sesión08_edo1.pdf
TRANSCRIPT
SESIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS NUMÉRICAS
Métodos Numéricos para ingeniería
Trayectoria de una partícula
Si la partícula se deja caer desde el instante t=0 desde 4 m de altura sobre el origen de coordenadas, ¿cómo calculamos la trayectoria de la partícula para cualquier instante de tiempo si se conoce la velocidad suponiendo que no hay resistencia del aire?
Responda lo siguiente:
Si tenemos la relación de la velocidad instantánea de una partícula y’(t) dada por la siguiente expresión y’(t) +t2 sent y(t) = sent y sabemos que en el instante t=0 esta a 4 m de altura sobre el origen de coordenadas, ¿cómo calculamos la trayectoria de la partícula para cualquier instante de tiempo?
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los métodos de Runge Kutta de paso simple para resolver las EDO.
Así pues tenemos nuestro primer problema, el cual es:
00 )(
),('
./],[:)(
yxy
yxFy
RbaxyyHallar
Problema
Método de Euler
0 0
1 1 1
es el punto de partida
( , )n n n n
w y
w w hF x w
𝑛 = 1,2,3, . . .
00 )(
),('
yxy
yxFy De la figura:
),( 00101 yxFm
h
yw
),( 0001 yxhFyw
),( 0001
00
wxhFww
yw
5.0)2(
' 22
y
yxyEjemplo Dada la ecuación diferencial
Usa el método de Euler para aproximar tomando
en cada paso del proceso iterativo.
Identificando datos
5.0,2
),(
000
22
ywx
yxyxF
Usando la fórmula de Euler se tiene:
0.706155)5.0,2(1.05.0),()1.2( 0001 FwxhFwwy
0.927710)706155.0,1.2(1.0706155.0),()2.2( 1112 FwxhFwwy
1.166470)927710.0,2.2(1.0927710.0),()3.2( 2223 FwxhFwwy
1.166470)3.2( y
MÉTODO DE JACOBI Método de Taylor de orden 2
0 0
2
1 ( , ) '( , )2!
n n n n n n
w y
hw w hF x y F x y
' x yF F FF Siendo:
00 )(
),('
yxy
yxFy
Método de Heun
1 1 2
1
2 1
1[ ]
2
siendo:
( , )
( , )
n n
n n
n n
w w k k
k hF x y
k hF x h w k
000 )(
),('
yxyw
yxFy
1)2(
32'
y
yxyEjemplo
Dada la ecuación diferencial
Usa el método de Heun (Euler mejorado) para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.
1,2
32),(
000 ywx
yxyxF
22.12
11)1.2(
24.0)2.01,1.2(1.0),(
2.0)1,2(1.0),(211
1002
001
kkwy
FkwhxhFk
FwxhFk
Identificando datos
Usando la fórmula de Heun se tiene:
21012
1kkww
Usando la fórmula de Heun se tiene:
21122
1kkww
1.48412
122.1)2.2(
0.2862)242.022.1,2.2(1.0),(
0.242)22.1,1.2(1.0),(212
1112
111
kkwy
FkwhxhFk
FwxhFk
Usando la fórmula de Heun se tiene:
21232
1kkww
1.79693052
14841.1)3.2(
0.337251)0.288414841.1,3.2(1.0),(
0.28841)4841.1,2.2(1.0),(213
1222
221
kkwy
FkwhxhFk
FwxhFk
1.7969305)3.2( y
Método de Runge Kutta 4
1 1 2 3 4
1
12
23
4 3
1[ 2 2 ]
6
siendo:
( , )
( , )2 2
( , )2 2
( , )
n n
n n
n n
n n
n n
w w k k k k
k hF x w
khk hF x w
khk hF x w
k hF x h w k
n k1 k2 k3 k4 xn wn
0 1 2 3 4 5
0.10000000000 0.08709241844 0.07010968232 0.05025459930 0.02920274213
0.09409030843 0.07897228389 0.06028225696 0.03950447920 0.01846879182
0.09412635922 0.07912974729 0.06061589543 0.04003433044 0.01916374965
0.08708723313 0.07009743344 0.05023303528 0.02917034670 0.00875094800
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.50000000000 0.59392009474 0.67281908045 0.73317558419 0.77292601174 0.79179580726
El proceso debe repetirse hasta obtener w5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
14
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
11/05/2015