simulacion de dispersion de un contamaiante en un lago.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES

Y MATEMATICA

ESCUELA DE FISICA

TEMA:

SIMULACIÓN DE DISPERCIÓN DE UN CONTAMINANTE EN UN LAGO

CURSO:

MÉTODOS COMPUTACIONALES DE LA FISICA

PROFESOR:

LIC. JUVENAL TORDOCILLO PUCHUC

ALUMNOS:

ROMERO BRIOSO, TELLY GONZALO 1029120546 CLEMENTE CAPCHA, MIRIAM 1029120412 ORMACHEA CULQUI, DEYVI 092130D HUYHUA CONTRERAS, ALAN 101221C

2012


MÉTODOS COMPUTACIONALES DE LA FISICA 1

RESUMEN

La dispersión de contaminantes ha sido simulada usando aproximaciones por diferencia finita de la ecuación de difusión y adveccion estándar. Sin embargo, las mallas Euclidianas basadas en métodos de diferencia finita presentan problemas cuando se aplican sobre sistemas de fluidos dominados por la adveccion.

Los modelos atmosféricos de dispersión de contaminantes son herramientas físico-matemáticas que permiten simular las condiciones reales de transporte y dispersión de los contaminantes como producto de la interacción de las condiciones meteorológicas y las propias de las fuentes de emisión.

Se ha dado como ejemplo el lago Titicaca ubicado en la meseta del Collao en los Andes Centrales a una altitud promedio de 3.812 msnm entre los territorios de Bolivia y Perú. Posee un área de 8.562 km² de los cuales el 56% (4.772 km²) corresponden a Perú y el 44% (3.790 km²) a Bolivia y 1.125 km de costa; su profundidad máxima se estima en 281 m y se calcula su profundidad media en 107 m. Su nivel es irregular y aumenta durante el verano austral. Uno de los principales afluentes es el rio ramis cuenta con una longitud aproximada de 32 km, una cuenca hidrográfica de 14 684 km², y un caudal medio anual de 76 m³/s.

El lago Titicaca estaría siendo contaminado por la minería ilegal, los desperdicios que se vierten sobre los ríos y la cría de trucha indiscriminada. La Autoridad Nacional del Agua (ANA) se encuentra preocupada pues ya ha aparecido lemma (es una planta acuática que crece en ambientes ricos en nitrógeno, aparece cuando la materia orgánica en descomposición es alta impidiendo el paso de la luz y la vida), comúnmente conocida como lenteja de agua.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO 2

SIMULACIÓN DE

DISPERCIÓN DE UN CONTAMINATE EN UN

LAGO



La ciudad de Juliaca vierte sus desechos en el relleno sanitario en el río Ramis que desemboca en el lago. Además que los pobladores de la zona también echan sus desperdicios en el Titicaca (hasta detergentes). Danny Rojas, químico del ANA advierte que la vida marina ha sido afectada.

Objetivo General

Establecer un modelo unidimensional mediante el software fortran que permite simular la dispersión de contaminantes sobre un lago.

Objetivo Especifico

Haciendo el uso de las ecuaciones en derivadas parciales que describen los fenómenos físicos de la advección y difusión, se formula la ecuación de la concentración en función del tiempo.

Mediante la técnica numérica de Runge Kutta de orden 4se obtendrán datos de concentración versus tiempo.

Para los gráficos y las tablas de datos se hacen uso del programa de Scilab.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La metodología propuesta en este trabajo, consiste en la elaboración de un algoritmo que siga el esquema del modelo, estando este adaptado al Lago Titicaca.

¿Será posible conocer la contaminación en una zona determinada?

Los modelos no describen con exactitud el problema de contaminación de una zona determinada. Estos sólo constituyen una representación, cercana o no, de lo que sucede; por lo tanto, no hay que olvidar que sólo son modelos y que la calidad de los resultados depende de diversos factores tal como:

* Incertidumbre de los procesos físico químicos que sufren los contaminantes durante su transporte,

* Calidad y representatividad de los datos meteorológicos,




* Validación del modelo en una situación determinada. El modelo puede ser adecuado en una situación particular pero no en otra.




FUNDAMENTO TEÓRICO

Se inicia con una simple función para un modelo que nos permiten representar este proceso, donde por advección el contaminante es transportado por el rio.

Donde

c : respuesta.

f : función de transformación (empíricas , funcionales . ‘representa la física ,química y biológica de la masa de agua que recibe el vertido’).

W: estimulo (un contaminante).

Se construyen utilizando el principio o la ley de conservación de masas:

Acumulación = entradas – salidas -/+ reacciones de transformación

Por difusión el contaminante se introduce en el medio, aumentando la entropía (desorden molecular) del sistema.

Cuando la escala espacial de análisis de la hidrodinámica de un río o un estuario es mucho mayor que su ancho y su profundidad, es suficiente y conveniente plantear las versiones de las ecuaciones de movimiento integradas en toda la sección transversal.




Esto conduce a un modelo matemático unidimensional, en el cual los efectos de las escalas transversales de movimiento aparecen integrados y sólo se resuelven las escalas longitudinales largas.

Uno de los principios básicos de la hidrodinámica es la ley de conservación de la masa.

Para deducir su versión unidimensional se utilizará la figura que muestra el esquema de un tramo de un curso superficial de agua. El tramo se caracteriza por presentar una dirección de movimiento bien definida, a lo largo de su cauce, que se identifica con la coordenada espacial x.

La entrada del tramo está caracterizada por una sección transversal de área Ω(x,t) y un caudal Q(x,t). La salida del tramo está ubicada a una distancia ∆x de la entrada. Entre ambos extremos existe un aporte lateral, caracterizado por la descarga q por unidad de longitud.

Figura: Volumen de control para balance de masa unidimensional

Estableciendo que la variación temporal del volumen de agua comprendido dentro del tramo durante un intervalo de tiempo ∆t se debe al balance neto de los caudales entrantes y salientes del tramo, se obtiene:




Donde t es la coordenada temporal. Si en la ecuación se toma el límite cuando Δt y Δx Tienden a cero, se obtiene la forma diferencial de la ley de conservación de la masa de agua:

Del mismo modo, el tramo de la figura puede ser empleado para aplicar la ley de Conservación de la cantidad de movimiento, que en su forma diferencial se expresa como:

donde U = Q/Ω es la velocidad media de flujo, g la aceleración de la gravedad, z = zo + h la cota de la superficie libre, con zo la cota del fondo y h el tirante (profundidad del talweg), I f la pendiente de fricción (representativa de la

transferencia de energía mecánica desde el flujo medio hacia la turbulencia) y ul la componente en la dirección x de la velocidad del aporte lateral.

Luego usando la ley de acción de masas




Encontramos una ecuación de balance

Pero como el sistema no es cerrado se llega a la conclusión.




Luego construyo mi ecuación general de masa en un sistema acuático

Para el modelo que nosotros requerimos es un modelo más simplificado sólo tiene en cuenta el balance entre el ingreso y el egreso:

La contaminación en un cuerpo lentico o lago se puede describir como la diferencia entre la cantidad de agua contaminada ingresante y la cantidad de agua contaminada saliente, que es inversamente proporcional al volumen total del lago a esto se tendría que disminuir la capacidad de sedimento del contaminante, que toma en cuenta la velocidad de sedimentación del contaminante la fracción de partículas que tiene en contaminante y es inversamente proporcional a la profundidad del lago esto se puede describir en la siguiente ecuación diferencial.

dCdt

= 1V

(QeC e−QsC )− wHf pC

Dónde:

C: concentración media del contaminante en el cuerpo lentico

V: volumen del cuerpo lentico




H: profundidad del cuerpo lentico

Qe :Caudal ingresante

Qs : Caudal saliente

C e : Concentración del contaminante en el flujo ingresante

w: velocidad de caída del sedimento

f p: Fracción de contaminante en fase particulada

Denominando:

Le=QeC eV

: Masa de contaminante ingresante por unidad de volumen del lago y por

unidad de tiempo

q=QsV

: Tasa de barrido

K=f pw

H : Tasa de sedimentación o tasa de remoción

y teniendo en cuenta que sobre esa escala temporal puede considerarse que Qs = Qe, la solución de la ecuación (3.3.1) es

C (t )=C (0 )e−(q+K )t+

Le(q+K )

(1−e−(q+K ) t)

C0: Concentración inicial del contaminante en el cuerpo lentico

C e=Le

(q+K ): Concentraciones en equilibrio

La solución representa una evolución asintótica exponencial hacia la nueva concentración de equilibrio en el lago:

Demostrando la solución de la ecuación diferencial.

dCdt

=QeC eV

−Q sC

V−f pw

HC

dCdt

=Le−qC−KC=Le−C (q+K )




dCLe−C (q+K )

=dt

1(q+K )

dC

( Le(q+K )

−C)=dt

1(q+K ) ∫C( 0)

C (t)

dC

( Le(q+K )

−C)=∫

0

t

dt

1(q+K ) (−ln ( Le

(q+K )−C ))|C( 0)

C( t)

=t|0t

−( ln( Le(q+K )

−C (t ))−ln( Le(q+K )

−C(0)))=(q+K ) ( t−0 )

( ln( Le(q+K )

−C (0 ))−ln( Le(q+K )

−C( t )))=(q+K ) t

ln (Le

(q+K )−C(0)

Le(q+K )

−C( t ) )=¿ (q+K ) t ¿

Le(q+K )

−C (0 )

Le(q+K )

−C (t )

=e(q+K )t

Le(q+K )

−C (0 )=( Le(q+K )

−C (t ))e (q+K ) t=Le

(q+K )e(q+K ) t−C (t ) e

(q+K ) t

C (t ) e(q+K )t=

Le(q+K )

e (q+K ) t−Le

(q+K )+C(0)




C (t )=Le

(q+K )−

Le(q+K )

e−(q+K )t+C (0) e−(q+K ) t

C (t )=C (0 )e−(q+K )t+

Le(q+K )

(1−e−(q+K ) t)

METODOS Y MATERIALES

Los materiales usados son:

o Computadora personal Intel(R) corel(TM) i3-3240 ,procesador 3.40 GHz ,

memoria RAM 4.00 GB , sistema operativo de 64 bits , plataforma Windows 7 ultimate.

o Programa fortran (para realizar la codificación)

o Programa scilab 5.4.1 (64) (para realizar las gráficas)

Los métodos usados:

o Se usó el método Runge Kutta 4 para la solución de las ecuaciones

diferenciales.o Se consideraron condiciones iniciales de acuerdo con la realidad.




RESULTADOS

Estos son los resultados obtenidos del método Runge Kutta orden 4

PROGRAM RK4IMPLICIT NONEINTEGER COUNT , NREAL S1,S2,S3,S4,F,CT,X1,B,Y1,H,X2,Y2,YT,ERR,TREAL :: V !VOLUMEN DEL LAGOREAL :: QE !CAUDAL INGRESANTEREAL :: CE !CONCENTRACION EN EL CONTAMINANTE EN EL FLUJO

INGRESANTEREAL :: QS !CAUDAL SALIENTEREAL :: C !CONCENTRACION MEDIA DEL CONTAMINANTE EN EL CUERPO

LENTICO O LAGO REAL :: W !VELOCIDAD DE CAIDA DEL CEDIMENTOREAL :: HL !PROFUNDIDAD DEL CUERPO LENTICO O LAGOREAL :: FP !FRACCION DE CONTAMINANTE EN FASE DE PARTICULAREAL :: LE !QE*CE/V MASA DE CONTAMINANTE INGRESANTE POR UNIDAD DE

VOLUMEN DE LAGO Y POR UNIDAD DE TIEMPOREAL :: Q !QS/V TASA DE BARRIDOREAL :: K !FP*W/HL FRACCION DE CONTAMINATEEN FASE PARTICULADA REAL :: C0 !CONSTANTE DE CONCENTRACION INICIAL EN EL CUERPO

LENTICO O LAGOREAL :: M !(Q + K) !VALORES DE LAS VARIABLES

!VALORES DE LAS VARIABLESV=916134C0=0.06QE=76CE=0.3QS=76C=0.45W=0.06HL=107FP=0.35LE=QE*CE/VQ=QS/VK=FP*W/HLM=Q+KT=010 FORMAT (1X,'PARA RESOLVER LA ECUACION DIFERENCIAL DE USAR

SEGUNDO',\)20 FORMAT ('METODO DE RUNGE KUTTA DE ORDEN 2')




30 FORMAT (8X,'X',5X,'F(X)',5X,'FTEORICO',5X,'ERR')40 FORMAT(1X,F10.4,1X,F10.4,1X,F10.5,1X,F20.8)60 FORMAT (1X,'EL VALOR DE LA FUNCION

X=',F10.4,1X,'ES:',F10.4,\,1X,'TEORICO ES:',1X,F20.8)

OPEN(UNIT=20,FILE='RK4.TXT',STATUS='UNKNOWN')WRITE(*,10)

WRITE(*,20)

!WRITE(*,*)'INGRESE LOS VALORES INICIALES X(0) Y Y(0):'!READ(*,*)X1,Y1!WRITE(*,*)'INTRODUZCA EL VALOR DEL INTERVALO XN:'!READ(*,*)B!WRITE(*,*)'ENTER THE NUMBER OF SUBINTERBALS:'!READ(*,*)NX1=0Y1=C0YT=C0B=5N=50COUNT=0H=(B-X1)/NWRITE(*,*)'M',M,'LE',LE,'C0',C0WRITE(*,*)'VALORES DE X Y SU CORRESPONDIENTE FUNCION SON :'WRITE(*,*)WRITE(*,30)WRITE(20,40)X1,Y1,YT,ERRDO WHILE (COUNT<N)

S1=F(LE,Y1,M)S2=F(LE,Y1+S1*H/2,M)S3=F(LE,Y1+S2*H/2,M)S4=F(LE,Y1+S3*H,M)Y2=Y1+(S1+2*S2+2*S3+S4)*H/6X2=X1+H

!S1=F(X1,Y1,M)!S2=F(X1+H/2,Y1+S1*H/2,M)!S3=F(X1+H/2,Y1+S2*H/2,M)!S4=F(X1+H,Y1+S3*H,M)!Y2=Y1+(S1+2*S2+2*S3+S4)*H/6!X2=X1+H!YT=-3*EXP (-X2)-2*X2+2YT=CT(C0,LE,M,X2)ERR=YT-Y2WRITE(20,40)X2,Y2,YT,ERRWRITE(*,*)X2,Y2,YT,ERRX1=X2Y1=Y2COUNT=COUNT +1

END DOWRITE(*,*)WRITE(*,60)X2,Y2,YTSTOP

ENDFUNCTION F(LE,C,M)IMPLICIT NONE




REAL :: F,LE,C,M !M=Q+K!F=-2*X-YF = LE - C*(M)RETURN

ENDFUNCTION CT(C0,LE,M,T)

IMPLICIT NONEREAL :: C0,LE,M,T,CT !M=Q+KCT=C0*EXP(-M*T) + (LE/M)*(1 - EXP(-M*T))RETURN

END




INTERPRETACION FISICA DEL FENÓMENO

La grafica muestra una contaminación creciente para una concentración inicial pequeña




La grafica muestra una contaminación decreciente para una concentración inicial relativamente grande




La grafica muestra la convergencia del dos líneas de contaminantes para concentraciones iniciales diferentes, tienden a converger a una concentración en equilibrio.




CONCLUSIONES

La contaminación en un cuerpo lentico o lago se puede describir como la diferencia entre la cantidad de agua contaminada ingresante y la cantidad de agua contaminada saliente, que es inversamente proporcional al volumen total del lago a esto se tendría que disminuir la capacidad de sedimento del contaminante, que toma en cuenta la velocidad de sedimentación del contaminante la fracción de partículas que tiene en contaminante y es inversamente proporcional a la profundidad del lago.

Se ha podido concluir que al hallar el algoritmo para la contaminación de un lago se observa que este caso no es general solo se a podido adaptar a este problema que es el del lago Titicaca, en caso de otros lagos se tendría que hacer otros algoritmos.

Se ha usado este método debido a su mayor exactitud y además para poder hallar la convergencia de las líneas de contaminante.




BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Titicaca

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/

Dinamica/lago/lago.html

http://www.lanacion.com.py/articulo/145194-la-mayor-carga-contaminante-del-

lago-son-los-residuos-domisanitarios.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Contaminaci%C3%B3n_del_Lago_de_Maracaibo


http://es.wikipedia.org/wiki/Contaminaci%C3%B3n_del_Lago_de_Maracaibo

http://www.lanacion.com.py/articulo/145194-la-mayor-carga-contaminante-del-lago-son-los-residuos-domisanitarios.html

http://www.lanacion.com.py/articulo/145194-la-mayor-carga-contaminante-del-lago-son-los-residuos-domisanitarios.html

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/Dinamica/lago/lago.html

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/Dinamica/lago/lago.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Titicaca

simulacion de dispersion de un contamaiante en un lago.docx

Documents