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CLCULO 3

Departamento de Ciencias

Juan Carlos Broncano Torres

Derivada Parcial, Direccional, Plano Tangente

y Gradiente

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Qu direccin debe tomar el esquiador siquiere bajar la montaa rpidamente?

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En 1696el matemticoJohannBernoullianunci a lacomunidad matemtica lasolucin al problema de la

braquistocrona(curva quesigue el descenso ms rpidocuando existe gravedad quees ob!eto de estudio en elclculo de variaciones"#mostrando que la solucin era

una cicloide$ %eibni 'eton#Ja)ob Bernoulli *uillaume del+,-pital# encontraron lasolucin del problemaenunciado por Bernoulli$

s posible ncontrar una direccin de descenso mas rpido sobreuna

super!cie ?

Cur"a #ara"illosa$ %raquistcrona

.n cur"a braquistcrona# o curva del descenso ms rpido# es la curvaentre dos puntos que es recorrida en menor tiempo# por un cuerpo quecomien&a en el punto inicial con velocidad cero# que debe despla&arse a lo

largo de la curva hasta llegar al segundo punto# ba!o accin de una /uer&a degravedadconstante suponiendo que no existe /riccin$

0icloide generada por una circun/erencia$

0omparacin entre una traectoria braquistcrona# otras dostraectorias posibles$

http://es.wikipedia.org/wiki/1696http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/1696

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ogros de la sesin:

l 2nali&ar la sesin# el estudiante resuel"e

problemas vinculados a la gestin e ingenier3a apartir de la derivada parcial direccional usando elclculo de la gradiente# e interpretando su resultadocon las propiedades /3sicas que el tiene$

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&'()*&*+ ,*'C(*L+

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-O.*C(/- & L*+ &'()*&*+ ,*'C(*L+

jemplo

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&'()*&*+ & O'&- +U,'(O'

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,L*-O .*-0-.

4e llamaplano tangentea una super2cie en un punto Pde lamisma# al plano que contiene todas las tangentes a las curvastra&adas sobre la super2cie por el punto P$

U*C(/- &L ,L*-O .*-0-.

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jemplo,allar la ecuacin del plano tangente al paraboloideen el punto

'C.* -O'#*L

4e llama recta normala una super2cie a la recta que pasa por unpunto P es perpendicularal plano tangente$

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L* 0'*&(-.

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,'O,(&*&+ & L* 0'*&(-.

jemplo

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5etermine la ecuacin del plano tangente la recta normalal hiperboloide de dos mantosen el punto

+olucin,aciendo

tenemos que

r tanto# la ecuacin del plano tangente es7or otro lado# la ecuacin de la recta normal es

jemplo

1),,( 222 = yxzzyxF

6

2

1

2

42

22

=

=

=

=

==

==

zz

yy

xx

zF

yF

xF

062 =+ zyx

626

42

21

tz

ty

tx

=

+=

=

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jemplo,allar el o los puntos de la

es/eraen los cuales el plan

tangente es paralelo al plano

+olucin 4ea uno de estos puntos# entonces por estar en las/era

7or otro lado# por ser el plano tangente a la es/era enel puntoparalelos# sus vectores normales son paralelos# es decir: el plano

Entonces se obtiene el siguiente sistema deecuaciones5e donde obtenemos que los puntos que buscamosson

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jemplo8En qu punto de la super2cie la recta normal es paralela al vecto

:

+olucin4ea el punto que buscamos$ 4i la recta normal es

lela al vectorentonces su vector director tambin es paralelo a ;con lo cual, si:

entonces

Evaluando en esta sobre la super2cie# por lo que satis/ace suecuacin

;btenemos el siguiente sistema

< as3# el punto buscado es

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&'()*&* &('CC(O-*L

%a deri"ada direccionalde 1en la direccin dada por el vectorunitario u

est dada por

si el l3mite existe$

s

y)f(x,-)suy,sux(flimy)f(x, 21

0s

++=

u

D

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.eorema$4i / tiene sus primeras derivadasparciales continuas entonces tiene derivada

direccional en la direccin de cualquier vectorunitario u se cumple

2y1x uy)(x,fuy)(x,fy)f(x, +=

u

D

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2 C/&(0

O *U.O' ..ULO

&(.O'(*L

1=1=$>>7.?0

7.?0E%%#E5@A' J$

0lculo5i/erencial E

Antegral

7earsonEducacin

4 =1=4E@CDFF

4E@?# JDE4

0lculoDultivariable

0uarta

edicin#Dexico FF1#Edit$

homson

3

=1=

,;GGC0FF6

,;GGD''#

%.?E'0E5$

0lculo plicado7ara

dministracin#Econom3a