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Series Temporales Univariantes

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Series Temporales Univariantes

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Profesoras

• Carolina García-Martos ([email protected])

• María Jesús Sánchez Naranjo ([email protected])

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

ÍNDICE

• Introducción a las series temporales (objetivos, clasificación de los modelos de series, análisis descriptivo…).

• Funciones de autocorrelación simple y parcial

• Procesos estacionarios: Modelos AR, MA y ARMA

• Modelos ARIMA

• Modelos ARIMA estacionales.

• Ejemplos prácticos

• Algunas ideas sobre: modelos multivariantes y modelos de heterocedasticidad condicional

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Bibliografía

• Box, G.E.P., Jenkins, G.M. y Reinsel, G. (1994). Time Series

Analysis: Forecasting and Control. Prentice Hall.

• Peña, D. (2010). Análisis de Series Temporales. Alianza Editorial.

• Chatfield, C. (1989). The Analysis of Time Series. An Introduction.

Chapman & Hall.

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¿Qué sé de Estadística?

¿Qué debo saber?

Inferencia (Contrastes) y modelos de regresión lineal

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Objetivo del análisis de series temporales

• Explicar la evolución de una variable a lo largo del tiempo

• Prever sus valores futuros

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Gráfico temporal del precio de un componente eléctrico

Pec

io

0 30 60 90 120 15025

28

31

34

37

40

43

Gráfico Temporal de la temperatura de un proceso químico (cada minuto)

Tem

pera

tura

0 40 80 120 160 20016

16,4

16,8

17,2

17,6

18

18,4

18,8

Gráfico Temporal para la serie de pasajeros de avión

Núm

ero

de p

asaj

eros

0 30 60 90 120 1500

200

400

600

800

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ClasificaciClasificacióón de los modelos de series temporalesn de los modelos de series temporales

• EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE RESPUESTAS (número de variables que evolucionan en el tiempo que se estudian):

– RESPUESTA UNIVARIANTE

– RESPUESTA MULTIVARIANTE

• FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

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ClasificaciClasificacióón de los modelos de series temporalesn de los modelos de series temporales

• Lineales

• Estacionarios

– No estacionarios

• No lineales

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•• Series estacionariasSeries estacionarias: Estacionarias en la media y la varianza (frecuentes en el mundo físico, pero no en el social o económico).

•• Series no estacionariasSeries no estacionarias: Su variabilidad y/o su media cambian en el tiempo.

– El cambio en la varianza implica que la dispersión (variabilidad) no es constante en el tiempo.

– El cambio en la media implica tendencia (a crecer o decrecer), la serie no oscila alrededor de un valor constante. Fenómenos sociales.

• Pauta que se repite: serie estacional.

– NO HISTOGRAMA, NO MEDIA, NO DESVIACIÓN TÍPICA

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¿¿CCóómo detectamos si una serie es o no estacionaria en varianza? mo detectamos si una serie es o no estacionaria en varianza?

0 50 100 150−100

−50

0

50

100Non−stationary in variance time series

time

0 50 100 150−0.4

−0.2

0

0.2

0.4Stationary in variance time series

time

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¿¿CCóómo detectamos si una serie es o no estacionaria en media? mo detectamos si una serie es o no estacionaria en media?

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¿¿CCóómo detectamos si una serie es o no estacionaria en media? mo detectamos si una serie es o no estacionaria en media?

Gráfico Temporal de la temperatura de un proceso químico (cada minuto)

Tem

pera

tura

0 40 80 120 160 20016

16,4

16,8

17,2

17,6

18

18,4

18,8

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Descomposición básica de una serie temporal

Valor observado = tendencia+ estacionalidad + comp. irregular

Zt= Tt +St+ It

• Tendencia: movimiento suave de la serie a largo plazo

• Estacionalidad: movimientos de oscilación dentro del mes, año (p. ej.)

• Irregular: variaciones aleatorias alrededor de los componentes anteriores.

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Modelos univariantes de series temporales

Objetivo:

Zt=f(Zt-1,Zt-2,…)+ at

Zt=Zt*+ at (1)

at es independiente de su pasado

Existen dos enfoques básicos para obtener (1):

– Postular la forma de Zt* (siendo Zt

* la parte predecible).

– Obtener at en la serie (at es la parte no predecible).

Los métodos clásicos buscan Zt* y el enfoque Box-Jenkins se centra en

at.

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= +*t t tz z atz = Serie observada

= Componente predecible

= Componente aleatoria

Dos enfoques:

1. Método clásico: buscar2. Metodología Box-Jenkins: buscar

*tzta

FILTROtzta

*tz

ta

Análisis univariante: enfoques

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¿Cómo es at?

at debe ser un proceso de ruido blanco

• E[at]=0 t=1,2,...

• Var[at]=σ2 t=1,2,...

• Cov[at ,at-k]=0 k=±1,± 2

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Serie observada

Estimación de parámetros y contrastes• Función de verosimilitud• Cálculo de estimadores y estadísticos

Crítica y diagnosis: validación del modelo

¿Esel modeloadecuado?

• Predicción• Analizar estructura• Datos anómalos

NO SI

Identificación del modelo ARIMA(p,d,q)• Transformaciones• Selección p,d,q

Etapas para la construcción de un modelo ARIMA(p,d,q)

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Herramientas a utilizar para identificar el modelo

• Gráfico de la serie: a la vista de la evolución temporal de la variable de interés se detecta 1) La necesidad de estabilizar la varianza y 2) La necesidad de estabilizar la media si ésta no es constante (proceso no estacionario en media).

• Función de autocorrelación simple (FAS, en inglés ACF).

• Función de autocorrelación parcial (FAP, en inglés PACF).

0 20 40 60 80 100 120 140-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo

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ACF o FAS

• Función de autocovarianzas

• Coeficiente de autocorrelación

• La FAS es la representación retardo-coeficiente de autocorrelación

AR(2)

( ) [( )( )]γ µ µ−, − = − − =t t kt t k E z z γ ,k 0 1 2= , ± , ± ,...k

( )

( ) ( )ρ −

,= .t t k

t t k

Cov z z

k Var z Var z

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

R e t a r d o

Au

toc

orr

ela

ció

n

xt= - .9 x

t -1 + . 5 w

t -1 + w

t

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PACF o FAP

• Herramienta fundamental para determinar el orden de un proceso autorregresivo.

• El coeficiente de correlación parcial mide la relación entre xt y xt-k cuando se elimina el efecto de xt-1, xt-2 ,…, xt-k+1.

• La ACF sólo tiene en cuenta que xt y xt-2 están relacionados en ambos casos, si se mide la relación directa entre ellos (eliminando el efecto debido a xt-1), para un AR(1) es nulo pero no para un AR(2).

• El número de coeficientes distinto de cero indica el orden del proceso autorregresivo.

ttttt xxxxx →→→→ −−−− 1234

ttttt xxxxx →→→→ −−−− 1234

AR(1)

AR(2)

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Herramientas a utilizar para identificar el modelo

• Gráfico de la serie

• Función de autocorrelación simple

• Función de autocorrelación parcial

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

-1

-0 . 8

-0 . 6

-0 . 4

-0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

re ta rd o

Au

toc

orr

ela

ció

n

xt = 1 .5 x

t- 1 - .7 5 x

t-2 + w

t

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

R e t a r d o

Au

toc

orr

ela

ció

n

xt= - .9 x

t -1 + . 5 w

t -1 + w

t

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Pasos para la identificación del modelo

• Transformaciones para conseguir proceso estacionario

– 1. Heterocedasticidad: obtención de λλλλ

• Gráfico de la serie y gráfico rango-media para zt y para zt (λ

• Transformación Box-CoxPasajeros de avión

Pasajeros

0 30 60 90 120 150

0

200

400

600

800

(en logaritmos)

Pasajeros

0 30 60 90 120 150

4.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

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Pasos para la identificación del modelo

– 2. Determinación del orden de diferenciación regular d: número de diferencias que se deben aplicar para convertir la serie en

estacionaria.

• Gráfico de la serie y ACF de la serie original: IBM

ACF para IBM

retardo

Autocorrelaciones

0 5 10 15 20 25

-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1

ibm

0 20 40 60 80 100 120

450

490

530

570

610

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Pasos para la identificación del modelo

Gráfico de la serie y ACF de la serie diferenciada d (1,2,...) veces

• 3. Identificación de la estructura estacionaria: determinación de los ordenes p y q del modelo.

• Funciones de autocorrelación simple y parcial (AR(p) y MA(q)).

ibm con d=1

0 20 40 60 80 100 120

-15

-5

5

15

25

ACF para IBM con d=1

retardo

Autocorrelaciones

0 5 10 15 20 25

-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1

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Proceso estacionario (en sentido débil)

1.

2.

3.

µ µ= = ,t cte2 2σ σ= =t cte

( ) [( )( )]γ µ µ−, − = − − =t t kt t k E z z γ ,k 0 1 2= , ± , ± ,...k

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Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

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Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1). FAS y FAP.

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−11

, 1,....

0, 1

k

k

kk

k

k

γ φα φα

= === >

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1). FAS o ACF.

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1). FAP o PACF.

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso Auto-Regresivo de orden 2, AR(2).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1 1 2 2

2

1

2

2

2 2

2 2 1

(0, )

,..., ,...

1var[ ] ( )

1 {(1 ) }

t t t t

t a

t

at

z z z a

a N

a a independientes

z

φ φσ

σφφ φ φ

− −= + +

−=+ − −

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso Auto-Regresivo de orden 2, AR(2). FAS y FAP.

ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN

La autocorrelación simple decrece con el retardo de forma exponencial.

La autocorrelación parcial no es significativa para retardos > 2.

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Proceso Auto-Regresivo de orden p, AR(p).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1 1 2 2

2

1

...

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

t t t p t p t

t a

t

t

z z z z a

a N

a a independientes

E z t

φ φ φ

σ− − −= + + + +

= ∀

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso Auto-Regresivo de orden p, AR(p).

Sobre la notación: El operador retardo B

1

2

2

1

2 2

2

1 2

2 2

2

1 2

(1 )

(1 ) (1 ...)

.....

(1 ) (1 ...)

.....

t t

t t

p

t t p

t t t t

t t t t

t t t

t t t t

t t t

Bz z

B z z

B z z

z B z z z

B z a z B B a

a a a

B a z a B B z

z z z

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

θ θ θθ θ

− −

− −

=

=

=

∇ = − = −

− = ⇔ = + + + =

= + + +

− = ⇔ = + + + =

= + + +

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso Auto-Regresivo de orden p, AR(p). FAS y FAP.

ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN

La autocorrelación simple decrece con el retardo de forma exponencial.

La autocorrelación parcial no es significativa para retardos > p.

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Modelos autorregresivos: AR(1), AR(2),..., AR(p)

100,)0(

)()( <<≥== φφ

γγρ yhh

h h

1),2()1()( 21 ≥−+−= hhhh ρφρφρ

Modelo AR(1)

(Fácil de identificar)

Modelo AR(2)

Modelo AR(p)

1)(...)2()1()( 21 ≥−++−+−= hphhhh pρφρφρφρ

•Si p>1 la identificación utilizando sólo la ACF no es posible

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Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1 1

2

1

2 2

1

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ] (1 )

t t t

t a

t

t

t a

z a a

a N

a a independientes

E z t

z

θσ

σ θ

−= − +

= ∀

= +

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1). FAS y FAP.

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1

0, 1

, 1,...

k

k

kk

k

k

γ θγα θ

== >

= =

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1). FAS y FAP

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso de Media móvil de orden 2, MA(2).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1 1 2 2

2

1

2 2 2

1 2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ] (1 )

t t t t

t a

t

t

t a

z a a a

a N

a a independientes

E z t

z

θ θσ

σ θ θ

− −= − − +

= ∀

= + +

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso de Media móvil de orden 2, MA(2). FAS y FAP.

ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN

La autocorrelación simple no es significativa para retardos > 2.

La autocorrelación parcial decrece con el retardo de forma exponencial.

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso de Media móvil de orden q, MA(q).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1 1 2 2

2

1 2

2 2 2

1

...

(1 ... )

[ ] 0,

var[ ] (1 ... )

t t t t q t q

q

t q t

t

t a q

z a a a a

z B B B a

E z t

z

θ θ θ

θ θ θ

σ θ θ

− − −= − − − −

= − − − −

= ∀

= + + +

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso de Media móvil de orden q, MA(q). FAS y FAP.

ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN

La autocorrelación simple no es significativa para retardos > q.

La autocorrelación parcial decrece con el retardo de forma exponencial.

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso ARMA(1,1).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

1 1

2

1

22

2

(0, )

,...,

[ ] 0,

1 2var[ ]

1

t t t t

t a

t

t

t a

z z a a

a N

a a independientes

E z t

z

φ θσ

θ θφσφ

− −= − +

= ∀

+ −=−

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso ARMA(1,1). FAS y FAP

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso de ARMA (1,1). FAS y FAP.

ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN

FAS: decrecimiento geométrico dependiente del parámetro autorregresivo.

FAP: Decrecimiento geométrico dependiente del parámetro de media móvil.

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Series Temporales Univariantes María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos

Proceso ARMA(p,q).

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

11 1 2 2 1 2 2

2 2

1 2 1 2

2

1

... ...

(1 ... ) (1 ... )

(0, )

,...,

[ ] 0,

− − − − − −= + + + − − − − +

− − − − = − − − −

= ∀

φ φ φ θ θ θ

φ φ φ θ θ θ

σ

t t t p t p t t q t q t

p q

p t q t

t a

t

t

z z z z a a a a

B B B z B B B a

a N

a a independientes

E z t

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Proceso ARMA(p,q). Estructura de la FAS y la FAP.

1

2

1

2

2

(0, )

,..., ,...

[ ] 0,

var[ ]1

t t t

t a

t

t

at

z z a

a N

a a independientes

E z t

z

φσ

σφ

−= +

= ∀

=−

Muchos coeficientes distintos a 0

Muchos coeficientesdistintos a 0

ARMA(p,q)

Muchos coeficientes distintos a 0

0 excepto los primeros qMA(q)

0 excepto los primeros pMuchos coeficientesdistintos a 0

AR(p)

PACF ACF

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Procesos integrados.

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Procesos integrados.

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Procesos integrados. Modelos ARIMA (p,d,q).

2 2

1 2 1 2

2

1

( ) ( )

(1 ... )(1 ) (1 ... )

(0, )

,..., ,...

∇ =

− − − − − = − − − −

φ θφ φ φ θ θ θ

σ

d

t t

p d q

p t q t

t a

t

B z B a

B B B B z B B B a

a N

a a independientes

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Procesos ARIMA estacionales

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Algunos ejemplos...

Un tipo de falta de estacionariedad en la media muy habitual en la práctica: el comportamiento estacional.

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Algunos ejemplos...

Un tipo de falta de estacionariedad en la media muy habitual en la práctica: el comportamiento estacional.

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Algunos ejemplos...

Un tipo de falta de estacionariedad en la media muy habitual en la práctica: el comportamiento estacional.

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Precios de energía eléctrica. FAS y FAP muestran también la presencia de estacionalidad

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¿Qué es una serie estacional?

Diremos que una serie es estacional cuando su media no es constante en el tiempo pero varía de forma periódica, cíclica.

Si entonces diremos que la estacionalidad es de periodo s.

– En series diarias, en las que suele haber estacionalidad semanal: s=7.

– En series mensuales s=12.

– En series horarias, estacionalidad diaria: s=24.

– En series bimensuales, la estacionalidad anual hace que s=6, y análogamente con las cuatrimestrales (s=3) y trimestrales (s=4).

Ez t = Ezt+s

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Tipos de estacionalidad

MODELADO DE LA ESTACIONALIDAD DE FORMA ADITIVA

Consiste en escribir la serie como suma de un proceso estacionario y un componente estacional:

La serie no es estacionaria, pues el componente estacional no toma mismo valor en todos los periodos.

z t = Sts

+ nt

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Representación del IPI en España para los distintos meses. Efectoestacional.

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Demanda. Efecto estacional.

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Formas de modelar la estacionalidad

• Que sea determinista, es decir constante para el mismo mes de distinto año.

• Senos y cosenos.

• Introducir s-1 variables ficticias

• Que la estacionalidad evoluciona en el tiempo pero oscilando alrededor de un valor fijo

• Permitir que sea cambiante en el tiempo sin ningún valor medio fijo, en este caso diremos que la estacionalidad es no estacionaria. Primera forma sencilla de modelar la estacionalidad:

z t = zt−s + at

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Diferencia estacional

z t = zt−s + at, a t: Proceso estacionario

En el caso más sencillo, si at es ruido blanco diremos que la serie ztsigue un proceso I(1)s

zt − zt−s = a t → ∇szt = a t, at ∼ N0,σa2

∇s = 1 − Bs

Operador diferencia estacional

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Diferencias regulares y estacionales

Si al aplicar a la serie zt: D diferencias estacionales y d diferencias regulares tenemos un proceso de ruido blanco, diremos que dicha serie sigue un modelo I(d)xI(D)s.

Podemos tener que aplicar más de una diferencia regular, pero es muy infrecuente tener que hacer más de una diferencia éstacional. En cualquier caso d≤3.

D: número de diferencias estacionales

s: orden de la estacionalidad

d: número de diferencias regulares

1 − BsD1 − Bdzt = a t, at ∼ N0,σa2

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Procesos ARIMA estacionales

Si al aplicar a la serie zt: D diferencias estacionales y d diferencias regulares tenemos un proceso estacionario, pero no ruido blanco:

Generalizar el modelo ARMA incluyendo además de la dependencia regular, también la estacional.

D: número de diferencias estacionales

s: orden de la estacionalidad

d: número de diferencias regulares

1 − BsD1 − Bdzt = y t, yt ∼ estacionario, pero con estructura de dependencia...

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Procesos ARIMA estacionales

La ecuación de un modelo multiplicativo estacional ARMA (p,q)x(P,Q)s:

Lo podemos escribir de forma compacta:

Y la fórmulación completa del modelo ARIMA(p.d.q)x(P,D,Q)s para zt:

1 − φ1B −. . .−φpBp1 − Φ1Bs −. . .−ΦpB

psyt = 1 − θ1B −. . .−θqBq1 − Θ1Bs −. . .−ΘQB

Qsa t

con a t ∼ N0,σa2

φpBΦpBsy t = θqBΘQB sat

φpBΦpBs∇d∇sDz t = θqBΘQB sat

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Procesos ARIMA estacionales

Para la fórmulación completa del modelo ARIMA(p.d.q)x(P,D,Q)s para zt:

φpBΦpBs∇d∇sDz t = θqBΘQB sat

con a t ∼ N0,σa2

φpB = 1 − φ1B −. . .−φpBp, operador AR regular de orden p

ΦpB s = 1 − Φ1Bs −. . .−ΦpB

ps, operador AR estacional de orden P

∇d = 1 − Bd, d diferencias regulares

∇sD = 1 − BsD, D diferencias estacionales

θqB = 1 − θ1B −. . .−θqBq, operador MA regular de orden q

ΘQB s = 1 − Θ1Bs −. . .−ΘQB

Qs, operador MA estacional de orden Q

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Identificación del modelo ARIMA estacional

PASOS A SEGUIR

• ¿Cuál es el orden de la estacionalidad? ¿s=? Para ello es importante conocer de qué datos se trata.

• Comprobar si la serie es estacionaria en varianza, y si no lo es tomar logaritmos.

• Comprobar si la serie es estacionaria en media, ¿es necesaria una diferencia estacional? Es muy infrecuente que sea necesaria más de una diferencia estacional, ¿es necesaria alguna diferencia regular? Usualmente p<4.

• Seleccionar el modelo ARMA multiplicativo más adecuado. Seleccionando paso a paso, p, P, q y Q.

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Identificación del modelo ARIMA estacional

La función de autocorrelación simple (FAS) de un ARMA(p,d)x(P,D)

• En los retardos bajos observamos únicamente lo correspondiente a la parte regular,

• En los retardos estacionales (s, 2s, 3s,...) observamos únicamente lo correspondiente a la parte estacional.

• Alrededor de los retardos estacionales (s-2, s-1, s+1, s+2, 2s-2, 2s-1, 2s+1, 2s+2,...) observamos lo correspondiente a la interacción entre la parte estacional y regular. En concreto lo que se observa es la repetición de la FAS de la parte regular a ambos lados de los retardos estacionales: Si la parte regular es MA, a cada lado de los retardos estacionales tendré q coeficientes significativos. Si la parte regular es AR, a cada lado de los retardos estacionales tendré el decaimiento exponencial propio de los AR.

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Pasos para la construcción de un modelo ARIMA

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Serie observada

Estimación de parámetros y contrastes• Función de verosimilitud• Cálculo de estimadores y estadísticos

Crítica y diagnosis: validación del modelo

¿Esel modeloadecuado?

• Predicción• Analizar estructura• Datos anómalos

NO SI

Identificación del modelo ARIMA(p,d,q)• Transformaciones• Selección p,d,q

Etapas para la construcción de un modelo ARIMA(p,d,q)

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Etapas para la construcción de un modelo ARIMA(p,d,q)

Reglas prácticas

1. En primer lugar ha de estabilizarse la varianza si es necesario. Una vez estabilizada la varianza, y sólo si el proceso no es estacionario en media, se debe estabilizar la media (Tomando diferencias regulares (d), y/o estacionales, D).

Una vez se tiene una serie estacionaria y en desviaciones a la media...

2. Evitar la identificación inicial de modelos mixtos ARMA y comenzar con modelos AR y MA, preferiblemente de orden bajo.

3. Buscar modelos simples que expliquen los rasgos más obvios de la ACF. Coeficientes claramente significativos, pautas de decrecimiento geométricas o sinusoidales, etc.

4. Luego se utilizará la PACF para completar y confirmar los rasgos de la ACF.

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ESTIMACIÓN DEL MODELO (detalles en Peña (2010)).

OBJETIVO: Obtener las estimaciones de los parámetros que definen el modelo

Parámetros: φ1, φ2,..., φp, θ1, θ2, θq, µx y σw2

Xt es estacionaria e invertible

β =[φ1, φ2,..., φp, θ1, θ2, θq ]T

wt ~ N(0, σw2) (i.i.d.)

Diferentes enfoques:

Condicionado

No condicionado (estimación exacta)

Independientemente del criterio que se elige hay dos problemas:

Determinación de condiciones iniciales

Modelos no lineales

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ESTIMACIESTIMACIÓÓN DEL MODELO. Contrastes sobre los parN DEL MODELO. Contrastes sobre los par áámetros.metros.

0:

0:

1

0

≠=

i

i

H

H

ββ

Se obtienen los valores de los parámetros estimados.

Se obtienen las desviaciones típicas estimadas

¿¿Son nulos los parSon nulos los par áámetros?metros?

qhqh ϑβϑβφβφβ ˆˆ,ˆˆ,...,ˆˆ,ˆˆ112211 ==== −−

))ˆ(,(ˆiii N βσββ →

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ESTIMACIESTIMACIÓÓN DEL MODELO. Contrastes sobre los parN DEL MODELO. Contrastes sobre los par áámetros.metros.

tN ii →−→−)ˆ(ˆ

0ˆ);1,0(

)ˆ(

11 βσβ

βσβ

Se obtienen los valores de los parámetros estimados.

Se obtienen las desviaciones típicas estimadas

¿¿Son nulos los parSon nulos los par áámetros?metros?

.0)2,2(

.0)2,2(

)ˆ(ˆ

0

0

1

≠−∉

=−∈

−=↑↑↑

ii

ii

ii

yHrechazaseZSi

yHrechazasenoZSi

ZnSi

ββ

βσβ

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DIAGNOSIS DEL MODELO. DIAGNOSIS DEL MODELO. ¿¿Se cumplen las hipSe cumplen las hip óótesis asumidas?tesis asumidas?

1. Análisis sobre los coeficientes

2. Los coeficientes del modelo son suficientes para representar la serie

3. El modelo seleccionado debe tener un grado de ajuste elevado (en comparación con otros)

4. Análisis de residuos

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• Los coeficientes estimados deben cumplir condiciones de estacionariedad e invertibilidad.

• Cálculo de raíces de los polinomios

• Si alguna raíz está muy cerca de la unidad hay que tener cierta precaución. Si es la correspondiente a la parte autorregresiva puede suceder que la serie esté subdiferenciada.

• Si existen raíces comunes se podría utilizar un modelo con dos parámetros menos.

DIAGNOSIS DEL MODELO. (1. AnDIAGNOSIS DEL MODELO. (1. An áálisis sobre los coeficientes)lisis sobre los coeficientes)

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• Consiste en introducir parámetros adicionales para estudiar si el modelo está infradimensionado.

ARMA (p,q) ARMA(p+1,q)

ARMA (p,q) ARMA(p,q+1)

• Problema: redundancia paramétrica.

DIAGNOSIS DEL MODELO. (2. DIAGNOSIS DEL MODELO. (2. ¿¿Son suficientes los parSon suficientes los par áámetros metros para representar la serie? )para representar la serie? )

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Fase de identificación: varios modelos alternativos.

¿Cuál es el más adecuado?

AIC AIC

BICBIC

DIAGNOSIS DEL MODELO. (3. SelecciDIAGNOSIS DEL MODELO. (3. Selecci óón del modelo mn del modelo m áás adecuado )s adecuado )

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Comprobar las hipótesis realizadas:

• Los residuos tienen media cero,

• La varianza de los residuos es constante: homocedasticidad,

• Los residuos son independientes,

• Los residuos se distribuyen normalmente.

DIAGNOSIS DEL MODELO. (4. AnDIAGNOSIS DEL MODELO. (4. An áálisis de los residuos)lisis de los residuos)

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PredicciPredicci óón con modelos ARIMAn con modelos ARIMA

Dos fuentes de incertidumbre: Media condicional y varianza condicional

( )t tz ψ B a====0

T k j T k j

j

z ψ a∞∞∞∞

+ + −+ + −+ + −+ + −====

====∑∑∑∑

1 1 1 1ˆ( ) ( ) ...T T k T T k T k k Te k z z k a ψa ψ a+ + + − − ++ + + − − ++ + + − − ++ + + − − += − = + + += − = + + += − = + + += − = + + +

2 2 2

1 1( ( )) (1 ... )T kVar e k σ ψ ψ −−−−= + + += + + += + + += + + +2 2 1/ 21 1

ˆ ˆ( ) 1.96 (1 ... )T kz k σ ψ ψ −−−−± + + +± + + +± + + +± + + +

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Un ejemplo práctico

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Un ejemplo práctico

Datos de pasajeros de avión: Datos mensuales en miles de pasajeros, desde Enero de 1949 hasta Diciembre de 1960.

Time Series Plot for Col_1

0 30 60 90 120 1500

200

400

600

800

Col

_1

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Un ejemplo práctico

Proceso no estacionario. Además son necesarias una diferencia estacional y una diferencia regular (para que el proceso sea estacionario en media).

Time Series Plot for log(Col_1)lo

g(C

ol_1

)

0 30 60 90 120 1504.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

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Un ejemplo práctico

Tras una diferencia estacional y otra regular…

Residual Autocorrelations for adjusted log(Col_1)ARIMA(0,1,0)x(0,1,0)12 with constant

lag

Aut

ocor

rela

tions

0 5 10 15 20 25-1

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1

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Un ejemplo práctico

Modelo ARIMA (0,1,1) x (0,1,1)12

DIAGNOSIS DEL MODELO

Residual Autocorrelations for adjusted log(Col_1)ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 with constant

lag

Aut

ocor

rela

tions

0 5 10 15 20 25-1

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1

Residual Partial Autocorrelations for adjusted log(Col_1)ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 with constant

lagP

artia

l Aut

ocor

rela

tions

0 5 10 15 20 25-1

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1

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Un ejemplo práctico

Modelo ARIMA (0,1,1) x (0,1,1)12. Predicción para los tres años siguientes.

Time Sequence Plot for log(Col_1)ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 with constant

log(

Col

_1)

actualforecast95.0% limits

0 40 80 120 1604.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

7

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Algunos temas avanzados en series temporales: Modelos multivariantes (VARMA) y modelos de heterocedasticidad

condicional (GARCH)

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Ejemplo de serie temporal multivariante

Fuente: Course on Time Series Analysis (Prof. Andrés M. Alonso) y Peña (2010).

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Modelos de heterocedasticidad condicional (Ver documento adjunto)

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Ejemplo de serie con heterocedasticidad condicional.

Series financieras: No predecimos la media condicio nal sino la volatilidad

o varianza condicional.

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Ejemplo de serie con heterocedasticidad condicional.

Series financieras: No predecimos la media condicio nal sino la volatilidad

o varianza condicional.