+sin(t)*pi/20;% q6=pi/4+t.^2*pi/20;%Parámetros del Sistemaa= [0 L2 0 0 0 0];al=[pi/2 0 pi/2 pi/2 pi/2 0];d=[L1 0 0 L3 0 L4];th=[q1 q2 q3 q4 q5 q6];MTH=1;% MTH=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;...% 0 0 0 1];for i=1:6 if al(i)==pi/2; T=[cos(th(i)) 0 1*sin(th(i)) a(i)*cos(th(i));... sin(th(i)) 0 -1*cos(th(i)) a(i)*sin(th(i));... 0 1 0 d(i); 0 0 0 1]; else T=[cos(th(i)) -cos(al(i))*sin(th(i)) sin(al(i))*sin(th(i)) a(i)*cos(th(i));... sin(th(i)) cos(al(i))*cos(th(i)) -sin(al(i))*cos(th(i)) a(i)*sin(th(i));... 0 sin(al(i)) cos(al(i)) d(i); 0 0 0 1]; end TH=T; MTH=MTH*TH;endTH;MTH %matriz total de transformacionP=MTH(1:3,[4]) %posicion



th=[q1 q2 q3 q4 q5 q6];J=jacobian(P,th) %Jacobiano end

Se obtienen:

T 01=[cos (q1) 0 sin(q 1) 0

sin(q 1) 0 −cos (q1) 00 1 0 L 10 0 0 1

]T 1

2=[cos (q2) −sin(q 2) 0 L 2∗cos (q 2)sin (q 2) cos (q2) 0 L 2∗sin (q2)

0 0 1 00 0 0 1

]T 2

3=[cos (q3) 0 sin(q 3) 0sin (q 3) 0 −cos(q 3) 0

0 1 0 00 0 0 1

]T 3

4=[cos(q 4 ) 0 sin(q 4) 0sin(q4) 0 −cos (q4 ) 0

0 1 0 L30 0 0 1

]T 4

5=[cos(q 5) 0 sin(q5) 0sin(q5) 0 −cos (q 5) 0

0 1 0 00 0 0 1

]T 5

6=[cos (q 6) −sin(q6) 0 0sin(q 6) cos (q 6) 0 0

0 0 1 L 40 0 0 1

]La matriz de transformación Total es una expresión muy grande por la que no se mostrará en este trabajo, pero se puede observar ejecutando el programa en matlab (el archivo CinematicaPosicionDirecta.m que se adjunto en el CD)

De la matriz de transformación total se obtiene la posición:



P=[L 4∗(sin (q5)∗(sin(q 1)∗sin(q 4)+cos (q 4)∗(cos (q1)∗cos(q 2)∗cos (q 3)– cos (q 1)∗sin (q 2)∗sin(q 3)))– cos (q 5)∗(cos (q 1)∗cos (q2)∗sin(q3)+cos (q 1)∗cos(q3)∗sin(q 2)))+L 3∗(cos (q1)∗cos(q 2)∗sin(q 3)+cos(q1)∗cos (q 3)∗sin (q 2))+L 2∗cos (q 1)∗cos(q 2)L3∗(cos(q2)∗sin(q1)∗sin(q 3)+cos (q 3)∗sin(q 1)∗sin(q 2))– L 4∗(sin(q 5)∗(cos (q1)∗sin (q 4)+cos (q 4 )∗(sin(q 1)∗sin(q 2)∗sin(q 3)−cos(q2)∗cos (q3)∗sin (q1)))+cos (q 5)∗(cos (q2)∗sin (q1)∗sin(q3)+cos(q3)∗sin (q1)∗sin(q2)))+ L2∗cos (q2)∗sin(q1)

L 1 – L3∗(cos(q2)∗cos (q3)– sin(q 2)∗sin(q 3))+L 4∗(cos (q5)∗(cos (q 2)∗cos (q 3) – sin (q 2)∗sin (q 3))+cos(q 4)∗sin(q 5)∗(cos (q 2)∗sin(q 3)+cos (q 3)∗sin(q2)))+L 2∗sin(q 2) ]Cálculo de la posición usando ecuaciones Vectoriales:

Para el cálculo por el método vectorial se trabajará con los siguientes datos:

Ángulos iniciales (Punto inicial t=0)

q 1=0 ;q 2=π /3 ;q 3=π /6 ;q 4=0 ;q 5=π /2;q 6=π /4 ;

Pinicial =

1.2500 0 2.2062

ángulos finales (t= 6)

q1=-0.1097;q2=1.0033;q3=0.7431;q4=2.3562;q5=1.5269;q6=6.4403;

Pfinal =

1.2567 -0.7070 0.9849

Para este cálculo se implemento el siguiente código en matlab

function CinematicaDirecta%Cinemática directa de Posiciónclcclear allclose all



syms L1 L2 L3 L4 t%Definimos los valores de los "q" a utilizarq1=sin(t)*pi/8;q2=pi/3+sin(t)*pi/20;q3=pi/6-sin(t)*pi/4;q4=t.*pi/8;q5=pi/2+sin(t)*pi/20;q6=pi/4+t.^2*pi/20;%Parámetros de Denavit Hartenberga= [ 0 L2 0 0 0 0];al=[ pi/2 0 pi/2 pi/2 pi/2 0];d=[ L1 0 0 L3 0 L4];th=[q1 q2 q3 q4 q5 q6];for k=1:6 if al(k)==pi/2; T=[cos(th(k)) 0 1*sin(th(k)) a(k)*cos(th(k));... sin(th(k)) 0 -1*cos(th(k)) a(k)*sin(th(k));... 0 1 0 d(k); 0 0 0 1]; else T=[cos(th(k)) -cos(al(k))*sin(th(k)) sin(al(k))*sin(th(k)) a(k)*cos(th(k));... sin(th(k)) cos(al(k))*cos(th(k)) -sin(al(k))*cos(th(k)) a(k)*sin(th(k));... 0 sin(al(k)) cos(al(k)) d(k); 0 0 0 1]; end if k==1 T01=T; elseif k==2 T12=T; elseif k==3 T23=T; elseif k==4 T34=T; elseif k==5 T45=T; else T56=T; endendT06=((((T01*T12)*T23)*T34)*T45)*T56;P0=(T06(1:3,4));P0x=P0(1);P0y=P0(2);P0z=P0(3);%Calculo de la velocidad y aceleración : Método vectorialT05=(((T01*T12)*T23)*T34)*T45;P=T05(1:3,4); T02=T01*T12;T03=T01*T12*T23;T04=T01*T12*T23*T34; w1=[0 0 1]';w=horzcat(w1,T01(1:3,3),T02(1:3,3),T03(1:3,3),T04(1:3,3),T05(1:3,3));qprima=diff([q1;q2;q3;q4;q5;q6]);W=w*qprima;u=P0-P;v=diff(P)+cross(W,u);ac=diff(diff(P))+cross(diff(W),u)+cross(W,cross(W,u));L1=0.8;L2=0.7;



L3=0.9;L4=0.8;t=[0:0.01:6];P0=eval(P0);P0x=eval(P0x);P0y=eval(P0y);P0z=eval(P0z);vx=v(1);vy=v(2);vz=v(3);v=eval(v);vx=eval(vx);vy=eval(vy);vz=eval(vz);acx=ac(1);acy=ac(2);acz=ac(3);ac=eval(ac);acx=eval(acx);acy=eval(acy);acz=eval(acz);%Figura 1::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::figure(1)% Graficas correspondientes a las posiciones respecto del tiemposubplot(331);plot(t,P0x);grid on;title('t VS P0x');subplot(332);plot(t,P0y);title('t VS P0y');grid on;subplot(333);plot(t,P0z);title('t VS P0z');grid on;% Graficas correspondientes a las velocidades respecto del tiemposubplot(334);plot(t,vx,'r');grid on;title('t VS vx');subplot(335);plot(t,vy,'r');title('t VS vy');grid on;subplot(336);plot(t,vz,'r');title('t VS vz');grid on;%Graficas correspondientes a las acelearciones respecto del tiemposubplot(337);plot(t,acx,'m');grid on;title('t VS ax');subplot(338);plot(t,acy,'m');title('t VS ay');grid on;subplot(339);plot(t,acz,'m');title('t VS az');



grid on; %Figura 2:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::figure(2)plot3(P0x,P0y,P0z,'b')xlabel('Px');ylabel('Py');zlabel('Pz');title('trayectoria del punto P0 del robot');grid on %Figura 3::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::figure(3)plot3(vx,vy,vz,'r')xlabel('vx');ylabel('vy');zlabel('vz');title('velocidad del punto P0 del robot');grid on %Figura 4::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::figure(4)plot3(acx,acy,acz,'m')xlabel('ax');ylabel('ay');zlabel('az');title('aceleración del punto P0 del robot');grid on %Figura 5::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::figure(5)subplot(231)plot(t,eval(q1))title('t vs q1')grid onxlabel('t');ylabel('q1');subplot(232)plot(t,eval(q2))title('t vs q2')grid onxlabel('t');ylabel('q2');subplot(233)plot(t,eval(q3))title('t vs q3')grid onxlabel('t');ylabel('q3');subplot(234)plot(t,eval(q4))title('t vs q4')grid onxlabel('t');ylabel('q4');subplot(235)plot(t,eval(q5))title('t vs q5')grid onxlabel('t');ylabel('q5');subplot(236)plot(t,eval(q6))title('t vs q6')grid onxlabel('t');ylabel('q6');end



A continuación se obtienen los siguientes resultados, que se pueden comprobar ejecutando el archivo CinematicaDirecta.m en matlab:

Resultados

Fig. 3. Posición, Velocidad y Aceleración en función del tiempo, para la entrada de “q” que definimos



Fig. 4. Trayectoria del punto P0 para del Brazo Antropomórfico con muñeca esférica de seis grados de libertad

Fig. 5. Velocidad del punto P0 para del Brazo Antropomórfico con muñeca esférica de seis grados de libertad



Fig. 6. Aceleración del punto P0 para del Brazo Antropomórfico con muñeca esférica de seis grados de libertad

Fig. 7. Entrada de los variables angulares “q” para del Brazo Antropomórfico con muñeca esférica de seis grados de libertad



5 Simulador Cinemático

Se uso la herramienta solidworks, en el CD se adjunto el archivo en SolidWorks, para una mejor visualización.



Conclusiones

La para la localización de una posición en el espacio, se emplea la cinemática directa.Se desarrollo la simulación cinemática directa de un mecanismo de seis grados de libertad.Se desarrollo la simulación cinemática del mecanismo 6 GDLaplicando la metodología aprendida en clase por D-H y ecuaciones vectoriales. El modelo cinemático obtenido nos ayuda a tener una idea del movimiento del sistema.Para resolver el modelo cinemático se uso la herramienta MatLab. Se simuló el modelo en ambiente de SolidWorks, corroborandoel comportamiento del mecanismo así como sus características mecánicas y cinemáticas.



Referencias

[1] Paul, Richard P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.[2]Craig, John J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, Addison-Wesley, 1986.


simulacion de un brazo antropomorfico con muñeca esferrica

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