series en matlab 1.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFACULTAD DE INGENIERAE. A. P. DE INGENIERA CIVIL

I. INTRODUCCIONLa idea bsica de las series de Fourier es que toda funcin o seal peridica de periodo L puede ser expresada como una suma trigonomtrica de senos y cosenos del mismo periodo. Descubierta a finales del siglo XVIII por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) para tratar la solucin de problemas en la conduccin del calor, hoy da sus aplicaciones son amplias en telecomunicaciones, audio, video, imagen (mdica, satelital), geofsica, entre otras.La nocin de seal es bastante amplia y aparece en diferentes situaciones en las cuales ciertas cantidades varan en el tiempo o el espacio de una magnitud fsica o de otra naturaleza. Por tanto est ligada al concepto de funcin. El anlisis armnico tambin conocido como el Anlisis de Fourier juega un papel muy importante en la Ingeniera, en los sistemas de telecomunicaciones, y a travs del uso de espectros defrecuencia.En este documento se presentanalgunos ejemplosyejerciciosde larealizacin manual y en el softwareMATLAB, elcuales unprograma de clculo cientfico de gran versatilidad y facilidad de uso con un gran nmero de herramientas orientadas a una amplia diversidad de aplicaciones entre ellas la modelacin y representacin grficadelas seriesde Fourier.MATLAB es un entorno de computacin y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados clculos matemticos y la visualizacin grfica de los mismos. De forma coherente y sin ningn tipo de fisuras, integra los requisitos claves de un sistema de computacin tcnico: clculo numrico, grficos, herramientas para aplicaciones especficas y capacidad de ejecucin en mltiples plataformas. Esta familia de productos proporciona al estudiante un medio de carcter nico, para resolver los problemas ms complejos y difciles.

II. OBJETRIVOS

2.1. OBJETIVO GENERAL

Desarrollarfunciones con series de Fourierde forma analtica yenelsoftware Matlab.

2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Representarfuncionesentrminos deseriesdeFourier.

Establecer las herramientas fundamentales para el manejo de las series de Fourier de unafuncinperidica conMatlab.

Determinar la solucin de graficas de series de Fourier mediante el uso de software (MATLAB).

III. MARCO TEORICO3.1. SERIE DE FOURIEREl anlisis de Fourier surgi a partir del intento del matemtico francs por hallar la solucin a un problema prctico, la conduccin del calor en un anillo de hierro. Demostr que se puede obtener una funcin discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motiv severas objeciones de los matemticos ms importantes de su poca como LaGrange, Laplace, etc.Una serie de Fourier es una ampliacin de una funcin peridica en trminos de una suma infinita de senos y cosenos. Estas series hacen uso de las relaciones de ortogonalidad de las funciones seno y coseno. El clculo y estudio de series de Fourier es extremadamente til como una manera de romper una funcin arbitraria peridica a un conjunto de trminos simples que pueden ser conectados, resuelto individualmente, y luego recombinados para obtener la solucin al problema original o unaaproximacin a ella, la precisin que se desea o lams til. Sea f (x) una funcin peridica de periodo 2, llamaremos SERIE DE FOURIER asociada a f (x) a una serie trigonomtrica. La serie puede desarrollarse para igualarcualquier funcin deseada durante cualquier duracin finita de tiempo mientras la componente fundamental de la serie pasa por un ciclo completo.

El mtodo de encontrar los coeficientes, llamado anlisis de Fourier, se basa en que las funciones seno y coseno constituyen un sistema ortogonal, esto es el promedio de sus productos en cruz es cero.Y con esto resulta:Por lo cual la tesis del teorema de Fourier definida en el intervalo (--) puede escribirse como:

3.2. LOS COEFICIENTES DE FOURIER:

3.3. CASOSPARTICULARES PARA LA DETERMINACION DE LA SERIE DE FOURIERPodemos demostrar que hay condiciones de simetra que permiten establecer la existencia o no de determinados trminos en la serie, lo que nos ahorra trabajo en el clculo.Funcin impar F (x) = -f(-x) slo tienen trminos en senos, haciendo uso del hecho que f(x) = -f(-x)=-f(x'):Entonces tenemos:

Por lo tanto la expansin en serie de Fourier, de una funcin peridica impar de periodo 2 consiste en trminos de senos solamente, y est dada por:

Donde:

Funcin parF (x) = f (-x) slo tienen trminos en cosenos y la constante.

Por lo tanto la expansin en serie de Fourier de una funcin peridica par, e periodo 2, consiste de trminos de cosenos solamente y est dado por:

Donde:

Estas frmulas permiten simplificar los clculos de los coeficientes de Fourier, cuando la funcin dada es par e impar.

3.4. COMANDOS UTILIZADOS EN MATLAB Plot: Crea una grfica x-y. Este comando plotear los elementos del vector x en el eje horizontal de una figura, y los elementos del vector y en el eje vertical de la figura. Pordefecto, cada vez que se use el comando plot,seborrarlafiguraqueestaba, quedando solo la nueva.

Los (:) Se usan para generar matrices, indica todas las filas o todas las columnas de sta; en una funcin con los dos puntos se colocan el primer y ltimo valor que esta tomara y el incremento por defecto ser 1, pero si se desea usar un incremento diferente se coloca entre estos dos nmeros en este caso, el incremento ser de 0.01.

El(; )separa filas en una definicin de matriz, suprime salida cuando se usa en comandos, cabe recordar que la matriz es el tipo de datos principal que se usa en Matlab y puede retener informacin numrica as como otros tipos de informacin.

Hold: congela la grfica actual, de modo que se puede recubrir una grfica adicional, la creacin de una grfica con ms de una lnea se puede lograr en muchas formas.

Plot:(comando que crea una grfica x-y).

Hold on: apila las grficas unas encima de otras. Matlab continuara poniendo en capa las grficas hasta que se ejecute elcomando hold off.

Grid: agrega una retcula o rejilla solo a la grfica actual.

Grid on agregauna retcula o rejilla a la grfica actual y a todas las subsecuentes en la figura actual.

Syms: Crea variables simblicas, note en la ventana del rea de trabajo que X y Y se mencionan como variables simblicas y que el tamao del arreglo para cada una es 1x1.Cada argumentodeentrada debecomenzar conuna letraypuede contener slo caracteres alfanumricos. Para la compatibilidad con versiones anteriores delsoftware. El comando syms es particularmente conveniente porque se puede usarparacrear mltiplesvariablessimblicasalmismotiempo, como con elcomando. En las funciones y scripts, no utilice el comando syms para crear variables simblicos con los mismos nombres que las funciones de MATLAB.En Matlab primero se realizan los clculos adentro deparntesis, desde elconjunto ms interno hasta el ms externo.En algunos casos la lectura de la salida que proporciona MATLAB no es muy legible. Pretty: genera en ocasiones una visualizacin ms usual, es decir, visualiza unaexpresinsimblica de formaparecida a comoestasuele escribirserealmente (forma algebraica).

Subs: Es otra forma ligeramente distinta para sustituir ms de una variable simblicapor uno o varios valores numricos. Las variables var1, var2,, varN son variables simblicas de la expresin S que sepretenden sustituir por nmeros, estas deben teclearse entre llaves. Los nmeros numero1, numero2,, numero N son los que se sustituirn en las variables simblicas comentadas anteriormente, los nmeros pueden ser escalares, vectores o matrices. Los bucles se usan cuando se necesita repetir un conjunto de instrucciones muchas veces,Matlab soportadostipos debucles uno deellos es: For, este es la opcin ms sencilla cuando se sabe cuntas veces se repetir el bucle, la primera lnea de su estructura identifica el bucle y define el ndice en este caso n, que es un nmero que cambia en cada paso a travs del bucle. Despus viene el grupo de comandos que se quiere ejecutar. Finalmente la terminacin del bucle se identifica mediante elcomando end.

Sin: Seno de argumento en radianes. Y = sin (X) devuelve el seno circular de los elementos de X. La funcin pecado elementoopera-sabio enlas matrices. Dominiosdela funcin y rangos incluyen valores complejos. Todos los ngulos estn en radianes.

Title: agrega un ttulo a la grfica. El apostrofe (') al principio de los comandos anteriores le advierte que comienza una cadena o lista de caracteres string (solo letras). El color del texto cambia a prpura cuando escribe el apstrofe final('), lo que indica que complet la cadena.

Ezplot: representa grficamente una expresin simblica, dibuja curvas como plot en cartesianas y paramtricas de una manera ms sencilla ya que genera automticamente los valores de la variable independiente. Tambin se utiliza para dibujar curvas en implcitas. Sea S una funcin simblica que contiene una variable var, ezplot creara un grfico de S (bar) frente a var.

IV. CONCLUCIONES

El estudio efectuado pone de manifiesto, que las series de Fourier son de mucha importancia en la Ingeniera, gracias a ellas selograidentificar lafrecuencia, amplitud y fase de cada una de las modulaciones de tipo seno y coseno generadas por una funcin infinita. Adems de lograr identificar la forma adecuada de realizar una serie de Fourier en Matlab, desarrollando su respectivo grfico. Los resultados obtenidos en este trabajo evidencian que este tipo de anlisis de las series de Fourier proporcionan informacin complementaria a la suministrada porparmetros de forma convencionales.

V. BIBLIOGRAFIA

Series de Fourier, Transformadas de Fourier y aplicaciones. G. Gonzlez. Consultado 30 de noviembre de 2012, enhttp://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf H. Dym, H. P. McKean. Fourier series and Integrals. Academic Press. NewYork, 1972.G. Amos. Matlab, Una introduccin con ejemplos prcticos. Barcelona, Espaa. Editorial Reverte s.a. 2005. 340 pg. H. Moore. Matlab para ingenieros. Editorial Pearson, Prentice Hall. 600 pg. Leer ms: http://www.monografias.com/trabajos11/serfour/serfour.shtml#SERIE#ixzz3IsJ53jq Leer ms: http://www.monografias.com/trabajos5/matlab/matlab.shtml#intro#ixzz3Is2oXQK

PROBLEMAS1. Calcular la serie de Fourier la siguiente funcin f(x)=x*sin(x); peridica en - x SOLUCINA). Grfica de la funcin a. Cdigo MATLAB para graficar funcin f(x)=x*sen(x) ; peridica en - x clcclearclose allx=-pi:0.0001:piy=x.*sin(x)plot(x,y)hold onx1=pi:0.0001:3*piplot(x1,y)hold onx2=3*pi:0.0001:5*piplot(x2,y) hold on

b. Grfica generada en MATLAB

B). Clculo de coeficientes de Fouriera. Hallamos

b. Hallamos Para n1se tiene

c. HallamosCumple con la condicin Serie de Fourier de funcin PAR.

d. La serie de Fourier es:

e. Grfica de la serie de Fourier Graficamos para n=2; n=4; n=7

Cdigo en MATLABclcclearclose allx=-3*pi:0.0001:3*piy=1-(1/2)*cos(x)-(2/3)*cos(2*x)plot(x,y)hold onx1=-3*pi:0.0001:3*piy1=1-(1/2)*cos(x1)-(2/3)*cos(2*x1)+(2/8)*cos(3*x1)-(2/15)*cos(4*x1)plot(x1,y1)hold onx2=-3*pi:0.0001:3*piy2=1-(1/2)*cos(x2)-(2/3)*cos(2*x2)+(2/8)*cos(3*x2)-(2/15)*cos(4*x2)+(2/24)*cos(5*x2)-(2/35)*cos(6*x2)+(2/48)*cos(7*x2)plot(x2,y2)

Grfica en MATLAB

2. Calcular la serie de Fourier la siguiente funcin ; peridica en - x SOLUCINA. Grfica de la funcin a. Cdigo MATLAB para graficar funcin ; peridica en - x clcclear close allx=-pi:0.001:piy=x.^2plot(x,y)hold onx1=pi:0.001:3*piplot(x1,y)hold onx2=3*pi:0.001:5*piplot(x2,y)hold onx3=5*pi:0.001:7*piplot(x3,y)hold onx4=7*pi:0.001:9*piplot(x4,y)hold onx5=9*pi:0.001:11*piplot(x5,y)


B. Clculo de coeficientes de Fouriera. Hallamos

b. Hallamos

c. Hallamos



Cdigo en MATLABclcclearclose allx=pi:0.001:11*piy=1/3*pi^2-4*cos(x)+cos(2*x)plot(x,y)hold onx1=pi:0.001:11*piy1=1/3*pi^2-4*cos(x1)+cos(2*x1)-4/9* cos(3*x1)+4/16* cos(4*x1)plot(x1,y1)hold onx2=pi:0.001:11*piy2=1/3*pi^2-4*cos(x2)+cos(2*x2)-4/9* cos(3*x2)+4/16* cos(4*x2)-4/25 *cos(5*x2)+4/36 *cos(6*x2)-4/49 *cos(7*x2)+4/64 *cos(8*x2)plot(x2,y2)

Grfica en MATLAB

3. Calcular la serie de Fourier la siguiente funcin en - x 0 y en 0 x SOLUCINA. Grfica de la funcin a. Cdigo MATLAB para graficar funcin ; peridica en - x clcclearclose allx3=-pi:0.001:piy3=2plot(x3,y3)hold onx4=-pi:0.001:0y4=-2plot(x4,y4)hold onx=-pi:0.001:0y=-pi/4plot(x,y,'r-')hold onx1=0:0.001:piy1=pi/4plot(x1,y1,'r-')hold onx2=pi:0.001:2*piplot(x2,y,'r-')hold onx5=2*pi:0.001:3*piplot(x5,y1,'r-')hold onx6=3*pi:0.001:4*piplot(x6,y,'r-')hold onx7=4*pi:0.001:5*piplot(x7,y1,'r-')


B. Clculo de coeficientes de Fouriera. Hallamos )

b. Hallamos

c. Hallamos



+

Cdigo en MATLABclcclearclose allx=-pi:0.001:11*piy=(pi/4)+sin(x)plot(x,y)hold onx1=-pi:0.001:11*piy1=(pi/4)+ sin(x)+ sin(3*x)/3+ sin(3*x)/3+sin(5*x)/5plot(x1,y1)hold onx2=-pi:0.001:11*piy2=(pi/4)+ sin(x)+ sin(3*x)/3+ sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+ sin(7*x)/7+ sin(9*x)/9plot(x2,y2)

Grfica en MATLAB

4. Calcular la serie de Fourier la siguiente funcin f(x)=|x|; peridica en - x SOLUCINA). Grfica de la funcin a. Cdigo MATLAB para graficar funcin f(x)=|x|; peridica en - x clcclear close all%funcion f(x)=xx=0:0.001:piy=xplot(x,y)hold onx1=2*pi:0.001:3*piplot(x1,y)hold onx2=4*pi:0.001:5*piplot(x2,y)hold onx3=6*pi:0.001:7*piplot(x3,y)hold onx4=8*pi:0.001:9*piplot(x4,y)hold onx5=10*pi:0.001:11*piplot(x5,y)%funcion f(x)=-xhold on x6=-pi:0.001:0y1=-x6plot(x6,y1)hold onx7=pi:0.001:2*piplot(x7,y1)hold onx8=3*pi:0.001:4*piplot(x8,y1)hold onx9=5*pi:0.001:6*piplot(x9,y1)hold onx10=7*pi:0.001:8*piplot(x10,y1)hold onx11=9*pi:0.001:10*piplot(x11,y1)



b. Hallamos

c. Hallamos



-

Cdigo en MATLABclcclearclose allx=-pi:0.001:9*piy=pi/2-4/pi*cos(x)-4/(pi*9)* cos(3*x)plot(x,y)hold onx1=-pi:0.001:9*piy1=pi/2-4/pi*cos(x1)-4/(pi*9)* cos(3*x1)-4/(pi*25)* cos(5*x1)plot(x1,y1)hold onx2=-pi:0.001:9*piy2=pi/2-4/pi*cos(x2)-4/(pi*9)* cos(3*x2)-4/(pi*25)* cos(5*x2)-4/(pi*49)* cos(7*x2)-4/(pi*81)* cos(9*x2)-4/(pi*121)* cos(11*x2)plot(x2,y2)

Grfica en MATLAB

5. Calcular la serie de Fourier la siguiente funcin ; peridica en - x SOLUCINA). Grfica de la funcin a. Cdigo MATLAB para graficar funcin ; peridica en - x clcclearclose allx=-pi:0.001:piy=x.^3-(pi.^2)*xplot(x,y)hold onx1=pi:0.001:3*piplot(x1,y)hold onx2=3*pi:0.001:5*piplot(x2,y)


B). Clculo de coeficientes de FourierComo es funcin para. Hallamos

b. Hallamos

c. Hallamos



Cdigo en MATLABclcclearclose allx=-pi:0.001:5*piy=-12*sin(x)+(12/8)*sin(2*x)plot(x,y)hold onx1=-pi:0.001:5*piy1=-12*sin(x1)+(12/8)*sin(2*x1)-(12/27)*sin(3*x1)+(12/64)*sin(4*x1)plot(x1,y1)hold onx2=-pi:0.001:5*piy2=-12*sin(x2)+(12/8)*sin(2*x2)-(12/27)*sin(3*x2)+(12/64)*sin(4*x2)-(12/125)*sin(5*x2)+(12/216)*sin(6*x2)-(12/343)*sin(7*x2)plot(x2,y2)

Grfica en MATLAB

6. Calcular la serie de Fourier la siguiente funcin f(x)=|sin(x)|; peridica en - x SOLUCINA). Grfica de la funcin a. Cdigo MATLAB para graficar funcin f(x)=|sen(x)|; peridica en - x clcclear close allx=0:0.0001:piy=sin(x)plot(x,y)hold onx1=-pi:0.0001:0y1=-sin(x1)plot(x1,y1)hold onx2=2*pi:0.0001:3*piy2=sin(x2)plot(x2,y2)hold onx3=pi:0.0001:2*piy3=-sin(x3)plot(x3,y3)hold on



b. Hallamos Para n1se tiene

c. HallamosCumple con la condicin Serie de Fourier de funcin PAR.



Cdigo en MATLABclcclear close allx=0:0.0001:3*piy=4/pi-(4/(3*pi))*cos(2*x)plot(x,y)hold onx1=0:0.0001:3*piy1=4/pi-(4/(3*pi))*cos(2*x1)-(4/(15*pi))*cos(4*x1)plot(x1,y1)hold onx2=0:0.0001:3*piy2=4/pi-(4/(3*pi))*cos(2*x2)-(4/(15*pi))*cos(4*x2)-(4/(35*pi))*cos(6*x2)-(4/(63*pi))*cos(8*x2)plot(x2,y2)hold on

Grfica en MATLAB

7. Calcular la serie de Fourier la siguiente funcin f(x)=; peridica en - x SOLUCINA). Grfica de la funcin a. Cdigo MATLAB para graficar funcin f(x)=; peridica en - x clcclear close allx=-pi:0.001:piy=x.^3plot(x,y)hold onx1=pi:0.001:3*piplot(x1,y)hold onx2=3*pi:0.001:5*piplot(x2,y)hold onx3=5*pi:0.001:7*piplot(x3,y)hold onx4=7*pi:0.001:9*piplot(x4,y)



b. Hallamos

c. Hallamos



+

Cdigo en MATLABclcclearclose allx=pi:0.0001:11*piy=-((-2*pi^2)/1+12/1)*sin(x)+((-2*pi^2)/2+12/8)*sin(2*x)plot(x,y)hold onx1=pi:0.0001:11*piy1=-((-2*pi^2)/1+12/1)*sin(x1)+((-2*pi^2)/2+12/8)*sin(2*x1)-((-2*pi^2)/3+12/27)*sin(3*x1)plot(x1,y1)hold onx2=pi:0.0001:11*piy2=-((-2*pi^2)/1+12/1)*sin(x2)+((-2*pi^2)/2+12/8)*sin(2*x2)-((-2*pi^2)/3+12/27)*sin(3*x2)+((-2*pi^2)/4+12/64)*sin(4*x2)-((-2*pi^2)/5+12/125)*sin(5*x2)+((-2*pi^2)/6+12/216)*sin(6*x2)plot(x2,y2)

Grfica en MATLAB

Anlisis matemtico III pg. 5

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