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Mayo 2006 • 2006ko Maiatza 157

SIG

MA

28GEOMETRÍA CON AYUDA VIRTUAL

Alberto Bagazgoitia (*)

1. MOSAICOS: MATERIALES VIRTUALES EN GEOMETRÍA

La resolución de problemas y las pequeñas investigaciones son una parte esencial del trabajo matemático. Sin ellas la enseñanza de las matemáticas pierde la mayor motivación para abor-dar el estudio de los algoritmos y las técnicas de cálculo.

Lo mismo que para disfrutar de la música no nos podemos quedar en la enseñanza del solfeo, sino que es preciso escuchar composiciones elaboradas, en matemáticas no podemos prescin-dir de las actividades más globales que dan sentido a los trabajos más rutinarios y monótonos de dominio de técnicas.

Y no es satisfactoria la situación que se da en muchos centros en los que las actividades más creativas se relegan a espacios optativos como pueden ser los Talleres de matemáticas o simi-lares, porque estas actividades, como ya he dicho anteriormente, son parte fundamental del currículo para todos.

Por otra parte, y aún siendo consciente de que la realidad es la que es, que el tiempo dedicado en la Secundaria Obligatoria a la enseñanza de las matemáticas es muy escaso y que de alguna manera hay que priorizar los contenidos que se pueden trabajar, no parece razonable de todas formas que se excluyan totalmente las propuestas investigativas o de resolución de problemas.

La Geometría es sin duda uno de los campos de la Matemática donde se pueden desarrollar aspectos que, por sus características visuales, de belleza o armonía artística, intenten captar la atención y faciliten el análisis y la necesaria reflexión y que, por las relaciones que se pueden establecer entre sus elementos y las regularidades que se observan, permiten desarrollar capa-cidades abstractas de alto nivel, como reconocer pautar, establecer conjeturas o generalizar.

Además, la oportunidad que nos ofrece de trabajar con materiales manipulativos permite comen-zar desde lo más simple y concreto, analizando figuras y construyendo composiciones, a lo más abstracto, posibilitando así que todos los alumnos puedan aproximarse a los problemas.

Aunque cada vez es mayor la posibilidad de disponer de este tipo de materiales, la realidad es que, por uno u otro motivo, –la falta o escasez de materiales que impide organizar el trabajo de forma adecuada, el miedo a perder el control de la clase, la sensación de que se va a perder el tiempo– no se utilizan en el aula y como consecuencia se renuncia a plantar una serie de actividades que pudieran ser enriquecedoras para los alumnos.

En esta situación, Internet y los ordenadores nos ofrecen una nueva alternativa: los materiales virtuales que pueden suplir a los físicos y que también permiten que los alumnos experimen-ten, creen, analicen casos particulares y conjeturen.

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Vitoria.

Aquí se plantean dos actividades geométricas que quieren ejemplificar lo dicho hasta ahora.

Actividad: Estudio de los mosaicos semirregulares

Para construir los distintos mosaicos hay dos direcciones de Internet en las que se pueden encontrar los programas necesarios:

1. En la National Library of Virtual manipulatives for Interactive Mathematics, cuya dirección es:http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html

En esta dirección aparece la siguiente imagen

donde hay cantidad de applets para los distintos bloques de contenido. Aunque están en inglés no hay grandes dificultades para trabajar con ellos.

Y entrando en geometría 9-12 se elige el applet Tessellations

Con este applet se pueden construir configuraciones geométricas utilizando las formas geométricas que aparecen en la columna izquierda del applet. Son los polígonos regulares: triángulo, cuadrado, hexágono, octógono y dodecágono. Con estas piezas es fácil construir todos los mosaicos semirregulares, con lo que la investigación puede realizarse completa. Permite girar y agrupar la figuras y reproducir una figura o composición ya realizada.

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SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.


Geometría con ayuda virtual

2. La Página de Ángel Martínez Recio : http://www.uco.es/~ma1marea/Indice.html

Se puede encontrar, además de actividades muy interesantes en todos los bloques temáticos de las matemáticas, unos applets muy útiles para trabajar los mosaicos: mosaicos regulares y mosaicos semirregulares.

El programa es muy sencillo y agradable. Permite utilizar los distintos polígonos regulares, desde el triángulo hasta el dodecágono, y hacer giros con ellos, por lo que se pueden obtener de forma sencilla los 8 mosaicos semirregulares. Es una excelente herramienta para favorecer la investigación geométrica. Los alumnos pueden experimentar y por qué no dis-frutar construyendo sus propias configuraciones geométricas.

Mosaicos semirregulares. Actividades para los alumnos

Introducción: mosaicos regulares

Observa los siguientes cubrimientos del plano:

Triángulos equiláteros Cuadrados

Los mosaicos regulares son embaldosados (teselacio-nes) del plano utilizando un único tipo de polígono regular.

Los únicos mosaicos regulares posibles son los tres que aparecen en las figuras.

Los construidos mediante triángulos equiláteros, cua-drados o hexágonos.

¿Sabrías justificar por qué? Hexágonos regulares

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Mosaicos semirregulares

Aquí tienes dos mosaicos semirregulares:

Octógonos y cuadrados Dodecágonos y triángulos

Los mosaicos semirregulares son embaldosados (teselaciones) del plano utilizando dos o más tipos distintos de polígonos regulares, de manera que en todos los vértices la disposición de los polígono sea idéntica.

1. Experimenta con los applets de cualquiera de las dos direcciones siguientes:

a) http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html(Entrando en Geometry 9-12 y eligiendo Tessellations)

b) La Página de Ángel Martínez Recio : http://www.uco.es/~ma1marea/Indice.html(eligiendo Geometría.- Polígonos Regulares. Mosaicos)

Reproduce los dos mosaicos semirregulares de arriba y construye tus propias teselaciones del plano utilizando dos tipos de polígonos regulares distintos.

¿Cuántas has encontrado? ¿Cómo sabremos si hemos encontrado todas las configuraciones posibles que teselan el plano?

2. Preguntas claves:

¿Cuántos polígonos debe haber como mínimo en torno a un vértice?

¿Y cuántos polígonos puede haber como máximo en torno a un vértice?

¿Qué tipos de polígonos son los que pueden encajar alrededor de un vértice?

En los dos ejemplos anteriores podrás comprobar que en un vértice se unen:

Dos ángulos de un octógono y un ángulo Dos ángulos de un dodecágono y un de un cuadrado ángulo de un triángulo

Vayamos paso a paso: En primer lugar necesitaremos conocer cuánto vale el ángulo interior de cada polígono regular:

Completa la tabla siguiente con los valores de dichos ángulos:



Nº Lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ángulo interior

Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos en torno a un vértice debe ser 360º,:

¿Cuál será el nº mínimo de polígonos que debe haber en torno a un vértice?

¿Cuál será el nº máximo de polígonos que debe haber en torno a un vértice?

3. Hagamos una clasificación examinando todas las posibilidades.

A partir de la tabla anterior, conjuga los valores de los distintos ángulos para que sumen 360º

¿Cuántas configuraciones distintas puedes encontrar?:

a) Con 3 polígonos en cada vértice

b) Con 4 polígonos en cada vértice

c) Con 5 polígonos en cada vértice

d) Con 6 polígonos en cada vértice

Comprueba con el applet que efectivamente se pueden construir los mosaicos que has encontrado.

4. ¿Estarán todas? ¿Cómo puedo estar seguro?

Generalización

En el apartado anterior has visto que el número mínimo de polígonos que puede haber en torno a un vértices es 3 y que el número máximo es 6.

También conoces que el ángulo interior de un polígono regular, en función del número de lados del polígono viene dado por la fórmula : 180(n-2) / n

Necesidad del álgebra: Para saber si no me he olvidado ninguno ya no vale el estudio de los casos particulares, necesitamos un método general, que abarque todas las posibilidades, y ese método nos lo proporciona el álgebra.

Caso I: El mosaico tiene 3 polígonos regulares en torno a cada vértice

Si llamamos m, n, p al número de lados de cada polígono regular, deberá verificarse que la suma de los ángulos correspondientes a cada polígono sea 360º:

Se tratará por tanto de resolver la ecuación:

180(m-2)/m + 180(n-2)/n + 180(p-2)/p = 360

Operando y simplificando se tiene:

1/m + 1/n + 1/p = 1⁄2

El profesor decidirá hasta donde quiere continuar profundizando en el tema.

La solución completa se ofrece a continuación.

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Mosaicos semirregulares. Guía de actividades y respuestas a las actividades de los alummnos

1. Introducción: mosaicos regulares

Los ángulos interiores de los polígonos regulares deben ser divisores de 360a, y los únicos que cumplen esta condición son el triángulo equilátero (60º) el cuadrado (90º) y el hexágono regular (120º), por tanto sólo hay 3 mosaicos regulares distintos.

Mosaicos semirregulares

2. Pregunta clave:

Los ángulos interiores de los distintos polígonos regulares son:

Nº Lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ángulo 60 90 108 120 128,5 135 140 144 147,3 150

Puede ser un buen momento para deducir la fórmula general del ángulo interior de un polí-gono regular, en función del número de lados del polígono:

180 (n-2)/n

¿Cuál será el nº mínimo de polígonos que debe haber en torno a un vértice?

Es 3 porque el ángulo interior de cualquier polígono regular es < 180º

¿Cuál será el nº máximo de polígonos que debe haber en torno a un vértice?

6. En ese caso obtendríamos un mosaico regular formado exclusivamente por triángulos equiláteros.

3. Hagamos una clasificación examinando todas las posibilidades

a) Con 3 polígonos en cada vértice:

I. 3 Hexágonos (Mosaico regular).

II. 2 Dodecágono y 1 triángulo.

III. 2 Octógonos y 1 cuadrado.

IV. 1 Dodecágono, 1 hexágono y 1 cuadrado

b) Con 4 polígonos en cada vértice

I. 4 Cuadrados (Mosaico regular).

II. 2 Hexágonos y 2 triángulos.

III. 1 Hexágono, 2 cuadrados y 1 triángulo.

c) Con 5 polígonos en cada vértice

I. 4 Triángulos y 1 Hexágono.

II. 3 Triángulos y 2 cuadrados.

d) Con 6 polígonos en cada vértice.

I. 6 Triángulos (Mosaico regular).



4. ¿Estarán todas? ¿Cómo puedo estar seguro? Generalización

Este apartado puede quedar fuera del alcance de los alumnos. El profesor decidirá hasta dónde quiere continuar la investigación.

• Caso a) El mosaico tiene 3 polígonos regulares en torno a cada vértice.

Si llamamos m, n, p al número de lados de cada polígono regular, deberá verificarse que la suma de los ángulos correspondientes a cada polígono sea 360º:


180(m-2)/m + 180(n-2)/n + 180(p-2)/p = 360


1/m + 1/n + 1/p = 1⁄2

Para resolver este tipo de ecuaciones la tecnología puede venir en nuestra ayuda.

Bien realizando un programa informático o bien utilizando el programa DERIVE podemos obtener las soluciones enteras de esta ecuación de forma rápida.

Aquí, mediante Derive se presenta una forma de resolución, si bien no la más elegante, sí resulta sencilla y fácil de aplicar:

VECTOR(VECTOR(VECTOR(IF(1/m+1/n+1/p=1/2,[m,n,p]),p,3,n),n,3,m),m,3,50)

Esta orden hace que se compruebe si se verifica la igualdad para valores de m entre 3 y 50, para valores de n entre 3 y m y para valores de p entre 3 y n, lo que es suficiente dada la simetría de la ecuación.

Se obtienen 10 soluciones:

m 6 8 10 12 12 15 18 20 24 42

n 6 8 5 6 12 10 9 5 8 7

p 6 4 5 4 3 3 3 4 3 3

La primera solución m = n = p = 6 se corresponde con el mosaico regular formado por hexágonos y no todas las demás producen mosaicos semirregulares, entendiendo por tales, aquellos en los que la distribución de los polígonos regulares alrededor de cualquier vértice del mosaico sea siempre la misma.

En realidad de las 10 soluciones obtenidas sólo 3 dan lugar a mosaicos semirregulares:

m = 8, n = 8, p = 4.

Dos octógonos y 1 cuadrado.

m = 12, n = 6, p = 4.

1 Dodecágono, 1 hexágono y 1 cuadrado.

m = 12, n = 12, p = 3.

2 Dodecágonos y 1 triángulo.

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Con el resto de soluciones es imposible conseguir colocar los polígonos en torno a los vértices.

Observa lo que ocurre, por ejemplo, en el caso m = 10, n = 5, p = 5

• Caso b): El mosaico tiene 4 polígonos regulares en torno a cada vértice.

Llamando m, n, p, q al número de lados de cada polígono regular, deberá verificarse que la suma de los ángulos correspondientes a cada polígono sea 360º:


180(m-2)/m + 180(n-2)/n + 180(p-2)/p + 180(q-2)/q = 360


1/m + 1/n + 1/p +1/q= 1

Utilizando como anteriormente el programa DERIVE:

VECTOR(VECTOR(VECTOR(VECTOR(IF(1/m+1/n+1/p+1/q=1,[m,n,p,q]),q,3,p),p,3,n),n,3,m),m,4,20)

Se obtienen las soluciones:

m 4 6 6 12

n 4 4 6 4

p 4 4 3 3

q 4 3 3 3

La primera m = n = p = q = 4 corresponde al mosaico regular de cuadrados y la última, como podrás comprobar, no origina un mosaico semirregular. Las dos que sí lo hacen son:

m=6, n=4, p=4, q=3.

1 Hexágono, 2 cuadrados, 1 triángulo.

m=6, n=6, p=3, q=3.

2 Hexágonos y 2 triángulos.

• Caso c): El mosaico tiene 5 polígonos regulares en torno a cada vértice.

Llamando m, n, p, q, r al número de lados de cada polígono regular, deberá verificarse que la suma de los ángulos correspondientes a cada polígono sea 360º:




180(m-2)/m + 180(n-2)/n + 180(p-2)/p + 180(q-2)/q + 180(r-2)/r = 360


1/m + 1/n + 1/p +1/q + 1/r = 3/2Y utilizando DERIVE:

VECTOR(VECTOR(VECTOR(VECTOR(VECTOR( IF (1 /m+1/n+1/p+1/q+1/ r=3/2,[m,n,p,q,r]),r,3,q),q,3,p),p,3,n),n,3,m),m,4,10)

Se obtienen 2 soluciones, aunque la primera de ellas da lugar a dos mosaicos semirregu-lares diferentes, porque se pueden construir 2 ordenaciones diferentes de los polígonos en torno a los vértices:

m n p q r

4 4 3 3 3

6 3 3 3 3

m=4, n=4, p=3, q=3, r=3.

2 cuadrados y 3 triángulos.

m=6, n=p=q=r=3.

1 hexágono y 4 triángulos.

• Caso d) El mosaico tiene 6 polígonos regulares en cada vértice.

La única solución es el mosaico regular formado por 6 triángulos equiláteros

2. DANDO EL SALTO AL ESPACIO

Si para el estudio de la geometría en el plano decíamos que los materiales son imprescin-dibles, qué decir de su necesidad para la geometría en 3 dimensiones. La aproximación al estudio de las propiedades geométricas debe comenzarse con la manipulación de los objetos: poliedros regulares, prismas, pirámides, ...

El desarrollo de capacidades como la representación espacial o la visualización en 3 dimen-siones no se trabajan hoy en día en nuestra escuela con la dedicación suficiente. Las razones para ello pueden ser varias:

• las dificultades intrínsecas que entrañan, • la falta de materiales y recursos adecuados, • la escasa formación que en este terreno tenemos muchos de los profesores, • se priman otros contenidos matemáticos,

pero lo cierto es que la Geometría sigue estando bastante relegada en las aulas.

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Actualmente, además de los materiales físicos, disponemos también de las aportaciones de los programas de ordenador, con sus capacidades gráficas que permiten visualizar objetos geométricos en 3 dimensiones, así como sus proyecciones en el plano, que facilitan el que el alumnado pueda establecer las relaciones entre las figuras tridimensionales y sus representa-ciones planas, girar los objetos en el espacio...

Además estas nuevas herramientas nos permiten abordar de una manera más inductiva, inves-tigativa y abierta resultados clásicos como la famosa Fórmula de Euler: C+V= A+2.

El programa Geometric Solids en http://illuminations.nctm.org/ nos permite contar de forma sencilla las caras, aristas y vértices de los poliedros regulares y algún polígono irregular, sen-tando las bases para elaborar una conjetura fundada.

Aquí abordaremos una actividad con la que se pretende desarrollar la visualización espacial y la mejora de la representación tridimensional.

Actividad

Dados los perfiles de frente y lado de unas figuras construir los objetos tridimensionales que coinciden con esos perfiles.

En la página http://illuminations.nctm.org/ en el apartado Activities disponemos del applet llamado Isometric Drawing Tool que permite construir, sobre una trama isométrica, figuras tridimensionales.

Problema

Aquí se presentan los perfiles de frente y de lado de una estructura formada por cubos.

a) Construye una estructura de cubos que responda a estas vistas.

b) ¿Cuál es la menor cantidad de cubos que hay que usar para conseguirlo?

c) ¿Cuál es la mayor cantidad de cubos que se puede usar para conseguirlo?

Los alumnos pueden usar el applet citado anteriormente que presenta la siguiente pantalla:



y en la que sin más que hacer clic en las figuras de la izquierda se pueden arrastrar a la zona central para realizar la construcción. No se trata de describir aquí las distintas herramientas que proporciona el programa, por otro lado bastante intuitivas y de fácil manejo, sino sola-mente mostrar las posibilidades que ofrece para pasar de la figura tridimensional a sus dife-rentes vistas en el plano.

Para construir la figura es conveniente empezar de atrás hacia delante y puede que, como en el caso de la construcción siguiente, algún cubo quede oculto por los demás.

De hecho esta construcción está formada por 6 cubos, uno de los cuales está tapado por los otros.

Para poder observar la figura desde otros puntos de vista se dispone de la opción

que abre una nueva ventana y permite girar la figura.

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Otra opción que nos ofrece el applet es darnos las 3 vistas: de frente, derecha y de arriba

Y por último la opción MatPlan nos presenta el esquema indicando el número de bloques que hay sobre la base

O bien

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Con esta herramienta es sencillo para el alumno experimentar, observar y analizar el paso de la figura de tres dimensiones a sus distintas vistas en el plano y viceversa.

(Puede ocurrir,con figuras más complejas, que al ir construyendo la figura se pierda la referen-cia posicional, pero las vistas nos ayudan a conocer la situación real.)

Volviendo al problema que habíamos planteado, la construcción realizada en las imágenes anteriores responden a la cuestión b).

Respuesta a la cuestión b):

• El número mínimo de cubos que se necesitan para conseguir las vistas del enunciado es 6 y una de sus configuraciones es la construida más arriba. Hay otras 3 más.



Respuesta a la cuestión c):

• El máximo número de cubos que se pueden colocar es 20, según la construcción siguiente:

• Y sus vistas:

BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS

1. En la página web http://illuminations.nctm.org/ hay buen número de applets para tra-bajar diferentes temas (en inglés).

2. http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html (en iglés): dispone de applets clasificados por bloques temáticos.

3. La Página de Ángel Martínez Recio: http://www.uco.es/~ma1marea/Indice.html con applets interesantes tanto para Primaria como para Secundaria.

4. Alsina, C.; Pérez, R. y Ruiz, C., 1989: Simetría Dinámica. Editorial Síntesis.

5. Gardner M.: Nuevos pasatiempos matemáticos. Alianza Editorial.

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