sesión nº 11

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO T-10-12-2007 Escuela de Ingeniería Civil

Sesión Nº 11:CALCULO DE INTEGRALES DOBLES POR

INTEGRALES ITERADAS

En el estudio de integrales ordinarias , la función estaba definida en el

intervalo cerrado , ahora estudiaremos integrales de funciones definidas en una

región , a las que llamaremos integrales dobles y se denotan por

.

Interpretación Geométrica de la Derivada:Sea una función integrable en la región cerrada , y

, entonces

representa el volumen del sólido S bajo la

superficie y tiene como base la región cerrada D.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS INTEGRALES DOBLES

- Si es continua en la región cerrada D, entonces es integrable en .

- Si es integrable en y , entonces:

=

- Si las funciones son integrables en :

=

- Si las funciones son integrables en

, entonces:

- Si es integrable en la región cerrada y supongamos que y son

los valores mínimo y máximo absoluto de en , tal que:

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz


,

Entonces:

CALCULO DE INTEGRALES DOBLES POR MEDIO DE INTEGRALES ITERADAS

Consideremos tres casos:

CASO I: Si , es una función continua sobre , donde

, es decir, es un rectángulo, tenemos:

d c a b

(*)

(**)

Observación:(*) y (**) reciben el nombre de Integrales Iteradas

Ejemplos:Calcular:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

CASO II:


D


Si , es una función continua sobre , y sea

una región cerrada, donde

, funciones continuas tal que

a bLuego. La integral iterada de sobre , es:

CASO III:Si , es una función continua sobre , y sea

una región cerrada, donde

, funciones continuas tal que

d

c

Luego. La integral iterada de sobre , es:

Ejemplos:

1.- Calcular , donde está limitado por:

2.- Calcular , donde : está limitado por:




D

D



--

6.- Calcular

7.- Calcular

8.- Calcular

HOJA DE PRÁCTICA 11

I.- Calcular las siguientes integrales iteradas:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-



8.-

9.-

10.-

II Calcular:

1.- , donde está limitado por:

2.- , donde : está limitado por:










sesión nº 11

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