simplificaciÓn de expresiones booleanas2

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Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Definiciones: Sean F(x1,...xn) y G(x1,...xn) dos funciones booleanas. Si F cubre a G, se dice que G implica a F, o que G es implicante de F. Se dice que F cubre a G si siempre que G toma el valor 1, Ftambien lo toma. F G( ) Ej: Ej: Un producto de literales p se dice que es implicante primo de una funcin booleana F, sii implica a F y adems, cualquier subproducto (producto con menos literales) obtenido de p, no es implicante de F. Vamos a llamar PF al conjunto de los implicantes primos de F. Ej: a) No son implicantes primos porque existe el subproducto wx que es b) Si es implicante primo porque implica a F y ni y,ni z son implicantes a) b) implicante de F. wx si es implicante primo porque implica a F y ni w , ni x son implicantes de F. PF = {wx , yz } de F. Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Tabla 1: Procedimiento sistemtico para la obtencin de una expresin mnima en forma de suma de productos de una funcin booleana. 1 Obtener el conjunto de implicantes primos. 2 Seleccionar, de entre stos, los implicantes primos esenciales, y formar una expresin mnima. 3Eliminar del conjunto de implicantes primos aquellos que cubran minitrminos que ya estn cubietos por los implicantes primos esenciales. 4Verificar que todos los minitrminos que hacen uno a la funcin dada estn cubiertos por la expresin mnima obtenida, y si no es as, aadir a sta los implicantes primos necesarios para conseguirlo.

Teorema: Cualquier expresin irreducible en forma suma de productos de una funcin booleana F resulta de la unin de implicantes primos de F. Definicin: Un implicante primo de una funcin F se dice que es esencial si cubre al menos a un minitrmino de la funcin que no puede ser cubierto por ningn otro implicante primo de la misma. PF = { yt , zt , yz } yt yz zt cubre a los minitrminos {0,2,8,10} cubre a los minitrminos {2,6,10,14} cubre a los minitrminos {6,7,14,15} yt yz son implicantes primos esenciales, Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Definiciones: Se dice que G es implicado por F, si simpre que G toma el valor 0, F Una suma de literales s se dice que es implicado primo de una funcin booleana F, sii es implicado de F y adems, cualquier subsuma (suma con menos literales) obtenida de s, no es implicado de F. Vamos a llamar SF al conjunto de los implicados primos de F. Ej: a) No son implicados primos porque existe la subsuma w+x que es b) Si es implicado primo, porque es implicado por F, y adems, ni y, a) b) implicado de F. w+x si es implicado primo porque es implicado por F y adems, ni w , ni x son implicados de F. SF = {w+x , y+z } ni z son implicados de F. tambien lo toma. H es implicado por F Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Tabla 2: Procedimiento sistemtico para la obtencin de una expresin mnima en forma de producto de sumas de una funcin booleana. 1 Obtener el conjunto de implicados primos. 2 Seleccionar, de entre stos, los implicados primos esenciales, y formar una expresin mnima. 3Eliminar del conjunto de implicados primos aquellos que estn implicados por maxitrminos que ya lo estn por los implicados primos esenciales.

4Verificar que todos los maxitrminos que hacen cero a la funcin dada estn implicados por la expresin mnima obtenida, y si no es as, aadir a sta los implicados primos necesarios para conseguirlo. Teorema: Cualquier expresin irreducible en forma producto de sumas de una funcin booleana F resulta del producto de implicados primos de F. Definicin: Un implicado primo de una funcin F se dice que es esencial, si es implicado por un maxitermino de la funcin, que no puede implicar a ningn otro implicado primo de la misma. SF = { y+z , y+t , z+t } y+z z+t y+t implicado por los maxitrminos {4,5,12,13} son implicados primos esenciales, implicado por los maxitrminos {1,5,9,13} implicado por los maxitrminos {1,3,9,1} y+z y+t Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico

Los Mapas de Karnaugh son tablas de verdad construidas de tal manera que minitrminos (o maxitrminos) adyacentes ocupan una posicin adyacente en la tabla. Son especialmente tiles para la simplificacin manual de funciones booleanas de hasta seis variables, porque permiten encontrar los implicantes primos, e identificar los esenciales, por simple inspeccin ocular. Vamos a estudiar los distintos casos: Mapa de Karnaugh de dos variables Adyacencias LgicaFsica Ej: XOR(x,y) OR(x,y) POR = {x , y } Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de tres variables Ejemplo1: yz xy PF = {xzyzxy},, Todos los implicantes primos son esenciales. La expresin mnima ser: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Ejemplo 2: Mapa de Karnaugh de tres variables xy yz xzxy yz Vamos a obtener una expresin mnima xz PF = {yxz}, Todos los implicantes primos son esenciales. Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de cuatro variables x y z t Ejemplo 1: x y z t yt xy yzt xtytxyyztPF = {},,,Todos los implicantes primos son esenciales exceptoxt Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

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Mapa de Karnaugh de cuatro variables x y z t x y z t xy xyt Vamos a encontrar una expresin mnima: xy yt xt PF = {xyxtytxy,,,} xy xy xy, xt yt, son implicantes primos esenciales, pero entre ambos no cubren a todos los miniterminos que hacen uno a F. Para obtener la expresin mnima es necesario aadir uno de los implicantes primos no esenciales Se tienen pues dos expresiones mnimas: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico xy ztu Mapa de Karnaugh de cinco variables Mapa de Karnaugh de seis variables xyz tuv Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico xy ztu xy ztu Adyacencias de orden 3ytyzyu Adyacencias de orden 2 no cubiertas por adycencias de orden 3. xtu ztu ztu xzu xzuxzt xtu ztu xzu xzt xzu xtu xtu ztu Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de cinco variables Ejemplo (continuacin) ztu xzu xzt xzu xtu xtu ztu yz yu Vamos a ver cuales son esenciales y cuales no. minterm de F PF1 3 5 9 10 1 12 13 14 15 18 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x yt yz xzt yu yz Tomando los implicantes primos esenciales quedan sin cubrir los miniterminos xy ztu a) b) d) e) f) g) h) i) Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de cinco variables Ejemplo (continuacin) Vamos a ver las posibilidades que hay de cubrir los minitrminos restantes. - m1 puede ser cubierto por los implicantes primos d) y h) - m3 puede ser cubierto por los implicantes primos d) y j) - m5 puede ser cubierto por los implicantes primos h) y i) - m21 puede ser cubierto por los implicantes primos f) y i) - m23 puede ser cubierto por los implicantes primos f) y g) Se pueden dar los siguientes casos: (d,f,h) , (d,f,i) , (f,h,j) , (d,i,g). Mtodo de Petrick. C(d,f,g,h,i,j) muestra todas las posiblidades de escoger los implicantes primos para que se cubran todos los minitrminos que faltan. De todas las posibilidades se escoge la que necesite menor nmero de implicantes primos, y menor nmero de literales. Estas son las elegidas arriba. Como todas contienen el mismo nmero de literales existen cuatro expresiones que cumplen el criterio de minimizacin: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Expresiones mnimas en forma producto de sumas y mapas de Karnaugh. xy ztu a) b)c)d) e)f) Los implicados primos esenciales son a, b, d, e, f , y entre todos cubren todos los maxitrminos de la funcin. La expresin mnima resulta: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Funciones incompletamente definidas. Se llama as a las funciones booleanas que no estn definidas para todas las combinaciones de entrada, sto es, su dominio es un subconjunto de todas las posibles combinaciones de las variables de entrada. En su tabla de verdad solo aparecen las combinaciones que estn definidas. En los mapas de Karnaugh, las combinaciones no definidas suelen representarse mediante en simbolo X, (indiferencia o indeterminacin) y ser utili- zado como 1 o 0 , segn convenga, a la hora de buscar los implicantes o implicados primos de la funcin, durante el proceso de simplificacin de funciones. En la representacin en forma cannica, se indica que minterms (o maxterm) no estn especificados, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ej: - Se indica que la funcin toma el valor 1 para los minterm de tres variables Ej: - Se indica que la funcin toma el valor 0 para los maxterm de tres variables Dos funciones booleana incompletamente especificadas son equivalentes si, o bien en su tabla de verdad, o bien en su forma cannica, coinciden para aquellas combinaciones de entrada especificadas en ambas.

Dos expresiones algebraicas mnimas, obtenidas a partir de una funcin incompletamente especificada, no tienen por que ser equivalentes entre s, y solo est garantizado que coinciden para aquellas combinaciones de entrada que estn especificadas en la funcin de partida. Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Ej: Obtener una expresin booleana mnima para un circuito que detecte si un dgito BCD natural es multiplo de 3. La salida del circuito no est especificada para los casos en que la combinacin de entrada no corresponda con un dgito BCD. Sea la entrada un n BCD N=A3A2A1A0. La forma cannica de la funcin pedida es: Usamos un mapa de Karnaugh de cuatro variables para obtener una expresin mnima. A3A2 A1A0 1xxxxxx A3A2 A1A0 1xxxxxx Minimizacin por unos.Obtener expresion SDP.Minimizacin por ceros. Obtener expresion PDS. a) b) c)d) a)b)c) d) e) Todos los implicantes primos sonesenciales.Todos los implicados primos son esenciales. Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Ambas son expresiones mnimas, equivalentes a F Veamos si Fsp y Fps son equivalentes entre si. Para ello construiremos sus respectivas funciones cannicas. Vemos que Fsp y Fps no son equivalentes entre si, tan solo podemos decir que Fsp cubre a Fps. Vemos que tanto Fsp, como Fps son equivalentes a F porque coinciden para todos los minitrminos que estn definidos. Ej: (continuacin) Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Para obtener funciones booleanas mnimas utilizando los mapas de Karnaugh se siguen los siguientes pasos: 1 Se construye el mapa de Karnaugh adecuado segn el nmero de variables de la funcin dada.

2 Se representan sobre l los miniterminos (maxiterminos) que hacen uno (cero) a la funcin para la simplificacin mediante suma de productos (producto de sumas). 3 Se representan las posibles indiferencias de la funcin (si las hay). 4 Se obtienen los implicantes (implicados) primos de la funcin, buscando minitrminos (maxitrminos) adyacentes, empezando por las de mayor orden . En esta operacin las indiferencias se toman como unos o ceros segn convenga. 5 De todos los implicantes (implicados) primos se selecciona un conjunto mnimo que cubra todos los minitrminos (maxitrminos) para formar la expresin mnima en forma suma de productos (producto de sumas): - En primer lugar se escogen aquellos implicantes (implicados) primos que sean esenciales, esto es, aquellos que son los nicos que cubren a algn minitrmino (maxitrmino). - Se verifica si con estos se cubren todos los minitrminos (maxitrminos) de la funcin. Si es as, ya se tiene la funcin mnima. - En caso contrario se aaden implicantes primos no esenciales hasta conseguir la cobertura. En esta eleccin se escogen en primer lugar aquellos implicantes (implicados) primos que cubran a ms minitrminos (maxitrminos) y que contengan el menor nmero de literales. Un mtodo sistemtico es el Mtodo de Petri. Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Mtodo de Quine-McCluskey Es un mtodo sistemtico que permite obtener una solucion exacta al problema de la minimizacin de funciones booleanas. Se aplica principalmente a problemas con mayor nmero de variables de entrada que los tratados con los mapas de Karnaugh. Define un procedimiento adecuado para ser programado y ejecutado por ordenador. El mtodo consta de dos pasos: A.- Busqueda exahustiva de todos los implicantes primos de la funcin dada. 1.-Se obtiene una lista de todos los minterm que hacen uno a la funcin y se ordenan por grupos de acuerdo con el nmero de unos que posee su representacin binaria. 2.- Se compara sistemticamente cada minitermino de la lista perteneciente a un grupo con todos los dems pertenecientes al grupo siguiente, para buscar adyacencias de primer orden. 3.- Se crea una lista con grupos de adyacencias. Los minterms que formen adyacencias son borrados de la lista de minterm. 4.- Se comparan sistemticamente cada adyacencia de primer orden de un grupo, con todas las dems de la lista del siguiente grupo, para buscar adyacencias de 2 orden. 5.- Las nuevas adyacencias encontradas se anotan en una nueva lista y se borran de la de primer orden. 6.- El proceso se repite con las nuevas listas de adyacencias de orden superior hasta que llegado un orden de adyacencias, no se pueden encontrar adyacencias de orden superior. Los

elementos de cada lista que queden sin eliminar constituiran el conjunto de implicantes primos de la funcin. Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico B.- Eleccin de un conjunto mnimo de implicantes primos que proporcione una expresin mnima, con el menor nmero de literales. Esta seleccin se realiza a partir de la tabla de implicantes primos. En esta tabla cada implicante primo ocupa una fila y cada miterm una columna. La tabla se rellena marcando con una X la celda que corresponde a columna de minterm cubierto por el implicante fila. El procedimiento de busqueda de la expresin minima es el siguiente: 1.- Se buscan las columnas que tengan una sola X. Los implicantes primos que cubre a estos minterm son esenciales y por tanto deben ser seleccionados para la expresin mnima. 2.- Se tachan todas las columnas correspondientes a minterm cubiertos por los implicantes primos esenciales. 3.- Se mira en la tabla si quedan columnas sin tachar. Si es as hay que escoger algn implicante primo no esencial para cubrirlas, siguiendo el criterio de usar el menor nmero de ellos y el menor nmero de literales. Un mtodo para realizar esta seleccin puede ser el de Petrick. Veamos un ejemplo: Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico En primer lugar realizaremos la bsqueda sistemtica de todos los implicantes primos de la funcin, para ello contruimos la sguiente tabla, en la que se ordenan los minitrminos de la funcin segn el nmero de unos de su representacin binaria: Tabla 3: Busqueda de implicantes primos, Paso APaso BPaso C Indice del minterm wxyz Indices de los mintermswxyzIndices de los mintermswxyz PF = {}xzwxyzxywywxz,,,,,

Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Construiremos la tabla de implicantes primos para buscar los esenciales y obtener la funcin mnima. Vemos que con los implicantes primos esenciales no se cubren los minitrminos m7, m14, m15. Por tanto para obtener la funcin mnima hay que aadir a los implicantes primos esenciales, aquellos implicantes primos necesarios para cubrir estos minitrminos rstantes. La solucin optima es escoger el implicante primo xy que por si solo cubre a los tres minterm. La funcin minima resulta: Tabla 4: Tabla de implicantes primos 1,3,9,1 E X X X X 8,9,10,1 E X X X X 3,7,1,15 X X X X 6,7,14,15 X X X X 10,1,14,15 X X X X 4,6 E X X Esenciales E E E Columnas cubiertas C C C C C C C C wx yz wxz Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Simplificacin de funciones booleanas. Circuitos lgicos mnimos.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Los procedimientos de simplificacin de funciones booleanas se desarollan con el propsito de obtener una expresin booleana mnima que permita construir un circuito con el menor nmero posible de puertas lgicas. El criterio que vamos a utilizar es el de obtener un circuito mnimo en dos niveles. Esto se consigue a partir de una expresin booleana normalizada, bien como suma de productos, bien como producto de sumas, que sea mnima en cuanto al nmero de trminos utilizados, (producto o suma) y mnima en cuanto al n de literales de los mismos. Este criterio no es nico y, a veces, conduce a circuitos que presentan problemas de implementacin prctica, (riesgos) que tienen solucin introduciendo cierta redundancia en la expresin mnima. Adems, objetivos de diseo como son fiabilidad y testabilidad, de especial importancia en el diseo de circuitos integrados, implican modificar el Los mtodos que vamos a estudiar son: - Reduccin Algebraica: Usa los teoremas y axiomas del lgebra de Boole para reducir una expresin dada. - Mapas de Karnaugh: Mtodo grfico. til para simplificar manualmente funciones de hasta 6 variables.

- Mtodo tabular de Quine-McCluskey. Algoritmo para la simplificacin de cualquier funcin booleana, apropiado para ser programado. Especialmente til para funciones de muchas variables y simplificacin simultnea de varias funciones booleanas. Simplificacin de funciones booleanas criterio anterior. De todas formas, un circuito en dos niveles es un punto de partida adecuado para el diseo de sistemas digitales. Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Mtodo Agebraico Se basa en el siguiente teorema del lgebra de Boole: a) La suma de dos trminos producto adyacentes es igual a un trmino producto que posee un literal menos, aquel en el que se diferencian. Los trminos producto de la expresin a) se dice que son adyacentes por coincidir en todos sus literales menos en uno, x1 . El teorema puede leerse as: b) El producto de dos trminos suma adyacentes es igual a un trmino suma que posee un literal menos, aquel en el que se diferencean. Para aplicar este mtodo de simplificacin: 1. Se obtiene una expresin cannica, bien suma de productos, bien producto de sumas. 2. Se buscan trminos adyacentes y se sustituyen por trminos ms simples. 3. El paso 2 se repite hasta encontrar una expresin irreducible. Ej: adyacencias de 2 orden Los trminos suma de la expresin b) se dice que son adyacentes por coincidir en todos sus literales menos en uno, x1. Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Definiciones: Sean F(x1,...xn) y G(x1,...xn) dos funciones booleanas. Si F cubre a G, se dice que G implica a F, o que G es implicante de F. Se dice que F cubre a G si siempre que G toma el valor 1, Ftambien lo toma. F G( )

Ej: Ej: Un producto de literales p se dice que es implicante primo de una funcin booleana F, sii implica a F y adems, cualquier subproducto (producto con menos literales) obtenido de p, no es implicante de F. Vamos a llamar PF al conjunto de los implicantes primos de F. Ej: a) No son implicantes primos porque existe el subproducto wx que es b) Si es implicante primo porque implica a F y ni y,ni z son implicantes a) b) implicante de F. wx si es implicante primo porque implica a F y ni w , ni x son implicantes de F. PF = {wx , yz } de F. Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Tabla 1: Procedimiento sistemtico para la obtencin de una expresin mnima en forma de suma de productos de una funcin booleana. 1 Obtener el conjunto de implicantes primos. 2 Seleccionar, de entre stos, los implicantes primos esenciales, y formar una expresin mnima. 3Eliminar del conjunto de implicantes primos aquellos que cubran minitrminos que ya estn cubietos por los implicantes primos esenciales. 4Verificar que todos los minitrminos que hacen uno a la funcin dada estn cubiertos por la expresin mnima obtenida, y si no es as, aadir a sta los implicantes primos necesarios para conseguirlo. Teorema: Cualquier expresin irreducible en forma suma de productos de una funcin booleana F resulta de la unin de implicantes primos de F. Definicin: Un implicante primo de una funcin F se dice que es esencial si cubre al menos a un minitrmino de la funcin que no puede ser cubierto por ningn otro implicante primo de la misma. PF = { yt , zt , yz } yt yz zt cubre a los minitrminos {0,2,8,10} cubre a los minitrminos {2,6,10,14} cubre a los minitrminos {6,7,14,15} yt yz son implicantes primos esenciales, Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico.

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Definiciones: Se dice que G es implicado por F, si simpre que G toma el valor 0, F Una suma de literales s se dice que es implicado primo de una funcin booleana F, sii es implicado de F y adems, cualquier subsuma (suma con menos literales) obtenida de s, no es implicado de F. Vamos a llamar SF al conjunto de los implicados primos de F. Ej: a) No son implicados primos porque existe la subsuma w+x que es b) Si es implicado primo, porque es implicado por F, y adems, ni y, a) b) implicado de F. w+x si es implicado primo porque es implicado por F y adems, ni w , ni x son implicados de F. SF = {w+x , y+z } ni z son implicados de F. tambien lo toma. H es implicado por F Simplificacin de funciones booleanas. Metodo algebraico. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Tabla 2: Procedimiento sistemtico para la obtencin de una expresin mnima en forma de producto de sumas de una funcin booleana. 1 Obtener el conjunto de implicados primos. 2 Seleccionar, de entre stos, los implicados primos esenciales, y formar una expresin mnima. 3Eliminar del conjunto de implicados primos aquellos que estn implicados por maxitrminos que ya lo estn por los implicados primos esenciales. 4Verificar que todos los maxitrminos que hacen cero a la funcin dada estn implicados por la expresin mnima obtenida, y si no es as, aadir a sta los implicados primos necesarios para conseguirlo. Teorema: Cualquier expresin irreducible en forma producto de sumas de una funcin booleana F resulta del producto de implicados primos de F. Definicin: Un implicado primo de una funcin F se dice que es esencial, si es implicado por un maxitermino de la funcin, que no puede implicar a ningn otro implicado primo de la misma. SF = { y+z , y+t , z+t } y+z z+t y+t implicado por los maxitrminos {4,5,12,13} son implicados primos esenciales, implicado por los maxitrminos {1,5,9,13} implicado por los maxitrminos {1,3,9,1} y+z y+t Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Los Mapas de Karnaugh son tablas de verdad construidas de tal manera que minitrminos (o maxitrminos) adyacentes ocupan una posicin adyacente en la tabla. Son especialmente tiles para la simplificacin manual de funciones booleanas de hasta seis variables, porque permiten encontrar los implicantes primos, e identificar los esenciales, por simple inspeccin ocular. Vamos a estudiar los distintos casos: Mapa de Karnaugh de dos variables Adyacencias LgicaFsica Ej: XOR(x,y) OR(x,y) POR = {x , y } Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de tres variables

Ejemplo1: yz xy PF = {xzyzxy},, Todos los implicantes primos son esenciales. La expresin mnima ser: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Ejemplo 2: Mapa de Karnaugh de tres variables xy yz xzxy yz Vamos a obtener una expresin mnima xz PF = {yxz}, Todos los implicantes primos son esenciales. Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de cuatro variables x y z t Ejemplo 1: x y z t yt xy yzt xtytxyyztPF = {},,,Todos los implicantes primos son esenciales exceptoxt Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de cuatro variables x y z t x y z t xy xyt Vamos a encontrar una expresin mnima: xy yt xt PF = {xyxtytxy,,,} xy xy xy, xt yt, son implicantes primos esenciales, pero entre ambos no cubren a todos los miniterminos que hacen uno a F. Para obtener la expresin mnima es necesario aadir uno de los implicantes primos no esenciales Se tienen pues dos expresiones mnimas: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico xy ztu Mapa de Karnaugh de cinco variables Mapa de Karnaugh de seis variables xyz tuv Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico xy ztu xy ztu Adyacencias de orden 3ytyzyu Adyacencias de orden 2 no cubiertas por adycencias de orden 3. xtu ztu ztu xzu xzuxzt xtu ztu xzu xzt xzu xtu xtu ztu Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de cinco variables Ejemplo (continuacin) ztu xzu xzt xzu xtu xtu ztu yz yu Vamos a ver cuales son esenciales y cuales no. minterm de F

PF1 3 5 9 10 1 12 13 14 15 18 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x yt yz xzt yu yz Tomando los implicantes primos esenciales quedan sin cubrir los miniterminos xy ztu a) b) d) e) f) g) h) i) Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Mapa de Karnaugh de cinco variables Ejemplo (continuacin) Vamos a ver las posibilidades que hay de cubrir los minitrminos restantes. - m1 puede ser cubierto por los implicantes primos d) y h) - m3 puede ser cubierto por los implicantes primos d) y j) - m5 puede ser cubierto por los implicantes primos h) y i) - m21 puede ser cubierto por los implicantes primos f) y i) - m23 puede ser cubierto por los implicantes primos f) y g) Se pueden dar los siguientes casos: (d,f,h) , (d,f,i) , (f,h,j) , (d,i,g). Mtodo de Petrick. C(d,f,g,h,i,j) muestra todas las posiblidades de escoger los implicantes primos para que se cubran todos los minitrminos que faltan. De todas las posibilidades se escoge la que necesite menor nmero de implicantes primos, y menor nmero de literales. Estas son las elegidas arriba. Como todas contienen el mismo nmero de literales existen cuatro expresiones que cumplen el criterio de minimizacin: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Expresiones mnimas en forma producto de sumas y mapas de Karnaugh. xy ztu a) b)c)d) e)f) Los implicados primos esenciales son a, b, d, e, f , y entre todos cubren todos los maxitrminos de la funcin. La expresin mnima resulta: Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Funciones incompletamente definidas.

Se llama as a las funciones booleanas que no estn definidas para todas las combinaciones de entrada, sto es, su dominio es un subconjunto de todas las posibles combinaciones de las variables de entrada. En su tabla de verdad solo aparecen las combinaciones que estn definidas. En los mapas de Karnaugh, las combinaciones no definidas suelen representarse mediante en simbolo X, (indiferencia o indeterminacin) y ser utili- zado como 1 o 0 , segn convenga, a la hora de buscar los implicantes o implicados primos de la funcin, durante el proceso de simplificacin de funciones. En la representacin en forma cannica, se indica que minterms (o maxterm) no estn especificados, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ej: - Se indica que la funcin toma el valor 1 para los minterm de tres variables Ej: - Se indica que la funcin toma el valor 0 para los maxterm de tres variables Dos funciones booleana incompletamente especificadas son equivalentes si, o bien en su tabla de verdad, o bien en su forma cannica, coinciden para aquellas combinaciones de entrada especificadas en ambas. Dos expresiones algebraicas mnimas, obtenidas a partir de una funcin incompletamente especificada, no tienen por que ser equivalentes entre s, y solo est garantizado que coinciden para aquellas combinaciones de entrada que estn especificadas en la funcin de partida. Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Ej: Obtener una expresin booleana mnima para un circuito que detecte si un dgito BCD natural es multiplo de 3. La salida del circuito no est especificada para los casos en que la combinacin de entrada no corresponda con un dgito BCD. Sea la entrada un n BCD N=A3A2A1A0. La forma cannica de la funcin pedida es: Usamos un mapa de Karnaugh de cuatro variables para obtener una expresin mnima. A3A2 A1A0 1xxxxxx A3A2 A1A0 1xxxxxx Minimizacin por unos.Obtener expresion SDP.Minimizacin por ceros. Obtener expresion PDS. a) b) c)d) a)b)c) d) e) Todos los implicantes primos sonesenciales.Todos los implicados primos son esenciales. Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh.

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Ambas son expresiones mnimas, equivalentes a F Veamos si Fsp y Fps son equivalentes entre si. Para ello construiremos sus respectivas funciones cannicas. Vemos que Fsp y Fps no son equivalentes entre si, tan solo podemos decir que Fsp cubre a Fps. Vemos que tanto Fsp, como Fps son equivalentes a F porque coinciden para todos los minitrminos que estn definidos. Ej: (continuacin) Simplificacin de funciones booleanas. Mapas de Karnaugh. Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didactico Para obtener funciones booleanas mnimas utilizando los mapas de Karnaugh se siguen los siguientes pasos: 1 Se construye el mapa de Karnaugh adecuado segn el nmero de variables de la funcin dada. 2 Se representan sobre l los miniterminos (maxiterminos) que hacen uno (cero) a la funcin para la simplificacin mediante suma de productos (producto de sumas). 3 Se representan las posibles indiferencias de la funcin (si las hay). 4 Se obtienen los implicantes (implicados) primos de la funcin, buscando minitrminos (maxitrminos) adyacentes, empezando por las de mayor orden . En esta operacin las indiferencias se toman como unos o ceros segn convenga. 5 De todos los implicantes (implicados) primos se selecciona un conjunto mnimo que cubra todos los minitrminos (maxitrminos) para formar la expresin mnima en forma suma de productos (producto de sumas): - En primer lugar se escogen aquellos implicantes (implicados) primos que sean esenciales, esto es, aquellos que son los nicos que cubren a algn minitrmino (maxitrmino). - Se verifica si con estos se cubren todos los minitrminos (maxitrminos) de la funcin. Si es as, ya se tiene la funcin mnima. - En caso contrario se aaden implicantes primos no esenciales hasta conseguir la cobertura. En esta eleccin se escogen en primer lugar aquellos implicantes (implicados) primos que cubran a ms minitrminos (maxitrminos) y que contengan el menor nmero de literales. Un mtodo sistemtico es el Mtodo de Petri. Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Mtodo de Quine-McCluskey Es un mtodo sistemtico que permite obtener una solucion exacta al problema de la minimizacin de funciones booleanas.

Se aplica principalmente a problemas con mayor nmero de variables de entrada que los tratados con los mapas de Karnaugh. Define un procedimiento adecuado para ser programado y ejecutado por ordenador. El mtodo consta de dos pasos: A.- Busqueda exahustiva de todos los implicantes primos de la funcin dada. 1.-Se obtiene una lista de todos los minterm que hacen uno a la funcin y se ordenan por grupos de acuerdo con el nmero de unos que posee su representacin binaria. 2.- Se compara sistemticamente cada minitermino de la lista perteneciente a un grupo con todos los dems pertenecientes al grupo siguiente, para buscar adyacencias de primer orden. 3.- Se crea una lista con grupos de adyacencias. Los minterms que formen adyacencias son borrados de la lista de minterm. 4.- Se comparan sistemticamente cada adyacencia de primer orden de un grupo, con todas las dems de la lista del siguiente grupo, para buscar adyacencias de 2 orden. 5.- Las nuevas adyacencias encontradas se anotan en una nueva lista y se borran de la de primer orden. 6.- El proceso se repite con las nuevas listas de adyacencias de orden superior hasta que llegado un orden de adyacencias, no se pueden encontrar adyacencias de orden superior. Los elementos de cada lista que queden sin eliminar constituiran el conjunto de implicantes primos de la funcin. Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico B.- Eleccin de un conjunto mnimo de implicantes primos que proporcione una expresin mnima, con el menor nmero de literales. Esta seleccin se realiza a partir de la tabla de implicantes primos. En esta tabla cada implicante primo ocupa una fila y cada miterm una columna. La tabla se rellena marcando con una X la celda que corresponde a columna de minterm cubierto por el implicante fila. El procedimiento de busqueda de la expresin minima es el siguiente: 1.- Se buscan las columnas que tengan una sola X. Los implicantes primos que cubre a estos minterm son esenciales y por tanto deben ser seleccionados para la expresin mnima. 2.- Se tachan todas las columnas correspondientes a minterm cubiertos por los implicantes primos esenciales. 3.- Se mira en la tabla si quedan columnas sin tachar. Si es as hay que escoger algn implicante primo no esencial para cubrirlas, siguiendo el criterio de usar el menor nmero de ellos y el menor nmero de literales. Un mtodo para realizar esta seleccin puede ser el de Petrick. Veamos un ejemplo: Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey

Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico En primer lugar realizaremos la bsqueda sistemtica de todos los implicantes primos de la funcin, para ello contruimos la sguiente tabla, en la que se ordenan los minitrminos de la funcin segn el nmero de unos de su representacin binaria: Tabla 3: Busqueda de implicantes primos, Paso APaso BPaso C Indice del minterm wxyz Indices de los mintermswxyzIndices de los mintermswxyz PF = {}xzwxyzxywywxz,,,,, Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico Construiremos la tabla de implicantes primos para buscar los esenciales y obtener la funcin mnima. Vemos que con los implicantes primos esenciales no se cubren los minitrminos m7, m14, m15. Por tanto para obtener la funcin mnima hay que aadir a los implicantes primos esenciales, aquellos implicantes primos necesarios para cubrir estos minitrminos rstantes. La solucin optima es escoger el implicante primo xy que por si solo cubre a los tres minterm. La funcin minima resulta: Tabla 4: Tabla de implicantes primos 1,3,9,1 E X X X X 8,9,10,1 E X X X X 3,7,1,15 X X X X 6,7,14,15 X X X X 10,1,14,15 X X X X 4,6 E X X Esenciales E E E Columnas cubiertas C C C C C C C C wx yz wxz Simplificacin de funciones booleanas. Mtodo tabular. Mtodo de Quine-McCluskey Sistemas electrnicos digitalesMaterial de apoyo didctico