SIMULACION DE SISTEMAS

Tema 5

Indice

Concepto de SimulacionEcuaciones ODE y DAEMétodos Numéricos de Resolución Métodos Numéricos en MATLAB-SIMULINKMétodos Numéricos en MODELICAEl entorno de simulación SIMULINKEL entorno de simulación MODELICA

Concepto de Simulación

La técnica de simulación comprende una extensa colección de métodos y aplicaciones cuyo objetivo es la reproducción del comportamiento real de un sistema, usualmente sobre un computador digitalcon software apropiado.

La simulación por computador estudia una amplia variedad de modelos de sistemas reales aplicando técnicas numéricas, creando un modelo computerizado del sistema bajo estudio, con el fin de ejecutar experimentos que permitan mejorar el conocimiento del comportamiento del sistema bajo un conjunto de condiciones de trabajo.

Concepto de Simulación

Concepto de Simulación

Pasos en estudio de simulación

Concepto de Simulación

Los sistemas en tiempo continuo habrán de ser sometidos a un proceso de discretización que transforme las ecuaciones diferenciales que los gobiernan en ecuaciones discretas,

Para ello utilizan los métodos numéricos de integración, cuyo objeto es la sustitución de las derivadas de las variables del sistema por expresiones aproximadas.

Ecuaciones ODE y DAE

Modelado de Sistemas dinámicos conduce a ecuaciones dinámicas de dos tipos:

1. Ecuaciones ODE

en forma explicita, f no lineal en general.

0)0( ),( xxtxfdtxd

==

Motor de CC

Ecuaciones ODE y DAE

2. Ecuaciones DAE

en forma implicita, F no lineal en general.

Ecuaciones ODE caso particular de ecuaciones DAE,

En general si existe

Ground1

R=R

1

Resistor1

C=C

1

Capacitor1

C=C

2

Capacitor2

SignalVoltag... R=R2

Resistor2

0)0( 0),,( xxtdtxdxF ==

Circuito Eléctrico

),( entonces , txgdtxd

xF

=∂∂

Ecuaciones ODE y DAE

Es habitual encontrar sistemas físicos definidos por DAE’s.Diferentes tipos de ecuaciones DAE: I. DAE Implicita Lineal (Cuasi-Lineal)

II. DAE en forma de Perturbación Singular

Ecuaciones ODE y DAE

III. DAE Semiexplícita

caso particular de II con ε = 0.

IV. DAE Lineal

Ecuaciones ODE y DAE

Para el caso general

el indice diferencial es el numero de derivaciones requeridas para obtener la solución en forma de ODE explicita

Para obtener es necesario derivar m veces la DAE.z&

Ecuaciones ODE y DAE

El indice diferencial indica la dificultad en la resolución de la DAE.

Para el caso semiexplícito se puede también obtener la solución en forma de ODE explicita en función del indice diferencial

1. Indice m = 0

Resolución directa de la DAE que es en realidad una ODE

Ecuaciones ODE y DAE

2. Indice m = 1

Derivando una vez

y en caso de que sea regular

Ecuaciones ODE y DAE

2. Indice m = 2

Derivando dos veces, y en caso de

y en caso de que sea regular

Ecuaciones ODE y DAE

Asociado a la transformación de DAE a ODE aparece el establecimiento de condiciones iniciales

1. Indice m = 1

para x =x(0), y =y(0)

2. Indice m = 2

para x =x(0), y =y(0)

Métodos Numéricos de Resolución

Utilización de métodos numéricos para integración de sistemas definidos por ODEs o DAEs.

Son métodos aproximativos debido a errores de discretización y redondeo.

A. Métodos Numéricos para ODEs

Sistema descrito por

Se basan en una aproximación de f

Métodos Numéricos de Resolución

Métodos de Paso Múltiple y métodos de Paso Simple (Runge-Kutta).

B. Metodos Numéricos para DAEs

Sistema descrito por

Se basan en una aproximación de F

Método DASSL de Paso MúltipleTransformación a ODE

Métodos Numéricos de Resolución

Métodos Numéricos para ODE’s

El objetivo de los métodos numéricos de integración es obtener, a partir de un sistema continuo expresado mediante el sistema de ecuaciones diferenciales ODE de primer orden en espacio de estado

una secuencia de valores del vector de estado que aproximan la solución del sistema de ecuaciones anterior, siendo el intervalo de integración y f no lineal en general.

),( txfdtxd=

)(,),(),( 21 itxtxtx K

1−−= ii tth

Métodos Numéricos de Resolución

Es común a todos estos métodos la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales por integración entre los puntos y según

En función de la aproximación de f en el intervalo de integración surgen los diferentes métodos de integración.

rit −

1+it

∫∫+

−

+

−

=11

)()(

)(

i

ri

i

ri

t

t

tx

tx

dttfxd

∫+

−

+= −+

1

)()()( 1

i

ri

t

trii dttftxtx

Métodos Numéricos de Resolución

Los métodos de integración se clasifican en explícitos (forward) e

implícitos (backward), en función de la dependencia de

Ejemplo:

)( 1+itx

xdtdx λ−=

iii x

hxx λ−=−+1

1)1(1

<−=+

hestablexhx ii

λλ

Euler Explicito

11

++ −=−

iii x

hxx λ

hestable

xh

x ii

λλ∀

+=+

1

11

Euler Implicito

Métodos Numéricos de Resolución

I) Métodos de Paso Simple o Runge-Kutta:

Métodos Numéricos de Resolución

II) Métodos de Paso Multiple:

EL valor de xi+1 se realiza en función de los valores de xi, xi-1, ….xi-p

El paso de integración h puede ser fijo o variable. En caso de variabilidad se utilizará el error de integración estimado, como diferencia en la evaluación de xi+1 con dos métodos diferentes.

Métodos Numéricos de Resolución

Métodos Numéricos para Sistemas Rígidos

Un sistema es rígido si la solución buscada varia lentamente en presencia de otras soluciones cercanas que varían rápidamente

El método numérico a utilizar debe ajustar adecuadamente el paso de integración.

Responden a la ecuación

siendo M singular.

Métodos Numéricos de Resolución

Ejemplo: Modelo de propagación de llama

Métodos Numéricos de Resolución

Métodos Numéricos para DAEs

Métodos Numéricos de Resolución

Métodos Numéricos en MATLAB-SIMULINK

Metodos Numericos MATLAB y SIMULINK para ODES

Métodos Numéricos en MATLAB-SIMULINK

• Metodos Numericos MATLAB y SIMULINK para DAEs

•Solo aplicable para sistemas DAEs de indice 1 del tipo

con M singular

Métodos Numéricos en MODELICA

Permite la resolución de ODEs y DAEs