simulación del comportamiento del suelo en ensayos de

Simulación del comportamiento del suelo en ensayos delaboratorio (element test) empleando Hipoplasticidad y

Viscohipoplasticidad

Realizado por

William Mario Fuentes Lacouture

Asesor

pr. Arcesio Lizcano Ph.D.

Universidad de los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

2007

Tabla de Contenido

1. Modelo constitutivo hipoplástico 41.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Ecuación hipoplástica en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Ecuaciones constitutivas hipoplásticas básicas por Kolymbas y por Wu Wei . . . . . . . . . 7

1.4. Envolventes de respuesta de las ecuaciones hipoplásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Ecuación constitutiva hipoplástica de Wolffersdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Estados asintóticos del suelo o atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2. Superficie de fluencia de Matsuoka-Nakai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3. Algunos aspectos de la deducción de la ecuación de Wolffersdorff . . . . . . . . . . 19

1.5.4. Ecuacion constitutiva final por Wolffersdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Invertibilidad de la ecuación hipoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7. Parámetros hipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Element test con Hipoplasticidad 282.1. Solución para tensores de esfuerzo y deformación con simetría axial y sin cortantes . . . . . 28

2.2. Integración por diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Compresión isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Compresión oedométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Compresión triaxial no drenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6. Compresión triaxial drenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3. Modelo constitutivo Viscohipoplástico 493.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Ecuación visohipoplástica en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Ecuación viscohipoplástica en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1. Factor de barotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2. Definición del OCR en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3. Tasa de defomación viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4. Valores de referencia y parámetros viscohipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.1. Valores de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

I

TABLA DE CONTENIDO ICIV 200710 09

3.4.2. Parámetros viscohipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Element test con Viscohipoplasticidad 714.1. Compresión oedométrica utilizando la versión 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2. Solución general de la ecuación viscohipoplástica en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Simulación de un loess de Argentina 775.1. Parámetros viscohipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2. Valores de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3. Simulación con Viscohipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6. Conclusiones finales 83

A. Algunos conceptos de la mecánica del continuo 85A.1. Notacion de los tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.2. Álgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.3. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.4. Inversa de un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.4.1. Teorema Sherman-Morrison para tensores de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . 93

A.5. Transformación de matrices entre 2 sistemas cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.6. Cinemática del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.7. Tensor de esfuerzo de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A.8. Cambio de la configuración con tiempo actual de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A.9. Cambio del marco de referencia y objetividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

A.10.Tensor de la tasa de esfuerzos objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

B. Programación 106B.1. Programación de las envolventes de falla en mathematica en 3D . . . . . . . . . . . . . . . 106

B.2. Programación de la superficie d Matsuoka-Nakai en el espacio T1,T2,T3 . . . . . . . . . . 107

B.3. Programación del element test ensayo oedométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

B.4. Programación del element test para compresión oedométrica con esfuerzo controlado . . . . 110

B.5. Programación del element test para compresión triaxial no drenada . . . . . . . . . . . . . . 114

B.6. Programación del element test para compresión triaxial drenada . . . . . . . . . . . . . . . 117

B.7. Programación del element test para compresión oedométrica con Viscohipoplasticidad . . . 122

II

Índice de figuras

1.1. Resultado de compresión oedométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Simulación de ensayo oedométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Principio del comportamiento proporcional del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Envolventes de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Envolventes de respuesta mediante la ecuación de WU WEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Curva típica de las relaciones de vacíos máxima, mínima y crítica vs. esfuerzo σ . . . . . . 15

1.7. Criterios de fallas M-N y M-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8. Criterio de falla M-N en MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9. Ángulo de lode y ángulo ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.11. Esquema de la determinación del β en un ensayo isotrópico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1. Idealización de la integración por diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Integración por diferencias finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3. Esquema de la compresión isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Esquema de la compresión oedométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica . . . . 38

2.6. Simulación de compresión oedométrica para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. . . . . . 39

2.7. Diagrama de flujo para oedométrico con control en los esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8. Simulación de compresión oedométrica con la ecuación invertida. . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9. Esquema del triaxial no drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10. Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial no drenada . . . 44

2.12. Esquema del triaxial drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.11. Simulación de triaxial CU para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. . . . . . . . . . . . . 45

2.13. Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial drenada . . . . 47

2.14. Simulación de compresión triaxial CD para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. . . . . . 48

3.1. Esquemas de trayectorias e vs. ln(σ) en ensayo oedométrico con diferentes efectos viscosos 50

3.2. Deformación como la suma de una deformación elástica y una deformación plástica . . . . . 52

3.3. Deformaciones viscosas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III

ÍNDICE DE FIGURAS ICIV 200710 09

3.4. Diagrama para ilustrar los saltos de esfuerzos debido al cambio de isotacas. . . . . . . . . . 56

3.5. Ubicación de los puntos pe y p+e en los espacios p−q y ν− p−q. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Modificación de la superficie de fluencia propuesta por [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7. Trayectorias con ‖ D ‖= kte y OCR = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8. Valores de K0 y x =‖ D ‖) ‖ Dv ‖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.9. Obtención del índice de viscosidad mediante dos isotacas con ensayo isotrópico. . . . . . . . 69

4.1. Diagrama de flujo de compresión oedométrica con Viscohipoplasticidad . . . . . . . . . . . 74

4.2. Simulación de ensayo oedométrico con Viscohipoplasticidad variando la tasa de deformación 75

5.1. Obtención del parámetro λ en el ensayo de compresión oedométrica. . . . . . . . . . . . . . 78

5.2. Obtención del parámetro κ en el ensayo de compresión triaxial CD. . . . . . . . . . . . . . 79

5.3. Obtención del parámetro ϕc en el ensayo de compresión triaxial CD. . . . . . . . . . . . . . 79

5.4. Simulación de un loess de Argentina con Viscohipoplasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.1. Vectores unitarios e1, e2 y e3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2. Descripción del movimiento dos puntos de un material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

IV

Índice de tablas

1.1. Nombres y símbolos de los parámetros hipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2. Rangos de los parámetros hipoplásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Parámetros hipoplásticos para arena de Guamo. Los valores están reportados en [2]. . . . . . 37

5.1. Velocidad de deformación ε para cada escalón de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.1. Multiplicaciones de tensores utilizadas frecuentemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.2. Condiciones de objetividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.3. Ecuaciones de transformación para los tensores F, C y B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.4. Ecuaciones de transformación para los tensores U∗t , C∗t , V∗t y B∗t . . . . . . . . . . . . . . . 103

V

Abstract

It presents an approach to Hipoplasticty and Viscohipoplasticity providing the reader a tangible and a com-

prehensive introduction to these constitutive models. It describes the fundamentals of Hipoplasticity emp-

hasizing on the Kolymba’s, Wei’s and Wolffersdorf’s constitutive equations. The responses envelopes are

analysed using Wei’s equation. A Mathematica script for the simulation of the response envelope in 3D is

available on the appendices. Then, an integration of element test using Hipoplasticity are explained. Inclu-

des isotropic compression test, oedometric compression test, triaxial CU compression test and triaxial CD

compresion test. Scripts under VISUAL BASIC for these element tests are annexed on the appendices. The

Viscohipoplasticity theory follows. Fundamentals of it’s principles and formulation are exposed. It contents

the 1d version proposed by Niemunis and Krieg and the 3D version proposed by Niemunis. The element

test using the constitutive equation for 1D is solved and a script under VISUAL BASIC is available on the

appendices. Finally, a loess from Argentina is simulated using Viscohipoplasticity. Results demonstrated an

excelent fitting comparing the experimental and simulated curves. The partial cementation that reads high

stiffness under small strains by the loess is simulated using a low value for κ .

Prefacio del autor

La Hipoplasticidad y la Viscohipoplasticidad son modelos constitutivos capaces de reproducir con gran

afinidad el comportamiento mecánico de las arenas y las arcillas respectivamente. La investigación ha demos-

trado claramente que las modelaciones constitutivas realizadas con estos modelos son mucho más precisas

que aquellas realizadas empleando Elasticidad o Elastoplasticidad. A pesar que la Hipoplasticidad y la Vis-

cohipoplasticidad son modelos formulados recientemente, éstos han demostrado un excelente desempeño en

la simulación, y por lo tanto es necesario el entendimiento de los mismos por parte de los ingenieros y su

implementación por parte de las empresas. Sin embargo la realidad ha mostrado lo contrario por catalogar a

estos modelos como complejos y problemáticos. Con este documento pretendo abrirle al lector una peque-

ña ventana donde pueda observar las ventajas y capacidades que nos otorga estos modelos constitutivos y

finalmente una herramienta de simulación de element test para su libre implementación.

Agradezco al pr. Lizcano por introducirme a esta ciencia. Sus enseñanzas y observaciones han confor-

mado los pilares que soportan este documento. Agradezco a la Universidad de los Andes por ofrecerme el

ambiente.

A Alejandro Kerguelen y Marco Andrés por su amistad. A mis padres por su educación. A mis hermanas

por su apoyo. A mis hermanos por su compresión.

I

Introducción

Un modelo constitutivo es una relación matemática que conecta los esfuerzos con las deformaciones

de un material. Los modelos constitutivos se expresan mediante ecuaciones matemáticas o constitutivas[15].

Estas ecuaciones consideran a los esfuerzos y deformaciones como cantidades tensoriales y contienen a la vez

otras cantidades que son escalares y que se denominan constantes del material. Las constantes del material

permiten distinguir entre el comportamiento mecánico de dos materiales, como por ejemplo el de un material

flexible y resistente como el acero y un material rígido y poco resistente como el vidrio. Con su adecuada

combinación se puede construir una ecuación capaz de reproducir comportamientos mecánicos complejos.

Para construir un modelo constitutivo se debe suponer que el material es un medio continuo. La teoría del

medio continuo es aquella que considera que la materia es indivisible. Esto contradice a la realidad donde

se presenta una materia compuesta por partículas y con un comportamiento mecánico que está construído

a partir de las interacciones de estas partículas con otras y con el medio exterior. La mecánica del medio

continuo considera que los comportamientos que ocurren a microescala son despreciables.

En la mecánica de suelos se han planteado numerosos modelos constitutivos tratando de aproximarse

al comportamiento de este material, y se ha llegado a la conclusión que no existe un solo modelo que sea

capaz de adaptarse a todos los comportamientos mecánicos observados hasta el momento. En otras pala-

bras, la implementación de un modelo constitutivo depende del caso y del tipo de material analizado. Siendo

así se puede afirmar que entre todos los modelos constitutivos se destacan la Hipoplasticidad y la Viscohi-

poplasticidad. Estos modelos han demostrado ser capaces de representar el comportamiento mecánico de

las arenas y las arcillas con mejor afinidad que el modelo elástoplástico por ejemplo. Las observaciones

realizadas por GUDEHUS[10][9], NIEMUNIS[19][20][18], WOLFFERSDORFF[33] y KOLYMBAS[14] acon-

tecen esta afirmación. A esto se suman los aportes realizados para simular cargas cíclicas[19] y suelos no

saturados[11]. Algunos modelaciones realizadas en ingeniería empleando estos modelos son testimonios de

su mejor desempeño frente a otros[8]. Sin embargo, ha sido díficil su implementación en la geotecnia aplica-

da. Ésta ha mostrado cierta resistencia al intentar cambiar la modelación constitutiva empleando Elasticidad y

Elastoplasticidad por aquella que emplea Hipoplasticidad y Viscohipoplasticidad. Una de las posibles causas

podría ser la falsa calificación de modelos matemáticos complejos que se le han atríbuido a la Hipoplasticidad

y Viscohipoplasticidad. Y esto a pesar que las ecuaciones constitutivas resultan ser mucho mas sencillas que

las formuladas en la elastoplasticidad por ejemplo. Otra posible causa puede ser los pocos software disponi-

1

INTRODUCCIÓN ICIV 200710 09

bles para realizar simulaciones de element test y problemas de contornos. Aunque existen muchos códigos

para programas de elemetos fintos FEM estos resultan ser muy costosos e inexequible para la mayoría de las

empresas consultoras. Todo esto se resume en una baja popularidad atríbuidos a estos modelos constutivos

por parte de los ingenieros.

Con este documento se quiere presentarle al lector un acercamiento a éstas jóvenes y exitosas teorías

basadas en el medio continuo. Con ello se intenta demostrar que los modelos hipoplástico y viscohipoplástico

presentan una formulación matemática mucho más sencillas que otros modelos constitutivos. El documento

está respaldado con un marco teórico y un lenguaje adecuado para el entendimiento de aquellos que no están

familiarizado con los conceptos. Su estructura presenta los conceptos más relevantes en ambos modelos

constitutivos, la integración de su ecuación constitutiva utilizando algunos métodos por diferencias finitas y

se presentan la solución de algunos element test que se utilizan frecuentemente. Ésto último con el propósito

de brindarle al lector una herramienta de simulación. Estas herramientas se acompañan con simulaciones

realizadas para mostrar algunos resultados que se pueden obtener a partir de su utilización. También incluye

la simulación con Viscohipoplasticidad de un loess de Argentina y se analiza el ajuste del comportamiento

mecánico de este material con respecto al modelo constitutivo.

Detalladamente el documento se estrctura de la siguiente manera. En el primer capítulo se exponen los

conceptos básicos de la Hipoplasticidad. Su contenido presenta los aspectos más relevantes que se tuvie-

ron en cuenta en el planteamiento de la ecuación constitutiva. Se enfatiza en la ecuaciones propuestas por

KOLYMBAS[14], WU WEI[31] y por último WOLFFERSDORF[33]. También incluye una breve descripción

de las envolventes de respuestas introducidas por GUDEHUS[10] para el caso de la Hipoplasticidad y la inver-

tibilidad de la ecuación propuesta por WOLFFERSDORF mediante el algortimo de DOAHN[26]. El siguiente

capítulo presenta la solución de la ecuación constitutiva para algunos element test. El capítulo expone los

métodos de integración por diferencias finitas con expansión de TAYLOR y el algoritmo de la programa-

ción de los element test en lenguaje VISUAL BASIC. Luego, en los siguientes dos capítulos se presentan los

aspectos relevantes de la Viscohipoplasticidad según la versión modificada de NIEMUNIS[19] que guarda

consistencia con la ley de compresión de BUTTERFIELD[5]. Se presenta la solución del element test de

un ensayo de compresión oedométrica utilizando la versión 1D[20] y la solución generalizada de la ecua-

ción constittuiva 3D. El capítulo siguiente contiene la simulación con Viscohipoplasticidad de un loess de

Argentina con el propósito de analizar el desempeño del modelo constitutivo en estos tipos de suelos carac-

terizado por presentar cementación parcial. Se presentan unos apéndices con los conceptos relevantes de la

mecánica del continuo en que se apoyan estos dos modelos constitutivos. Incluyen la explicación del tensor

corrotacional de ZAREMBA-JAUNMANN tema que se no se presenta con la profundidad adecuada en los

documentos científicos de mayores aportes. Finalmente los apéndices incluye la programación de algunos

script de MATHEMATICA y los element test desarrollados en el cuerpo del documento utilizando Hipoplas-

ticidad y Viscohipoplasticidad en lenguaje VISUAL BASIC. Esto último con el propósito de brindarle al lector

una herramienta de simulación de algunos ensayos experimentales.

2

INTRODUCCIÓN ICIV 200710 09

Al finalizar el documento el lector está en capacidad de:

Comprender los conceptos de la mecánica del continuo adoptadas en el desarrollo matemático de la

Hipoplasticidad y Viscohipoplasticidad.

Entender los aspectos relevantes de estos dos modelos constitutivos.

Solucionar las ecuaciones constitutivas para los element test utilizados frecuentemente.

Utilizar los programas de element test en lenguaje VISUAL BASIC para la simulación de ensayos ele-

mentales. Estos programas son perfectamente adaptables como macros de MICROSOFT EXCEL para

la rápida uilización por parte del usuario.

Tener una perspectiva del desempeño del modelo viscohipoplástico en la simulación de los loess de

Argentina caracterizados por presentar cementación parcial.

3

Capítulo 1

Modelo constitutivo hipoplástico

1.1. Introducción

La Hipoplasticidad es un modelo constitutivo desarrollado para suelos granulares. Según KOLYMBAS

y WU WEI[32], una ecuación constitutiva hipoplástica debe ser aquella que esté planteada de una mane-

ra incremental[28] con la tasa de esfuerzo y la deformación como variables de estado y debe presentar

pendientes suaves para cada deformación. Esto implica que la Hipoplasticidad es un modelo no lineal, es

decir, presenta tangentes distintas para cada incremento. La Hipoplasticidad no distingue entre deformacio-

nes plásticas y elásticas y carece de formulaciones matemáticas complejas para describir el comportamiento

mecánico de las arenas. En los últimos 40 años se han planteado más de una versión de ecuaciones hipoplás-

ticas, cada una tratando de mejorar la versión anterior. Por esta razón la Hipoplasticidad se debe ver como

un modelo constitutivo que puede ser expresado mediante ecuaciones que no necesariamente tienen que ser

las mismas[15]. El alcance del modelo hipoplástico se limita a suelos granulares que no presentan efectos

viscosos y que son normalmente consolidados o ligeramente sobreconsolidados[15].

Las últimas ecuaciones constitutivas simulan los comportamientos observados debido a la densidad y el

esfuerzo de confinamiento[12]. Han evolucionado hasta plantear una ecuación con el esfuerzo, la deforma-

ción y la relación de vacíos como variables de estado de la forma:

T = F(T,e,D) (1.1.1)

dondeT es el tensor de la tasa de esfuerzo objetivo co-rotacional de ZAREMBA-JAUNMANN, T es el tensor

de esfuerzos de Cauchy, e es la relación de vacíos y D es el tensor de la tasa de elongación. El tensorT está

deducido en el apéndice A.10 a partir de un marco de referencia asociado al elemento con base ortonormal

que rota con el mismo según el tensor de rotación R (véase apéndice A.6). El tensor de la tasa de elongación

D corresponde a la parte simétrica del gradiente de velocidad ∇v lo que significa que la ecuación constitutiva

4

CAPÍTULO 1. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09

hipoplástica no tiene en cuenta la rotación del material (parte antisimétrica del tensor de gradiente de veloci-

dad ∇v deominada tensor de giro W). Esto implica que el tensor de la tasa de esfuerzos T debe ser objetivo

y por lo tanto debe estar embebido dentro de un marco de referencia corrotacional al elemento de análisis lo

que justifica la selección del tensor de Zaremba-JaunmannT en la ecuación constitutiva hipoplástica.

La ecuación 1.1.1 requiere de una configuración de referencia. Usualmente las deformaciones están ex-

presadas a partir de la configuración inicial que es aquella mediante la cual el material está libre totalmente

de los esfuerzos y deformaciones. No obstante un elemento de suelo está sometido generalmente a presiones

geostáticas y a deformaciones por consolidación lo que hace de la configuración inicial una condición díficil

de alcanzar. Para resolver el problema, se establece la configuración actual como configuración de referen-

cia de manera que se va solucionando la ecuación constitutiva por incrementos. Aunque la selección de la

configuración actual como la de referencia es menos precisa para el caso de pequeñas deformaciones, es una

configuración que es independiente a la rotación del cuerpo rígido y además representa de mejor manera los

cambios de volumen [8].

1.2. Ecuación hipoplástica en 1D

En este inciso se presenta la deducción de una ecuación hipoplástica para el caso de una compresión oe-

dométrica. Para deducir la ecuación hipoplástica en 1D considérese el ejemplo proporcionado por FELLIN[6].

La curva obtenida a partir de una compresión oedométrica describe pendientes mas altas para la carga que

para descarga (véase figura 1.1.a.). La manera más sencilla de representarlas es trazando dos líneas rectas,

una para carga y otra para descarga tal como muestra la figura 1.1.b. Teniendo en cuenta que la definición

de KOLYMBAS (véase inciso 1.1) establece que la ecuación debe ser de tipo incremental, la representación

del ensayo oedométrico se puede expresar de manera sencilla mediante las siguientes dos ecuaciones dife-

renciales:

Para carga σ =−E1ε (1.2.1)

Para descarga σ = E2ε (1.2.2)

Como las ecuaciones diferenciales 1.2.1 y 1.2.2 representan rectas, entonces son integrables. Si se integran

se puede llegar a las siguientes expresiones:

Para carga σ =−E1ε =−E1

2ε− E2

2ε +

E2

2ε− E1

2ε (1.2.3)

Para descarga σ = E2ε =E1

2ε +

E2

2ε +

E2

2ε− E1

2ε (1.2.4)

5


−300−200−1000

−1

−0.5

0

σ [kN/m2]

ε [%

]

Experiment

unloading

loading

(a) Ensayo oedométrico con arena suelta. Tomado de[6].

−300−200−1000

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

σ [kN/m2]

ε [%

]

E2

σmax

εmax

E1

σ0

(b) Representación del ensayo oedométrico de la fi-gura a. Tomado de [6].

Figura 1.1: Resultado de compresión oedométrica.

Finalmente se pueden combinar las ecuaciones 1.2.3 y 3.2.9 en la siguiente expresión:

σ =E1 +E2

2ε +

E2−E1

2‖ ε ‖ (1.2.5)

La Hipoplasticidad describe curvas no lineales descritas a través de una rigidez que es dependiente del

estado de esfuerzo y deformación (véase sección 1.1). Las ecuaciones anteriores representan líneas rectas

para carga y descarga y por lo tanto no corresponden a un modelo hipoplástico. FELLIN[6] publicó una

ecuación hipoplástica en 1D muy sencilla estableciendo una rigidez proporcional a los esfuerzos de la forma:

Para carga E1 = C1σ (1.2.6)

Para descarga E2 = C2σ (1.2.7)

Las anteriores ecuaciones conllevan a replantear la ecuación 1.2.5 de la siguiente manera:

σ = C1σε +C2σ ‖ ε ‖ (1.2.8)

Como las condiciones son oedométricas entonces el diferencial de la relación de vacíos de se relaciona con

la deformación ε mediante la expresión de = (1 + e0)dε , y este a su vez se relaciona con el diferencial

de esfuerzo dσ con la expresión dσ = −1+ e0

Ccσdε . Teniendo en cuenta que la rigidez es proporcional al

esfuerzo se puede llegar a deducir las siguientes ecuaciones con ayuda de las anteriores expresiones y la

ecuación 1.2.8:

C1−C2 =−1+ e0

Ccpara carga (1.2.9)

C1 +C2 =−1+ e0

Cspara descarga (1.2.10)

6


−300−200−1000

−1

−0.5

0

σ [kN/m2]

ε [%

]

ExperimentHypoplasticity

Figura 1.2: Simulación de ensayo oedométrico con σ0=-3.4 kPa, C1=-775, C2=-433. Tomado de [6].

Despejando las constantes C1 y C2:

C1 =−1+ e0

2Cs +Cc

CcCs(1.2.11)

C2 =−1+ e0

2Cc−Cs

CcCs(1.2.12)

Si se reemplazan las constantes C1 y C2 en la ecuación 1.2.8 se puede llegar a una expresión que describe la

curva oedométrica. Esta expresión es la que se presenta a continuación:

σ =−1+ e0

2Cs +Cc

CcCsσε− 1+ e0

2Cc−Cs

CcCsσ ‖ ε ‖ (1.2.13)

FELLIN presenta la simulación de un ensayo oedométrico utilizando la ecuación 1.2.13 para σ0=-3.4 kPa,

C1=-775, C2=-433. La curva simulada se presenta en la figura 1.2. Nótese que la relación entre los esfuerzos

y deformaciones no es lineal, y que se utiliza una sola ecuación para el caso de carga y descarga.

1.3. Ecuaciones constitutivas hipoplásticas básicas por Kolymbas y por WuWei

Las ecuaciones formuladas por KOLYMBAS[14](1985) y WU WEI[31](1992) utilizan ecuaciones dife-

renciales no integrables de la forma PFAFFIAN para encontrar una expresión que introduzca la dependencia

de los esfuerzos del material con la historia de las deformaciones. La forma PFAFFIAN corresponde a la

ecuación diferencial que contenga la siguiente estructura:

y =n

∑k=1

aik(x1,x2, ...,xn)∂xk (1.3.1)

7


donde aik son coeficientes numéricos que dependen del material. Esta ecuación se puede reescribir de la

siguiente forma:

y = a1∂x1 +a2∂x2 + ...+an∂xn (1.3.2)

lo que sugiere que la ecuación es la suma de los incrementos ∂xk y como no es integrable no se puede

obtener una función única y = f (x) (contrario para el modelo que relaciona σ y ε de manera lineal que se

presenta en el inciso 1.2). Para el caso de la mecánica de materiales se reemplazan y con y = σ y x con

x = ε convirtiéndose la ecuación 1.3.2 en σ = a1∂ε1 +a2∂ε2 + ...+an∂εn. En notación tensorial la anterior

ecuación es incremental de la forma:T = h(D) (1.3.3)

Ahora, existen tres aspectos básicos que conllevan a reformular la ecuación 1.3.3[15]. Lo primero es que la

rigidez del material no es lineal. Las curvas de ensayos oedométricos en el espacio e vs. log(p) demuestran

claramente que la rigidez dσ/dε es mayor para carga que para descarga y varía punto a punto. Esto implica

que la ecuación constitutiva no depende solo de D sino también del estado de esfuerzos T y por lo tanto se

debe replantear con la forma:T = h(D,T) (1.3.4)

Lo segundo es que la ecuación debe cumplir con el principio del comportamiento proporcional del suelo

estudiado por GOLDSCHEIDER[7] que establece que las "trayectorias de deformaciones proporcionales que

inician desde un estado libre de esfuerzo están conectadas a trayectorias de esfuerzos proporcionales. Si el

estado inicial no es libre de esfuerzos, la trayectoria se aproxima de manera asintótica a la trayectoria con

estado inicial libre de esfuerzos."1 Lo anterior se ilustra en la figura 1.3. El principio del comportamiento

e j

e i

Trayector

ia de

deform

aciones

proporcionales

s

(a) Trayectoria de deformacionesproporcionales

s j

s i

con

estado

incial

s1=s

2=

s3=0s 1=

s 2=s 3=0

(b) Trayectorias de esfuerzos segúna) estado inicial libre de esfuerzos.b) estado inicial sometido a esfuer-zos.

Figura 1.3: Principio del comportamiento proporcional del suelo. Adaptada de [15]

proporcional del suelo implica que si se aplica una tasa de elongación constante D se debe obtener una

trayectoria de esfuerzo proporcional que pasa por el origen en el espacio de los esfuerzos σi−σ j−σk (véase

1Fuente: [15]. Traducido de inglés a español por el autor.

8


figura 1.3). Para lograrlo la ecuación debe ser homogénea de la forma:

T = h(D,λT) = λ

nh(D,T) (1.3.5)

El grado de homogeneidad denotado por el exponente n debe ser igual a 1 para que las curvas de esfuerzos-

deformación normalizadas coincidan y el ángulo de fricción no varíe con respecto a la rigidez[15].

Lo tercero es la suposición de un material que no esté afectado por cambios en la tasa de deformación D.

Este problema se puede solucionar haciendo que la tasa de esfuerzo sea proporcional a la tasa de deforma-

ción. Esto es, si por ejemplo se deforma el material el doble de rápido, la tasa de esfuerzo también se debe

multiplicar por 2 y de esta manera la curva que describe la ecuación constitutiva no se altera. Matemática-

mente es:

h(T,λD) = λh(T,D) = λT (1.3.6)

Con esta última ecuación (1.3.6) se infiere que la ecuación constitutiva debe ser homógenea de primer orden

en D. Entonces en conclusión se debe deducir una ecuación constitutiva que cumpla con las siguientes

restricciones matemáticas:

1. Es de tipo incremental.

2. Es no lineal en D.

3. Es homogénea de primer orden en D.

4. Es homogénea de primer orden en T.

Volviendo a la ecuación con la forma PFAFFIAN 1.3.2, para el caso de la ecuación hipoplásticaT = h(D,T)

con tasa de esfuerzo objetivoT y cantidades tensoriales simétricas T y D se puede utilizar el teorema de

representación general que para el caso de una ecuación tensorial isotrópica (independiente del marco de

referencia)[30] se expresa de la siguiente manera[15]:

h(T,D = ψ11+ψ2T+ψ3D+ψ4T2 +ψ5D2 +ψ6(TD+DT)

+ψ7(TD2 +D2T)+ψ8(T2D+DT2)+ψ9(T2D2−D2T2) (1.3.7)

donde ψi son cantidades escalares e invariantes en función de los tensores T y D y pueden tomar los valores2:

ψi = ψi

(trT, trT2, trT3, trD, trD2, trD3, trTD, trT2D, trTD2, trT2D2

)(1.3.8)

Por ensayo y error se establecieron ecuaciones hipoplásticas que cumplen con las restricciones menciona-

das anteriormente. Por ejemplo, KOLYMBAS seleccionó unas funciones candidatas que combinó de manera

2tomado de [19]

9


lineal con algunos términos de la ecuación 1.3.3 también denominados generadores, y cumpliendo con las

restricciones formuladas anteriormente experimentó con diversas expresiones hasta concluir con la siguiente

ecuación constitutiva(1985)[15]:

T = C1

12(TD+DT)−C2tr(TD)1+

[C3T+C4

T2

trT

]√trD2 (1.3.9)

que es lo mismo que:

T = C1

12(TD+DT)−C21(T : D)+

[C3T+C4

T2

trT

]‖ D ‖ (1.3.10)

La ecuación propuesta por WU WEI (1992) [31] fué deducida de la misma manera con el intento de mejorar

el comportamiento mecánico simulado. La ecuación de WU WEI se presenta a continuación:

T = C1(trT)D+C2

trTDtrT

T+C3T2

trT

√trD2 +C4

T∗2

trT

√trD2 (1.3.11)

donde T∗ corresponde al esfuerzo desviador definido como T∗ = T− 13(trT1), y las constantes del material

C1, C2, C3 y C4 definen su comportamiento mecánico y se pueden obtener a partir del estado crítico del

suelo[15].

Las ecuaciones propuestas por KOLYMBAS(1.3.9) y WU WEI(1.3.11) son de tipo incremental y no lineal

en D. La homogeneidad de la ecuación con grado 1 en D y T se puede comprobar fácilmente si se tiene en

cuenta que:

tr(αT) = αtrT

tr(αTD) = αtr(TD)

αT∗ = αT− 13

tr(αT)1

(1.3.12)

llegando a la conclusión que h(T,λD) = h(λT,D) = λT. El siguiente paso es deducir la forma general

de una ecuación hipoplástica a partir de las ecuaciones de WU WEI. La ecuación constitutiva que propuso

(1.3.11) se puede reescribir de la siguiente forma:

T = (C1trTI+C2T⊗T) : D+

(C3

1trT

T ·T+C41

trTT∗ ·T∗

)‖ D ‖ (1.3.13)

donde I es el tensor de identidad de 4o. orden (véase apéndice A.3). Si se analiza la ecuación 1.3.13 se puede

deducir que el primer sumando corresponde a la multiplicación con doble contracción de un tensor de 4.o

orden con uno de 2.o orden y como resultado se obtiene un tensor de segundo orden que es exactamente

igual a la suma de los dos primeros sumandos de la ecuación 1.3.11. El último sumando corresponde a la

multiplicación entre dos tensores de segundo orden que es equivalente a la suma de los últimos dos sumando

10


de la ecuación 1.3.11. Si se establece un tensor L = C1tr(T)I +C2T⊗T y un tensor N = C31

tr(T)T ·T +C4

1tr(T)T∗ ·T∗ entonces se puede reescribir la ecuación 1.3.13 de la forma:

T = L : D+N ‖ D ‖ (1.3.14)

lo que significa que la ecuación hipoplástica tiene un sumando lineal en D denotado por L y un sumando no

lineal en D denotado por N. Nótese que se puede realizar el mismo análisis con la ecuación 1.3.10 propuesta

por KOLYMBAS. Más simplificado aún, si se establece un tensor E = L+N⊗~D donde ~D =D‖ D ‖ entonces

la ecuación 1.3.14 puede reescribirse mediante la siguiente expresión:

T = E : D (1.3.15)

1.4. Envolventes de respuesta de las ecuaciones hipoplásticas

Las envolventes de respuesta fueron introducidas por GUDEHUS[10] para evaluar el desempeño de un

modelo constitutivo. Consiste en analizar la trayectoria de esfuerzos T y la tasa de esfuerzoT a partir de una

trayectoria de tasa de elongación D con norma euclidiana constante ‖D ‖= kte en toda dirección. GUDEHUS

propuso ‖ D ‖= 1 en el plano de RENDULIC para evaluar las trayectorias de esfuerzo, es decir un círculo en

el plano D11 vs.√

2D22. El hecho de ser evaluadas sobre el plano de RENDULIC implica que las condiciones

son simétricas con respecto al eje, es decir D22 = D33 y por lo tanto T22 = T33 (véase figura 1.4.c). GUDEHUS

demostró que la relación de las envolventes de respuesta para la trayectoria impuesta de ‖D ‖= 1 corresponde

a una elipse. La figura 1.4.a muestra la trayectoria de la tasa de elongación D que propone GUDEHUS y su

respectiva envolvente de respuesta se presenta en la figura 1.4.b. El plano de RENDULIC es el que se muestra

en la figura 1.4.c y es válido solo para la condición D22 = D33.

Para evaluar las envolventes de respuesta con Hipoplasticidad se realiza el siguiente procedimiento[10].

La condición ‖D ‖= 1 en el plano de RENDULIC conlleva a establecer el siguiente tensor de tasa de elonga-

ción D con parámetro α:

D =

−sin(α) 0 0

0 −cos(α)/√

2 0

0 0 −cos(α)/√

2

(1.4.1)

que corresponde a la ecuación paramétrica de un círculo bajo simetría axial (D22 = D33). Igualmente se

puede evaluar la condición ‖ D ‖= 1 en el espacio principal D11,D22,D33. El resultado es una esfera con

centro en el origen y con radio a = 1 que conlleva a expresar el tensor D con las ecuaciones parámetricas de

11


-D222

-D11

D

(a) Trayectorias de la tasa de elongaciónD en el plano de RENDULIC

-T22,

-T222

-T11,-T11

2

(b) Envolvente de respuesta

Plano de

Rendulic

q 22

q 22

q 11

(c) Plano de RENDULIC para estado de esfuerzossimétrico con respecto al eje principal

Z

X Y

P

O θφ

(d) Se señalan los parámetros θ y φ de lasecuaciones paramétricas de una esfera

Figura 1.4: Envolventes de respuesta

una esfera con parámetros θ y φ que se señalan en la figura 1.4.d como se muestra a continuación:

D =

cos(θ)cos(φ) 0 0

0 cos(θ)sin(φ) 0

0 0 sin(φ)

(1.4.2)

Según la figura 1.4.d el parámetro θ tiene por rango [−π/2,π/2] y el parámetro φ tiene por rango [0,2π].

La programación de las envolventes de respuesta en el plano de RENDULIC y en el espacio T11,T22,T33

se puede realizar fácilmente en MATHEMATICA. En el apéndice B.1 se presenta la programación utilizada

la ecuación de WU WEI (ecuación 1.3.11) para el caso de T11 = T22 = T33 = −100 y con las constantes

del material C1 = −106,5, C2 = −801,5, C3 = −797,1 y C4 = 1077,73. Los resultados se presentan en la

3Las constantes del material utilizadas para graficar las envolventes de respuesta son las que presenta el texto [15], capítulo 7.

12


figura 1.5. Las envolventes de respuesta generadas con ecuaciones hipoplásticas demuestran ser elipses tal

−1 −0.5 0.5 1è!!!2 D2

−1

−0.5

0.5

1D1

−1−0.5

00.5

1D3

−1

−0.50

0.51

D2

−1

−0.5

0

0.5

1

D1

−1−0.5

00.5D3

1

−0.50

0.5D2

−80000−60000−40000−20000 20000 40000è!!!2 T2

−80000

−60000

−40000

−20000

20000

40000

T1

(a) ‖D‖ = 1 en el plano de RENDULIC

D1,√

D2

−1 −0.5 0.5 1è!!!2 D2

−1

−0.5

0.5

1D1

−1−0.5

00.5

1D3

−1

−0.50

0.51

D2

−1

−0.5

0

0.5

1

D1

−1−0.5

00.5D3

1

−0.50

0.5D2

−80000−60000−40000−20000 20000 40000è!!!2 T2

−80000

−60000

−40000

−20000

20000

40000

T1

(b) Envolvente de respuesta en el plano de RENDULIC

T1,√

T2

−1 −0.5 0.5 1è!!!2 D2

−1

−0.5

0.5

1D1

−1−0.5

00.5

1D3

−1

−0.50

0.51

D2

−1

−0.5

0

0.5

1

D1

−1−0.5

00.5D3

1

−0.50

0.5D2

−80000−60000−40000−20000 20000 40000è!!!2 T2

−80000

−60000

−40000

−20000

20000

40000

T1

(c) ‖D‖= 1 en el espacio principal D1,D2,D3

400000

−40000−80000

T3

400000

−40000

−80000

T2

40000

0

−40000

−80000

T1

0−40000

−80000

T3

0

−40000

80000

T2

(d) Envolvente de respuesta en el espacio princi-pal T1,T2,T3

Figura 1.5: Envolventes de respuesta mediante la ecuación de WU WEI con parámetros C1 =−106,5, C2 =−801,5, C3 =−797,1 y C4 = 1077,7 y condición inicial T11 = T22 = T33 =−100.

como se observan en el comportamiento de los suelos[10]. Aunque las elipses se pueden demostrar median-

te la observación de resultados experimentales una explicación a través de la mecánica de los suelos no se

ha podido establecer aún[19]. Otros modelos constitutivos presentan envolventes con trayectorias disconti-

nuas, linealizadas[10] o incluso con esquinas[29]. La simulación de envolventes de respuestas elípticas en la

Hipoplasticidad se atribuye como una de sus ventajas con respecto a otros modelos constitutivos.

13


1.5. Ecuación constitutiva hipoplástica de Wolffersdorff

La ecuación propuesta por WOLLFERSDORFF (1996)[33] introduce el comportamiento asintótico de

los suelos al estado crítico según lo describe BAUER, los factores de picnotropía y barotropía propuestos

por GUDEHUS, la pérdida de memoria del suelo y la superficie de fluencia propuesta por MATSUOKA-

NAKAI [17]. La ecuación constitutiva pretende mejorar la formulación matemática del modelo introduciendo

4 constantes del material que dependen de los niveles de esfuerzos y las relaciones de vacíos y otras 4

constantes de calibración que son invariantes para un material con cierta granulometría y con ciertas formas

de grano en particular[33].

La versión propuesta por KOLYMBAS (ecuación 1.3.9) utilizó como variable de estado el tensor de es-

fuerzos de Cauchy T. Posteriormente WEI agregó como variable de estado la relación de vacíos e. WOLF-

FERSDORFF mantiene las variables de estado e y T y propone una ecuación incremental con la formaT = F(T,e,D). Su ecuación tiene en cuenta la observación de GUDEHUS y BAUER quienes propusieron

para la ecuación constitutiva una expresiónT = F expresada de la siguiente manera:

T = fb fe(LD+ fdN‖D‖) (1.5.1)

donde fb y fd son factores de barotropía y fe es el factor de picnotropía4. El factor fb describe la dependencia

del comportamiento del suelo con respecto a las presiones de confinamiento, y por lo tanto depende de la

trT. El factor fe aporta a la ecuación la dependencia del comportamiento con respecto a la relación de vacíos

y por lo tanto también depende de e y trT. Para simplificar la ecuación se define el factor fs = fe fb que

depende a la vez de trT y e. El término L = L[D] es lineal en D y por lo tanto depende del tensor D y del

tensor T definido como T = T/trT que es adimensional y coaxial con T5. Según lo anterior la ecuación 1.5.1

se puede reescribir señalando la dependencia de cada variable como se muestra a continuación[33]:

F := fb(trT,e) fe(trT,e)(

L(T,D)+ fd(tr(T),e)N(T)‖D‖)

(1.5.2)

En las proximas secciones se explican los estados asintóticos del suelo y la superficie de fluencia MATSUOKA-

NAKAI, condiciones que se tuvieron en cuenta para deducir la ecuación constitutiva según WOLFFERSDORF.

1.5.1. Estados asintóticos del suelo o atractores

Para desarrollar la ecuación constitutiva WOLFFERSDORFF tuvo en cuenta los tres estados asintóticos del

suelo también denominados atractores descritos por GUDEHUS[9] que se refieren a la pérdida de memoria

o swept out of memory, el estado crítico y los estados criptoplásticos. A continuación se explicarán los dos

4Se entiende por barotropía y picnotropía la dependencia del comportamiento mecánico del suelo por la densidad o por el estadode presiones respectivamente. Los nombres picnotropía y barotropía fueron propuestos por Kolymbas.

5Coaxial implica que los eigenvalores de ambos tensores son paralelos y por lo tanto el producto de los tensores es conmutativo

14


primeros atractores:

Estado límite con pérdida de memoria. El estado límite del suelo (o estado pico) implica queT =

Tp =

0. Este estado se puede alcanzar mediante trayectorias de esfuerzos proporcionales a partir de trayectorias

proporcionales de deformación constante. Al alcanzar la condición límite con T = Tp y D = Dp (donde

el subíndice p denota estado límite o pico), la relación de vacíos para este estado ep se localiza entre las

relaciones de vacíos máxima ei y del estado crítico ec . Bajo esta condición los factores fd y fe son constantes.

Los valores ei y ec son los valores máximos y mínimos de la relación de vacíos para un estado de esfuerzo

con trT. Para el estado inicial T11 = T22 = T33 = 0 las relaciones de vacíos se denotan con un subíndice

"0"(p.e. ei0, ed0, ec0). El comportamiento típico de las relaciones de vacíos características se muestran en la

figura 1.6. La ecuación que conecta el estado de esfuerzo con la relación de vacíos máxima ei y mínima ec

se conoce como la Ley de Bauer y se presenta a continuación.

ei

ei0=

ec

ec0=

ed

ed0= exp

[−(− trT

hs

)n](1.5.3)

donde hs y n son constantes del material. hs corresponde a la rigidez de la fase sólida del material y n

corresponde al exponente.

-T22,

-T222

-T11,-T11

2

ei0

ec0

ed0

ei

ec

ed

ln(-trT)

e

Figura 1.6: Curva típica de las relaciones de vacíos máxima, mínima y crítica vs. esfuerzo σ

Es importante senalar que la ley de BAUER se tiene en cuenta en la ecuación constitutiva según WOLF-

FERSDORF.

Estado crítico. Para esta condición se alcanza el estado de esfuerzo crítico Tc que suponiendo volumen

constante o deformación isocórica el estado de esfuerzo Tc permanece constante y concecuentemente su

cambio con respecto al tiempoT = 0. La condición de volumen constante conlleva a establecer lo siguiente

15


para el estado crítico:

T = 0 (porque el estado de esfuerzo permanece constante)

e = 0 (Por ser a volumen constante)

trDc = 0 (Por ser volumen constante)

e = ec T = Tc (1.5.4)

Si se establece que al alcanzar el estado crítico fd = 1 y teniendo en cuenta la ecuación 1.3.14 se puede

deducir una expresión para−→Dc de la siguiente forma:

T = L : D+N‖D‖,T =

Tc = 0, D = Dc,

0 = L : Dc +N‖Dc‖,L : Dc =−N‖Dc‖,

L−1 : Dc =−L−1N ‖ Dc ‖,−→Dc =

D‖ D ‖ =−L−1N (1.5.5)

Para simplificar un poco, NIEMUNIS introduce el tensor B definido como:

B =−~Dc = L−1 : N (1.5.6)

La ecuación 1.5.5 implica que existe solo una dirección para el tensor−→Dc bajo la condición de estado crítico.

Lo anterior se puede interpretar como la regla de flujo para la Hipoplasticidad que a diferencia de otros

modelos constitutivos no se necesita introducir para deducir la ecuación, en cambio resulta de la expresión

al introducir las condiciones de estado crítico (véase ecuaciones 1.5.4). Ahora, como el tensor ~Dc = −B es

direccional entonces:

‖ ~Dc ‖2= ‖ −B ‖2 = 1. (1.5.7)

La condición 1.5.7 se cumple solo en el estado crítico. Teniendo en cuenta que ‖ ~Dc ‖2= tr~Dc

2y la ecuación

de la regla de flujo (1.5.5) se puede deducir la siguiente expresión para la superficie límite para estado crítico

fc:

fc := tr~Dc2−1 = 0 = tr(−L−1N)2 (1.5.8)

6En otras palabras, el resultado de la ecuación 1.5.8 bajo el espacio T11,T22,T33 corresponde a la superficie

límite del estado crítico generado por la ecuación hipoplástica. Por otro lado, la condición del estado crítico

6El símbolo := denota asignación de una función a una nueva variable.

16


Plano de

Rendulic

q3

q2

T1

T2

T3

T1=T

2=T3

T

y

q

-T2, -T2

-T1,-T1

2

-T11

-T22 -T33

Criterio Matsuoka/Nakai jc=40°

Criterio Mohr/Coulomb jc=40°

jc=30°

jc=20°

Figura 1.7: Criterio de falla MATSUOKA-NAKAI comparado con el criterio de falla MOHR-COULOMB

supone que no existen cambios en el volumen. Entonces trDc = 0. Definiendo gc como la tr~Dc entonces:

gc := tr~Dc = tr(−L−1N) = 0 (1.5.9)

La condición gc describe una superficie de esfuerzos para todos los Tc con la condición isocórica tr~Dc = 0.

Luego, para la condición de estado crítico las dos condiciones fc = 0 y gc = 0 deben ser satisfechas. Para

hacerlo se necesitan formular funciones tensoriales de L y N que cumplan con estas condiciones y con

superficie de fluencia de MATSUOKA-NAKAI.

1.5.2. Superficie de fluencia de Matsuoka-Nakai

La superficie de fluencia MATSUOKA-NAKAI circusncribe la pirámide propuesta por MOHR-COULOMB

de manera ajustada (véase figura 1.7). La implementación del criterio de falla MATSUOKA-NAKAI se había

realizado en otras ecuaciones constitutivas propuestas por VERMEER P. (1980) y NOVA R. (1987). Uno de

los propósitos de la ecuación de WOLFFERSDORFF es generar una superficie de fluencia que coincida con la

superficie propuesta por M-N [17] mediante la ecuación propuesta por VEERMER:

yM−N(T) =− I1I2

I3+

9− sin2(ϕc)−1+ sin2(ϕc)

= 0 (1.5.10)

introduciendo las invariantes de esfuerzo

I1 = trT

I2 =12[T : T− (I1)2]

I3 = det(T)

(1.5.11)

Para los ejes principales se puede deducir el siguiente sistemas de ecuaciones de las invariantes.

17


I1 = T11 +T22 +T33

I2 =−T11T22−T11T33−T22T33

I3 = T11T22T33

(1.5.12)

Con la ecuación 1.5.10 y las ecuaciones 1.5.12 se puede despejar T11 llegando a la siguiente expresión:

(T22 +T33)T112 +(

T222 +T33

2 +3T22T33− T22T33

K

)T11 +(T22T33

2 +T22T332) = 0 (1.5.13)

donde K = (9−sin2(ϕc))/(−1+sin2(ϕc)). La ecuación 1.5.13 es una cuadrática de la forma ax2 +bx+c = 0

y tiene soluciones complejas y reales para cada T22,T33. El conjunto de respuesta reales describen en el

espacio de esfuerzos principales T11, T22, T33 la superficie de fluencia MATSUOKA-NAKAI. La ecuación se

puede programar fácilmente con MATHEMATICA. La gráfica de la superficie límite de M-N para un ϕc = 30

en el espacio principal T1, T2 y T3 se presenta en la figura 1.8. El script dearrollado para graficar la superficie

de fluencia se anexa en el apéndice B.2.

025

5075

100

0

25

5075

100

0

25

50

75

100

025

5075

0

25

5075

T2

T1

T1

T2

T3

Figura 1.8: Criterio de falla Matsuoka/Nakai programado en MATHEMATICA

18


1.5.3. Algunos aspectos de la deducción de la ecuación de Wolffersdorff

Para encontrar las funciones L y N, WOLFFERSDORFF utiliza las siguientes expresiones propuestas por

WU [31]:

L : = D+B1tr(TD)T (1.5.14)

N : = B2T2 +B3T∗2 (1.5.15)

La ecuación constitutiva es deducida a partir de los estados asintóticos, la ley de BAUER y la superficie de

fluencia de M-N. Los coeficientes B1, B2 y B3 se pueden despejar teniendo en cuenta las ecuaciones para el

estado crítico 1.5.9, 1.5.8 y la condición gc = fc. La solución lo realiza introudiciendo la variable α que está

en función del ángulo de fricción crítico ϕc de la forma:

αc2 =

4sin2(ϕc)3(3− sin(ϕ))2 (1.5.16)

Con la ecuación 1.5.16 y las condiciones mencionadas se puede llegar a la siguiente expresión para el estado

crítico[33]:T = fb

[D+

12αc

2 tr(TcD)Tc +1√2αc

(Tc + T∗c) ‖ D ‖]

(1.5.17)

Ahora, para introducir el criterio de falla de M-N, WOLFFERSDORF convierte la ecuación 1.5.17 a:

T = fb

[XD+

12αc

2Y tr(TcD)Tc +1√2αc

Z(Tc + T∗c) ‖ D ‖]

(1.5.18)

siendo X , Y y Z factores desconocidos de la ecuación. Para solucionarlo utiliza las condiciones establecidas

en las ecuaciones 1.5.4, la ley de BAUER y la ecuación de la superficie M-N. De esta forma el sistema se

convierte en tres ecuaciones y tres incógnitas y por lo tanto es determinado. La solución la presenta en [33]

llegando a la siguiente expresión para el estado crítico:

T = fb

1trT2

c

[F2D+a2tr(TcD)Tc +aF(Tc + T∗c) ‖ D ‖] (1.5.19)

donde:

a =√

3(3− sin(ϕc))2√

2sin(ϕc)(1.5.20)

F =

√18

tan2(ψ)+2− tan2(ψ)

2+√

2tan(ψ)cos(3θ)− 1

2√

2tan(ψ) (1.5.21)

tan(ψ) =√

3 ‖ T∗c ‖ (1.5.22)

cos(3θ) =−√

6tr(T∗c)

[tr(T∗c)]3/2(1.5.23)

19


El ángulo θ y el ángulo ψ están señalados geométricamente en la figura 1.9. Se puede demostrar que para

compresión triaxial y estado de esfuerzo hidrostáticos F = 1. Para el caso de extensión triaxial el factor F

decrece con la oblicuidad del tensor T de la forma F = 1+q/(3p).

-

T11=

-T

22=

-T

33

T

y

q

-T

D2=-D1 /2

T2

D2=-D1 /2

-T11

-T22

-T33

Figura 1.9: Ángulo de lode y ángulo ψ

1.5.4. Ecuacion constitutiva final por Wolffersdorff

La ecuación constitutiva final introduciendo los factores de barotropía y picnotropía propuestos por GU-

DEHUS y BAUER queda de la siguiente manera:

T = fa fe

1trT2

[F2D+a2tr(TD)T+aF fd(T+ T∗) ‖ D ‖] (1.5.24)

GUDEHUS[10] y BAUER [3] propusieron las siguientes expresiones para los factores de barotropía y picno-

tropía teniendo en cuenta la ley de BAUER y el comportamiento del suelo en el estado límite y crítico:

fe =(ec

e

)(1.5.25)

fd =(

e− ed

ec− ed

)α

(1.5.26)

fb =(

ei0

ec0

)β hs

n1+ ei

ei

(−trThs

)1−n[3+a2−a

√3(

eio− ed0

ec0− ed0

)α

]−1

(1.5.27)

fs = fe fb (1.5.28)

20


Las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.27 introducen las constantes de material α y β a la ecuación constitutiva. La

ecuación 1.5.24 es equivalente a la siguiente expresión:

T =

fa fe

T : Ta2

((Fa

)2

I+ T⊗ T+ fd

(Fa

)(T+ T∗)

)(1.5.29)

Si se establece que:

L =fa fe

T : Ta2

((Fa

)2

I+ T⊗ T

)(1.5.30)

N =fa fe

T : Ta2(

Fa

)(T+ T∗) (1.5.31)

la ecuación 1.5.29 se puede reescribir de la misma forma que 1.3.14:

T = L : D+ fdN ‖ D ‖ (1.5.32)

con excepción del factor fd .

1.6. Invertibilidad de la ecuación hipoplástica

La ecuación hipoplástica de WOLLFERSDORFF se ha expresado hasta ahora de la formaT = F(T,e,D).

En este inciso se mostrará la forma de expresar la misma ecuación pero esta vez despejando D = F(T,e,D)según el algoritmo de DOANH[26]. Sea x =‖ D ‖. Se puede deducir que D = A−Bx siendo A = L−1 :

T y

B = L−1 : N de la siguiente manera:

T = L : D+ fdN ‖ D ‖L−1 :

T = L−1L : D+L−1 : fdN ‖ D ‖

L−1 :T = I : D+L−1 : fdN ‖ D ‖

D = L−1 :T−L−1 : fdN ‖ D ‖

(1.6.1)

de la forma:

D = A−Bx (1.6.2)

Para hallar x se multiplica con doble contracción a ambos lados de la ecuación 1.6.2 para obtener D : D =‖D2 ‖= x2. Se puede demostrar que al desarrollar esta ecuación resulta una cuadrática en función de x como

21


se muestra a continuación:

‖ D ‖2= DT : D = (A−Bx)T : (A−Bx)

x2 = AT : A−AT : Bx−BT : Ax+BT : Bx2

(BT : B−1)x2 +(−AT : B−BT : A)x+AT : A = 0

(1.6.3)

que es una cuadrática con la forma ax2 +bx+ c = 0 con:

a = BT : B−1 ; b =−AT : B−BT : A ; c = AT : A (1.6.4)


a = trB2−1 ; b =−2 · tr(AB) ; c = trA2 (1.6.5)

La solución de la cuadrática es la siguiente:

x1,2 =AT : B

BT : B−1±√(

AT : BBT : B−1

)2

− AT : ABT : B−1

(1.6.6)

Teniendo en cuenta que la norma euclidiana siempre es positiva ‖ D ‖> 0[19] se escoge la raíz cuyo valor

sea mayor a 0. Ahora, en caso de existir dos raíces positivas significa que la ecuación 1.5.29 es invertible con

múltiples soluciones. En caso que existan dos raíces negativas entonces la ecuación 1.5.29 no es invertible.

NIEMUNIS[19] demuestra que estas dos condiciones solo son posibles cuando T se localiza en el borde

o por fuera de la superficie de fluencia respectivamente. Entonces la condición de invertibilidad se puede

simplificar al caso cuando una raiz es positiva y la otra es negativa lo que implica que x1x2 < 0. La anterior

condición se puede evaluar multiplicando las dos raíces y verificando la condición para la cual cumple.

x1x2 =4(A ·B)2−4(A ·B)2 +4A ·A(B ·B−1)

4(B ·B−1)2 =A ·A

B ·B−1< 0 (1.6.7)

Como A ·A > 0 entonces la ecuación 1.5.29 es invertible si y solo si B ·B− 1 < 0. Por otro lado, como

el tensor A = L−1 :T y B = L−1 : N entonces se requiere conocer de antemano el tensor L−1 para poder

invertir la ecuación 1.5.29. La ecuación 1.5.30 muestra que el tensor L−1 se puede descomponer de la forma

H = A+B⊗C y por lo tanto se puede utilizar el teorema de SHERMMAN-MORRISON (véase apéndice A.4).

Recordando la ecuación de L :

L =fs

T : Ta2

((Fa

)2

I+ T⊗ T

)

Para facilitar los cálculos se introducen los factores escalares ζ y ξ que se definen a continuación:

ζ =fs

T : Ta2; ξ =

(Fa

)2

, ∴ L = ζ (ξI+ T⊗ T) ; (1.6.8)

22


El teorema de SHERMMAN-MORRISON plantea que si H = A + B⊗C su inversa es la que se muestra a

continuación:

H−1 = A−1 : B : C : A−1(1+λ )−1

donde λ = (C : A−1 : B). Sea:

A = ξI ∴ A−1 =1ξ

I ;

B⊗C = T⊗ T(1.6.9)

Entonces:

A−1 : B⊗C : A−1 =1

ξ 2 I : (T⊗ T) : I =1

ξ 2 (T⊗ T) ;

λ =1ξ

T : (I : T) =1ξ

T : T ;

L−1 =1ζ

(1ξ

I−1

ξ 2 T⊗ T

1+ 1ξ

T : T

) (1.6.10)

Reemplazando con las ecuaciones 1.6.8:

L−1 =T : TF2 fs

(I− T⊗ T

F2

a2 + T : T

)(1.6.11)

Sea κ = 1a2 + T : T7. Para el caso especial de T diagonal con simetría con respecto al eje (T22 = T33) y F = 1

entonces:

L−1 =T : T

fs

1− ˆT112

κ0 0 0 0,5 0 0 0 0,5

0 − ˆT11 ˆT22κ

0 0,5 0 0 0 0 0

0 0 − ˆT11 ˆT22κ

0 0 0 0,5 0 0

0 0,5 0 − ˆT11 ˆT22κ

0 0 0 0 0

0,5 0 0 0 1− ˆT222

κ0 0 0 0,5

1 0 0 0 0 − ˆT11 ˆT22κ

0 0,5 0

0 0 0,5 0 0 0 − ˆT11 ˆT22κ

0 0

0 0 0 0 0 0,5 0 − ˆT11 ˆT22κ

0

0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 1− ˆT222

κ

(1.6.12)

7No se debe confundir la variable κ asignada al escalar 1a2 + T : T con el parámetro κ del modelo viscohipoplástico.

23


El tensor A = L−1 :T corresponde a:

A =T : Tfsκ

(κ− T 2

11)

T11−2T11T22

T22 0 0

0 (κ−2T222)

T22−T11T22

T11 0

0 0 (κ−2T222)

T22−T11T22

T11

(1.6.13)

y B = L−1 : N :

B =fdaκ

(κ− T 211)(T11 + T11

∗)−2T11T22(T22 + T22

∗) 0 0

(κ−2T222)(T22 + T22

∗)0 −T11T22(T11 + T11

∗) 0

(κ−2T222)(T22 + T22

∗)0 0 −T11T22(T11 + T11

∗)

(1.6.14)

1.7. Parámetros hipoplásticos

Como se mencionó anteriormente la ecuación constitutiva hipoplástica según WOLFFERSDORFF presenta

8 parámetros. En la tabla 1.1 se presenta el símbolo y el nombre de cada parámetro hipoplástico:

Tabla 1.1: Nombres y símbolos de los parámetros hipoplásticosSímbolo Nombre

ϕc Ángulo de fricción crítico con p′ ∼ 0ed0 Relación de vacíos para el estado mas denso con p′ ∼ 0ec0 Relación de vacíos crítica con p′ ∼ 0ei0 Relación de vacíos para el estado mas suelto con p′ ∼ 0hs Dureza del esqueleto granularn Exponente de la ley de compresiónα Exponente de la función de piknotropíaβ Exponente de la función de barotropía

La literatura presenta diversos métodos para la obtención de estos parámetros a partir de ensayos experi-

mentales. Algunos de estos métodos se presentan a continuación:

Ángulo de fricción crítico para p′ ∼ 0: se puede obtener a partir del triaxial drenado, no drenado y

24


corte directo. Las siguientes relaciones para el estado crítico puede ser utilizada para despejar ϕc:

sinϕc =σ1−σ2

σ1 +σ2(1.7.1)

M =6sinϕc

3− sinϕc(1.7.2)

donde M es la pendiente de la recta q vs. p′ para el estado crítico (véase figura 1.10.a). Una alternativa es

determinar el ángulo de reposo e igualarlo al ángulo de fricción crítico para p′ ∼ 0 (véase 1.10.b).

-T22 -T33

Criterio Mohr/Coulomb jc=

jc=30°

jc=20°

q

p'

1

M

(a) Esquema de la línea del esta-do crítico en el espacio q vs. p′

jc

(b) Esquema de la determinación del ángu-lo de reposo

Figura 1.10: .

Relación de vacíos crítica para p′ ∼ 0 : con ensayos triaxiales no drenados para estados suelto a me-

dianamente denso con diferentes presiones de confinamiento iniciales y a deformaciones mayores al 20 %.

Otra alternativa es igualar ec0 ≈ emax.

Relación de vacíos para el estado mas suelto y denso con p′ ∼ 0 : la relación de vacíos para el estado

más suelto se puede obtener mediante la relación ei0 ≈ λemax con λ = 1,05− 1,20. La relación de vacíos

para el estado más denso se puede obtener mediante un corte cíclico con amplitud de deformación controlada

'= 10−3. Otra alternativa es igualar ed0 ≈ emin.

Dureza del esquelteo granular hs y exponente de la ley de compresión n: ambos parámetros se pueden

obtener realizando una compresíón oedométrica o isotrópica partiendo desde el estado mas suelto de la

muestra. Para obtener hs y n se puede utilizar la relación ei = ei0 exp[−(

3phs

)].

Exponente de la función de piknotropía α: se obtiene mediante un ensayo triaxial en estaod denso

considerando la relación de vacíos e y el estado de esfuerzo T en el estado pico. Para hallar α se puede

25


utilizar las siguientes ecuaciones:

Kp =T1p

T2p=

1+ sinϕp

1− sinϕp, donde sinϕp =

T1pT2p

T1p +T2p;

Id =ec− ep

ec− ed;

tanνp =−D1 +2D2

D1= 2

Kp−4+5AK2p−2AKp

(5Kp−2)(1−2A),

siendo A =a2

(2+Kp)

(1− Kp(4−Kp)

5Kp−2

);

α =

ln

(6

(2+Kp)2 +a2Kp(Kp−1tanνp)a(2+Kp)(5Kp−2)

√4+2(1+ tanνp)2

)ln(1− Id)

(1.7.3)

Exponente de la función de barotropía β : se puede obtener mediante dos curvas de compresión isotrópicas

para distintos relaciones de vacíos iniciales e1 y e2 (véase figura 1.11). El exponente β se puede obtener

mediante la siguiente ecuación:

β =

ln

(Es2(3+a2−a

√3 fd1)

Es1(3+a2−a√

3 fd2)

)

ln(

e1

e2

) ; donde Es = (1+ ei)∆p∆ei

(1.7.4)

-

T11=

-T

22=

-T

33

T

y

q

-T22

-T22

-T33

p'

e10

e20

De1

De2

Dp

Figura 1.11: Esquema de la determinación del β en un ensayo isotrópico.

Otra alternativa es suponer β = 1.

Los rangos que presentan los parámetros de la Hipoplasticidad se presentan en la tabla 1.2.

26


Tabla 1.2: Rangos de los parámetros hipoplásticosParámetro Rango

ϕc 28-40

ed0 0.3-1.0ec0 0.6-1.7ei0 0.7-2.0hs 50-50.000 MPan 0.3-0.6α 0.05-0.3β 1.0-2.0

27

Capítulo 2

Element test con Hipoplasticidad

Se denomina element test a los ensayos que bajo esfuerzos presentan deformaciones homogéneas[15],

suposición bajo la cual se basan los modelos constitutivos. Experimentalmente se ha encontrado que la con-

dición de deformación homogénea se presenta bajo un riguroso procedimiento experimental y solo por parte

del tiempo en el que ocurre el ensayo[15]. Aunque estrictamente las muestras no presentan homogeneidad en

sus deformaciones, se supone lo contrario para ser comparado con las simulaciones realizadas por modelos

constitutivos. Para realizar una simulación, es necesario conocer en primer lugar las condiciones y restriccio-

nes que presenta cada ensayo y en segundo lugar el control del ensayo. Para explicar lo anterior considérese

por ejemplo el ensayo oedemétrico. Es bien conocido la restricción D22 = D33 = 0 para el caso oedométri-

co, y bajo la suposición de deformación cortante nula solo existe un componente en el tensor D diferente

a cero (D11 6= 0). El segundo paso es conocer el control para el ensayo. Para ese caso, lo mas sencillo es

suponer deformación controlada1 lo que se conoce como condiciones de borde cinemáticas. Siguiendo con

el ejemplo del ensayo oedométrico, lo anterior implica que se conoce D11 y se debe hallar el tensor T. Una

vez solucionada, se tienen en cuenta las condiciones iniciales T y e y los parámetros del material y con ellos

se integra numéricamente la ecuación constitutiva por medio de diferencias finitas hasta obtener la curva

de esfuerzos-deformación. En este inciso se presentarán las soluciones para algunos ensayos elementales y

algunos métodos de integración por diferencias finitas de la ecuación constitutiva.

2.1. Solución para tensores de esfuerzo y deformación con simetría axial ysin cortantes

Los element test de compresión oedométrica y compresión triaxial presentan simetría axial (D22 =D33,T22 = T33) y no presentan deformaciones cortantes (T y D tensores diagonales). Esta sección presenta el

1es mas sencillo porque la ecuación constitutiva es explícita enT cuando se conocen para cada e y T el tensor D.

28

CAPÍTULO 2. ELEMENT TEST CON HIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09

desarrollo matemático para deducir las expresiones matemáticas con las condiciones anteriores y F = 1.

Con las condiciones de simetría axial y sin deformación cortante, los tensores T y D son:

T =

T11 0 0

0 T22 0

0 0 T22

; y D =

D11 0 0

0 D22 0

0 0 D22

(2.1.1)

Utilizando la ecuación de WOLFFERSDORFF se puede deducir unas expresiones para los tensores L y N.

Un procedimiento propuesto para solucionar estos dos tensores se mostrará a continuación. Desarrollando la

ecuación para L =fa fe

T : Ta2

((Fa

)2

I+ T⊗ T

):

T =

T11 0 0

0 T22 0

0 0 T22

;

T⊗ T =

T 211 0 0 0 0 0 0 0 0

0 T11T22 0 0 0 0 0 0 0

0 0 T11T22 0 0 0 0 0 0

0 0 0 T11T22 0 0 0 0 0

0 0 0 0 T 222 0 0 0 0

0 0 0 0 0 T 222 0 0 0

0 0 0 0 0 0 T11T22 0 0

0 0 0 0 0 0 0 T 222 0

0 0 0 0 0 0 0 0 T 222

(2.1.2)

Entonces el tensor L para las condiciones establecidas es el siguiente:

L =fs

trT

1+a2T 211 0 0 0 0,5 0 0 0 0,5

0 a2T11T22 0 0,5 0 0 0 0 0

0 0 a2T11T22 0 0 0 0,5 0 0

0 0,5 0 a2T11T22 0 0 0 0 0

0,5 0 0 0 1+a2T 222 0 0 0 0,5

0 0 0 0 0 a2T 222 0 0,5 0

0 0 0,5 0 0 0 a2T11T22 0 0

0 0 0 0 0 0,5 0 a2T 222 0

0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 1+a2T 222

(2.1.3)

29


La multiplicación con doble contracción de L : D es:

L : D =

(1 + a2T 211)D11 +

a2T11T22D220 0

0a2T11T22D11 +(1+a22T 2

22)D220

0 0a2T11T22D11 +(1+a22T 2

22)D22

; (2.1.4)

Un procedimiento similar se puede realizar para hallar el tensor N. Si se tiene en cuenta que Ti +T ∗i =2Ti

trT− 1

3entonces:

N =fs fda(trT)

2T11

trT− 1

30 0

02T22

trT− 1

30

0 02T22

trT− 1

3

(2.1.5)

El siguiente paso es hallar las expresiones para los componentes

T 11 y

T 22. Para hacerlo es necesario tener

en cuenta que para las condiciones establecidas:

trT = T11 +2T22;

T : T =trT2

(trT)2 ;

‖ D ‖=√

D211 +2D2

22

Finalmente se suman los componentes respectivos de la ecuación hipoplástica para hallar

T 11 y

T 22 y sim-

plificando un poco se puede llegar a las siguientes expresiones:

T 11 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(D11 +a2 T11D11 +2T22D22

(T11 +2T22)2 T11 + fda3

5T11−2T22

T11 +2T22

√D2

11 +2D222

); (2.1.6)

T 22 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(D22 +a2 T11D11 +2T22D22

(T11 +2T22)2 T22 + fda3

4T22−T11

T11 +2T22

√D2

11 +2D222

)(2.1.7)

Dado a que el ensayo de compresión oedométrica y triaxial presentan simetría axial y no presentan defor-

maciones cortantes, las ecuaciones anteriores facilitarán las soluciones para cada uno de estos ensayos. El

siguiente inciso presenta algunos métodos de integración y luego se presentan las soluciones de los element

test para los ensayos de compresión isotrópica, compresión oedométrica, compresión triaxial no drenado y

compresión triaxial drenado.

30


2.2. Integración por diferencias finitas

2 El método de integración por diferencias finitas es usado frecuentemente para encontrar una solución

numérica de un medio continuo. Este método consiste en reemplazar las derivadas por aproximaciones en

diferencias finitas y de esa manera se puede solucionar una ecuación diferencial por incrementos. Para expli-

car lo anterior considérese el caso de una dimensión con la función f (t) que muestra la figura 2.1. La idea es

dividir la función f (t) en pequeños segmentos e ir integrando de un punto al siguiente. Ahora supóngase que

se parte desde el punto i y se quiere llegar al punto i+1. Sean fi = f (ti) y fi+1 = f (ti+1). Según la expansión

de TAYLOR:

v

(ee0, p e0)

q

p

q=Mp

‖B‖=1

f(t)

t

Integración

Real

O

A

Figura 2.1: Idealización de la integración por diferencias finitas

fi+1 = fi + f ′i ∆t +(∆t)2

2!f ′′i +

(∆t)3

3!f ′′′i . . . (2.2.1)

donde f ′ es la primera derivada de f (t), f ′′ es a segunda derivada y así sucesivamente. Dado que es muy

díficil solucionar la n-ésima derivada de f (t) para los n>1, entonces la ecuación 2.2.1 se puede aproximar a

los primeros dos términos quedando de esta manera:

fi+1 = fi + f ′i ∆t +E (2.2.2)

donde E = (∆t)2

2! f ′′i + (∆t)3

3! f ′′′i . . . corresponde al conjunto de términos que no se tienen en cuenta y por eso

constituyen el error de la itegración. Si se aproxima el error a su primer término E = (∆t)2

2! f ′′i entonces se

puede concluir por un lado que E ∼ (∆t)2, es decir el error es propocional al cuadrado del tamaño de la

retícula. Por otro lado, el error E ∼ f ′′i , es decir, es proporcional a la curvatura de la función. En este caso se

debe conocer la condición actual f i para encontrar al punto siguiente f i+1 y por esa razón el método se de-

nomina diferencias finitas hacia adelante. Como la condición actual es conocida, entonces la condición f i+1

se puede calcular de manera explícita lo que quiere decir que el término f i+1 aparece totalmente despejado

2La teoría que se presenta en este inciso se realizó consultando las fuentes [34] y [1].

31


en la ecuación. Con la ecuación 2.2.1 se puede deducir la siguiente expresión para la primera derivada f ′:

f ′i =fi+1− fi

∆t− ∆t

2!f ′′i −

(∆t)2

3!. . . (2.2.3)

y simplificando se puede llegar a:

f ′i =fi+1− fi

∆t− E

∆t(2.2.4)

donde E∗− E∆t

corresponde al error del truncado, es decir el error que se comente en la primera derivada

por integrar aproximando a los primeros dos términos en la ecuación 2.2.1. Igual que la integración explícita

hacia adelante se puede integrar hacia atrás. El término fi−1 se puede solucionar mediante la expansión de

TAYLOR llegando a la siguiente expresión:

fi−1 = fi− f ′i ∆t +(∆t)2

2!f ′′i −

(∆t)3

3!f ′′′i . . . (2.2.5)

y resolviendo para la primera derivada se llega a :

f ′i−1 = fi−∆t f ′i +(∆t)2

2!f ′′i −

(∆t)3

3!f ′′′i (2.2.6)

que se puede simplificar como:

f ′i−1 = fi−∆t f ′i +E∗∗ (2.2.7)

Con E∗∗ ≈ (∆t)2

2! f ′′i . Entonces se puede concluir que el error obtenido con el método de integración hacia

adelante es similar al error obtenido con el método de integración hacia atrás.

Una solución para disminuir la magnitud del error de integración consiste en tener en cuenta ambos tipos

de integración en uno solo, lo que se conoce como el método de integración de las diferencia finitas medias.

Para tal propósito se restan las ecuaciones 2.2.5 de 2.2.1. De la diferencia resulta:

fi+1− fi−1 = 2∆t f ′i +13(δ t)3 f ′′′i + . . . (2.2.8)

Nótese que al restar las ecuaciones se eliminó el tercer término de la segunda derivada f ′′i y en su lugar ocupa

el término de la tercera derivada f ′′′i . Al despejar la primera derivada de 2.2.8 se obtiene:

f ′i =fi+1− fi−1

2∆t+E∗∗∗ (2.2.9)

donde E∗∗∗ ≈ 16 f ′′′i (∆t). Con este método el error se disminuye con mayor rápidez comparado con los casos

de integración hacia adelante y hacia atrás. Para el caso de la ecuación constitutiva se tiene una función

T = h(T,D,e). Frecuentemente se utiliza la integración hacia adelante para la ecuación constitutiva. Entonces

para resolver las condiciones del próximo incremento, se debe resolver primeroT para la condición actual y

32


ln(-T/ Tr)

De

Dr

q

v

p

(ee0, p e0)

Isotaca de

referencia

(e1, p 1, q1)

p e

p e +

q

p

q=Mp

‖B‖=1 Elipse de fluencia

en la isotaca de

referencia para elmismo e

Elipse de fluencia

para el estadoactual

p e

+

p e

(p1, q1)

I

r

q

p

q=Mp

‖B‖=1

q

p

q=Mp

‖B‖=1

p

(Isotaca dereferencia

para q=0)

(ere

Isotaca

referen

para q=

Trayectoria B

Trayectoria C

Trayectoria A

Línea del estado

crítico

v=1+e

p

A

B

C

A

B

C

Isotaca de

referencia para

q=0 (compresión

isotrópica)

OCR=1

f(t)

t

f(t+Δt)

f(t+Δt)

f(t+Δt)Real E

Δf

t t+Δt

IntegraciónReal

f(t)

t

f(t)

f(t-Δt)

f(t-Δt)Real

E

Δf

tt-Δt

Integración

Real

(a) Integración por diferencias finitas haciaadelante.

ln(-T/ Tr)

De

Dr

q

v

p

(ee0, p e0)

Isotaca de

referencia

(e1, p 1, q1)

p e

p e +

q

p

q=Mp


en la isotaca de


Elipse de fluencia


p e

+

p e

(p1, q1)

I

r

q

p

q=Mp

‖B‖=1

q

p

q=Mp

‖B‖=1

p


para q=0)

(ere

Isotaca

referen

para q=

Trayectoria B

Trayectoria C

Trayectoria A

Línea del estado

crítico

v=1+e

p

A

B

C

A

B

C

Isotaca de

referencia para

q=0 (compresión

isotrópica)

OCR=1

f(t)

t

f(t+Δt)

f(t+Δt)

f(t+Δt)Real E

Δf

t t+Δt

IntegraciónReal

f(t)

t

f(t)

f(t-Δt)

f(t-Δt)Real

E

Δf

tt-Δt

Integración

Real

(b) SIntegración por diferencias finitas haciaatrás.

t

f(t+Δt)

f(t+Δt)

f(t+Δt)Real E

Δf

t t+Δt

f(t)

t

f(t)

f(t-Δt)

f(t-Δt)Real

E

Δf

tt-Δt

Integración

Real

f(t)

t

f(t)

f(t+Δt) E

t t+Δt

hacia adelanteReal

hacia atrásMedias

(c) SIntegración por diferencias finitas me-dias.

Figura 2.2: Integración por diferencias finitas.

luego:

T(i+1) = T(i) +T

(i)∆t (2.2.10)

El caso especial de compresión con simetría axial queda simplificado a las ecuaciones:

T

(i+1)

11 = T (i)11 +

T

(i)

11∆t (2.2.11)

T(i+1)

22 = T (i)22 +

T

(i)

22∆t (2.2.12)

e(i+1) = e(i) + e(i)∆t (2.2.13)

La integración hacia atrás corresponde a la siguiente ecuación:

T(i+1) = T(i) +T

(i+1)∆t (2.2.14)

33


y para el caso de compresión con simetría axial:

T

(i+1)

11 = T (i)11 +

T

(i+1)

11 ∆t (2.2.15)

T(i+1)

22 = T (i)22 +

T

(i+1)

22 ∆t (2.2.16)

e(i+1) = e(i) + e(i+1)∆t (2.2.17)

Las ecuaciones anteriores implican que se debe conocer los valores paraT

(i+1)y e(i+1). Esto obliga a realizar

una solución implícita de las ecuaciones.

El último caso corresponde a las diferencias medias que corresponde a la ecuación:

T(i+1) = T(i) +12

( T

(i)+T

(i+1))

∆t (2.2.18)

que para condiciones de simetría axial se simplifica a:

T

(i+1)

11 = T (i)11 +

12

(

T(i)

11 +

T(i+1)

11

)∆t (2.2.19)

T

(i+1)

22 = T (i)22 +

12

(

T(i)

22 +

T(i+1)

22

)∆t (2.2.20)

e(i+1) = e(i) +12

(e(i) + e(i+1)

)∆t (2.2.21)

2.3. Compresión isotrópica

La compresión isotrópica establece esfuerzos y deformaciones iguales en las tres direcciones (véase

esquema de la figura 2.3). Lo anterior implica un tensor T y D de la siguiente manera:

T =

T11 0 0

0 T11 0

0 0 T11

; y D =

D11 0 0

0 D11 0

0 0 D11

(2.3.1)

Reemplazando en las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 se puede deducir la siguiente relación hipoplástica para com-

presión isotrópica:

T11 = 3 fs

(D11 +

a2

3D11 + fd

a√3‖ D11 ‖

)(2.3.2)

donde ‖ D11 ‖ denota el valor absoluto de D11 =√

D211.

34


-T22,

-T222

T11

2

ei

ec

ed

ln(-trT)

q 22

x1

x2

x3

e2

e1

e3

T11,D11

T11, D11

T11,D11

x1

x2

x3

e2

e1

e3

ej

e i

Trayector

ia de

deform

aciones

proporcionales

s j

s i

con

estado

incial

s1=s

2=

s3=0s 1=

s 2=s 3=0

Figura 2.3: Esquema de la compresión isotrópica

2.4. Compresión oedométrica

Como se mencionó la compresión oedométrica establece deformaciones laterales nulas (véase figura

2.4). Los tensores de esfuerzo y deformación son los que se muestran a continuación:

T =

T11 0 0

0 T22 0

0 0 T22

; y D =

D11 0 0

0 0 0

0 0 0

(2.4.1)

T11,D11

T11, D11

T11,D11

T11, D11

T22

D22=0

T22

D22=0

Isotrópico

Figura 2.4: Esquema de la compresión oedométrica

La condición D22 = D33 = 0 se reemplaza en las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 llegando a las siguientes

expresiones:

T 11 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(D11 +a2 T 2

11D11

(T11 +2T22)2 + fda3

5T11−2T22

T11 +2T22

√D2

11

); (2.4.2)

T 22 =

T 33 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(a2 T11T22D11

(T11 +2T22)2 + fda3

4T22−T11

T11 +2T22

√D2

11

)(2.4.3)

35


Nótese que las ecuaciones anteriores se pueden reorganizar de la siguiente manera:

T 11 =

fs

trT2

(D11 +a2T11trTD+ fda(T11 + T ∗11) ‖ D11 ‖

)(2.4.4)

T 22 =

fs

trT2

(a2T22trTD+ fda(T22 + T ∗22) ‖ D11 ‖

)(2.4.5)

Para realizar la integración numérica con deformación controlada (Se conoce D11) se puede realizar una

integración explícita hacia adelante. Los pasos que se proponen son los siguientes:

1. Se deben establecer los 8 parámetros para el tipo de suelo que se quiera simular (véase inciso 1.7)

y las condiciones iniciales, es decir, T110, T220, ε110 y e0. Igualmente se debe establecer la tasa de

deformación D11 que es conocida (dado a que es el control del ensayo), y el incremento de tiempo ∆t.

2. Calcular a (ecuación 1.5.20) que depende del ángulo de fricción crítico y por lo tanto permanece

constante durante toda la integración.

3. Calcular los esfuerzos normalizados Ti j, los esfuerzos desviadores normalizados T ∗i j y las invariantes

en función del estado de esfuerzo T utilizadas en la ecuación constitutiva:

trT = T11 +2T22 ; trT2 = T 211 +2T 2

22 ;

T11 = T11/trT ; T22 = T22/trT ;

T ∗11 = T11−1/3 ; T11−1/3 ;

trT = T11 +2T22 ; trT2 = T 211 +2T 2

22 ;

trT∗ = T ∗11 +2T ∗22 ; trT∗2 = T 2∗11 +2T 2∗

22 ;

(2.4.6)

4. Calcular las invariantes en función de la deformación D utilizadas en la ecuación constitutiva:

trD = D11 +2D22 ; trTD = T11D11 +2T22D22 (2.4.7)

5. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de BAUER (ecuación 1.5.3)

y calcular los factores fd y fs mediante las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.28 respectivamente.

6. Calcular la tasa de esfuerzos

T 11 y

T 22 mediante las ecuaciones 2.4.4 y 2.4.5 respectivamente. Calcular

la tasa de la relación de vacíos e con la siguiente ecuación:

e = (1+ e)trD (2.4.8)

36


Tabla 2.1: Parámetros hipoplásticos para arena de Guamo. Los valores están reportados en [2].Parámetros Valor Unids.

ϕc 30.0

hs 4.0E6 kPan 0.27 (-)

ec0 1.00 (-)ed0 0.52 (-)ei0 1.15 (-)α 0.17 (-)β 1.00 (-)

7. Calcular las variables de estado para el próximo incremento integrando explícitamente:

T (t+1)11 = T (t)

11 +

T 11∆t (2.4.9)

T (t+1)22 = T (t)

22 +

T 22∆t (2.4.10)

ε(t+1)11 = ε

(t)11 +D11∆t (2.4.11)

e(t+1) = e(t) + e∆t (2.4.12)

8. Una vez encontrado las nuevas variables de estado se vuelve al paso 3 para solucionar los próximos

incrementos. El ciclo se repite hasta llegar a los esfuerzos o deformaciones máximas establecidas

previamente.

Nótese que para la integración descrita anteriormente, una compresión implica que D11 < 0 y una descarga

corresponde a D11 > 0. En el anexo B.3 se presenta la programación del element test para compresión

oedométrica utilizando el algoritmo que ilustra la figura 2.5 como macro de EXCEL en lenguaje VISUAL

BASIC. Las variables utilizadas dentro de la programación son comentadas para facilitar el entendimiento por

parte del lector.

Las figuras 2.6.a y 2.6.b muestran los resultados de una simluación de compresión oedométrica con

la arena de Guamo utilizando el programa que se presenta en el anexo B.3. Los parámetros de la arena

de Guamo fueron establecidos por ARIAS y están reportados en [2]. La tabla 2.1 presenta los parámetros

hipopolásticos de la arena de Guamo según ARIAS[2]. La simulación consta de una carga desde −T110 =1kPa y e0 = 0,70 (punto A, véase figura 2.6) hasta −T11 = 2000 (punto B) seguido por una descarga hasta

T11 = 1kPa (punto C).

Para el caso de esfuerzo controlado, es necesario resolver un problema de control mixto dado a que

se conoce

T 11 y se debe resolver

T 22 para la condición D22 = 0. Un método aproximado es suponer unos

valores iniciales para

T 22 = K0

T 11. De esa manera se puede conocer un D11 tal que D22 = 0. Para resolver

cada incremento de la integración es conveniente utilizar el algoritmo matemático propuesto por DOAHN

37


Leer los 8 parámetros hipoplásticosLeer el estado inicial de T, ε y eL l i t d ti

Declarar e inicializar variables del programaInicio

Leer el incremento de tiempoLeer el control D1

Calcular a=f(φc)

K t i

1Kstep=i

Calcular invariantes del esfuerzo:*

2*

121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT

2*2* ˆ tr,ˆtr,ˆtr,ˆtr,tr TTTTT

Microsoft Equation 3.0

OEDOMÉTRICO

Calcular invariantes de la deformación:

DTDD ˆtr,tr,tr 2

Calcular relaciones de vacíos características y los factores fd y fs:)(),,(),(),(),( TTTTT ffefffefefe sdcdi =====

Calcular incrementos de esfuerzosDDTDT tr)1(),,(),,( 21 eefTfT

oo+===

teeetDtTTTtTTToo

Δ+=Δ+=Δ+=Δ+= ,,,, 111222111 εεActualizar variables del siguiente paso:

i=nStep

Imprimiendo variables de estadoeTT ),0(,,, 2121 =εε

Fin

Figura 2.5: Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica

para la inversión de la ecuación constitutiva que se presenta en la sección 1.6. A continuación se presenta los

pasos que se debe seguir para el método de integración descrito:

1. Establecer parámetros y las condiciones iniciales de T y e. Igualmente se establece el control

T 11 y se

supone un valor inicial para

T 22 = K0

T 11. D22 = 0.

2. Calcular a (ecuación 1.5.20).

38


0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

1 10 100 1.000 10.000

Relación

de vacíos e [‐]

Esfuerzo vertical log(‐T11/Tr) [kPa]

e0=0.7T10=‐1 kPahs=4E6 kPan=0.27ed0=0.52ei0=1.15K0=0.47

A

B

C

Primeracompresión

Descarga


A

B

C

Primeracompresión

Descarga

0

200

400

600

800

1.000

1.200

0 500 1.000 1.500 2.000 2.500

Esfuerzo horizon

tal ‐T

22 [kPa]

Esfuerzo vertical ‐T11 [kPa]


1

K0

A

B

C

Descarga

Primeracompresión


1

K0

A

B

C

Descarga

Primeracompresión

(a) Ciclo de carga y descarga.

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

1 10 100 1.000 10.000

Relación

de vacíos e [‐]



A

B

C

Primeracompresión

Descarga


A

B

C

Primeracompresión

Descarga

0

200

400

600

800

1.000

1.200

0 500 1.000 1.500 2.000 2.500

Esfuerzo horizon

tal ‐T

22 [kPa]

Esfuerzo vertical ‐T11 [kPa]


1

K0

A

B

C

Descarga

Primeracompresión


1

K0

A

B

C

Descarga

Primeracompresión

(b) Se muestra la variación del K0 en la curva de primera com-presión y la descarga.

Figura 2.6: Simulación de compresión oedométrica para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Deforma-ción controlada.


en función del estado de esfuerzo T utilizadas.

4. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de BAUER (eucación 1.5.3)


5. Calcular D11 mediante la ecuación constitutiva invertida. El procedimiento se presenta en la sección

1.6. Este procedimiento implica dos raíces para ‖D ‖ y se debe seleccionar aquella que cumpla con la

condición ‖ D ‖> 1. Se puede calcular D22 y verificar la condición impuesta inicialmente D22 ≈ 0. el

grado de aproximación depende de la suposición inicial de

T 22 = K0

T 11.

6. Calcular las invariantes en función de la deformación D utilizadas en la ecuación constitutiva.

7. Calcular la tasa de esfuerzo

T 22 mediante las ecuación 2.4.5. Calcular la tasa de la relación de vacíos

e.

8. Calcular las variables de estado para el próximo incremento integrando explícitamente:

T (t+1)11 = T (t)

11 +

T 11∆t

T (t+1)22 = T (t)

22 +

T 22∆t

ε(t+1)11 = ε

(t)11 +D11∆t

e(t+1) = e(t) + e∆t

9. Se resuelve el próximo incremento volviendo al paso 3.

39


El anexo B.4 presenta la programación del element test para compresión oedométrica con control en los

esfuerzos realizado en lenguaje VISUAL BASIC. Esta programación es consistente con el diagrama de flujo

que muestra la figura 2.7.

Kstep=i

1D2=0, suponer un K0 y calcular T2 y 2T


2*

121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT


Calcular relaciones de vacíos características y los factores fd y fs:)(),,(),(),(),( TTTTT ffefffefefe sdcdi ===== Microsoft

Equation 3.0

OEDOMÉTRICO invertido


Calcular ||D|| con el algoritmo matemático para la inversión de la ecuación constitutiva. Dado que existen dos raíces, se debe seleccionar

aquel ||D||>0. Luego se calcula D1 y D2 con la ecuación invertida.

DTDD ˆtr,tr,tr 2

Calcular incrementos.DDT tr)1(),,(2 eefT

o+==

teeetDtTTTtTTToo

Δ+=Δ+=Δ+=Δ+= ,,,, 111222111 εεActualizar variables del siguiente paso:

Imprimiendo variables de estado

i=nStep

eTT ),0(,,, 2121 =εε

Fin

Figura 2.7: Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica esfuerzocontrolado.

La figura 2.8 presenta la comparación entre una simulación para la arena de Guamo con parámetros de

la tabla 2.1 y con las mismas condiciones iniciales para control en la deformación y control en los esfuerzos.

40


La figura demuestra que el algotimo propuesto para integrar la ecuación con esfuerzo controlado genera una

curva aproximada. El nivel de aproximación depende de la suposición inicial del K0.

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

10 100 1.000 10.000

Relación

de vacíos

e [‐]



Control en deformaciones

Control en esfuerzos (invertida)

A

B

C

Figura 2.8: Simulación de compresión oedométrica para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Esfuerzocontrolado.

2.5. Compresión triaxial no drenada

Consiste en la compresión de una muestra bajo simetría axial y sin drenaje. Esta última condición obliga

a que la muestra no presente cambios de volumen, es decir, la deformación es isocórica. Por lo tanto trD = 0.

Bajo esta condición se puede deducir fácilmente que D22 = D33 =−D11/2 (véase esquema de la figura 2.9).

Los tensores de esfuerzo y deformación son los que se muestran a continuación:

T =

T11 0 0

0 T22 0

0 0 T22

; y D =

D11 0 0

0 −D11

20

0 0 −D11

2

(2.5.1)

T11, D11

T11,D11

T11, D11

T22

D22=0

T22

D22=0

Isotrópico

Oedométrico

T11, D11

T22

D22=-D11 / 2

T22

D22=-D11 / 2

Figura 2.9: Esquema del triaxial no drenado

41


Las ecuaciones hipoplásticas que relacionan a la compresión triaxial no drenada son las que se presentan

a continuación:

T 11 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(D11 +a2 T11(T11−T22)

(T11 +2T22)2 D11 + fda√6

5T11−2T22

T11 +2T22

√D2

11

); (2.5.2)

T 22 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(−D11

2+a2 T11(T11−T22)

(T11 +2T22)2 D11 + fda√6

4T22−T11

T11 +2T22

√D2

11

)(2.5.3)

Teniendo en cuenta que la ecuación hipoplástica está expresada en esfuerzos efectivos, se deben calcular las

presiones de poros que se generan dentro teniendo en cuenta la ley de TERZAGUI:

−T = σ =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

=

σ ′11 σ ′12 σ ′13

σ ′21 σ ′22 σ ′23

σ ′31 σ ′32 σ ′33

+

u 0 0

0 u 0

0 0 u

(2.5.4)

En notación indicial σi j = σ ′i j + uδi j o también −Ti j = −T ′i j + uδi j donde el símbolo δi j representa al Kro-

necker delta (véase el apéndice A.2). La presión de poros se puede obtener teniendo en cuenta que σ2 = 0

entonces σ2′ =−u.

Con las ecuaciones que conciernen a la compresión triaxial CU, se puede construir un algoritmo para su

integración. En las próximas líneas se presentan los pasos a seguir para realizar una integración explícita de

un triaxial CU bajo deformación controlada (se conocen D11 y por lo tanto D22(=−D11/2)).

1. Realizar los primeros dos pasos que se muestran en el algoritmo utilizado para la integración de la

compresión oedométrica mostrada en el inciso anterior. En este caso D22 =−D11/2.


en función del estado de esfuerzo T utilizadas en la ecuación constitutiva.

3. Calcular las invariantes en función de la deformación D utilizadas en la ecuación constitutiva.

4. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de Bauer (ecuación 1.5.3) y

calcular los factores fd y fs mediante las ecuaciones 1.5.26 y 1.5.28 respectivamente.


T 11 y

T 22 mediante las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 respectivamente. Calcular

la tasa de la relación de vacíos e. Calcular la tasa de la presión de poros mediante la expresión u =−T22.

42


6. Calcular las variables de estado para el próximo paso integrando explícitamente:

T (t+1)11 = T (t)

11 +

T 11∆t (2.5.5)

T (t+1)22 = T (t)

22 +

T 22∆t (2.5.6)

ε(t+1)11 = ε

(t)11 +D11∆t (2.5.7)

e(t+1) = e(t) + e∆t (2.5.8)

u(t+1) = u(t) + u∆t (2.5.9)

7. Se calculan las variables de estados para el próximo paso volviendo al paso 2.

En el anexo B.5 se presenta la programción en lenguaje VISUAL BASIC del element test para compresión

triaxial CU con deformación controlada. El algoritmo del programa es consistente con el diagrama de flujo

de la figura2.10. Las figuras 2.11 muestran los resultados de la simulación de una compresión triaxial no

drenada CU de la arena de Guamo (véase tabla 2.1). La simulación se realizó con deformación controlada

utilizando el programa del anexo B.5 con condiciones inciales e0 = 0,70, y T11 = T22 = T33 = −100 kPa.

Las figuras muestran el comportamiento típico de una arena suelta caracterizadas por presentar presiones de

poro positivas y un diagrama de esfuerzo-deformación con pico leve.

2.6. Compresión triaxial drenada

La condición con drenaje permite el cambio del volumen de la muestra trD 6= 0. Al deducir una expresión

con control de fronteras cinemático para la compresión triaixal drenada, se debe conocer el componente D11

y para el caso de presión de cámaras constante se puede suponer T22 = 0 (aunque pueda que no sea constante).

Por lo tanto se desconocen los componentes T11 y D22 lo que obliga a despejar la ecuación hipoplástica en

ambos lados (El esquema de la compresión triaxial drenada se presenta en la figura 2.12). Este algoritmo se

conoce como control mixto y se solucionará en las siguientes líneas. Los tensores de esfuerzo y deformación

se muestran a continuación:

T =

T11 0 0

0 T22 0

0 0 T22

; y D =

D11 0 0

0 D22 0

0 0 D22

(2.6.1)

43


Kstep=i

Calcular invariantes del esfuerzo:

1


2*

121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT



DTDD ˆttt 2 DTDD tr,tr,tr 2



Actualizar variables del siguiente paso:Doo

Calcular incrementos :

221 ,tr)1(),,(),,(oooTueefTfT −=+=== DDTDT TRIAXIAL CU

tuuuteeetDtDtTTTtTTToo

Δ+=Δ+=Δ−=Δ+=Δ+=Δ+= ,,2

,,,, 122111222111 εεεε

Imprimiendo variables de estadoueTT ,,,,, 2121 εε

i=nStep Fin

Figura 2.10: Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial no drenada

Plano de

Rendulic

q 22

q 22

q 11

e

ln(s )

0.1 e 10

e

ln(s )

Creep

e

ln(s )

Relajación

e e

Cambio de e

0.1 e 10e e

0.1 e 10e e

e=ln(1+e)

ln(T/ Tr)

De

De

v

e

De

-T0 -(T0+DT)

e0

e 0+De

l

k

1

1

e=ln(

e=ln(1+e)

ln(-T/ Tr)e 0

T0 Te

e 0+De

Tp

A

B C

creep

e

e 0

e 0+De

T11,D11

T22, D22

T22,D22

Figura 2.12: Esquema del triaxial drenado

44


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Esfuerzo desviador q

[kPa]

Deformación vertical ‐ε11 [‐]

e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

Estado límite

Estado crítico

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 20 40 60 80 100 120


[kPa]

Esfuerzo promedio p [kPa]

Δu

T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

(a)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020


[kPa]


e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

Estado límite

Estado crítico

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 20 40 60 80 100 120


[kPa]

Esfuerzo promedio p [kPa]

Δu

T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

(b)

2

4

6

8

10

Presión de

poros

u[kPa]

2

4

6

8

10

12

Esfuerzo vertical ‐T 1

1 [kPa]

0

20

40

60

80

00

0,00 0

20

40

60

80

00

20

0 2

0,01 0,0Deform

0 40Esfuer

2 0,03mación vertica

e0=0.7ed0=0.5ei0=1.15T110=‐10T220=T33

60 8rzo horizontal ‐

T110=‐100 T220=T330'=ϕc=30°

0,04l ‐ε11 [‐]

2500 kPa

30'=‐100 kPa

80 100‐T22 [kPa]

kPa‐100 kPa

0,05

120

(c)

2

4

6

8

10

Presión de

poros

u[kPa]

2

4

6

8

10

12

Esfuerzo vertical ‐T 1

1 [kPa]

0

20

40

60

80

00

0,00 0

20

40

60

80

00

20

0 2

0,01 0,0Deform

0 40Esfuer

2 0,03mación vertica

e0=0.7ed0=0.5ei0=1.15T110=‐10T220=T33

60 8rzo horizontal ‐

T110=‐100 T220=T330'=ϕc=30°

0,04l ‐ε11 [‐]

2500 kPa

30'=‐100 kPa

80 100‐T22 [kPa]

kPa‐100 kPa

0,05

120

(d)

Figura 2.11: Simulación de triaxial CU para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Deformación controlada.

Nótese que para este caso no es necesario modificar las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3:

T 11 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(D11 +a2 T11D11 +2T22D22

(T11 +2T22)2 T11 + fda3

5T11−2T22

T11 +2T22

√D2

11 +2D222

); (2.6.2)

T 22 =

fs(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(D22 +a2 T11D11 +2T22D22

(T11 +2T22)2 T22 + fda3

4T22−T11

T11 +2T22

√D2

11 +2D222

)(2.6.3)

Sin embargo es necesario despejar en ambos lados para solucionar el problema del control mixto. Para eso

45


se introducen las variables L11,L12,L21,L22,N1,N2 definidas a continuación:

L11 =(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(1+

a2T 211

(T11 +2T22)2

); L12 =

(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(a2T22T11

(T11 +2T22)2

);

L21 =(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(− a2T 2

11(T11 +2T22)2

); L22 =

(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(1− 2T11T22

(T11 +2T22)2

);

N1 =(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(a3

5T11−2T22

T11 +2T22

); N2 =

(T11 +2T22)2

T 211 +2T 2

22

(a3

4T22−T11

T11 +2T22

)(2.6.4)

Sea x =√

D211 +2D2

22. Las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 se pueden reescribir de la siguiente forma:

T 1 = fsL11D11 + fsL12D22 + fs fdN1x; (2.6.5)

T 2 = fsL21D11 + fsL22D22 + fs fdN1x (2.6.6)

Para despejar D22 se realiza un algoritmo similar a aquel utilizado para invertir la ecuación hipoplástica

(veáse 1.6). De la ecuación 2.6.6 se despeja D22:

D22 = ( fsL22)−1(

T 2− fsL21D11− fs fdN2x) (2.6.7)

Si P = ( fsL22)−1(

T 2− fsL21D11) y Q = fdL−122 N2x entonces:

D22 = P−Qx (2.6.8)

Teniendo en cuenta que:

x2 = D222 +D2

11 = (P−Qx)2 +D211 (2.6.9)

Se puede llegar a una cuadrática de la forma−b±√b2−4ac

2adonde:

a = Q2−1 ; b =−2PQ ; c = P2 +D211 (2.6.10)

Igual al algoritmo utilizado al invertir la ecuación hipoplástica, existe solo una respuesta para la cual se

cumple que ‖D ‖> 1. La anterior condición se puede rectificar despejando el componente conocido

T 22. Bajo

las condiciones que conciernen a una compresión triaxial drenada se puede integrar la ecuación constitutiva

resolviendo el problema del control mixto en cada paso. En las próximas líneas se presenta un algoritmo

para integrar explícitamente la ecuación:

1. Realizar los primeros dos pasos que se muestran en el algoritmo utilizado para la integración de la

compresión oedométrica mostrada en el inciso anterior. Se conoce D11 para este caso.

46


Kstep=i


2*

121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ TTTT

1

2121 ,,, TTTT2*2* ˆ tr,ˆtr,ˆtr,ˆtr,tr TTTTT


Calcular invariantes de la deformación para D2=D2(+). :

DTDD ˆttt 2


Solución de la cuadrática para D2. Como resultado se tienen dos raíces, D 2

(+)y D2

(‐). Se asigna D2=D2(+).

SiNo

DTDD tr,tr,tr 2

TRIAXIAL CD

D2=D2(+)?0),(2 == DTfT

oD2=D2

(‐)

DTDD ˆtr,tr,tr

Calcular incrementos :DDT tr)1(),,(1 eefT

o+==

Actualizar variables del siguiente paso:,,,, 222111111 teeetDtDtTTT

oΔ+=Δ+=Δ+=Δ+= εεεε

i=nStep

Imprimiendo variables de estadoueTT ,,,,, 2121 εε

Fin

Figura 2.13: Diagrama de flujo para la programación del element test compresión triaxial drenada


en función del estado de esfuerzo T utilizadas en la ecuación constitutiva.

3. Calcular las relaciones de vacíos caraterísticas ei, ed y ec mediante la ley de BAUER (eucación 1.5.3)


4. Se debe solucionar D22 mediante la cuadrática que se dedujo en la ecuación 2.6.10. La solución implica

47


la existencia de dos raíces, una positiva D(+)22 y una negativa D(−)

22 . Se debe asignar a D22 aquella raiz

que cumpla con la condición

T 22 = 0. Para tal propósito se reemplazan ambas raíces en la ecuación

2.6.3.

5. Una vez encontrada la raíz correcta de D22 se pueden calcular las invariantes en función de la defor-

mación D.


T 11 y

T 22 mediante las ecuaciones 2.6.2y 2.6.3 respectivamente. De

antemano se conoce la condición

T 22 = 0 y por lo tanto debe resultar nuevamente de esta última

ecuación. Calcular la tasa de la relación de vacíos e.


T (t+1)11 = T (t)

11 +

T 11∆t (2.6.11)

T (t+1)22 = T (t)

22 +

T 22∆t (2.6.12)

ε(t+1)11 = ε

(t)11 +D11∆t (2.6.13)

e(t+1) = e(t) + e∆t (2.6.14)

8. Se calculan las variables de estados para el próximo paso volviendo al paso 2.

0

100

200

300

400

500

600

700

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20


[kPa]


e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

Estado límiteEstado crítico

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2

Deformación volumétrica ε

v(‐)


e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

(a)

0

100

200

300

400

500

600

700

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20


[kPa]


e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

Estado límiteEstado crítico

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2

Deformación volumétrica ε

v(‐)


e0=0.7T110=‐100 kPaT220=T330'=‐100 kPaϕc=30°

(b)

Figura 2.14: Simulación de compresión triaxial CD para Arena de Guamo con Hipoplasticidad. Deforma-ción controlada.

Las figuras 2.14 muestran la simulación de compresión triaxial CD realizada con los parámetros de la arena

de Guamo (véase parámetros en la tabla 2.1). La simulación se realizó utilizando el programa que se presenta

en el anexo B.6 con deformación controlada y con estado inicial e0 = 0,7 y T11 = T22 = T33 = 0.

48

Capítulo 3

Modelo constitutivo Viscohipoplástico

3.1. Introducción

El comportamiento viscoso de los suelos finos ha sido un tema de interés para la ingeniería desde los

estudios de BUISMAN (1936)[4] y TAYLOR (1942)[27]. Ensayos de laboratorios han demostrado que los

efectos viscosos en el suelo así como en otros materiales se manifiestan en la dependencia que presenta su

comportamiento mecánico con respecto al tiempo e incluso con la temperatura. La dependencia σ −ε− t se

puede demostrar fácilmente si se observa en un ensayo oedométrico los siguientes tres efectos viscosos: a)

curvas de igual tasa de deformación ε o isotacas, b) deformación bajo esfuerzo efectivo constante o creep

y c) disminución del esfuerzo efectivo bajo deformación constante o relajación. Las isotacas son curvas de

igual tasa de deformación sobre el espacio ε vs. ln(σ/σr) paralelas las unas a las otras. Estas curvas fueron

estudiado detalladamente por SUKLJE[25] quién experimentó con ensayos oedométricos utilizando suelos

arcillosos y observó la consistencia de las trayectorias experimentales (cada una con su respectivo ε) y las

curvas isotacas bajo el espacio e vs. log(σ). SKULJE aproximó estas curvas a líneas rectas y paralelas sobre

el espacio semi-logarítmico y demostró que al seleccionar una isotaca como la de referencia con su respectiva

tasa de deformación ε , isotacas por encima de ésta corresponden a velocidades de deformaciones mayores

y por debajo corresponden a velocidades menores. La figura 3.1.a ilustra un esquema de la trayectoria de

esfuerzos en un ensayo oedométrico sobre el espacio e vs. ln(σ) con la variación de la tasa de deformación

ε . Esta figura esquematiza la manera en que la trayectoria se ajusta a las isotacas. SUKLJE demostró que

este comportamiento viscoso es independiente de la historia de la deformación del suelo y se comportan

como estado asintótico después de haberse ocurrido procesos de creep o relajación. Las figuras 3.1.b y

3.1.c muestran esquemas de trayectorias que incluyen períodos de creep y relajación respectivamente y la

manera como la trayectoria vuelve posteriormente a su isotaca. La Viscohipoplasticidad intenta reproducir la

dependencia de la tasa de deformación ε , el creep y la relajación mediante un modelo inelástico. El modelo

fué propuesto por NIEMUNIS y KRIEG[20] en una primera versión de una dimensión y para condiciones

49

CAPÍTULO 3. MODELO CONSTITUTIVO VISCOHIPOPLÁSTICO ICIV 200710 09

e

ln(σ )

0.1 ε 10

e

ln(σ )

Creep

e

ln(σ )

Relajación

ε ε

Cambio de ε

0.1 ε 10ε ε

0.1 ε 10ε ε

(a) Cambios en la velocidad dedeformación ε

e

ln(σ )

0.1 ε 10

e

ln(σ )

Creep

e

ln(σ )

Relajación

ε ε

Cambio de ε

0.1 ε 10ε ε

0.1 ε 10ε ε

(b) Creep

e

ln(σ )

0.1 ε 10

e

ln(σ )

Creep

e

ln(σ )

Relajación

ε ε

Cambio de ε

0.1 ε 10ε ε

0.1 ε 10ε ε

(c) Relajación

Figura 3.1: Esquemas de trayectorias e vs. ln(σ) en ensayo oedométrico con diferentes efectos viscosos

oedométricas. Luego, NIEMUNIS extendió el modelo para el caso general en tres dimensiones[18].

3.2. Ecuación visohipoplástica en 1D

En esta sección se presenta la versión del modelo unidimensional presentado por NIEMUNIS en el

2003[19] que corresponde a la modificación del modelo presentado por el mismo autor en 1996 [20] con

ciertas modificiaciones para ser consistentes con la ley de compresión de BUTTERFIELD.

La ley de compresión de BUTTERFIELD[5] establece que bajo compresión isotrópica o oedométrica

existe una relación lineal entre la deformación redefinida como ε = ln(1 + e) vs. el logaritmo natural del

esfuerzo ln(

σ

σr

), donde σr denota un esfuerzo arbitrario de referencia usualmente 1 kPa. Nótese que la ley

de compresión propuesta por BUTTERFIELD es distinta a la ley de compresión de TERZAGUI quien estable

una relación lineal en el espacio semilogarítmico e vs. ln(

ppr

). La ley de compresión de BUTTERFIELD

es mucho más precisa para los suelos de mediana y alta plasticidad. Teniendo en cuenta lo anterior, las

expresiones para compresión y descarga-recarga son las que se presentan a continuación

ε− ε0 =−λ ln(T/T0) (3.2.1)

ε− ε0 =−κ ln(T/T0) (3.2.2)

donde λ y κ corresponden al índice de compresión y de descarga-recarga para condiciones oedométricas

en el espacio doblelogarítmico según BUTTERFIELD. Los valores (ε0,T0) corresponden a un punto sobre

la línea de primera compresión para el caso de la ecuación 3.2.1 o para descarga-recarga para el caso de

la ecuación 3.2.2. Por otro lado el modelo viscohipoplástico incorpora las ecuaciones deducidas por BUIS-

MAN en 1936 [4] para consolidación secundaria o creep. La ecuación propuesta por BUISMAN relaciona

linealmente el asentamiento de una muestra con respecto al logaritmo en base 10 del tiempo en procesos de

50


creep. NIEMUNIS emplea la misma relación utilizando deformación por creep en lugar de asentamientos y

logaritmo natural en lugar del logaritmo base 10, como se presenta a continuación:

ε− ε0 =−ψ ln(

t + t0t0

)(3.2.3)

donde ψ es la pendiente, t el tiempo y t0 contado a partir del inicio del proceso de creep. La ecuación 3.2.1

se puede derivar con respecto al tiempo llegando a la siguiente ecuación diferencial:

ddt

(ε− ε0) =ddt

(ln(1+ e)− ln(1+ e0))

=ddt

ln((1+ e)/(1+ e0)) =1

(1+ e)/(1+ e0)e

1+ e0=−λ

1T/T0

TT0

D =−λTT

(3.2.4)

Donde D es la tasa de deformación volumétrica definida como D =e

1+ e. Con el mismo procedimiento se

pueden deducir las ecuaciones diferenciales a partir de las ecuaciones de compresión según BUTTERFIELD

(3.2.2 y 3.2.3). Estas ecuaciones diferenciales son las que se presentan a continuación:

D =−κTT

(3.2.5)

D =−ψ1

t + t0(3.2.6)

El modelo viscohipoplástico unidimensional considera a la deformación total como la suma de una defor-

mación elástica más una deformación plástica. Para ilustrar lo anterior consideremos el siguiente ejemplo.

Para un escalón de carga −(∆T ) = ∆σ 1 sobre una muestra normalmente consolidada bajo condiciones

oedométricas la muestra se comprime desde (−T0,ε0) hasta (−(T0 + ∆T ),ε0 + ∆ε) sobre la trayectoria de

primera compresión que muestra la figura 3.2. Teniendo en cuenta que al deformarse sobre la línea de prime-

ra compresión la muestra no puede recuperar su deformación inicial después de retirar el mismo incremento

de esfuerzo, es válido establecer que son deformaciones no recuperables. Contrario al caso anterior, al de-

formarse una muestra sobre la línea de descarga-recarga (sin pasarse a la línea de primera compresión), es

posible recuperar la deformación incial después de retirar el mismo incremento de carga y por lo tanto se pue-

den establecer como deformaciones recuperables. Entonces una deformación total se puede establecer como

la suma entre una deformación no recuperable o viscosa ∆εv más una deformación recuperable o elástica

∆εe tal como se muestra en la figura 3.2 para el caso del incremento de carga ∆σ . De manera general:

ε = εe + ε

v (3.2.7)

y derivando con respecto al tiempo:

D = De +Dv (3.2.8)

1 σ =−T

51


De la figura 3.2 es claro que durante procesos de descargas solo deformaciones elásticas suceden. Entonces

e=ln(1+e)

ln(T/ Tr)

De

De

v

e

De

-T0 -(T0+DT)

e0

e 0+De

l

k

1

1

e=ln(

Figura 3.2: Deformación como la suma de una deformación elástica y una deformación plástica para unincremento de carga ∆σ en la línea de primera compresión

la ecuación 3,2,2 se puede simplificar a la siguiente expresión:

ln(

∆TTr

)=− 1

κ∆ε

e (3.2.9)

Ahora, si se deriva 3.2.9 con respecto al tiempo y teniendo en cuenta la ecuación 3.2.8 se puede establecer

la siguiente expresión:

T =−Tκ

(D−Dv) (3.2.10)

Por otro lado, la figura 3.2 muestra claramente que las deformaciones elásticas ocurren hasta el esfuerzo

equivalente de HVROSLEV Te2. Entonces la ecuación 3.2.1 se puede simplificar a la siguiente expresión:

ln(

Te

T0

)=− 1

λ(ε− ε0) (3.2.11)

La ecuación 3.2.11 se puede reescribir si se tiene en cuenta que para el Te existe una deformacíón ε = (1+e)y para T0 existe un ε = 1+ e0. Con lo anterior la ecuación 3.2.11 se puede convertir en:

Te = T0

(1+ e1+ e0

)−1/λ

(3.2.12)

y si se deriva 3.2.11 con respecto al tiempo se deduce la siguiente expresión:

Te =−TeDλ

(3.2.13)

Lo siguiente es definir el OCR. Según TERZAGUI la definición del OCR corresponde a la razón entre el

esfuerzo efectivo máximo que ha soportado el suelo durante toda la historia y el esfuerzo efectivo actual del

2el esfuerzo de HVROSLEV Te se define como el esfuerzo necesario para alcanzar una relación de vacíos e sobre la curva deprimera compresión.

52


suelo OCR = σ ′p/σ ′. Con esta definición el OCR es función de los esfuerzos y solo existe la posibilidad de ser

igual o mayor a uno. Una definición similar fué introducida por el modelo Cam-Clay[24] estableciendo que

el OCR es una función del esfuerzo efectivo máximo promedio p′p y el esfuerzo efectivo promedio actual

p′; OCR = p′p/p′. El modelo unidimensional viscohipoplástico emplea la definición del OCR propuesto

por HVROSLEV quien lo define como la relación entre el esfuerzo efectivo equivalente Te y el esfuerzo

efectivo actual OCR =−Te/T 3. Esta última definición implica que el OCR está en función de los tiempos de

consolidación. Para ilustrar lo anterior considérese la figura 3.3.a. La figura muestra que la deformación ∆ε

que tiene por punto final el esfuerzo equivalente Te se puede obtener mediante dos trayectorias: la primera

corresponde a una primera compresión desde el punto A (T0,ε0) hasta el punto C (Te,ε0 + ∆ε), trayectoria

consistente con la ecuación 3.2.11. La segunda trayectoria corresponde a un proceso de creep desde el punto

A hasta el punto B representada por la ecuación 3,2,3. Si se igualan las dos ecuaciones que representan las

trayectorias respectivas se puede deducir una expresión para el OCR de la siguiente manera:

∆ε = λ ln(−Te

T

)= ψ ln

(t + t0

t0

)=−Te

T=(

t + t0t0

)ψ/λ

= OCR =(

t + t0t0

)Iv

(3.2.14)

donde Iv es el índice de viscosidad definido como Iv = ψ/λ . Con esta última expresión (3.2.14) se puede

e=ln(1+e)

ln(T/ Tr)

De

De

v

e

De

-T0 -(T0+DT)

e0

e 0+De

l

k

1

1

e=ln( )1+e1+e0

e=ln(1+e)

ln(-T/ Tr)e 0

T0 Te

e 0+De

Tp

A

B C

creep

(a) Se obtiene la misma deformación con dos trayec-torias: compresión virgen y creep

e=ln

ln(t/tp)

( )1+e1+e0

)

e=ln(1+e)

ln(-T/ Tr)e 0

T0 Te

e 0+De

creep

eref10e

ref

-2

10e

ref

-3

10e

ref

-1

10e

ref

1

10e

ref2

Isotacas

(b) La trayectoria de creep atraviesa varias isotacas

Figura 3.3: Deformación viscosa equivalentes a trayectorias por creep y trayectorias por primera compresiónhasta esfuerzo equivalente Te

establecer que durante un proceso de creep el OCR varía siendo cada vez mayor. Lo anterior implica a la

vez que el OCR es una relación de tasas de deformación. Para ilustrar esta última afirmación considérese

la figura 3.3.b. Esta figura muestra que la trayectoria del proceso de creep atraviesa varias isotacas antes de

llegar al punto B. Para obtener la relación entre las tasas de deformaciones se puede multiplicar y dividir la

3Por convención el esfuerzo equivalente Te es siempre positivo.

53


parte derecha de la ecuación 3.2.14 con la deformación provocada por cualquiera de las dos trayectorias ∆ε

llegando a la siguiente ecuación:∆ε

t + t0∆ε

t0

= Dr

(1

OCR

)1/Iv

(3.2.15)

Esta última ecuación (3.2.15) se puede interpretar de la siguiente manera. La tasa de deformación ∆ε/t0corresponde a la tasa de deformación producto de la trayectoria A-C (véase figura3.3.a). Como la trayectoria

finaliza en el esfuerzo equivalente Te entonces esta tasa de deformación es equivalente a la tasa de deforma-

ción viscosa4 de la isotaca de primera compresión y por lo tanto se establece por convención como la tasa de

deformación viscosa de referencia Dr = ∆ε/(t0). Una trayectoria con tasa de deformación viscosa Dv = Dr

presenta un OCR = 1. Por otro lado la tasa de deformación ∆ε/(t0 + t) es una tasa menor que Dr para el

caso t > t0 dado al tiempo adicional del creep t. Teniendo en cuenta que el modelo undimensional viscohi-

poplástico no distingue entre la tasa de deformación viscosa de una isotaca y la tasa de deformación viscosa

debida al creep, la relación ∆ε/(t0 + t) es equivalente a la tasa de deformación viscosa Dv de la isotaca que

pasa justamente por el punto donde el tiempo es igual a t + t0 (que a la vez presenta una tasa de deformación

viscosa menor que Dr). Entonces 3.2.15 se puede reescribir de la siguiente manera:

Dv = Dr

(1

OCR

)1/Iv

(3.2.16)

donde Dv es la tasa de deformación viscosa correspondiente a la isotaca que pasa por el punto con tiempo

igual a t0 + t. Esta ecuación permite establecer que el OCR está en función de tasas de deformación. Más

adelante se comprobará que para realizar una trayectoria sobre una isotaca la tasa de deformación viscosa es

constante porque Dv = D λ−κ

λ, siendo D la tasa de deformación de la isotaca. Entonces al establecer un Dr

(asociando por convención OCR = 1 a esta isotaca) es posible determinar el OCR para un estado de esfuerzos

y deformaciones dado (T,ε) conociendo la isotaca que coincide con el punto actual (σ ,ε) y la isotaca que

coincide con un punto de refrencia (localizado sobre la isotaca de referencia) denotado con los subíndices e0,

p.e. (σe0,εe0). Nótese que la ecuación 3,2,16 es análoga a la ley de NORTON para los metales.

Las ecuaciones 3.2.10, 3.2.13 y 3.2.16 conforman el modelo viscohipoplástico unidimensional. El si-

guiente paso es demostrar que estas ecuaciones son capaces de simular isotacas, creep y por último relaja-

ción. A continuación se demuestran cada uno de estos casos analizando la ecuación constitutiva:

Simulación de isotacas: las isotacas son líneas de compresión con tasa de deformacion constante D =kte. Lo primero que se demostrará es que para que una trayectoria coincida con una isotaca la deformación

viscosa Dv de la isotaca es proporcional a la tasa de deformación de la isotaca D. Teniendo en cuenta que

4Viscosa por finalizar en el esfuerzo equivalente Te.

54


para permanecer en la misma isotaca es necesario que la deformación viscosa sea constante entonces:

ddt

Dv = 0 (3.2.17)

Se puede demostrar que T/T = Te/T utilizando la ecuación 3.2.16 y 3.2.17 de la siguiente forma:

Dv =−Dr

(−TTe

)1/Iv

= lnDv = ln(−Dr)+1Iv

ln(−T

Te

);

ddt

lnDv = 0 = 0+ddt

1Iv

ln(−T

Te

)=

1Iv

(TeT − T Te

−T 2e

)1

−T/Te=

TeT − T Te

Iv(−T Te);

Te

Te=

TT

Ahora, la ecuación anterior (Te/Te = T/T ) se puede combinar con las ecuaciones 3.2.10 y 3.2.13 y llegar a

la siguiente expresión:

Te

Te=

Dλ

=TT

=− 1κ

(D−Dv); (3.2.18)

D = Dv λ

λ −κ= Kte (3.2.19)

lo que finalmente sugiere que la tasa de deformación viscosa de una isotaca Dv es propocional a la tasa de

deformación de la isotaca D como se había mencionado anteriormente.

Las distancias que separan a las isotacas fueron estudiadas con detalle por LEINENKUGEL[16]. Empíri-

camente logró demostrar lo siguiente: sean las isotacas que surgen a partir de las tasas de deformación Da

y Db. El salto de esfuerzos Tb−Ta que ocurre tras cambiar la tasa de deformación de Da a Db, son propor-

cionales al logaritmo de la relación entre las velocidades de las isotacas y al esfuerzo Ta. El coeficiente de

proporcionalidad corresponde al índice de viscosidad Iv propuesto por LEINENKUGEL[16]. Lo anterior es:

Tb−Ta = IvTa ln(

Db

Da

)(3.2.20)

Para hacer la comparación con el modelo unidimensional viscohipoplástico considérese las isotacas Da y Db

mostradas en la figura 3.4. Ambas isotacas se pueden obtener a partir de un creep desde el punto de referencia

o empleando las ecuaciones 3.2.3 así:

εa− ε0 =−ψ ln(

ta + t0t0

); εb− ε0 =−ψ ln

(tb + t0

t0

)(3.2.21)

donde ta y tb son los tiempos de creep necesarios para llegar justo a los puntos A y B respectivamente.

Entonces la diferencia en unidad de deformación entre las isotacas A y B se puede obtener a partir de la

55


e=ln(1+e)

ln(-T/ Tr)Tb Ta

Da

De

Db

O

A

B C

Dr

e 0

e a

e b

Figura 3.4: Diagrama para ilustrar los saltos de esfuerzos debido al cambio de isotacas.

diferencia de las ecuaciones anteriores:

εb− εa = ψ ln(

ta + t0tb + t0

)(3.2.22)

Nótese que la relación (tb + t0)/(ta + t0) es equivalente que la relación entre las tasas de creep Dva/Dv

b si se

tiene en cuenta la ecuación 3.2.6 (para tasas de creep ). Como se había mencionado anteriormente las tasas

de deformación viscosas por creep son equivalentes a las tasa de deformaciones viscosas de las isotacas

correspondiente al punto donde el tiempo es igual a to + t. Además, por ser isotacas se puede utilizar la

ecuación 3.2.19 y establecer que:Dv

a

Dvb

=Da

Db(3.2.23)

Entonces la ecuación 3.2.22 se convierte en:

εb− εa = ψ ln(

Db

Da

)(3.2.24)

Por otro lado, la diferencia de deformaciones entre las isotacas A y B, es decir, εb− εa se puede obtener a

partir de una trayectoria por la línea de primera compresión de la siguiente manera:

εb− εa =−λ lnTb/Ta (3.2.25)

Igualando 3.2.24 y 3.2.25:

−λ lnTb/Ta = ψ ln(

Db

Da

);

Ta

Tb=(

Db

Da

)ψ/λ

=(

Db

Da

)Iv

(3.2.26)

56



Iv ln(

Db

Da

)= ln

(Tb

Ta

)(3.2.27)

Esta ecuación es equivalente a la ley de NORTON pero esta vez para el caso especial de dos isotacas y sin

establecer una de ellas como la isotaca de referencia. Se puede utilizar la aproximación ln(1 + x) ≈ x para

transformar la expresión Tb/Ta como se muestra a continuación:

x =Tb−Ta

Ta; 1+ x = 1+

Tb

Ta−1 =

Tb

Ta;

ln(1+ x) = ln(

Tb

Ta

)=

Tb−Ta

Ta; (3.2.28)

Con la anterior expresión, la ecuación 3.2.27 se convierte en:

Tb−Ta = IvTa ln(

Db

Da

)(3.2.29)

que es exactamente la expresión propuesta por LEINENKUGEL para los saltos de esfuerzos debido a cambios

de isotacas (véase ecuación 3.2.20). Una conclusión importante es que aunque las ecuaciones son iguales

después de aplicar la aproximación ln(1+x) ≈ x el índice de viscosidad Iv propuesto por LEINENKUGEL[16]

es similar, pero no igual al que propone el modelo viscohipoplástico de NIEMUNIS.

Simulación de creep y relajación: estos casos son mas sencillos de explicar. Para el primer caso, el

proceso de creep inicia al permanecer el esfuerzo efectivo constante5. En ese momento T = 0 lo que implica

que la deformación es igual a la deformación viscosa D = Dv (véase ecuación 3.2.10). La velocidad con que

ocurre el creep aumenta si Iv aumenta y el OCR disminuye (véase ecuación 3.2.16). Esto último implica que

para un proceso de creep su velocidad va disminuyendo a medida que el tiempo t > tp avanza. Para el caso

de un proceso de relajación se debe cumplir con la condición que D = 0. Entonces T = −T/κDv (véase

ecuación 3.2.10) y el esfuerzo disminuye. Igual que el creep la velocidad para un proceso de relajación

aumenta con el índice de viscosidad Iv y disminuye con el aumento del OCR. En la siguiente sección se

explica el modelo viscohipoplástico para el caso general de tres dimensiones.

3.3. Ecuación viscohipoplástica en 3D

NIEMUNIS en [18] propone la ampliación del modelo al caso de 3D considerando las siguientes ob-

servaciones; la tasa de elongación D se descompone en una tasa de elongación viscosa Dv y una elástica

De:

D = Dv +De (3.3.1)

5Igual que a la hipoplasticidad, los esfuerzos que se trabajan en las ecuaciones viscohipoplásticas son siempre efectivos.

57


Los factores de picnotropía fe6 y de densidad fd se deben remover de la ecuación constitutiva por ser factores

que aportan la dependencia del comportamiento mecánico del material con respecto a la densidad y a la

relación de vacíos, comportamientos típicos de las arenas y no de las arcillas. El factor de barotropía fb7

se debe modificar dado a que aporta para el caso de la arena la influencia de las presiones de confinamiento

sobre su comportamiento mecánico. Este último factor debe ser deducido nuevamente para las arcillas. Por

último la tasa de deformación viscosa Dv que para el caso de 1D se puede obtener mediante la ecuación

análoga a la ley de NORTON (3.2.16) se debe extender para el caso de tensores, lo que implica que el OCR se

debe redefinir para el caso tridimensional. En este inciso se explica el modelo viscohipoplástico propuesto

NIEMUNIS[18]8 para el caso de tres dimensiones siendo consistente con la ley de BUTTERFIELD.

Para explicar el modelo viscohipoplástico NIEMUNIS elige como modelo de referencia el modelo hi-

poplástico propuesto por WOLFFERSDORFF (véase sección 1.5). Recapitulando, el modelo presenta una

ecuación constitutiva de la forma:T = LD+ fdN‖D‖

WOLFFERSDORFF propone la simplificación de los tensores L y N introduciendo los tensores normalizados

L y N definidos según se muestra a continuación:

L =fb fe

T : Ta2

((Fa

)2

I+ T⊗ T

)=

fb fe

T : TL (3.3.2)

N =fb fe

T : Ta2(

Fa

)(T+ T∗) =

fb fe

T : TN (3.3.3)

Por otro lado el tensor invertido L−1 también se puede descomponer en el producto de unas cantidades

escalares por un tensor normalizado L−1 de la siguiente forma:

L−1 =T : Tfb fe

1F2

I− T⊗ T(Fa

)2

+ T : T

=T : Tfb fe

L−1 (3.3.4)

El primer paso es remover fe y fd dado a que simulan los efectos en el comportamiento mecánico de

los suelos debido a la densidad ρ y a la relación de vacíos e típico de suelos de grano grueso. También se

remueve la invariante en función de T, T : T que se presenta en las expresiones 3.3.2 y 3.3.3. NIEMUNIS[19]

justifica su remoción teniendo en cuenta lo siguiente: el próposito de la invariante T : T es presentar mayores

cambios de volumen a medida que los esfuerzos desviadores aumentan. En otras palabras, si se tienen dos

estados de esfuerzos ambos con la misma norma euclidiana ‖T ‖= kte, aquel que presente mayores esfuerzos

6dependencia de la relación de vacíos e7dependencia de la presión de confinamiento8Igual que para el caso unidimensional NIEMUNIS presenta en 1996 una versión del modelo viscohipoplástico en tres

dimensiones[18] que luego modifica en [19] para ser consistente con la ley de compresión de BUTTERFIELD[5].

58


desviadores q = Ti−Tj presentará un menor valor en la invariante T : T y finalmenteT aumenta. Este efecto

se observa muy poco en las arcillas y por lo tanto no debe ser considerado en los tensores de L y N. Con

lo anterior las ecuaciones hipoplásticas removiendo los factores mencionados quedan como se muestran a

continuación:

L = fba2

((Fa

)2

I+ T⊗ T

)= fbL (3.3.5)

N = fba2(

Fa

)(T+ T∗) = fbN (3.3.6)

L−1 =1fb

1F2

I− T⊗ T(Fa

)2

+ T : T

=1fb

L−1 (3.3.7)

El próximo paso es obtener la descomposición de la deformación en una deformación viscosa y una elástica

tal como se muestra en la ecuación 3.3.1. Para tal propósito NIEMUNIS[19] reorganiza los términos de la

ecuación hipoplástica como se muestra a continuación:

T = L : D+N‖D‖

=T = L : (D+L−1 : N ‖ D ‖)

=T = fbL : (D+ L−1 : N ‖ D ‖)

=T = fbL :

(D− (−L−1 : N ‖ D ‖)

)(3.3.8)

En esta última ecuación 3,3,8 se pueden identificar fácilmente la deformación viscosa Dv y la deformación

total D (véase ecuación 3.3.1). Estableciendo la deformación viscosa como:

Dv =−L−1 : N ‖ D ‖ (3.3.9)

entonces la ecuación 3.3.8 se puede reescribir como:

T = fbL : (D−Dv) (3.3.10)

Esta ecúación es análoga a la (3.2.10) para 1D. Sin embargo, falta aún definir fb, el OCR, y establecer la

ecuación que gobierna la tasa de deformación viscosa ánáloga a la ley de NORTON pero en este caso para

tres dimensiones. A continuación se presenta la deducción de cada uno de estos términos.

59


3.3.1. Factor de barotropía

EL factor de barotropía propuesto para la ecuación hipoplástica de WOLFFERSDORFF intenta simular los

efectos en la rigidez debido a la presión de confinamiento en la curva de primera compresión bajo un ensayo

oedométrico. Para el caso viscohipoplástico, el factor fb debe representar los efectos en la rigidez tanto en la

curva de primera compresión como en la curva de descarga-recarga debido a las presiones de confinamiento,

y debe funcionar en condiciones oedométricas e isotrópicas[19]. Para tal propósito se considera la ley de

compresión de BUTTERFIELD bajo deformación isotrópica sobre el eje hidrostático p =−(T1 +T2 +T3)/3.

Para compresión isotrópica se cumple que:

Ti j =13

δi j; (3.3.11)

p =−13

δi j

Ti j

; (3.3.12)

Dkl = δkl13

Dv; (3.3.13)

Las ecuaciones de compresión son entonces:

ln(

1+ e0

1+ e

)= λ ln

(pp0

)para primera compresión isotrópica; (3.3.14)

ln(

1+ e0

1+ e

)= κ ln

(pp0

)para descarga-recarga isotrópica; (3.3.15)

y derivando:

ddt− ln

(1+ e1+ e0

)=

ddt

λ ln(

pp0

)− 1

1+ e1+ e0

e1+ e0

=λ

pp0

pp0

− e1+ e

= λpp

(3.3.16)

Teniendo en cuenta que la tasa de deformación volumétrica es Dvol =e

1+ ey haciendo un procedimiento

similar para el caso de descarga-recarga se pueden deducir las siguientes dos expresiones:

p =− pλ

Dvol (3.3.17)

p =− pκ

Dvol (3.3.18)

Para deducir el fb, se considera una trayectoria descarga-recarga lo que implica que no hay deformación

viscosa Dv = 0. Esta trayectoria está descrita por la ecuación de descarga (3.3.18). Por otro lado, para com-

presión isotrópica se cumplen las ecuaciones 3.3.11, 3.3.12 y 3.3.13 y por lo tanto p = p = −1/3δi j

T i j;.

60


Entonces bajo estas condiciones (descarga en compresión isotrópica) se puede encontrar un fb que cum-

pla con las condiciones anteriores teniendo en cuenta la ecuación4.2. Para encontrar fb se hace el siguiente

procedimiento matemático:

p =− pk

Dvol =−13

δi j

Ti j

− pk

Dvol =−13

δi j

(δi jδ jl +a2 1

3δi j

13

δkl

)(δkl

13

Dvol)

; (3.3.19)

Como para compresión isotrópica p =−13

trT entonces se puede despejar fb resultando:

fb =− trT(1+a2/3)κ

=−βbtrT (3.3.20)

introduciendo al factor βb =((1+a2/3)κ

)−1. Entonces el factor de barotropía es proporcional al estado de

esfuerzo sin tener en cuenta los esfuerzos desviadores, esto es fb ∼ trT, y el factor de proporcionalidad es una

constante del material (βb). Para el caso de la Hipoplasticidad el factor fb ∼ (trT)1−n y también depende de

las constantes del material ei0,ed0,ec0. Ambos fb están deducidos a partir de una compresión isotrópica para

el caso de primera compresión en Hipoplasticidad y descarga-recarga en Viscohipoplasticidad. Ya definido

fb se presenta en el próximo inciso la definición del OCR para el caso de tres dimensiones.

3.3.2. Definición del OCR en 3D

El modelo viscohipoplástico unidimensional adopta la definición del OCR propuesto por HVROSLEV,

OCR = pe/p. El problema de esta definición consiste en que el esfuerzo equivalente pe no es tan fácil de

establecer al tener un estado de esfuerzos que presente esfuerzos desviadores. Para solucionar el problema

NIEMUNIS adopta el concepto de la elipse de fluencia propuesto para el modelo de Cam-Clay modificado

MCC (por las siglas en inglés)9. La elipse de fluencia es aquella cuya superfice delimita el inicio de las

deformaciones plásticas (p.e. en una trayectoria p−q) y por lo tanto en ese instante se dice que la trayectoria

entra al estado de normal consolidación. Esta elipse está en función de la pendiente de la línea estado crítico

en el espacio p-q denominada M y del esfuerzo equivalente pe10. La ecuación que describe la elipse de

fluencia según el MCC es la siguiente:

p(p− pe)+q2

M2 = 0 (3.3.21)

9Los mayores contribuyentes al modelo elastoplástico del Cam-Clay y Cam-Clay modificado fueron SCHOFIELD[24] yROSCOE[23] respectivamente.

10La línea del estado crítico se obtiene de distintas maneras según el modelo constitutivo. Para el modelo MCC se obtienemedianyte la ecuación q = Mp, y para la Hipoplasticidad o Viscohipoplasticidad se obtiene mediante la solución de la ecuaciónB = 1 (véase figura 3.5.a.)

61


Para la teoría viscohipolástica, un punto p,q,e11 puede proyectarse a un esfuerzo equivalente pe que se

encuentre sobre la isotaca de referencia definida en el plano isotrópico (q = 0). Para ilustrar lo anterior

considérese la figura 3.5.b. La figura muestra que el punto con coordenadas (p1,q1,e1) se puede proyectar en

el plano isotrópico (en el piso p−ν siendo q = 0), y luego se proyecta a la isotaca de referencia encontrando

al esfuerzo equivalente pe. Nótese que la isotaca de referencia está identificada con el estado de referencia

(ee0, pe0). Dado que el esfuerzo equivalente pe se localiza en la isotaca de referencia, éste se puede obtener a

partir de la ecuación de compresión de BUTTERFIELD como se muestra a continuación:

ln(

1+ ee0

1+ e1

)= ln

(pe

pe0

)(3.3.22)

Por otro lado, las figuras 3.5.a y b muestran que el punto con coordenadas (p1,q1,e1) está sobre una elip-

q

v

p

(eref, p ref)

Isotaca de

referencia

(e1, p 1, q1)

p e

p e +

q

p

q=Mp


en la isotaca de


Elipse de fluencia


p e

+

p e

(p1, q1)

(a) Elipses de fluencia para el estado actual y para peen la isotaca de referencia.

q

v

p

(ee0, p e0)

Isotaca de

referencia

(e1, p 1, q1)

p e

p e +

q

p

q=Mp


en la isotaca de


Elipse de fluencia


p e

+

p e

(p1, q1)

(b) Se muestra la elipse de fluencia para el es-tado actual en el espacio ν− p−q.

Figura 3.5: Ubicación de los puntos pe y p+e en los espacios p−q y ν− p−q.

se de fluencia. Esta elipse proyecta al punto anterior con una trayectoria elíptica hasta la curva de normal

consolidación sobre el plano isotrópico que no necesariamente es la isotaca de referencia. Este esfuerzo

equivalente se denota con el símbolo p+e . Entonces nuevamente se tienen dos puntos que definen isotacas

igual que en la definición anterior del OCR; el primero corresponde al esfuerzo equivalente pe que defi-

ne la isotaca de referencia, y el segundo corresponde al esfuerzo equivalente proyectado con la elipse de

fluencia al plano isotrópico p+e que define una nueva isotaca característica del estado actual de esfuerzos y

deformaciones. Definiendo al OCR como la relación entre estos dos puntos se obtiene nuevamente la equi-

valencia entre esfuerzos y tasas de deformación análogo a la definición del OCR propuesto por HVROSLEV.

11o también (p,q,ν) teniendo en cuenta que ν = 1+ e.

62


Matemáticamente es:

OCR =pe

p+e

(3.3.23)

La definición anterior implica que para alcanzar un OCR = 1 es necesario estar sobre un punto que coincida

con la elipse de fluencia sobre la isotaca de referencia. Entonces existe más de una isotaca sobre el plano

isotrópico p− e (q = 0) para un OCR = 1, lo que se explicará con detalle en el próximo inciso. No obstante,

HIBBIT demostró[13] mediante ensayos experimentales que la superficie que define un estado de fluencia no

es exactamente una elipse. HIBBIT introdujo una modificación a la elipse del modelo MCC con la propuesta

de dos ecuaciones distintas, una para los estados de esfuezos por debajo de la línea del estado crítico y otra

para los estados de esfuerzos por encima. Para diferenciar definió la variable η como:

η =q

Mp(3.3.24)

y las ecuaciones que propuso modifican al esfuerzo equivalente p+e de la siguiente manera:

p+newe =

pβR−1

(βR

√1+η

2(β 2R−1)−1

)η < 1; (3.3.25)

p+newe = p(1+ν

2)1+βR

2η > 1 (3.3.26)

donde el βR es un parámetro adicional que comprende el rango 0< βR < 1. La modificación se ilustra en la

figura 3.6.

142 CHAPTER 4. EXTENSIONS AND MODIFICATIONS

contractancy appear at high stress ratios only and cannot be described by the model.

Recently Krieg (private communication) has attributed this effect (at least a part of it)

to the experimental technique.

4.2.10 Modified shape of the yield surface

Some numerical tests indicate that a modification [89] of (4.77) might be useful. In place

of (4.77) one may introduce two different equations: one for the stress states below and

one for the states above the critical state surface ‖B‖ = 1. We explicitly distinguish

between so-called ’wet’ and ’dry’ states [206] and propose separate equations for these

regions.

The modification shown in Fig. 4.33 needs one additional parameter 0 < βR < 1. The

equivalent pressure p+e = p(1 + η2), cf. (4.80), can be now expressed as the following

function of the actual stress

p+newe =

p

βR − 1

[βR

√1 + η2(β2

R − 1)− 1

]for η < 1, (4.117)

p+newe = p(1 + η2)

1 + βR

2for η > 1, (4.118)

where η = q/(Mp). This allows for some freedom in constitutive modeling.

p pp /2 e eep /2e

new

β

β =1β =0.5

p

q

||B||=

1

RR

R+ +

+ +

β =0.5

p

q

R

β =0.99R

resulting undrained paths

Figure 4.33: Modification of the cap surface proposed in [89]. Such modified shape is used inthe Cam-clay model to improve its prediction of K0. It should be noted, that the overestimatedK0 values from (4.94) as shown in Fig. 4.25 cannot be improved by the parameter βR. It canbe used, however, to capture the ratio between the preconsolidation pressure and the undrainedcohesion and to influence the stress response (shape of the stress path) for undrained shearingin saturated, normally consolidated soil

The above modification requires some changes in the numerical algorithm. For the dry

side (η > 1) the right-hand-side expression in (4.80) and (4.133) must be multiplied by

(1 +βR)/2. For the wet side (η < 1) we use (4.117). in place of p+e (p, q) = p(1 + η2) given

Figura 3.6: Modificación de la superficie de fluencia propuesta por [13]. Tomada de [19].

3.3.3. Tasa de defomación viscosa

Para el modelo viscohipoplástico unidimensional la tasa de deformación viscosa Dv es análoga a la ley

de NORTON (véase ecuación 3.2.16). En el caso 3D la tasa de deformación viscosa Dv no es tan trivial,

teniendo en cuenta que es un tensor y por lo tanto debe de proporcionar una magnitud y un sentido. Para su

deducción NIEMUNIS analiza lo siguiente; de la ecuación para Dv (véase ecuación 3.3.9) se puede inferir

que Dv ∼ L−1 : N =−~B. Con esta ecuación se obtiene el sentido de la deformación viscosa Dv. La magnitud

63


se puede obtener con la analogía de la ley de NORTON. Entonces las ecuaciones para obtener la deformación

viscosa son:

~Dv =−~B Para obtener la dirección y sentido (3.3.27)

‖ Dv ‖=−Dr

(1

OCR

)1/Iv

Para obtener la magnitud (3.3.28)

Para obtener −~B se hace el siguiente procedimiento:

−B = L−1 : N;

=1

F2

(I− T⊗ T(F

a

)2 + T : T

)︸︷︷︸

L−1

: a2(

Fa

)(T+ T∗)︸︷︷︸

N

Ahora se multiplica y divide el término L−1 por el escalar(F

a

)2 + T : T de la siguiente manera:

=a

F((F/a)2 + T : T

) (I

((Fa

)2

+ T : T

)− T⊗ T

): (T+ T∗)

= ϖ

(I

((Fa

)2

+ T : T

)− T⊗ T

): (T+ T∗)

siendo ϖ =a

F((F/a)2 + T : T

) un escalar. Teniendo en cuenta que el tensor T es simétrico entonces se

cumple que T : T⊗ T = T⊗ T : T y entonces:

= ϖ

((Fa

)2

(T+ T∗)+ T : T⊗ T+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T− T⊗ T : T∗)

= ϖ

((Fa

)2

(T+ T∗)+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T∗)

El tensor direccional ~B se obtiene dividiendo al tensor B con su magnitud ‖ B ‖. Como el tensor B ∼ B

entonces también se puede obtener al tensor direccional con ~B =B‖ B ‖ . Esto es:

~B =

((F/a)2(T+ T∗)+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T∗

)‖ ((F/a)2(T+ T∗)+ T : T⊗ T∗− T⊗ T : T∗

) ‖12 (3.3.29)

12El escalar ϖ se remueve dado a que aparece en el numerador y en el denominador.

64


Finalmente la ecuación que describe la tasa de deformación viscosa en el modelo viscohipoplástico se esta-

blece como:

Dv =−Dr~B(

1OCR

)1/Iv

(3.3.30)

OCR = 1: con la tasa de deformación viscosa se puede hacer el análisis para el caso general del OCR = 1.

La condición OCR = 1 implica que OCR = kte y entonces si se derivaddt

pe

p+e

= 0 se obtiene:

OCR = kte; ∴pe

+

p+e

=pe

pe(3.3.31)

Esta condición solo se cumple cuando está bajo la línea de primera condición y para el caso de OCR = 1 esta

línea debe tener pe = p+e . Derivando la ley de compresión de BUTTERFIELD se obtiene:

pe

pe=− 1

λtrD (3.3.32)

Con las ecuaciones 3.3.31 y 3.3.32 se obtiene:

trT

trT=

pe+

p+e

=pe

pe=− trD

λ(3.3.33)

Esta última ecuación implica varios aspectos. Lo primero es que las isotacas dependen de la oblicuidad del

esfuerzo T. O en otras palabras, bajo la misma magnitud en la tasa de deformación ‖ D ‖= kte, pero con

diferentes direcciones D 6= kte se obtienen líneas paralelas de compresión en el espacio doble-logarítmico

lnν , lnσ . Para ilustrar lo anterior considérese la figura 3.7. La figura 3.7.a muestra tres trayectorias de prime-

ra compresión. La trayectoria A corresponde a una compresión isotrópica por la línea de primera compresión

de referencia. Las trayectorias B y C corresponden a compresiones oedométricas con distintos K0 = T22/T11

que pasan por la elipse de fluencia con condición OCR = 1. Las tres trayectorias se deforman con la misma

tasa ‖ D ‖= kte pero con distintas direcciones ~D(A) 6= ~D(B) 6= ~D(C). La trayectoria sobre el espacio ν− p−q

se aprecia en la figura 3.7.b. Esta es la razón por la cual trayectorias de primera compresión oedométricas

son paralelas a trayectorias de primera compresión isotrópica pero no iguales y por lo tanto la ecuación para

obtener la deformación viscosa de referencia Dr no es la misma en los dos casos. Este último aspecto se

soluciona en la sección de parámetros viscohipoplásticos (inciso 3.4).

3.4. Valores de referencia y parámetros viscohipoplásticos

En este inciso se explica algunos procedimientos y ecuaciones para obtener los valores de referencia y

los parámetros viscohipoplástico.

65


q

p

q=Mp


en la isotaca de


Elipse de fluencia


p e

+

p e

(p1, q1)

q

p

q=Mp

‖B‖=1

q

v

p


para q=0)

Trayectoria B

Trayectoria C

Trayectoria A

Línea del estado

crítico

‖B‖=1

v=1+e

p

A

B

C

A

B

C

Isotaca de

referencia para

q=0 (compresión

isotrópica)

OCR=1

(a) Trayectorias con OCR = 1, bajo la mismamagnitud en la tasa de deformación ‖ D ‖=kte y con distintos sentidos de deformación~D(A) 6= ~D(B) 6= ~D(C).

nciae

ra el

q

v

p


para q=0)

Trayectoria B

Trayectoria C

Trayectoria A

Línea del estado

crítico

‖B‖=1

n

(b) Representación en el diagrama ν− p−q

Figura 3.7: Trayectorias con ‖ D ‖= kte y OCR = 1.

3.4.1. Valores de referencia

Básicamente los valores de referencia corresponden a establecer la superficie para la cual OCR = 1 en el

espacio ν− p−q. Para tal propósito es necesario definir un punto característico con valores de ee0, pe0,Dr.

A continuación se explican cada uno.

Tasa de deformación viscosa de referencia Dr: la figura 3.7.b muestra tres distintas trayectorias con

diferentes K0 y con OCR = 1. La trayectoria A corresponde a un K0 = 1, es decir, a una compresión isotró-

pica y las trayectorias B y C corresponden a compresiones oedométricas con distintos K0. Para el caso de

compresión isotrópica la ecuación que relaciona Dr con la tasa de deformación ‖ D ‖ es análoga a la que se

presenta para 1D (véase ecuación 3.2.18) y se presenta a continuación:

Dr =λ −κ

λ‖ D ‖

Por otro lado, la figura 3.7.b muestra que la trayectoria es dependiente del K0. Por esta razón NIEMUNIS[19]

introduce la variable x =‖D ‖ / ‖Dv ‖ para resolver la tasa de deformación viscosa de referencia Dr. Para el

caso de compresión oedométrica bajo deformación constante el tensor ~D = diag[−1,0,0] = kte13. Teniendo

en cuenta que para un OCR = 1 y bajo compresión oedométrica la tasa de esfuerzosT ∼ T NIEMUNIS

13el operador diag[, , ] es equivalente a un tensor diagonal con los elementos igual a los presentados entre corchetes.

66


resuelve las variables K0 y x en las siguientes dos ecuaciones:

xλβb

=−Lii11x− (Lii11~B11 + Lii22~B22 + Lii33~B33) (3.4.1)

K0 =−L2211x− (L2211~B11 + L2222~B22 + L2233~B33)−L1111x− (L1111~B11 + L1122~B22 + L1133~B33)

(3.4.2)

Las condiciones oedométricas implican a la vez que:

F = 1 ; L1111 = 1+a2 1(1+2K0)2 ; L2222 = L3333 = 1+a2 K2

0(1+2K0)2 (3.4.3)

La solución de x =‖D ‖ / ‖Dv ‖ se presenta de manera implícita en las ecuaciones anteriores y por lo tanto se

debe resolver con K0 a la vez mediante métodos numéricos. NIEMUNIS presenta la solución a las ecuaciones

mediante curvas que relacionan el cociente λ/κo14 y el ángulo de fricción crítico ϕc15 con K0 y x (véase

figuras 3.8).

4.2. VISCO-HYPOPLASTIC MODEL 135

0.4

0.5

0.6

0.7

20 30 40

λ/κ = 4 λ/κ = 6.7

λ/κ = 10 λ/κ = 12.5

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

20 30 40

o

o

o

o

K0

[ ]o [ ]o

x= -D /D11 r

Figure 4.27: Values of K0 and x = ‖D‖/Dr referred to the oedometric swell index κo

Evaluation of K0 from uniaxial creep tests

Consider now an oedometric creep test with T11 = 0 and Dij = δ1iδ1j. Independently of

the initial stress, we expect that a specific ’K0-stress state’ establishes itself eventually

(as an asymptotic state) for which

T22/T11 = T33/T11 = const (4.100)

The condition T11 = 0 with (4.100) implies T = 0 and consistently D = Dvis which leads

to the value

T22/T11 = T33/T11 = Kup0 (4.101)

which was derived in (4.94). The OCR is increasing during the test and the stress ratio

tends to Kup0 . The asymptotic value Kup

0 reached after a long uniaxial creep seems to be

appropriate for most geotechnical problems. at least for normally consolidated or slightly

overconsolidated states.

Closing the discussion on K0 let us repeat that our model does not offer a possibility

of choosing an arbitrary value for K0 = K0NC for normally consolidated soils. Kup0 is

one-to-one related with ϕc. In particular the value K0 = 1− sin ϕ cannot be set, as shown

in Fig. 4.25. If the application of self weight is calculated with the hypoplastic model

initial stress ratio K0 given in Fig. 4.26 or Fig. 4.26 establishes itself for OCR = 1. In

Section 4.3 this problem will be alleviated because the basic constitutive equation will

obtain some additional flexibility. Using Abaqus the problem may also be apparently

circumvented with a simple trick. At the beginning of a FE-calculation we may prescribe

Figura 3.8: Valores de K0 y x =‖ D ‖) ‖ Dv ‖. Tomado de [19].

Relación de vacíos y esfuerzo promedio de referencia ee0, pe0: Corresponden a un punto sobre la

trayectoria OCR = 1 para el Dr seleccionado. Por conveniencia se ha establecido que el valor de ee0 se debe

escoger en el punto para la cual pe0 = 100kPa denominando a esta relación de vacíos e100.

Otra manera de establecer la trayectoria de referencia con OCR = 1 la introdujo GOLDSCHEIDER re-

lacionando la variables Dr, pe0 y ee0 en una sola constante del material. Su propuesta está basada en la

observación de la tasa de deformación viscosa Dv. Independiente a las variables Dr, pe0 y ee0 la tasa de

14El superíndice O del índice de descarga κo significa que se obtiene a partir de un ensayo oedométrico y es diferente al κ de lasecuaciones viscohipoplástica que se obtiene a partir de un ensayo isotrópico.

15Las gráficas 3.8 simbolizan el ángulo de fricción crítico ϕc omitiendo el subíndice c por diferencias de notación.

67


deformación viscosa Dv para un estado de esfuerzos y deformaciones T y e permanece igual. Luego, con la

ecuación de la tasa de deformación viscosa (véase ecuación 3.3.30) y bajo la condición que para un e = kte

Dv = kte se obtiene la condición:

DIvr (pe0)−1(1+ ee0)−1/λ = kte (3.4.4)

Sin embargo esta constante es dependiente de las unidades de las variables. Una alternativa fué propuesta

por KRIEG y NIEMUNIS[20] introduciendo la variable Γ con unidades de esfuerzo. En lugar de Dr utilizó

(Dr/1%/h) para no introducir unidades de tiempo. La expresión se describe a continuación:

Γ = (Dr/1%/h)−Iv(pe0)(1+ ee0)1/λ (3.4.5)

3.4.2. Parámetros viscohipoplásticos

En esta sección se presentan las ecuaciones y los métodos para obtener los parámetros vicohipoplástico

con excepción del parámetro ϕc explicado anteriormente en el inciso 1.7 y el parámetro βR que se obtiene

por calibración.

Índice de viscosidad Iv: mide la reacción del material con los cambios en la tasa de deformación. Una

manera de determinar el índice de viscosidad Iv es mediante un ensayo isotrópico que contenga dos isotacas.

Para ilustrar lo anterior considérese la figura 3.9. La figura presenta para un ensayo isotrópico la isotaca

de referencia, y dos isotacas A y B con distintas velocidades vicosas Dv(a) y Dv

(b)16. Nótese que los puntos

pa = p+a y pb = p+

b poseen el mismo esfuerzo equivalente pe por presentar la misma relació de vacíos e.

Entonces pe(a) = pe(b) = pe. Teniendo en cuenta que x =‖D ‖ / ‖Dv ‖, la ecuación 3.3.30 y la definición del

OCR = pe/p+e se puede demostrar que para las isotacas A y B están gobernadas por las siguientes ecuaciones:

‖ D(a) ‖= xDr

(p+

e(a)

pe

)1/Iv

; ‖ D(b) ‖= xDr

(p+

e(b)

pe

)1/Iv

(3.4.6)

dividiendo ambas ecuaciones y despejando con logaritmos:

Iv = lnp(a)

p(b)/ ln‖ D(a) ‖‖ D(b) ‖

(3.4.7)

Dado a que los esfuerzos T(a) ∼ T(b) son proporcionales se puede obtener el índice de viscosidad Iv a partir

de un ensayo oedométrico con una ecuación equivalente a la anterior:

Iv = lnT11(a)

T11(b)/ ln‖ D(a) ‖‖ D(b) ‖

(3.4.8)

16En este caso los tensores direccionales ~D(a) = ~D(b) = diag[−1,−1,−1] por tratarse de una compresión isotrópica

68


ln(1+e)

ln(p/p r)

(ee0, p e0)

DrD(a)D(b)

vv


para q=0)

(Isotaca A)

(Isotaca B)

p e(b) p e(a) p e

+ + +

Figura 3.9: Obtención del índice de viscosidad mediante dos isotacas con ensayo isotrópico. Adaptado de[19].

Una manera alternativa es utilizar la ecuación empírica propuesta por GUDEHUS y LEINENKUKEL que

relaciona al índice de viscosidad Iv con el límite líquido wL:

Iv = 0,05+0,026lnwL (3.4.9)

No se ha encontrado una justificación ciéntifica a la ecuación anterior.

Índices de compresión y de descarga-recarga λ , κ: NIEMUNIS presenta una deducción las ecuacio-

nes viscohipoplástica en 1995[20] y 1996[18] para el caso de 1D y 3D utilizando la ley de compresión

de TERZAGUI bajo el plano semilogarítmico e vs. ln(p/pr). En estos casos los índices de compresión y

descarga-recarga λ , κ se obtienen a partir del mismo plano y mediante un ensayo isotrópico. Luego, en su

disertación del 2003[19] NIEMUNIS modifica las ecuaciones para estar concorde a la ley de compresión se-

gún BUTTERFIELD sobre el plano doble-logarímico ln(1 + e) vs. ln(p/pr). En este caso ambos índices se

deben obtener a partir del mismo plano medainte un ensayo de compresión isotrópica.

Para el caso especial del índice de compresión λ las líneas de primera compresión generada a partir de

un ensayo isotrópico u oedométrico son paralelas y por lo tanto λ o = λ , donde el superíndice o denota que

está obtenido a partir de un ensayo oedométrico. Para el caso de κ las curvas de descarga-recarga obtenidas

a partir de compresión isotrópica y oedométrica no son paralelas. En este caso el índice de descarga-recarga

para compresión oedométrica κo es ligeramente distinto al obtenido a partir de un ensayo de compresión

isotrópica κ siendo κo < κ . Una expresión que relacione κ con κo guardando coherencia con la ley de

compresión de BUTTERFIELD se puede deducir a partir del siguiente procedimiento[19]: Teniendo en cuenta

que bajo condiciones oedométricas y suponiendo K0 = kte se cumple que:

p =− pko Dv ; Dkl = δk1δl1Dv ; Ti j =

11+2K0

1,K0,K0 (3.4.10)

69


entonces para una descarga (Dv = 0 y F = 1) y bajo condiciones oedométricas se obtiene para la tasa de

esfuerzos (véase ecuación 4.2):

T pp = fbLpp11D11 (3.4.11)

Para resolver Lpp11 se utilizan las ecuaciones para condiciones oedométricas con Ko = kte 3.4.10 y la ecua-

ción 3.3.5 llegando a la siguiente expresión:

Lpp11 =1

(1+2Ko)2

(1+2Ko)2 +a2 0 0

0 a2K0 0

0 0 a2K0

(3.4.12)

Entonces con la ecuación anterior y la ecuación 3.4.11 se obtiene:

T 11

T 22

T 33

=fb

(1+2K0)2

(1+2Ko)2 +a2

a2K0

a2K0

Dv (3.4.13)

Ahora, con la ecuación (derecha) 3.4.10 y la ecuación anterior se obtiene:

p =− pko Dv ; tr

T =− trT

κo Dv

= fb1

(1+2K0)2

((1+K0)2 +(1+K0)a2) ; (sumando los componentes de

T en la ecuación 3.4.13)

(3.4.14)

y finalmente:

fb =− trT(1+a2/(1+K0))κo =− trT

(1+a2/3)κ; (igualando a 3.3.20) (3.4.15)

Por lo tanto la ecuación que relaciona al índice de descarga-recarga para ensayo de compresión isotrópica κ

con el del ensayo de compresión oedométrica κo es:

κ =

(1+ a2

1+2K0

)1+ a2

3

κo (3.4.16)

70

Capítulo 4

Element test con Viscohipoplasticidad

En este inciso se presenta el algoritmo matemático que se debe llevar a cabo para solucionar la ecua-

ción viscohipoplástica para 1D bajo compresión oedométrica. Luego se presenta la solución general para la

ecuación viscohipoplástica en 3D.

4.1. Compresión oedométrica utilizando la versión 1D

La ecuación unidimensional viscohipoplástica está deducida teniendo en cuenta una sola dirección de

esfuerzo y una sola dirección de deformación. A pesar que existen esfuerzos en las direcciones 2 y 3, se

omiten y en lugar de ellos se trabaja con un índice de descarga κ obtenido directamente a partir de un ensayo

oedométrico κ = κo1. Para solucionar la ecuación se hace el siguiente procedimiento[20]; retomando la

ecuación 3.2.10:

T =−Tκ

(D−Dv)

donde,

Dv =−Dr

(1

OCR

)1/Iv

(igual que la ecuación 3.2.16). Sin embargo la integración explícita de esta segunda ecuación (3.2.16) es muy

inestable debido a que el exponente 1/Iv ∼ 20. Para solucionar este problema se considera a la deformación

viscosa del paso siguiente según se muestra a continuación:

Dv (t+1) =

(Dv (t) +

∂Dv (t)

∂T∆T +

∂Dv (t)

∂ε∆ε

)∆t (4.1.1)

1Por lo tanto se omite el superíndice o para el símbolo del índice de descarga en este inciso como una excepción.

71

CAPÍTULO 4. ELEMENT TEST CON VISCOHIPOPLASTICIDAD ICIV 200710 09

y la ecuación 3.2.10 se puede reescribir de manera incremental como se muestra a continuación:

∆T =−T (t)

κ

(∆ε−

(Dv (t) +

∂Dv (t)

∂T∆T +

∂Dv (t)

∂ε∆ε

)∆t

)(4.1.2)

La derivada parcial∂Dv

∂Tse deduce a partir del siguiente procedimiento:

Dv =−Dr

(−TTe

)1/Iv

ln(Dv) = ln(Dr)+1Iv

ln(−T

Te

)1

Dv∂Dv

∂T=

1Iv

1−TTe

−TTe

∂Dv

∂T=

1Iv

Dv

T= a (4.1.3)

Un procedimiento similar se puede utilizar para deducir la ecuación para la derivada parcial∂Dv

∂εque se

muestra a continuación:∂Dv

∂ε=− Dv

λ Iv= b (4.1.4)

Nótese que se han denominado a =∂Dv

∂Ty b =

∂Dv

∂ε. En la ecuación 4.1.1 el término ∆T aparece en su lado

derecho e izquierdo. Despejando a ∆T :

∆T =−T/κ ((1−b∆t)∆ε−Dv∆t)

(1−a∆tT/κ)(4.1.5)

Por otro lado, si ∆ε es la variable dependiente en lugar de ∆T (esfuerzo controlado) entonces al despejarla

de 4.1.1 resulta la siguiente expresión:

∆ε =(−∆T

T κ+Dv

∆t +a∆T ∆t)

1(1−b∆t)

(4.1.6)

Las ecuaciones anteriores son suficientes para integrar la ecuación constitutiva 1D. Para simular procesos de

creep y relajación es necesario realizar una integración que permita establecer por cada paso una solución ya

sea por deformación controlada o por esfuerzo controlado. En las próximas líneas se propone un algoritmo

para integrar la ecuación constitutiva 1D con la condición anterior:

1. Establecer la condición inicial T0, e0.

2. Establecer los valores de referencia Dr, ee0 y Te0. En caso de utilizar e100 se supone Te0 = 100.

3. Calcular la deformación (se puede deducir a partir de la ley de compresión de Butterfield ε = ln(1+e)).Calcular el esuferzo equivalente Te = Te0/(λ exp(ε− εe0)). Calcular el OCR = Te/T .

72


4. Se requiere conocer el control del presente paso. Para tal propósito se introduce la variable control

que toma valor de 0 si es deformación controlada y 1 si es esfuerzo controlado. También se requiere

conocer la tasa de la variable de control, es decir, D para deformación controlada o T para esfuerzo

controlado. Se introduce la variable tasa cuyo valor corresponde a la tasa del control seleccionado para

el paso presente. Igualmente requiere conocer el incremento del tiempo para el presente paso ∆t. Con

las variables anteriores se puede calcular el incremento ya sea de deformación ∆ε (para control = 0)

o de esfuerzo ∆T (para control = 1). El incremento será identificado mediante la variable increm =tasa∆t.

5. Calcular la rigidez Rig = −T/κ (véase ecuación 3.2.10), la deformación viscosa Dv con la ecuación

3.2.16 y las variables a y b deducidas en las ecuaciones 4.1.3 y 4.1.4 respectivamente.

6. El próximo paso es calcular el incremento contrario al control. Entonces si es deformación controlada

entonces control = 0, ∆ε = increm y ∆T se puede calcular mediante la ecuación 4.1.5. Si es esfuerzo

controlado entonces control = 1, ∆T = increm y ∆ε se puede calcular a partir de la ecuación 4.1.6.

Ambas condiciones se pueden tener en cuenta mediante un condicional y con ello se obtienen un ∆ε y

un ∆T .


T (t+1) = T +∆T (4.1.7)

ε(t+1) = ε

(t) +∆ε (4.1.8)

e = exp(ε)−1 (4.1.9)

8. Se calculan las variables de estados del próximo paso volviendo a 2.

El anterior algoritmo se programó en lenguaje VISUAL BASIC como macro de EXCEL siendo consistente con

el diagrama de flujo que muestra la figura 4.1. La programación se presenta en el anexo B.7.

La figura 4.2 presenta una trayectoria de un ensayo oedométrico realizado mediante el programa que se

presenta en el anexo B,7. La trayectoria consta de varias partes que se distinguen por presentar cambios de la

tasa de deformación, procesos de creep y procesos de relajación. Teniendo en cuenta los puntos identificados

con letras de la figura 4.2 se mencionan cada una de las partes que componen la trayectoria:

A-B: compresión con Dv = Dr.

B-C: relajación.

C-D: compresión con Dv = Dr

D-E: compresión con Dv = 102Dr

73


Leer los parámetros viscohipoplásticosLeer el estado inicial de T0, ε0 y e0

Declarar e inicializar variables del programaInicio

Leyendo valores de referencia Dr, ee0, Te0, εe0=ln(1+ ee0)

K t iKstep=i


CalculandoTe , OCR, ε=ln(1+ e)

Calcular:

Establecer el control (=0 para D; o =1 para T)Leer la tasa= o

Leer el intervalo de tiempo ΔtCalcular el incremento Δε o ΔT; =(tasa)Δt

TD

Calcular:)(),,(),,(,Rig vv

ev DfbDTfaTTfDT ===−= κ

OEDOM

?0=control ?1=control

tDta v⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

Δ+Δ+

Δ1)Rig1(tasaε ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛ −Δ

Δ)1Rig ΔtDε-bΔb(T

v

tasa=ΔTtasa=Δε

Actualizar variables del siguiente paso:

)(,1)Exp(,,, efTeTTT e =−=Δ+=Δ+= εεεε

tbtD

Δ−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

Δ+=Δ1Rig

ε ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ Δ

=Δ)Rig-(1

Rigta

T

i=nStep

Imprimiendo variables de estadoeTeT ,,,, ε

Fin

Figura 4.1: Diagrama de flujo para la programación del element test de compresión oedométrica con Vis-cohipoplasticidad en 1D

E-F: compresión con Dv = Dr

F-G: compresión con Dv = 10−2Dr

G-H: compresión con Dv = Dr

H-I: creep.

>I: compresión con Dv = Dr

74


Nótese que la figura 4.2 también presenta la trayectoria para OCR = 1. Por lo tanto isotacas por encima de

esta línea presentan OCR < 1 y por debajo presentan OCR > 1.

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

3 4 5 6 7 8

Deformación vertical ε=ln(1+e)

(‐)

Esfuerzo vertical ln(σ/σr) [kPa]

Trayectoria simuladaOCR=1

e0=1.14e100=1.04λ=0.084κ=0.006Iv=0.05Dr=5.25E‐04 1/s

G

BC

DE

F

A

H

I

Dr

102Dr

Dr

10‐2Dr

Dr

Figura 4.2: Simulación de ensayo oedométrico con Viscohipoplasticidad variando la tasa de deformación

4.2. Solución general de la ecuación viscohipoplástica en 3D

La ecuación viscohipoplástica en 3D:

T = fbL : (D−Dv)

(ecuación 4.2), presenta problemas de inestabilidad igual que para el caso de 1D. De manera análoga la

ecuación anterior se expande para solucionar la inestabilidad y resulta:

∆T = L (t) :

Dv (t)∆ε−

∂Dv (t)

∂T︸︷︷︸=A

: ∆T+∂Dv (t)

∂e(1+ e (t))1︸︷︷︸B

: ∆ε

∆t

(4.2.1)

donde el incremento ∆e ha sido sustituído por (1 + e (t))1 : ∆ε . Nótese las denotaciones de los tensores de

cuarto orden A y B en la ecuación anterior. La solución sigue el mismo algoritmo que en el caso de 1D. El

siguiente paso es despejar ∆T:

∆T =(I+L (t) : A∆t

)−1: L (t) :

((I−B∆t)∆ε−Dv (t)

∆t)

(4.2.2)

75


Denotando:

K =(I+L (t) : A∆t

)−1: L (t) : (I−B∆t) (4.2.3)

C = (I−B∆t)−1 (4.2.4)

Siendo K y C tensores de cuarto orden. La ecuación viscohipoplástica queda:

∆T = K : (∆ε−C : Dv (t)∆t) (4.2.5)

Según NIEMUNIS[18] K se puede interpretar como una rigidez modificada y C corresponde a una transfor-

mación lineal de la tasa de deformación viscosa Dv. Para resolver los tensores de cuarto orden A y B se

supone que la dirección de la tasa de deformación viscosa ~B no depende del estado de esfuerzo T y por lo

tanto ∂~B/∂T = 0. Con la anterior suposición entonces el tensor A queda:

A≈ DvOCR1

p(t)e

∂ p+ (t)e

∂T(4.2.6)

Solucionando las derivadas parciales:

∂ p+ (t)e

∂T=(

1− q2

M2 p2

)∂ p∂T

+(

2qM2 p

)∂q∂T

(4.2.7)

siendo:∂ p∂T

=−13

1 ;∂q∂T

=3T∗

2q(4.2.8)

Por último, el tensor de cuarto orden B corresponde a:

B =∂Dv (t)

de(1+ e t)1 =

1+ e (t)

IvλDv (t)1 (4.2.9)

76

Capítulo 5

Simulación con Viscohipoplasticidad de unLoess de Argentina

Los loess son suelos predominantemente limosos que se transportan por acción del viento. Se caracteri-

zan geotécnicamente por presentar cementación debido a una estructura interna estable que puede colapsar

por cambios en la humedad[22]. El cementante característico de estos suelos es la causa principal del au-

mento de la rigidez con bajas deformaciones, aumento de la dilatancia a bajos y elevados confinamientos y

localización de tensiones[21]. Argentina presenta estos tipos de suelos en su parte central y se han reportado

otras zonas sobre el límite con Brazil y en las montañas del oeste del país [22].

En vísperas de realizar una publicación, se realizó la simulación de un ensayo oedométrico y de com-

presión triaxial CD de un loess de Argentina en conjunto con el profesor VICTOR RINALDI de Argentina1

utilizando Viscohipoplasticidad. Se pretende evaluar el desempeño de la Viscohipoplasticidad con respecto

al comportamiento de estos suelos parcialmente cementados. Los ensayos de laboratorio fueron proporcio-

nados por la Universidad Nacional de Córdoba de Argentina.

Este capítulo presenta el procedimiento realizado para obtener los parámetros viscohipoplásticos y los

valores de referencia. Luego se presenta las simulaciones2 de las curvas experimentales y una discusión con

respecto a los resultados obtenidos.

1VICTOR ALEJANDRO RINALDI es profesor de la Universidad Nacional de Córdoba reconocido por sus investigaciones delcomportamiento mecánico de los suelos con cementación

2Las simulaciones se realizaron utilizando el programa Element test realizado por CUDMANI y BEAUVAIS como proyecto IBFen la Universidad de Karslruhe, Alemania

77

CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE UN LOESS DE ARGENTINA ICIV 200710 09

5.1. Parámetros viscohipoplásticos

Los parámetros viscohipoplásticos se deducen a partir de los ensayos de compresión oedométrica y de

la compresión triaxial drenada CD. A continuación se presenta el procedimiento llevado a cabo para la

obtención de los parámetros.

Índice de compresión λ : el índice de compresión λ se obtiene a partir del ensayo de compresión oe-

dométrica. Se midió la pendiente entre dos puntos escogidos en la parte lineal de la curva sobre el espacio

ε = ln(1 + e) vs. ln(σ/σr). La figura 5.1 muestra la curva del ensayo de laboratorio y la selección de los

dos puntos A y B para obtener su pendiente λ . Teniendo en cuenta lo anterior se deduce λ con la siguiente

ecuación:

λ =− ln(1+ eA)− ln(1+ eB)ln(σA/σB)

=0,66−0,556,76−5,38

= 0,084 (5.1.1)

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

3 4 5 6 7 8

Relación

de vacíos

ln(1+e) [‐]

Esfuerzo vertical ln(σ/σr) [kPa]

Loess de Argentinae0=1.18λ=0.084A

B

1

λ

Figura 5.1: Obtención del parámetro λ en el ensayo de compresión oedométrica.

Indíce de viscosidad Iv: el ensayo de compresión oedométrica no presenta cambios en la velocidad de

deformación. Tampoco se tiene información del límite líquido wL del material. Los estudios de ROCCA, RE-

DOLFI y TERZARIOL[22] reportan valores del límite líquido wL ≈ 32% para los loess recientes de Argentina.

Según la correlación empírica propuesta por LEINENKUGEL:

Iv = 0,05+0,026lnwL (5.1.2)

(igual a la ecuación 3.4.9), para un valor wL = 32% el Iv = 0,02.

Índice de descarga-recarga κ: el ensayo de compresión oedométrica no presenta descargas. Por otro

lado el ensayo de compresión triaxial CD muestra una trayectoria sobre el espacio q vs. ε1 con una zona

78


rígida antes de lo que se puede interpretar como la fluencia del material (véase figura 5.2). Según la ecua-

ción constitutiva viscohipoplástica la rigidez del material antes de alcanzar OCR = kte está afectada por el

parámetro κ . Por calibración se obtiene que con un κ = 0,06 se logra el mejor ajuste para la zona rígida.

1

1

Esfuerzo desviador q= σ 1‐σ

2[ kPa]

0

20

40

60

80

100

120

0,00 0,

σ20=8e0=1.

Calibra

,01 0,02Defor

80 kPa.06

Fluencia

ción de κ

0,03 0rmación ver

0,04 0,05rtical ε1 [%]

0,06

Figura 5.2: Obtención del parámetro κ en el ensayo de compresión triaxial CD.

Ángulo de fricción crítico ϕc: el ensayo de compresión triaxial se realizó hasta alcanzar una defor-

mación vertical ε1 = 0,12 valor insuficiente para aproximarse al estado crítico del material. Se realizó un

proceso de calibración variando el parámetro ϕc hasta alcanzar el mejor ajuste con respecto a la tendencia de

la curva experimental hacia el estado crítco. La figura 5.3 señala esta tendencia de la curva experimental.

1

1


2[ kPa]

1

1

1

1

1

2


2[ kPa]

0

20

40

60

80

100

120

0,00 0,

σ20=8e0=1.

Calibra

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,00

σ2=80φc=2e0=1.

,01 0,02Defor

80 kPa.06

Fluencia

ción de κ

0,02 0,0Defor

0 kPa9.8°.06

0,03 0rmación ver

04 0,06rmación ver

Se calibrala tendencurva señ

0,04 0,05rtical ε1 [%]

0,08tical ε1 [%]

a el ϕc con ncia de la ñalada

0,06

0,10

Figura 5.3: Obtención del parámetro ϕc en el ensayo de compresión triaxial CD.

79


Tabla 5.1: Velocidad de deformación ε para cada escalón de carga.No. t ∆ε D11

(min) (-) (1/s)1 30 0.00 3,72E−62 60 0.01 2,41E−63 60 0.02 7,06E−64 106 0.04 6,25E−65 210 0.03 2,84E−66 192 0.10 9,21E−6

Parámetro βR: se obtuvo a partir de un proceso de calibración con respecto a la curva experimental q

vs. ε1 del ensayo triaxial CD. Dado a que βR modifica el punto para la cual la trayectoria pierde la rigidez

inicial, se obtuvo el mejor ajuste con un βR = 0,80 entre la curva experimental y simulada.

5.2. Valores de referencia

Se establece la velocidad viscosa del ensayo de compresión oedométrica como la velocidad viscosa de

referencai Dr. La velocidad de deformación del ensayo D11 se obtiene a partir del promedio de las veloci-

dades de deformación para cada escalón de carga. Estas a su vez se obtienen a partir de la relación de la

deformación D11 y el tiempo de duración de la consolidación tp. La tabla 5.1 presenta para cada escalón de

carga la deformación ∆ε , el tiempo de consolidación tp y su respectiva velocidad de deformación D11. El

promedio de los D11 de los escalones de carga es igual a 5,25E− 06 1/s. La figura 3.8 presenta la relación

entre la tasa de deformación viscosa de referencia Dr y la tasa de deformación D11 en condiciones oedomé-

tricas. Para un λ/κ = 14 y ϕc = 29,8 se obtiene un x = −D11/Dr = 1,04. Entonces Dr = 5,05E− 06 1/s.

Para la isotaca con tasa de deformación viscosa Dr y con −T11 = 100 kPa se obtiene una relación de vacíos

de referencia igual a e100 = 1,04.

5.3. Simulación con Viscohipoplasticidad

Se simularon las curvas experimentales del ensayo de compresión oedométrica y el ensayo de compre-

sión triaxial CD. El ensayo oedométrico se simuló estableciendo como condiciones inciales −T110 = 27 kPa

y e0 = 1,14. En triaxial se simuló con condicones iniciales T11 = T22 = T33 = −80 kPa, y e0 = 1,06. Las

figuras 5.4 presentan las curvas experimentales y simuladas.

La figura 5.4.a corresponde al ensayo de compresión oedométrica. La curva experimental muestra una

trayectoria sobreconcolidada en su primera fase que posteriormente se linealiza sobre la curva de normal

consolidación. Los pocos puntos experimentales en el inicio de la curva no permiten establecer si la muestra

80


0,5

0,5

0,6

0,6

0,7

0,7

0,8

Relación

de vacíos

ln(1+e) [‐]

1

1

1

1

1

2


2[ kPa]

50

55

60

65

70

75

80

3

OCR

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,00

σ2=80φc=2e0=1.

4 5Esfuerzo ver

Simulado

Medido

R=1

0,02 0,0Defor

0 kPa9.8°.06

6rtical ln(σ/σ

e0=σ0=λ=0κ=0e10Dv=

04 0,06rmación ver

7σr) [kPa]

=1.14=27 kPa0.0840.006

00=1.05=Dr

0,08tical ε1 [%]

Medido

Simulado

8

0,10

(a) Simulación compresión oedométrica.

0,5

0,5

0,6

0,6

0,7

0,7

0,8

Relación

de vacíos

ln(1+e) [‐]

1

1

1

1

1

2


2[ kPa]

50

55

60

65

70

75

80

3

OCR

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,00

σ2=80φc=2e0=1.

4 5Esfuerzo ver

Simulado

Medido

R=1

0,02 0,0Defor

0 kPa9.8°.06

6rtical ln(σ/σ

e0=σ0=λ=0κ=0e10Dv=

04 0,06rmación ver

7σr) [kPa]

=1.14=27 kPa0.0840.006

00=1.05=Dr

0,08tical ε1 [%]

Medido

Simulado

8

0,10

(b) Simulación triaxial CD.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

Deformación volumétrivca ε

v [%

]

%

%

%

%

%

%

0% 2

σ3=80φc=2e0=1.

2% 4%Defor

0 kPa9.8°.06

% 6%rmación ver

8%rtical ε1 [%]

Medido

Simulado

10%

(c) Simulación triaxial CD.

Figura 5.4: Simulación de un loess de Argentina con Viscohipoplasticidad.

es alterada o inalterada. Sobre esta zona la curva simulada se presenta de manera recta hasta alcanzar el punto

donde inicia con OCR = kte. En la parte lineal el ajuste entre las dos curvas (medida y simulada) es excelente.

En este caso por seleccionar la velocidad del ensayo experimental como la de referencia Dr entonces se puede

establecer que sobre la parte lineal el OCR = 1. La simulación presenta valores de OCR≈ 1 durante toda la

parte lineal de la curva según los datos obtenidos.

El ensayo de compresión triaxial CD presenta una zona rígida en el inicio de la trayectoria p-q (figura

5.4.b) caracterítica de estos suelos parcialmente cementado. Luego, la trayectoria presenta un cambio en la

dirección de los esfuerzos que se puede interpretar como el inicio de las deformaciones plásticas. El bajo

valor del índice de descarga-recarga κ describe una alta rigidez antes de la fluencia y la selección del ángulo

de fricción crítico ϕc permite simular un endurecimiento para altas deformaciones. Por otro lado, durante la

compresión triaxial la muestra presentó deformaciones laterales casi nulas (−ε22 < 0,1%) provocando una

curva experimental de las deformaciones volumétricas con respecto a la deformación vertical proporcional.

81


La simulación presenta deformaciones laterales mayores al 1 % en la mayor parte de la trayectoria y como

concecuencia se obtiene una curva simulada que no se ajusta a la curva experimental (véase figura 5.4.c).

82

Capítulo 6

Conclusiones finales

Una conclusión importante consiste en establecer el desempeño la Hipoplasticidad y la Viscohipoplas-

ticidad en comparación a otros modelos constitutivos en la simulación del comportamiento mecánico del

suelo. El desempeño de un modelo se puede evaluar teniendo en cuenta básicamente tres aspectos. El prime-

ro corresponde a la facilidad de su implementación. Esto incluye la complejidad matemática del modelo, y

las herramientas de solución disponibles. En cuanto a lo primero, la complejidad matemática que presenta la

Hipoplasticidad y la Viscohipoplasticidad con respecto a otros modelos constitutivos es mucho más sencilla.

En ambos casos existe una ecuación consitutiva única que rige los procesos de carga y descarga. Por otro

lado la regla de flujo es derivada de las ecuaciones constitutivas al introducir las condiciones de fluencia, a

diferencia del modelo elastoplástico por ejemplo al cual se debe introudicir una regla de flujo a priori den-

tro del planteamiento de la ecuación consittutiva. En cuanto a las herramientas de solución disponibles, los

programas realizado en VISUAL BASIC permiten demostrar la facilidad de la ecuación constitutiva y su rápida

implementación con una programación de pocas líneas. Existen códigos de programas basados en elementos

finitos FEM disponibles para simular utilizando Hipoplasticidad y Viscohipoplasticidad[20].

En segundo lugar, el ajuste del modelo constitutivo con respecto al comportamiento del material. Para

el caso de las arenas, recientes versiones de la Hipoplasctididad modelan los efectos provocados por la

presión de confinamiento, la densidad del material y la relación de vacíos inicial. En el caso de las arcillas, la

Viscohipoplasticidad está en capacidad de modelar efectos viscosos como lo son las curvas isotacas, procesos

de creep y procesos de relajación. También está en capacidad de modelar estados límites que generan picos

debido a la sobreconsolidación y por ende la cohesión del material. Las envolventes de respuesta elípticas

respaldan el buen desempeño de estos modelos.

Un tercer aspecto corresponde al número de parámetros del modelo y la facilidad con que se obtienen.

Para el caso de la Hipoplasticidad, son 8 parámetros básicos (según la ecuación propuesta por WOLFFERS-

DORF) que se obtienen mediante ensayos sencillos. Un ensayo de compresión oedométrica y un ensayo

83

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES FINALES ICIV 200710 09

triaxial acompañado por algunos ensayos de caracterización son suficientes para obtener los 8 parámetros

hipoplásticos. Para el caso de la Viscohipoplasctididad se requiere de un ensayo de compresión oedométria,

preferiblemente con variación de la tasa de deformación y un ensayo triaxial acompañado a la vez de algunos

ensayos de caracterización. Es importante señalar que todos los parámetros hipoplásticos y viscohipoplás-

ticos contienen sentido físico y por lo tanto se obtienen a partir de ensayos experimentales en una primera

instancia y por calibración en una última instancia. Algunos modelos constitutivos presentan parámetros que

si contienen sentido físico pero que son díficiles para un caso en general. Por ejemplo, aquellos modelos

que incluyan la relación de POISSON como parámetro tendrán problemas al tratar de establecerlo dado a que

depende de las condiciones de drenaje y a otras variables difíciles de establecer.

El modelo viscohipoplástico logró un excelente desempeño en la simulación de los loess de Argentina.

Por un lado la combinación de un bajo valor del índice de descarga-recarga κ con la selección de un βR

apropiado permite simular la alta rigidez a bajas deformaciones típicos de estos suelos durante el corte con

compresión triaxial. Por otro lado, el ángulo de fricción crítico ϕc permitió simular el endurecimiento que

presentó la curva experimental en la compresión triaxial bajo altas deformaciones. Los resultados se discu-

tieron con el profesor RINALDI de la Universidad Nacional de Córdoba en Argentina y el profesor LIZCANO

de esta universidad concluyendo que el modelo viscohipoplástico es capaz de simular el comportamiento

mecánico de los loess de Argentina.

Finalmente se logró construir un programa que abarque los element test que se presentan en los apéndices

B. El programa permite realizar simulaciones de compresión oedométrica con Hipoplasticidad con control

de los esfuerzos y con control en las deformaciones. También permite simular compresión oedométrica

con Viscohipoplasticidad utilizando la versión 1D. A esto se suma la capacidad de realizar simulaciones de

ensayos de compresión triaxial CU y CD con Hipoplasticidad. Una programación del ensayo de compresión

oedométrica y triaxial CD utilizando las versión hipoplástica según WU WEI se encuentran disponibles por

el autor. El programa está disponible para la libre implementación por parte de los estudiantes.

84

Apéndice A

Algunos conceptos de la mecánica delcontinuo

A.1. Notacion de los tensores

La ecuación de la forma:

y = a1x1 +a2x2 +a3x3...+anxn (A.1.1)

es una ecuación líneal con n incógnitas que se puede representar de la siguiente manera:

y =n

∑j=1

a jx j =n

∑i=1

aixi =n

∑m=1

amxm (A.1.2)

donde las letras i, j o m son los índices de la sumatoria. El nombre de los índices ya sea j, i o m no afecta

el significado de la ecuación y por eso se denominan índices mudos. La convención de la ecuación A.1.2

se conoce como la notación de Einsten y se caracteriza por representar un sistema de ecuaciones mediante

sumatoria del producto entre funciones y variables. Esta notación es apropiada para la representación de

sistemas de ecuaciones lineales o polinómicas.

Igual que la notación de Einstein, la notación indicial es una representación de un sistema de ecuaciones.

Para explicarlo consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

y1 = a11x1 +a12x2 +a13x3

y2 = a21x1 +a22x2 +a23x3

y3 = a31x1 +a32x2 +a33x3

85

APÉNDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DEL CONTINUO ICIV 200710 09

donde aim son constantes y xm son las variables. El anterior sistema de ecuaciones se puede representar

mediante la notación indicial de la siguiente forma:

yi = aimxm , con i=1,2,3 (A.1.3)

Siendo concecuente con el ejemplo anterior, la siguiente representación indicial:

Ti j = AimA jm , con i=1, 2, 3 y j=1, 2, 3 (A.1.4)

es equivalente al sistema de ecuaciones que se muestra a continuación:

T11 = A11A11 +A12A12 +A13A13

T12 = A11A21 +A12A22 +A13A23

T13 = A11A31 +A12A32 +A13A33

T21 = A21A11 +A22A12 +A23A13

...................................................

...................................................

T33 = A31A31 +A32A32 +A33A33

(A.1.5)

Ahora introduciremos la representación matricial. Ti j se puede organizar mediante una matriz como se mues-

tra a continuación:

T =

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

(A.1.6)

que corresponde a la notación matricial de Ti j. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

x1

x2

x3

e2e1

e3

Figura A.1: Vectores unitarios e1, e2 y e3

86


Te1 = T11e1 +T12e2 +T13e3

Te2 = T21e1 +T22e2 +T23e3

Te3 = T31e1 +T32e2 +T33e3

(A.1.7)

donde los símbolos e1, e2 y e3 representan los vectores unitarios en dirección de los ejes x1, x2 y x3 respec-

tivamente (véase figura A.1). La expresión anterior se puede representar mediante la notación indicial de la

siguiente forma:

Ti j = ei ·Te3 (A.1.8)

y en notación matricial:

[T] =

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

(A.1.9)

Las ecuaciones A.1.8 y A.1 permiten observar con mayor claridad que T está compuesto de unos com-

ponentes arreglados con dos índices o dimensiones i y j. Con este arreglo es posible obtener un vector b a

partir del producto de T con un vector a de la siguiente manera:b1

b2

b3

=

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

a1

a2

a3

(A.1.10)

Como b = Ta entonces se dice que T es una transformación lineal. En general, para que el tensor T sea una

transformación lineal debe cumplir con las siguientes dos condiciones:

1. T(a+b) = Ta+Tb.

2. T(αa) = αTa.

Para realizar una trasformación lineal entre dos vectores es necesario que T esté arreglado exactamente con

dos índices, o dos dimensiones. Como para ese caso T posee dos dimensiones entonces se dice que T es un

tensor de segundo orden, o simplemente un diada. Ahora, es posible realizar transformaciones lineales con

tensores de segundo orden o diadas en lugar de vectores, o de manera general, transformaciones lineales de

tensores de cualquier orden. Una manera de definir a un tensor es el siguiente: un tensor es un conjunto de

componentes numéricos arreglado en unas dimensiones que realiza una transformación lineal a otro tensor.

Para ilustrar lo anterior consideremos un tensor de cuarto orden. Para este caso se requiere un arreglo por

medio de cuatro índices (p.e. Ai jkl con i, j,k, l = 1,2,3) que se puede representar en notación matricial de la

87


siguiente manera:

Ai jkl = A =

A1111 A1112 A1113 A1211 A1212 A1213 A1311 A1312 A1311

A1121 A1122 A1123 A1221 A1222 A1223 A1321 A1322 A1321

A1131 A1132 A1133 A1231 A1232 A1233 A1331 A1332 A1331

A2111 A2112 A2113 A2211 A2212 A2213 A2311 A2312 A2311

A2121 A2122 A2123 A2221 A2222 A2223 A2321 A2322 A2321

A2131 A2132 A2133 A2231 A2232 A2233 A2331 A2332 A2331

A3111 A3112 A3113 A3211 A3212 A3213 A3311 A3312 A3311

A3121 A3122 A3123 A3221 A3222 A3223 A3321 A3322 A3321

A3131 A3132 A3133 A3231 A3232 A3233 A3331 A3332 A3331

(A.1.11)

Nótese que los componentes de la matriz A están arreglados mediante los índices i jkl utilizando 9 cuadrantes

de 3x3 cada uno, donde cada cuadrante representa una pareja de i j que presenta a la vez 9 componentes kl

en su interior.

Teniendo en cuenta la definición propuesta para un tensor se puede deducir que un escalar corresponde

a un tensor con grado 0, un vector es un tensor de primer orden y una diada es un tensor de segundo orden.

Nótese que un tensor se puede construir conociendo el valor y la dimensión de cada componente. Por ejemplo

para el caso de un vector que tan solo tiene una dimensión, basta con descomponerlo de la siguiente manera:

a = aiei, ó b = b je j. Igualmente una diada se puede descomponer en el producto de dos vectores de la forma

T = ab = aib jeie j = Ti jeie j1. Para el caso de un tensor de cuarto orden: B = Bi jkleie jekel .

En este documento los escalares se representarán mediante una letra cursiva minúscula (p.e. α), los

vectores se representarán mediante letras en negrilla minúsculas (p.e. a). Las diadas se denotarán con letra

en negrilla mayúscula (p.e. T) y por último los tensores de cuarto orden se denotarán con letra caligráfica

(p.e. L). Los componentes del tensor se representarán en cursiva con mayúscula o minúscula dependiendo

del grado del mismo.

A.2. Álgebra tensorial

Se presenta a continuación los casos de adición, sustracción y algunos tipos de multiplicación tensorial.

Adición y sustracción: sean los vectores:

a = aiei b = b je j; c = ckek; d = dlel; (A.2.1)

1Siendo mas estrictos una diada se descompone en el producto diádico de dos vectores. Se hará la expeción de omitir el símbolodel producto diádico ⊗ entre los vectores unitarios ei,e j. . . . El producto diádico se describe en el apéndice A.2

88


y las diadas:

T = ab = aib jeie j ≡ Ti jeie j

S = cd = ckdlekel ≡ Sklekel

(A.2.2)

La adición y sustracción de tensores se puede realizar con la condición que los tensores sean del mismo

orden y tamaño. Bajo esta condición se realiza la adición o sustracción de los tensores mediante la suma

o resta de sus componentes homólogos respectivamente. En notación indicial es ai± bi = ci para vectores,

Ai j±Bi j = Ci j para diadas, y Ai jkl±Bi jkl = Ci jkl para tensores de cuarto orden por ejemplo. Las ecuaciones

anteriores son equivalentes a las siguientes expresiones:

a±b = (ai±bi)ei

T±S = (Ti j±Si j)eie j

(A.2.3)

Multiplicación:En el álgebra tensorial se consideran básicamente tres tipos de productos que son el escalar,

vectorial y el diádico. Otros productos pueden resultar como una combinación de los anteriores. Contrario

a la adición y sustracción de tensores, el producto no requiere que sus factores sean tensores del mismo

orden. Para comprender la manera de realizar los productos introducimos el Kronecker delta δi j y el ε de

permutación εi jk que se definen así:

δi j =

1, si i = j

0, si i 6= j(A.2.4)

εi jk =

1, si (i, j,k) = (1,2,3);(2,3,1);(3,1,2)

−1, si (i, j,k) = (1,3,2);(3,2,1);(2,1,3)

0, si i = j ó j = k ó i = k

(A.2.5)

A continuación se presentan algunos casos en los tipos de productos tensoriales:

Producto escalar o punto:

a ·b = (aiei) · (b je j) = aibiδi j

c ·T = c · (ab) = (c ·a)b = ckaib jek · eie j

= ckaib jδi je j = ciTi je j

T · c = ab · (c) = aib jckeie j · ek = Ti jc jei

T ·S = (ab) · (cd) = aib jckdleie j · ekel

= aib jckdleiel = Ti jS jleiel

(A.2.6)

89


Producto vectorial:

a×b = (aiei)× (b je j) = aibiεi jkek

b×a =−a×b

c×T = c× (ab) = (c×a)b = ckaib j(ek× ei)e j

= ckaib jεkilele j = ckTi jεkilele j = Al jele j

T× c = ab× (c) = aib jckei(e j× ek) = aib jckε jklei el

Ti jckε jkleiel = Bileiel

T×S = (ab)× (cd) = aib jckdleie j× ekel

= aib jckdleiε jkmemel = Ti jSkleiε jkmemel = Aimleiemel

(A.2.7)

Producto diádico:

a⊗b = aib jei e j = Ai jei e j

b⊗a = b jaie j ei = A jiei e j

c⊗T = c⊗ (ab) = ckaib jei e j ek = ciTjkei e j ek = Ai jkei e j ek

T⊗ c = aib jckei e j ek = Ti jckei e j ek = Bi jkei e j ek

T⊗S = (ab)⊗ (cd) = aib jckdlei e j ek el = Ti jSklei e j ek el

= Ai jklei e j ek el

(A.2.8)

Para efectos de este documento en caso de omitir el símbolo de multiplicación entre dos tensores se supo-

ne de tipo escalar. Como habíamos mencionado existen otros tipos de multiplicaciones equivalentes a una

combinación de los tres tipos de multiplicaciones descritas. Para ilustrar lo anterior consideremos el doble

producto escalar entre dos diadas denotado con dos puntos seguidos (··):

Doble producto escalar entre dos diadas:

T · ·S = (ab) · ·(cd) = aib jckdleie j · ·ekel

= aib jckdlδ jkei · el = Ti jSklδ jkei· el = Ti jS jlδil = Ti jS ji

(A.2.9)

En los modelos constitutivos es muy frecuente la multiplicación de la forma A · ·BT, donde A y B son tensores

de segundo orden o incluso de cuarto y segundo orden respectivamente. El operador T extrae el transpuesto

del tensor y se define como:

BT = (Bi jeie j)T = Bi je jei = B jieie j (A.2.10)

Para simplificar un poco denominamos a este tipo de multiplicación como doble contracción denotado por

dos puntos (:) y definido de la siguiente forma: A : B = A · ·BT. El resultante de la doble contracción depende

del orden del tensor. En las próximas líneas se encontrarán las resultantes para la doble contracción entre dos

diadas y entre un tensor de cuarto orden y una diada.

90


Tabla A.1: Multiplicaciones de tensores utilizadas frecuentemente en la hipoplasticidad y viscohipoplastici-dad.

Producto Notación tensorial Resultado en notación indicialDoble contracción A : B Ai jBi j (el resultado es escalar)Doble contracción A : B Ai jklBkleie j

Doble contracción A : B Ai jmnBmnkleie jekel

Doble contracción entre dos diadas:

T : S = T · ·ST = (aib jeie j) · ·(ckdlekel)T

= Ti jSkleie j · ·elek = Ti jSklδ jlei·ek = Ti jSk jδik = Ti jSi j

(A.2.11)

Doble contracción entre un tensor de cuarto orden y una diada:

Sea el tensor de cuarto orden A definido como A = Ai jkl = aib jckdleie jekel y la diada B definida como

B = Bmn = fmgnemen.

A : B = A · ·BT = (aib jckdleie jekel) · ·( fmgnemen)T = Ai jklBmneie jekel · ·enem

= Ai jklBmnδlneie jek· em = Ai jklBmlδkmeie j = Ai jklBkleie j

(A.2.12)

La tabla A.2 presenta un resumen de las multiplicaciones que se utilizan frecuentemente en la hipoplasticidad

y viscohipoplasticidad.

Potencia de un tensor: un tensor elevado a la n es el equivalente al producto de n−1 multiplicaciones

escalares del mismo tensor An = A ·A · .... ·A.

A.3. Definiciones

Traza de un tensor: La traza de un tensor corresponde a la suma de los componentes de su diagonal

y se denota con el operador tr[ ]. En notación indicial trA = Akk. Nótese que si A y B son diadas entonces

A : B = tr(A ·BT) y A · ·B = tr(A ·B).

Tensor identidad: El tensor identidad es una transformación lineal que convierte un tensor en el mismo.

Se representa mediante el símbolo J y cumple con la condición AJ = JA = A. El caso especial del tensor J de

segundo orden se representa con un uno en negrilla 1 y está definido como 1i j = δi j. Para tensores de cuarto

orden se introduce el tensor identidad simétrico I que transforma solo tensores simétricos 2. Se define como

2un tensor simétrico cumple con la condición AT = A

91


Ii jkl =12(δikδ jl +δilδ jk). En notación matricial el tensor I corresponde al que se presenta a continuación:

Ii jkl = I =

1 0 0 0 0,5 0 0 0 0,5

0 0 0 0,5 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0,5 0 0

0 0,5 0 0 0 0 0 0 0

0,5 0 0 0 1 0 0 0 0,5

1 0 0 0 0 0 0 0,5 0

0 0 0,5 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0,5 0 0 0

0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 1

(A.3.1)

Tensores ortogonales: un tensor se denomina ortogonal cuando transforma vectores manteniendo sus lon-

gitudes y el ángulo entre los mismos. Los tensores ortogonales se denotarán como Q. Lo anterior se resume

en las siguientes ecuaciones:

‖Qa‖= ‖a‖cos(a,b) = cos(Qa,Qb)

(A.3.2)

donde el operador ‖ extrae la norma euclidiana del vector. Con las anteriores condiciones se cumple que para

un tensor ortogonal:

QTQ = QQT = 1

Q−1 = QT

det[Q] = 1,−1(A.3.3)

Se puede demostrar que si el det[Q] = 1 entonces el tensor Q es un tensor de rotación. Si el det[Q] = −1

entonces el tensor Q realiza una reflexión.

Tensores simétricos y antisimétricos: sea A un tensor. Se dice que A es simétrico si A = AT . Igualmente

se dice que A es antisimétrico si A =−AT . Un tensor siempre se puede descomponer en un tensor simétrico

y un tensor antisimétrico de la siguiente manera:

A =A+AT

2︸︷︷︸simétrico

+A−AT

2︸︷︷︸antisimétrico

(A.3.4)

La ecuación A.3.4 señala el tensor simétrico y antisimétrico de A.

Norma euclidiana y tensores direccionales: la norma euclidiana se denota encerrando al tensor me-

diante el símbolo ‖ y se define como ‖ A ‖=√A : A = tr(A ·AT). Si A es simétrico entonces ‖ A ‖=√

A2.

92


Los tensores direccionales son aquellos que están dividido por su norma euclidiana. Se denotan acentuando

el tensor con un vector~ p.e. ~A definiendo a ~A =A‖ A ‖ .

A.4. Inversa de un tensor

Dado un tensor B tal que BA = AB = 1 entonces se dice que el tensor B es el inverso de A y se denota

como A−1 = B. Para que un tensor sea invertible debe cumplir con la condición que su determinante sea

distinto a 0. En la literatura se encuentran diversos métodos para invertir un tensor, mencionando entre ellos

el método de GAUSS-JORDAN y el teorema de SHERMANN-MORRISON. Este último es apropiado para

invertir tensores de cuarto orden de la forma H = A+ B⊗C siendo H y A tensores de cuarto orden y B y

C tensores de segundo orden. Su deducción se presenta a continuación:

A.4.1. Teorema Sherman-Morrison para tensores de cuarto orden

Considérese los tensores de cuarto orden H y A (Hi jkl y Ai jkl con i, j,k, l = 1,2,3) y los tensores simé-

tricos B y C (Bi j y Ci j con i, j = 1,2,3). Si H = A+ B⊗C se puede demostrar que H−1 = A−1− (A−1 :

B⊗C : A−1)/(1+λ ) donde λ = C : A−1 : C de la siguiente manera:

(A+B⊗C)−1 =((A : (I+A−1 : B⊗C)

)−1

= (I+A−1 : B⊗C)−1 : A−1(A.4.1)

Teniendo en cuenta la expansión de TAYLOR que establece que (I+X) = I−X+X2−X3 . . ., siendo X un

tensor de cuarto orden, entonces se puede expandir el tensor (I+A−1 : B⊗C) como se muestra a continua-

ción:

(I+A−1 : B⊗C)−1 : A−1 = (I−A−1 : B⊗C

+(A−1 : B⊗C) : (A−1 : B⊗C)

− (A−1 : B⊗C) : (A−1 : B⊗C) : (A−1 : B⊗C)−1 . . .) : A−1

(A.4.2)

y desarrollando el producto con A−1 tenemos:

H−1 = A−1−A−1 : B⊗C : A−1

+A−1 : B⊗ (C : A−1 : B)⊗C : A−1

−A−1 : B⊗ (C : A−1 : B)⊗ (B : A−1 : C)⊗C : A−1 . . .

(A.4.3)

93


donde λ = (C : A−1 : B) es un escalar. La ecuación A.4.3 se puede reescribir de la siguiente manera:

H−1 = A−1 : B : C : A−1(1−λ +λ2−λ

3 . . .) (A.4.4)

Nótese que (1−λ + λ 2−λ 3 . . .) = (1 + λ )−1 si se utiliza nuevamente la expansión de TAYLOR. Teniendo

en cuenta lo anterior se puede finalmente concluir que:

H−1 = A−1 : B : C : A−1(1+λ )−1 (A.4.5)

donde λ = (C : A−1 : B).

A.5. Transformación de matrices entre 2 sistemas cartesianos

Supóngase dos sistemas S y S′ con bases ei y e′i respectivamente. Los vectores unitarios se pueden re-

lacionar con una rotación. Si Q es un tensor ortogonal que rota, es decir, un tensor que transforma a los

vectores preservando sus ángulos y longitudes, se puede relacionar a ei y e′i mediante la siguiente expresión:

e′i = Qei = Qmi · em (A.5.1)

La expresión anterior es equivalente al siguiente sistema de ecuación:

e′1 = Q11e1 +Q21e2 +Q31e3

e′2 = Q12e1 +Q22e2 +Q32e3

e′3 = Q13e1 +Q23e2 +Q33e3

(A.5.2)

Para un vector a en base ei:

ai = a · ei

y análogamente se puede expresar en la base e′i:

a′i = a · e′i

A continuación demostraremos que a′ = QTa:

a′i = a · e′i,e′i = Qmiem,

a′i = a(Qmiem) = Qmi(a · em)

a′i = Qmiam

94


Lo anterior se expresa en notación matrical como:a′1a′2a′3

=

Q11 Q12 Q31

Q12 Q22 Q32

Q13 Q13 Q33

a1

a2

a3

(A.5.3)

Y en notación tensorial: a′ = QTa.

Ahora considérese el tensor T. El tensor T se puede expresar en las bases ei y e′i de la siguiente manera:

Ti j = ei ·Te j ; T ′i j = e′i ·Te′j (A.5.4)

A continuación se demostrará que T = QTTQ:

T ′i j = Qmiem ·TQn jen

= QmiQn j(em ·Ten)

= QmiQn jTmn

Que en notación tensorial se expresa como:

T = QTTQ (A.5.5)

A.6. Cinemática del continuo

El movimiento de una partícula se puede describir con el vector de posición r = r(t). Para su localización

se necesita un estado inicial, es decir la posición de la partícula en cierto tiempo inicial t. Sea x0 el vector

que describe la posición inicial. Luego, la posición de la partícula está dada por el vector:

x = x(x0, t) , donde x0 = x(x, t0) (A.6.1)

El movimiento de una partícula se puede describir de dos maneras: la primera corresponde a observar el

movimiento de la partícula a partir de un punto fijo como referencia. El concepto se puede ampliar a otras

propiedades de las partículas, como por ejemplo el estado de esfuerzos, la temperatura, etc. Sea Θ una

propiedad de la partícula. La descripción de Θ se puede expresar mediante la siguiente ecuación:

Θ = θ(x01,x02,x03, t) (A.6.2)

La descripción anterior se denomina descripción Lagrangiana y se caracteriza por referenciarse con un es-

tado inicial y describir el movimiento o cualquier otra propiedad de una partícula a partir de un punto de

95


referencia. El segundo tipo de descripción corresponde a la observación de los cambios de la propiedad de

las partícula en punto fijo en el espacio. Es como si se observara a través de una ventana fija en el espacio

todos los cambios de la propiedad en cuestión. Para este caso no se necesita un estado inicial; en cambio

se necesita un punto fijo en el espacio para la observación de la propiedad. A este tipo de descripción se le

denomina descripción espacial o Eureliano, y se expresa por componentes de la siguiente manera:

Θ = θ(x1,x2,x3, t) (A.6.3)

Se introduce el vector de desplazamiento denotado mediante el símbolo u y se define según la siguiente

ecuación:

u = x(x0, t)−x0 (A.6.4)

La figura A.2 muestra el movimiento de dos puntos P y Q dentro de un material que están separados a una

distancia dx0 en t = t0. Cuando el tiempo es igual a t el punto P recorre una distancia u(x0) así como el punto

Q recorre u(x0 +dxo).

x0+dx0

x0

x+dx

x

u(x0)

u(x0+dx0)

O

y

x

P(t 0)

Q(t 0)

P(t)

Q(t)

Figura A.2: Descripción del movimiento dos puntos de un material

Se puede demostrar que dx = (I+∇u)dx0 donde el operador ∇ extrae el gradiente del vector u. El tensor

de segundo orden ∇u se denomina el gradiente del desplazamiento y se representa en notación matricial de

la siguiente manera:

∇u =

du1

dx01

du1

dx02

du1

dx03

du2

dx01

du2

dx02

du2

dx03

du3

dx01

du3

dx02

du3

dx03

(A.6.5)

El gradiente de desplazamiento ∇u se puede descomponer en la suma de un tensor simétrico E y un tensor

96


antisimétrico Ω. El tensor E se denomina “tensor infinitesimal de deformación ”y representa el cambio de

longitud. El tensor Ω se denomina “tensor infinitesimal de rotación ”y representa la rotación. Lo anterior se

resume en las siguientes ecuaciones:

∇u = E+Ω

E =12(∇u+∇uT)

Ω =12(∇u−∇uT)

(A.6.6)

Sea v la velocidad de la partícula con posición x = x(x0, t). Para la descripción espacial, se puede demostrar

que:DDt

dx = ∇vdx (A.6.7)

donde el tensor ∇v se denomina tensor del gradiente de velocidad. El tensor del gradiente de velocidad ∇vse puede descomponer en un tensor simétrico D y un tensor antisimétrico W. Lo anterior se resume en las

siguientes ecuaciones:

∇v = D+W

D =12[∇v+(∇v)T ]

W =12[∇v− (∇v)T ]

(A.6.8)

El tensor D se denomina tensor de la tasa de elongación. El tensor W se denomina tensor de giro. Por

convención el tensor D > 0 para extensión y D < 0 para compresión. La ecuación:

dx = (I+∇u)dx0 (A.6.9)

Se puede reescribir de la siguiente manera:

dx = Fdx0 (A.6.10)

donde F = (I + ∇u) y se denomina el gradiente de deformación (distinto al gradiente de desplazamiento

∇u). Nótese que el tensor F claramente describe una transformación de dx0 a dx que se puede obtener como

el resultado del producto de dos transformaciones: la primera corresponde a una rotación de cuerpo rígido

propio de un tensor ortogonal de rotación R. La segunda es la elongación pura propia de un tensor simétrico.

Como el producto de dos tensores no es conmutativo, el tensor simétrico varía en caso que sea el primer

factor antes del tensor de rotación pura R o siendo el segundo factor después de realizar la rotación. El

tensor simétrico se denotarán como V o U para los dos casos respectivamente. Este tipo de descomposición

se denomina descomposición polar y es única, es decir, para un gradiente de deformación F existe un solo

97


tensor de rotación R, y de elongación ya sea U o V. Lo anterior se resume en las siguientes ecuaciones:

F = RU

F = VR(A.6.11)

Se denominan tensor de deformación de Cauchy-Green de la derecha al tensor C = U2. Igualmente se

conoce como el tensor de deformación de Cauchy-Green de la izquierda al tensor B = V2.

A.7. Tensor de esfuerzo de Cauchy

Al someter un cuerpo a fuerzas externas éste responde en reacción mediante fuerzas internas. Si se analiza

una superficie interna del cuerpo con vector unitario normal a la superficie n existe un vector de esfuerzos ttal que:

t = Tn (A.7.1)

donde T se conoce como el tensor esfuerzos de Cauchy. Generalmente el tensor T es simétrico y por lo tanto

se puede descomponer en un componente desviador T∗ y un componente hidrostático13

trT1. El esfuerzo

desviador T∗ se define como:

T∗ = T− 13

trT1 (A.7.2)

Introducimos el tensor de esfuerzo normalizado T =T

trT. De la misma manera introducimos el tensor des-

viador de esfuerzos normalizado T∗ = T− 13

trT1. Por convención la extensión provoca esfuerzos Ti j > 0 y

la compresión Ti j < 0.

A.8. Cambio de la configuración con tiempo actual de referencia

Sea x el vector posición de una partícula en el tiempo t y x′ el vector posición de la misma partícula pero

en un tiempo distinto t = τ . El movimiento de la partícula está definido de la siguiente forma:

x′ = x′t(x,τ) siendo x = x′t(x, t) (A.8.1)

donde x′t es una función que indica que el tiempo t es el tiempo de referencia. La velocidad de la partícula se

puede expresar de la siguiente forma:

v(x′,τ) =(

∂x′t∂τ

)(A.8.2)

98


Si en una partícula se definen dx y dx′ como vectores diferenciales que representan al mismo material en el

tiempo t y τ respectivamente entonces se pueden relacionar mediante la siguiente expresión:

dx′ = x′t(x+dx,τ)−x′t(x,τ) = (Ox′t)dx (A.8.3)

que se puede escribir como:

dx′ = Ftdx (A.8.4)

donde el tensor Ft = Ox′t, y se conoce como el tensor del gradiente de deformación relativo. Es decir, el

tensor Ft es relativo a la configuración actual con el tiempo t. Nótese que el tensor Ft varía con el tiempo.

Cuando τ = t, dx′ = dx y por lo tanto Ft(t) = I. En notación matricial:

[Ft] = [Ox′t] =

∂x′1∂x1

∂x′1∂x2

∂x′1∂x3

∂x′2∂x1

∂x′2∂x2

∂x′2∂x3

∂x′3∂x1

∂x′3∂x2

∂x′3∂x3

(A.8.5)

Análogo al caso del tensor del gradiente de deformación F, el tensor del gradiente de deformación relativa Ft

se le puede aplicar el teorema de descomposición polar. Es decir, existen dos tensores únicos siendo uno de

ellos ortogonal y el otro simétrico, cuyo producto es igual al tensor del gradiente de deformación relativa Ft

(igual que para el caso con tiempo actual t fijo). La descomposición polar del tensor Ft se expresa mediante

la siguiente ecuación:

Ft = RtUt = VtRt (A.8.6)

y se denominan Ut y Vt los tensores relativos de elongación derecho e izquierdo respectivamente y Rt es el

tensor de rotación relativo. Nótese que al igual que el tensor del gradiente de deformación relativa, para un

tiempo τ = t:

Ft(t) = Ut(t) = Vt(t) = Rt(t) = 1 (A.8.7)

Hasta ahora se han explicado los tensores relativos denotados con el sibíndice t. A continuación veremos

como se pueden relacionar los tensores relativos con sus homólogos para el tiempo de referencia fijo.

De la ecuación:

dx′(τ) = Ft(x,τ)dx = x′t(x+dx,τ)− xt(x,τ) (A.8.8)

Se puede llegar a determinar la velocidad mediante la siguiente expresión:

DDτ

dx′(τ) = v′(x+dx,τ)− v′(x,τ) =5xv′(x,τ)dx (A.8.9)

99


De las anteriores ecuaciones se puede concluir que:

Ddx′

Dτ=(

DFt

Dτ

)dx (A.8.10)

concluyendo que:DFt

Dτ=5xv′(x,τ) (A.8.11)

Ahora se establecerá las relaciones entre el tensor de la tasa de deformación D con el tensor de elongación

relativa Ut y también al tensor de giro W con el tensor de rotación relativa Rt. Sabemos que por el teorema

de descomposición polar:

Ft(τ) = Rt(τ)Ut(τ) (A.8.12)

y si se deriva la expresión se llega a:

DFt(τ)Dτ

=DRt(τ)

DτUt(τ)+Rt(τ)

DUt(τ)Dτ

(A.8.13)

Si se evalúa en el tiempo τ = t, se puede llegar a la siguiente expresión:

5x v =[

DRt(τ)Dτ

]τ=t

+[

DUt(τ)Dτ

]τ=t

(A.8.14)

Se puede demostrar que el sumando[

DRt(τ)Dτ

]τ=t

es un tensor simétrico y el sumando[

DUt(τ)Dτ

]τ=t

es un tensor

antisimétrico. Como la descomposición de un tensor en dos tensores de los cuales uno de ellos es simétrico

y el otro es antisimétrico es única, se puede establecer que:[DRt(τ)

Dτ

]τ=t

= W(t)[DUt(τ)

Dτ

]τ=t

= D(t)(A.8.15)

En otras palabras R es igual a W solo para el caso que la configuración de referencia sea igual a la actual.

Esta condición no se debe olvidar teniendo en cuenta que de manera general R 6= W . La anterior condición

también aplica para el caso de los tensores U y D.

A.9. Cambio del marco de referencia y objetividad

En la teoría del medio continuo un marco de referencia se refiere a un observador. Se dice cambio del

marco refiriéndose a la transformación entre las parejas x, t desde cierto marco de referencia obteniendo x∗, t∗

en un marco distinto, donde el vector x describe la posición en el marco de referencia, el vector x∗ describe

la posición en el segundo marco. El cambio de marco es distinto al cambio de sistema de coordenadas. Cada

100


marco en particular puede realizar muchas transformaciones de sistemas coordenadas. Como los marcos son

rígidos, el cambio entre dos marcos se pueden representar de manera general según la siguiente ecuación:

x∗ = c(t)+Q(t)(x−x0)

t∗ = t−a(A.9.1)

en donde c(t) corresponde al desplazamiento desde el punto x0, Q(t) es un tensor ortogonal y a es una

constante que representa la diferencia entre los tiempos de los marcos.

El concepto de objetividad se aplica para aquellos escalares que no varían con cambiar de marco. Para el

caso del vector, se considera que el vector es objetivo cuando su magnitud no varía al cambiar de marco. Por

último, para el caso de los tensores, se consideran objetivos a aquellos tensores que transforman un vector

objetivo a otro vector objetivo a la vez. Por ejemplo, para las distancias entre dos puntos, vista desde distintos

marcos siempre será la misma, y por lo tanto las distancias es un escalar objetivo. Pero si observamos el

vector de velocidad desde dos marcos distintos, teniendo además una velocidad relativa entre los dos marcos

entonces la velocidad tendrá diferente magnitud al variar de marco. El vector de velocidad y de posición son

dependiente del marco de referencia y por lo tanto no son objetivos. Para el caso del vector de velocidad

relativa entre dos puntos, al verlos desde distintos marcos siempre conservarán la misma magnitud y por lo

tanto el vector de velocidad relativa es objetivo.

Consideremos los vectores x1 y x2 que describen la posición de dos puntos en el marco 1. Igualmente

consideremos x∗1 y x∗2 para describir la posición en el marco 2. De la ecuación A.9.9 tenemos que:

x∗1 = c(t)+Q(t)(x1−x0)

x∗2 = c(t)+Q(t)(x2−x0)(A.9.2)

concluyendo que:

x∗1−x∗2 = Q(t)(x1−x2) (A.9.3)

de la forma:

b∗ = Q(t)b (A.9.4)

La ecuación A.9.4 se cumple para transformar vectores objetivos en distintos marcos.

Ahora consideremos el tensor de transoformación A que transforma los vectores objetivos b y c, de la

forma:

c = Ab (A.9.5)

Sea A∗ el tensor homólogo de T en el marco 2, luego:

c∗ = A∗b∗ (A.9.6)

101


Ahora, teniendo en cuenta las transformaciones para vectores objetivos según la ecuación A.9.4, sea c∗ = Qcy b∗ = Qb.

Con las ecuaciones anteriores se puede concluir que la transformación de un tensor objetivo entre dos

marcos se rige por la siguiente ecuación:

A∗ = QAQT (A.9.7)

Resumiendo lo anterior, se puede decir que las transformaciones entre magnitudes escalares o tensoriales se

rigen por las siguientes ecuaciones:

Tabla A.2: Condiciones de objetividad

Condición EcuaciónPara escalares objetivos α∗ = α

Para vectores objetivos b∗ = Q(t)bPara tensores objetivos A∗ = Q(t)AQT(t)

Se puede demostrar que para los tensores F, C y B las transformaciones de marcos de referencias son las

que se presentan en la tabla A.3.

Tabla A.3: Ecuaciones de transformación para los tensores F, C y B.

Nombre Transformación ObjetividadTensor del gradiente de deformación F∗ = Q(t)F No es objetivoTensor de deformación de Cauchy-Green de la dere-cha

C∗ = C No es objetivo

Tensor de deformación de Cauchy-Green de la iz-quierda

B∗ = Q(t)BQT(t) Si es objetivo

Ahora consideremos el vector dx. Podemos comprobar que el vector dx es objetivo de la siguiente forma;

teniendo en cuenta la condición de objetividad:

x∗ = c(t)+Q(t)(x−x0) (A.9.8)

Tenemos que:

x∗+dx∗ = c(t)+Q(t)(x+dx−x0) (A.9.9)

Concluyendo que:

dx∗(t) = Q(t)dx(t) (A.9.10)

102


Es decir, el vector cumple con la condición de objetividad (véase resumen de la tabla A.4). Sea dx′∗(τ) el

vector dx∗ con t = τ de la forma:

dx′∗(τ) = Q(τ)dx(τ) (A.9.11)

Teniendo en cuenta que dx′(τ) corresponde a un cambio de configuración con tiempo de referencia igual a t,

se puede establecer que dx′(τ) = Ft(τ)dx(t) y que dx′∗(τ) = F∗t (τ)dx∗(t) donde el subíndice t en Ft denota

el tiempo de referencia. Con las ecuaciones anteriores y las ecuaciones A.10.2 y A.9.11 se llega a:

F∗t (τ)dx∗(t) = Q(τ)dx′(τ) = Q(τ)Ft(τ)dx(t) (A.9.12)

Empleando la ecuación A.10.2 se puede demostrar que F∗t (τ) = Q(τ)FT(τ)QT(t) de la siguiente forma:

F∗t (τ)dx∗(t) = Q(τ)Ft(τ)QT(t)dx∗(t)

F∗t (τ) = Q(τ)FT(τ)QT(t)(A.9.13)

La ecuación A.9.13 demuestra que el tensor F∗t no es objetivo. Por descomposición polar sabemos que

F∗t = R∗t U∗t y que Ft = RtUt. Luego:

F∗t = R∗t U∗t = Q(τ)RtUtQT(t)

= [Q(τ)RtQT(t)][Q(t)UtQT(t)](A.9.14)

La ecuación A.9.14 sugiere la obtención de F∗t por medio del producto de dos tensores, donde el primero

es [Q(τ)RtQT(t)] y el segundo es [Q(t)UtQT(t)]. Se puede demostrar que el primer factor corresponde a

un tensor es ortogonal y que el segundo es simétrico. Como la descomposición polar es única los factores

corresponden a R∗t y a U∗t respectivamente.

F∗t = [Q(τ)RtQT(t)]︸︷︷︸R∗t

[Q(t)UtQT(t)]︸︷︷︸U∗t

(A.9.15)

Se puede demostrar de la misma manera las ecuaciones que representan las transformaciones de marcos para

los tensores C∗t , V∗t y B∗t . La tabla A.4 presenta un resumen de las ecuaciones de transformaciones y de la

objetividad para los tensores mencionados.

Tabla A.4: Ecuaciones de transformación para los tensores U∗t , C∗t , V∗t y B∗tNombre Transformación ObjetividadTensor de elongación relativo de la derecha U∗t = Q(t)UtQT(t) Si es objetivoTensor de deformación Cauchy-green relativo de laderecha

C∗t = Q(t)CtQT(t) Si es objetivo

Tensor de elongación relativo de la izquierda V∗t = Q(τ)VtQT(τ) No es objetivoTensor de deformación Cauchy-green relativo de laderecha

B∗t = Q(τ)BtQT(τ) No es objetivo

103


A.10. Tensor de la tasa de esfuerzos objetivo

Si el tensor de esfuerzos T es objetivo, entonces el tensor cumple con la ecuación A.10.1:

T∗ = Q(t)TQT(t) (A.10.1)

3Nos interesa conocer el tensor objetivo de la tasa de esfuerzos, es decir la derivada del esfuerzo con respecto

al tiempo. Si derivamos la ecuación A.10.1 por regla de la cadena obtenemos la siguiente ecuación:

DT∗

Dt=

dQdt

TQT +QDTDt

QT +QT(

dQdt

)T

(A.10.2)

La ecuación anterior demuestra claramente que el tensor de la tasa de esfuerzos no es objetivo, y que para

solucionar el problema es necesario establecer cierta suposición. Físicamente es fácil de explicar que la rataDT∗Dt no es objetivo. Consideremos para un primer marco el caso de una condición uniaxial bajo esfuerzo

vertical constante. Para un observador dentro del marco el tensor de esfuerzos T es constante en el tiempo.

Igualmente, si se considera un segundo observador dentro de un marco que rota con respecto al primero,

la magnitud del esfuerzo se conserva, y por lo tanto el tensor T es objetivo. Es lógico que para el primer

observador la tasa del tensor de esfuerzos DTDt sea 0. Pero para el segundo observador, el vector de esfuerzos

t∗ está rotando constantemente y por lo tanto la tasa de esfuerzos DT∗Dt varía con el tiempo. Con lo anterior se

concluye que la tasa de esfuerzo DT∗Dt no es objetiva.

Como se había mencionado, el problema de objetividad para el tensor de la tasa de esfuerzos se puede

solucionar introduciendo suposiciones. A continuación explicaremos la propuesta de Jaunmann: considere-

mos el tensor de esfuerzos J. El tensor de la tasa de esfuerzos J evaluado en el tiempo τ y con tiempo de

referencia t se relaciona con el tensor de esfuerzos T mediante la siguiente ecuacion:

J(τ) = RTt (τ)T(τ)Rt(τ) (A.10.3)

Nótese claramente que cuando τ = t entonces Rt(t) = RTt (t) = 1. De esta manera para τ = t:

J(t) = T(t) (A.10.4)

Condición completamente esperada. Si observamos la ecuación propuesta por JAUNMANN (ecuación A.10.3),

el tensor J es un tensor de esfuerzo resultante de la transformación de marcos para el tensor de esfuerzo Ta un marco que rota según el tensor de rotación R. La ecuación incluye un cambio de configuración con

tiempo de referencia igual a t. En resumen, la función de la suposición de JAUNMAN es observar el tensor de

esfuerzos T desde un marco que rota con el material. Hasta ahora persiste el problema de objetividad para

la tasa de esfuerzos ( DT∗Dt ). JAUNMANN demuestra que aunque el tensor DT∗

Dt no sea objetivo, el tensor DJ∗(τ)Dτ

3Para esta sección el símbolo T∗ denota el tensor de la tasa de esfuerzo de Cauchy bajo un segundo observador.

104


para la condición de τ = t si es objetivo. Para demostrarlo, consideremos el cambio de marco para el tensor

ortogonal Rt. El tensor Rt es objetivo y por lo tanto el cambio de marco está dado por la ecuación (véase

tabla A.4):

R∗t (τ) = Q(τ)Rt(τ)QT(t) (A.10.5)

Luego:

J∗(τ) = R∗Tt (τ)T∗(τ)R∗t (τ)

= [Q(t)RTt (τ)QT(τ)][Q(τ)T(τ)QT(τ)][Q(τ)Rt(τ)QT(t)]

= Q(t)[RTt (τ)T(τ)Rt(τ)]QT(t)

= Q(t)J(τ)QT(t)

(A.10.6)

Si evaluamos la derivada con respecto al tiempo de J(τ) con τ = t encontramos la siguiente expresión:[DJ(τ)

Dτ

]τ=t

=[

DRTt (τ)T(τ)Rt(τ)

Dτ

]τ=t

=DRT

t (τ)Dt

T(τ)Rt(τ)+RTt (τ)

DT(τ)Dt

Rt(τ)+RTt (τ)T(τ)

Rt(τ)Dt

(A.10.7)

Teniendo en cuenta que:

a. Rt(t) = RTt (t) = 1

b.[

DRt(τ)Dt

]τ=t

= W(t)

c.[

DRTt (τ)

Dt

]τ=t

= WT(t) =−W(t)

(A.10.8)

se puede finalmente concluir que:[DJ(τ)

Dτ

]τ=t

=DT(t)

Dt+T(t)W(t)−W(t)T(t) (A.10.9)

La ecuación A.10.9 se puede interpretar como la derivada con respecto al tiempo del tensor de esfuerzos

T visto desde un observador que rota con el elemento del material y es objetivo. El tensor[

DJ(τ)Dτ

]τ=t

se denomina tensor de la tasa de esfuerzos de ZAREMBA-JAUNMANN y se denotará con el simboloT =[

DJ(τ)Dτ

]τ=t

.

105

Apéndice B

Programación

Los anexos que se presentan a continuación corresponden a scripts en lenguaje de programación de los

softwares MATHEMATICA y VISUAL BASIC y contienen algoritmos para la resolución de algunos problemas

que se han citado dentro del documento. Sus estructuras han sido diseñadas para ofrecer la posibilidad de su

modificación a conveniencia del lector y están presentadas de tal manera que se pueden introducir directa-

mente al software de programación repectivo. Aquellas línea que corresponden a un renglón de programación

más ancho que los márgenes establecidos del documento serán partidos y continuados en el renglón siguien-

te. En estos casos la discontinuidad será señalada con los símbolos z o ♠ al finalizar el primer renglón y

al iniciar el siguiente. Algunos de estos scripts contienen comentarios que son irrelevantes en la función del

programa pero que tienen un propósito en relación a la comprensión y entendimiento del algoritmo utilizado.

B.1. Programación de las envolventes de falla en mathematica en 3D

La siguiente es un script en MATHEMATICA de las envolventes de respuesta utilizando la ecuación pro-

puesta por Wu Wei (véase ecuación 1.3.13). Los parámetros y el estado inicial de la ecuación están introdu-

cidos dentro del código.

t1=100;

t2=100;

t3=100;

c1=-106.5;

c2=-801.5;

c3=-797.1;

c4=1077.7;

106

APÉNDICE B. PROGRAMACIÓN ICIV 200710 09

T:=t1,0,0,0,t2,0,0,0,t3;

A:=Cos[p]* Cos[t],0,0,0, Cos[p]* Sin[t],0,0,0, Sin[p];

trT:=Tr[T];

Tx:=T-1/3*trT*1,0,0,0,1,0,0,0,1;

btrTA:=Tr[T*A];

btrA2:=Tr[MatrixPower[A,2]];

Solve[Tt=c1*trT*A+c2*btrTA/trT*T+c3*T^2/trT*btrA2^0.5+c4*Tx^2/trT*btrA2^0.5,Tt]

ParametricPlot3D[ Cos[p] Cos[t], Cos[p] Sin[t],Sin[p],p,0,2 *Pi,

t,Pi/2,-Pi/2, AxesLabel->"D1","D2","D3"]

Show[%,ViewPoint->0,0,5];

B.2. Programación de la superficie d Matsuoka-Nakai en el espacio T1,T2,T3

: El siguiente es un script de MATHEMATICA y corresponde a la solución de la superficie de fluencia de

Matsuoka/Nakai. Está solucionado para un ángulo de fricción de ϕ ′ = 30 dentro del espacio T1,T2,T3

I1 = T1 + T2 + T3;

I2 = -T1 T2 - T1 T3 - T2 T3;

I3 = T1 T2 T3;

phi = 30 Pi/180;

MN = -I1 I2/ I3 + (9 - (Sin [phi])^2)/( -1 + (Sin [phi])^2 );

data = Table[MN, T1, 1, 100, 4, T2, 1, 100, 4, T3, 1, 100, 4];

ListContourPlot3D[data, MeshRange -> 0, 100, 0, 100, 0, 100,

Contours -> 0., Lighting -> False, Axes -> True,

ContourStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]

B.3. Programación del element test ensayo oedométrico

En las próximas líneas se presenta la programación en macros de EXCEL con VISUAL BASIC del element

test del ensayo oedométrico. El código está escrito con lenguaje VISUAL BASIC y está diseñado para compartir

información con las celdas que muestra el código para cada variable. En caso que el lector quiera trabajar sin

compartir la información con las celdas, tiene la posibilidad de cambiar el nombre de las celdas por el valor

de la variable directamente sobre el código. Como se había mencionado cualquier discontinuidad del código

será señalado con el símbolo z o ♠.

Private Sub CommandButton1_Click()

107


Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta, t1, t2 As Variant

Dim e, t, d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant

Dim fs, ec, ed, ei, di1 As Variant

’Introduciendo parámetros

phi = Range("c20")

hs = Range("c21")

n = Range("c22")

ec0 = Range("c23")

ed0 = Range("c24")

ei0 = Range("c25")

alpha = Range("c26")

beta = Range("c27")

’Condición inicial para las relaciones de vacíos

ec = ec0

ed = ed0

ei = ei0

’Estado inicial de esfuerzos, y deformaciones

t1 = Range("c8")

t2 = Range("c9")

e = Range("c11")

t = Range("c15")

’Control de variables (velocidad de deformación)

i = 0

d1i = -0.0005

d2 = 0

d1 = d1i

pi = 3.1415927

’calculando a que es constante en toda la simulación

a = (3 ^ 0.5) * (3 - Sin(phi * pi / 180)) / (2 * (2 ^ 0.5) * Sin(phi * pi / 180))

’definiendo el número de ciclos

g = 500

108


For i = 0 To g

’ciclo de carga y descarga

If -t1 > carga Then

d1 = -d1i

End If

’calculando las invariantes de esfuerzo

trT = t1 + 2 * t2

’Invariantes de esfuerzos normalizados

Th1 = t1 / trT

Th2 = t2 / trT

trTh = Th1 + 2 * Th2

trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2

trTh3 = (Th1) ^ 3 + 2 * (Th2) ^ 3

’desviadores e invariantes de esfuerzos desviadores

Thx1 = Th1 - trTh / 3


trThx = Thx1 + 2 * Thx2

trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2

trThx3 = Thx1 ^ 3 + 2 * Thx2 ^ 3

trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2

’Invariantes de la deformación

trD = d1 + 2 * d2

trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2

’Calculando las relaciones de vacíos características

ec = ec0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)

ed = ed0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)

ei = ei0 * Exp(-(Abs(trT) / hs) ^ n)

’Calculando los factores de barotropía y picnotropía

fd = ((e - ed) / (ec - ed)) ^ alpha

fs = (hs / n) * (ei / e) ^ beta * ((1 + ei) / ei) * (Abs(trT) / hs) ^ (1 - n)z.

z..*(3 + a ^ 2 - a * 3 ^ 0.5 * ((ei0 - ed0) / (ec0 - ed0)) ^ alpha) ^ (-1)

109


’calculando los incrementos de esfuerzos y relaciones de vacío

t1t = fs / trTh2 * (d1 + a ^ 2 * Th1 * trThD + fd * a * (Th1 + Thx1) * Abs(d1))

t2t = fs / trTh2 * (d2 + a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * Abs(d1))

et = (1 + e) * trD

’tiempo

If d1 = d1i Then

t = Range("c15")

ElseIf d1 = -d1i Then

t = Range("c16")

End If

’calculando los valores del siguiente paso

t1 = t1t * t + t1

t2 = t2t * t + t2

e = et * t + e

’asignando a cada celda el valor del próximo paso

Range("i8").Offset(i + 1, 0) = t1

Range("j8").Offset(i + 1, 0) = t2

Range("m8").Offset(i + 1, 0) = e

Range("k8").Offset(i, 0) = t1t

Range("l8").Offset(i, 0) = t2t

Range("g8").Offset(i, 0) = d1

Range("f8").Offset(i, 0) = t

Next i

End Sub

B.4. Programación del element test para compresión oedométrica con es-fuerzo controlado

Se desarrolló el siguiente element test con lenguaje VISUAL BASIC para compresión oedométrica con

control en los esfuerzos.

Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta, T1, T2, e, t as Variant

110


Dim d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant


’Introduciendo los 8 parámetros de la hipoplasticidad

phi = Range("c20")

hs = Range("c21")

n = Range("c22")

ec0 = Range("c23")

ed0 = Range("c24")

ei0 = Range("c25")


beta = Range("c27")


ec = ec0

ed = ed0

ei = ei0

’Estado inicial de esfuerzos, y deformaciones y fd y fs inicial

T1 = Range("c8")

T2 = Range("c9")

e = Range("c11")

t = Range("c15")

’Control de variables ( tasa de esfuerzo) e inicializacion

i = 0

t1t = Range("c37")

t2t = Range("c39")

d2 = 0

pi = 3.1415927

’Conociendo el ciclo de carga

carga = Range("c32")




g = 1500

111


For i = 0 To g

’Fin de carga e inicio de descarga

If -T1 < carga Then

t1t = t1t

Else

t1t = -t1t

End If

’calculando las invariantes

trT = T1 + 2 * T2

trT2 = T1 ^ 2 + 2 * T2 ^ 2

’dividido por la traza

Th1 = T1 / trT

Th2 = T2 / trT


trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2

’desviadores




trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2

’recalculando las relaciones de vacíos características




’recalculando los factores de barotropía y picnotropía




’calculando D mediante la cuadrática, primero las trazas de los tensores A y B

112


trB2 = (a * fd / (1 / a ^ 2 + trTh2)) ^ 2 * z.

z(((1 / a ^ 2 + trTh2 - Th1 ^ 2 - 2 * Th1 * Th2)* (Th1 + Thx1)) ^ 2z

z+ 2 * ((1 / a ^ 2 + trTh2 - 2 * Th2 ^ 2 - Th1 * Th2) * (Th2 + Thx2)) ^ 2)

trA2 = (trTh2 / (fs * (1 / a ^ 2 + trTh2))) ^ 2 ♠.

♠* (((1 / a ^ 2 + trTh2 - Th1 ^ 2 - 2 * Th1 * Th2) * t1t) ^ 2♠♠+ 2 * ((1 / a ^ 2 + trTh2 - 2 * Th2 ^ 2 - Th1 * Th2) * t2t) ^ 2)

trAB = (trTh2 * a * fd / (fs * (1 / a ^ 2 + trTh2) ^ 2)) * z.

z((1 / a ^ 2 + trTh2 - Th1 ^ 2 - 2 * Th1 * Th2) ^ 2* (Th1 + Thx1) * t1t+z.

z 2 * (1 / a ^ 2 + trTh2 - 2 * Th2 ^ 2 - Th1 * Th2) ^ 2 * (Th2 + Thx2) * t2t)

’ahora los coeficientes cuadrática

beta = (1 / a ^ 2 + trTh2)

a11 = (beta - Th1 ^ 2)

a12 = 2 * (-Th1 * Th2)

a21 = (-Th1 * Th2)

a22 = (beta - 2 * Th2 ^ 2)

ConstA = trTh2 / fs

ConstB = fd * a

’ahora los coeficientes cuadrática

ad = trB2 - 1

bd = -2 * trAB

cd = trA2

’con los coeficientes se despeja la norma de D

normaD = (-bd - (bd ^ 2 - 4 * ad * cd) ^ 0.5) / (2 * ad)

’revisión de la segunda raiz de la cuadrática

normaD2 = (-bd + (bd ^ 2 - 4 * ad * cd) ^ 0.5) / (2 * ad)

d1 = ConstA / beta * (a11 * t1t + a12 * t2t) - normaD * ConstB / beta * z.

z(a11 * (Th1 + Thx1) + a12 * (Th2 + Thx2))

d2 = ConstA / beta * (a21 * t1t + a22 * t2t) - normaD * ConstB / beta z.

z* (a21 * (Th1 + Thx1) + a22 * (Th2 + Thx2))

’trazas de la deformación

trD = d1 + 2 * d2

trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2

trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2

113


’otros incrementos

t2t = fs / trTh2 * (a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * Abs(d1))

et = (1 + e) * d1


ep1 = d1 * t + ep1

ep2 = d2 * t + ep2

e = et * t + e

T1 = t1t * t + T1

T2 = t2t * t + T2


Range("i8").Offset(i + 1, 0) = T1

Range("j8").Offset(i + 1, 0) = T2






Range("o8").Offset(i, 0) = trB2

Range("p8").Offset(i, 0) = trAB

Range("q8").Offset(i, 0) = trA2

Range("r8").Offset(i, 0) = ad

Range("s8").Offset(i, 0) = bd

Range("t8").Offset(i, 0) = cd

Range("u8").Offset(i, 0) = normaD

Range("v8").Offset(i, 0) = d1

Range("w8").Offset(i, 0) = d2

Range("y8").Offset(i, 0) = normaD2

Next i

B.5. Programación del element test para compresión triaxial no drenada

El siguiente es un macro de EXCEL con lenguaje de programación VISUAL BASIC que contiene el algorit-

mo para solucionar por incrementos el element test de la compresión triaxial no drenada.

114



Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta As Variant

Dim t1, t2, e, t, d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant


’Introduciendo parámetros hipoplásticos

phi = Range("c20")

hs = Range("c21")

n = Range("c22")

ec0 = Range("c23")

ed0 = Range("c24")

ei0 = Range("c25")


beta = Range("c27")


ec = ec0

ed = ed0

ei = ei0

’Estado inicial de esfuerzos, y deformaciones

t1 = Range("c8")

t2 = Range("c9")

e = Range("c11")

t = Range("c15")


i = 0

d1 = -0.005

d2 = -0.5 * d1

pi = 3.1415927




g = 100

115


For i = 0 To g

’calculando las invariantes de esfuerzos

trT = t1 + 2 * t2

trT2 = t1 ^ 2 + 2 * t2 ^ 2

’calculando las invariantes de esfuerzos normalizados

Th1 = t1 / trT

Th2 = t2 / trT


trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2

trTh3 = (Th1) ^ 3 + 2 * (Th2) ^ 3

’calculando las invariantes de esfuerzos desviadores




trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2

trThx3 = Thx1 ^ 3 + 2 * Thx2 ^ 3

trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2

’Invariantes de la deformación

trD = d1 + 2 * d2

trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2

’calculando las relaciones de vacíos características




’calculando los factores de barotropía y picnotropía




’calculando los incrementos

t1t = fs * (trT) ^ 2 / trT2 * (d1 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / (trT) ^ 2z

116


z* d1 + fd * a * (5 * t1 - 2 * t2) / (6 ^ 0.5 * (trT)) * Abs(d1))

t2t = fs * (trT) ^ 2 / (trT2) * (-d1 / 2 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / trT ^ 2♠

♠* d1 + fd * a * (4 * t2 - t1) / (6 ^ 0.5 * (t1 + 2 * t2)) * Abs(d1))

et = (1 + e) * trD

ut = -t2t


t1 = t1t * t + t1

t2 = t2t * t + t2

e = et * t + e

u = u + ut * t









Range("n8").Offset(i + 1, 0) = u

Range("o8").Offset(i, 0) = a

Range("p8").Offset(i, 0) = fs

Range("q8").Offset(i, 0) = fd

Next i

End Sub

B.6. Programación del element test para compresión triaxial drenada

A continuación se presenta el macro de EXCEL en lenguaje VISUAL BASIC del element test de la compre-

sión triaxial drenada.


Dim d2, hs, n, ec0, ed0, ei0, alpha, beta, t1 As Variant

117


Dim t2, e, t, d1, pi, t1t, t2t, fd As Variant

Dim fs, ec, ed, ei, di1, t2a, t2b, d2a, d2b As Variant

Dim s As Integer

’Introduciendo parámetros hipoplásticos

phi = Range("c20")

hs = Range("c21")

n = Range("c22")

ec0 = Range("c23")

ed0 = Range("c24")

ei0 = Range("c25")


beta = Range("c27")


ec = ec0

ed = ed0

ei = ei0

’Estado inicial de esfuerzos, deformaciones y lectura del tiempo

t1 = Range("c8")

t2 = Range("c9")

e = Range("c11")

t = Range("c15")


d1 = -0.002

pi = 3.1415927

d2a = d2b = t2a = t2b = i = 0




g = 100

For i = 0 To g

’Invariantes de esfuerzos

118


trT = t1 + 2 * t2

trT2 = t1 ^ 2 + 2 * t2 ^ 2

’Invariantes de esfuerzos normalizados

Th1 = t1 / trT

Th2 = t2 / trT


trTh2 = (Th1) ^ 2 + 2 * (Th2) ^ 2

trTh3 = (Th1) ^ 3 + 2 * (Th2) ^ 3

’Invariantes de esfuerzos desviadores




trThx2 = Thx1 ^ 2 + 2 * Thx2 ^ 2

trThx3 = Thx1 ^ 3 + 2 * Thx2 ^ 3

’calculando las relaciones de vacíos características




’calculando los factores de barotropía y picnotropía




’calculando D2 con la cuadrática. Por eso el subíndice "c"

’(de cuadrática)en todas las variables

Pc = a ^ 2 * Th1 * Th2 * d1

Qc = 1 + a ^ 2 * 2 * Th2 ^ 2

Rc = fd * a * (Th2 + Thx2)

ac = Qc ^ 2 - 2 * Rc ^ 2

bc = 2 * Pc * Qc

cc = Pc ^ 2 - Rc ^ 2 * d1 ^ 2

d2a = (-bc + (bc ^ 2 - 4 * ac * cc) ^ 0.5) / (2 * ac)

d2b = (-bc - (bc ^ 2 - 4 * ac * cc) ^ 0.5) / (2 * ac)

119


’Selección de la raiz correcta en la cuadrática

d2 = d2a


trD = d1 + 2 * d2

trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2

trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2

t2ta = fs / trTh2 * (d2 + a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * (trD2) ^ 0.5)

d2 = d2b


trD = d1 + 2 * d2

trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2

trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2

t2tb = fs / trTh2 * (d2 + a ^ 2 * Th2 * trThD + fd * a * (Th2 + Thx2) * (trD2) ^ 0.5)

s = Fix(t2ta)

If s = 0 Then

d2 = d2a

Else

d2 = d2b

End If


trD = d1 + 2 * d2

trD2 = d1 ^ 2 + 2 * d2 ^ 2

trThD = Th1 * d1 + 2 * Th2 * d2

’calculando los incrementos

t1t = fs * (trT) ^ 2 / trT2 * (d1 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / (trT) ^ 2z

z* d1 + fd * a * (5 * t1 - 2 * t2) / (6 ^ 0.5 * (trT)) * Abs(d1))

t2t = fs * (trT) ^ 2 / (trT2) * (-d1 / 2 + a ^ 2 * t1 * (t1 - t2) / trT ^ 2♠

♠* d1 + fd * a * (4 * t2 - t1) / (6 ^ 0.5 * (t1 + 2 * t2)) * Abs(d1))

et = (1 + e) * trD

120



t1 = t1t * t + t1

t2 = t2t * t + t2

e = et * t + e









Range("n8").Offset(i + 1, 0) = u

Range("o8").Offset(i, 0) = a

Range("p8").Offset(i, 0) = fs

Range("q8").Offset(i, 0) = fd

Range("r8").Offset(i, 0) = d2a

Range("s8").Offset(i, 0) = d2b

Range("t8").Offset(i, 0) = t2ta

Range("u8").Offset(i, 0) = t2tb

Range("v8").Offset(i, 0) = d2

Range("AB8").Offset(i, 0) = Pc

Range("AC8").Offset(i, 0) = Qc

Range("AD8").Offset(i, 0) = Rc

Range("AE8").Offset(i, 0) = ac

Range("AF8").Offset(i, 0) = bc

Range("AG8").Offset(i, 0) = cc

Range("AH8").Offset(i, 0) = trThD

Range("AI8").Offset(i, 0) = trD2

Range("AJ8").Offset(i, 0) = fs

Next i

End Sub

121


B.7. Programación del element test para compresión oedométrica con Vis-cohipoplasticidad

En las siguientes líneas se presenta la programación del element test de una compresión oedométrica con

viscohipoplasticidad.


’declarando las variables

Dim e0, t, phic, kappa, Iv, Dr, ee0, Te0, epse0, control As Variant

Dim vel, increm, dt1, deps, rig, Dv, a, b, eps, OCR, e As Variant

Dim Te, lambda, T1 As Double

dt1 = T1 = e = eps = rig = Dv = a = b = deps = dt1 = Te = 0

’leyendo estado inicial

T1 = Range("c8")

e = Range("c11")

’leyendo tiempo

t = Range("g8").Offset(i + 1, 0)

’leyendo parámetros

lambda = Range("c21")

kappa = Range("c22")

Iv = Range("c23")

’leyendo valores de referencia

Dr = Range("c25")

ee0 = Range("c26")

Te0 = Range("c27")

epse0 = Log(1 + ee0)

’definiendo número de ciclos

n = 200

’Valores del paso inicial

Te = -(((-Te0) ^ (lambda) / ((1 + e) / (1 + ee0))) ^ (1 / (lambda)))

eps = Log(1 + e)

122


OCR = -Te / T1

’íncializando

i = 0

’inicio de los ciclos

For i = 0 To n

’leyendo tiempo, control y velocidad

t = Range("g8").Offset(i + 1, 0)

control = Range("f8").Offset(i + 1, 0)

vel = Range("h8").Offset(i + 1, 0)

’calculando incremento, rigidez, velocidad viscosa, a y b

increm = vel * t

rig = -T1 / kappa

Dv = Dr * (-T1 / Te) ^ (1 / Iv)

a = Dv / (Iv * T1)

b = Dv / (lambda * Iv)

’si es deformación controlada, calculando incremento de deformación

If control = 0 Then

deps = increm

Else

deps = (increm * (1 + rig * a * t) / rig + Dv * t) / (1 - b * t)

End If

’si es esfuerzo controlado, calculando incremento del esfuerzo

If control = 1 Then

dt1 = increm

Else

dt1 = rig * ((1 - b * t) * deps - Dv * t) / (1 + rig * a * t)

End If

’calculando valores del siguiente paso

T1 = T1 + dt1

eps = eps + deps

OCR = -Te / T1

e = Exp(eps) - 1

123


Te = Te0 / Exp((eps - epse0) / lambda)

’ímprimiendo variables de salida

Range("i8").Offset(i + 1, 0) = increm

Range("j8").Offset(i + 1, 0) = rig

Range("k8").Offset(i + 1, 0) = Dv

Range("l8").Offset(i + 1, 0) = a

Range("m8").Offset(i + 1, 0) = b

Range("n8").Offset(i + 1, 0) = deps

Range("o8").Offset(i + 1, 0) = dt1

Range("p8").Offset(i + 1, 0) = T1

Range("q8").Offset(i + 1, 0) = Te

Range("r8").Offset(i + 1, 0) = eps

Range("s8").Offset(i + 1, 0) = OCR

Range("t8").Offset(i + 1, 0) = e

Next i

End Sub

124

Índice alfabético

Antisimétrico, tensor, 92

Cinemática del continuo, 95

Configuración

cambio de, 98

actual, 5

de referencia, 5

inicial, 5

Control

del element test, 28

Creep, 49

Deformación

homogénea, 28

no recuperable, 51

recuperable, 51

Descripción

Eureliano, 96

Lagrangiana, 95

Ecuación constitutiva, 1, 4

hipoplástica 1D por Fellin, 5

hipoplástica por Kolymbas, 10

hipoplástica por Wolfersdorff, 14

hipoplástica por Wu Wei, 10

viscohipoplástica 3D, 57

Ecuación de Leinenkugel, 57

Element test, 28, 71

compresión isotrópica con Hipoplasticidad, 34

compresión oedométrica con Hipoplasticidad, 35

compresión oedométrica con Viscohipoplastici-

dad 1D, 71

compresión triaxial CD con Hipoplasticidad, 43

compresión triaxial CU con Hipoplasticidad, 41

Envolventes de respuesta, 11

Estado crítico, 15

Estados asintóticos del suelo, 14

Expansión de Taylor, 31, 93

Factor de

barotropía, 14

barotropía en Viscohipoplasticidad, 60

picnotropía, 14

Hipoplasticidad, 4

Identidad, tensor, 91

Indice de viscosidad, 53

Integración numérica

por diferencias finitas, 31

por diferencias finitas hacia adelante, 31

por diferencias finitas hacia atrás, 32

por diferencias finitas medias, 32

Invertibilidad

de la ecuación hipoplástica, 21

Invertido, tensor, 93

Isotacas, 49

Ley de compresión

de Butterfield, 50

de Terzagui, 50

Ley de Norton, 54

Loess de Argentina, 77

Medio continuo, 1

Modelo constitutivo, 1, 4

viscohipoplástico, 49

125

ÍNDICE ALFABÉTICO ICIV 200710 09

viscohipoplástico 1D, 50

Objetividad, 100

Observador, 100

OCR

en 3D, 61

según Hvroslev, 52

Ortogonal, tensor, 92

Pérdida de memoria, 15

Parámetro

ed0, 25

hs, 25

n, 25

α , 25

β , 26

κ , 69

ϕc, 24

ec0, 25

ei0, 25

Iv, 68

Parámetros

hipoplásticos, 24

viscohipoplásticos, 68

Potencia

de un tensor, 91

Principio del comportamiento proporcional del suelo,

8

Producto

diádico, 90

doble contracción, 91

doble poducto escalar, 90

escalar, 89

vectorial, 90

Regla de flujo

en Hipoplasticidad, 16

Relajación, 49

Simétrico, tensor, 92

Simetría axial, 28

Superficie de fluencia de Matsuoka-Nakai, 17

Tasa viscosa de referencia Dr, 54

Tensor de esfuerzos de Cauchy, 98

Teorema

Shermman-Morrison, 22, 93

Teorema de representación general, 9

Transpuesto

tensor, 90

Traza de un tensor, 91

Valores de referencia, 66

Viscohipoplasticidad, 49

Zaremba-Jaunmann, tasa de esfuerzo objetiva, 4, 104

126

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