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SERIES 3 SERIE: Es una expresión matemática en la que sus terminas van escritos sucesivamente

los mismos que se forman a través de Reglas Válidas matemáticamente. Todos /os términos de una Serie dependen de una conslante llamada razón que podrá determinarse por diferencia, por cociente o por cualquier ley que se desee establecer, los procedimienlos aqu; ha utilizarse no son únicos. hay muchas formas de establecer relaciones sencilfas entre las operaciones matemáticas.

crasificación de las Señes:

1} De Acuerdo a la razoo de sus términos 2} De Acuerdo a su fórmula de recurrencia.

1. De Af;uerdo a la Razón de sus términos.- pueden ser:

A) series ArHméticas.- Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por diferencia.

Ejemplo 1:

Ejemplo2:

Razón

Razón

Cuando la razón es constante, la serie recibe el nombre de ProgresiónAritmética.

B) series Geométñcas.- Cuando la Razón entre sus ténninos consecutivos se haUa por cociente.

Ejemplo 1:

Ejemplo2:

Ejemplo3:

3 • 6 . 18 . 72 . 360 • ~~~~ .

><2 x3 x4 x5 4> Razón

~~\,,;'.A,; .. 64 x-t . 1 ~ ,.;16

-... "'-""'-" )(4 )(4 _

(Cuando la razónesconstante, la serie, recibe el nombre de Progresión Geométrica)

Q Razón

Q Razón

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Observación 1: Hay ca.sos en que se plantean ejercicios combinando las dos claseB anteriores.

Ejemplo: 1 . 3 . 12 . 60 . 360 .... ~~~~ 'W~~,6 L;> Razón Geométrica

-1-1 -1-1 +1 c;> Razón Aritmética

Observación 2: Se pueden plantear series literales en [unción del ol{abetocastellano.

Ejemplo t: Que lelra sigue en: A ; E ; I ;M •...

Resolución: Para resolver esta dase de ejercicios también se busca una razón de distancia. entre letra y letra. siempre encontrará Ud. una relación de simetría. así como J nuestro caso observece y convenzase.

® : .B : e: D. : © : .F : G : H.: <D. .J : K : L ·@· N· Ñ; o.; ®, ... , , i . . . , luego: sin temor a errar podemos decir que nuestra razón de distancia es tres letras.

.. Ila letra que sigue en la serie: A; E; 1; M; ... es la P. I Ejemplo 2: Que letra sigue en: B : D · G· K; ...

Resolucl6n: Si recurrimos al abecedario:

@;e;@ ; E; F ;.@:,H ; 1; J ·0· L; M; N : Ñ,;@; ... _ ' , , I • , , 11 Lelra 1 12 Lelras 1 13 Lelrasl I 4Lelras I

11 lla letra que sigue en la serie: A; E: 1; M; ... es la o. I ..

Nota: Estir7UUJo.a1umno rwvayttsapensarque estas Siln las únicas relaciones que pueden establecerse entre letras, hay muchísimas más le recomiendo que al resolver estos ejercicios, escriba en sus hojas de práctica el abecedario y le facilitará la resolución.

-Recomendaciones: Si en la serie no se encuentra la letra CH. es porQUe no se va a considerar la letra Llo viceversa; pero si en la serie se encuentra la letra CH, es porque se va a considerar la lL o viceversa.

Ejemplo: ¿Qué lelfa s1gue en la serie? A ; B; eH; F : J ; ...

Resolución: Reemplazando cada letra por A=l; F=7: L=13: P=19: V=25:

sU número correspondiente se tiene: B=2; G=8; ll= t4; Q=2O; W=26;

1 . 2 . 4 . 7 . 11 . 15 C=3; H=9: M=15; R=21; X=27; ~~~~~ CH=4; 1= 10; N=l6; 5-22. y=za: .2 .2 +3 +3 +4

D=5; J=l1: Ñ=17; T=23; Z =29; Ile conesponde la letra M E=6; K=12; 0=18: U=24;

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2. De acuerdo a su fórmula de recurrencia:

1. Señes Polinómicas: Que a su vez pueden ser:

al Series Lineales: Aquellas que son de la forma:

1 .n = ,.n.., I Q rl S-o-=-(-a,¡- a,,-=-,-.n-+-a-,;-n-e-IN-I'I

Lectura:

{

an = Término a encontrarse 8

0" Término anterior al primero

r = razón n = cantidad de ténninos o lugar del término pedido_

Para encon1rar ao' se usa la fórmula:

1·0=3-'1

Ejemplo 1:

; siendo: a = primertérmino

il a" = 2n + 3 Q So = (5; 7; 9; 11 ; 13 ; ....... )

y (n = 1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; ..... H ii) ao=3"-1 Q 8

0=(2 ; 5 ; 8 ; 11;14; ... ___ _ 1

Y (n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; m.) I Ejemplo 2_- Encontrar el término que ocupa erlugar 120 en la serie:

2;5 ; 8;11;_ ..... .

Re5Dlución

- En primer lugar, calculamos la razón:

1,-5-2-8-5-11-8 3

2 - 5 '8- 11

I~~ - En segundo lugar; hallamos el término anterior al primero (aJ

a(l = a-r c:> ao=2-3=-1

Luego. si aplicamos la fórmula: I ~ ron + aol. a cada término de la serie.

comprobamos que cumple con estos valores observe:

3,=3.1+(-1)=2 .. = 3_2.+ (-1) = 5 ..,=3_3+(-1)=8 3.=3.4+(-1)=1 1

I (lu~resl I

a120 = 359. es el término que ocupa el lugar 120_

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b) SeriesCuadraticos: Aquellos que son de la forma:

I .. = An' + Sn + C I Q IrS-n-; -{aj- an- =- A- n2-:-+-s-n-+-C-;-n-e-N' ) I

Ejempros:

i~

ii)

.. = 3n' + 2n + 1 Q Sn; (6; 17; 34; 57; ... )

Y (n -1,2,3,4, ... ) 1

.n=2n2-3n+4 Q Sn=(3;6; 13;24; ... )

"4]n-1,2,3,4, ... 11

11. Series Potenciales: aquellos cp..!e son de la forma:

') B Q I Sn; {1; 2';3"; 4'; ....................................... .......... 1. "1 1 .. = Kan 1 Q I Sn;{Ka; Ka2;Ka' ............ ..................................... ) 1

111. Series Exponenciales: aquellos que son de la forma:

") rx?l ") I .. - Kanl

Q I Sn_(.,; a2;a3, ................ ...... .. . ........ ............. ...... .. 11 Q ISn-{Ka;Ka'; Ka', ...... · .. · .......... · ........ · .... · .... .... · ... · ~1

IV. Series Logarítmicas: aquellos que son de La forma:

I an = Klogn I Q I Sn = (Klog1 + Klog2 + Klog3 + ...................... 11 V. Series Trascendentes: aquellos que son de la forma:

') 1 .. =Senn" c;> I Sn = {Sen1 ° + Sen2° + Sen3° +h ...... hh ........ } I ") 1 .. =Cos n' I Q I Sn;(Cos1"+ Cos2"+Cos3'+ ................... 11

C. Series No Lineafes: Son aquellas enque la razón no es constante. para resolverestos eiercici05 se tiene que encontrar primero una Ley de Formación o Fórmula de Recurrencia que cumpla por lo menoseon los dos primeros términos de la serie, luego los términos restantes estarán en función de una constante "K" y el número de términos "n". Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo': Qué número sigue en la serie: 1; 3; 5; 43; ...

Resolución:

Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 1,3

A eslos 2 primeros términos, podemos considerarlos como una Serie Lineal , romo se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: la., = 2n -1 ·1

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Ahora comprobemos si todos los términos, de fa serie cumplen con dicha fórmula, veamos;

• Como se podrá observar eltercertélTT'lino, debió de habemos salid043, y no®

',=2(1)-1=1 I a, = 2 (2) - 1 = 3

a, = 2 (3) - 1 = 5 " =2 (4) -1 =® '-----------'

Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le v¡lmos ¡I agregar un télTT'lino que sea igual a cero (se anule) para los términos primeros de la serie, es decir, para: 1, 3y 5. Este será de la forma: K (n - 1) (n- 2) (n - 3), preguntémonos ¿Por<pJé?

Porque si: n = 1; n = 2; n = 3; este se anula. y sí funcionará cuando n = 4; n .. 5 ... .

Luego la ley de Formación será: I Bn" (2n - 1) + K (n - 1) (n - 2) (n - 3) I Ahora si encontramos el valor de "K"; sabiendo que: 84 = 43. tendremos que:

'. = (2 (4) -1) + K (4- 1)(4 -2)(4- 3)

43 = 7 + K (3)(2)(1) 36=K(6)

1 K=61

Volvamos a comprobar con la Ley do Formaci6n: '.= (2n -1)+ K(n-l) (n - 2) (n - 3) que el término del lugar 4 es 43. veamos:

•• = (2 x 4 - 1).6 (4- 1)(4-2)(4- 3)

" = 7.6 (3)(2)(1) Q '1 .-,-=-43'1

Ahora bien, como en el ejercicio nos piden el quinto término. se tendrá:

a. = (2n -1) + K (n -1)(n- 2)(n - 3)

a, =(2 x 5-1) + 6 (5 - 1) (5 -2)(5 - 3)

., = 9 + 6 (4)(3) (2) Q '1 .-, =- 1-53' 1

I El término que sigue en la serie es: 2971 Apta.

Recomendación: Estimado alumno. tu puedes proceder de igual forma cuando te pidan, términos que ocupen lugares mucho más altos, como por decir, Hallar el término de lugar 130.

En la fónnula de RecUlTenda: I al"l = (2n - 1) + K (n • 1) (o - 2) (n - 3) I -O

Calculamos: a, ,,, = (2 x 130 - 1) • 6 (130 - 1 )(130 - 2)(130 - 3)

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a'30 = (259) + 6(129) (128) (127)

.. I a'30 = 12582 4031 (término de lugar 130)

Ahora preguntémonos: ¿ K(n -1) (n - 2) (n- 3) puede cambiar?

Por supuesto que si, esto dependerá de lo sene que nos planteen.

Ejemplo 2: Qué número sigue en la siguiente serie: 2; 4; 6; 8; 10; 252; .. .

Resolución:

Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 2; 4.

A estos 2 primeros términos, podemos considerartos como una serie, lineal, como se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: ~ ~

Ahora comprobemos si todos los términos. de la serie cumplen con dicha fórmula, veamos:

0,=2(1)=2 a" = 2 (2)=4 0,=2(3)=6 •• =2(4)=6 •• =2(5)= 10 .. =2(6)=@)

Como se podrá observar el 'quinto término,debi6dehabemossalido252, yno@

• Como hemos afirmado anleriormente. a la fórmula que cumple con los primeros términos le vamos agregar un término que sea igual a Cero (se anule) para lostérmi"os primeros de la serie, es decir, para: 2; 4; 6; 8; 10, ... Este será de la forma: K (n -1) (n-2) (n - 3) (n - 4) (n - 5), preguntemos ¿porqué?

Porque Si: n = 1: n = 2: " = 3: " = 4; n = 5; este se anuta y sí funcionará cuando: " = 6;n=7; ..•

luego; la l ey de Formación será: 1 .. = 2n + K (n -1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 5) 1 Ahora si encontraremos el valor de '1<", sabiendo que: ~ = 252, tendremos que:

.. =2(6) + K (6-1) (6 - 2) (6- 3) (6 - 4) (6 -5) U

252= 12 + K (5) (4)(3)(2) ( t) Q

Volvamos a comprobar con la l ey de Formación:

a,,~ K (n -1) (n -2) (n - 3) (n -4)(n - 5):

que el término de lugar 6 (aJ es 252, veamos:

.. = :1 (6) + 2 (6 -1) (6 - 2) (6 - 3) (6 - 4) (6 - 5)

.. = 12 + 2 (5}(4) (3}(2)(1) Q .. Ir.'-. =-2-5"C12 1

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Ahora bien. como en el ejercicio nos piden el sétimo término (~). se tendrá:

8,,~ + K (o - 1) (o -2)(0 - 3) (o -4) (o - 5) U U '" = 2 (7) + 2 (7 - 1) (7 - 2)(7 - 3) (7 - 4) (7 - 5,..:-) __ ---,

a,= 14+2 (6)(5)(4)(3)(2) c::> .. I a,= 1454 1

I El término que sigue en la serie es: 1 4541

Ejemplo 3: Hallar el ténnino 80 de la serie: 4; 7; 16; :31; 52; ...

Resolución:

Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 4; 7.

Rpta.

A estos 2 primeros ténninos, podemos considerarlos como una serie lineal, como se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: I an::::~ ! Ahora comprobemos; si todos los ténninos, de la serie cumplen con dicha fórmula; veamos:

a,=3(1)+1=41 • ,=3(2)+1 =7

a,= 3(3)+ 1 =@

Como se podrá observar ellercerté~no • debiéJ. de habernos salido 16 y no~

Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le vamos a agregar un término que sea igual a cero (se anule). para los términos primeros de la serie, esdedr, para4;7y este será de la1orma: K (n -1) (n - 2); preguntémonos ¿Porqué?

Porque si: n:::: 1; n:::: 2; este se anula; y si funcionará cuando n = 3; n = 4; ...

Luego la Ley de Formacióo será: I 0n =!(3ñ"+"ij+ K (o - 1) (o - 2) I Ahora si encontramos el valor de -K"; sabiendo que: iI:3 = 16; tendremos que:

a, = (3(3) + 1) + K(3 - 1)(3 - 2) U 16 = 1O+K(2)(1) c::> :. IK=3 1

Como ya determinamos el valor de ",,", la fórmula de recurrencia será:

18,, =(30 + 1)+3(0-1)(0-2) IYPodemOSCOmprobo~a:

Si:"=1 c::> 0,=(3(1)+1)+3(1-1)(1-2)=4

Si: 0=2 c::> a,= (3 (2) + 1) +3(2 -1) (2 - 2) =7

Si: o = 3 c::> a, =(3 (3) + 1) + 3 (3-1) (3 - 2) = 16

Si: o ~4 c::> a.= (3 (4) + 1) + 3(4-1)(4 - 2) =31

Si: 0= 5 c::> Os= (3 (5) + 1) + 3 (5-1) (5 - 2) = 52

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Como. puede ver. cumple con todos los valores de la serie dada; por lo tanto para:

I n=80 I Q aoo = (3(80) + 1) + 3 (80 -1)(80 -2) = h8 7-271

El ténnino de fugar 80 eS: 187271

Series Potenciales:

Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie. 1; 4; 9; 16: 25; 36; ..•

Resolución: Cada uno de los lérminos se pueden escribir así:

12; 22; 32; 42; 52; 62; ...

Luego, el número que sigue es: 1 7" = 491 Rpla_

Ejemplo 2: Hallar el nlimero que sigue en la serie: 2: 8: 18: 32: 50: 72; ...

Resoluaón: Cada uno de los términos se pueden escribir así:

2 x 12. 2 x 22. 2x 32. 2 x 42. 2 x 52' 2 x 62 • ............. ~'~~~~

Luego. el número que sigue es: 12 x 7'2 = 981 Rpta.

Ejemplo 3: Hallar el número que sigue en la serie: 2; 11: 26; 47; ...

Resolución: Cada uno de Jos términos se pueden escrlJir así:

~;,3)(4.1;,3)(?-1: .3)( 16-1,: •..

. 3 x 12 . 1:.3)( 22 - t:.3)(;32 -1;,3)( 42 - t; ... •

luego. el número que sigue es: I 3)( fI- - 1 ;; 74 I Rpta.

Ejempl04: Hallar el número Que sigue en la serie: 2: 8: 26; 80; ...

Resolución: Cada uno de los términos se pueden escribir así:

3-1; 9-1; 27-1 ; 81-1;_ .. """T-' ~ ~ ~

.3':';~;~;~; ...

Luego, el número que sigue es: 1 3" -1 = 2421 Rpla_

Series Exponenciales:

Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie: 3; 9; 27; 81; ...

Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asf:

3' ; 32; 33; 34: ...

Rpta.

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Luego. el número que stgue es: 135 = 243 I Rpta.

Ejemplo 2: Hallar el término que sigue en la serie: 4; 8; 16; 32: 64; , ..

Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asi:

22; 23; 24; 25; ~; ."

Luego. el número que sigue es: j27 = 1261 Rpta.

Nota: Estas srriesexponern:iales se resuelven como progresionesgenmétricassi la base es constante.

I EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1: Qué número sigue en la siguiente serie: 4: 10; 16; ...

A) 20 8)26 C)28 D) 24 E) 32

Resolución: La Ley de Formación eS: t n (o +3) 1; donde: n = {l, 2, 3, 4,m}

Luego, reemplazamos los valores de "n~ hasta llegar al número que se nos pida. veamos;

10 18 ?

14 (4 +3) r Esiguala28 1212:3)1 13(;;3) 1 T

. . I El número que sigue es: 28 , Rpta. e ~----~~~~~----~

Otra forma: 4 ; 10 ; 18 ; .y. ; .... ~ "-" <>-" ~

18 + x = y

.. 6 +8 +x ....... "'-" .. 2 .2

8+2=)(

I 10~x I

Ejercicio2:0ué número sigIla en la siguiente sene: 2; 10; 24; 44; ...

A) 60 B) 70 C) 72 D) 75

.!;=) 18+10=y

•. 128~YI

E) 80

Resolución: La ley de F:irmación es: (3n - l)n , donde: n = {l. 2.3. 4, ... }

luego, reemplazamos los valores de "n" hasta llegar al número que se nos pida. veamos:

2 T

1 (3(1)- 1).1 1

24 ::r:

[ (3 (3) • 1). 31 ?

T . I 1 (3 (5)· 1 ).5 f-- e~ '%"

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r-______________ ~ .. ~:E:I:n:ú:m:e:r:o:q:u:e:s:ig:u:e:e:s:;:70::1~ ______________ ~RPta.B Otra forma:

44+x=y ~ 44+26~y

:. FO~Y I

Ejercicio 3: ¿Cuál de los números debe ser reemplazado por 225 en la serie:

126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324

A) 258 B)159 C)192 D)23O E) 291

Resolución:

Como se podrá observar. la diferencia por cada dos términos consecutivos es 33: pero hay dos grupos en que la diferencia es 38 y 28. eslo indica que el término 230, debe ser reemplazado por 225.

Verificación:

126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324 ~~~~~~ +33 +33 +38 +28 +33 +33

126 ; 159 ; 192 ; 225 ; 258 ; 291 ; 324 ~~~~~~ +33 +33 +33 +33 +33 +33

El número 225 debe ser reemplazado por 230 para que se obtenga la razón igual a 33.

Ejercicio 4: La siguiente serie esta bien escrita desde el2 sucesivamente hasta el número 13, después de este hay un ténnino mal escrito, ¿Cuál es?

2 ; 6 ; 10 ; 15 ; 13 ; 78 ; n ; 82 ; 86 ; 90

A) 77 6)78 C)82 D) 13 E)e6

Resolución:

Al sumar los términos extremos nos debe dar un mismo número (constante) veamos:

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2

6;rr~J];86 90

1>92

I:~92

Comosepodráobservarelerrorestaen lasumade: 13+ 78=91, quedebeser92.estoquiere decir que en lugar de 78 debe ir 79, Osea: 13 + 79 = 92.

, . I Ellérmino m~1 escrito es el 78. pues debe ser 791 Otra forma:

2 . 6 . 10 . 15 . 13 ' ~~~~'

-14 -14 +5 @

78 . 77 . 82' 86' 90 ~~~~ 8) +5 +4 +4

Rpt •. B

Se verifica que las razones en el primer grupo de 5términosson: 4. 4. Sy -2, yen el segundo grupo de 5 términos se puede observar el error ya que las razones son: 4, 4, 5 Y -1 . pues en lugar de -1 debe ser -2 , esto quiere dedrque en lugar del número 78 debe irel número 79,

EjercicioS: ¿Oué térrninQfalta en la serie?

2 6 14 16 22 26 6 5 5 5 5 5 5

A) 1 8)3 C)2 0)4 E)6

Resolución: Es fácil darse cuenta que la razón para los numeradores es 4; veamos: ~ ~ ~ ~ ri ~ ~~~~

2 6 14 18 22 26 5:5:-:5;S;5 ; s:6 ~

-14 +40 ... +4 +4 +4 +40

2~' .r:"1WI ~ 4 -<?» 16 -<?» 22 =--26-<?»(3liJ

5" ' 5" 'lID' '5 ' '5 ' 5 ' '5 'I]J

El número que falta en la serie es: 10 Ó 2 5

Rpt •. C

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Otra forma:

Si buscamos la ley de fonnación para el ejercicio, se tendrá

12+(n~1~ X 41 ; Dond.:n~(1.2.3.4 •. __ )

Luego:

2+(1 1)x4.2+(2 - 1~ x 4 .2+(3 - 1) x 4 _2+(4 -- 1) x 4 _2. (5--1~ x 4 .

11 1'11, ; , .:, . t;tS igual a 2.

Ejercido 6: En la sigu~nle serie que número sigue:

Al 2~ 15

Resolución:

2~ - 2~ . 2 6 . 2~ 3' 6' 9' 12

Bl 215 10

D)2!.Q. 20

El 2~ 20

En primer lugar transformamos los números mixtos a fracciones; asf:

Otra forma:

a 3

16 6

24 9

4 x-4

5 x-

5

32 12

.. El número que sigue en la serie es: 2~~ I Apla.C

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Ejercicio 7: ¿CUál es el número que sigue en la serie:

18 ; 21 12 ; 24 ; 27 ; 72 ; 30 ; 33

A) 36 B) 39 C) 41 0)33

Resoluci6n: ..

El número que sigue en la serie es: 331 Ejercic;o S: ¿Cuál es el número que completa correctamente la serie?

12 ; 15 ; 21 ; 33 ... . .. ; 105

A) 52 B)57 C)60 0)72

E) 52

Rpta. D

E)83

Resolución: Si hallamos la diferencia porcada dos términos consecutivos. obselVamos Que la razón Se va duplicando; veamos:

15-12~3 )Xl 21-15~6 ~

33 _ 21 ~ 12..J1 ><2

x-33~24

105-x~48

Q Q

x ~ 24 + 33~ 57

105-57~48

Q .. C07l

El númérO Que completa cOrrectamente la serie es el 57.

Ejercicio 9: Hallar el término 40 en la siguiente serie: 8 : 13 : 18 : 23 :

A) 200 B) 197 C)203 O) 183 E) 82

Resolución:

Rpta. B

Hallamos la Ley de formación para los 4 primeros términos: 8 ; 15 ; 18 ; 23 : ... ~~

Aplicando la lónnula: I a" ~ '. + (n . 1) x r

II a,,~8+(n-l)x5

L- r=5

{

~ ;¡¡ primer término r = razón é\, = término de lugar "n"

.. I a" ~ 8 + 5 (n - 1 )1 (Ley de Formación)

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luego: Si: n= 1 => a,;8+5(1-1);8 Si: n=2 => ..,;8+5(2-1);13 Si:n=3 => 0.,;8+5(3-1);18 Si:n=4 => a,; 8+ 5 (4 - 1) =23

Si: n = 40 => 8 40 = 8+ 5 (40- 1) =203

. . 1 El término 40 en la serie es el número 203 I Apla.C

E;ercicio 10: Hallar el término que sigue en la siguiente serie : 5 ; B ; 21 ; 44 ; 77 ; ...

A) 110 8)130 C) 120 D)14O E) 160

Resolución:

5 ; 8 ; 21 : 44 : 77 ; Y Q V=77+x Q "=" "=" "=" "=" ~ .... ~ +13 +23 +33 H ,.-...

"=' "=' "=" "=" ...-. 10 . 10 ... 10 -1-1 0

o". I Ellermino que sigue en la serie es: 120. Rpta.C

Ejercicio 11: La fónnula Que expresa la relación existenle enlre "x~ é 'Y' según los valores de la siguienle labia e s :

A)y=2x-3 8) y= 2><" - 3 C)y=2><"-1 D)y=3x'-1 E)y=3x' - 2x+l

Resoluci6n:

Para este tipo de ejercicios es recomendable trabajar con las altemativas de la manera siguiente:

A>!V=2X-31 Cuando:x=1 => Cuando: x = 2 :::::}

y; 2 (1) - 3 = -1 (si cumple) y = 2 (2) - 3 = 1 (no cumple); porque de acuerdo a

latablacuandox=2; y=5.

cuando: x = 1 cuando: x=2 cuando: x= 3 cuando: x=4 cuando: x = 5 cuando: x=6

=> y;2(1)'-3=-1 => y=2(2)'-3=5 => y=2(3)' -3= 15 => Y = 2 (4)' - 3=29 => y=2(S)2-3=47 => y=2(6)' - 3;69

Como los valores hallados, astan en la tabla esto quiere decir que la res~ puesta correcta es la B.

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• Como ya tenemos la respuesta, no es necesario continuar trabajando con las otras altenativas.

,--------------------------. La fórmula que expresa la relación existente entre ~)(~ é 'Y según los valores de la tabla es: y ... 2x2 - 3. Rpta. B

Ejerc;c;o 12: ¿Cual es elténnino que sigue en la siguienle serie: 5; 9; 13; 29; •.•

A)47 8)56 C)68 D)71 E)73

Resolución:

Se lrata de una serie no lineal observe que los tres primeros ténninos estan regidos por la misma ley de formación; veamos:

5 ; 9 ; 13 ; ...

"'C:" Aplicamos la f6rmula:rl~-=-a-o-+--'(n---1 )""-'r I

a" = 5 + (n - 1) 4 t:;> I an = 5 + 4 (n - 1) I (ley de Fonnación)

COmprobemos si todos los términos de la serie cumplen con dicha fórmula:

Si: n = 1 => a, = 5 + 4 (1 - 1) = 5

Si: 0 =2 => a, = 5 + 4 (2 -1) = 9

Si:n=3 => ., = 5 + 4 (3 - 1) = 13 Si:n .. 4 => ',: 5 + 4 (4 - 1) =1m (No cumplo)

EI17 no cumple con la serie, porque el término de lugarcuar10 es 29, ¿Crees que está mal propuesto el ejercicio?, daro no agregamos un lénninoque anule a los tres primeros términos de dicha serie; esle debe ser de la forma: K (n - 1) (n - 2) (n - 3)

Luego. la ley de rormación Quedará asi;

'1 a,,~{C5=+=4=(n=-=1~)}~K~(~n--~I)~(n--~2)~(-n-~3~)

Ahora, hallamos el valor de ~K"':

a, = 5 + 4 (4 • 1) + K (4 - 1) (4 - 2) (4 - 3) Il 29 = 5 + 12 + K (3)(2)(1) Q :. I K = 21

Como ya deteffilinamos el valor de "t{".1a fórmula de recurrencia seré:

I a, = [5 + 4 (n - 1) + 2 (n - 1) (n • 2) (n -3), I y podemos comprobarla:

Si : n~1 Q a,~(5+4(1-1)J+2(1-1)(1-2)(1-3)=5

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Si: n=2

Si: n =3

Si: n =4

Si: n = 5

=>

=>

=>

=>

a,= [5 + 4 (2 - I)J + 2 (2 - 1) (2 -2)(2- 3) = 9

a, = [5 + 4 (3- I)J + 2 (3-1) (3- 2) (3 - 3) = 13

a, = (5 +4 (4- 1)] +2 (4-1) (4 -2) (4 - 3) = 29

as = (5 + 4 (5 - 1)] + 2 (5 - 1) (5 - 2) (S - 3) = 71

.. I El término que sigue en la serie es: 71 I Rpta.D

I EJERCICIOS PROPUESTOS I Ejercicio 1: ¿ Qué número sigue en la serie?

9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; .. .

A)35 B)24 C)46 O) 44 E) 39

Ejercicio2:EI término siguiente en laseriees:

11 ; 14 : 18 : 23 : 29 ; ..

A) 32 B) 44 e) 36 0)41 E)35

Ejercicio 3: ¿Oué número sigue en la señe:

-15 ; -9 ; -1 ; 9 ;

A) 18 B) 15 e)12 0)21 E)23

Ejerciclo4: ¿Qué número completa correctamenle la serie?

; 9 ; 20 : 34 ; 51 : ...... ; 94

A) 60 6)71 e) 63 O) 72 El 78

Ejercicio 5: ¿Qué número stgue en la serie:

1.32; \.37 : 1,44 ; \,53 ; 1,64 ; ...

A) \,65 O) 1,76

8) 1,69 E) 1,81

C) \ ,77

Ejercicio6: Eltérmino siguienleen la seriees:

3·.!2. · 8 · 21 · 13· , 2' • 2' •

A) 17 6) 29 C) 16 2

O)~ 2

E)33 2

Ejercicio 7: El términosiguienteen la serie es:

0.03 ; 0.08 : 0,15 ; 0.24 ; ...

A) 0.28 O) 0,43

8)0.35 E) 0,53

C)O,36

Ejercicio 8: ¿Qué número sigue en la serie:

5,.,!,!.~ . .§l.. 7'21'7'7' "''

A) 36 6) ~ C) 35 D) .!5. E) 38 7 7 21 7 2\

Ejercicio 9: Eltérminosiguienteen la serie es:

-45 ; -32 ; -17 ; O : 19 ; .. .

A) 23 8)42 C)40 0)27 E)31

Ejercic;o 10: ¿Qué número sigue en la serie?

o ; 0,3 ; 0.65 ; \.05 ; 1,5 ; ...

A)200 8)20 C)2 D) 2,4 E) 1.8

Ejercicio 11: El ténnino siguiente en la serie es:

13 ; 14 ; 17 ; 17 ; 21 ; 20 ; 25 , ...

A) 29 8)23 C)24 0)31 E) 25

Ejerclc;o 12: ¿Qué número complela corree· tamente la serie?

9 ; \3 ; 25 ; .... ; 169

A) 52 8)61 C)63 0)67 E) 59

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Ejercicio 13: En la siguiente serie:

-3 ; 4 ; -1 ; 7 ; 3 ; 12 ; x 9 , Hallar: le: + Y

A) 24 B) 26 e) 28 D)31 E) 35

Ejercicio 14: ¿Qué número completa correc· tamente la serie?

4 2 32 - 5 ;5;2; .... .

S

A)6 B)4 e)7 D) ~ 5

E) 13 5

Eiercicio 15: En la serie: 2 ; 7 ; 15; 26; 40 : el cuarto léonino después del 40 es:

A) 116 D)158 ,

B)126 E) 186

C) 162


J. 81 ; 27 ; 9 ; 3 ; 1 , 3 ' ..... .

A) 1 B) 1127 C) 1/9 D) 1/81 E) 1/3

Ejercicio 17: El tr'Jrmino siguiente en la serie

es: O·~2." ' O 2 1:1 : 2:8:64: ...

A) 128 D) 1 240

8 ) 192 E) 1 204

Q) 1 024

Ejercicio 18: ¿Qué numero sigue en la serie:

1 ; 20:200: ...

A) 40 B) 80 C) 1 000

D)loo E)4~ () . beO' C OO O 0..0 . f ~

Ejercicio 19: En la siguiente serie: 'Á "l';'

128 : 3 : 32 : 15 : 8 : 75 : x : V Hallar. 'y - )('

A) 371 D) 372

B)373 E) 733

C)471

Ejercicio 20: El término siguiente en la serie es:

0,04: 0,12 : 0,36 ; 1,08 : ...

A) 4,32 B) 2,34 cf 3,24 D) 2,43 E) 3.42 .1 ' q '. ~

~/. r ~¡.. ............ ".. .

Ejercicio 21: En la serie: 120;120 ; 60; 20 ; el terCér término después de 60, es: -,.....

A) 5 BJ'1 C) 2 D) 3 E) 6\


·10 . 4 . -4 ' 20 . 2 . 100 . 8 . S 0-0

A)400' i¡l)~~D~'S~;28 Ejercicio 23: ¿Qué numerO sigue en la serie?

A) 48

24 : 8 : 8 : 24 : ... A

~ ~'~ 8) 72 C) 98' .3 D) 120

'3. ,~ ~ E)216

Ejercicio 24: ¿ Qué número completa corree-tamen1e la serie? I 5> .... 9

".--'-S .~ 7 ; 8 ; 14 - 16 ; 20 ; 24 ; 2S ; __ o ; 29 ~ .... ~ ......... -

A) 28 B)29 C) 30 DJ31 E) 32

Ejercicio 26: ¿Qué número sigue en ra serie? .~ ,

1;3; 3:6: 12: 12: ... ~ ~

.. 3. ........ 111 (.

A) 24 B) 36 e) 60 D) 72 E)144

Ejercicio 27: ¿Qué número faltan en la serie?

.. . ; 18 : 29 : 45 ; 68 : .. ,

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:

A) 12y81 0)9y72

8)8y64 e)6yl00 E) 10y 100


9 ; 15 : 23 ; 34 ; 49 ; ...

A) 61 8)59 /, 69 0)73 E)84

EjercIcio 29: El ténnino siguiente en la serie es:

A) 438 0)834

r-v-.r- ..r-. --..... y ~ 12; 96; 384; 768; 768; ... 3J-,

¡;1348 E) 384

e) 483

Ejercicio30: EI término siguiente en la serie es:

A) 7/8

1

3

B)617

1 . 3 5. " ; ¡ '5 ; "6 ' ': ... .

e) 518 PI 1 E)2

Ejercicio 31: ¿Qué letra sigue en la serie:

:1. A ; B ; O;G ; K ; ... O , 1 <; 9 -'1 ¡;¡

A)L B)M '" C)N 0)0 EjP "" 2.)< :(. (:>"5);1 tg . ~)· '

Ejercicio 32: ¿Qué letra sigue en la serie?

A; G;G;M; ... (11 )

A)Ñ B)O 1.. :¡~,S .:;

C) T O)W EjZ


W; U; A; Ñ: .. {, , ) , AjK slJ e)L O) 1 E) H


A: B: B: e: O; F; G: ...

A)H B) I e)J O)K E) L


A: B: e; O; F; F; J; ...

A) H B) I C)J O) K E) L

Ejercicio 36: ¿Oué lelra sigue en la serie?

Y;V:S:P: ...

A) L B)M C)N O)K E)O


X; T:P:M; I; ...

A)A B) 8 C)e 0)0 E) E

Ejercicio 38: ¿Oué lelra sigue en la serie?

o ;e;s : 0 ; 0 ; 0 ; ...

AJA B) B eje 0)0 E) E

Ejercicio 39: Ellermino siguiente en la serie es:

(a + 1); (b + 2); (e + 4); (d + 8); •. .

A)(e + 18) 0)(1+ 15)

8)(e+15) E)(1+16)

C)(e+ 17)


A; 8 : C: 8 : 8; O; O; F: G: B: 1; ...

AjH B) I e)J O)K E)L


1>'; bd: ato db'; ...

Ajld B)h' e)gd O) bdt Ejna

Ejercic;o 42: Hallar el término 60 de la serie:

1;5;9: 13; 17; ...

A) 240 B) 273 e) 237 D) 252 E)327

Ejercic;o 43: Hallar el ténnino 26 de la serie:

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A) 173 D) 158

-17,·10; -3;4;11; ...

B) 162 E) 581

e) 185

Ejercicio 44: Hallar el término 45 de la serie:

A)372 D) 327

17; 22; 27, 32; ...

B)273 E)237

C)732

Ejercicio 45: Hallar el término 32 de la serie:

-9; ·1 1, -13; -15; ...

A)-59 6)-17 e)·71 0)-57 E) ·47

Ejercicio 46; Hallar el término 123de la serie:

A)263 D)356

-10; -7; -4; · 1; 2; ...

B) 358 E) 458

C) 365


A)6 D) 190

~; 4; 5: 54, ...

B)4B E) 199

e) 198

Ejercicio 48: Hallarel ténnino siguiente en la siguiente serie:

A) 60S D)328

O ; 1 ; 2 ; 3; 124; ...

B)604 E) 1 205

e) 506

Ejercicio49: Hallar el término siguiente en la siguiente serie:

2 ; 4 ; 6 ; 6,5 ; ...

A) 13 B) 14 C) 12 D)17 E)21

Ejerdclo50: Oiga Ud. cuál de las siguientes, atlemativas representa a la expresión que da origen a los valores de la tabla.

• 1 2 3 4 5

Y 1 10 25 46 73

A)2><"- 1 D)2. - 1

B)3><"+2 E) 4><" - 3

e)3x2-2

Ejercicio 51 .- la fórmula que expresa la re[a~ ción existente entre -x" e y segun los valores de la siguiente labia es-

x 1

Y O

A)y =x2 . x el 2)(2. 3)( + 1 E) 3x2 -2x-1

2

5

3 4 5

12 21 32

8)x2 +3x- 4 D) Y = ><' + 2x-3

Ejercicio 52: La fórmula que expresa la rela-ción existente entre "X~ y "YO segun 105v810res de la siguiente tabla es:

1: I~ 1: 1 ~2 1: 1:8 1 A)x2·Sx+2 8)x3+3)(2+2 C)xL 1x2+2 D)><' +>-2 E) )(3 . 2x2 + 3

CLAVE DE RESPUESTAS

1. O 11. B 21 . B 31. 0 41. 8 51 . O

2. e 12. 8 22. 8 32. e 42. e 52. e

3. 0 13. C 23. E 33. 8 43. 0

4. 8 14. 8 24. E 34. 8 44. E

5. e 15. 8 25. 0 as. A .5. e

6. D 16.e 26. C 36. e 46. 0

7. 8 17. e 27.E 37. E 47. E

8. E lB.e 2B.e 3B. e 48.A

9.e 19. 8 29. E 39. 8 49. e

10. C 20. e 30. 0 40.0 50. e

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